Chương 4: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

Chia sẻ: khamphatrithuc

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có tham số chưa biết. Ước lượng tham số là dựa vò mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,..., Xn) ta đưa thống kê để ước lượng dự đoán. Có hai phương pháp ước lượng là ước lượng điểm và ước lượng khoảng.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 4: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

Chuong 4
’’

´’ ´
ˆ ’ D.
U’OC LU’ONG THAM SO CUA ¯ AI LU’ONG
.’ .’
˜
ˆ ˆ
NGAU NHIEN

Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ tham sˆ θ chua biˆt. U’oc luong tham sˆ θ l` dua
’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜
a e o ´
o ’ ´
e ´ ’ .’
’ ´
o a .’
a ˜
a a˜ e ¯’ ´
o e ˆ ˆ
v`o mˆu ngˆu nhiˆn Wx = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ta dua ra thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn )
dˆ’ uoc luong (du do´n) θ.
¯e ’ ´ ’ .’
’ .’ ¯ a
o ’’ a ’ ´ ’ .’
C´ 2 phuong ph´p uoc luong:

i) U’oc luong diˆ’m: chi’ ra θ = θ0 n`o do dˆ’ uoc luong θ.
´ ’ .’ ¯ e
’ a ¯´ ¯e ’ ´ ’ .’

ii) U’oc luong khoang: chi’ ra mˆt khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho P (θ1 < θ < θ2 ) =
´ ’ .’
’ ’ o
. ’ ´

1 − α cho truoc´ (1 − α goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong).
’’ . a ¯o . a ’ ’’
. ´ ’ .’

´’ ’
1. CAC PHU’ONG PHAP U’OC LU’ONG ¯ IEM
´ ’ ´ .’ D ˆ

1.1 ’’ a ’´ ’.
Phuong ph´p h`m uoc luong
a ’ ’
o ’
• Mˆ ta phuong ph´p
’’ a
’ ’’ a ’ ´ ’ .’
` ’ ´ ’ ¯ . ’ .’
o ˜
a e `
’ a
. ˜
a ˜
Gia su cˆn uoc luong tham sˆ θ cua dai luong ngˆu nhiˆn X. Tu X ta lˆp mˆu ngˆu
a
nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ).
e
´ e ˆ ˆ . ˆ a a ’ ´ ’.’ ’
Chon thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). Ta goi θ l` h`m uoc luong cua X.
. o ’
Thuc hiˆn ph´p thu ta duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi d´ uoc luong
.’ e. e ’’ ¯ ’ .’ a˜ . e ¯o ’ ´ ’ .’

diˆ
¯e ’m cua θ l` gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ).
’ a a . ˆ

’´ ’ ’
a) Uoc luong khˆng chˆch
’ o e
.
.
D. ˜ ´
o e ˆ ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’
2 ¯ inh nghia 1 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong khˆng chˆch
’ o e
.
’ ´ ´ ˆ = θ.
cua tham sˆ θ nˆu E(θ)
o e
´ ˜
Y nghia
’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’
’ e
. ’ ´
Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Ta c´
o o o
ˆ ˆ
E(θ − θ) = E(θ) − E(θ) = θ − θ = 0

69
70 ’´ ’ ’ ´
o ’ ¯. ’ ’ ˜
Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn
’’ ’ a e



a ’ ´ ’ .’
. ’ e
. a ’ ´ ’ .’
’ o ´
o `
ınh ˘
Vˆu uoc luong khˆng chˆch l` uoc luong c´ sai sˆ trung b` bang 0.
o

⊕ Nhˆn x´t
a
. e
ınh ’ ˜
a ˜
a e a ’ ´ ’ .’
’ o e
. ’ ınh ’
i) Trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn X l` uoc luong khˆng chˆch cua trung b` cua

o’ng thˆ’ θ = E(X) = m v` E(X) = m.
e ı
’’ ¯ e` ˜
a a˜ e a ’ ´ ’ .’
ii) Phuong sai diˆu chinh cua mˆu ngˆu nhiˆn S 2 l` uoc luong khˆng chˆch cua
’ ’ ’ o e
. ’
’’ ’ o
phuong sai cua tˆ’ng thˆ’ σ 2 v` E(S 2 ) = σ 2 .
e ı

e` ’ ’’
• V´ du 1 Chiˆu cao cua 50 cˆy lim duoc cho boi
ı . a ¯ ’.’

’ e` e ´
Khoang chiˆu cao (m´t) sˆ cˆy lim
o a x0
i ui ni ui ni u2
i
[6, 25 − 6, 75) 1 6,5 -4 -4 16
[6, 75 − 7, 25) 2 7,0 -3 -6 18
[7, 25 − 7, 75) 5 7,5 -2 -10 20
[7, 75 − 8, 25) 11 8 -1 -11 11
[8, 25 − 8, 75) 18 8,5 0 0 0
[8, 75 − 9, 25) 9 9 1 9 9
[9, 25 − 9, 75) 3 9,5 2 6 12
[9, 75 − 10, 2) 1 10 3 3 9
50 -13 95

e` ’ a
Goi X l` chiˆu cao cua cˆy lim
. a
a) H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho chiˆu cao trung b` cua c´c cˆy lim.
a ’ ´ ’ .’ ¯ e
’ e` ınh ’ a a
b) H˜y chi
a ’ ra uoc luong diˆ’m cho do tan m´t cua c´c chiˆu cao cˆy lim so voi chiˆu
’’´ ’ .’ ¯ e ¯ˆ
. ’ a ’ a e` a ´’ e`
cao trung b`ınh.
c) Goi p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75). H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho p.
. a ’ ´ ’ .’ ¯ e


Giai
Ta lˆp bang t´ cho x v` s2 .
a
. ’ ınh a

’ ´ x0 − 8, 5
i
Thuc hiˆn ph´p dˆi biˆn ui =
.’ e
. e ¯o e (x0 = 8, 5; h = 0, 5)
0, 5
Ta c´ u = − 13 = −0, 26. Suy ra
o 50

x = 8, 5 + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37
95
s2 = (0, 5)2 . − (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2 .
50
e` ınh ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’
a) Chiˆu cao trung b` duoc uoc luong l` 8,37 m´t.
’ a e
Do ’
. a ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’
b) ¯ ˆ tan m´t duoc uoc luong l` s = 0, 68 m´t ho˘c s =
’ a e a ˆ
.
50
50−1
0, 4581 ∼ 0, 684

o a e` o
. ’
c) Trong 50 quan s´t da cho c´ 11+18 = 29 quan s´t cho chiˆu cao lim thuˆc khoang
a ¯˜
[7, 5 − 8, 5)
Vˆy uoc luong diˆ’m cho p l` p∗ =
a ’ ´ ’ .’ ¯ e
. ’ a 29
50
= 0, 58.
a ’’ a ’´ ’ ’
’ ¯e ’
1. C´c phuong ph´p uoc luong diˆm 71


’´ ’ ’
b) Uoc luong hiˆu qua
’ e
. ’
.
. e ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’
’ o e. ’ ´
o ´ ’
a ¯˘
⊕ Nhˆn x´t Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Theo bˆt dang thuc
a ´

Tchebychev ta c´o
ˆ
V ar(θ)
ˆ ˆ
P (|θ − E(θ)| < ε) > 1 −
ε2
V ar(θ)ˆ
ı ˆ e ˆ
V` E(θ) = θ nˆn P (|θ − θ| < ε) > 1 − .
ε2
´ ´ ˆ a ’ ı ˆ ` e . ˆ ´
Ta thˆy nˆu V ar(θ) c`ng nho th` P (|θ − θ| < ε) c`ng gˆn 1. Do do ta s˜ chon θ voi
a e a a ¯´ ’
ˆ nho nhˆt.
V ar(θ) ’ a´

D. ˜ ’ o e ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’
2 ¯ inh nghia 2 U’oc luong khˆng chˆch θ duoc goi l` uoc luong c´ hiˆu qua cua tham
´ ’.’ . ’ o e . ’ ’
´ ´ ˆ nho nhˆt trong c´c uoc luong cua θ.
sˆ θ nˆu V ar(θ)
o e ’ a ´ a ’ ´ ’.’
’ ’

u´ ’`’ ´
’ ¯ ’ .’ ˘` e ˆ a ’ ´ ’ .’
´ ’ e
. ’ ’
Ch´ y Nguoi ta chung minh duoc rang nˆu θ l` uoc luong hiˆu qua cua θ th` phuong
ı ’’

sai cua n´ l`
o a
ˆ 1
V ar(θ) = ∂lnf (x,θ) 2
(4.1)
n.E( ∂θ )
a a a ¯o a
. . ´
a ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o ´ . ’´
trong d´ f (x, θ) l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn gˆc. Moi uoc
¯o ’
’ .’ . ’’ ´
luong khˆng chˆch θ luˆn c´ phuong sai lon hon V ar(θ)
o e o o ’ ’ ˆ trong (4.1). Ta goi (4.1) l` gioi
. a ´ ’
han Crame-Rao.
.
2
a
. e ´
e ¯ . ’ .’ ˜
a e o ´ ı ˜
⊕ Nhˆn x´t Nˆu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X ∈ N (µ, σ ) th` trung b` mˆu X l`
ınh a a
n
’ ´ ’ .’
’ e
. ’ ’ y .
uoc luong hiˆu qua cua k` vong E(X) = µ.
n
´ X= 1 σ2
Thˆt vˆy, ta biˆt
a a
. . e Xi ∈ N (µ, )
n i=1 n

a
. a o a ´
o ’
a e e ´ a a a ¯o ’
M˘t kh´c do X c´ phˆn phˆi chuˆn nˆn nˆu f (x, µ) l` h`m mˆt dˆ cua Xi th`
. . ı
1 2 2
f (x, µ) = √ e−(x−µ) /2σ
σ 2π
∂ x−µ
Ta c´
o lnf (x, µ) = .
∂µ σ2
2 2
∂lnf (x, µ) x−µ n `
Suy ra nE = nE = ınh ˘
. Do d´ V ar(X) ch´ bang nghich
¯o .
∂µ σ2 σ2
dao σ 2 /n.
¯’

. a ’ ´ ’ .’
’ e
. ’ ’
Vˆy X l` uoc luong hiˆu qua cua µ.
a

’´ ’ ’ ˜
c) Uoc luong vung
’ ’
.
˜ ´
o eˆ ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’
’ ˜’ ’
2 ¯ inh nghia 3 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong vung cua tham
D.
´ θ nˆu ∀ε > 0 ta c´

o ´
e o
ˆ
lim P (|θ − θ| < ε) = 1
n→∞
72 ’´ ’ ’ ´
o ’ ¯. ’ ’ ˜
Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn
’’ ’ a e




De ` e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ .’
. ’ ˜
¯ iˆu kiˆn du cua uoc luong vung’
e ˆ a ’ ´ ’ .’
´ ’ o e
. ’ a lim ˆ ı ˆ a ’ ´ ’ .’
’ ˜
Nˆu θ l` uoc luong khˆng chˆch cua θ v` n→∞ V ar(θ) = 0 th` θ l` uoc luong vung


cua θ.

1.2 ’’ a ’´ ’.
’ ’ . y o ¯
’ ´
Phuong ph´p uoc luong hop l´ tˆi da
’ ’’ ˜ ˜ e ¯ ’ .’ . e ` ¯ . ’ .’ ˜
Gia su WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l` mˆu ngˆu nhiˆn duoc tao nˆn tu dai luong ngˆu
a a a ’ a
˜
nhiˆn X c´ mˆu cu thˆ
e o a . e ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ) v` θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ).
a ˆ ˆ

e a a .’ y ´ ´ a ¯i
’ ¯o o
X´t h`m h`m hop l´ L(x1 , . . . , xn , θ) cua dˆi sˆ θ x´c d.nh nhu sau:

´ ` .
• Nˆu X roi rac:
e ’


L(x1 , . . . , xn , θ) = P (X1 = x1 /θ, . . . , Xn = xn /θ) (4.2)
n
= P (Xi = xi /θ) (4.3)
i=1


L(x1 , . . . , xn , θ) l` x´c suˆt dˆ’ ta nhˆn duoc mˆu cu thˆ’ Wx = (x1 , . . . , xn )
a a ´
a ¯e a ¯ ’ .’
. ˜
a . e
´ e . o a a ¯o a
. . ´
• Nˆu X liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x, θ)
e a

L(x1 , . . . , xn , θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) . . . f (xn , θ)

L(x1 , x2 , . . . , xn , θ) l` mˆt dˆ cua x´c suˆt tai diˆ’m wx (x1 , x2 , . . . , xn )
a a ¯o ’ a
. . ´
a . ¯e
ˆ ¯ ’ .’ . a ’ ´ ’ .’ .’ y o ¯ e ´
´ ´ ’ ´ a
Gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) duoc goi l` uoc luong hop l´ tˆi da nˆu ung voi gi´
a . ’ ’
. a ’
tri n`y cua θ h`m hop l´ dat cuc dai.
a .’ y ¯ . .’ ¯ .
Phuong ph´p t`
’’ a ım

V` h`m L v` lnL dat cuc dai tai c`ng mˆt gi´ tri θ nˆn ta x´t lnL thay v` x´t L.
ı a a ¯ . .’ ¯ . . u o a .
. e e ı e
∂lnL
’´
Buoc 1: T`
’ ım
∂θ
∂lnL
’´
’ ’
Buoc 2: Giai phuong tr`
’’ ınh (Phuong tr` hop l´)
’’ ınh .’ y
∂θ
’ ’’ ’’ ınh o e a
. ˆ
Gia su phuong tr` c´ nghiˆm l` θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn )
2
´ 3: T` dao h`m cˆp hai ∂ lnL
Buoc
’’ ım ¯ . a ´
a
∂θ
´ ∂ 2 lnL ˆ
Nˆu tai θ0 m`
e . a a ’´
< 0 th` lnL dat cuc dai. Khi do θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) l` uoc
ı ¯ . .’ ¯ . ¯´ ’
∂θ
luong diˆ’m hop l´ tˆi da cua θ.
’ .’ ¯ e ´
.’ y o ¯ ’
’’ a ’
2. Phuong ph´p khoang tin cˆy
a 73



2. PHU’ONG PHAP KHOANG TIN CAY
’ ´ ’ ˆ
.
2.1 o ’
Mˆ ta phuong ph´p
’’ a
Gia su tˆng thˆ’ c´ tham sˆ θ chua biˆt. Ta t` khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho
’ ’’ o ’ e o o´ ’ ´
e ım ’ ´

’´
P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α cho truoc.

` ¯ . ’ .’
’ ˜ e o ´ a. ˜
a a˜
Tu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Chon
a e .
´
thˆng kˆ θ
o e ˆ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) c´ phˆn phˆi x´c suˆt x´c d.nh d` chua biˆt θ.
ˆ o a ´
o a ´
a a ¯i u ’ ´
e
´
’ a e ım ¯ ’ .’ a . ’ ˆ ´ a ’ ˆ
Voi α1 kh´ b´ (α1 < α) ta t` duoc phˆn vi θα1 cua θ (tuc l` P (θ < θα1 ) = α1 ).
´
’ a e ’`’ ´
Voi α2 m` α1 + α2 = α kh´ b´ (thuong lˆy α ≤ 0, 05) ta t` duoc phˆn vi θ1−α2 cua
a a ım ¯ ’ .’ a . ’
ˆ (tuc l` P (θ < θ1−α ) = 1 − α2 ).
θ ´ a
’ ˆ
2


Khi d´
¯o

ˆ ˆ ˆ
P (θα1 ≤ θ ≤ θ1−α2 ) = P (θ < θ1−α2 ) − P (θ < θα1 ) = 1 − α2 − α1 = 1 − α (∗)

`’ ’ ¯ ’ .’ ¯ ’ e` . ˆ ˆ
Tu (*) ta giai ra duoc θ. Khi d´ (*) duoc dua vˆ dang P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α.
¯ ’ .’ ¯o
´ ` `
a ˘ e o ˆ
´ ´ ˆ ` ’ ’
V` x´c suˆt 1 − α gˆn bang 1, nˆn biˆn cˆ (θ1 < θ < θ2 ) hˆu nhu xay ra. Thuc hiˆn
ı a a e a .’ e
.
mˆt ph´p thu dˆi voi mˆu ngˆu nhiˆn WX ta thu duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ).
o
. e ’’ ¯o ´ a
´ ’ ˜ ˜
a e ˜
¯ ’ .’ a . e
Tu mˆu cu thˆ’ n`y ta t´ duoc gi´ tri θ1 = θ1 (x1 , x2 , . . . , xn ), θ2 = θ2 (x1 , x2 , . . . , xn ).
’ ˜
` a . e a ınh ¯ ’ .’ a . ˆ ˆ

Vˆy voi 1 − α cho truoc, qua mˆu cu thˆ’ wx ta t` duoc khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao
a ´
. ’ ’´
’ ˜
a . e ım ¯ ’ .’ ’ ´

cho P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α.

’ ¯ ’ .’ . a ’
• Khoang (θ1 , θ2 ) duoc goi l` khoang tin cˆy.
a
.

. a ’ ’ ´ ’ .’
• 1 − α duoc goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong.
¯ ’ .’ . a ¯o . ’

. ’
• |θ2 − θ1 | duoc goi l` dˆ d`i khoang tin cˆy.
¯ ’ .’ . a ¯o a a
.

2.2 ’´ ’.
Uoc luong trung b`
’ ’ ınh
Gia su trung b` cua tˆng thˆ’ E(X) = m chua biˆt. Ta t` khoang (m1 , m2 ) chua
’ ’’ ınh ’ o ’ e ’ e´ ım ’ ´

´ 1 − α l` do tin cˆy cho truoc.
m sao cho P (m1 < m < m2 ) = 1 − α, voi
’ a ¯ˆ
. a
. ´
’’

’`
i) Truong hop 1
’ .’
´
Biˆt V ar(X) = σ 2
e
. ’ o a ´
o a’
n ≥ 30 ho˘c (n < 30 nhung X c´ phˆn phˆi chuˆn)
a

. ´
Chon thˆng kˆ
o e √
(X − m) n
U= (4.4)
σ
´
Ta thˆy U ∈ N (0, 1).
a
74 ’´ ’ ’ ´
o ’ ¯. ’ ’ ˜
Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn
’’ ’ a e



Chon c˘p α1 v` α2 sao cho α1 + α2 = α v` t` c´c phˆn vi
. a . a a ım a a .
P (U < uα1 ) = α1 , P (U < uα2 ) = 1 − α2
a . ’
a o ınh a ´
Do phˆn vi chuˆn c´ t´ chˆt uα1 = −u1−α1 nˆn
e

P (−u1−α1 < U < u1−α2 ) = 1 − α (4.5)
.’ a a ’ e a . ´
Dua v`o (4.4) v` giai hˆ bˆt phuong tr` trong (4.5) ta duoc
’’ ınh ¯ ’ .’
σ σ
X − √ u1−α2 < m < X + √ u1−α1
n n

De’ ¯ ’ .’ ’ a ¯o ´
´ ’ α
a ¯˘
¯ ˆ duoc khoang tin cˆy dˆi xung ta chon α1 = α2 = 2 v` dat γ = 1 −
. . .
α
2
th`
ı
σ σ
X − √ uγ < m < X + √ uγ
n n

o . ım ¯ ’ .’ ’
T´m lai, ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε), trong do
a
. ¯´
a ınh ’ ˜
a ˜
* x l` trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn.
a e
σ ´ ’ ´ α
* ε = uγ √ (¯o ch´ x´c) voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 −
dˆ ınh a
. ’ a a . a ’ 2
n

ı . ´
o ’.’ ’ ’
a a ¯. ’.’ ˜
a e o a ´
o ’
a ´ ¯o
• V´ du 2 Khˆi luong san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi dˆ
’ .
lˆch tiˆu chuˆ
e
. e a’n σ = 1. Cˆn thu 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau
a ’’ ’ a’ ´
¯ ’.’ e ’
´
X (khˆi luong) 18 19 20 21
o ’.’
´
ni (sˆ luong
o ’.’ 3 5 15 2
a ’ ´ ’.’
’ ı ´
o ’.’ ’ ’ a’ ´ ¯o
H˜y uoc luong trung b`nh khˆi luong cua san phˆm voi dˆ tin cˆy 95 %.
’ . a
.

Giai
xi ni xi ni
18 3 54
19 5 95
20 15 300
21 2 42
25 491
491
Ta c´ x =
o 25
= 19, 64kg.
α
¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025
Do
. a
. =⇒ γ = 1− 2
= 0, 975 Ta t`
ım
a . a’
duoc phˆn vi chuˆn uγ = u0,975 = 1, 96. Do d´
¯ ’ .’ ¯o
1 1
ε = u0,975 √ = 1, 96. = 0.39
25 5
x1 = x − ε = 19, 6 − 0, 39 = 19, 25
x2 = x + ε = 19, 6 + 0, 39 = 20, 03
. ’
Vˆy khoang tin cˆy l` (19, 25; 20, 03).
a a a
.
’’ a ’
2. Phuong ph´p khoang tin cˆy
a 75



’`
ii) Truong hop 2
’ .’

’ ´
σ 2 chua biˆt
e
n ≥ 30

Truong hop n`y k´ thuoc mˆu lon (n ≥ 30) c´ thˆ’ d`ng uoc luong cua S 2 thay
’`’ .’ a ıch ’´’ a ´
˜ ’ o e u ’ ´ ’ .’
’ ’
2
’ ´
e 2 2
ım ¯ ’ .’ ’
cho σ chua biˆt (E(S ) = σ ), ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do
a
. ¯´
* x l` trung b` cua mˆu cu thˆ’.
a ınh ’ ˜
a . e

s ´ ’ ´ α ’
* ε = uγ √ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 −
’ a a . a ’ 2
v` s l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn
a a ¯o e
. . e a
n
diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’.
¯ e` ’ ’ ˜
a . e

’`’ ´
e a e ´ ’’ o
’ . ’` ¯. .
• V´ du 3 Nguoi ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu o mˆt truong dai hoc xem trong mˆt th´ng
ı . ’ o a
.
ı o
. e e e ´ e e` . ¯ e . . ´ o a
a . ˜ ˜
trung b`nh mˆt sinh viˆn tiˆu hˆt bao nhiˆu tiˆn goi diˆn thoai. Lˆy mˆt mˆu ngˆu nhiˆn
a e
gˆm
o e ¯ ’.’ e´
` 59 sinh viˆn thu duoc kˆt qua sau:


14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47
95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11
30 147 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15
29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32
22 36 60 41 35 26 20 58 33 23 35

a ’ ´ ’.’
’ ’ . ´ `
H˜y uoc luong khoang tin cˆy 95% cho sˆ tiˆn goi diˆn thoai trung b` h`ng th´ng
a o e . ¯e . . ınh a a

cua mˆt sinh viˆn.
o. e

Giai
´ .
` a o e ¯˜
Tu c´c sˆ liˆu da cho, ta c´
’ o

n = 59; x = 41, 05; s = 27, 99
α ’ ’
¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95
Do. a
. =⇒ 1 − 2
= 0, 975. Tra bang phˆn vi chuˆn ta c´
a . a o
u0,975 = 1, 96.
Do d´ ε = 1, 96. 27,99 = 7, 13.
¯o √
59

x − 7, 13 = 33, 92; x + 7, 13 = 48, 18

. ’ a ’ ’ ´ ’ .’
Vˆy khoang tin cˆy cua uoc luong l` (33,92; 48,18).
a . ’ a

’`
iii) Truong hop 3
’ .’

’ e´
σ 2 chua biˆt
a o a ´
o a’
n < 30 v` X c´ phˆn phˆi chuˆn

´ (X − m) n
Chon thˆng kˆ T =
. o e ∈ T (n − 1).
S
76 ’´ ’ ’ ´
o ’ ¯. ’ ’ ˜
Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn
’’ ’ a e


S

Ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do ε = tγ √
ım ¯ ’ .’ a
. ¯´
n
´
’ ´
voi tγ l` phˆn vi Student muc γ = 1 −
a a . ’ α ´
voi n − 1 bˆc tu do v` s l` do lˆch tiˆu
’ a .’
. a a ¯ˆ e
. . e
2
’n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’.
chuˆ ¯ e
a ` ’ ’ ˜ . e
a

a a a o ´
a ¯ ’.’ a ` o
• V´ du 4 Dioxide Sulfur v` Oxide Nitrogen l` c´c h´a chˆt duoc khai th´c tu l`ng
ı . ’

¯a´t. C´c chˆt n`y duoc gi´ mang di rˆt xa, kˆt hop th`nh acid v` roi tro lai m˘t dˆt tao
a a´ a ¯ ’.’ o ¯ a´ ´ .’
e a a ’ ’’ . . ´
a ¯a .
th`nh mua acid. Nguoi ta do dˆ dˆm dac cua Dioxide Sulfur (µg/m3 ) trong khu rung
a ’ ’`’ ¯ ¯o ¯a ¯˘ ’
. . . `’
’ ’ ´ D´ ´ . ’’ ’ ’ ´ ¯a
Bavarian cua nuoc ¯ uc. Sˆ liˆu cho boi bang duoi dˆy:
’ ’ o e ’

52,7 43,9 41,7 71,5 47,6 55,1
62,2 56,5 33,4 61,8 54,3 50,0
45,3 63,4 53,9 65,5 66,6 70,0
52,4 38,6 46,1 44,4 60,7 56,4

a ’ ´ ’.’ ¯o ¯a ¯˘
’ . . . ’ ´ ¯o
H˜y uoc luong dˆ dˆm dac trung b`nh cua Dioxide Sulsfur voi dˆ tin cˆy 95%.
ı ’ . a
.

Giai
Ta t´ duoc x = 53, 92µg/m3 ,
ınh ¯ ’ .’ s = 10, 07µg/m3 .
α ’
¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒ 1 − 2 = 0, 975. Tra bang phˆn
Do. a
. a
vi student muc
. ´ 0,975 bˆc n − 1 = 23 ta duoc t23;0,975 = 2, 069.
’ a
. ¯ ’ .’
Do d´ ε = 2, 069 10,07 = 4, 25.
¯o √
24

x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67, x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17

. ’
Vˆy khoang tin cˆy l` (49,67; 58,17).
a a a
.
’`’ ´ ´ . .
e ¯ ’ .’ e ¯ˆ ¯ˆ ¯˘ ’
. o
. .’ ´
Nguoi ta biˆt duoc nˆu do dam dac cua Dioxide Sulfur trong mˆt khu vuc lon hon
’ ’
3
’` ’ .’ . a . ’’
20µg/m th` mˆi truong trong khu vuc bi ph´ hoai boi mua acid. Qua v´ du n`y c´c
ı o ’ ı . a a
¯ ’ .’ e a `
’ . a . a `
nh` khoa hoc da t` ra duoc nguyˆn nhˆn rung Bavarian bi ph´ hoai trˆm trong n˘m
a . ¯˜ ım . a
1983 l` do mua acid .
a ’

u´ a ¯i ı ’´ a
’ ~
Ch´ y (X´c d.nh k´ch thuoc m^u)
e´ ´ .
o ¯ˆ a
. a ¯ˆ ınh a
. ¯ . ’’ ´
’ ’´’ ı `
Nˆu muˆn do tin cˆy 1 − α v` do ch´ x´c ε dat o muc cho truoc th` ta cˆn x´c
a a
¯i ıch ´ n cua mˆu.
d.nh k´ thuoc
’’ ’ ˜
a
’ .’ ´
i) Truong hop biˆt V ar(X) = σ 2 :
’` e
` o ´ σ
Tu cˆng thuc ε = u2 √n ta suy ra
’ ’ γ


σ2
n = u2
γ
ε2

’ .’ ’ ´
ii) Truong hop chua biˆt σ 2 :
’` e
’’ a ’
2. Phuong ph´p khoang tin cˆy
a 77



Dua v` mˆu cu thˆ’ da cho (nˆu chua c´ mˆu th` ta c´ thˆ’ tiˆn h`nh lˆy mˆu lˆn
˜
.’ a a . e ¯˜ ´
e ’ o a ˜ ı o e e a ´ ´
a ˜ `
a a
¯a ´ ıch
` ’ ’´ ’ t´ s 2 . Tu d´ x´c d.nh duoc
dˆu voi k´ thuoc n1 ≥ 30) dˆ ınh
’ ¯e ` ¯o a ¯i ¯ ’ .’


2
2s
n= uγ 2
ε

ıch ’´’ a˜ ’ a o ´ e ´
e ınh a o ´ e ¯ ’ .’
K´ thuoc mˆu n phai l` sˆ nguyˆn. Nˆu khi t´ n theo c´c cˆng thuc trˆn duoc

a . o e ı ´
a a` e ’ o o. e ´
gi´ tri khˆng nguyˆn th` ta lˆy phˆn nguyˆn cua n´ cˆng thˆm voi 1.

2 2
´ l` n = u2 σ + 1 ho˘c n = u2 s + 1.
Tuc a
’ γ 2 a
. γ 2
ε ε

2.3 ’´ ’. ’ e
Uoc luong ty lˆ
’ ’ .
Gia su tˆng thˆ’ duoc chia ra l`m hai loai phˆn tu. Ty lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A l` p
’ ’’ o ’ e ¯ ’ .’ a . a ’’
` ’ e a ’’ o ınh a
. ` ´ a
chua biˆt. U’oc luong ty lˆ l` chi’ ra khoang (f1 , f2 ) chua p sao cho P (f1 < p < f2 ) = 1−α.
’ ´
e ´ ’ .’
’ ’ e a . ’ ´

De’ ’ a a ¯ ’ .’ ¯ ’ ’ a ´ ıch
˜ ’´ a ´
¯ ˆ cho viˆc giai b`i to´n duoc don gian, ta chon mˆu voi k´ thuoc n kh´ lon.
e
. . ’ ’ ’
Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A khi lˆy ngˆu nhiˆn mˆt phˆn tu tu tˆng thˆ’ th`
. ´ `
a o a ’’ o ınh a ´ ´
a ˜
a e o
. ` ’ ’
a ’’ ` o e ı
X l` dai luong ngˆ
a ¯ . ’ .’ a e o a o´ a
˜u nhiˆn c´ phˆn phˆi x´c suˆt´
a

X 0 1
P 1-p p

. ´ `
a o a ’’ o ınh a ´ ` ´ ´
Goi Xi (i = 1, n) l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A trong lˆn lˆy thu i.
a a ’
1 n
Ta c´ X =
o Xi ch´ l` tˆn suˆt uoc luong diˆ’m cua p = E(X). M˘t kh´c, theo
ınh a a ` a ’ ´ ’ .’ ¯ e
´ ’ ’ a
. a
n i=1
´ p(1 − p)
’’ . ´ ’ ` ¯o
chuong 2, nX c´ phˆn phˆi nhi thuc B(n, p). Tu d´ E(X) = p v` V ar(X) =
o a o ’ a
n
.

. ´ng kˆ U = (f − p) n , trong do f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´
Chon thˆ
o e ¯´ a ’ e a
. a ’’ ’
` ˜
a o ınh
p(1 − p)
´
chˆt A.
a
a ´ ’ ı ’ ´
e a a ’’ .’ ’ ’’ ’ ´ ’ .’
Khi n kh´ lon th` U ∈ N (0, 1). Giai quyˆt b`i to´n tuong tu nhu o uoc luong trung

b` ’’ 2 ’’
ınh, thay X boi f , σ boi f (1 − f )... ta duoc
¯ ’ .’

f (1 − f ) f (1 − f )
f − uγ < p < f + uγ
n n
o . a ¯i ¯ ’ .’ ’
T´m lai, ta x´c d.nh duoc khoang tin cˆy (f1 , f2 ) = (f − ε, f + ε), trong do
a
. ¯´
a ’ e a a ’’ ’
` ˜ ´
f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ chˆt A
. a o ınh a

f (1 − f )
ε = uγ (¯o ch´ x´c)
dˆ ınh a
. (4.6)
n
78 ’´ ’ ’ ´
o ’ ¯. ’ ’ ˜
Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn
’’ ’ a e



´’ a a . a’ ´
voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc 1 − α .
’ 2
`
Tu (4.6) ta c´
’ o

ε n
uγ =
f (1 − f )

f (1 − f )
n = u2 α
1− 2 ε2

Ch´ y Ta c´ thˆ’ t` khoang tin cˆy cua p bang c´ch kh´c nhu sau:
u´ o e ım ’ a ’
. `
˘ a a ’
` ’ a ’
Tu khoang tin cˆy cua p:
’ .
   
f
p(1 − p) p(1 − p)  |f
p(1 − p) 
− uγ < p < f + uγ hay − p| < uγ
n n n

’ a ´
Giai bˆt phuong tr`
’’ ınhn`y ta t` duoc
a ım ¯ ’ .’

nf + 0, 5u2 −
γ 0, 25u2 − nf (1 − f )
γ nf + 0, 5u2 +
γ 0, 25u2 − nf (1 − f )
γ
p1 = , p2 =
n + u2
γ n + u2
γ



a ’ a ’
. ´ ¯o
Khi d´ (p1 , p2 ) l` khoang tin cˆy cua p voi dˆ tin cˆy 1 − α.
¯o ’ . a
.

• V´ du 5 Kiˆ’m tra 100 san phˆm trong lˆ h`ng thˆy c´ 20 phˆ phˆm.
ı . e ’ a’ o a ´
a o ´ ’
e a
a ’ ´ ’.’
’ ’ e e a
. ´ ’
i) H˜y uoc luong ty lˆ phˆ phˆm c´ dˆ tin cˆy 99 %.
o ¯o
. a
.
´ . ı ¯o
. a ’ ’ ´ ’.’
ii) Nˆu dˆ ch´nh x´c ε = 0, 04 th` dˆ tin cˆy cua uoc luong l` bao nhiˆu?
e ¯o ı a . ’ a e
iii) Nˆu muˆn c´ dˆ tin cˆy 99% v` dˆ ch´ x´c 0,04 th` phai kiˆ’m tra bao nhiˆu
´
e ´
o o ¯o. a
. a ¯o ınh a
. ı ’ e e

san phˆm?
a’


Giai
20
i) n = 100, f= 100
= 0.2

(f −p) 100
X´t
e U= √
pq
∈ N (0, 1).
Ta c´
o
α
1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − = 1 − 0, 005 = 0, 995
2

0, 2.0, 8 0, 4
ε = u0,995 √ = 2, 58. = 0, 1
100 10
f1 = f − ε = 0, 2 − 0, 1 = 0, 1
f2 = f + ε = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3
’’ a ’
2. Phuong ph´p khoang tin cˆy
a 79



. ’
Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 1; 0, 3).
a a a
.

0, 04. 100
ii) u1− α = √ =1
2
0, 2.0, 8
T` duoc
ım ¯ ’ .’
α
1− = 0, 84 =⇒ 1 − α = 0, 68
2
Vˆy dˆ tin cˆy l` 68%.
a ¯o
. . a a
.
iii)1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − α = 0, 995. T` duoc u0,995 = 2, 576.
2
ım ¯ ’ .’
Do d´
¯o
(2, 576)2 .0, 2.0, 8
n≈ = 6, 635.100 = 663, 5
(0, 04)2
Vˆy n = 664
a
.

2.4 ’´ ’.
Uoc luong phuong sai
’ ’ ’’
’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´
o a’ ´
Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi phuong sai V ar(X) = σ 2
a ’ ’’
´ Cho 0 < α < 0.05. U’oc luong phuong sai V ar(X) l` chi’ ra khoang (σ1 , σ2 )
chua biˆt.
’ e ´ ’ .’
’ ’’ a ’ 2 2

´ 2 2 2 2
chua σ sao cho P (σ1 < σ < σ2 ) = 1 − α.

`
’ a
. ˜
a ˜
a e a e a ’`
Tu X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) v` x´t c´c truong hop
’ .’

´
a) Biˆt E(X) = µ.
e
n
´ (Xi − µ)2
Chon thˆng kˆ χ2 =
. o e
i=1 σ2
´ ´
o ınh ’’ ´
Ta thˆy χ2 c´ phˆn phˆi ”khi-b` phuong” voi n bˆc tu do.
a o a ’ a .’
.
Chon α1 v` α2 kh´ b´ sao cho α1 + α2 = α. Ta t` duoc c´c phˆn vi χ2 1 v` χ2 2
. a a e ım ¯ ’ .’ a a . α a 1−α
’ m˜n
thoa a

P (χ2 1 < χ2 < χ2 2 ) = 1 − α
α 1−α (4.7)

Thay biˆ’u thuc cua χ2 v`o (4.7) v` giai ra ta duoc
e ´ ’
’ a a ’ ¯ ’ .’

(Xi − µ)2 (Xi − µ)2
< σ2
3457.
’’ ınh o
n

8. a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´i.
a
9. a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006). b) 221.
10. a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456).
`
11. 7 lˆn.
a
12. (1253, 8 < σ 2 < 3983, 8).
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản