Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến
lượt xem 194
download
Tham khảo tài liệu 'chương 4: phép tính vi phân của hàm nhiều biến', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến
- Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN C A HÀM NHI U BI N 4.1 Khái ni m m đ u Không gian Rn 4.1.1 a. Không gian Rn T p Rn = R.R....R = {(x1 , x2 , ..., xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}. | {z } n Cho x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ...yn ) ∈ Rn , k ∈ R ta có x + y = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn kx = (kx1 , kx2 , ..., kxn ) ∈ R Khi đó Rn cùng hai phép toán trên l p thành không gian vector. b. Kho ng cách, chu n trong Rn Gi s M (x1 , x2 , ..., xn ) , N (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Kho ng cách gi a hai đi m M và N, kí hi u d(M, N ), đư c đ nh nghĩa b ng 1 n X (xi − yi ) 2 d(M, N ) = i=1 Chú ý: ∀A, B, C ∈ R thì d(A, C ) ≤ d(A, B ) + d(B, C ) (b t đ ng th c tam giác). Ta g i chu n c a x = (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn là s È x2 + x2 + ... + x2 . ||x|| = 1 2 n N u n = 1 thì ||x|| = |x|. c. Lân c n, đi m t M0 ∈ R. Ta g i −lân c n c a M0 là t p h p t t c nh ng đi m M ∈ R sao cho d(M0 , M ) < . Ta cũng g i m i t p h p ch a m t -lân c n c a M0 là lân c n c a đi m M0 . Kí hi u B (a). Cho X ⊂ Rn . Đi m a ∈ Rn g i là đi m t c a t p X n u m i > 0, B (a) đ u ch a nh ng đi m thu c X khác a. (∀ > 0, ∃x ∈ X : 0 < ||x − a|| < .) 4.1.2 Đ nh nghĩa hàm s nhi u bi n s Đ nh nghĩa 4.1. Cho t p X ⊂ Rn . M t quy t c f đ t tương ng m i đi m x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ X v i m t s th c u = f (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn g i là m t hàm n bi n s có mi n xác đ nh là t p X . Kí hi u u = f (x), x ∈ X ho c x → f (x), x ∈ X.
- 39 http://maths3.wordpress.com Ví d 4.1. f (x, y ) = ln(1 − x2 − y 2 ) là hàm hai bi n có mi n xác đ nh là hình tròn m (không k biên) tâm O, bán kính 1. xyz là hàm ba bi n có mi n xác đ nh là R3 \{0, 0, 0} Ví d 4.2. f (x, y, z ) = 2 x + y2 + z2 4.1.3 Gi i h n c a hàm s nhi u bi n s 1. Đ nh nghĩa. Đ nh nghĩa 4.2. Cho hàm u = f (x) xác đ nh trên t p X ⊂ Rn , a là m t đi m t c a X . Khi đó ta nói hàm f (x) có gi i h n là A khi x d n đ n a n u m i dãy {ak } ⊂ {a} mà lim ak = a ta đ u có x→∞ lim {ak } = A. x→∞ Kí hi u x→af (x) = A hay f (x) → A, x → a. lim Chú ý r ng, x = (x1 , x2 , ...xn ) → a = (a1 , a2 , ...an ) khi xi → ai (i = 1, ..., n). 2. Tính ch t i) Gi i h n c a hàm s nhi u bi n là duy nh t. ii) N u có x→a f (x) = A, x→a g (x) = B thì lim lim lim (f (x) ± g (x)) = A ± B ; x→a lim f (x) g (x) = AB ; x→a f (x) A lim = (B = 0) . x→a g (x) B 3. Ví d 2x − 3 Ví d 4.3. Tính lim x2 + y 2 x→ 0 y →1 2x − 3 có mi n xác đ nh R2 \{0, 0}. HD. Hàm f (x) = 2 x + y2 2xn − 3 2.0 − 3 Xét dãy tuỳ ý {(xn , yn )} ⊂ R2 \ {(0, 0) ; (0, 1)} , xn → 0, yn → 1 ta có: →2 = −3 2 + y2 0 + 12 xn n V y, limf (x) = −3 x→ 0 y →1 x Ví d 4.4. Tính lim x→ 0 y − x y →0 1 2 xn thì (xn , yn ) → (0, 0) và = 1 → 1. M t khác n u ta HD. Ch n dãy xn = , yn = y n − xn n n 1 3 xn 1 1 = → . Như v y gi i h n trên là không t n t i. ch n dãy xn = , yn = thì và y n − xn n n 2 2 4. Gi i h n l p Cho hàm hai bi n f (x, y ) xác đ nh trên t p X , (x0 , y0 ) là đi m t c a t p X , v i y = y0 đ t : g (y ) = lim f (x, y ) . x→x0 N u t n t i lim g (y ) = A thì ta g i A là gi i h n l p c a hàm f (x, y ) khi x → x0 , y → y0 và y →y0 kí hi u là : ylim xlim f (x, y ) . →y →x 0 0 Tương t ta có gi i h n l p : lim lim f (x, y ) . x→x0 y →y0
- 40 http://maths3.wordpress.com x lim lim = lim 0 = 0 y − x y →0 y →0 x→0 Ví d 4.5. a. x x = −1 lim lim = lim x→0 y →0 y − x x→0 −x x * Gi i h n lim là không t n t i. x→0 y − x y →0
-
- 1
- 1
- x sin
- ≤ |x| → 0 . Nhưng không t n t i gi i h n l p vì b. T n t i gi i kép lim x sin = 0
- y
- y x→ 0 y →0 1 không t n t i lim sin . y y →y0 4.1.4 Tính liên t c và liên t c đ u c a hàm s nhi u bi n Đ nh nghĩa 4.3. Cho hàm u = f (x) xác đ nh trên t p X ⊂ Rn . Hàm f (x) g i là liên t c t i đi m x0 ∈ X n u lim f (x) = f (x0 ). x→x0 N u f(x) liên t c t i m i x ∈ X ta nói f (x) liên t c trên t p X. Hàm f (x) đư c g i là liên t c đ u trên t p X n u : ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ X : x − y < δ ⇒ f (x) − f (y ) < ε Nh n xét: N u f (x) liên t c đ u trên X thì liên t c trên X . Ngư c l i nói chung không đúng. ¦ © Đ nh nghĩa 4.4. T p K ⊂ Rn đư c g i là t p compăc n u m i dãy ak = xk , xk , ..., xk ⊂K đ u 1 2 n có dãy con h i t t i a ∈ K. i) N u hàm f (x) liên t c trên t p compăc K n m trong Rn thì đ t c n trên đúng và c n dư i đúng trên K , t c là t n t i a, b ∈ K sao cho f (a) ≤ f (x) ≤ f (b), ∀x ∈ K ii) N u hàm f (x) liên t c trên t p compăc K ⊂ Rn thì f (x) liên t c đ u trên K . 4.2 Đ o hàm riêng 4.2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 4.5. Gi s hàm s z = f (x, y ) xác đ nh trên m t -lân c n c a đi m (x0 , y0 ). Cho x s gia ∆x . Khi đó ta có s gia hàm s t i (x0 , y0 ) là : ∆x f = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x f N u t n t i và h u h n gi i h n lim thì gi i h n đó g i là đ o hàm riêng c a hàm z = f (x, y ) ∆x→0 ∆x ∂f theo bi n x t i đi m (x0 , y0 ) và ký hi u là (x0 , y0 ) ho c fx (x0 , y0 ) . ∂x Nh n xét : Đ o hàm riêng theo bi n x là đ o hàm c a hàm z = f (x, y ) theo bi n x n u coi y là h ng s . Tương t ta có đ o hàm riêng theo bi n y. Kí hi u là z = f (x, y ) ho c fy (x0 , y0 ) Cho hàm n bi n u = f (x1 , x2 , ..., xn ) thì đ o hàm riêng theo bi n xi là đ o hàm c a hàm theo xi ∂f ho c fxi . (như hàm m t bi n) n u coi t t c các bi n khác là h ng s . Kí hi u ∂xi Ví d 4.6. a. Cho f (x, y ) = x3 − 2xy 2 + y ta có ∂f ∂f (x, y ) = 3x2 − 2y 2 , (x, y ) = −4xy + 1 ∂x ∂y ∂f ∂f (1, 0) = 3, (1, 0) = 1 ∂x ∂y
- 41 http://maths3.wordpress.com ∂f b) f (x, y ) = |x| ta có f (0, y ) = 0 ⇒ (0, 0) = 0 nhưng f (x, 0) = |x| là hàm m t bi n không ∂y ∂f có đ o hàm t i x = 0 nên không t n t i (0, 0) ∂x 4.2.2 Đ o hàm riêng c p cao, đ nh lý Schawartz a. Đ nh nghĩa đ o hàm riêng c p cao Xét hàm hai bi n z = f (x, y ) ta có: ∂ 2f ∂ ∂f = = fxx = fx2 ∂x ∂x ∂x2 ∂ 2f ∂ ∂f = = fxy ∂y ∂x ∂x∂y ∂ 2f ∂ ∂f = = fy x ∂x ∂y ∂y∂x ∂ 2f ∂ ∂f = = fy y = fy 2 ∂y 2 ∂y ∂y Ví d 4.7. Cho hàm f (x, y ) = x3 y + ey sin x Ta có ∂f ∂f = 3x2 y + ey cos x; = x3 + ey sin x ∂x ∂y ∂ 2f = fx2 = 6xy − ey sin x ∂x2 ∂ 2f = fxy = 3x2 + ey cos x ∂x∂y ∂ 2f = fyx = 3x2 + ey cos x ∂y∂x ∂ 2f = fy2 = ey sin x ∂y 2 b. Đ nh lý Schawartz N u các đ o hàm h n h p fxy , fyx xác đ nh và liên t c trong m t -lân c n c a đi m x0 , y0 thì : fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) 4.3 Vi phân c a hàm hai bi n s 4.3.1 Đ nh nghĩa Cho hàm s hai bi n z = f (x, y ) xác đ nh trong m t lân c n c a đi m (x0 , y0 ). Cho x s gia ∆x , y s gia ∆y . Khi đó ta g i s gia toàn ph n c a hàm f (x, y ) t i (x0 , y0 ) là : ∆f (x0 , y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) Hàm f (x, y ) đư c g i là kh vi t i (x0 , y0 ) n u s gia toàn ph n ∆f t i (x0 , y0 ) có th vi t dư i d ng : ∆f (x0 , y0 ) = A∆x + B ∆y + α∆x + β ∆y trong đó A, B là các h ng s , α → 0 & β → 0 khi ∆x → 0 &∆y → 0 . Kí hi u là df (x0 , y0 ) = A∆x + B ∆y và g i là vi phân c a hàm f (x, y ) t i đi m (x0 , y0 ) .
- 42 http://maths3.wordpress.com 4.3.2 Đi u ki n kh vi Đ nh lý 4.1. N u hàm f (x, y ) kh vi t i (x0 , y0 ) thì nó liên t c t i (x0 , y0 ) . Đ nh lý 4.2. N u hàm f (x, y ) kh vi t i (x0 , y0 ) thì nó có các đ o hàm riêng t i (x0 , y0 ) , hơn n a fx (x0 , y0 ) = A; fy (x0 , y0 ) = B. Đ nh lý 4.3. N u hàm f (x, y ) xác đ nh trong m t − lân c n c a đi m (x0 , y0 ), có các đ o hàm riêng fx , fy liên t c t i đi m (x0 , y0 ) thì hàm f (x, y ) kh vi t i (x0 , y0 ). 4.3.3 Đ o hàm c a hàm h p và đ o hàm c a hàm n a. Đ o hàm hàm h p Cho hàm z = f (x, y ) có các đ o hàm riêng liên t c trong m t mi n m D, x = x (t) , y = dz ∂z ∂x ∂z ∂y y (t) , t ∈ (a, b) là các hàm kh vi sao cho (x (t) , y (t)) ∈ D. Ta có = + . dt ∂x ∂t ∂y ∂t N u hàm z = f (x, y ) = f (x (u, v ) , y (y, v )) thì khi l y đ o hàm theo u ta coi v như là h ng s và ngư c l i nên ta có : ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v dz ∂f ∂f dy Trư ng h p đ c bi t z = f (x, y ) = f (x, y (x)) thì ta có = + . dx ∂x ∂y dx b. Đ o hàm c a hàm n Cho phương trình F (x, y ) = 0 trong đó F (x, y ) xác đ nh trong m t mi n m D ⊂ R2 . N u t n t i kho ng (a, b) đ m i x ∈ (a, b), t n t i y = y (x) sao cho F (x, y (x)) thì ta nói F (x, y ) = 0 xác đ nh m t hàm n y theo x. Đ nh lý 4.4. Cho hàm F (x, y ) th a mãn các đi u ki n: i) Xác đ nh và liên t c trong lân c n Bε (x0 , y0 ) ; ii) F (x0 , y0 ) = 0; iii) Fx , Fy t n t i và liên t c trong lân c n Bε (x0 , y0 ) ; iv) Fy (x0 , y0 ) = 0. Khi đó phương trình F (x, y ) = 0 xác đ nh m t hàm n y = y (x), x ∈ (x0 − δ, x0 + δ ) sao cho y (x0 ) = y0 và F (x, y (x)) = 0 v i m i x ∈ (x0 − δ, x0 + δ ) . F Hàm y = y (x) có đ o hàm liên t c trên (x0 − δ, x0 + δ ) và có các công th c yx = − x Fy = 0 . Fy Đ nh lý 4.5. Cho hàm s F (x, y, z ) tho mãn các đi u ki n i) Xác đ nh và liên t c trong lân c n Bε (x0 , y0 , z0 ) ; ii) F (x0 , y0 , z0 ) = 0; iii) Fx , Fy , Fz t n t i và liên t c trong Bε (x0 , y0 , z0 ) ; iv) Fz (x0 , y0 , z0 ) = 0. Khi đó phương trình F (x, y, z ) = 0 xác đ nh m t hàm n Z = Z (x, y ) , (x, y ) ∈ Bδ (x0 , y0 ) sao cho Z (x0 , y0 ) = Z0 và F (x, y, Z (x, y )) = 0, ∀ (x, y ) ∈ Bδ (x0 , y0 ) . Hàm Z = Z (x, y ) có các đ o hàm riêng liên t c trên Bδ (x0 , y0 ) và F Fx ; Zy = − y (Fz = 0) Zx = − Fz Fz
- 43 http://maths3.wordpress.com 4.4 C c tr c a hàm hai bi n s 4.4.1 Công th c Taylor c a hàm hai bi n s Cho hàm f (x, y ) có các đ o hàm riêng đ n c p n + 1 trong -lân c n Bε (x0 , y0 ) . V i các giá tr ε ε h, k đ bé |h| < √ , |y | < √ . đ t F (t) = f (x, y ) = f (x0 + ht, y0 + kt) , t ∈ [0, 1] 2 2 Do hàm F (t) kh vi đ n c p n + 1 trên đo n [0, 1] nên theo công th c Taylor c a hàm m t bi n ta có : F (n) (0) F (n+1) (0) F (0) F (0) , θ ∈ (0, 1) F (1) = F (0) + + + ... + + 1! 2! n! (n + 1)! Ta có F (t) = hfx (x, y ) + kfy (x, y ) v i x = x0 + h, y = y0 + k. T đó ta cũng có F (t) = h2 fx2 (x, y ) + k 2 fy2 (x, y ) 2 d2 F ∂ ∂ Hay có th vi t m t cách hình th c F (t) = 2 = h+ k f (x, y ) dt ∂x ∂y n dn F ∂ ∂ = h+ k f (x, y ) . B ng qui n p ta có dtn ∂x ∂y 4.4.2 C c tr c a hàm hai bi n s a. Đ nh nghĩa. Đ nh nghĩa 4.6. Cho hàm hai bi n s z = f (x, y ) xác đ nh trong m t lân c n đi m (x0 , y0 ). Đi m (x0 , y0 ) đư c g i là m c c đ i (hay c c ti u) c a hàm z = f (x, y ) n u t n t i > 0 sao cho đi f (x, y ) ≤ f (x0 , y0 ) f (x, y ) ≥ f (x0 , y0 ) v i m i (x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) . N u các b t đ ng th c trên là th c s t i (x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) , (x, y ) = (x0 , y0 ) thì ta nói các đi m là c c đ i (hay c c ti u) th c s . Các đi m c c đ i (c c ti u) g i chung là các đi m c c tr . b. Đi u ki n c n và đ đ hàm hai bi n có c c tr Đ nh lý 4.6 (Đi u ki n c n). N u hàm f (x, y ) có c c tr t i đi m (x0 , y0 ) mà t n t i các đ o hàm riêng fx , fy thì các đ o hàm đó b ng 0. * Các đi m mà t i đó các đ o hàm riêng b ng 0 đư c g i là các đi m d ng. Đ nh lý 4.7 (Đi u ki n đ ). Cho hàm s f (x, y ) có các đ o hàm riêng đ n c p 2 liên t c trong m t lân c n c a t ng đi m d ng (x0 , y0 ). Đ t A = fx2 (x0 , y0 ) , B = fxy (x0 , y0 ) , C = fy2 (x0 , y0 ) và ∆ = AC − B 2 Khi đó : i) N u ∆ > 0 thì hàm đ t c c tr t i (x0 , y0 )., hơn n a n u A > 0 thì hàm đ t c c ti u th c s , A < 0 thì hàm đ t c c đ i th c s t i (x0 , y0 ). ii) N u ∆ < 0 thì hàm không đ t c c tr t i (x0 , y0 ). iii) N u ∆ = 0 thì hàm có th đ t c c tr ho c không đ t c c tr t i (x0 , y0 ). Ví d 4.8. Tìm c c tr c a hàm s f (x, y ) = x3 + y 3 − 3xy HD. Ta có fx (x, y ) = 3x2 − 3y, fy (x, y ) = 3y 2 − 3x ¨ 3x2 − 3y = 0 ta tìm đư c hai đi m d ng là (1, 1)và (0, 0). Gi i h 3y 2 − 3x = 0
- 44 http://maths3.wordpress.com Vì fx2 = 6x, fxy = −3, fy2 = 6y nên : + T i đi m (1, 1) có A = 6, B = −3, C = 6. Vì ∆ = 27 > 0 và A > 0 nên (1, 1) là đi m c c ti u và f (1, 1) = −1 + T i (0, 0) có A = 0, B = −3, C = 0 suy ra ∆ = −9 < 0 nên đi m (0, 0) không ph i là đi m c c tr . BÀI T P CHƯƠNG 4 4.1. Tính đ o hàm riêng c p m t c a các hàm s sau: x3 + y 3 d) f (x, y ) = ln(x + ln y ); a) f (x, y ) = ; e) f (x, y ) = exy cos x sin y ; x2 + y 2√ 3 f)f (x, y ) = xy (x > 0). b) f (x, y ) = ln(x + x2 + y 2 ); x c) f (x, y ) = y 2 sin ; y 4.2. Tính đ o hàm c a các hàm h p sau: √ 2 2 a) z = eu −2v , u = cos x, v = x2 + y 2 ; x b) z = ln(x2 + v 2 ), u = xy, v = ; y u 2 c) z = x ln y, x = , v = 3u − 2v ; v d) z = uev + ve−u , u = ex , v = yx2 ; x e) z = xe y , x = cos t, y = e2t ; √ f) z = x 1 + y 2 , x = te2t , y = e−t . 4.3. Tính vi phân toàn ph n c a các hàm s : y R a) z = sin(x2 + y 2 ); 2 f) z = et dt; b) z = ex (cos y + x sin y ); x x y y R c) z = ln tg ; t2 cos 2tdt; g) z = x xy √ √ x+y d) z = arctg ; 3 = y 2 x3 − 3y z 2 ; h) u x−y i) u = xe + ye + zex ; y z x y e) z = e y + e− x ; 2 j) u = xy z , (x > 0). 4.4. Dùng vi phân, tính g n đúng các s sau: È È a) 3 (1, 02)2 + (0, 05)2 ; 9.(1, 95)2 + (8, 1)2 ; c) √ √ È b) ln( 3 1, 03 + 4 0, 98 − 1); sin2 1, 55 + 8.e0,015 . d) 4.5. Tính đ o hàm c a các hàm s n xác đ nh b i các phương trình sau: a) x3 y − y 3 x = a4 , tính y ; e) x + y + z = ez , tính zx , zy ; b) xey + yex − exy tính y ; c) y 5 + 3x2 y 2 + 5x4 = 0 tính y ; f) x3 + y 3 + z 3 = 3xyz, tính zx , zy ; √ √ d) 3 sin yx − 2 cos yx + 1 = 0 tính y ; g) xy 2 z 3 + x3 y 2 z = x + y + z, tính zx , zy ;
- 45 http://maths3.wordpress.com h) xey + yz + zex = 0, tính zx , zy ; i)xyz = cos(x + y + z ), tính zx , zy ; j) y 2 zex+y − sin(xyz ) = 0 tính zx , zy . 4.6. Tìm c c tr c a các hàm s a) z = 4(x − y ) − x2 − y 2 ; e) z = xy ln(x2 + y 2 ); b) z = x2 + xy + y 2 + x − y + 1; f) z = (x − y )2 + (x + y )3 ; c) z = x + y − xry ; g) z = x2 y 3 (3x + 2y + 1); d) z = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 ; h) z = x4 + y 4 − 2(x − y )2 . 4.7. Ch ng minh r ng: ∂ 2u ∂ 2u 1 a) Hàm s u(x, y ) = ln √ 2 th a mãn: ∆u = + =0 ∂x2 ∂y 2 x + y2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 1 b) Hàm s u(x, y, z ) = ln √ 2 th a mãn phương trình ∆u = + + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 x + y2 + z2
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Sách hướng dẫn học Toán cao cấp A1
138 p | 24531 | 5961
-
Giáo trình Toán học cao cấp: Tập 1
270 p | 1346 | 479
-
Hướng dẫn giải bài tập Giải tích II
359 p | 1840 | 456
-
Bài Giảng Giải tích II: Phần 2 - Bùi Xuân Diệu
52 p | 1449 | 338
-
Bài giảng Toán cao cấp A1 Đại học - ĐH Công nghiệp TP.HCM
33 p | 598 | 99
-
Phép tính vi phân của hàm một biến
44 p | 380 | 60
-
Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 1
37 p | 94 | 18
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh
6 p | 369 | 17
-
Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ): Phần 1 - Trường Đại học Vinh
151 p | 150 | 12
-
Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2
105 p | 53 | 8
-
Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Trường ĐH Sài Gòn
334 p | 59 | 7
-
Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 4 - Nguyễn Thị Nhung (ĐH Thăng Long)
16 p | 81 | 5
-
Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp
63 p | 24 | 4
-
Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản
48 p | 7 | 4
-
Toán học cao cấp: Tập 3 - Phép tính giải tích nhiều biến số
275 p | 6 | 4
-
Bài giảng Vi tích phân 1C: Chương 4 - Cao Nghi Thục
61 p | 6 | 3
-
Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 4 - Nguyễn Thị Nhung (ĐH Thăng Long)(tt)
15 p | 65 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn