Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp

Chia sẻ: vanhabg

Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả....

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp

Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính

Nguyễn Thủy Thanh

Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 132-176.


Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss,
Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần
nhất.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
Chu.o.ng 4

Hˆ phu.o.ng tr`
e
. ´
ınh tuyˆn t´
e ınh


4.1 Hˆ n phu.o.ng tr`
e. ınh v´.i n ˆn c´ dinh th´.c
o ’ o .
a u
kh´c 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
a
4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . . . . . . . 133
a a
.
4.1.2 Phu.o.ng ph´p Cramer . . . . . . . . . . . . 134
a
4.1.3 Phu.o.ng ph´p Gauss . . . . . . . . . . . . . 134
a
4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr`
e u ´ a
. ´
ınh tuyˆn t´
e ınh . . . 143
4.3 Hˆ phu.o.ng tr`
e
. ´
ınh tuyˆn t´ ` ´
e ınh thuˆn nhˆt . . 165
a a




4.1 Hˆ n phu.o.ng tr`
e
. ınh v´.i n ˆn c´ dinh
o a’ o .
th´.c kh´c 0
u a
Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ trˆn tru.`.ng sˆ P du.o.c goi l` hˆ Cramer1
e. ınh ´
e ınh e o ´
o . . a e .
´u sˆ phu.o.ng tr` b˘ng sˆ ˆn v` dinh th´.c cua ma trˆn co. ban (ma
nˆ o
e ´ ınh a` o ’
´a a . u ’ a
. ’
. . ´
a e o ’ e a a
trˆn hˆ sˆ) cua hˆ l` kh´c khˆng.
. o
1
G. Cramer (1704-1752) l` nh` to´n hoc Thuy S˜
a a a . . ı.
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 133


Hˆ Cramer c´ dang
e
. o .

a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = h1 ,


a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = h2 ,
(4.1)
... ... ... ... ... ...  


an1 x1 + an2x2 + · · · + ann xn = hn
hay du.´.i dang ma trˆn
o . a
.
AX = H (4.2)

trong d´
o
     
a11 a12 . . . a1n x1 h1
     
 a21 a22 . . . a2n   x2   h2 
A=
 . . , X =  . , H= . 
· · · .
.
..
. . 
. 
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann xn hn
ho˘c
a
.
       
a11 a12 a1n h1
       
 a21   a22  a  h 
 .  x1 +  .  x2 + · · · +  2n  xn =  .2  .
 .   .   .  .
 .   .   . 
. .
an1 an2 ann hn

4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn
a a
.
V` detA = 0 nˆn tˆn tai ma trˆn nghich dao A−1. Khi d´ t`. (4.2) ta
ı e ` .
o a
. . ’ o u
thu du.o.c
.
A−1 AX = A−1 H ⇒ EX = X = A−1H.

a e
. . e
. ´
Vˆy hˆ nghiˆm duy nhˆt l`
a a

X = A−1 H. (4.3)

Tuy nhiˆn viˆc t`m ma trˆn nghich dao n´i chung l` rˆt ph´.c tap nˆu
e e ı
. a
. . ’ o a a´ u . ´
e
cˆp cua ma trˆn A l´.n.
´
a ’ a
. o
134 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


4.1.2 Phu.o.ng ph´p Cramer
a
Nghiˆm duy nhˆt cua hˆ Cramer du.o.c x´c dinh theo cˆng th´.c
e
. ´ ’
a e
. . a . o u
Cramer:
det(Aj )
xj = , j = 1, n (4.4)
detA
trong d´ Aj l` ma trˆn thu du.o.c t`. ma trˆn A b˘ng c´ch thay cˆt
o a a. . u a
. `
a a o
.
th´
u. j bo.i cˆt c´c hˆ sˆ tu. do H, v` c´c cˆt kh´c gi˜. nguyˆn.
’ o a e o . ´ a a o a u e
. . .


4.1.3 Phu.o.ng ph´p Gauss
a
Nˆi dung chu yˆu cua phu.o.ng ph´p Gauss (hay thuˆt to´n Gauss) l`
o
. ’ e ’ ´ a a
. a a
’. liˆn tiˆp c´c ˆn cua hˆ. Thuˆt to´n Gauss du.a trˆn c´c ph´p biˆn
khu e e a a ’ e ´ ’ a a e a e ´
e
. . .
o’
dˆi so a e. cˆp hˆ phu.o.ng tr`
´ . ınh. D´ l` c´c ph´p biˆn dˆi:
o a a e ´ ’
e o
1+ Nhˆn mˆt phu.o.ng tr`nh n`o d´ cua hˆ v´.i mˆt sˆ kh´c 0.
a o
. ı a o ’ e o . . ´
o o a
+
2 Thˆm v`o mˆt phu
e a o .o.ng tr` n`o d´ cua hˆ mˆt phu.o.ng tr`
ınh a o ’ e o ınh
. . .
kh´c nhˆn v´.i mˆt sˆ t`y y.
a a o . ´
o o u ´
3+ Dˆi chˆ hai phu.o.ng tr`nh cua hˆ.
o ’ ˜ o ı ’ e .
Dinh l´. Moi ph´p biˆn dˆi so. cˆp thu.c hiˆn trˆn hˆ phu.o.ng tr`nh
-. y . e ´
e o ’ ´
a . e
. e e . ı
`
(4.1) dˆu du e
e .a dˆn mˆt hˆ phu.o.ng tr` m´.i tu.o.ng du.o.ng.
´ o e ınh o
. .
Viˆc thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn hˆ phu.o.ng tr`nnh
e. . e a
. e ´
e o ’ a´ e e
. ı
(4.1) thu .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng
´
a a . e a e ´
e o ’ ´
a e a a
. .

cua ma trˆn mo o a . rˆng cua hˆ.
’ . ’ e
. .
Do d´ sau mˆt sˆ o
o o o
. ´ bu.´.c biˆn dˆi ta thu du.o.c hˆ (4.1) tu.o.ng du.o.ng
´ ’
e o . e .
.i hˆ tam gi´c
v´ e
o . a

b11x1 + b12x2 + · · · + b1n xn = h1  

b22x2 + · · · + b2n xn = h2 
... ... ... 


bnn xn = hn

T`. d´ r´t ra xn , xn−1 , . . . , x2 , x1.
u o u
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 135


CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau b˘ng phu.o.ng ph´p ma trˆn
ı . ’ a e . ınh `
a a a.

x1 + x2 + x3 = 4,
1) x1 + 2x2 + 4x3 = 4, (4.5)


x1 + 3x2 + 9x3 = 2.

3x1 + 2x2 − x3 = 1,
2) x1 + x2 + 2x3 = 2, (4.6)


2x1 + 2x2 + 5x3 = 3.

Giai. 1) Ta k´ hiˆu
y e .
     
1 1 1 x1 4
     
A = 1 2 4 , X =  x2  , H = 4 .
1 3 9 x3 2
Khi d´ phu.o.ng tr` (4.5) c´ dang
o ınh o .

AX = H.

e o a
. . ’ a
V` detA = 2 = 0 nˆn A c´ ma trˆn nghich dao v` do vˆy hˆ (4.5) c´
ı a e
. . o
e
. ´
nghiˆm duy nhˆt:
a

X = A−1 H.
˜ a a `
´ a
Dˆ d`ng thˆy r˘ng
e
 
3 −3 1
 5 3
− 4 − 
A−1 = 2 2
 1 1 
−1
2 2
v` do d´
a o
 
  3 −3 1  
x1   4
  − 5 4 − 3   
 x2  =  2 2  4 .
 1 1  2
x3 −1
2 2
136 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


Thu.c hiˆn ph´p nhˆn ma trˆn o. vˆ phai ta thu du.o.c
. e
. e a a ’ e ’
. ´ .

x1 = 3 · 4 − 3 · 4 + 1 · 2 = 2,
5 3
x2 = − · 4 + 4 · 4 − · 2 = 3,
2 2
1 1
x3 = · 4 − 1 · 4 + · 2 = −1.
2 2
2) Viˆt ma trˆn A cua hˆ v` t`m A−1:
´
e a
. ’ e a ı
.
   
3 2 −1 1 −12 5
   
A = 1 1 2  ⇒ A−1 = −1 17 −7 .
2 2 5 0 −2 1

T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
      
x1 1 −12 5 1 −8
      
x2  = −1 17 −7 2 =  12 
x3 0 −2 1 3 −1
t´.c l`
u a

x1 = 8, x2 = 12, x3 = −1.

V´ du 2. Ap dung quy t˘c Cramer, giai c´c hˆ phu.o.ng tr`
ı . ´ . ´
a ’ a e . ınh

x1 + 2x2 + 3x3 = 6, 
1) 2x1 − x2 + x3 = 2, (4.7)


3x1 − x2 − 2x3 = 2.

x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 6,  

2x1 + 3x2 − 4x3 + 4x4 = 7, 
2) (4.8)
3x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = 9,  


x1 − 3x2 + 7x3 + 6x4 = −7.

Giai. 1) Ap dung cˆng th´.c (4.4)
’ ´ . o u
det(Aj )
xj = , j = 1, 3
detA
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 137


trong d´
o


1 2 3 6 2 3
detA = 3 −1 1 = 30 = 0; detA1 = 2 −1 1 = 30;
3 1 −2 2 1 −2
1 6 3 1 2 6
detA2 = 2 2 1 = 30; detA3 = 2 −1 2 = 30.
3 2 −2 3 1 2


T`. d´ suy ra
u o


x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1.



2) T´ dinh th´.c cua hˆ:
ınh . u ’ e .


1 −2 3 −1
2 3 −4 4
detA = = 35.
3 1 −2 −2
1 −3 7 6


V` detA = 0 nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt v` nghiˆm du.o.c t` theo
ı e e o
. e
. ´
a a e
. . ım
cˆng th´.c (4.4). Ta t´ c´c dinh th´.c
o u ınh a . u


6 −2 3 −1
−7 3 −4 4
det(A1) = = 70,
9 1 −2 −2
−7 −3 7 6
138 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh



1 6 3 −1
2 −7 −4 4
det(A2 ) = = −35,
3 9 −2 −2
1 −7 7 6
1 −2 6 −1
2 3 −7 4
det(A3 ) = = 0,
3 1 9 −2
1 −3 −7 6
1 −2 3 6
2 3 −4 −7
det(A4 ) = = −70.
3 1 −2 9
1 −3 7 −7
o
Do d´
det(A1) det(A2)
x1 = = 2, x2 = = −1,
detA detA
det(A3) det(A4)
x3 = = 0, x4 = = −2.
detA detA
V´ du 3. Ap dung phu.o.ng ph´p Gauss giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh
ı . ´ . a ’ a e . ı
1)

x1 − 2x3 = −3,
−2x1 + x2 + 6x3 = 11,
−x1 + 5x2 − 4x3 = −4.

2)

2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 9,
x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = −1,
3x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 0,
5x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 9.
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 139


Giai. 1) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi:
’ a
. a
. ’ o . a . e a
. e ´ ’
e o


   
1 0 −2 −3 1 0 −2 −3
   
A = −2 1 6 11  h2 + 2h1 → h2 −→ 0 1 2 5 
−1 5 −4 −4 h3 + h1 → h3 0 5 −6 −7
 
1 0 −2 −3
 
−→ 0 1 2 5 .
h3 − 5h2 → h3 0 0 −16 −32


T`. d´ suy ra
u o


x1 − 2x3 = −3 

x2 + 2x3 = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2.


−16x3 = −32


2) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp:
a
. a
. ’ o . a . e a
. e ´ ’
e o ´
a

   
2 −1 3 −1 9 h1 → h2 1 1 −2 4 −1
1 1 −2 4 h → h
−1 2 2 −1 3 −1 9 
 1  
  −→  
3 2 −1 3 0  3 2 −1 3 0 
5 −2 1 −2 9 5 −2 1 −2 9




 
−→ 1 1 −2 4 −1
0 −3 7 −9
h2 − 2h1 → h2  11  h2 → h3

  −→
h3 − 3h1 → h3 0 −1 5 −9 3  h3 → h2
h4 − 5h1 → h4 0 −7 11 −22 14
140 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh



 
1 1 −2 4 −1
0 −1 5 −9 3 
 
−→  
0 −3 7 −9 11  h3 − 3h2 → h3
0 −7 11 −22 14 h4 − 7h2 → h4
 
1 1 −2 4 −1
0 −1 5 −9 3 
 
−→  
0 0 −8 18 2 
0 0 −24 41 −7
 
1 1 −2 4 −1
0 −1 5 −9 3 
 
−→  
0 0 −8 18 2 
h4 − 3h3 → h4 0 0 0 −13 −13

T`. d´ suy ra r˘ng x1 = 1, x2 = −2, x3 = 2, x4 = 1.
u o `
a


` ˆ
BAI TAP
.

Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ sau
’ a e . ı ´
e ınh

x1 − x2 + 2x3 = 11, 
1. x1 + 2x2 − x3 = 11, . (DS. x1 = 9, x2 = 2, x3 = 2)


4x1 − 3x2 − 3x3 = 24.

x1 − 3x2 − 4x3 = 4,  
2. 2x1 + x2 − 3x3 = −1, . (DS. x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1)


3x1 − 2x2 + x3 = 11.

2x1 + 3x2 − x3 = 4, 
3. x1 + 2x2 + 2x3 = 5, . (DS. x1 = x2 = x3 = 1)


3x1 + 4x2 − 5x3 = 2.
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 141


x1 + 2x2 + x3 = 8, 
4. −2x1 + 3x2 − 3x3 = −5, . (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)


3x1 − 4x2 + 5x3 = 10.

2x1 + x2 − x3 = 0,  
5. 3x2 + 4x3 = −6, . (DS. x1 = 1, x2 = −2, x3 = 0)


x1 + x3 = 1.

2x1 − 3x2 − x3 + 6 = 0, 
6. 3x1 + 4x2 + 3x3 + 5 = 0, . (DS. x1 = −2, x2 = 1, x3 = −1)


x1 + x2 + x3 + 2 = 0.

x2 + 3x3 + 6 = 0, 

7. x1 − 2x2 − x3 = 5, . (DS. x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2)


3x1 + 4x2 − 2x = 13.

2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 5,  

x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 4, 
8. .
5x1 + 4x2 + 3x3 = 2, 


3x1 − 3x2 − x3 − 6x4 = −6.
1 2 4
(DS. x1 = , x2 = − , x3 = 1, x4 = )
3 3 3

x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −8,

2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 19, 
9. .
4x1 − x2 + x3 + x4 = −1, 


3x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2.
1 3 1
(DS. x1 = − , x2 = , x3 = − , x4 = 3)
2 2 2

x1 − x3 + x4 = 3,  

2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2, 
10. .
5x1 − 3x4 = −6 


x1 + x2 + x3 + x4 = 2.
(DS. x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2)
142 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


2x1 + 3x2 + 8x4 = 0, 

x2 − x3 + 3x4 = 0, 
11. .
x3 + 2x4 = 1, 


x1 + x4 = −24


(DS. x1 = −19, x2 = 26, x3 = 11, x4 = −5)


3x1 + x2 − x3 + x4 = 0,

2x1 + 3x2 − x4 = 0,
12. .
x1 + 5x2 − 3x3 = 7,


3x2 + 2x3 + x4 = 2,


(DS. x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 1)


x1 − 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 13, 



x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 15, 


13. x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = −7, .


x1 − 7x3 + 8x4 − x5 = −30,



3x1 − x2 − 5x5 = 4. 


(DS. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 0)


x1 + x2 + 4x3 + x4 − x5 = 2, 



x1 − 2x2 − 2x3 + 3x5 = 0, 


14. 4x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 = 2, .


2x1 − x3 + 3x4 − 2x5 = −2,



3x1 + 2x2 − 5x4 + 3x5 = 3. 


2 3 4
(DS. x1 = , x2 = − , x3 = , x4 = 0, x5 = 0)
5 5 5
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 143


4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh
Ta x´t hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh gˆm m phu.o.ng tr` v´.i
e e u ´ a
. ınh ´
e ı `
o ınh o

n ˆn
a

a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 , 


a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 , 
(4.9)
... ... ... ... ... 



am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = bm ,

v´.i ma trˆn co. ban
o a
. ’
 
a11 a12 . . . a1n
 
A = . . . . . . . . . . . . 
am1 am2 . . . amn

v` ma trˆn mo. rˆng
a a
. ’ o .
 
a11 a12 . . . a1n b1
 
A = . . . . . . . . . . . . ...
am1 am2 . . . amn bm

Hiˆn nhiˆn r˘ng r(A) r(A) v` mˆ i dinh th´.c con cua A dˆu l` dinh

e e a ` ˜
ı o . u ’ ` a .
e
th´u .c con cua A nhu.ng khˆng c´ diˆu ngu.o.c lai. Ta luˆn luˆn gia thiˆt
’ o o ` e o o ’ ´
e
. .
r˘ng c´c phˆn tu. cua ma trˆn A khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 tˆt ca.
`
a a `
a ’ ’ a
. o `
o o a ` ´
a ’
Ngu.`.i ta quy u.´.c goi dinh th´.c con kh´c 0 cua mˆt ma trˆn m`
o o . . u a ’ o
. a
. a
´
a ’ o a ` ’
cˆp cua n´ b˘ng hang cua ma trˆn d´ l` dinh th´
a o a . u.c con co. so. cua n´.
’ ’ o
. .
Gia su. dˆi v´.i ma trˆn d˜ cho ta d˜ chon mˆt dinh th´.c con co. so..
’ ’ o o ´ a a
. a . o .
. u ’
Khi d´ c´c h`ng v` c´c cˆt m` giao cua ch´ng lˆp th`nh dinh th´.c
o a a a a o . a ’ u a
. a . u
. so. d´ du.o.c goi l` h`ng, cˆt co. so..
con co ’ o ’
. . a a o
.
Dinh ngh˜ 1+ Bˆ c´ th´. tu. n sˆ (α1 , α2 , . . . , αn ) du.o.c goi l` nghiˆm
-. ıa. o o u .
. o´ . . a e
.
’ e ´
cua hˆ (4.9) nˆu khi thay x = α1 , x = α2 , . . . , x = αn v`o c´c phu
e a a .o.ng
.
ınh ’ ´
e ’
tr` cua (4.9) th` hai vˆ cua mˆ i phu
ı ˜
o .o.ng tr`nh cua (4.9) tro. th`nh
ı ’ ’ a
` ´
dˆng nhˆt.
o a
144 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


2+ Hˆ (4.9) du.o.c goi l` tu.o.ng th´ch nˆu c´ ´ nhˆt mˆt nghiˆm v`
e. . . a ı ´
e o ıt a ´ o . e
. a
goi l` khˆng tu.o.ng th´ch nˆu n´ vˆ nghiˆm.
´
. a o ı e o o e
.
+
3 Hˆ tu
e .o.ng th´ du.o.c goi l` hˆ x´c dinh nˆu n´ c´ nghiˆm duy
ıch ´
. . . a e a .
. e o o e
.
´
a a . a e o . ´
e o o `
nhˆt v` goi l` hˆ vˆ dinh nˆu n´ c´ nhiˆu hoe .n mˆt nghiˆm.
o e
. . .
Dinh l´ Kronecker-Capelli.2 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh (4.9)
-. y e
. ı ´
e ı
tu.o.ng th´ch khi v` chı khi hang cua ma trˆn co. ban b˘ng hang cua
ı a ’ . ’ a
. ’ `
a . ’
ma trˆn mo o
a . rˆng cua hˆ, t´.c l` r(A) = r(A).
’ . ’ e u a
. .
´ .i hˆ tu.o.ng th´ ngu.`.i ta goi c´c ˆn m` hˆ sˆ cua ch´ng lˆp

Dˆi v´ e
o o . ıch o . a a . ´
a e o ’ u a
.
nˆn dinh th´
e . u .c con co. so. cua ma trˆn co. ban l` ˆn co. so., c´c ˆn c`n
’ ’ a ’ aa ’ ’ a a o ’
.
.o.c goi l` ˆn tu. do.
lai du . ’ .
. . aa
.o.ng ph´p chu yˆu dˆ giai hˆ tˆng qu´t l`:
´ ’
Phu a ’ e e ’ e o . ’ a a
´ ´
1. Ap dung quy t˘c Kronecker-Capelli.
. a
2. Phu .o.ng ph´p khu. dˆn c´c ˆn (phu.o.ng ph´p Gauss).
a ’ ` a a
a ’ a
Quy t˘c Kronecker-Capelli gˆm c´c bu.´.c sau.
´
a `
o a o
1+ Khao s´t t´ tu.o.ng th´ cua hˆ. T´ hang r(A) v` r(A)
’ a ınh ıch ’ e ınh .
. a
a) Nˆu r(A) > r(A) th` hˆ khˆng tu.o.ng th´ch.
´
e ı e o
. ı
´
b) Nˆu r(A) = r(A) = r th` hˆ tu
e ı e .o.ng th´ ıch. T`m dinh th´.c con
ı u
. .
. so. cˆp r n`o d´ (v` do vˆy r ˆn co. so. tu.o.ng u.ng xem nhu. du.o.c
co ’ a ´ a o a a ’
a ’ ´
. .
chon) v` thu du . e
a .o.c hˆ phu.o.ng tr` tu.o.ng du.o.ng gˆm r phu.o.ng tr`
ınh `
o ınh
. .
.i n ˆn m` (r × n)-ma trˆn hˆ sˆ cua n´ ch´.a c´c phˆn tu. cua dinh
’ `

o a a . . ´
a e o ’ o u a a ’ ’ .
th´
u .c con co. so. d˜ chon. C´c phu.o.ng tr` c`n lai c´ thˆ bo qua.
’ a . a ınh o . o e ’ ’
2+ T` nghiˆm cua hˆ tu.o.ng du.o.ng thu du.o.c
ım e
. ’ e
. .
a) Nˆu r = n, ngh˜ l` sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ th` hˆ c´
´
e ıa a o a ´ ’ ’ a ` ´ ’
o a ’ e ı e o
. .
nghiˆm duy nhˆ a o e
e
. a´t v` c´ thˆ t`m theo cˆng th´.c Cramer.
’ ı o u
´
b) Nˆu r < n, ngh˜ l` sˆ ˆn co ’ e
e ıa a o a ´ ’ . so. b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ th` ta
´ ’ ’
o a e ı
.
chuyˆ e ’n n − r sˆ hang c´ ch´.a ˆn tu. do cua c´c phu.o.ng tr`nh sang
´ .
o o u a ’ . ’ a ı
´ ’ e
vˆ phai dˆ
e ’ thu du.o.c hˆ Cramer dˆi v´.i c´c ˆn co. so.. Giai hˆ n`y ta
. e
. ´
o o a a ’ ’ ’ e a
.
thu du . a.o.c c´c biˆu th´.c cua c´c ˆn co. so. biˆu diˆn qua c´c ˆn tu. do.

e u ’ a a ’ ’ e ’ ˜
e ’
a a .
2
L. Kronecker (1823-1891) l` nh` to´n hoc D´.c,
a a a . u
A. Capelli (1855-1910) l` nh` to´n hoc Italia.
a a a .
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 145


D´ l` nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ. Cho n − r ˆn tu. do nh˜.ng gi´ tri cu
o a e. o’ a ’ e . ’
a . u a . .

thˆ t`y y ta t` du . a
e u ´ ım .o.c c´c gi´ tri tu.o.ng u.ng cua ˆn co. so.. T`. d´ thu
a . ´ ’ a ’ ’ u o
du.o.c nghiˆm riˆng cua hˆ.
. e
. e ’ e .
Tiˆp theo ta tr` b`y nˆi dung cua phu.o.ng ph´p Gauss.
´
e ınh a o . ’ a
o ’ o’ a o e ’
Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a11 = 0. Nˆi dung cua `
a o
. ’
phu.o.ng ph´p Gauss l` nhu. sau.
a a
+
1 Thu .c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua
e a e ´ ’
e o ´
a e a ınh ’
. .
hˆ dˆ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr` th´. hai
. ’
e e . e . ´ a
a a ` u ınh u
moi phu .o.ng tr`nh dˆu khˆng ch´.a ˆn x1. K´ hiˆu hˆ n`y l` S (1).
ı `
e o u a ’ y e e a a
. . .
2 C˜ng khˆng mˆt tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a22 = 0. Lai thu.c
+
u o ´ ’
a o a o e ’ `
a . .
hiˆn c´c ph´p biˆ o
e a
. e ´n dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua hˆ S (1) (tr`.
e ’ ´
a e a ınh ’ e . u
ra phu .o.ng tr` th´. nhˆt du.o.c gi˜. nguyˆn!) nhu. d˜ l`m trong bu.´.c
ınh u ´
a u e a a o
.
+
1 ta thu du . e .o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr`nh th´. ba
´ a
a a ` u ı u
.
moi phu.o.ng tr`nh dˆu khˆng ch´.a ˆn x2 ,...
. ı `
e o u a ’
3+ Sau mˆt sˆ bu.´.c ta c´ thˆ g˘p mˆt trong c´c tru.`.ng ho.p sau
. ´ o
o o o e a ’ . o
. a o .
dˆy.
a
a) Thˆy ngay du.o.c hˆ khˆng tu.o.ng th´ch.
´
a . e o . ı
b) Thu du . .o.c mˆt hˆ “tam gi´c”. Hˆ n`y c´ nghiˆm duy nhˆt.
o e a e a o e ´
a
. . . .
c) Thu du.o.c mˆt “hˆ h`nh thang” dang
. o
. e ı
. .


a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = h1 , 


b22x2 + ... + b2n xn = h2 , 



... ... ... ...  

brr xr + · · · + brn xn = hr ,


0 = hr+1 ,



... ...  



0 =h . m


´ a o ´
Nˆu c´c sˆ hr+1 , . . . , hm
e kh´c 0 th` hˆ vˆ nghiˆm. Nˆu hr+1 =
a ı e o . e
. e´
· · · = hm = 0 th` hˆ c´
ı e o
. nghiˆm. Cho xr+1 = α, . . . , xm = β th`
e
. ı
thu du ..o.c hˆ Cramer v´.i
e o ˆn l` x1, . . . , xr . Giai hˆ d´ ta thu du.o.c

a a ’ e o
. . .
146 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


e
. a e
. ’
nghiˆm x1 = x1 ; x2 = x2, . . . , xr = xr v` nghiˆm cua hˆ d˜ cho l` e a
. a
(x1 , x2 , . . . , xr , α, . . . , β).
Lu.u y r˘ng viˆc giai hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh b˘ng phu.o.ng
´ ` a e. ’ e
. ı ´
e ı `
a
ph´p Gauss thu
a .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c
´
a a . e a e ´ ’
e o a´ e a
. .
h`ng cua ma trˆn mo. rˆng cua hˆ du.a n´ vˆ dang tam gi´c hay dang
a ’ a. ’ o . ’ e . o ` .
e a .
h`nh thang.
ı

CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh

3x1 − x2 + x3 = 6, 


x1 − 5x2 + x3 = 12, 


2x1 + 4x2 = −6,


2x1 + x2 + 3x3 = 3, 



5x1 + 4x3 = 9.

’ ım . ’ a
Giai. 1. T` hang cua c´c ma trˆn
a
.
   
3 −1 1 3 −1 1 6
   
1 −5 1 1 −5 1 12 
   
A= 2 4 0 , A = 2 4 0 −6
  
   
 2 1 3 2 1 3 3 
5 0 4 5 0 4 9

Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 3. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch.
. o e
. ı
Ta chon dinh th´.c con co. so. l`
. . u ’ a

1 −5 1
∆= 2 4 0
2 1 3

v` ∆ = 36 = 0 v` r(A) = 3 v` c´c ˆn co. so. l` x1, x2, x3 .
ı a a a a ’ ’ a
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 147


2. Hˆ phu.o.ng tr` d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ
e
. ınh a o e .

x1 − 5x2 + x3 = 12,  
2x1 + 4x2 = −6,


2x1 + x2 + 3x3 = 3.

Sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt l` x1 = 1,
´ ’
oa ’ a ` ´ ’
oa ’ e e e o
. . e
. ´
a a
x2 = −2, x4 = 1.
V´ du 2. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh

x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,  
2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,


5x1 + 10x2 + 7x3 + 2x4 = 11.

Giai. T`
ım ’ a
hang cua c´c ma trˆn
. a
.
   
1 2 −3 4 1 2 −3 4 7
   
A = 2 4 5 −1 , A = 2 4 5 −1 2
5 10 7 2 5 10 7 2 11

Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 2. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch.
. o e . ı
’ ´
Ta c´ thˆ lˆy dinh th´
o e a . u.c con co. so. l`
’ a

2 −3
∆=
4 5

v` ∆ = 22 = 0 v` cˆp cua dinh th´.c = r(A) = 2. Khi chon ∆ l`m
ı a a ´ ’ . u . a
dinh th´
u.c con, ta c´ x2 v` x3 l` ˆn co. so..
o a aa ’ ’
.
Hˆ d˜ cho tu
e a .o.ng du.o.ng v´.i hˆ
o e
. .
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,
2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2

hay

2x2 − 3x3 = 7 − x1 − 4x4 ,
4x2 + 5x3 = 2 − 2x1 + x4.
148 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


o e ’ e . ´
2. Ta c´ thˆ giai hˆ theo quy t˘c Cramer. D˘t x1 = α, x4 = β ta
a a
.

o

2x2 − 3x3 = 7 − α − 4β,
4x2 + 5x3 = 2 − 2α + β.

Theo cˆng th´.c Cramer ta t`m du.o.c
o u ı .

7 − α − 4β −3
2 − 2α + β 5 41 − 11α − 17β
x2 = = ,
22 22
2 7 − α − 4β
4 2 − 2α + β −24 + 18β
x3 = = ·
22 22
Do d´ tˆp ho.p c´c nghiˆm cua hˆ c´ dang
o a. . a e
. ’ e o .
.
41 − 11α − 17β 9β − 12
α; ; ; β ∀ α, β ∈ R
22 11

V´ du 3. B˘ng phu.o.ng ph´p Gauss h˜y giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . `
a a a ’ e . ınh

4x1 + 2x2 + x3 = 7, 

x1 − x2 + x3 = −2,
2x1 + 3x2 − 3x3 = 11, 



4x1 + x2 − x3 = 7.

’ . e e ’ e
. o’ ˜
Giai. Trong hˆ d˜ cho ta c´ a11 = 4 = 0 nˆn dˆ cho tiˆn ta dˆi chˆ
e a o o
hai phu .o.ng tr` dˆu v` thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng
ınh `a a . e .

x1 − x2 + x3 = −2,

4x1 + 2x2 + x3 = 7, 
2x1 + 3x2 − 3x3 = 11, 



4x1 + x2 − x3 = 7.
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 149


Tiˆp theo ta biˆn dˆi ma trˆn mo. rˆng
´
e ´ ’
e o a
. ’ o.
 
1 −1 1 −2
4 2 1 7  h2 − 4h1 → h2
 
A= 
2 3 −3 11  h3 − 2h1 → h3
4 1 −1 7 h4 − 4h1 → h4
 
1 −1 1 −2
0 6 −3 15 
 
−→   →
0 5 −5 15 
0 5 −5 15 h4 − h3 → h4
 
1 −1 1 −2
0 6 −3 15  h2 × 5 → h2
 
−→   −→
0 5 −5 15  h3 × 6 → h3
0 0 0 0
   
1 −1 1 −2 h3 − h2 → h3 1 −1 1 −2
0 30 −15 75  0 30 −15 75 
   
−→   −→  .
0 30 −30 90  0 0 −15 15 
0 0 0 0 0 0 0 0

T`. d´ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng
u o . e .

x1 − x2 + x3 = −2

30x2 − 15x3 = 75


−15x3 = 15
v` do d´ thu du.o.c nghiˆm x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1.
a o . e
.
V´ du 4. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1, 


2x1 + 2x2 + 3x4 + x5 = 1,  

2x3 + 2x4 − x5 = 1,


−2x3 + 4x4 − 3x5 = 7,  


6x3 + 3x4 − x5 = −1.
150 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


Giai. 1) B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp (chı thu.c hiˆn trˆn c´c
’ `
a a e ´
e o ’ a´ ’ . e
. e a
a a . rˆng A du.o.c du.a vˆ ma trˆn bˆc thang
’ .
h`ng !) ma trˆn mo o `
e a a
. . . .
 
1 1 1 1 1 −1
 
0 0 −2 1 −1 3 
 
A −→ 0 0 0 3 −2
 4 .

 
0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0

2) Ma trˆn n`y tu.o.ng u.ng v´.i hˆ phu.o.ng tr`
a a
. ´ o e . ınh

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1, 
−2x3 + x4 − x5 = 3,


3x4 − 2x5 = 4.

hˆ n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ d˜ cho v` c´ x1, x3, x4 l` ˆn co. so., c`n
e a
. o e a. a o a a’ ’ o
x2 , x5 l` ˆn tu. do.

aa .
3) Chuyˆn c´c sˆ hang ch´.a ˆn tu. do sang vˆ phai ta c´

e a o . ´ ’
u a . ´
e ’ o

x1 + x3 + x4 = −1 − x2 − x5 ,

−2x3 + x4 = 3 + x5,


3x4 = 4 + 2x5.

4) Giai hˆ n`y (t`. du.´.i lˆn) ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t
’ e a
. u o e . e
. o’ a

−3 − 3x2 − x5
x1 = ,
2
−5 − x5 4 + 2x5
x3 = , x4 = ·
6 3
V´ du 5. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh

x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1,
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 2,


2x1 + 11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4.
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 151


Giai. Ta thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng cua ma
’ . e a
. e ´ ’
e o ´
a e a a ’
trˆn mo o
a . rˆng:
’ .
.
 
1 3 5 7 9 1
 
A = 1 −2 3 −4 5 2 h2 − h1 → h2 −→
2 11 12 25 22 4 h3 − 2h1 → h3
 
1 3 5 7 9 1
 
−→ 0 −5 −2 −11 −4 1 −→
0 5 2 11 4 2 h3 + h2 → h3
 
1 3 5 7 9 1
 
−→ 0 −5 −2 −11 −4 1
0 0 0 0 0 3

T`. d´ suy r˘ng r(A) = 3; r(A) = 2 v` do vˆy r(A) > r(A) v` hˆ
u o `
a a a
. a e.
d˜ cho khˆng tu
a o .o.ng th´
ıch. .
V´ du 6. Giai v` biˆn luˆn hˆ phu.o.ng tr` theo tham sˆ λ:
ı . ’ a e . a e
. . ınh ´
o

λx1 + x2 + x3 = 1, 
x1 + λx2 + x3 = 1,


z1 + x2 + λx3 = 1.

Giai. Ta c´
o
 
λ 1 1
 
A =  1 λ 1  ⇒ detA = (λ + 2)(λ − 1)2 = D,
1 1 λ

tiˆp theo dˆ d`ng thu du.o.c
´
e ˜ a
e .
Dx1 = Dx2 = Dx3 = (λ − 1)2 .

1+ Nˆu D = 0, t´.c l` nˆu (λ + 2)(λ − 1)2 = 0 ⇔ λ = −2 v` λ = 1
´
e u a e ´ a
th` hˆ d˜ cho c´ nghiˆm duy nhˆt v` theo c´c cˆng th´.c Cramer ta c´
ı e a
. o e
. ´
a a a o u o
1
x1 = x2 = x3 = ·
λ+2
152 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


2+ Nˆu λ = −2 th` D = 0 v` ta c´
´
e ı a o

 
−2 1 1
  −2 1
A =  1 −2 1  ⇒ r(A) = 2 =0 ,
1 −2
1 1 −2
 
−2 1 1 1
 
A =  1 −2 1 1 .
1 1 −2 1


B˘ng c´ch thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c ma trˆn A ta
`
a a . e a
. e ´ ’
e o a´ e a a
.
.o.c r(A) = 3.
thu du .
Do d´ v´.i λ = −2 th` r(A) > r(A) v` hˆ vˆ nghiˆm.
o o ı a e o
. e
.
+
e´ ı a ˜ a `
e ´ a
3 Nˆu λ = 1 th` detA = 0 v` dˆ thˆy r˘ng r(A) = r(A) = 1 < 3
(sˆ ˆn cua hˆ l` 3). T`. d´ suy ra hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai
´ ’
oa ’ e a
. u o e o o o
. ´ e. . o
.
´
tham sˆ: x1 + x2 + x3 = 1.
o

V´ du 7. Giai v` biˆn luˆn hˆ phu.o.ng tr` theo tham sˆ
ı . ’ a e . a e
. . ınh ´
o


λx1 + x2 + x3 = 1,  
x1 + λx2 + x3 = λ,


x1 + x2 + λx3 = λ2 .


Giai. Dinh th´.c cua hˆ b˘ng
’ . u ’ e a . `


λ 1 1
D = 1 λ 1 = (λ − 1)2 (λ + 2).
1 1 λ


´ . e
. ´
Nˆu D = 0 ⇔ λ1 = 1, λ2 = −2 th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt. Ta t´nh
e ı e o a ı
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 153


Dx1 , Dx2 , Dx3 :
1 1 1
Dx1 = λ λ 1 = −(λ − 1)2 (λ + 1),
λ2 1 λ
λ 1 1
Dx 2 = 1 λ 1 = (λ − 1)2 ,
1 λ2 λ
λ 1 1
Dx3 = 1 λ λ = (λ − 1)2 (λ + 1)2 .
1 1 λ2
T`. d´ theo cˆng th´.c Cramer ta thu du.o.c
u o o u .
λ+1 1 (λ + 1)2
x1 = − , x2 = , x3 = ·
λ+2 λ+2 λ+2
Ta c`n x´t gi´ tri λ = 1 v` λ = −2.
o e a . a
Khi λ = 1 hˆ d˜ cho tro. th`nh
e a
. ’ a

x1 + x2 + x3 = 1, 
x1 + x2 + x3 = 1,


x1 + x2 + x3 = 1.

. ´ . . o
. ´
o ´ .
Hˆ n`y c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai tham sˆ. Nˆu d˘t x2 = α,
e a o o o e e a
x3 = β th`
ı

x1 =1 − α − β,
α, β ∈ R,

v` nhu. vˆy tˆp ho.p nghiˆm c´ thˆ viˆt du.´.i dang (1 − α −
a a
. a
. . e
. o ’ ´
e e o .
β; α; β; ∀ α, β ∈ R).
Khi λ = −2 th` hˆ d˜ cho tro. th`nh
ı e a
. ’ a

−2x1 + x2 + x2 = 2, 

x1 − 2x2 + x3 = −2,


x1 + x2 − 2x3 = 4.
154 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


B˘ng c´ch cˆng ba phu.o.ng tr` lai v´.i nhau ta thˆy ngay hˆ d˜ cho
`
a a o
. ınh . o ´
a e a
.
vˆ nghiˆm.
o e
.
V´ du 8. X´t hˆ phu.o.ng tr`nh
ı . e e . ı

x1 + 2x2 + λx3 = 3, 

3x1 − x2 − λx3 = 2,


2x1 + x2 + 3x3 = µ.

V´.i gi´ tri n`o cua c´c tham sˆ λ v` µ th`
o a . a ’ a ´
o a ı
. e
. ´
1) hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt ?
e o a
2) hˆ vˆ nghiˆm ?
e o
. e
.
. ´
3) hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm ?
e o o o e.
’ ´
Giai. Ta viˆt c´c ma trˆn
e a a
.
   
1 2 λ 1 2 λ 3
   
A = 3 −1 −λ ; A = 3 −1 −λ 2
2 1 3 2 1 3 µ
Ta c´
o
1 2 λ
D = detA = 3 −1 −λ = 2λ − 21.
2 1 3
T`. d´
u o
1+ Hˆ d˜ cho c´ nghiˆm duy nhˆt khi v` chı khi
e a
. o e
. ´
a a ’
21
detA = 0 ⇔ λ = , µ t`y y.
u ´
2
’ .
2+ Dˆ hˆ vˆ nghiˆm dˆu tiˆn n´ phai thoa m˜n
e e o e `
. a e o ’ ’ a
21
detA = 0 ⇔ λ = ·
2
21
Khi λ = th` detA = 0 v` do vˆy
ı a a
.
2
r(A) < 3.
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 155


1 2
V` dinh th´.c
ı . u = −7 = 0 nˆn:
e
3 −1

21
r(A) = 2 khi λ = ·
2
. y e a
. o e
. a ’
Theo dinh l´ Kronecker-Capelli hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm khi v` chı khi

r(A) > r(A) = 2.

Ta t`m diˆu kiˆn dˆ hˆ th´.c n`y thoa m˜n. Cu thˆ l` t` r(A) khi
ı `
e ’ .
e e e u a
. ’ a ’
. e a ım
21
λ = . Ta c´ o
2
 
21
1 2 3 h1 × 2 → h
 2  1
 21 
A = 3 −1 − 2  h2 × 2 → h2 −→
 2 
2 1 3 µ
 
2 4 21 6
 
−→ 6 −2 −21 4  h2 − 3h1 → h2 −→
2 1 3 µ h3 − h1 → h3
 
2 4 21 6
  −1
−→ 0 −14 −84 −14  h2 × → h2 −→
14
0 −3 −18 µ−6

   
2 4 21 6 2 4 21 6
   
−→ 0 1 6 1  −→ 0 1 6 1 
0 −3 −18 µ − 6 h3 + 3h1 → h3 0 0 0 µ−3

T`. kˆt qua biˆn dˆi ta thu du.o.c
u e ´ ´ ’
’ e o .

2 nˆu µ = 3,
´
e
r(A) =
3 nˆu µ = 3,
´
e
156 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


ı e e a
. o e
. ´
V` r(A) = 2 nˆn hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm nˆu
e

21
λ= v` µ = 3.
a
2
3+ Hˆ d˜ cho c´ vˆ sˆ nghiˆm khi v` chı khi
e a
. o o o ´ e
. a ’

r(A) = r(A) = r < 3

t´.c l` khi hang cua A v` A b˘ng nhau nhu.ng b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ l`
u a . ’ a `
a e ´ ’
oa ’ e a .
3. T` a. lˆp luˆn trˆn suy r˘ng hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm nˆu
u . a e `
a e o o o ´ e ´
e
. . .

λ = 21 ,
r(A) = r(A) = 2 ⇔ 2
µ = 3.

Khi d´ hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ
o e a
. o e .

2x1 + 4x2 = 6 − 21α, α = x3,
6x1 − 2x2 = 4 + 21α.

3
a e
. ’ o a
v` nghiˆm cua n´ l` 1 + α, 1 − 6α, α ∀ α ∈ R .
2


` ˆ
BAI TAP
.

Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
’ a e . ı ´
e ınh
6x1 + 3x2 + 4x3 = 3;
1.
3x1 − x2 + 2x3 = 5.
7 18 − 15x1
(DS. x2 = − , x3 = , x1 t`y y)
u ´
5 10
x1 − x2 + x3 = −1,
2.
2x1 + x2 − x3 = 5.
4 + 2x3 7 − x3
(DS. x1 = , x2 = , x3 t`y y)
u ´
3 3
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 157


x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1,
3.
x1 − 2x2 − x4 = −2.
1
(DS. x3 = (−2x1 + x2 − 1), x4 = x1 − 2x2 + 2,
2
x1 , x2 t`y y)
u ´

x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1,
4. 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0,


5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1.
14 2 1 6 7 2
(DS. x1 = − x3 + x4 + , x2 = − x3 − x4 + ,
11 11 11 11 11 11
x3 , x4 t`y y)
u ´

3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 3,
5. 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 1,


5x1 + 9x2 − 2x3 + 2x4 = 9.
(DS. Hˆ vˆ nghiˆm)
e o
. e
.

x1 + 2x2 + 3x3 = 14,



3x1 + 2x2 + x3 = 10,


6. x1 + x2 + x3 = 6,


2x1 + 3x2 − x3 = 5, 



x1 + x2 = 3. 
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)

x1 + 3x2 − 2x3 + x4 + x5 = 1, 
7. x1 + 3x2 − x3 + 3x4 + 2x5 = 3,


x1 + 3x2 − 3x3 − x4 = 2.
(DS. Hˆ vˆ nghiˆm)
e o
. e
.

5x1 + x2 − 3x3 = −6,


2x1 − 5x2 + 7x3 = 9, 
8.
4x1 + 2x2 − 4x3 = −7,



5x1 − 2x2 + 2x3 = 1.
1 1 3
(DS. x1 = − , x2 = , x3 = )
3 6 2
158 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


x1 + x2 + x3 + x4 = 1,

x1 + x2 − 2x3 − x4 = 0,
9.
x1 + x2 − 4x3 + 3x4 = 2,


x1 + x2 + 7x3 + 5x4 = 3.
2 − 3x2 − 2x4 1 − 2x4
(DS. x1 = , x3 = , x2 , x4 t`y y)
u ´
3 3

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5, 

x2 + 2x3 + 3x4 = 1,
10.
x1 + 3x3 + 4x4 = 2,



x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 1.
15 3 13
(DS. x1 = , x2 = , x3 = − , x4 = 2)
4 2 4

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 30, 

−x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 10,
11.
x2 − x3 + x4 = 3, 


x1 + x2 + x3 + x4 = 10.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4)

5x1 + x2 − 3x3 = −6,


2x1 − 5x2 + 7x3 = 9, 
12.
4x1 + 2x2 − 4x3 = −7,



5x1 − 2x2 + 2x3 = 1.
1 1 3
(DS. x1 = − , x2 = , x3 = )
3 6 2

x1 − x2 + x3 − x4 = 4, 


x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 8, 
13.
2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4 = 20,



2x1 − 4x2 + x3 − 6x4 = 4.
3 1
(DS. x1 = 6 − x3 − x4, x2 = 2 − x3 − 2x4 , x3 v` x4 t`y y)
a u ´
2 2
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 159


x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2, 


3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = −3,
14.
−2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 5, 



3x1 + 3x3 − 10x4 = 8.
(DS. Hˆ vˆ nghiˆm)
e o
. e
.

x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 1, 

2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 2, 
15.
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = −5,


2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 11.
2 43 13 7
(DS. x1 = , x2 = − , x3 = , x4 = − )
3 18 9 18

x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1, 

x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1,
16.
3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5, 


2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4.
(DS. x1 = −17x3 + 29x4 + 5, x2 = 10x3 − 17x4 − 2, x3, x4 t`y y)
u ´

x1 − 5x2 − 8x3 + x4 = 3,  

3x1 + x2 − 3x3 − 5x4 = 1, 
17.
x1 − 7x3 + 2x4 = −5, 


11x2 + 20x3 − 9x4 = 2.
(DS. Hˆ vˆ nghiˆm)
e o
. e.

 x2 − 3x3 + 4x4
 = −5,

x
1 − 2x3 + 3x4 = −4,
18.
3x1 + 2x2 − 5x4
 = 12,


4x1 + 3x2 − 5x3 = 5.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1)
Khao s´t t´ tu.o.ng th´ cua c´c hˆ phu.o.ng tr`nh sau dˆy
’ a ınh ıch ’ a e . ı a

x1 + x2 + x3 − x4 = 0,
19. x1 − x2 − x3 + x4 = 1,


x1 + 3x2 + 3x3 − 3x4 = 0.
160 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


(DS. Hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
e o
. ı

x1 + x2 + x3 + x4 = 1, 
20. x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0,


x1 + x2 − x3 + x4 = 3.
(DS. Hˆ tu.o.ng th´
e. ıch)

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1, 
21. x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1,


x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5.
(DS. Hˆ tu.o.ng th´
e. ıch)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7, 

3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2,
22.
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23, 



5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12.
(DS. Hˆ tu.o.ng th´
e
. ıch)

2x1 + x2 − x3 + x4 = 1, 


3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2, 
23.
5x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1, 


2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4.
(DS. Hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
e o
. ı

3x1 + x2 − 2x3 + x4 − x5 = 1,


2x1 − x2 + 7x3 − 3x4 + 5x5 = 2,
24.
x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 − 7x5 = 3, 


3x1 − 2x2 + 7x3 − 5x4 + 8x5 = 3.
(DS. Hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
e o
. ı

5x1 + 7x2 + 4x3 + 5x4 − 8x5 + 3x6 = 1,
25. 2x1 + 3x2 + 3x3 − 6x4 + 7x5 − 9x6 = 2,


7x1 + 9x2 + 3x3 + 7x4 − 5x5 − 8x6 = 5.
(DS. Hˆ tu.o.ng th´
e. ıch)
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 161


Khao s´t t´ tu.o.ng th´ v` giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh (nˆu hˆ
’ a ınh ıch a ’ a e . ı ´ e
e .
tu.o.ng th´ıch)

2x1 − x2 + 3x3 = 3, 

3x1 + x2 − 5x3 = 0, 
26.
4x1 − x2 + x4 = 3, 


x1 + 3x2 − 13x3 = −6.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1)

2x1 − x2 + x3 − x4 = 1, 

2x1 − x2 − 3x4 = 2, 
27.
3x1 − x3 + x4 = −3,


2x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = −6.
5 4
(DS. x1 = 0, x2 = 2, x3 = , x4 = − )
3 3

2x1 + x2 + x3 = 2, 

x1 + 3x2 + x3 = 5, 
28.
x1 + x2 + 5x3 = −7,


2x1 + 3x2 − 5x3 = 14.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2)

2x1 + 3x2 + 4x3 + 3x4 = 0, 
29. 4x1 + 6x2 + 9x3 + 8x4 = −3,


6x1 + 9x2 + 9x3 + 4x4 = 8.
7 3x2
(DS. x1 = − , x3 = −1, x4 = −1, x2 t`y y)
u ´
2 2

3x1 + 3x2 − 6x3 − 2x4 = −1, 


6x1 + x2 − 2x4 = −2,

30. 6x1 − 7x2 + 21x3 + 4x4 = 3,


9x1 + 4x2 + 2x4 = 3, 


12x1 − 6x2 + 21x3 + 2x4 = 1. 
7 11 16
(DS. x1 = , x2 = −4, x3 = − , x4 = )
5 5 5
162 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1, 

3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4,
31.
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6,


x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4.
(DS. x1 = x2 = −1, x3 = 0, x4 = 1)

x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6, 

2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 8, 
32.
3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4, 


2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = −2)

x2 − 3x3 + 4x4 = −5,

x1 − 2x3 + 3x4 = −4,
33.
3x1 + 2x2 − 5x4 = 12, 



4x1 + 3x2 − 5x3 = 5.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1)

x1 + x2 − x3 + x4 = 4,

2x1 − x2 + 3x3 − 2x4 = 1,
34.
x1 − x3 + 2x4 = 6,


3x1 − x2 + x3 − x4 = 0.
(DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 



x2 + x3 + x4 + x5 = 0, 


35. x1 + 2x2 + 3x4 = 2,


x2 + 2x3 + 3x4 = −2,



x3 + 2x4 + 3x5 = 2. 
(DS. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 1, x4 = −1, x5 = 1)
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 163


3x1 − x2 + x3 + 2x5 = 18, 



2x1 − 5x2 + x4 + x5 = −7,

36. x1 − x4 + 2x5 = 8,


2x2 + x3 + x4 − x5 = 10, 



x1 + x2 − 3x3 + x4 = 1. 
(DS. x1 = 5, x2 = 4, x3 = 3, x4 = 1, x5 = 2)
164 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh

’ a e
Giai v` biˆn luˆn hˆ
. a e
. . phu.o.ng tr` tuyˆn t´ theo tham sˆ
 ınh
´
e ınh ´
o
x1 + 2x2 + 3x3 = −1, 
37. 2x1 + 2x2 + 2x3 = 3,


5x1 + 6x2 + 7x3 = λ.
´ e. o’
(DS. a) Nˆu λ = 4 nghiˆm tˆng qu´t l` x1 = 5 + x3 ,
e a a
−7 − 4x3
x2 = , x3 t`y y;
u ´
2
b) Nˆu λ = 4 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
e´ e o
. ı

2x1 − x2 + λx3 = 0,  
38. x1 − 2x2 − 2x3 = −3,


x1 + x2 + 3x3 = −1.
´ e o
. e
. ´
(DS. a) Nˆu λ = 1, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt
e a

−5λ − 11 2λ − 22 4
x1 = , x2 = , x3 = ;
3(λ − 1) 3(λ − 1) λ−1

b) Nˆu λ = 1 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
´
e e o
. ı

λx1 + x2 + x3 = 1,
39. x1 + λx2 + x3 = 1,


x1 + x2 + λx3 = 1.
´ e o
. e
. ´
(DS. a) Nˆu λ = −2, 1 hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt x1 = x2 = x3 =
e a
1
λ+2
b) Nˆu λ = −2 hˆ khˆng tu.o.ng th´
e´ e o
. ıch;
´ . ´ e
. . o. ´
c) Nˆu λ = 1 hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai tham sˆ v` x1 +
e e o o o o a
x2 + x3 = 1)

x1 + x2 + 2x3 = −3, 
40. 3x1 + 2x2 + 4x3 = a,


5x1 + 3x2 + 6x3 = a2 .
(DS. a) Nˆu a = −1 ho˘c a = 3 hˆ tu.o.ng th´ch v` x1 = 5,
´
e a
. e
. ı a
x2 = −8 − 2x3 , x3 t`y y;
u ´
b) Nˆu a = −1, a = 3 th` hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
e´ ı e o
. ı
4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a 165


(1 + λ)x1 + x2 + x3 = 1,  
41. x1 + (1 + λ)x2 + x3 = λ,


x1 + x2 + (1 + λ)x3 = λ2 .
´ e o
. e
. ´
(DS. a) Nˆu λ(λ + 3) = 0 hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt
e a
2 − λ2 2λ − 1 λ3 + 2λ2 − λ − 1
x1 = , x2 = , x3 = ·
λ(λ + 3) λ(λ + 3) λ(λ + 3)
b) Nˆu λ = 0 ho˘c λ = −3 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
´
e a
. e o
. ı

x1 + x2 + x3 + λx4 = 1,  

x1 + x2 + λx3 + x4 = −1,
42.
x1 + λx2 + x3 + x4 = 0,  


λx1 + x2 + x3 + x4 = 0.
a e o
. e
. ´
(DS. a) Khi λ = −3 v` λ = 1 hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt;
a
1 1
x1 = 0, x2 = 0, x3 = − , x4 = ·
λ−1 λ−1

. o’
b) Khi λ = −3 nghiˆm tˆng qu´t l`
e a a
1 1 1
x1 = + x4 ; x2 = + x4 , x3 = + x4; x3 t`y y;
u ´
4 4 2
c) Khi λ = 1 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch)
e o
. ı


4.3 Hˆ phu.o.ng tr`
e. ´ ınh thuˆn
ınh tuyˆn t´
e `
a
nhˆt

Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh du.o.c goi l` hˆ thuˆn nhˆt nˆu sˆ hang tu.
e. ınh ´
e ı . . a e . `
a ´ ´ ´
a e o . .
’ ˜
do cua mˆ i phu
o .o.ng tr` dˆu b˘ng 0.
e `
ınh ` a
e
. `
a ´
Hˆ thuˆn nhˆt c´ dang
a o .

a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = 0,

... ... ... ... ... (4.10)


am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = 0.
166 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


Hˆ phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆt luˆn luˆn tu.o.ng th´ v` n´ c´ ´ nhˆt
e
. ı `
a ´
a o o ıch ı o o ıt a ´
l` nghiˆm-khˆng. Nghiˆm n`y du .
a e o e a .o.c goi l` nghiˆm tˆm thu.`.ng.
e `
. . . a . a o
Dinh l´. 1+ Hˆ (4.10) c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi v` chı khi
-. y e
. o e
. o `
a o a ’
hang cua ma trˆn cua hˆ b´ ho o a ’ e o
’ a ’ e e .n sˆ ˆn cua hˆ d´.
´ ’
. . . .
+
2 Hˆ thuˆe
. ` n nhˆt n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ nghiˆm khˆng tˆm
a ´
a ınh o a’ o e
. o `a
thu o.`.ng khi v` chı khi dinh th´.c D cua hˆ b˘ng 0.
a ’ u ’ e a `
. .
’ ’
Gia su . x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn l` nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng
a e o `
a o
.
n`o d´ cua hˆ (4.10). Nghiˆm n`y c´ thˆ xem nhu. mˆt h`ng gˆm n
a o ’ e
. e. a o e ’ o a
. `
o
`
a ’
phˆn tu .

e1 = (α1 , α2 , . . . , αn ).

Khi d´ theo dinh ngh˜ h`ng λe1 = (λα1 , . . . , λαn ) c˜ng l` nghiˆm
o . ıa, a u a e
.
’ ’ ’ . h`ng
cua (4.10). Gia su a

e2 = (β1, β2 , . . . , βn )

l` mˆt nghiˆm kh´c cua (4.10). Khi d´ h`ng tˆ ho.p tuyˆn t´
a o. e
. a ’ o a ’
o . ´
e ınh
def
λe1 + µe2 = λ1 α1 + µβ1 , λ1 α2 + µβ2, . . . , λαn + µβn )

c˜ng l` nghiˆm cua (4.10). T`. d´: moi tˆ ho.p tuyˆn t´ c´c nghiˆm
u a e
. ’ u o . o . ’ ´
e ınh a e
.
’ e . ` ´
cua hˆ thuˆn nhˆt (4.10) c˜ng l` nghiˆm cua n´.
a a u a e
. ’ o
Dinh ngh˜ 1. 1+ C´c h`ng e1 , e2, . . . , em du.o.c goi l` phu thuˆc tuyˆn
-. ıa a a . . a . o. ´
e
t´nh nˆu c´ thˆ t`m du.o.c c´c sˆ γ1 , γ2 , . . . , γm khˆng dˆng th`.i b˘ng 0
ı ´
e o e ı ’ . a o ´ o `
o o a `
sao cho

γ1 e1 + γ2 e2 + · · · + γm em = 0. (4.11)

2+ Nˆu c´c sˆ γi , i = 1, m nhu. vˆy khˆng tˆn tai (t´.c l` d˘ng
´
e a o ´ a. o `
o . u a a ’
th´.c (4.11) chı thoa m˜n khi γ1 = γ2 = · · · = γm = 0) th` ngu.`.i ta
u ’ ’ a ı o
o ` a o a
. . ´
n´i r˘ng e1, e2, . . . , em dˆc lˆp tuyˆn t´
e ınh.
-. e o a
. . . ´
Dinh ngh˜ 2. Hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ c´c nghiˆm
ıa e ınh a e
.
e1, e2, . . . , em
4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a 167


cua hˆ phu.o.ng tr`nh (4.10) du.o.c goi l` hˆ nghiˆm co. ban cua n´ nˆu
’ e . ı . . a e . e
. ’ ’ o e ´
˜ ’ ` a o .
mˆ i nghiˆm cua hˆ (4.10) dˆu l` tˆ ho
o e e e ’ .p tuyˆn t´nh cua c´c nghiˆm
´
e ı ’ a e
. . .
e1, e2, . . . , em .
Dinh l´ (vˆ su. tˆn tai hˆ nghiˆm co. ban). Nˆu hang cua ma trˆn
-. y ` . `
e o . e . e
. ’ ´
e . ’ a
.
cua hˆ (4.10) b´ ho.n sˆ ˆn th` hˆ (4.10) c´ hˆ nghiˆm co. ban.
’ e . e ´a
o ’ ı e. o e
. e
. ’
168 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


Phu.o.ng ph´p t` hˆ nghiˆm co. ban
a ım e . e
. ’
. so. (gia su. d´ l` x1 , . . . , xr ) v` thu
`a e ` a a . ’
1) Dˆu tiˆn cˆn t´ch ra hˆ ˆn co ’
ea ’ ’ o a a
du.o.c hˆ
. e .

a11x1 + · · · + a1r xr = −a1r+1xr+1 − · · · − a1n xn , 
... ... ... ... ... ... ... (4.12)


ar1x1 + · · · + arr xr = −arr+1xr+1 − · · · − arn xn .

2) Gia su. hˆ (4.12) c´ nghiˆm l`
’ ’ e . o e a
.
(i) (i) (i)
xi = α1 , α2 , . . . , αr ; xr+1, . . . , xn ) ; i = 1, r.

Cho c´c ˆn tu. do c´c gi´ tri

a a . a a .

xr+1 = 1, xr+2 = 0, . . . , xn = 0

ta thu du.o.c
.
(1) (1)
e1 = α1 , α2 , . . . , α(1) ; 1, 0, . . . , 0
r


Tu.o.ng tu., v´.i xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+3 = 0, . . . , xn = 0 ta c´
. o o
(2)
e2 = α1 , . . . , α(2); 0, 1, 0, . . . , 0 , . . .
r


v` sau c`ng v´.i xr+1 = 0, . . . , xn−1 = 0, xn = 1 ta thu du.o.c
a u o .
(k)
ek = (α1 , . . . , α(k) , 0, . . . , 1),
r k = n − r.

Hˆ c´c nghiˆm e1, e2, . . . , ek v`.a thu du.o.c l` hˆ nghiˆm co. ban.
e a
. e
. u . a e . e
. ’

CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng
ı . ım e o
. ’ a a e . e
. ’ ’ e .
tr`
ınh

2x1 + x2 − x3 + x4 = 0,
4x1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 0.
4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a 169


Giai. 1) V` sˆ phu.o.ng tr` b´ ho.n sˆ ˆn nˆn tˆp ho.p nghiˆm cua
’ ı o´ ınh e ´ ’
oa e a . . e
. ’
hˆ l` vˆ han.
e a o .
.
Hiˆn nhiˆn hang cua ma trˆn cua hˆ b˘ng 2 v` trong c´c dinh th´.c
e’ e . ’ a ’ e a
. . ` ı a . u

con cˆp 2 c´ dinh th´
o . u.c con

2 −1
= 0.
4 1

Do vˆy hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ
a e a
. . o e .

2x1 − x3 = −x1 − x4,
4x1 + x3 = −2x2 + 3x4 .

T`. d´ suy ra
u o
−3x2 + 2x4 5
x1 = , x3 = x 4 . (4.13)
6 3
Do d´ tˆp ho.p nghiˆm cua hˆ c´ dang
o a. . e
. ’ e o .
.
−3α + 2β 5
; α; β; β ∀ α, β ∈ R (*)
6 3
2) Nˆu trong (4.13) ta cho c´c ˆn tu. do bo.i c´c gi´ tri lˆn lu.o.t
´
e ’
a a . ’ a a . ` a .
`ng c´c phˆn tu. cua c´c cˆt dinh th´.c

a a `
a ’ ’ a o . . u

1 0
(= 0)
0 1

th` thu du.o.c c´c nghiˆm
ı . a e
.
1 1 5
e1 = − ; 1; 0; 0 v` e2 =
a ; 0; ; 1 .
2 3 3
D´ l` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng tr`nh d˜ cho v` nghiˆm tˆng
o a e . e
. ’ ’ e . ı a a e
. o’
qu´t cua hˆ d˜ cho c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang
a ’ e a . ’ ’
o e e ˜
e o .
1 1 5
X = λe1 + µe2 = λ − ; 1; 0; 0 + µ ; 0; ; 1
2 3 3
170 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


o a a a a ` ´
trong d´ λ v` µ l` c´c h˘ng sˆ t`y y:
o u ´
−3λ + 2µ 5
X= ; λ; µ; µ ∀ λ, µ ∈ R .
6 3
Khi cho λ v` µ c´c gi´ tri sˆ kh´c nhau ta s˜ thu du.o.c c´c nghiˆm
a a a . o a´ e . a e
.
riˆng kh´c nhau.
e a
ı . ’ e
V´ du 2. Giai hˆ
.

x1 + 2x2 − x3 = 0,
−3x1 − 6x2 + 3x3 = 0,


7x1 + 14x2 − 7x3 = 0.

Giai. Hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i phu.o.ng tr`
’ e a
. o ınh

x1 + 2x2 − x3 = 0.

T`. d´ suy ra nghiˆm cua hˆ l`:
u o e
. ’ e a
.
x1 = −2x2 + x3 ,
x2 = x2 ,
x3 = x3 ; x2 v` x3 t`y y,
a u ´

hay du.´.i dang kh´c
o . a

e = (−2x2 + x3 ; x2; x3).

Cho x2 = 1, x3 = 0 ta c´
o

e1 = (−2; 1; 0),

lai cho x2 = 0, x3 = 1 ta thu du.o.c
. .
e2 = (1, 0, 1).

a o a
. . ´
e ınh a . e
. ’ e ` o
Hai h`ng e1 v` e2 l` dˆc lˆp tuyˆn t´ v` moi nghiˆm cua hˆ dˆu c´
a a . e
dang
.
X = λe1 + µe2 = (−2λ + µ; λ; µ)
4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a 171


o a ´
trong d´ λ v` µ l` c´c sˆ t`y y.
a a o u ´
V´ du 3. T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng
ı . ım e o
. ’ a a e . e. ’ ’ e .
tr`
ınh

x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0,

x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0,
2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0,


x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0.

Giai. B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp, dˆ d`ng thˆy r˘ng hˆ d˜ cho
’ `
a a e ´ ’
e o ´
a ˜ a
e ´ `
a a e a
.
o e .a vˆ hˆ bˆc thang sau dˆy
’ du ` e a
c´ thˆ e . . a

x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0, 
x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0,


x4 = 0.

Ta s˜ chon x1 , x2 v` x4 l`m ˆn co. so.; c`n x3 v` x5 l`m ˆn tu. do. Ta
e . a a a ’ ’ o a ’
a a .
c´ hˆ
o e.

x1 + 3x2 + 2x4 = −3x3 − 4x5 , 
x2 + x4 = −2x3 − 3x5 ,


x4 = 0.

Giai hˆ n`y ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t l`
’ e a
. . e
. o’ a a

x1 = 3x3 + 5x5 ,
x2 = −2x3 − 3x5 ,
x4 = 0.

Cho c´c ˆn tu. do lˆn lu.o.t c´c gi´ tri b˘ng x3 = 1, x5 = 0 (khi d´

a a . `
a . a a . a ` o
x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0) v` cho x3 = 0, x5 = 1 (khi d´
a o
x1 = 5, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1) ta thu du.o.c hˆ nghiˆm co. ban
. e . e
. ’

e1 = (3; −2; 1; 0; 0),
e2 = (5; −3; 0; 0; 1).
172 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


T`. d´ nghiˆm tˆng qu´t c´ thˆ viˆt du.´.i dang
u o e
. o’ a o e e ’ ´ o .

X = λ(3; −2; 1; 0; 0) + µ(5; −3; 0; 0; 1)
= (3λ + 5µ; −2λ − 3µ; λ; 0; µ); ∀ λ, µ ∈ R.

B˘ng c´ch cho λ v` µ nh˜.ng gi´ tri sˆ kh´c nhau ta thu du.o.c c´c
`
a a a u a . o a ´ . a
a `
nghiˆm riˆng kh´c nhau. Dˆng th`
e e o o.i, moi nghiˆm riˆng c´ thˆ thu
e e o e ’
. . .
du.o.c t`. d´ b˘ng c´ch chon c´c hˆ sˆ λ v` µ th´ch ho.p.
. u o a ` a . a e o . ´ a ı .
4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a 173

` ˆ
BAI TAP
.
Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` thuˆn nhˆt
’ a e . ınh `
a a´

x1 + 2x2 + 3x3 = 0, 
1. 2x1 + 3x2 + 4x3 = 0, .


3x1 + 4x2 + 5x3 = 0.
(DS. x1 = α, x2 = −2α, x3 = α, ∀ α ∈ R)

x1 + x2 + x3 = 0, 
2. 3x1 − x2 − x3 = 0, . (DS. x1 = x2 = x3 = 0)


2x1 + 3x2 + x3 = 0.
3x1 − 4x2 + x3 − x4 = 0,
3.
6x1 − 8x2 + 2x3 + 3x4 = 0.
4α − β
(DS. x1 = , x2 = α, x3 = β, x4 = 0; α, β ∈ R t`y y)
u ´
3
3x1 + 2x2 − 8x3 + 6x4 = 0,
4.
x1 − x2 + 4x3 − 3x4 = 0.
−α + 4β
(DS. x1 = 0, x2 = α, x3 = β, x4 = ; α, β ∈ R t`y y)
u ´
 3
x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 0, 
5. x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0,


4x1 − 5x2 + 8x3 + x4 = 0.
1 3
(DS. x1 = − α, x2 = α, x3 = α, x4 = 0; α ∈ R t`y y) u ´
4 4
3x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0, 
6. x1 + x2 − x3 − x4 = 0,


5x1 + x2 − x3 = 0.
α 5α
(DS. x1 = − , x2 = + β, x3 = α, x4 = β; α, β ∈ R t`y y)
u ´
4 4

2x1 + x2 + x3 = 0, 

3x1 + 2x2 − 3x3 = 0,
7.
x1 + 3x2 − 4x3 = 0, 


5x1 + x2 − 2x3 = 0.
174 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh

α 9α
(DS. x1 = , x2 = , x3 = α; α ∈ R t`y y)
u ´
7 7
4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt
e
. ınh ´
e ınh `
a ´
a 175


T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua c´c hˆ phu.o.ng
ım e
. o’ a a e . e
. ’ ’ a e .
tr`
ınh
9x1 + 21x2 − 15x3 + 5x4 = 0,
8.
12x1 + 28x2 − 20x3 + 7x4 = 0.
7 5
. o’
(DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = − x2 + x3, x4 = 0.
e a
3 3
Hˆ nghiˆm co. ban e1 = (−7, 3, 0, 0), e2 = (5, 0, 3, 0))
e
. e
. ’

14x1 + 35x2 − 7x3 − 63x4 = 0, 
9. −10x1 − 25x2 + 5x3 + 45x4 = 0,


26x1 + 65x2 − 13x3 − 117x4 = 0.
. o’
(DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x3 = 2x1 + 5x2 − 9x3.
e a
Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (1, 0, 2, 0); e2 = (0, 1, 5, 0); e3 =
e
. e
. ’
(0, 0, −9, 1))

x1 + 4x2 + 2x3 − 3x5 = 0, 
10. 2x1 + 9x2 + 5x3 + 2x4 + x5 = 0,


x1 + 3x2 + x3 − 2x4 − 9x5 = 0.
. o’
(DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = 2x3 + 8x4 , x2 = −x2 − 2x4; x5 = 0.
e a
Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (2, −1, 1, 0, 0); e2 = (8, −2, 0, 1, 0)
e
. e
. ’

x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0,

3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0,
11.
4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0, 


3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0.
. ’
(DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = 8x3 − 7x4 , x2 = −6x3 + 5x4 .
e o a
Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (8, −6, 1, 0), e2 = (−7, 5, 0, 1))
e
. e
. ’

x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0, 

2x1 + 4x2 + 2x3 − x4 = 0,
12.
x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0,


4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.
. ’
(DS. Nghiˆm tˆng qu´t x1 = −2x2 , x4 = 2x3 .
e o a
Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (−2, 1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1, 2))
e
. e
. ’
176 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh


x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0, 


2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + x5 = 0, 

13. 3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 0,


x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 + 9x5 = 0, 


4x1 + 5x2 + 6x3 − 3x4 + 3x5 = 0.
e o
. ’
(DS. Nghiˆm tˆng qu´t x1 = x3 +15x5 , x2 = −2x3 − 12x5 , x4 = x5.
a
Hˆ nghiˆm co ’
e e . ban: e1 = (1, −2, 1, 0, 0), e2 = (15, −12, 0, 1, 1))
. .
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản