Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Chương 3: Tích phân bội

Chia sẻ: | Ngày: pdf 35 p | 247

2
1.656
views

Tài liệu dùng cho sinh viên trường Đại học xây dựng và sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng kĩ thuật

Chương 3: Tích phân bội
Nội dung Text

  1. MôC LôC 3 TÝch ph©n béi 3 3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1
  2. gi¶i tÝch II S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2
  3. Ch-¬ng 3 TÝch ph©n béi Trong ch-¬ng nµy chóng ta sÏ x©y dùng kh¸i niÖm vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n cho hµm thùc nhiÒu biÕn sè. Tr-íc hÕt chóng ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm "h×nh hép" ®· biÕt ®Õn ë ch-¬ng tr-íc. H×nh hép trong R lµ kho¶ng ®ãng [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} trong ®ã a, b ∈ R. Ng-êi ta th-êng nãi h×nh hép trong R lµ h×nh hép 1 chiÒu. H×nh hép trong Rn lµ tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng ®ãng trong R: H = [a1, b1 ] × [a2, b2] × · · · × [an, bn ] hay H = {x = (x1, x2, · · · , xn ) | ai ≤ xi ≤ bi }, víi mäi i = 1, .., n. Ta gäi h×nh hép trong Rn lµ h×nh hép n chiÒu. ThÓ tÝch cña h×nh hép n chiÒu H = [a1, b1] × [a2, b2 ] × · · · × [an , bn ], kÝ hiÖu λ(H) lµ tÝch cña c¸c ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng [ai, bi ]: λ(H) = (b1 − a1 )(b2 − a2)...(bn − an ) §Æc biÖt khi H1 = [a, b] lµ h×nh hép 1 chiÒu, thÓ tÝch cña H1 lµ ®é dµi cña ®o¹n [a, b]: λ(H1 ) = λ[a, b] = b − a. 3
  4. 4 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi NÕu H2 lµ h×nh hép 2 chiÒu H2 = [a1, b1 ] × [a2, b2], khi ®ã thÓ tÝch cña H2 λ(H2 ) = (b1 − a1)(b2 − a2) chÝnh lµ diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt H. Khi x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm mét biÕn chóng ta ®· nãi tíi phÐp chia kho¶ng [a, b] thµnh n kho¶ng nhá bëi c¸c ®iÓm chia xi thuéc [a, b] a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. B©y giê, tæng qu¸t h¬n chóng ta sÏ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm phÐp chia (theo kiÓu l-íi) h×nh hép n chiÒu H nãi trªn thµnh c¸c h×nh hép n chiÒu nhá h¬n trong H. H×nh 3.1: PhÐp chia l-íi h×nh hép Gäi T1 lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T1 = [xi, xi+1 ]) trong phÐp chia [a1, b1] thµnh m1 kho¶ng nhá, T2 còng lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T2 = [yj , yj+1]) trong phÐp chia [a2, b2 ] thµnh m2 kho¶ng nhá... T-¬ng tù ®èi víi Tn . Khi ®ã h×nh hép n chiÒu H ®-îc chia thµnh N = m1 m2 · · · mn h×nh hép (n chiÒu) nhá h¬n vµ Hi = T1 × T2 × · · · × Tn lµ mét trong c¸c h×nh hép nhá ®ã. HiÓn nhiªn N H= Hi . i=1
  5. 3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép 5 Trong ch-¬ng nµy khi nãi vÒ phÐp chia F mét h×nh hép nµo ®ã, chóng ta lu«n hiÓu lµ phÐp chia kiÓu l-íi nãi trªn. HiÓn nhiªn thÓ tÝch cña H b»ng tæng c¸c thÓ tÝch cña tÊt c¶ c¸c h×nh hép nhá N λ(H) = λ(Hi ). i=1 Chó ý r»ng còng nh- trong hµm mét biÕn, ng-êi ta kÝ hiÖu d(F ) lµ ®-êng kÝnh cña phÐp chia F . §-êng kÝnh ®ã lµ ®-êng kÝnh lín nhÊt trong sè tÊt c¶ c¸c ®-êng kÝnh cña h×nh hép nhá T1 × T2 × · · · × Tn cña phÐp chia F nãi trªn d(F ) = max{d(H1 ), d(H2 ), ..., d(HN )}. (§-êng kÝnh h×nh hép lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt gi÷a 2 ®iÓm cña h×nh hép ®ã). 3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép §Þnh nghÜa 3.1.1 Cho h×nh hép n chiÒu H ⊂ Rn vµ hµm f :H →R x¸c ®Þnh trªn H. Gäi F lµ mét phÐp chia l-íi bÊt k× h×nh hép H: N H= Hi , i=1 chän ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý thuéc Hi víi mäi i = 1, 2, ..., N . Khi ®ã kÝ hiÖu N S(F ) = f (ti )λ(Hi ) i=1 lµ tæng tÝch ph©n cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . NÕu tæng tÝch ph©n S(F ) tån t¹i giíi h¹n L vµ giíi h¹n ®ã h÷u h¹n khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕn tíi 0: N lim S(F ) = lim f (ti )λ(Hi ) = L, i=1
  6. 6 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi ta nãi hµm f kh¶ tÝch trªn H vµ kÝ hiÖu lim S(F ) = L = f (x) dx d(F )→0 H hoÆc lim S(F ) = L = ... f (x1 , x2, ..., xn) dx1 dx2 ...dxn. H Chó ý r»ng giíi h¹n lim S(F ) = L ®-îc hiÓu nh- sau: d(F )→0 Víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i δ = δ(ε) > 0 sao cho víi mäi phÐp chia h×nh hép H cã ®-êng kÝnh d(F ) < δ vµ mäi c¸ch chän c¸c ®iÓm ti ∈ Hi , ta cã N |S(F ) − L| = | f (ti )λ(Hi ) − L| < ε. i=1 (Chó ý r»ng sù tån t¹i giíi h¹n cña tæng tÝch ph©n S(F ) kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän c¸c ®iÓm ti tïy ý trong Hi ). VÝ dô XÐt tÝch ph©n hµm h»ng sè f (x) ≡ C víi ∀x ∈ H. Khi ®ã víi mäi phÐp m chia F : H = Hi , tæng tÝch ph©n i=1 m m S(F ) = f (ti )λ(Hi ) = Cλ(Hi ) = Cλ(H) i=1 i=1 kh«ng phô thuéc vµo F . VËy lim S(F ) = Cλ(H), hay Cdx = ... C dx1 dx2 ...dxn = Cλ(H). H H §Þnh nghÜa 3.1.2 Cïng víi c¸c kÝ hiÖu trong ®Þnh nghÜa trªn, ta ®Æt Mi = sup f (x) mi = inf f (x). x∈Hi x∈Hi Khi ®ã N S ∗(F ) = Mi λ(Hi ) i=1
  7. 3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch 7 N S∗ (F ) = mi λ(Hi ) i=1 ®-îc gäi lµ tæng Darboux trªn vµ tæng Darboux d-íi cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . Râ rµng víi mäi phÐp chia F S∗ (F ) ≤ S ∗(F ). §Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn (®-îc chøng minh t-¬ng tù nh- trong tÝch ph©n hµm mét biÕn) §Þnh lÝ 3.1.1 (§iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm kh¶ tÝch) NÕu f kh¶ tÝch trªn h×nh hép H, khi ®ã hµm f bÞ chÆn trªn H (tån t¹i sè K ∈ R ®Ó |f (x)| ≤ K víi mäi x ∈ H). Do ®Þnh lÝ trªn, trong ch-¬ng nµy tõ nay vÒ sau khi nãi vÒ c¸c hµm kh¶ tÝch, ta chØ xÐt nh÷ng hµm bÞ chÆn. 3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch Chóng ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm sau vÒ c¸c phÐp chia. §Þnh nghÜa 3.2.1 Gi¶ sö F vµ F lµ hai phÐp chia mét h×nh hép H. Ta nãi phÐp chia F mÞn h¬n phÐp chia F nÕu mäi h×nh hép con cña H øng víi phÐp chia F ®Òu n»m trong mét h×nh hép con nµo ®Êy øng víi phÐp chia F . §iÒu nµy t-¬ng ®-¬ng víi kh¼ng ®Þnh mäi h×nh hép con øng víi phÐp chia F lµ hîp cña c¸c h×nh hép con nµo ®ã øng víi phÐp chia F Hi = Hk . k:Hk ⊂Hi Tõ ®Þnh nghÜa trªn, suy ra r»ng nÕu phÐp chia F mÞn h¬n phÐp chia F , khi ®ã S∗ (F ) ≤ S∗ (F ) vµ S ∗ (F ) ≤ S ∗ (F ). Kh¼ng ®Þnh trªn suy ra tõ nhËn xÐt: nÕu A ⊂ B, khi ®ã inf f (x) ≤ inf f (x) vµ sup f (x) ≤ sup f (x). x∈B x∈A x∈A x∈B
  8. 8 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi §Þnh nghÜa 3.2.2 Gäi N1 (1) F1 : H= Hi i=1 N2 (2) F2 : H= Hj j=1 lµ hai phÐp chia h×nh hép H. Hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2 lµ phÐp chia míi h×nh hép H, kÝ hiÖu F1 ∪ F2 mµ mçi h×nh hép con cña phÐp chia míi b»ng giao cña hai h×nh hép con nµo ®ã øng víi hai phÐp chia F1, F2: (1) (2) Hi ∩ Hj . (1) (2) Hi lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F1 vµ Hj lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F2. N1 N2 (1) (2) F1 ∪ F2 : H= (Hi ∩ Hj ). i=1 j=1 TÝnh ®óng ®¾n cña ®Þnh nghÜa trªn suy ra tõ nhËn xÐt: giao cña hai h×nh hép hoÆc lµ tËp ∅ (tËp ∅ còng ®-îc coi lµ h×nh hép) hoÆc còng lµ h×nh hép. §ång thêi dÔ dµng suy ra r»ng hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2 lµ phÐp chia mÞn h¬n c¶ F1 vµ F2 . §Þnh lÝ 3.2.1 Víi F1 vµ F2 lµ hai phÐp chia bÊt k× h×nh hép H, duy tr× c¸c kÝ hiÖu nh- trong §Þnh nghÜa 2, khi ®ã S∗ (F1) ≤ S ∗ (F2). Chøng minh XÐt phÐp chia T lµ hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2, theo nhËn xÐt trªn phÐp chia T mÞn h¬n c¶ F1 vµ F2 , suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh S∗(F1 ) ≤ S∗ (T ) ≤ S ∗(T ) ≤ S ∗(F2 ). Ta dÉn vµo c¸c kÝ hiÖu I∗ = sup S∗(F ) I ∗ = inf S ∗ (F ) lµ c¸c cËn trªn ®óng vµ cËn d-íi ®óng cña c¸c tæng tÝch ph©n hµm f víi mäi phÐp chia F cã thÓ cã cña h×nh hép H. (Ng-êi ta cßn gäi I ∗ vµ I∗ lµ tÝch ph©n trªn, tÝch ph©n d-íi cña hµm f ). Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau
  9. 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 9 §Þnh lÝ 3.2.2 (§Þnh lÝ Darboux) I∗ = lim S∗ (F ) vµ I ∗ = lim S ∗(F ) khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕn tíi 0. Tõ ®Þnh lÝ trªn, ta cã hÖ qu¶ HÖ qu¶ 3.2.1 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm bÞ chÆn f : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh hép H lµ I∗ = I ∗ hoÆc diÔn ®¹t d-íi d¹ng kh¸c t-¬ng ®-¬ng: Víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i mét phÐp chia F sao cho S ∗ (F ) − S∗(F ) < ε. Chøng minh §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ, ta gäi I = I∗ = I ∗ lµ gi¸ trÞ chung cña tÝch ph©n trªn, tÝch ph©n d-íi hµm f . Theo §Þnh lÝ Darboux, víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i δ = δ(ε) > 0 sao cho víi mäi phÐp chia h×nh hép H cã ®-êng kÝnh d(F ) < δ, ta cã |S∗(F ) − I| < ε vµ |S ∗ (F ) − I| < ε. Víi phÐp chia F nh- vËy vµ chän c¸c ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý, do tæng tÝch ph©n S(F ) tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc S∗ (F ) ≤ S(F ) ≤ S ∗ (F ), suy ra |S(F ) − I| < ε. §iÒu ®ã chøng minh f kh¶ tÝch trªn h×nh hép H ®ång thêi f (x) dx = I (= I∗ = I ∗). H §Þnh lÝ trªn tr×nh bµy t- t-ëng x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn bÊt k×. Tuy ®Þnh lÝ ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch song trong thùc tÕ ®iÒu kiÖn ®ñ ®ã rÊt khã kiÓm tra. §Þnh lÝ sau ®-a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®¬n gi¶n vµ dÔ kiÓm tra h¬n (c¸ch chøng minh nh- trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn). §Þnh lÝ 3.2.3 NÕu hµm f bÞ chÆn vµ liªn tôc trªn h×nh hép H ⊂ Rn , khi ®ã f kh¶ tÝch. H¬n n÷a nÕu tËp hîp c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f lµ h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®-îc, th× f còng kh¶ tÝch trªn h×nh hép H. NhËn xÐt r»ng nÕu f lµ hµm thùc mét biÕn (n = 1) ®¬n ®iÖu (t¨ng hoÆc gi¶m) trªn ®o¹n [a, b], khi ®ã tËp c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f kh«ng qu¸ ®Õm ®-îc, suy ra f kh¶ tÝch trªn [a, b]. Líp c¸c hµm kh¶ tÝch kh¸ réng. HÇu hÕt c¸c hµm bÞ chÆn ta th-êng gÆp lµ c¸c hµm kh¶ tÝch.
  10. 10 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi B©y giê chóng ta sÏ më réng kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn mét miÒn giíi néi (bÞ chÆn) bÊt k×. ChÝnh x¸c h¬n ta chØ x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn mét miÒn ®o ®-îc d¹ng Jordan. XÐt tËp M ⊂ Rn lµ tËp hîp bÞ chÆn trong Rn , khi ®ã tån t¹i mét h×nh hép H chøa tËp M. Gi¶ sö I1 , I2, ..., Ik, ..., IN Ik ⊂ H k = 1, 2, ..., N lµ c¸c h×nh hép ®«i mét kh«ng cã ®iÓm chung trong vµ N Ik ⊂ M k=1 LËp tæng c¸c thÓ tÝch c¸c h×nh hép Ik vµ kÝ hiÖu λ∗ (M) lµ cËn trªn ®óng cña tÊt c¶ c¸c tæng ®ã N λ∗ (M) = sup λ(Ik ) ∪N Ik ⊂M k=1 k=1 T-¬ng tù gi¶ sö Ik , Ik ⊂ H k = 1, 2, ..., K lµ c¸c h×nh hép ®«i mét kh«ng cã ®iÓm chung trong vµ K Ik ⊃ M. k=1 KÝ hiÖu K λ∗ (M) = inf λ(Ik ). ∪K Ik ⊃M k=1 k=1 Chó ý r»ng tr-êng hîp kh«ng tån t¹i mét h×nh hép nµo ®-îc chøa trong M, khi ®ã theo quy -íc λ∗ (M) = 0. HiÓn nhiªn λ∗ (M) ≤ λ∗ (M). Ta cã ®Þnh nghÜa sau §Þnh nghÜa 3.3.1 Mét tËp M bÞ chÆn ®-îc gäi lµ ®o ®-îc d¹ng Jordan nÕu λ∗ (M) = λ∗ (M). Khi ®ã gi¸ trÞ chung cña chóng λ∗ (M) = λ∗ (M) ®-îc gäi lµ ®é ®o Jordan cña tËp M (ng-êi ta cßn gäi t¾t lµ thÓ tÝch cña M), kÝ hiÖu λ(M) = λ∗ (M) = λ∗ (M).
  11. 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 11 NhËn xÐt r»ng nÕu M lµ h×nh hép khi ®ã ®é ®o Jordan cña M chÝnh lµ thÓ tÝch cña h×nh hép ®ã. Ta cã thÓ chøng minh r»ng (dµnh cho ®éc gi¶) c¸c ®a gi¸c, h×nh trßn, h×nh elip, h×nh cÇu, ... lµ c¸c tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Nãi chung c¸c tËp hîp "th«ng th-êng" (c¸c tËp hîp th-êng gÆp) lµ c¸c tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Tuy nhiªn ta xÐt mét vÝ dô vÒ tËp hîp kh«ng ®o ®-îc d¹ng Jordan. KÝ hiÖu A lµ tËp c¸c sè h÷u tØ trªn ®o¹n [0, 1] (xÐt trong tËp c¸c sè thùc R). HiÓn nhiªn kh«ng tån t¹i mét h×nh hép (®o¹n th¼ng) nµo ®-îc chøa trong A, suy ra λ∗ (A) = 0. Trong khi ®o¹n th¼ng (h×nh hép mét chiÒu) bÐ nhÊt chøa A lµ ®o¹n [0, 1], nãi c¸ch kh¸c λ∗ (A) = 1. VËy tËp c¸c sè h÷u tØ trªn ®o¹n [0, 1] kh«ng ®o ®-îc d¹ng Jordan. Gäi H lµ h×nh hép chøa tËp M vµ xÐt phÐp chia F h×nh hép ®ã: N F : H= Hi i=1 DÔ dµng nhËn thÊy λ∗ (M) = sup σ∗(F ), trong ®ã σ∗(F ) = λ(Hk ) k:Hk ⊂M vµ λ∗ (M) = inf σ ∗(F ), trong ®ã σ ∗(F ) = λ(Hk ). k: Hk ⊃M k T-¬ng tù nh- ®Þnh lÝ Darboux, ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng λ∗ (M) = lim σ∗(F ) vµ λ∗ (M) = lim σ ∗(F ). Ta dÉn vµo kÝ hiÖu 1 nÕu x ∈ M χM (x) = 0 nÕu x ∈ M / Hµm χM : Rn → R ®Þnh nghÜa ë trªn ®-îc gäi lµ hµm ®Æc tr-ng cña M. B©y giê ta xÐt tÝch ph©n hµm ®Æc tr-ng χM (x) trªn h×nh hép H. DÔ dµng chøng minh ®-îc λ∗ (M) vµ λ∗ (M) b»ng tÝch ph©n trªn vµ tÝch ph©n d-íi t-¬ng øng cña hµm ®Æc tr-ng χM (x). V× vËy ®Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn
  12. 12 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi §Þnh lÝ 3.3.1 TËp bÞ chÆn M ⊂ Rn ®o ®-îc d¹ng Jordan khi vµ chØ khi hµm ®Æc tr-ng χM : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh hép H nµo ®ã chøa M. Khi ®ã thÓ tÝch (®é ®o Jordan) cña M b»ng: λ(M) = χM (x) dx. H NhËn xÐt r»ng tÝch ph©n trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän h×nh hép H chøa M. Tõ ®Þnh lÝ nµy suy ra hîp (giao) cña h÷u h¹n tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan còng lµ tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Ngoµi ra nÕu A, B lµ hai tËp hîp rêi nhau A ∩ B = ∅ trong Rn , hiÓn nhiªn χA∪B = χA + χB . Ta cã kÕt qu¶ sau §Þnh lÝ 3.3.2 NÕu M1, M2 , ..., Mk lµ c¸c tËp hîp ®o ®-îc vµ ®«i mét rêi nhau, khi k ®ã Mi còng ®o ®-îc d¹ng Jordan, ®ång thêi i=1 k k λ( Mi ) = λ(Mi ). i=1 i=1 TÝch ph©n trªn tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan B©y giê chóng ta cã thÓ dÉn vµo kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Cho hµm f : M → R x¸c ®Þnh trªn tËp bÞ chÆn vµ ®o ®-îc d¹ng Jordan. Gäi H lµ h×nh hép nµo ®ã chøa M. Ta më réng ¸nh x¹ f lªn h×nh hép H b»ng ¸nh x¹ f ∗ : H → R f (x) nÕu x ∈ M f ∗ (x) = 0 nÕu x ∈ H\M Nh- vËy f chÝnh lµ thu hÑp ¸nh x¹ f ∗ lªn tËp M vµ f trªn M f∗ = 0 trªn H\M Ta cã ®Þnh nghÜa sau
  13. 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 13 §Þnh nghÜa 3.3.2 Ta nãi f kh¶ tÝch trªn tËp bÞ chÆn vµ ®o ®-îc M, nÕu hµm f ∗ kh¶ tÝch trªn H. Khi ®ã f (x)dx = f ∗ (x)dx = f (x)χM (x) dx. M H H Chó ý r»ng tÝch ph©n hµm f trong ®Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän h×nh hép H chøa M. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi TÝch ph©n trªn tËp bÞ chÆn cã c¸c tÝnh chÊt ®¬n gi¶n sau ®©y (t-¬ng tù tÝch ph©n hµm mét biÕn, b¹n ®äc tù chøng minh) 1. TËp M lµ tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan trong Rn . Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm kh¶ tÝch trªn ®ã, khi ®ã (a) Víi mäi α ∈ R, αf còng kh¶ tÝch trªn M vµ αf (x)dx = α f (x)dx. M M (b) f + g còng kh¶ tÝch trªn M vµ (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. M M M 2. NÕu M = M1 ∪ M2 lµ hîp cña hai tËp ®o ®-îc rêi nhau, khi ®ã f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. M M1 M2 3. ThÓ tÝch cña tËp M b»ng λ(M) = 1 dx. M 4. NÕu f (x) ≤ g(x) víi mäi x ∈ M, khi ®ã f (x)dx ≤ g(x)dx. M M
  14. 14 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 5. Víi f kh¶ tÝch trªn M, f (x)dx ≤ |f (x)|dx. M M 6. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ sau (cßn ®-îc gäi lµ ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung b×nh) Gi¶ sö f liªn tôc trªn tËp liªn th«ng D ⊂ Rn vµ D ®o ®-îc d¹ng Jordan, khi ®ã tån t¹i mét ®iÓm c ∈ D sao cho f (x)dx = λ(D)f (c). D Chó ý r»ng tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn th-êng ®-îc gäi lµ tÝch ph©n béi, tÝch ph©n hµm hai biÕn ®-îc gäi lµ tÝch ph©n kÐp, tÝch ph©n hµm ba biÕn ®-îc gäi lµ tÝch ph©n béi ba. TÝch ph©n c¸c hµm ch½n, lÎ trªn miÒn ®èi xøng Ta cã nhËn xÐt quan träng sau ®©y vÒ tÝch ph©n c¸c hµm ch½n, lÎ trªn miÒn ®èi xøng. 1. Gi¶ thiÕt tËp M ⊂ R2 nhËn ®-êng th¼ng y = 0 lµm trôc ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y) kh¶ tÝch trªn M vµ nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = 0 f (x, y) = −f (x, −y) víi mäi (x, y) ∈ M. (Ta cßn nãi f lµ hµm lÎ theo biÕn y). Khi ®ã I= f (x, y) dxdy = 0. M ThËt vËy tËp M cã thÓ ph©n tÝch thµnh hîp cña hai tËp rêi nhau M = M1 ∪ M2 , trong ®ã M1 thuéc nöa trªn cña mÆt ph¼ng xOy (y ≥ 0) vµ M2 thuéc nöa d-íi cña mÆt ph¼ng ®ã. (Xem h×nh vÏ d-íi ®©y). Theo tÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi nªu trªn f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy. M M1 M2
  15. 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 15 H×nh 3.2: MiÒn ®èi xøng Tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n béi lËp c¸c tæng tÝch ph©n cña hai tÝch ph©n nãi trªn, nÕu ta sö dông c¸c phÐp chia ®èi xøng vµ chän c¸c c¸c ®iÓm ti = (ξi , ηi ) còng ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = 0, suy ra c¸c tæng tÝch ph©n t-¬ng øng lµ c¸c sè ®èi nhau N N (1) (1) S(F1) = f (ξi , ηi )λ(Hi ) =− f (ξi , −ηi)λ(Hi ) = −S(F2). i=1 i=1 Do vËy khi chuyÓn qua giíi h¹n, gi¸ trÞ cña c¸c tÝch ph©n còng ®èi nhau f (x, y)dxdy = − f (x, y)dxdy. M1 M2 Suy ra tÝch ph©n cÇn tÝnh b»ng 0 I= f (x, y)dxdy = 0. M LËp luËn t-¬ng tù nÕu tËp M ⊂ R2 nhËn ®-êng th¼ng y = 0 lµm trôc ®èi xøng, hµm f (x, y) kh¶ tÝch trªn M vµ f (x, y) lµ hµm ch½n theo biÕn y, khi ®ã f (x, y)dxdy = 2 f (x, y)dxdy (∗) M M1 (M lµ hîp cña 2 tËp ®èi xøng nhau qua trôc hoµnh M = M1 ∪ M2 , hµm f lµ hµm ch½n theo biÕn y: f (x, y) = f (x, −y) ∀(x, y) ∈ M.)
  16. 16 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 2. Ta còng nhËn ®-îc kÕt qu¶ t-¬ng tù nÕu tËp M nhËn ®-êng th¼ng x = 0 (trôc tung) lµm trôc ®èi xøng (hoÆc gèc täa ®é O lµm t©m ®èi xøng), hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y) lµ hµm lÎ theo x, kh¶ tÝch trªn M f (x, y) = −f (−x, y) ∀(x, y) ∈ M. (hoÆc f (x, y) = −f (−x, −y) ∀(x, y) ∈ M). Khi ®ã I= f (x, y)dxdy = 0. M Tr-êng hîp f (x, y) lµ hµm ch½n theo biÕn x, b¹n ®äc tù rót ra c¸c kÕt qu¶ t-¬ng tù nh- trong ®¼ng thøc (∗). 3. C¸c kÕt qu¶ trªn còng cã thÓ më réng sang tÝch ph©n béi ba. Ch¼ng h¹n ta xÐt tËp M ⊂ R3 nhËn mÆt ph¼ng z = 0 (mÆt ph¼ng xOy) lµm mÆt ph¼ng ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y, z) lµ hµm lÎ theo z, kh¶ tÝch trªn M. Khi ®ã f (x, y, z)dxdydz = 0. M VÝ dô 3.3.1 1. TÝnh tÝch ph©n x2 + y 2 I1 = xy 4a2 − x2 − y 2 − dxdy, 2a D trong ®ã miÒn D lµ h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 2a2. Ta nhËn xÐt r»ng D nhËn ®-êng th¼ng x = 0 (trôc tung trong mÆt ph¼ng xOy) lµm trôc ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n x2 + y 2 f (x, y) = xy 4a2 − x2 − y 2 − 2a kh¶ tÝch trªn h×nh trßn D vµ lµ hµm lÎ ®èi víi biÕn x (nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng x = 0) f (x, y) = −f (−x, y) víi mäi (x, y) ∈ D. Suy ra I1 = 0.
  17. 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 17 2. TÝnh tÝch ph©n I = dxdy, víi D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi elip D x2 y 2 + 2 = 1. a2 b MiÒn D nhËn c¸c trôc täa ®é lµm trôc ®èi xøng, theo tÝnh chÊt cña tÝch ph©n kÐp I= dxdy = 4 dxdy = 4S(D1 ), D D1 S(D1 ) b»ng mét phÇn t- diÖn tÝch cña elip. Trong ch-¬ng tÝch ph©n x¸c ®Þnh ta ®· tÝnh π 2 x2 πab S(D1 ) = b 1− 2 dx = ⇒ I = πab. a 4 0 3. TÝnh tÝch ph©n I2 = x2yz 3dxdydz, V trong ®ã V lµ elipx«it x2 y 2 z 2 + + 2 ≤ 1. a2 b2 c §Ó tÝnh tÝch ph©n I2 = x2 yz 3dxdydz, ta cã nhËn xÐt r»ng elipx«it V V nhËn mÆt ph¼ng xOy lµm mÆt ph¼ng ®èi xøng, V = V1 ∪ V2 , trong ®ã V1 lµ nöa trªn mÆt ph¼ng xOy vµ V2 lµ phÇn cßn l¹i, nöa d-íi. Hµm d-íi dÊu tÝch ph©n (f (x, y, z) = x2yz 3 ) nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua mÆt ph¼ng xOy (hµm lÎ theo z) f (x, y, z) = −f (x, y, −z) ∀(x, y, z) ∈ V. Tõ tÝnh chÊt tÝch ph©n béi suy ra tÝch ph©n hµm f trªn V1 vµ V2 còng ®èi nhau. VËy x2 yz 3dxdydz = x2 yz 3dxdydz + x2yz 3dxdydz = 0. V V1 V2
  18. 18 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n béi Gi¶ sö f : M → R lµ hµm kh«ng ©m kh¶ tÝch trªn M ⊂ R2 . §å thÞ cña f th-êng ®-îc biÓu diÔn nh- mét mÆt cong trong kh«ng gian R3 . PhÇn kh«ng gian giíi h¹n bëi mÆt cong ®ã, mÆt ph¼ng täa ®é z = 0 vµ mÆt trô víi M lµ ®¸y, ®-îc gäi lµ h×nh trô cong øng víi hµm kh«ng ©m f . Do c¸c tæng Darboux d-íi S∗(F ) lµ tæng c¸c thÓ tÝch cña c¸c phÇn kh«ng gian n»m trong h×nh trô cong vµ tæng Darboux trªn S ∗(F ) lµ tæng c¸c thÓ tÝch cña c¸c phÇn kh«ng gian chøa h×nh trô cong, ®ång thêi f kh¶ tÝch trªn M hay lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ), suy ra h×nh trô cong cã thÓ tÝch vµ thÓ tÝch h×nh trô cong, kÝ hiÖu V , b»ng gi¸ trÞ tÝch ph©n hµm f trªn M V = lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ) = f (x, y) dxdy. M H×nh 3.3: ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi Trong thùc hµnh ta th-êng xuyªn ph¶i sö dông ®Þnh lÝ cùc k× quan träng sau ®©y. §Ó ®¬n gi¶n, tr-íc hÕt ta ph¸t biÓu vµ chøng minh cho tr-êng hîp n = 2, viÖc chøng minh trong tr-êng hîp tæng qu¸t hoµn toµn t-¬ng tù dµnh cho b¹n ®äc. §Þnh lÝ 3.4.1 (Fubini) Cho h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] vµ hµm f : H → R kh¶ tÝch trªn ®ã. Gi¶ sö víi mäi x ∈ [a, b], tån t¹i tÝch ph©n x¸c ®Þnh d g(x) = f (x, y) dy. c
  19. 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 19 Khi ®ã g(x) kh¶ tÝch trªn [a, b] ®ång thêi b b d g(x) dx = f (x, y) dy dx = f (x, y) dxdy. a a c H TÝch ph©n hµm f (x, y) trªn h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] lµ tÝch ph©n kÐp vµ kÝ hiÖu b d f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy. a c H Chøng minh XÐt phÐp chia F bÊt k× h×nh ch÷ nhËt H. H×nh 3.4: PhÐp chia l-íi h×nh hép Gi¶ sö a = x0 < x1 < · · · < xn = b c = y0 < y1 < · · · < ym = d lµ c¸c phÐp chia ®o¹n [a, b] vµ [c, d] t-¬ng øng cña F . Chän ®iÓm ξi ∈ [xi−1 , xi] i = 1, 2, ..., n tïy ý, khi ®ã d m yk g(ξi ) = f (ξi , y) dy = f (ξi , y) dy. c k=1 yk−1 Gäi mik vµ Mik lµ c¸c cËn trªn ®óng (sup) vµ cËn d-íi ®óng (inf) cña f trªn c¸c h×nh ch÷ nhËt [xi−1, xi ] × [yk−1 , yk ] i = 1, 2, ....n; k = 1, 2, ..., m.
  20. 20 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi Khi ®ã yk mik (yk − yk−1 ) ≤ f (ξi , y) dy ≤ Mik (yk − yk−1 ). yk−1 Suy ra m m mik (yk − yk−1 ) ≤ g(ξi ) ≤ Mik (yk − yk−1 ). k=1 k=1 Nh©n c¸c vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy víi (xi − xi−1) råi céng chóng l¹i theo i ta ®-îc n m n mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ) ≤ g(ξi )(xi − xi−1 ) i=1 k=1 i=1 n m ≤ Mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ). i=1 k=1 Trong bÊt ®¼ng thøc kÐp nµy n m mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ) = S∗ (F ) i=1 k=1 lµ tæng Darboux d-íi vµ n m Mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1) = S ∗ (F ) i=1 k=1 lµ tæng Darboux trªn cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . Theo gi¶ thiÕt hµm f kh¶ tÝch trªn h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d], suy ra b d lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ) = f (x, y) dxdy a c n khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) → 0. V× vËy tån t¹i lim i=1 g(ξi )(xi − xi−1 ) vµ b»ng n b d lim g(ξi )(xi − xi−1) = f (x, y) dxdy i=1 a c ®iÒu nµy còng cã nghÜa lµ g(x) kh¶ tÝch trªn [a, b], ®ång thêi b b d g(x) dx = f (x, y) dxdy a a c
Đồng bộ tài khoản