Chương 3: Tích phân bội

Chia sẻ: quangngoc368

Tài liệu dùng cho sinh viên trường Đại học xây dựng và sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng kĩ thuật

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 3: Tích phân bội

MôC LôC



3 TÝch ph©n béi 3
3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18




1
gi¶i tÝch II




S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng
vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt




2
Ch-¬ng 3

TÝch ph©n béi

Trong ch-¬ng nµy chóng ta sÏ x©y dùng kh¸i niÖm vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n cho
hµm thùc nhiÒu biÕn sè. Tr-íc hÕt chóng ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm "h×nh hép" ®·
biÕt ®Õn ë ch-¬ng tr-íc.
H×nh hép trong R lµ kho¶ng ®ãng

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

trong ®ã a, b ∈ R. Ng-êi ta th-êng nãi h×nh hép trong R lµ h×nh hép 1 chiÒu.
H×nh hép trong Rn lµ tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng ®ãng trong R:

H = [a1, b1 ] × [a2, b2] × · · · × [an, bn ]

hay

H = {x = (x1, x2, · · · , xn ) | ai ≤ xi ≤ bi }, víi mäi i = 1, .., n.

Ta gäi h×nh hép trong Rn lµ h×nh hép n chiÒu.
ThÓ tÝch cña h×nh hép n chiÒu

H = [a1, b1] × [a2, b2 ] × · · · × [an , bn ],

kÝ hiÖu λ(H) lµ tÝch cña c¸c ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng [ai, bi ]:

λ(H) = (b1 − a1 )(b2 − a2)...(bn − an )

§Æc biÖt khi H1 = [a, b] lµ h×nh hép 1 chiÒu, thÓ tÝch cña H1 lµ ®é dµi cña
®o¹n [a, b]:
λ(H1 ) = λ[a, b] = b − a.

3
4 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi

NÕu H2 lµ h×nh hép 2 chiÒu H2 = [a1, b1 ] × [a2, b2], khi ®ã thÓ tÝch cña H2

λ(H2 ) = (b1 − a1)(b2 − a2)

chÝnh lµ diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt H.
Khi x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm mét biÕn chóng ta ®· nãi tíi phÐp
chia kho¶ng [a, b] thµnh n kho¶ng nhá bëi c¸c ®iÓm chia xi thuéc [a, b]

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.

B©y giê, tæng qu¸t h¬n chóng ta sÏ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm phÐp chia (theo kiÓu
l-íi) h×nh hép n chiÒu H nãi trªn thµnh c¸c h×nh hép n chiÒu nhá h¬n trong H.




H×nh 3.1: PhÐp chia l-íi h×nh hép

Gäi T1 lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T1 = [xi, xi+1 ]) trong phÐp chia [a1, b1]
thµnh m1 kho¶ng nhá, T2 còng lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T2 = [yj , yj+1]) trong
phÐp chia [a2, b2 ] thµnh m2 kho¶ng nhá... T-¬ng tù ®èi víi Tn . Khi ®ã h×nh hép
n chiÒu H ®-îc chia thµnh

N = m1 m2 · · · mn

h×nh hép (n chiÒu) nhá h¬n vµ

Hi = T1 × T2 × · · · × Tn

lµ mét trong c¸c h×nh hép nhá ®ã. HiÓn nhiªn
N
H= Hi .
i=1
3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép 5


Trong ch-¬ng nµy khi nãi vÒ phÐp chia F mét h×nh hép nµo ®ã, chóng ta
lu«n hiÓu lµ phÐp chia kiÓu l-íi nãi trªn. HiÓn nhiªn thÓ tÝch cña H b»ng tæng
c¸c thÓ tÝch cña tÊt c¶ c¸c h×nh hép nhá
N
λ(H) = λ(Hi ).
i=1


Chó ý r»ng còng nh- trong hµm mét biÕn, ng-êi ta kÝ hiÖu d(F ) lµ ®-êng kÝnh
cña phÐp chia F . §-êng kÝnh ®ã lµ ®-êng kÝnh lín nhÊt trong sè tÊt c¶ c¸c
®-êng kÝnh cña h×nh hép nhá T1 × T2 × · · · × Tn cña phÐp chia F nãi trªn

d(F ) = max{d(H1 ), d(H2 ), ..., d(HN )}.

(§-êng kÝnh h×nh hép lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt gi÷a 2 ®iÓm cña h×nh hép ®ã).


3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép
§Þnh nghÜa 3.1.1 Cho h×nh hép n chiÒu H ⊂ Rn vµ hµm

f :H →R

x¸c ®Þnh trªn H. Gäi F lµ mét phÐp chia l-íi bÊt k× h×nh hép H:
N
H= Hi ,
i=1


chän ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý thuéc Hi víi mäi i = 1, 2, ..., N . Khi ®ã kÝ hiÖu
N
S(F ) = f (ti )λ(Hi )
i=1


lµ tæng tÝch ph©n cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . NÕu tæng tÝch ph©n S(F )
tån t¹i giíi h¹n L vµ giíi h¹n ®ã h÷u h¹n khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕn
tíi 0:
N
lim S(F ) = lim f (ti )λ(Hi ) = L,
i=1
6 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


ta nãi hµm f kh¶ tÝch trªn H vµ kÝ hiÖu

lim S(F ) = L = f (x) dx
d(F )→0 H

hoÆc
lim S(F ) = L = ... f (x1 , x2, ..., xn) dx1 dx2 ...dxn.
H

Chó ý r»ng giíi h¹n lim S(F ) = L ®-îc hiÓu nh- sau:
d(F )→0
Víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i δ = δ(ε) > 0 sao cho víi mäi phÐp chia h×nh hép
H cã ®-êng kÝnh d(F ) < δ vµ mäi c¸ch chän c¸c ®iÓm ti ∈ Hi , ta cã
N
|S(F ) − L| = | f (ti )λ(Hi ) − L| < ε.
i=1


(Chó ý r»ng sù tån t¹i giíi h¹n cña tæng tÝch ph©n S(F ) kh«ng phô thuéc
vµo viÖc chän c¸c ®iÓm ti tïy ý trong Hi ).

VÝ dô XÐt tÝch ph©n hµm h»ng sè f (x) ≡ C víi ∀x ∈ H. Khi ®ã víi mäi phÐp
m
chia F : H = Hi , tæng tÝch ph©n
i=1

m m
S(F ) = f (ti )λ(Hi ) = Cλ(Hi ) = Cλ(H)
i=1 i=1

kh«ng phô thuéc vµo F . VËy lim S(F ) = Cλ(H), hay

Cdx = ... C dx1 dx2 ...dxn = Cλ(H).
H H

§Þnh nghÜa 3.1.2 Cïng víi c¸c kÝ hiÖu trong ®Þnh nghÜa trªn, ta ®Æt

Mi = sup f (x) mi = inf f (x).
x∈Hi x∈Hi


Khi ®ã
N
S ∗(F ) = Mi λ(Hi )
i=1
3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch 7

N
S∗ (F ) = mi λ(Hi )
i=1

®-îc gäi lµ tæng Darboux trªn vµ tæng Darboux d-íi cña hµm f t-¬ng øng víi
phÐp chia F .

Râ rµng víi mäi phÐp chia F

S∗ (F ) ≤ S ∗(F ).

§Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn (®-îc chøng minh t-¬ng tù nh- trong tÝch ph©n hµm
mét biÕn)

§Þnh lÝ 3.1.1 (§iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm kh¶ tÝch) NÕu f kh¶ tÝch trªn h×nh hép
H, khi ®ã hµm f bÞ chÆn trªn H (tån t¹i sè K ∈ R ®Ó |f (x)| ≤ K víi mäi x ∈ H).

Do ®Þnh lÝ trªn, trong ch-¬ng nµy tõ nay vÒ sau khi nãi vÒ c¸c hµm kh¶ tÝch,
ta chØ xÐt nh÷ng hµm bÞ chÆn.


3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch
Chóng ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm sau vÒ c¸c phÐp chia.

§Þnh nghÜa 3.2.1 Gi¶ sö F vµ F lµ hai phÐp chia mét h×nh hép H. Ta nãi phÐp
chia F mÞn h¬n phÐp chia F nÕu mäi h×nh hép con cña H øng víi phÐp chia F
®Òu n»m trong mét h×nh hép con nµo ®Êy øng víi phÐp chia F . §iÒu nµy t-¬ng
®-¬ng víi kh¼ng ®Þnh mäi h×nh hép con øng víi phÐp chia F lµ hîp cña c¸c h×nh
hép con nµo ®ã øng víi phÐp chia F

Hi = Hk .
k:Hk ⊂Hi


Tõ ®Þnh nghÜa trªn, suy ra r»ng nÕu phÐp chia F mÞn h¬n phÐp chia F , khi
®ã
S∗ (F ) ≤ S∗ (F ) vµ S ∗ (F ) ≤ S ∗ (F ).
Kh¼ng ®Þnh trªn suy ra tõ nhËn xÐt: nÕu A ⊂ B, khi ®ã

inf f (x) ≤ inf f (x) vµ sup f (x) ≤ sup f (x).
x∈B x∈A x∈A x∈B
8 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


§Þnh nghÜa 3.2.2 Gäi
N1
(1)
F1 : H= Hi
i=1
N2
(2)
F2 : H= Hj
j=1

lµ hai phÐp chia h×nh hép H. Hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2 lµ phÐp chia míi
h×nh hép H, kÝ hiÖu F1 ∪ F2 mµ mçi h×nh hép con cña phÐp chia míi b»ng giao
cña hai h×nh hép con nµo ®ã øng víi hai phÐp chia F1, F2:
(1) (2)
Hi ∩ Hj .
(1) (2)
Hi lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F1 vµ Hj lµ h×nh hép con øng víi phÐp
chia F2.
N1 N2
(1) (2)
F1 ∪ F2 : H= (Hi ∩ Hj ).
i=1 j=1

TÝnh ®óng ®¾n cña ®Þnh nghÜa trªn suy ra tõ nhËn xÐt: giao cña hai h×nh hép
hoÆc lµ tËp ∅ (tËp ∅ còng ®-îc coi lµ h×nh hép) hoÆc còng lµ h×nh hép. §ång
thêi dÔ dµng suy ra r»ng hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2 lµ phÐp chia mÞn h¬n
c¶ F1 vµ F2 .
§Þnh lÝ 3.2.1 Víi F1 vµ F2 lµ hai phÐp chia bÊt k× h×nh hép H, duy tr× c¸c kÝ hiÖu
nh- trong §Þnh nghÜa 2, khi ®ã
S∗ (F1) ≤ S ∗ (F2).
Chøng minh XÐt phÐp chia T lµ hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2, theo nhËn xÐt
trªn phÐp chia T mÞn h¬n c¶ F1 vµ F2 , suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh
S∗(F1 ) ≤ S∗ (T ) ≤ S ∗(T ) ≤ S ∗(F2 ).


Ta dÉn vµo c¸c kÝ hiÖu
I∗ = sup S∗(F )
I ∗ = inf S ∗ (F )
lµ c¸c cËn trªn ®óng vµ cËn d-íi ®óng cña c¸c tæng tÝch ph©n hµm f víi mäi
phÐp chia F cã thÓ cã cña h×nh hép H. (Ng-êi ta cßn gäi I ∗ vµ I∗ lµ tÝch ph©n
trªn, tÝch ph©n d-íi cña hµm f ). Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 9


§Þnh lÝ 3.2.2 (§Þnh lÝ Darboux) I∗ = lim S∗ (F ) vµ I ∗ = lim S ∗(F ) khi ®-êng
kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕn tíi 0.
Tõ ®Þnh lÝ trªn, ta cã hÖ qu¶

HÖ qu¶ 3.2.1 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm bÞ chÆn f : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh
hép H lµ I∗ = I ∗ hoÆc diÔn ®¹t d-íi d¹ng kh¸c t-¬ng ®-¬ng:
Víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i mét phÐp chia F sao cho

S ∗ (F ) − S∗(F ) < ε.

Chøng minh §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn.
§Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ, ta gäi I = I∗ = I ∗ lµ gi¸ trÞ chung cña tÝch ph©n
trªn, tÝch ph©n d-íi hµm f . Theo §Þnh lÝ Darboux, víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i
δ = δ(ε) > 0 sao cho víi mäi phÐp chia h×nh hép H cã ®-êng kÝnh d(F ) < δ, ta

|S∗(F ) − I| < ε vµ |S ∗ (F ) − I| < ε.
Víi phÐp chia F nh- vËy vµ chän c¸c ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý, do tæng tÝch ph©n
S(F ) tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc S∗ (F ) ≤ S(F ) ≤ S ∗ (F ), suy ra

|S(F ) − I| < ε.

§iÒu ®ã chøng minh f kh¶ tÝch trªn h×nh hép H ®ång thêi

f (x) dx = I (= I∗ = I ∗).
H

§Þnh lÝ trªn tr×nh bµy t- t-ëng x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn
bÊt k×. Tuy ®Þnh lÝ ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch song trong
thùc tÕ ®iÒu kiÖn ®ñ ®ã rÊt khã kiÓm tra. §Þnh lÝ sau ®-a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®¬n
gi¶n vµ dÔ kiÓm tra h¬n (c¸ch chøng minh nh- trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn).

§Þnh lÝ 3.2.3 NÕu hµm f bÞ chÆn vµ liªn tôc trªn h×nh hép H ⊂ Rn , khi ®ã f kh¶
tÝch. H¬n n÷a nÕu tËp hîp c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f lµ h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm
®-îc, th× f còng kh¶ tÝch trªn h×nh hép H.

NhËn xÐt r»ng nÕu f lµ hµm thùc mét biÕn (n = 1) ®¬n ®iÖu (t¨ng hoÆc gi¶m)
trªn ®o¹n [a, b], khi ®ã tËp c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f kh«ng qu¸ ®Õm ®-îc, suy
ra f kh¶ tÝch trªn [a, b]. Líp c¸c hµm kh¶ tÝch kh¸ réng. HÇu hÕt c¸c hµm bÞ
chÆn ta th-êng gÆp lµ c¸c hµm kh¶ tÝch.
10 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi
B©y giê chóng ta sÏ më réng kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn mét miÒn giíi néi (bÞ
chÆn) bÊt k×. ChÝnh x¸c h¬n ta chØ x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn mét miÒn
®o ®-îc d¹ng Jordan.
XÐt tËp M ⊂ Rn lµ tËp hîp bÞ chÆn trong Rn , khi ®ã tån t¹i mét h×nh hép
H chøa tËp M. Gi¶ sö
I1 , I2, ..., Ik, ..., IN Ik ⊂ H k = 1, 2, ..., N
lµ c¸c h×nh hép ®«i mét kh«ng cã ®iÓm chung trong vµ
N
Ik ⊂ M
k=1

LËp tæng c¸c thÓ tÝch c¸c h×nh hép Ik vµ kÝ hiÖu λ∗ (M) lµ cËn trªn ®óng cña tÊt
c¶ c¸c tæng ®ã
N
λ∗ (M) = sup λ(Ik )
∪N Ik ⊂M k=1
k=1

T-¬ng tù gi¶ sö Ik , Ik ⊂ H k = 1, 2, ..., K lµ c¸c h×nh hép ®«i mét kh«ng cã
®iÓm chung trong vµ
K
Ik ⊃ M.
k=1
KÝ hiÖu
K
λ∗ (M) = inf λ(Ik ).
∪K Ik ⊃M
k=1 k=1

Chó ý r»ng tr-êng hîp kh«ng tån t¹i mét h×nh hép nµo ®-îc chøa trong M, khi
®ã theo quy -íc λ∗ (M) = 0. HiÓn nhiªn λ∗ (M) ≤ λ∗ (M). Ta cã ®Þnh nghÜa sau
§Þnh nghÜa 3.3.1 Mét tËp M bÞ chÆn ®-îc gäi lµ ®o ®-îc d¹ng Jordan nÕu
λ∗ (M) = λ∗ (M). Khi ®ã gi¸ trÞ chung cña chóng
λ∗ (M) = λ∗ (M)
®-îc gäi lµ ®é ®o Jordan cña tËp M (ng-êi ta cßn gäi t¾t lµ thÓ tÝch cña M), kÝ
hiÖu
λ(M) = λ∗ (M) = λ∗ (M).
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 11


NhËn xÐt r»ng nÕu M lµ h×nh hép khi ®ã ®é ®o Jordan cña M chÝnh lµ thÓ
tÝch cña h×nh hép ®ã. Ta cã thÓ chøng minh r»ng (dµnh cho ®éc gi¶) c¸c ®a gi¸c,
h×nh trßn, h×nh elip, h×nh cÇu, ... lµ c¸c tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Nãi chung
c¸c tËp hîp "th«ng th-êng" (c¸c tËp hîp th-êng gÆp) lµ c¸c tËp ®o ®-îc d¹ng
Jordan.
Tuy nhiªn ta xÐt mét vÝ dô vÒ tËp hîp kh«ng ®o ®-îc d¹ng Jordan. KÝ hiÖu A lµ tËp c¸c sè h÷u tØ
trªn ®o¹n [0, 1] (xÐt trong tËp c¸c sè thùc R). HiÓn nhiªn kh«ng tån t¹i mét h×nh hép (®o¹n th¼ng)
nµo ®-îc chøa trong A, suy ra λ∗ (A) = 0. Trong khi ®o¹n th¼ng (h×nh hép mét chiÒu) bÐ nhÊt
chøa A lµ ®o¹n [0, 1], nãi c¸ch kh¸c λ∗ (A) = 1. VËy tËp c¸c sè h÷u tØ trªn ®o¹n [0, 1] kh«ng ®o
®-îc d¹ng Jordan.
Gäi H lµ h×nh hép chøa tËp M vµ xÐt phÐp chia F h×nh hép ®ã:
N
F : H= Hi
i=1


DÔ dµng nhËn thÊy λ∗ (M) = sup σ∗(F ), trong ®ã

σ∗(F ) = λ(Hk )
k:Hk ⊂M


vµ λ∗ (M) = inf σ ∗(F ), trong ®ã

σ ∗(F ) = λ(Hk ).
k: Hk ⊃M
k



T-¬ng tù nh- ®Þnh lÝ Darboux, ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng

λ∗ (M) = lim σ∗(F ) vµ λ∗ (M) = lim σ ∗(F ).

Ta dÉn vµo kÝ hiÖu
1 nÕu x ∈ M
χM (x) =
0 nÕu x ∈ M
/

Hµm χM : Rn → R ®Þnh nghÜa ë trªn ®-îc gäi lµ hµm ®Æc tr-ng cña M.
B©y giê ta xÐt tÝch ph©n hµm ®Æc tr-ng χM (x) trªn h×nh hép H. DÔ dµng
chøng minh ®-îc λ∗ (M) vµ λ∗ (M) b»ng tÝch ph©n trªn vµ tÝch ph©n d-íi t-¬ng
øng cña hµm ®Æc tr-ng χM (x). V× vËy ®Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn
12 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


§Þnh lÝ 3.3.1 TËp bÞ chÆn M ⊂ Rn ®o ®-îc d¹ng Jordan khi vµ chØ khi hµm ®Æc
tr-ng χM : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh hép H nµo ®ã chøa M. Khi ®ã thÓ tÝch (®é
®o Jordan) cña M b»ng:
λ(M) = χM (x) dx.
H

NhËn xÐt r»ng tÝch ph©n trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän h×nh hép H chøa
M. Tõ ®Þnh lÝ nµy suy ra hîp (giao) cña h÷u h¹n tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan
còng lµ tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Ngoµi ra nÕu A, B lµ hai tËp hîp rêi nhau
A ∩ B = ∅ trong Rn , hiÓn nhiªn
χA∪B = χA + χB .
Ta cã kÕt qu¶ sau
§Þnh lÝ 3.3.2 NÕu M1, M2 , ..., Mk lµ c¸c tËp hîp ®o ®-îc vµ ®«i mét rêi nhau, khi
k
®ã Mi còng ®o ®-îc d¹ng Jordan, ®ång thêi
i=1
k k
λ( Mi ) = λ(Mi ).
i=1 i=1




TÝch ph©n trªn tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan
B©y giê chóng ta cã thÓ dÉn vµo kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn tËp hîp ®o ®-îc d¹ng
Jordan.
Cho hµm f : M → R x¸c ®Þnh trªn tËp bÞ chÆn vµ ®o ®-îc d¹ng Jordan. Gäi
H lµ h×nh hép nµo ®ã chøa M. Ta më réng ¸nh x¹ f lªn h×nh hép H b»ng ¸nh
x¹ f ∗ : H → R

f (x) nÕu x ∈ M
f ∗ (x) =
0 nÕu x ∈ H\M
Nh- vËy f chÝnh lµ thu hÑp ¸nh x¹ f ∗ lªn tËp M vµ

f trªn M
f∗ =
0 trªn H\M
Ta cã ®Þnh nghÜa sau
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 13


§Þnh nghÜa 3.3.2 Ta nãi f kh¶ tÝch trªn tËp bÞ chÆn vµ ®o ®-îc M, nÕu hµm f ∗
kh¶ tÝch trªn H. Khi ®ã

f (x)dx = f ∗ (x)dx = f (x)χM (x) dx.
M H H

Chó ý r»ng tÝch ph©n hµm f trong ®Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc
chän h×nh hép H chøa M.

TÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi
TÝch ph©n trªn tËp bÞ chÆn cã c¸c tÝnh chÊt ®¬n gi¶n sau ®©y (t-¬ng tù tÝch ph©n
hµm mét biÕn, b¹n ®äc tù chøng minh)
1. TËp M lµ tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan trong Rn . Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm
kh¶ tÝch trªn ®ã, khi ®ã

(a) Víi mäi α ∈ R, αf còng kh¶ tÝch trªn M vµ

αf (x)dx = α f (x)dx.
M M


(b) f + g còng kh¶ tÝch trªn M vµ

(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx.
M M M

2. NÕu M = M1 ∪ M2 lµ hîp cña hai tËp ®o ®-îc rêi nhau, khi ®ã

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
M M1 M2


3. ThÓ tÝch cña tËp M b»ng

λ(M) = 1 dx.
M


4. NÕu f (x) ≤ g(x) víi mäi x ∈ M, khi ®ã

f (x)dx ≤ g(x)dx.
M M
14 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


5. Víi f kh¶ tÝch trªn M, f (x)dx ≤ |f (x)|dx.
M M

6. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ sau (cßn ®-îc gäi lµ ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung b×nh)
Gi¶ sö f liªn tôc trªn tËp liªn th«ng D ⊂ Rn vµ D ®o ®-îc d¹ng Jordan,
khi ®ã tån t¹i mét ®iÓm c ∈ D sao cho

f (x)dx = λ(D)f (c).
D


Chó ý r»ng tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn th-êng ®-îc gäi lµ tÝch ph©n béi, tÝch ph©n
hµm hai biÕn ®-îc gäi lµ tÝch ph©n kÐp, tÝch ph©n hµm ba biÕn ®-îc gäi lµ tÝch
ph©n béi ba.



TÝch ph©n c¸c hµm ch½n, lÎ trªn miÒn ®èi xøng
Ta cã nhËn xÐt quan träng sau ®©y vÒ tÝch ph©n c¸c hµm ch½n, lÎ trªn miÒn ®èi
xøng.
1. Gi¶ thiÕt tËp M ⊂ R2 nhËn ®-êng th¼ng y = 0 lµm trôc ®èi xøng, hµm d-íi
dÊu tÝch ph©n f (x, y) kh¶ tÝch trªn M vµ nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm
®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = 0

f (x, y) = −f (x, −y) víi mäi (x, y) ∈ M.

(Ta cßn nãi f lµ hµm lÎ theo biÕn y). Khi ®ã

I= f (x, y) dxdy = 0.
M


ThËt vËy tËp M cã thÓ ph©n tÝch thµnh hîp cña hai tËp rêi nhau M = M1 ∪ M2 ,
trong ®ã M1 thuéc nöa trªn cña mÆt ph¼ng xOy (y ≥ 0) vµ M2 thuéc nöa d-íi
cña mÆt ph¼ng ®ã. (Xem h×nh vÏ d-íi ®©y).

Theo tÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi nªu trªn

f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy.
M M1 M2
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 15




H×nh 3.2: MiÒn ®èi xøng

Tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n béi lËp c¸c tæng tÝch ph©n cña hai tÝch ph©n nãi trªn,
nÕu ta sö dông c¸c phÐp chia ®èi xøng vµ chän c¸c c¸c ®iÓm ti = (ξi , ηi ) còng
®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = 0, suy ra c¸c tæng tÝch ph©n t-¬ng øng lµ
c¸c sè ®èi nhau
N N
(1) (1)
S(F1) = f (ξi , ηi )λ(Hi ) =− f (ξi , −ηi)λ(Hi ) = −S(F2).
i=1 i=1

Do vËy khi chuyÓn qua giíi h¹n, gi¸ trÞ cña c¸c tÝch ph©n còng ®èi nhau

f (x, y)dxdy = − f (x, y)dxdy.
M1 M2

Suy ra tÝch ph©n cÇn tÝnh b»ng 0

I= f (x, y)dxdy = 0.
M


LËp luËn t-¬ng tù nÕu tËp M ⊂ R2 nhËn ®-êng th¼ng y = 0 lµm trôc ®èi xøng,
hµm f (x, y) kh¶ tÝch trªn M vµ f (x, y) lµ hµm ch½n theo biÕn y, khi ®ã

f (x, y)dxdy = 2 f (x, y)dxdy (∗)
M M1


(M lµ hîp cña 2 tËp ®èi xøng nhau qua trôc hoµnh M = M1 ∪ M2 , hµm f lµ
hµm ch½n theo biÕn y: f (x, y) = f (x, −y) ∀(x, y) ∈ M.)
16 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi



2. Ta còng nhËn ®-îc kÕt qu¶ t-¬ng tù nÕu tËp M nhËn ®-êng th¼ng x = 0
(trôc tung) lµm trôc ®èi xøng (hoÆc gèc täa ®é O lµm t©m ®èi xøng), hµm d-íi
dÊu tÝch ph©n f (x, y) lµ hµm lÎ theo x, kh¶ tÝch trªn M
f (x, y) = −f (−x, y) ∀(x, y) ∈ M.
(hoÆc f (x, y) = −f (−x, −y) ∀(x, y) ∈ M). Khi ®ã

I= f (x, y)dxdy = 0.
M

Tr-êng hîp f (x, y) lµ hµm ch½n theo biÕn x, b¹n ®äc tù rót ra c¸c kÕt qu¶ t-¬ng
tù nh- trong ®¼ng thøc (∗).

3. C¸c kÕt qu¶ trªn còng cã thÓ më réng sang tÝch ph©n béi ba.
Ch¼ng h¹n ta xÐt tËp M ⊂ R3 nhËn mÆt ph¼ng z = 0 (mÆt ph¼ng xOy) lµm mÆt
ph¼ng ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y, z) lµ hµm lÎ theo z, kh¶ tÝch trªn
M. Khi ®ã
f (x, y, z)dxdydz = 0.
M

VÝ dô 3.3.1
1. TÝnh tÝch ph©n
x2 + y 2
I1 = xy 4a2 − x2 − y 2 − dxdy,
2a
D

trong ®ã miÒn D lµ h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 2a2.
Ta nhËn xÐt r»ng D nhËn ®-êng th¼ng x = 0 (trôc tung trong mÆt ph¼ng
xOy) lµm trôc ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n
x2 + y 2
f (x, y) = xy 4a2 − x2 − y 2 −
2a
kh¶ tÝch trªn h×nh trßn D vµ lµ hµm lÎ ®èi víi biÕn x (nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi
nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng x = 0)
f (x, y) = −f (−x, y) víi mäi (x, y) ∈ D.
Suy ra I1 = 0.
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 17


2. TÝnh tÝch ph©n I = dxdy, víi D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi elip
D
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2 b
MiÒn D nhËn c¸c trôc täa ®é lµm trôc ®èi xøng, theo tÝnh chÊt cña tÝch
ph©n kÐp
I= dxdy = 4 dxdy = 4S(D1 ),
D D1

S(D1 ) b»ng mét phÇn t- diÖn tÝch cña elip. Trong ch-¬ng tÝch ph©n x¸c
®Þnh ta ®· tÝnh
π
2
x2 πab
S(D1 ) = b 1− 2
dx = ⇒ I = πab.
a 4
0


3. TÝnh tÝch ph©n
I2 = x2yz 3dxdydz,
V

trong ®ã V lµ elipx«it
x2 y 2 z 2
+ + 2 ≤ 1.
a2 b2 c
§Ó tÝnh tÝch ph©n I2 = x2 yz 3dxdydz, ta cã nhËn xÐt r»ng elipx«it V
V
nhËn mÆt ph¼ng xOy lµm mÆt ph¼ng ®èi xøng, V = V1 ∪ V2 , trong ®ã V1
lµ nöa trªn mÆt ph¼ng xOy vµ V2 lµ phÇn cßn l¹i, nöa d-íi. Hµm d-íi
dÊu tÝch ph©n (f (x, y, z) = x2yz 3 ) nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm
®èi xøng nhau qua mÆt ph¼ng xOy (hµm lÎ theo z)

f (x, y, z) = −f (x, y, −z) ∀(x, y, z) ∈ V.

Tõ tÝnh chÊt tÝch ph©n béi suy ra tÝch ph©n hµm f trªn V1 vµ V2 còng ®èi
nhau. VËy

x2 yz 3dxdydz = x2 yz 3dxdydz + x2yz 3dxdydz = 0.
V V1 V2
18 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n béi

Gi¶ sö f : M → R lµ hµm kh«ng ©m kh¶ tÝch trªn M ⊂ R2 . §å thÞ cña f th-êng
®-îc biÓu diÔn nh- mét mÆt cong trong kh«ng gian R3 . PhÇn kh«ng gian giíi
h¹n bëi mÆt cong ®ã, mÆt ph¼ng täa ®é z = 0 vµ mÆt trô víi M lµ ®¸y, ®-îc
gäi lµ h×nh trô cong øng víi hµm kh«ng ©m f . Do c¸c tæng Darboux d-íi S∗(F )
lµ tæng c¸c thÓ tÝch cña c¸c phÇn kh«ng gian n»m trong h×nh trô cong vµ tæng
Darboux trªn S ∗(F ) lµ tæng c¸c thÓ tÝch cña c¸c phÇn kh«ng gian chøa h×nh trô
cong, ®ång thêi f kh¶ tÝch trªn M hay lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ), suy ra h×nh trô
cong cã thÓ tÝch vµ thÓ tÝch h×nh trô cong, kÝ hiÖu V , b»ng gi¸ trÞ tÝch ph©n hµm
f trªn M
V = lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ) = f (x, y) dxdy.
M




H×nh 3.3: ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n



3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi
Trong thùc hµnh ta th-êng xuyªn ph¶i sö dông ®Þnh lÝ cùc k× quan träng sau
®©y. §Ó ®¬n gi¶n, tr-íc hÕt ta ph¸t biÓu vµ chøng minh cho tr-êng hîp n = 2,
viÖc chøng minh trong tr-êng hîp tæng qu¸t hoµn toµn t-¬ng tù dµnh cho b¹n
®äc.

§Þnh lÝ 3.4.1 (Fubini) Cho h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] vµ hµm f : H → R
kh¶ tÝch trªn ®ã. Gi¶ sö víi mäi x ∈ [a, b], tån t¹i tÝch ph©n x¸c ®Þnh
d
g(x) = f (x, y) dy.
c
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 19


Khi ®ã g(x) kh¶ tÝch trªn [a, b] ®ång thêi
b b d
g(x) dx = f (x, y) dy dx = f (x, y) dxdy.
a a c
H

TÝch ph©n hµm f (x, y) trªn h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] lµ tÝch ph©n kÐp vµ
kÝ hiÖu
b d
f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy.
a c
H

Chøng minh XÐt phÐp chia F bÊt k× h×nh ch÷ nhËt H.




H×nh 3.4: PhÐp chia l-íi h×nh hép

Gi¶ sö
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
c = y0 < y1 < · · · < ym = d
lµ c¸c phÐp chia ®o¹n [a, b] vµ [c, d] t-¬ng øng cña F . Chän ®iÓm

ξi ∈ [xi−1 , xi] i = 1, 2, ..., n

tïy ý, khi ®ã
d m yk
g(ξi ) = f (ξi , y) dy = f (ξi , y) dy.
c k=1 yk−1

Gäi mik vµ Mik lµ c¸c cËn trªn ®óng (sup) vµ cËn d-íi ®óng (inf) cña f trªn
c¸c h×nh ch÷ nhËt

[xi−1, xi ] × [yk−1 , yk ] i = 1, 2, ....n; k = 1, 2, ..., m.
20 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


Khi ®ã yk
mik (yk − yk−1 ) ≤ f (ξi , y) dy ≤ Mik (yk − yk−1 ).
yk−1

Suy ra
m m
mik (yk − yk−1 ) ≤ g(ξi ) ≤ Mik (yk − yk−1 ).
k=1 k=1

Nh©n c¸c vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy víi (xi − xi−1) råi céng chóng l¹i theo i ta
®-îc
n m n
mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ) ≤ g(ξi )(xi − xi−1 )
i=1 k=1 i=1
n m
≤ Mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ).
i=1 k=1

Trong bÊt ®¼ng thøc kÐp nµy
n m
mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ) = S∗ (F )
i=1 k=1

lµ tæng Darboux d-íi vµ
n m
Mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1) = S ∗ (F )
i=1 k=1

lµ tæng Darboux trªn cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . Theo gi¶ thiÕt hµm
f kh¶ tÝch trªn h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d], suy ra
b d
lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ) = f (x, y) dxdy
a c
n
khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) → 0. V× vËy tån t¹i lim i=1 g(ξi )(xi − xi−1 )
vµ b»ng
n b d
lim g(ξi )(xi − xi−1) = f (x, y) dxdy
i=1 a c

®iÒu nµy còng cã nghÜa lµ g(x) kh¶ tÝch trªn [a, b], ®ång thêi
b b d
g(x) dx = f (x, y) dxdy
a a c
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 21


hay
b d b d
f (x, y) dy dx = f (x, y) dxdy.
a c a c

®©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh.

NhËn xÐt r»ng gi¸ trÞ tÝch ph©n
d
g(x) = f (x, y) dy
c


trong ®Þnh lÝ còng chÝnh lµ diÖn tÝch thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua x, vu«ng
gãc víi trôc Ox vµ "h×nh hép cong". V× vËy ng-êi ta cßn kÝ hiÖu tÝch ph©n ®ã
b»ng S(x). (Xem h×nh vÏ d-íi).
d
S(x) = g(x) = f (x, y) dy.
c




H×nh 3.5: ThiÕt diÖn S(x)

Hoµn toµn t-¬ng tù ta cã kÕt qu¶ sau

§Þnh lÝ 3.4.2 Cho h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] vµ hµm f : H → R kh¶ tÝch
trªn ®ã. Gi¶ sö víi mäi y ∈ [c, d], tån t¹i tÝch ph©n x¸c ®Þnh
b
h(y) = f (x, y) dx.
a
22 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


Khi ®ã h(y) kh¶ tÝch trªn [c, d] ®ång thêi
d d b
h(y) dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dxdy.
c c a
H

Tõ hai ®Þnh lÝ trªn ta suy ra hÖ qu¶ sau
HÖ qu¶ 3.4.1 NÕu c¸c ®iÒu kiÖn cña hai ®Þnh lÝ trªn ®-îc tho¶ m·n, khi ®ã
b d d b
f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy
a c c a

vµ cïng b»ng tÝch ph©n kÐp
b d
f (x, y) dxdy.
a c

§Æc biÖt khi f (x, y) liªn tôc trªn H = [a, b] × [c, d], c¸c ®iÒu kiÖn cña hai ®Þnh
lÝ trªn lu«n tho¶ m·n.
Tr-êng hîp tæng qu¸t, ®Þnh lÝ Fubini ®-îc ph¸t biÓu nh- sau
§Þnh lÝ 3.4.3 Cho hµm f : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh hép H ⊂ Rn . Gi¶ sö
H = H × H” lµ tÝch §Ò c¸c hai h×nh hép: H lµ h×nh hép k chiÒu vµ H” n − k
chiÒu. Gi¶ sö tiÕp r»ng víi mäi y ∈ H”, tån t¹i tÝch ph©n

h(y) = f (x, y) dx.
H

Khi ®ã h(y) kh¶ tÝch trªn h×nh hép H”, ®ång thêi

f (x, y)dxdy = h(y)dy = f (x, y)dx dy.
H” H” H
H ×H”

T-¬ng tù nÕu víi mäi x ∈ H , tån t¹i tÝch ph©n

g(x) = f (x, y) dy.
H”

Khi ®ã g(x) kh¶ tÝch trªn h×nh hép H vµ

f (x, y)dxdy = g(x)dx = f (x, y)dy dx.
H H H”
H ×H”
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 23


VÝ dô 3.4.1

1. TÝnh tÝch ph©n
5 3
I1 = (5x2 y − 2y 3 ) dxdy.
2 1

Do hµm f (x, y) = 5x y − 2y liªn tôc trªn h×nh ch÷ nhËt D = [2, 5] × [1, 3]
2 3

suy ra f kh¶ tÝch trªn D. MÆt kh¸c víi mäi y ∈ [1, 3] tån t¹i tÝch ph©n x¸c
®Þnh
5
g(y) = (5x2y − 2y 3 ) dx = 195y − 6y 3
2

V× vËy theo ®Þnh lÝ Fubini
3 3
I1 = g(y) dy = (195y − 6y 3 ) dy = 660.
1 1

Chó ý r»ng tÝch ph©n I cã thÓ tÝnh theo biÕn y tr-íc, biÕn x sau
5 3 5
I1 = 5x2 y − 2y 3 dy dx = (20x2 − 40) dx = 660.
2 1 2


2. TÝnh tÝch ph©n
1 1
y
I2 = dxdy.
0 0 (1 + x2 + y 2)3
T-¬ng tù nh- vÝ dô trªn, hµm f (x, y) = √ y
liªn tôc trªn h×nh ch÷
(1+x2 +y 2 )3
nhËt D = [0, 1] × [0, 1] nªn f kh¶ tÝch trªn D. ¸p dông ®Þnh lÝ Fubini
1
y dy 1 1
g(x) = =√ −√ ,
0 (1 + x2 + y 2)3 1 + x2 2 + x2

nh- vËy √
1
1 1 2+ 2
I2 = √ −√ dx = ln √ .
0 1 + x2 2 + x2 1+ 3
3. TÝnh tÝch ph©n béi ba

I3 = (zy 2 + 2yx2) dxdydz,
H
24 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


trong ®ã H = [2, 3] × [0, 2] × [0, 1] lµ h×nh hép trong R3 . H×nh hép H th-êng
®-îc viÕt d-íi d¹ng

H = {(x, y, z) | 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1}.

¸p dông ®Þnh lÝ Fubini
3 2 1 3 2
y2
I3 = dx dy (zy 2 + 2yx2)dz = dx (2yx2 + )dy =
2 0 0 2 0 2
3
4 80
= (4x2 + )dx = .
2 3 3
4. TÝnh tÝch ph©n
x2
I4 = dxdy,
y2
D

trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®-êng th¼ng x = 2, y = x vµ
hypecbol xy = 1.
DÔ dµng nhËn thÊy
1
D = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x}.
x




H×nh 3.6: VÝ dô 3.4.1.4

Do miÒn D kh«ng lµ h×nh ch÷ nhËt, nªn ®Ó sö dông ®-îc c«ng thøc Fubini
®-a tÝch ph©n trªn vÒ c¸c tÝch ph©n x¸c ®Þnh, ta lång miÒn D vµo trong
h×nh ch÷ nhËt
1
H = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2}.
2
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 25


(H lµ h×nh ch÷ nhËt nhá nhÊt chøa miÒn D). Nh¾c l¹i r»ng

x2 x2
I4 = dxdy = χ (x, y) dxdy,
y2 y2 D
D H

trong ®ã

1 nÕu (x, y) ∈ D 1 nÕu 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x
1
χD (x, y) = =
0 nÕu (x, y) ∈ D
/ 0 nÕu (x, y) ∈ D
/

VËy theo ®Þnh lÝ Fubini
2 x 2
x2 x2 9
I4 = dxdy = dy dx = (x3 − x) dx = .
y2 1 1
x
y2 1 4
D



C¸c nhËn xÐt liªn quan tíi ®Þnh lÝ Fubini

1. Chó ý r»ng khi tÝnh tÝch ph©n béi trªn miÒn bÞ chÆn, ®Ó cã thÓ ¸p dông c«ng
thøc Fubini ng-êi ta th-êng sö dông ph-¬ng ph¸p trªn, tøc lµ lång miÒn lÊy
tÝch ph©n vµo mét h×nh hép H nµo ®ã

f (x)dx = f (x)χM (x) dx
M H

råi ¸p dông c«ng thøc Fubini ®-a vÒ c¸c tÝch ph©n x¸c ®Þnh ®¬n gi¶n h¬n. (§èi
víi tÝch ph©n béi ba c¸ch lµm còng t-¬ng tù nh- vÝ dô trªn).

Ch¼ng h¹n khi M ⊂ R2 lµ miÒn ph¼ng ®-îc x¸c ®Þnh bëi c¸c bÊt ®¼ng thøc

M = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)},

trong ®ã y1(x) vµ y2 (x) lµ c¸c hµm liªn tôc x¸c ®Þnh trªn [a, b]. B¹n ®äc cã thÓ tù
chøng minh M lµ tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Gi¶ thiÕt r»ng f : M → R lµ hµm
kh¶ tÝch trªn M. §Ó tÝnh tÝch ph©n

f (x, y) dxdy,
M
26 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi




H×nh 3.7: TÝch ph©n kÐp trªn tËp M

ta lång miÒn M vµo h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] (xem h×nh vÏ).

Khi ®ã
b d b y2 (x)
f (x, y) dxdy = f (x, y)χM (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy.
a c a y1 (x)
M


Trong vÝ dô 4, miÒn D ®-îc x¸c ®Þnh bëi c¸c bÊt ®¼ng thøc
1
D = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x}.
x
¸p dông c«ng thøc trªn
2 x 2
x2 x2 9
dxdy = dy dx = (x3 − x) dx = .
y2 1 1
x
y2 1 4
D

T-¬ng tù nÕu M ⊂ R2 lµ miÒn ph¼ng ®-îc x¸c ®Þnh bëi c¸c bÊt ®¼ng thøc

M = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)},

trong ®ã x1 (y) vµ x2(y) lµ c¸c hµm liªn tôc x¸c ®Þnh trªn [c, d]. Khi ®ã
d x2 (y)
f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx.
c x1 (y)
M
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 27


2. T-¬ng tù nÕu V ⊂ R3 lµ miÒn ®-îc x¸c ®Þnh bëi c¸c bÊt ®¼ng thøc

V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)},

khi ®ã

b y2 (x) z2 (x,y)
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx.
a y1 (x) z1 (x,y)
V




H×nh 3.8: TÝch ph©n béi ba trªn miÒn V

3. Tõ nhËn xÐt trªn nÕu miÒn V ⊂ R3 x¸c ®Þnh bëi c¸c bÊt ®¼ng thøc

V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)},

khi ®ã
M = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2 (x)}
lµ h×nh chiÕu cña V lªn mÆt ph¼ng xOy. V× vËy tÝch ph©n còng cã thÓ viÕt d-íi
d¹ng
z2 (x,y)
f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy.
z1 (x,y)
V M
28 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


Ngoµi ra nÕu kÝ hiÖu S(x) lµ thiÕt diÖn t¹o bëi V víi mÆt ph¼ng ®i qua x,
vu«ng gãc víi trôc Ox, khi ®ã
b
f (x, y, z) dxdydz = dx f (x, y, z) dydz.
a
V S(x)



VÝ dô 3.4.2
1. TÝnh tÝch ph©n béi ba

I= (x − 2y)dxdydz,
V

trong ®ã V lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c mÆt ph¼ng täa ®é vµ mÆt ph¼ng
x + y + z = 1. MiÒn V ®-îc x¸c ®Þnh bëi c¸c bÊt ®¼ng thøc
V = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}.
(Xem h×nh vÏ bªn d-íi).




H×nh 3.9: VÝ dô 3.4.2

¸p dông c«ng thøc trong nhËn xÐt trªn
1 1−x 1−x−y
I= (x − 2y)dz dy dx =
0 0 0
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 29

1 1−x
= dx (x − x2 − 2y + xy + 2y 2)dy =
0 0
1
1 3x 5x3 1
= − + − 2x2 + dx = − .
0 3 2 6 24
2. TÝnh tÝch ph©n
T = (x2 + y 2 + 2z)dxdydz,
V
trong ®ã V lµ elipx«it
x2 y 2 z 2
+ + 2 ≤ 1.
a2 b2 c
BiÓu diÔn tÝch ph©n cÇn tÝnh thµnh tæng cña ba tÝch ph©n

T = (x2 + y 2 + 2z)dxdydz = x2dxdydz+
V V


+ y 2dxdydz + 2zdxdydz.
V V

Tr-íc hÕt ta tÝnh T1
T1 = x2 dxdydz.
V

KÝ hiÖu S(x) lµ thiÕt diÖn t¹o bëi V vµ mÆt ph¼ng ®i qua x, vu«ng gãc víi
trôc Ox. Khi ®ã víi mçi x cè ®Þnh S(x) lµ mét elip
y2 z2
S(x) = {(y, z) | x2
+ x2
≤ 1}.
b2 (1 − a2
) c2 (1 − a2
)

¸p dông c«ng thøc
a a
2 2
x dxdydz = dx x dydz = x2 dx dydz.
−a −a
V S(x) S(x)

Do diÖn tÝch thiÕt diÖn S(x) (®Ó thuËn tiÖn ta còng kÝ hiÖu diÖn tÝch ®ã lµ
S(x)) b»ng tÝch π víi c¸c b¸n trôc cña elip
x2
S(x) = dydz = πbc 1 −
a2
S(x)
30 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


Suy ra
a
x2
T1 = x2 dxdydz = πbcx2 1 − dx =
−a a2
V
a
x4 4 3
= 2πbc x2 − dx = πa bc.
0 a2 15
Do vai trß cña x vµ y ®èi xøng víi nhau, t-¬ng tù
4
T2 = y 2dxdydz = πab3c.
15
V


§Ó tÝnh tÝch ph©n T3 = zdxdydz, ta cã nhËn xÐt r»ng elipx«it V nhËn
V
mÆt ph¼ng xOy lµm mÆt ph¼ng ®èi xøng, do vËy V = V1 ∪ V2 , trong ®ã
V1 lµ nöa trªn mÆt ph¼ng xOy vµ V2 lµ phÇn cßn l¹i, nöa d-íi. Hµm d-íi
dÊu tÝch ph©n (z) nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua
mÆt ph¼ng xOy. Tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n béi suy ra tÝch ph©n hµm z trªn
V1 vµ V2 còng ®èi nhau. VËy

T3 = zdxdydz = zdxdydz + zdxdydz = 0.
V V1 V2

Suy ra gi¸ trÞ tÝch ph©n cÇn t×m
4 3 4 4
T = πa bc + πab3c = πabc(a2 + b2 ).
15 15 15

Cuèi cïng ta ph¸t biÓu ®Þnh lÝ ®æi biÕn cña tÝch ph©n béi. §Þnh lÝ ®-îc diÔn
®¹t gièng nh- trong tr-êng hîp hµm mét biÕn, chóng ta thõa nhËn kh«ng chøng
minh ®Þnh lÝ nµy.

§Þnh lÝ 3.4.4 Cho hµm f : M → R kh¶ tÝch trªn tËp giíi néi M ⊂ Rn . Gäi
g : M → M lµ song ¸nh tõ M ⊂ Rn lªn M, kh¶ vi liªn tôc trªn tËp M . KÝ hiÖu
g (y) lµ Jacobien cña ¸nh x¹ g t¹i y ∈ M , |g (y)| = | det g (y)|, khi ®ã

f (x) dx = f (g(y))|g (y)| dy.
M M
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 31


Nh- vËy b»ng phÐp ®æi biÕn x = g(y), ta ®-a tÝch ph©n béi hµm f (x) trªn tËp
M vÒ tÝch ph©n béi trªn tËp M . ¸nh x¹ g ®-îc viÕt mét c¸ch chi tiÕt h¬n
g(y) = (g1 (y), g2(y), ..., gn(y))
trong ®ã gi : M → R víi mäi i = 1, 2, ..., n. Jacobien cña ¸nh x¹ g lµ ®Þnh thøc
∂g1 ∂g1 ∂g1
∂y1 ∂y2
··· ∂yn
∂g2 ∂g2 ∂g2
∂y1 ∂y2
··· ∂yn
det g (y) = .
···
∂gn ∂gn ∂gn
∂y1 ∂y2
··· ∂yn

XÐt tr-êng hîp ®Æc biÖt khi sö dông phÐp ®æi biÕn
x = Ay hay y = A−1 x,
trong ®ã A lµ ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh kh«ng suy biÕn, A−1 lµ ma trËn
nghÞch ®¶o cña A. ¸nh x¹ Ay ®ãng vai trß cña g : M → M trong ®Þnh lÝ trªn.
MÆt kh¸c ®¹o hµm cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh b»ng chÝnh nã
| det g (y)| = | det A| víi mäi y.
VËy
f (x) dx = f (Ay) · | det A| dy.
M M

L-u ý r»ng nÕu ta sö dông phÐp ®æi biÕn y = Bx hay x = B−1 y, trong ®ã B
lµ ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh kh«ng suy biÕn, chiÕu tËp M ⊂ Rn lªn tËp
M ⊂ Rn , khi ®ã
1
f (x) dx = f (B−1 y) · | det B−1 | dy = f (B−1 y) · dy.
| det B|
M M M

Mét c¸ch tæng qu¸t, nÕu ¸nh x¹ h : M → M lµ song ¸nh kh¶ vi liªn tôc trªn
tËp M, tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lÝ ®¹o hµm hµm ng-îc 1.3.7 th× phÐp
®æi biÕn y = h(x) hay x = h−1 (y) dÉn ®Õn c«ng thøc

f (x) dx = f (h−1 (y)) · | det h−1 (y)| dy
M M
1
= f (h−1 (y)) · dy. (3.1)
| det h (h−1 (y)) |
M
32 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi




VÝ dô 3.4.3
1. TÝnh tÝch ph©n

I= (x + 2y + 3)(3x + 5y)2 dxdy,
M

trong ®ã M lµ h×nh b×nh hµnh víi c¸c ®Ønh
A(−3, 2); B(−1, 1); C(−11, 7); D(−13, 8).

DÔ dµng nhËn thÊy c¸c c¹nh cña h×nh b×nh hµnh lµ c¸c ®-êng th¼ng
x + 2y − 1 = 0, x + 2y − 3 = 0, 3x + 5y − 1 = 0, 3x + 5y − 2 = 0
Sö dông phÐp ®æi biÕn u = 3x + 5y, v = x + 2y hay d-íi d¹ng ma trËn
u x 3 5 x
=B =
v y 1 2 y
Suy ra
x u 2 −5 u
= B−1 =
y v −1 3 v
x = 2u − 5v, y = −u + 3v.
Jacobien cña ¸nh x¹ b»ng
2 −5
det B−1 = = 1.
−1 3
MÆt kh¸c tõ ph-¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh b×nh hµnh ta dÔ dµng nhËn
thÊy ¸nh x¹ B biÕn ®æi h×nh b×nh hµnh M thµnh h×nh ch÷ nhËt
M = {(u, v) = {1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3}.
(Ng-îc l¹i B−1 lµ song ¸nh tõ h×nh ch÷ nhËt M lªn M). ¸p dông ®Þnh lÝ
®æi biÕn

I= (x + 2y + 3)(3x + 5y)2 dxdy = (v + 3)u2 · 1 dudv
M M
3 2 3
7(v + 3) 70
= dv (v + 3)u2 du = dv =
1 1 1 3 3
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 33


2. TÝnh tÝch ph©n
3
x y
+ dxdy
a b
D

trong ®ã D lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c trôc täa ®é vµ c¸c ®-êng cong

x y
+ =1 (a > 0, b > 0).
a b

Sö dông phÐp ®æi biÕn g = (x, y):

x = au cos4 t
y = bu sin4 t

Gäi D∗ lµ h×nh ch÷ nhËt
π
D∗ = {(u, t) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ t ≤ }.
2
HiÓn nhiªn g lµ song ¸nh tõ D∗ lªn D. Jacobien cña ¸nh x¹ g b»ng

a cos4 t −4au cos3 t sin t
J (u, t) = = 4abu sin3 t cos3 t
b sin4 t 4bu sin3 t cos t

VËy
3
x y 3
+ dxdy = u 2 |4abu sin3 t cos3 t|dudt =
a b
D D∗

π
1 2 3
= du u 2 4abu sin3 t cos3 t dt =
0 0
π
1
5 2 2
= 4ab u du ·
2 sin3 t cos3 t dt = ab.
0 0 21

3. T×m thÓ tÝch vËt thÓ V giíi h¹n bëi c¸c mÆt trô

xy = 1; xy = 4; y = 3x; y = 6x,

mÆt cong z = y
x
+ 5 vµ mÆt ph¼ng z = 0.
34 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi


Ta biÕt r»ng thÓ tÝch vËt thÓ
y
V = + 5 dxdy,
x
D

trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng cong
xy = 1; xy = 4; y = 3x; y = 6x,
trong mÆt ph¼ng z = 0. Sö dông phÐp ®æi biÕn u = xy, v = y
x
hay
1
−1 1 1
x=u v 2 2 ; y=u v .2 2



Ma trËn Jacobien cña ¸nh x¹ b»ng
∂x ∂x 1 −1 −2 1 1 3
∂u ∂v 2
u 2v − 1 u 2 v− 2
2
∂y ∂y = 1 −1 1 1 1 −1
∂u ∂v 2
u 2v2 2
u2 v 2
VËy ®Þnh thøc Jacobien cña ¸nh x¹ b»ng
1 −1 −1 1 3
2
u 2v 2 − 1 u 2 v− 2
2
1
det 1 −1 2 1 1 1 −1 = .
2
u 2v 2
u2 v 2 2v
MÆt kh¸c dÔ dµng nhËn thÊy ¸nh x¹ (x, y) lµ song ¸nh tõ h×nh ch÷ nhËt
D∗ = {(u, v) | 1 ≤ u ≤ 4, 3 ≤ v ≤ 6}
lªn D. ¸p dông ®Þnh lÝ ®æi biÕn
y 1
V = + 5 dxdy = (v + 5) dudv
x 2v
D D∗
4 6
v+5 3
= du dv = (5 ln 2 + 3).
1 3 2v 2
NhËn xÐt r»ng nÕu sö dông c«ng thøc (3.1), ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n th«ng
qua ma trËn Jacobien
∂u ∂u
y x 2y
h (x, y) = ∂x
∂v
∂y
∂v = −y 1 ⇒ det h h−1 (y) = = 2v.
∂x ∂y x2 x x y
→v
x

Theo (3.1),
y f (h−1 (y)) dy v+5 3
+ 5 dxdy = = dudv = (5 ln 2 + 3).
x | det h (h−1 (y)) | 2v 2
D D∗ D∗
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 35


4. TÝnh tÝch ph©n
I= (x + y + z)2 dxdydz,
M

trong ®ã M lµ h×nh hép xiªn giíi h¹n bëi c¸c mÆt ph¼ng

x+y +z = ±2, x+3y +z = 0, x+3y +z = 3, x−2y +2z = 1, x−2y +2z = 2.

Sö dông phÐp ®æi biÕn

u = x + y + z, v = x + 3y + z, t = x − 2y + 2z

hay d-íi d¹ng ma trËn
      
u x 1 1 1 x
 v  = A  y  = 1 3 1   y 
t z 1 −2 2 z

Jacobien cña ¸nh x¹ ®æi biÕn (¸nh x¹ tuyÕn tÝnh) b»ng
1 1
| det A−1 | = = víi mäi (u, v, t) ∈ M .
| det A| 2

DÔ dµng nhËn thÊy ¸nh x¹ A biÕn ®æi h×nh hép xiªn M thµnh h×nh hép
ch÷ nhËt

M = {(u, v, t) = {−2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3, 1 ≤ t ≤ 2}.

(Ng-îc l¹i A−1 lµ song ¸nh tõ M lªn M). ¸p dông ®Þnh lÝ ®æi biÕn

1
I= (x + y + z)2dxdydz = u2 · dudvdt = 8.
2
M M
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản