intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến

Chia sẻ: Van Dung Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

1.202
lượt xem
194
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 4: phép tính vi phân của hàm nhiều biến', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến

  1. Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN C A HÀM NHI U BI N 4.1 Khái ni m m đ u Không gian Rn 4.1.1 a. Không gian Rn T p Rn = R.R....R = {(x1 , x2 , ..., xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}. | {z } n Cho x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ...yn ) ∈ Rn , k ∈ R ta có x + y = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn kx = (kx1 , kx2 , ..., kxn ) ∈ R Khi đó Rn cùng hai phép toán trên l p thành không gian vector. b. Kho ng cách, chu n trong Rn Gi s M (x1 , x2 , ..., xn ) , N (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Kho ng cách gi a hai đi m M và N, kí hi u d(M, N ), đư c đ nh nghĩa b ng 1 n ‹ X (xi − yi ) 2 d(M, N ) = i=1 Chú ý: ∀A, B, C ∈ R thì d(A, C ) ≤ d(A, B ) + d(B, C ) (b t đ ng th c tam giác). Ta g i chu n c a x = (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn là s È x2 + x2 + ... + x2 . ||x|| = 1 2 n N u n = 1 thì ||x|| = |x|. c. Lân c n, đi m t M0 ∈ R. Ta g i −lân c n c a M0 là t p h p t t c nh ng đi m M ∈ R sao cho d(M0 , M ) < . Ta cũng g i m i t p h p ch a m t -lân c n c a M0 là lân c n c a đi m M0 . Kí hi u B (a). Cho X ⊂ Rn . Đi m a ∈ Rn g i là đi m t c a t p X n u m i > 0, B (a) đ u ch a nh ng đi m thu c X khác a. (∀ > 0, ∃x ∈ X : 0 < ||x − a|| < .) 4.1.2 Đ nh nghĩa hàm s nhi u bi n s Đ nh nghĩa 4.1. Cho t p X ⊂ Rn . M t quy t c f đ t tương ng m i đi m x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ X v i m t s th c u = f (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn g i là m t hàm n bi n s có mi n xác đ nh là t p X . Kí hi u u = f (x), x ∈ X ho c x → f (x), x ∈ X.
  2. 39 http://maths3.wordpress.com Ví d 4.1. f (x, y ) = ln(1 − x2 − y 2 ) là hàm hai bi n có mi n xác đ nh là hình tròn m (không k biên) tâm O, bán kính 1. xyz là hàm ba bi n có mi n xác đ nh là R3 \{0, 0, 0} Ví d 4.2. f (x, y, z ) = 2 x + y2 + z2 4.1.3 Gi i h n c a hàm s nhi u bi n s 1. Đ nh nghĩa. Đ nh nghĩa 4.2. Cho hàm u = f (x) xác đ nh trên t p X ⊂ Rn , a là m t đi m t c a X . Khi đó ta nói hàm f (x) có gi i h n là A khi x d n đ n a n u m i dãy {ak } ⊂ {a} mà lim ak = a ta đ u có x→∞ lim {ak } = A. x→∞ Kí hi u x→af (x) = A hay f (x) → A, x → a. lim Chú ý r ng, x = (x1 , x2 , ...xn ) → a = (a1 , a2 , ...an ) khi xi → ai (i = 1, ..., n). 2. Tính ch t i) Gi i h n c a hàm s nhi u bi n là duy nh t. ii) N u có x→a f (x) = A, x→a g (x) = B thì lim lim lim (f (x) ± g (x)) = A ± B ; x→a lim f (x) g (x) = AB ; x→a f (x) A lim = (B = 0) . x→a g (x) B 3. Ví d 2x − 3 Ví d 4.3. Tính lim x2 + y 2 x→ 0 y →1 2x − 3 có mi n xác đ nh R2 \{0, 0}. HD. Hàm f (x) = 2 x + y2 2xn − 3 2.0 − 3 Xét dãy tuỳ ý {(xn , yn )} ⊂ R2 \ {(0, 0) ; (0, 1)} , xn → 0, yn → 1 ta có: →2 = −3 2 + y2 0 + 12 xn n V y, limf (x) = −3 x→ 0 y →1 x Ví d 4.4. Tính lim x→ 0 y − x y →0 1 2 xn thì (xn , yn ) → (0, 0) và = 1 → 1. M t khác n u ta HD. Ch n dãy xn = , yn = y n − xn n n 1 3 xn 1 1 = → . Như v y gi i h n trên là không t n t i. ch n dãy xn = , yn = thì và y n − xn n n 2 2 4. Gi i h n l p Cho hàm hai bi n f (x, y ) xác đ nh trên t p X , (x0 , y0 ) là đi m t c a t p X , v i y = y0 đ t : g (y ) = lim f (x, y ) . x→x0 N u t n t i lim g (y ) = A thì ta g i A là gi i h n l p c a hàm f (x, y ) khi x → x0 , y → y0 và y →y0 kí hi u là : ylim xlim f (x, y ) . →y →x 0 0 Tương t ta có gi i h n l p : lim lim f (x, y ) . x→x0 y →y0
  3. 40 http://maths3.wordpress.com x lim lim = lim 0 = 0 y − x y →0 y →0 x→0 Ví d 4.5. a. x x = −1 lim lim = lim x→0 y →0 y − x x→0 −x x * Gi i h n lim là không t n t i. x→0 y − x y →0
  4. 
  5. ‹ 1
  6. 1
  7. x sin
  8. ≤ |x| → 0 . Nhưng không t n t i gi i h n l p vì b. T n t i gi i kép lim x sin = 0
  9. y
  10. y x→ 0 y →0 1 không t n t i lim sin . y y →y0 4.1.4 Tính liên t c và liên t c đ u c a hàm s nhi u bi n Đ nh nghĩa 4.3. Cho hàm u = f (x) xác đ nh trên t p X ⊂ Rn . Hàm f (x) g i là liên t c t i đi m x0 ∈ X n u lim f (x) = f (x0 ). x→x0 N u f(x) liên t c t i m i x ∈ X ta nói f (x) liên t c trên t p X. Hàm f (x) đư c g i là liên t c đ u trên t p X n u : ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ X : x − y < δ ⇒ f (x) − f (y ) < ε Nh n xét: N u f (x) liên t c đ u trên X thì liên t c trên X . Ngư c l i nói chung không đúng. ¦ € Š© Đ nh nghĩa 4.4. T p K ⊂ Rn đư c g i là t p compăc n u m i dãy ak = xk , xk , ..., xk ⊂K đ u 1 2 n có dãy con h i t t i a ∈ K. i) N u hàm f (x) liên t c trên t p compăc K n m trong Rn thì đ t c n trên đúng và c n dư i đúng trên K , t c là t n t i a, b ∈ K sao cho f (a) ≤ f (x) ≤ f (b), ∀x ∈ K ii) N u hàm f (x) liên t c trên t p compăc K ⊂ Rn thì f (x) liên t c đ u trên K . 4.2 Đ o hàm riêng 4.2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 4.5. Gi s hàm s z = f (x, y ) xác đ nh trên m t -lân c n c a đi m (x0 , y0 ). Cho x s gia ∆x . Khi đó ta có s gia hàm s t i (x0 , y0 ) là : ∆x f = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x f N u t n t i và h u h n gi i h n lim thì gi i h n đó g i là đ o hàm riêng c a hàm z = f (x, y ) ∆x→0 ∆x ∂f theo bi n x t i đi m (x0 , y0 ) và ký hi u là (x0 , y0 ) ho c fx (x0 , y0 ) . ∂x Nh n xét : Đ o hàm riêng theo bi n x là đ o hàm c a hàm z = f (x, y ) theo bi n x n u coi y là h ng s . Tương t ta có đ o hàm riêng theo bi n y. Kí hi u là z = f (x, y ) ho c fy (x0 , y0 ) Cho hàm n bi n u = f (x1 , x2 , ..., xn ) thì đ o hàm riêng theo bi n xi là đ o hàm c a hàm theo xi ∂f ho c fxi . (như hàm m t bi n) n u coi t t c các bi n khác là h ng s . Kí hi u ∂xi Ví d 4.6. a. Cho f (x, y ) = x3 − 2xy 2 + y ta có ∂f ∂f (x, y ) = 3x2 − 2y 2 , (x, y ) = −4xy + 1 ∂x ∂y ∂f ∂f (1, 0) = 3, (1, 0) = 1 ∂x ∂y
  11. 41 http://maths3.wordpress.com ∂f b) f (x, y ) = |x| ta có f (0, y ) = 0 ⇒ (0, 0) = 0 nhưng f (x, 0) = |x| là hàm m t bi n không ∂y ∂f có đ o hàm t i x = 0 nên không t n t i (0, 0) ∂x 4.2.2 Đ o hàm riêng c p cao, đ nh lý Schawartz a. Đ nh nghĩa đ o hàm riêng c p cao Xét hàm hai bi n z = f (x, y ) ta có: ‚ Œ ∂ 2f ∂ ∂f = = fxx = fx2 ∂x ‚ ∂x Œ ∂x2 ∂ 2f ∂ ∂f = = fxy ∂y ‚ ∂x Œ ∂x∂y ∂ 2f ∂ ∂f = = fy x ∂x ‚ ∂y Œ ∂y∂x ∂ 2f ∂ ∂f = = fy y = fy 2 ∂y 2 ∂y ∂y Ví d 4.7. Cho hàm f (x, y ) = x3 y + ey sin x Ta có ∂f ∂f = 3x2 y + ey cos x; = x3 + ey sin x ∂x ∂y ∂ 2f = fx2 = 6xy − ey sin x ∂x2 ∂ 2f = fxy = 3x2 + ey cos x ∂x∂y ∂ 2f = fyx = 3x2 + ey cos x ∂y∂x ∂ 2f = fy2 = ey sin x ∂y 2 b. Đ nh lý Schawartz N u các đ o hàm h n h p fxy , fyx xác đ nh và liên t c trong m t -lân c n c a đi m x0 , y0 thì : fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) 4.3 Vi phân c a hàm hai bi n s 4.3.1 Đ nh nghĩa Cho hàm s hai bi n z = f (x, y ) xác đ nh trong m t lân c n c a đi m (x0 , y0 ). Cho x s gia ∆x , y s gia ∆y . Khi đó ta g i s gia toàn ph n c a hàm f (x, y ) t i (x0 , y0 ) là : ∆f (x0 , y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) Hàm f (x, y ) đư c g i là kh vi t i (x0 , y0 ) n u s gia toàn ph n ∆f t i (x0 , y0 ) có th vi t dư i d ng : ∆f (x0 , y0 ) = A∆x + B ∆y + α∆x + β ∆y trong đó A, B là các h ng s , α → 0 & β → 0 khi ∆x → 0 &∆y → 0 . Kí hi u là df (x0 , y0 ) = A∆x + B ∆y và g i là vi phân c a hàm f (x, y ) t i đi m (x0 , y0 ) .
  12. 42 http://maths3.wordpress.com 4.3.2 Đi u ki n kh vi Đ nh lý 4.1. N u hàm f (x, y ) kh vi t i (x0 , y0 ) thì nó liên t c t i (x0 , y0 ) . Đ nh lý 4.2. N u hàm f (x, y ) kh vi t i (x0 , y0 ) thì nó có các đ o hàm riêng t i (x0 , y0 ) , hơn n a fx (x0 , y0 ) = A; fy (x0 , y0 ) = B. Đ nh lý 4.3. N u hàm f (x, y ) xác đ nh trong m t − lân c n c a đi m (x0 , y0 ), có các đ o hàm riêng fx , fy liên t c t i đi m (x0 , y0 ) thì hàm f (x, y ) kh vi t i (x0 , y0 ). 4.3.3 Đ o hàm c a hàm h p và đ o hàm c a hàm n a. Đ o hàm hàm h p Cho hàm z = f (x, y ) có các đ o hàm riêng liên t c trong m t mi n m D, x = x (t) , y = dz ∂z ∂x ∂z ∂y y (t) , t ∈ (a, b) là các hàm kh vi sao cho (x (t) , y (t)) ∈ D. Ta có = + . dt ∂x ∂t ∂y ∂t N u hàm z = f (x, y ) = f (x (u, v ) , y (y, v )) thì khi l y đ o hàm theo u ta coi v như là h ng s và ngư c l i nên ta có : ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v dz ∂f ∂f dy Trư ng h p đ c bi t z = f (x, y ) = f (x, y (x)) thì ta có = + . dx ∂x ∂y dx b. Đ o hàm c a hàm n Cho phương trình F (x, y ) = 0 trong đó F (x, y ) xác đ nh trong m t mi n m D ⊂ R2 . N u t n t i kho ng (a, b) đ m i x ∈ (a, b), t n t i y = y (x) sao cho F (x, y (x)) thì ta nói F (x, y ) = 0 xác đ nh m t hàm n y theo x. Đ nh lý 4.4. Cho hàm F (x, y ) th a mãn các đi u ki n: i) Xác đ nh và liên t c trong lân c n Bε (x0 , y0 ) ; ii) F (x0 , y0 ) = 0; iii) Fx , Fy t n t i và liên t c trong lân c n Bε (x0 , y0 ) ; iv) Fy (x0 , y0 ) = 0. Khi đó phương trình F (x, y ) = 0 xác đ nh m t hàm n y = y (x), x ∈ (x0 − δ, x0 + δ ) sao cho y (x0 ) = y0 và F (x, y (x)) = 0 v i m i x ∈ (x0 − δ, x0 + δ ) . F€ Š Hàm y = y (x) có đ o hàm liên t c trên (x0 − δ, x0 + δ ) và có các công th c yx = − x Fy = 0 . Fy Đ nh lý 4.5. Cho hàm s F (x, y, z ) tho mãn các đi u ki n i) Xác đ nh và liên t c trong lân c n Bε (x0 , y0 , z0 ) ; ii) F (x0 , y0 , z0 ) = 0; iii) Fx , Fy , Fz t n t i và liên t c trong Bε (x0 , y0 , z0 ) ; iv) Fz (x0 , y0 , z0 ) = 0. Khi đó phương trình F (x, y, z ) = 0 xác đ nh m t hàm n Z = Z (x, y ) , (x, y ) ∈ Bδ (x0 , y0 ) sao cho Z (x0 , y0 ) = Z0 và F (x, y, Z (x, y )) = 0, ∀ (x, y ) ∈ Bδ (x0 , y0 ) . Hàm Z = Z (x, y ) có các đ o hàm riêng liên t c trên Bδ (x0 , y0 ) và F Fx ; Zy = − y (Fz = 0) Zx = − Fz Fz
  13. 43 http://maths3.wordpress.com 4.4 C c tr c a hàm hai bi n s 4.4.1 Công th c Taylor c a hàm hai bi n s Cho hàm f (x, y ) có các đ o Œ hàm riêng đ n c p n + 1 trong -lân c n Bε (x0 , y0 ) . V i các giá tr ‚ ε ε h, k đ bé |h| < √ , |y | < √ . đ t F (t) = f (x, y ) = f (x0 + ht, y0 + kt) , t ∈ [0, 1] 2 2 Do hàm F (t) kh vi đ n c p n + 1 trên đo n [0, 1] nên theo công th c Taylor c a hàm m t bi n ta có : F (n) (0) F (n+1) (0) F (0) F (0) , θ ∈ (0, 1) F (1) = F (0) + + + ... + + 1! 2! n! (n + 1)! Ta có F (t) = hfx (x, y ) + kfy (x, y ) v i x = x0 + h, y = y0 + k. T đó ta cũng có F (t) = h2 fx2 (x, y ) + k 2 fy2 (x, y ) ‚ Œ2 d2 F ∂ ∂ Hay có th vi t m t cách hình th c F (t) = 2 = h+ k f (x, y ) dt ∂x ∂y ‚ Œn dn F ∂ ∂ = h+ k f (x, y ) . B ng qui n p ta có dtn ∂x ∂y 4.4.2 C c tr c a hàm hai bi n s a. Đ nh nghĩa. Đ nh nghĩa 4.6. Cho hàm hai bi n s z = f (x, y ) xác đ nh trong m t lân c n đi m (x0 , y0 ). Đi m (x0 , y0 ) đư c g i là  m c c đ i (hay c c ti u) c a hàm z = f (x, y ) n u t n t i > 0 sao cho đi ‹ f (x, y ) ≤ f (x0 , y0 ) f (x, y ) ≥ f (x0 , y0 ) v i m i (x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) . N u các b t đ ng th c trên là th c s t i (x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) , (x, y ) = (x0 , y0 ) thì ta nói các đi m là c c đ i (hay c c ti u) th c s . Các đi m c c đ i (c c ti u) g i chung là các đi m c c tr . b. Đi u ki n c n và đ đ hàm hai bi n có c c tr Đ nh lý 4.6 (Đi u ki n c n). N u hàm f (x, y ) có c c tr t i đi m (x0 , y0 ) mà t n t i các đ o hàm riêng fx , fy thì các đ o hàm đó b ng 0. * Các đi m mà t i đó các đ o hàm riêng b ng 0 đư c g i là các đi m d ng. Đ nh lý 4.7 (Đi u ki n đ ). Cho hàm s f (x, y ) có các đ o hàm riêng đ n c p 2 liên t c trong m t lân c n c a t ng đi m d ng (x0 , y0 ). Đ t A = fx2 (x0 , y0 ) , B = fxy (x0 , y0 ) , C = fy2 (x0 , y0 ) và ∆ = AC − B 2 Khi đó : i) N u ∆ > 0 thì hàm đ t c c tr t i (x0 , y0 )., hơn n a n u A > 0 thì hàm đ t c c ti u th c s , A < 0 thì hàm đ t c c đ i th c s t i (x0 , y0 ). ii) N u ∆ < 0 thì hàm không đ t c c tr t i (x0 , y0 ). iii) N u ∆ = 0 thì hàm có th đ t c c tr ho c không đ t c c tr t i (x0 , y0 ). Ví d 4.8. Tìm c c tr c a hàm s f (x, y ) = x3 + y 3 − 3xy HD. Ta có fx (x, y ) = 3x2 − 3y, fy (x, y ) = 3y 2 − 3x ¨ 3x2 − 3y = 0 ta tìm đư c hai đi m d ng là (1, 1)và (0, 0). Gi i h 3y 2 − 3x = 0
  14. 44 http://maths3.wordpress.com Vì fx2 = 6x, fxy = −3, fy2 = 6y nên : + T i đi m (1, 1) có A = 6, B = −3, C = 6. Vì ∆ = 27 > 0 và A > 0 nên (1, 1) là đi m c c ti u và f (1, 1) = −1 + T i (0, 0) có A = 0, B = −3, C = 0 suy ra ∆ = −9 < 0 nên đi m (0, 0) không ph i là đi m c c tr . BÀI T P CHƯƠNG 4 4.1. Tính đ o hàm riêng c p m t c a các hàm s sau: x3 + y 3 d) f (x, y ) = ln(x + ln y ); a) f (x, y ) = ; e) f (x, y ) = exy cos x sin y ; x2 + y 2√ 3 f)f (x, y ) = xy (x > 0). b) f (x, y ) = ln(x + x2 + y 2 ); x c) f (x, y ) = y 2 sin ; y 4.2. Tính đ o hàm c a các hàm h p sau: √ 2 2 a) z = eu −2v , u = cos x, v = x2 + y 2 ; x b) z = ln(x2 + v 2 ), u = xy, v = ; y u 2 c) z = x ln y, x = , v = 3u − 2v ; v d) z = uev + ve−u , u = ex , v = yx2 ; x e) z = xe y , x = cos t, y = e2t ; √ f) z = x 1 + y 2 , x = te2t , y = e−t . 4.3. Tính vi phân toàn ph n c a các hàm s : y R a) z = sin(x2 + y 2 ); 2 f) z = et dt; b) z = ex (cos y + x sin y ); x x y y R c) z = ln tg ; t2 cos 2tdt; g) z = x xy √ √ x+y d) z = arctg ; 3 = y 2 x3 − 3y z 2 ; h) u x−y i) u = xe + ye + zex ; y z x y e) z = e y + e− x ; 2 j) u = xy z , (x > 0). 4.4. Dùng vi phân, tính g n đúng các s sau: È È a) 3 (1, 02)2 + (0, 05)2 ; 9.(1, 95)2 + (8, 1)2 ; c) √ √ È b) ln( 3 1, 03 + 4 0, 98 − 1); sin2 1, 55 + 8.e0,015 . d) 4.5. Tính đ o hàm c a các hàm s n xác đ nh b i các phương trình sau: a) x3 y − y 3 x = a4 , tính y ; e) x + y + z = ez , tính zx , zy ; b) xey + yex − exy tính y ; c) y 5 + 3x2 y 2 + 5x4 = 0 tính y ; f) x3 + y 3 + z 3 = 3xyz, tính zx , zy ; √ √ d) 3 sin yx − 2 cos yx + 1 = 0 tính y ; g) xy 2 z 3 + x3 y 2 z = x + y + z, tính zx , zy ;
  15. 45 http://maths3.wordpress.com h) xey + yz + zex = 0, tính zx , zy ; i)xyz = cos(x + y + z ), tính zx , zy ; j) y 2 zex+y − sin(xyz ) = 0 tính zx , zy . 4.6. Tìm c c tr c a các hàm s a) z = 4(x − y ) − x2 − y 2 ; e) z = xy ln(x2 + y 2 ); b) z = x2 + xy + y 2 + x − y + 1; f) z = (x − y )2 + (x + y )3 ; c) z = x + y − xry ; g) z = x2 y 3 (3x + 2y + 1); d) z = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 ; h) z = x4 + y 4 − 2(x − y )2 . 4.7. Ch ng minh r ng: ∂ 2u ∂ 2u 1 a) Hàm s u(x, y ) = ln √ 2 th a mãn: ∆u = + =0 ∂x2 ∂y 2 x + y2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 1 b) Hàm s u(x, y, z ) = ln √ 2 th a mãn phương trình ∆u = + + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 x + y2 + z2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2