Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ

Chia sẻ: venus_s2_u

Định nghĩa 7.1. Dãy số là một tập hợp gồm vô hạn các số thực được sắp xếp theo một quy luật nào đó. Thông thường, người ta ký hiệu dãy số bởi...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ

Ch¬ng 7: chuçi sè – chuçi luü thõa
7.1. chuçi sè


7.1.1. §Þnh nghÜa chuçi sè.
§Þnh nghÜa 7.1. D·y sè lµ mét tËp hîp gåm v« h¹n c¸c sè thùc ® îc s¾p xÕp theo mét
quy luËt nµo ®ã.
Th«ng thêng, ngêi ta ký hiÖu d·y sè bëi:
{un} = u1, u2, u3, ..., un, ...
trong ®ã uk ®îc gäi lµ sè h¹ng thø k cña d·y sè (k = 1, +∞ ), un ®îc gäi lµ sè h¹ng tæng
qu¸t cña d·y sè.
VÝ dô 7.1.
(i) TËp hîp: {1, 3, 5, 7, 9} kh«ng ph¶i lµ d·y sè v× nã chØ cã 5 sè h¹ng.
(ii) TËp hîp: {1, 3, 5, 7, 9,...} lµ d·y sè v× nã cã v« h¹n sè thùc vµ ® îc s¾p xÕp theo
quy luËt sè ®øng sau b»ng sè ®øng ngay tr íc nã céng víi 2. D·y sè nµy ® îc viÕt gän
nh sau: {2n + 1}.
§Þnh nghÜa 7.2. Cho d·y sè {un}. Tæng tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y sè trªn ( ký hiÖu lµ

+∞
∑ u n ) ®îc gäi lµ mét chuçi sè. VËy:
n =1

+∞
∑ u n = u1 + u2+ u3+ ... + un+ ...
n =1

7.1.2. C¸c lo¹i chuçi sè.
Chuçi sè d¬ng lµ mét chuçi mµ tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña nã ®Òu d¬ng.
Chuçi sè ©m lµ mét chuçi mµ tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña nã ®Òu ©m.
Chuçi sè ®an dÊu lµ mét chuçi mµ hai sè h¹ng bÊt kú ®øng c¹nh nhau th× cã
dÊu ngîc nhau.



1
Mét chuçi sè kh«ng ph¶i lµ chuçi sè d¬ng, kh«ng ph¶i lµ chuçi sè ©m, kh«ng
ph¶i lµ chuçi sè ®an dÊu th× ®îc gäi lµ chuçi sè bÊt kú.
VÝ dô 7.2.
+∞ +∞
∑ 2 , ∑ ( 3n − 1)
n
(i) lµ c¸c chuçi sè d¬ng.
n =1 n =1

+∞ +∞
∑ ( −1) ∑ ( 1 − 2n )
2 n +1
(ii) , lµ c¸c chuçi sè ©m.
n =1 n =1

+∞ +∞
∑ ( −1) ∑ ( −1)
n +1 2
n
n lµ c¸c chuçi sè ®an dÊu.
(iii) ,
n =1 n =1

+∞ +∞
∑ ( −1)
2 n +1
∑ sin n
cos n ,
(iiii) lµ c¸c chuçi sè bÊt kú.
n =1 n =1

7.1.3. Sù héi tô cña chuçi sè.
+∞
∑ u n = u1+ u2+ u3+ ... + un+ ... Ta thµnh lËp d·y c¸c tæng riªng
Cho chuçi sè
n =1

nh sau: S1 = u1, S2 = u1+ u2, S3 = u1+ u2+ u3,..., Sn = u1+ u2+ u3+ ... + un,...
+∞ +∞
§Þnh nghÜa 7.3. NÕu chuçi sè ∑ u n cã nlim S n tån t¹i, h÷u h¹n. Th× chuçi ∑ un
→+∞
n =1 n =1

®îc gäi lµ héi tô. Khi ®ã,
+∞
∑ u n = nlim S n =I,
→+∞
n =1

+∞
∑ un
I ®îc gäi lµ tæng cña chuçi sè. Trong tr êng hîp ngîc l¹i, chuçi ®îc gäi lµ ph©n
n =1

kú.
+∞
∑ u n ph©n kú khi lim S n kh«ng tån t¹i hoÆc tån t¹i nhng lµ
NhËn xÐt 7.1. Chuçi n →+∞
n =1

sè v« h¹n.




2
+∞
1
∑ 2n
VÝ dô 7.3. (i) Chuçi héi tô vµ cã tæng = 1 v×:
n =1

 
1
11 1 1
+ + ... + n = 1 − n ⇒ lim S n = lim  1 − n ÷ = 1.
Sn =
n →+∞  
2
24 2 2 n →+∞

+∞
∑n
(ii) Chuçi ph©n kú v×:
n =1

n ( n + 1) n ( n + 1)
Sn = 1 + 2 + ... + n = ⇒ lim S n = lim = +∞ .
2 2
n →+∞ n →+∞

+∞
∑ ( −1)
n
(iii) Chuçi ph©n kú v×:
n =1

−1 k h i n = 2k + 1
Sn = −1 + 1 − 1 + ... + ( −1) = 
n
(k nguyªn, d¬ng).
 0 k h i n = 2k

⇒ nlim S n kh«ng tån t¹i.
→+∞

TÝnh chÊt 7.1.
+∞ +∞ +∞
∑( u n ± vn )
(i) NÕu ∑ u n vµ ∑ vn lµ c¸c chuçi héi tô th× còng héi tô.
n =1
n =1 n =1

(ii) NÕu nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña mét chuçi sè víi mét sè kh¸c kh«ng th× kh«ng
lµm thay ®æi sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®ã.
(iii) NÕu thªm vµo hoÆc bít ®i mét sè h÷u h¹n c¸c sè h¹ng cña chuçi sè th× kh«ng
lµm thay ®æi sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®ã.
§Þnh lý 7.1 (Tiªu chuÈn Cauchy ®Ó mét chuçi sè héi tô). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó

+∞
∑ u n héi tô lµ: (∀ε >0),(∃ Nε > 0: ∀ m,n > Nε) ⇒ m− Sn< ε.
chuçi sè S
n =1




3
+∞
∑ u n héi tô lµ nlim u n = 0 .
HÖ qu¶ 7.1.1. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè →+∞
n =1

+∞
∑ u n héi tô nªn:
Chøng minh. Theo ®Þnh lý 7.1, v× chuçi sè
n =1

⇒(∀ε >0),(∃ Nε > 0: ∀ m = n−1,n > Nε) ⇒ m− Sn ε.
S
0),(∃ Nε > 0: ∀ n−1 > Nε) ⇒ n ε.
u
1 vµ ph©n kú khi s ≤ 1.
NhËn xÐt 7.3. §èi víi chuçi sè Dirichlet vµ chuçi sè nh©n chóng ta chØ cÇn nh×n
vµo s hoÆc q lµ cã thÓ kÕt luËn ®îc chuçi ®ã héi tô hay ph©n kú. Ch¼ng h¹n:



4
+∞
∑ 2n lµ chuçi sè ph©n kú v× nã lµ chuçi sè nh©n cã q = 2 > 1.
(i)
n =1

+∞
1 1
∑ 3n lµ chuçi sè héi tô v× nã lµ chuçi sè nh©n cã q = 3 < 1.
(ii)
n =1

+∞
1 1
∑ 3 n lµ chuçi sè ph©n kú v× nã lµ chuçi sè Dirichlet cã s = 3 < 1.
(iii)
n =1

+∞
1
∑ n 2 lµ chuçi sè héi tô v× nã lµ chuçi sè Dirichlet cã s = 2 > 1.
(iiii)
n =1




7.2. Sù héi tô cña chuçi sè d¬ng


+∞
∑ u n lµ chuçi sè d¬ng nÕu un > 0 (∀n =1, 2, 3,...).
Nh¾c l¹i: Chuçi sè
n =1

Trong phÇn nµy chóng ta ®a ra c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét chuçi sè d ¬ng héi
tô.
7.2.1. DÊu hiÖu so s¸nh 1.
+∞ +∞
∑ u n , ∑ vn ; tån t¹i sè c > 0 vµ tån t¹i sè N
§Þnh lý 7.2. Cho hai chuçi sè d¬ng
n =1 n =1

nguyªn d¬ng sao cho:
un ≤ c.vn (∀n > N).
+∞ +∞
∑ vn héi tô th× chuçi sè ∑ u n héi tô.
Khi ®ã, (i) NÕu chuçi sè
n =1 n =1

+∞ +∞
∑ u n ph©n kú th× chuçi sè ∑ vn ph©n kú.
(ii) NÕu chuçi sè
n =1 n =1

(KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng cho chuçi sè kh«ng ©m).
NhËn xÐt 7.4. §Ó ¸p dông ®îc dÊu hiÖu so s¸nh 1 xÐt sù héi tô cña mét chuçi sè ta
ph¶i tiÕn hµnh qua c¸c bíc nh sau:


5
Bíc 1: KiÓm tra tÝnh d¬ng cña chuçi sè ®· cho.
+∞
∑ vn tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: lµ chuçi sè d¬ng ;
Bíc 2: §a ra chuçi sè thø hai
n =1

®· biÕt héi tô hay ph©n kú råi; so s¸nh ®îc víi chuçi sè ®· cho.
§Ó ®a ra chuçi sè thø hai ta ph¶i dùa vµo chuçi sè ®· cho vµ chuçi sè nh©n
(hoÆc chuçi sè Dirichlet).
+∞ +∞
5n
1
VÝ dô 7.5. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: a) ∑ 2 ∑n .
, b)
n =1 3n + 1 n =1 3 − 2

+∞
1 1
∑ 3n 2 + 1 . > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ
Gi¶i. a) Ta cã un = 2
3n + 1
n =1

chuçi d¬ng.
+∞ +∞
1
∑ vn ∑ n2
Chuçi sè = lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet héi tô v× s = 2 >
n =1 n =1

1. MÆt kh¸c:
1 1 1
= vn (∀n =1, 2, 3,...).
un =
0 (∀n=1,2,...) vËy chuçi ®· cho lµ chuçi d¬ng.
. Ta cã un= n
n =1 3 − 2 3 −2
n
+∞ +∞
 5
Chuçi sè ∑ vn = ∑  ÷ lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi nh©n ph©n kú v× q > 1.
n =1  3 
n =1


n
5n  5
>  ÷ = vn (∀n =1, 2, 3,...).
MÆt kh¸c: un = n
3 − 2  3

Theo dÊu hiÖu so s¸nh 1, chuçi ®· cho ph©n kú.
NhËn xÐt 7.5. NÕu trong vÝ dô 7.5, ë phÇn a) mÉu sè 3n2 + 1 ®îc thay bëi




6
3n2 − k hoÆc ë phÇn b) mÉu sè 3 n − 2 ®îc thay bëi 3n + k (víi k lµ h»ng sè d ¬ng).
Th× chóng ta kh«ng thÓ ¸p dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ® îc. §Ó kh¾c phôc, sau ®©y
chóng ta ®a ra dÊu hiÖu so s¸nh 2.
7.2.2. DÊu hiÖu so s¸nh 2.
+∞ +∞ u
∑ u n , ∑ vn cã nlim v n = k ≠
§Þnh lý 7.3. Cho hai chuçi sè d¬ng 0, h÷u h¹n. Th×
→+∞
n =1 n =1 n

hai chuçi sè trªn cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
Chøng minh.
Tõ gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý ta suy ra k > 0. Theo ®Þnh nghÜa giíi h¹n ta cã:
un un
lim = k ⇔ (∀ε > 0), (∃ Nε > 0: ∀ n > Nε) ⇒ k − ε < < k + ε (7.1)
n →+∞ v vn
n

k
V× (7.1) ®óng víi mäi ε > 0 nªn còng ®óng víi ε0 = > 0. NghÜa lµ tån t¹i N 0
2
> 0 sao cho víi mäi n > N0 th×:
3k
k k k
vn = (k − )vn < un < (k + )vn = vn . (7.2)
2 2 2 2
+∞
+∞
u n héi tô. Tõ (7.2) ta cã: k vn < un (∀ n > N0). ¸p dông
∑ u n héi tô ⇒ n∑
(i) NÕu
2
=N
n =1 0



+∞ +∞
∑ v n héi tô ⇒ ∑ vn héi tô.
dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1

+∞
+∞
u n ph©n kú. Tõ (7.2) ta cã: un < 3k vn (∀ n >N0). ¸p
∑ u n ph©n kú ⇒ n∑
(ii) NÕu
2
=N
n =1 0



+∞ +∞
∑ v n ph©n kú ⇒ ∑ vn ph©n kú.
dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1




7
+∞
+∞
v n héi tô. Tõ (7.2) ta cã: un < 3k vn (∀ n >N0).

∑ vn héi tô ⇒
(iii) NÕu
2
n=N0
n =1

+∞ +∞
∑ u n héi tô ⇒ ∑ u n héi tô.
¸p dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1

+∞
+∞
v n ph©n kú. Tõ (7.2) ta cã: k vn < un (∀n > N0). ¸p
∑ vn ph©n kú ⇒ n∑
(iiii) NÕu
2
=N
n =1 0



+∞ +∞
∑ u n ph©n kú ⇒ ∑ u n ph©n kú.
dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1

Tõ (i) ®Õn (iiii) ⇒ (®pcm)
NhËn xÐt 7.6. §Ó ¸p dông ®îc dÊu hiÖu so s¸nh 2 xÐt sù héi tô cña chuçi sè chóng
ta còng ph¶i ch¶i qua c¸c bíc nh trong nhËn xÐt 7.4.
+∞ +∞
5n
1
VÝ dô 7.6. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: a) ∑ 2 ∑ 3n + 2 .
, b)
3n − 2
n =1 n =1

+∞
1 1
∑ 3n 2 − 2 . > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ
Gi¶i. a) Ta cã un = 2
3n − 2
n =1

chuçi d¬ng.
+∞ +∞
1
Chuçi sè ∑ vn = ∑ n2 lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet héi tô v× s = 2 >
n =1 n =1

1. MÆt kh¸c:
n2
un 1
= lim = ≠ 0, h÷u h¹n.
lim
n →+∞ 3n 2 − 2
n →+∞ v 3
n

Theo dÊu hiÖu so s¸nh 2, chuçi ®· cho héi tô.
+∞
5n
∑ 3n + 2 .
b)
n =1




8
5n
> 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ chuçi d¬ng.
Ta cã un = n
3 +2
n
+∞ +∞
 5
Chuçi sè ∑ vn = ∑  ÷ lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi nh©n ph©n kú v×
n =1  3 
n =1


5n 3n
un
= lim n
q > 1. MÆt kh¸c: nlim = 1 ≠ 0, h÷u h¹n.
( )
v n n →+∞ 3 + 2 5n
→+∞


Theo dÊu hiÖu so s¸nh 2, chuçi ®· cho ph©n kú.
un
Chó ý 7.2. Trong dÊu hiÖu so s¸nh 2, ta míi chøng minh ®îc cho trêng hîp nlim =
vn
→+∞


k ≠ 0, h÷u h¹n. NÕu k = 0 hoÆc k = + ∞ th× dÊu hiÖu so s¸nh 2 cßn ®óng n÷a
kh«ng ? Sau ®©y chóng ta xÐt cô thÓ cho tõng trêng hîp.
un
(i) NÕu k = 0 ⇔ nlim =k
vn
→+∞


un
⇔ (∀ε > 0), (∃ Nε > 0: ∀ n > Nε) ⇒ − ε < 0 nªn còng ®óng víi ε0 = 2 > 0. NghÜa lµ tån t¹i N 0
> 0 sao cho víi mäi n > N0 th×:
−2vn < un < 2vn. (7.4)
+∞
+∞

∑ vn v n héi tô. Tõ (7.4) ta cã: un < 2vn (∀ n >N0). ¸p dông
héi tô ⇒
NÕu
n=N 0
n =1


+∞ +∞
∑ u n héi tô ⇒ ∑ u n héi tô.
dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1




9
+∞
+∞
∑ u n ph©n kú ⇒ n∑ u n ph©n kú. Tõ (7.4) ta cã: un < 2vn (∀ n >N0). ¸p
NÕu
=N
n =1 0



+∞ +∞
∑ v n ph©n kú ⇒ ∑ vn ph©n kú.
dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1

Nh vËy, nÕu k = 0. Th× dÊu hiÖu so s¸nh 2 kh«ng ®óng n÷a mµ chØ cã thÓ
kÕt luËn nh sau:
+∞ +∞
∑ vn héi tô ⇒ ∑ u n héi tô.
∗ NÕu k = 0 th× tõ chuçi
n =1 n =1

+∞ +∞
∑ u n ph©n kú ⇒ ∑ vn ph©n kú.
∗ NÕu k = 0 th× tõ chuçi
n =1 n =1

un
(ii) NÕu k = + ∞ ⇔ nlim = +∞
vn
→+∞


un
⇔ (∀M > 0), (∃ Nε > 0: ∀ n > Nε) ⇒ >M (7.5)
vn
V× (7.5) ®óng víi mäi M > 0 nªn còng ®óng víi M0 = 20 > 0. NghÜa lµ tån t¹i
N0 > 0 sao cho víi mäi n > N0 th×:
un > 20vn. (7.6)
+∞
+∞
∑ vn ph©n kú ⇒n∑ v n ph©n kú. Tõ (7.6) ta cã: u n> 20vn (∀ n >N0). ¸p
NÕu
=N
n =1 0



+∞ +∞
∑ u n ph©n kú ⇒ ∑ u n ph©n kú.
dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1




10
+∞
+∞
∑ u n héi tô ⇒ n∑ u n héi tô. Tõ (7.6) ta cã: un< 20vn (∀ n > N0). ¸p dông
NÕu
=N
n =1 0



+∞ +∞
∑ v n héi tô ⇒ ∑ vn héi tô.
dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã
n=N0 n =1

Nh vËy, nÕu k = + ∞ . Th× dÊu hiÖu so s¸nh 2 kh«ng ®óng n÷a mµ chØ cã thÓ
kÕt luËn nh sau:
+∞ +∞
∑ u n héi tô ⇒∑ vn héi tô.
∗ NÕu
n =1 n =1

+∞ +∞
∗ NÕu ∑ vn ph©n kú ⇒ ∑ u n ph©n kú.
n =1 n =1

NhËn xÐt 7.7. Muèn ¸p dông c¸c dÊu hiÖu so s¸nh1 vµ dÊu hiÖu so s¸nh 2




11
®Ó xÐt sù héi tô cña chuçi sè d ¬ng. Chóng ta ph¶i ®a ra ®îc chuçi d¬ng thø hai ®·
biÕt héi tô hay ph©n kú råi vµ so s¸nh ®îc víi chuçi ®· cho. Tuy nhiªn, viÖc ®a ra
chuçi thø hai tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn nh trªn kh«ng ph¶i trêng hîp nµo còng thuËn lîi.
§Ó kh¾c phôc sau ®©y chóng ta ®a ra hai ®iÒu kiÖn ®ñ kh¸c (thuËn lîi h¬n) ®Ó
xÐt sù héi tô cña chuçi sè d¬ng.
7.2.3. DÊu hiÖu D′ Alembert.
+∞ u n +1
∑ un cã nlim
§Þnh lý 7.5. Cho chuçi sè d¬ng = k. Khi ®ã:
un
→+∞
n =1

+∞
∑ un
(i) NÕu k < 1. Th× chuçi héi tô.
n =1

+∞
∑ un
(ii) NÕu k > 1. Th× chuçi ph©n kú.
n =1

(iii) NÕu k = 1. Th× cha kÕt luËn ®îc vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi

+∞
∑ un .
n =1

VÝ dô 7.7. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi:
+∞ +∞
5n − 13
+∞
2n n
∑ 3n , c) ∑ 3n 2 − 2 .
a) ∑ 2 , b)
n =1 3n − 2 n =1 n =1

+∞
2n n
Gi¶i. a) ∑ 2 > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ
. Ta cã un = 2
3n − 2
n =1 3n − 2



2n +1
chuçi d¬ng ; un+1 = .
3n 2 + 6n + 1

( )
2n +1 3n 2 − 2
u n +1
= lim n = 2 > 1.
⇒ k = nlim
( )
n →+∞ 2 3n 2 + 6n + 1
→+∞ u
n


Theo dÊu hiÖu D′ Alembert, chuçi ®· cho ph©n kú.



12
+∞
5n − 13
5n − 13 8
∑ > 0 (∀n =3, 4, 5,...), u1 = − < 0 vËy chuçi ®·
b) . Ta cã un =
3n 3n 3
n =1


+∞
5n − 8
5n − 13

cho kh«ng ph¶i lµ chuçi d¬ng. Nhng chuçi lµ chuçi d¬ng ; un+1 = n +1 .
3n 3
n =3



3 ( 5n − 8)
n
u n +1 1
= lim n +1 = < 1. Theo dÊu hiÖu D′ Alembert, chuçi
⇒ k = nlim
( 5n − 13) 3
→+∞ u n →+∞ 3
n


+∞
5n − 13
∑ héi tô. Theo tÝnh chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè th× chuçi ®· cho héi tô.
3n
n =3

+∞
n
n
∑ 3n 2 − 2 . Ta cã un = 3n 2 − 2 > 0 (∀n =1, 2, 3,...), vËy chuçi ®· cho lµ chuçi d-
c)
n =1




( )
3n 2 − 2 ( n + 1)
n +1 u n +1
= lim = 1.
. ⇒ k = lim
¬ng ; un+1 =
( )
3n 2 + 6n + 1 n →+∞ n 3n 2 + 6n + 1
n →+∞ u
n


Theo dÊu hiÖu D′ Alembert, cha kÕt luËn ®îc sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi

+∞ +∞
1
∑ vn = ∑n
®· cho. MÆt kh¸c, chuçi lµ chuçi sè d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet ph©n
n =1 n =1



n2 1
un
= lim = ≠ 0 , h÷u h¹n. Theo dÊu hiÖu so s¸nh 2,
kú. Ta l¹i cã: nlim
( )
n →+∞ 3n 2 − 2 3
→+∞ v
n


chuçi ®· cho ph©n kú.
7.2.4. DÊu hiÖu Cauchy.
+∞
∑ un cã nlim n u n = k. Khi ®ã:
§Þnh lý 7.6. Cho chuçi sè d¬ng →+∞
n =1




13
+∞
∑ un
(i) NÕu k < 1. Th× chuçi héi tô.
n =1

+∞
∑ un
(ii) NÕu k > 1. Th× chuçi ph©n kú.
n =1

+∞
∑ un .
(iii) NÕu k = 1. Th× cha kÕt luËn ®îc vÒ sù héi tô cña chuçi
n =1

n2 n
+∞
+∞
n
VÝ dô 7.8. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: a) ∑  1 +  , b)
1
∑  3n + 1 ÷ .
 ÷
n =1  
n
n =1 

n2 n2
+∞
Gi¶i. a) ∑  1 +  . Ta cã un =  1
1
 1 + ÷ > 0 (∀n =1, 2, 3,...), vËy chuçi ®· cho
 ÷
n n
n =1  

n
 1
u n = lim  1 + ÷ = e > 1.
⇒ k = lim
lµ chuçi d¬ng n
n
n →+∞ 
n →+∞


Theo dÊu hiÖu Cauchy, chuçi ®· cho ph©n kú.
n n
+∞
n n
b) ∑  (∀n =1, 2, 3,...), vËy chuçi ®· cho lµ
÷ . Ta cã un =  ÷>0
 3n + 1   3n + 1 
n =1



n1
⇒ k = nlim n u n = nlim  ÷ = < 1.
chuçi d¬ng →+∞  3n + 1  3
→+∞


Theo dÊu hiÖu Cauchy, chuçi ®· cho héi tô.
NhËn xÐt 7.8.
(i) C¸c dÊu hiÖu so s¸nh 1, so s¸nh 2, dÊu hiÖu D′ Alembert vµ dÊu hiÖu Cauchy ¸p
dông ®îc ®Ó xÐt sù héi tô cña chuçi sè ©m b»ng c¸ch nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña
chuçi sè ©m víi (−1).
(ii) Trªn ®©y chóng ta ®· tr×nh bÇy c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét chuçi sè d ¬ng héi tô
hay ph©n kú, theo thø tù: dÊu hiÖu so s¸nh 1, so s¸nh 2, dÊu hiÖu D′ Alembert vµ
dÊu hiÖu Cauchy. Tuy nhiªn, khi ¸p dông chóng ta nªn ®i theo chu tr×nh ng îc l¹i. Tøc


14
lµ, sö dông c¸c dÊu hiÖu D′ Alembert vµ Cauchy tríc, nÕu kh«ng ®îc (k =1) th× sö
dông dÊu hiÖu so s¸nh 2, còng kh«ng ®îc th× sö dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 nÕu kh«ng
®îc n÷a th× sö dông ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè héi tô. VÝ dô sau ®©y kh¼ng
®Þnh ®iÒu ®ã.
n2
+∞
VÝ dô 7.9. XÐt sù héi tô cña chuçi ∑  1 + 
1 1
÷ n.

n e
n =1 

Gi¶i. DÔ dµng kiÓm tra ®îc chuçi trªn kh«ng ¸p dông ®îc c¸c dÊu hiÖu D′ Alembert
vµ Cauchy (v× trong c¶ hai trêng hîp ®ã ta lu«n t×m ®îc k =1). ViÖc sö dông c¸c
dÊu hiÖu so s¸nh 1 vµ so s¸nh 2 ®Ó xÕt sù héi tô cña chuçi sè nµy gÆp rÊt nhiÒu

−1
khã kh¨n. MÆt kh¸c, lim u n = e ≠ 0 v×:
2
n →+∞



ln ( 1+ t ) − t
x 1−1− t
  1 
1 1 
x lim x  x ln  1+ ÷−1 lim
lim −1
= et →0 ( ) = e 2 .
2t 1+ t
t2
 x 
lim u n = lim   1 + ÷  = e =e
x →+∞  t →0

x →+∞ e  x 
n →+∞

 
Nªn chuçi ®· cho ph©n kú.


7.3. Sù héi tô cña chuçi sè ®an dÊu
7.3.1. §Þnh nghÜa chuçi sè ®an dÊu.
§Þnh nghÜa 7.4. Chuçi sè ®an dÊu lµ mét chuçi sè cã mét trong c¸c d¹ng sau :

+∞ +∞
∑ ( −1) u n ∑ ( −1)
n +1
n
u n , trong ®ã un > 0 (n = 1, 2, 3,...).
hoÆc
n =1 n =1

VÝ dô 7.9.

( −1) n ( −1) n +1 .
+∞ +∞
∑ ∑
(i) C¸c chuçi sè sau ®©y lµ c¸c chuçi sè ®an dÊu: ,
n2 + 2
n
n =1 n =1




15
( −1)
n
+∞ 1
∑ n 2 − 2 kh«ng ph¶i lµ chuçi ®an dÊu v× u1 = −1< 0, u2 = 2 > 0.
(ii) Chuçi sè
n =1

NhËn xÐt 7.9.
+∞
∑ ( −1)
n
u n lµ (−1)nun chø kh«ng ph¶i lµ un .
(i) Sè h¹ng tæng qu¸t cña
n =1

+∞
∑ ( −1)
n +1
u n lµ (−1)n+1un chø kh«ng ph¶i lµ un . 7.3.2. Sù
(ii) Sè h¹ng tæng qu¸t cña
n =1

héi tô cña chuçi sè ®an dÊu.
+∞
∑ ( −1)
n +1
u n tho¶ m·n c¸c
§Þnh lý 7.7 (®Þnh lý Leibnitz). NÕu chuçi sè ®an dÊu
n =1

®iÒu kiÖn sau:
(i) u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ...;

(ii) nlim u n = 0.
→+∞

Th× chuçi ®an dÊu trªn héi tô vµ cã tæng ≤ u1.
Chøng minh.
Víi mçi k= 1,2,3,... ta cã: uk−uk+1 ≥ 0 (v× u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ...) nªn
S2k = u1 − u2 + u3 − u4 + ... − u2k + u2k
= (u1 − u2) + (u3 − u4) + ...+ (u2k-1 − u2k). (7.7)
= u1 − (u2 − u3) + ...+ (u2k-2 − u2k-1) − u2k ≤ u1. (7.8)




16
Tõ (7.7) vµ (7.8) suy ra { S2k} lµ d·y kh«ng gi¶m vµ bÞ chÆn trªn bëi u1 khi k
→ + ∞ . Theo tiªu chuÈn tån t¹i giíi h¹n thø hai th× tån t¹i
lim S 2k = I ≤ u1. (7.9)
k →+∞


MÆt kh¸c, v× nlim u n = 0 nªn klim u 2k +1 = 0. Mµ S2k+1= S2k+ u2k+1. Do ®ã:
→+∞ →+∞

lim S 2k +1 = lim S 2k + lim u 2k +1 = I + 0 = I ≤ u1. (7.10)
k →+∞ k →+∞ k →+∞


Tõ (7.9) vµ (7.10) suy ra nlim S n = I ≤ u1. (®pcm)
→+∞


( −1) n +1 .
+∞

VÝ dô 7.10. XÐt sù héi tô cña chuçi sè
n +3
n =1

1
Gi¶i. Chuçi sè ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu víi un = vµ ta cã:
n +3
1
1 1 1
> u2 = > u3 = > ....; lim u n = lim
u1 = = 0.
n →+∞ n + 3
4 5 6 n →+∞

1
Theo ®Þnh lý Leibniz, chuçi sè ®· cho héi tô vµ cã tæng ≤ .
4
Chó ý 7.3.
+∞
∑ ( −1)
n +1
u n vµ lµ ®iÒu kiÖn
(i) §Þnh lý Leibnitz ph¸t biÓu cho chuçi ®an dÊu d¹ng
n =1
+∞ +∞
∑ ( −1) u n héi tô. §èi víi chuçi ®an dÊu d¹ng ∑ ( −1) u n
n +1 n
®ñ ®Ó chuçi chóng ta
n =1 n =1
+∞
∑ ( −1)
n
u n víi
chØ ¸p dông ®îc ®Þnh lý Leibnitz sau khi nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña
n =1
+∞
∑ ( −1)
n
u n mµ kh«ng kÕt luËn ®îc
(−1), do ®ã chØ kÕt luËn ®uîc sù héi tô cña
n =1
+∞
∑ ( −1)
n
u n cã tæng ≤ u1.
n =1




17
+∞
∑ ( −1)
n +1
u n mµ c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý Leibnitz
(ii) §èi víi chuçi ®an dÊu d¹ng
n =1

chØ ®óng khi n > N (víi N lµ sè nguyªn d¬ng nµo ®ã). Th× vÉn kÕt luËn ®îc sù héi
tô cña chuçi ®an dÊu ®ã nhng kh«ng kÕt luËn ®îc chuçi ®ã cã tæng ≤ u1.

( −1) n ( −1)
n
+∞ +∞ n
∑ ∑ n 2 + 16 .
VÝ dô 7.11. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi sè (i) , (ii)
n n =1
n =1

1
Gi¶i. (i) Chuçi sè ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu víi u n = . Nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng
n


( −1) n +1
+∞

cña chuçi sè ®· cho víi (−1) ta ®îc chuçi sè míi: vµ ta cã:
n
n =1

1
1 1
> u3 = > ....; lim u n = lim
u1 = 1 > u2 = = 0.
n →+∞ n
2 3 n →+∞


( −1) n +1
+∞
∑ héi tô vµ cã tæng ≤ 1. Theo tÝnh
Theo ®Þnh lý Leibnitz, chuçi sè
n
n =1

chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè suy ra chuçi sè ®· cho héi tô.
n
(ii) Chuçi sè ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu víi un = . Nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng
2
n + 16


( −1)
n +1
+∞ n

cña chuçi sè ®· cho víi (−1) ta ®îc chuçi sè míi: vµ ta cã:
n 2 + 16
n =1

−n 2 − n + 16
n < 0 (∀n ≥ 4).
lim u n = lim 2 = 0 , un+1 − un = 
( )
( n + 1) + 16 n 2 + 16
2
n →+∞ n + 16
n →+∞





18
k h i n = 1, 2, 3, 4;
u 4
+∞
∑ ( −1) vn nh
n +1
sau: vn = 
X©y dùng chuçi Th× ba
n > 4.
u n khi
n =1



( −1) ( −1)
n +1
n +∞
+∞ +∞
n n
∑ ( −1)
n +1
∑ n 2 + 16 , ∑ v n cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú
chuçi vµ
2
n + 16 n =1
n =1 n =1


+∞
∑ ( −1)
n +1
v n lµ chuçi ®an dÊu tho¶ m·n
(tÝnh chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè), mµ
n =1



( −1)
n
+∞ n
∑ n 2 + 16
®Þnh lý Leibnitz nªn chuçi héi tô.
n =1

NhËn xÐt 7.10. (i) NÕu chuçi sè ®an dÊu cã ®iÒu kiÖn ( ii) cña ®Þnh lý Leibnitz

kh«ng tho¶ m·n (tøc lµ, nlim u n kh«ng tån t¹i hoÆc tån t¹i nh ng b»ng k ≠ 0). Th×
→+∞

chuçi sè ®an dÊu ®ã ph©n kú v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó mét chuçi sè
héi tô.
(ii) NÕu chuçi sè ®an dÊu cã ®iÒu kiÖn ( i) cña ®Þnh lý Leibnitz kh«ng tho¶
m·n vµ ®iÒu kiÖn (ii) cña ®Þnh lý tho¶ m·n. Th× ta ch a thÓ kÕt luËn g× vÒ sù héi
tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®an dÊu ®ã, v× ®Þnh lý Leibnitz chØ lµ mét ®iÒu
kiÖn ®ñ mµ kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè ®an dÊu héi tô. VÝ dô sau
®©y sÏ kh¼ng ®Þnh ®iÒu ®ã.

( −1) n +1 . §©y lµ chuçi sè ®an dÊu héi tô. Ta
+∞

VÝ dô 7.12. (a) Cho chuçi sè
n
n =1

11
300 − + + ... lµ chuçi héi tô tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (ii)
3
cã chuçi sè míi: 1 − 8 +
23
nhng kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (i) cña ®Þnh lý Leibnitz.




19
1111 1 1
(b) Chuçi: − 2 + 32 − 23 + 34 − ... + + 2n + ... lµ chuçi sè ®an dÊu héi tô
( −2 ) 2n −1
3

(tæng cña hai chuçi héi tô) vµ lµ chuçi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (ii) nhng
kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (i) cña ®Þnh lý Leibnitz.

( −1) 2k −2 , ( −1) 2k −1
(c) XÐt chuçi sè ®îc cho bëi: u2k-1= u2k= (k = 1,2,3, ...).
2k − 1 2k


( −1) + ( −1)
2k − 2 2 k −1
1111
Chuçi ®ã cô thÓ nh sau: 1 − + −+ − ... + + ...
2k − 1
2 34 2k
5
+∞
2k − 2k − 1

= .
2k 2k − 1
k =1

§©y lµ chuçi sè ®an dÊu ph©n kú tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ( ii) nhng kh«ng tho¶
m·n ®iÒu kiÖn (i) cña ®Þnh lý Leibnitz.


7.4. Chuçi sè bÊt kú


7.4.1. Chuçi sè trÞ tuyÖt ®èi.
+∞ +∞
∑ u n lµ chuçi sè bÊt kú th× chuçi ∑ u n
§Þnh nghÜa 7.5. Cho ®îc gäi lµ chuçi sè
n =1 n =1


+∞
∑ un .
trÞ tuyÖt ®èi cña chuçi sè
n =1

+∞ +∞ +∞
∑ un ∑ un ∑ u n ®îc gäi lµ
NÕu chuçi héi tô cßn chuçi ph©n kú th× chuçi
n =1 n =1 n =1

chuçi b¸n héi tô.




20
+∞ +∞ +∞
∑ u n vµ ∑ u n ∑ u n ®îc gäi lµ
NÕu c¶ hai chuçi ®Òu héi tô th× chuçi
n =1 n =1 n =1

chuçi héi tô tuyÖt ®èi.
VÝ dô 7.13. DÔ dµng kiÓm tra ®îc c¸c kÕt qu¶ sau:

( −1) n ( −1) n
+∞ +∞
∑ ∑
Chuçi sè lµ chuçi b¸n héi tô; Chuçi sè lµ chuçi héi tô
n2
n
n =1 n =1

tuyÖt ®èi.
7.4.2. TÝnh chÊt.
+∞ +∞
∑ un ∑ u n còng héi tô.
§Þnh lý 7.8. NÕu chuçi héi tô th× chuçi
n =1 n =1

NhËn xÐt 7.11.
§Ó kiÓm tra mét chuçi sè cã héi tô tuyÖt ®èi hay kh«ng ta chØ cÇn kiÓm tra
sù héi tô cña chuçi trÞ tuyÖt ®èi cña nã.


7.5. Chuçi luü thõa
7.5.1. Chuçi hµm.
§Þnh nghÜa 7.6. Cho {fn(x)} lµ d·y c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn miÒn X . Th× tæng tÊt
c¶ c¸c hµm sè cña d·y hµm sè trªn ® îc gäi lµ mét chuçi hµm sè trªn miÒn X, ký hiÖu

+∞ +∞
lµ ∑ f n ( x ) . VËy: ∑ f n ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x ) + ...
n =1 n =1

+∞
x x x
∑ ln n = ln x + ln + ... + ln + ... lµ mét chuçi hµm trªn (0;+∞ ).
VÝ dô 7.14.
2 n
n =1

+∞
∑ sin n x = sin x + sin 2x + ... + sin n x + ... lµ mét chuçi hµm trªn (−∞;+∞ ).
n =1




21
+∞
∑ f n ( x ) c¸c hµm x¸c ®Þnh trªn X, x0 ∈ X. Th×
§Þnh nghÜa 7.7. Cho chuçi
n =1


+∞ +∞
∑ f n ( x 0 ) lµ mét chuçi sè.NÕu chuçi sè nµy héi tô th× chuçi hµm ∑ f n ( x ) ®îc gäi lµ
n =1 n =1


+∞
∑ f n ( x ) . TËp hîp tÊt c¶
héi tô t¹i x0 vµ ®iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm tô cña chuçi hµm
n =1

c¸c ®iÓm tô cña mét chuçi hµm ®îc gäi lµ miÒn héi tô cña chuçi hµm ®ã.
+∞ +∞
∑x ∑ sin n x héi tô t¹i c¸c
n
cã miÒn héi tô lµ (−1;1). Chuçi
VÝ dô 7.15. Chuçi
n =1 n =1

®iÓm kπ víi mäi k = 1, 2, 3,...
7.5.2. Chuçi luü thõa.
§Þnh nghÜa 7.8. Chuçi luü thõa lµ mét chuçi hµm sè cã mét trong c¸c d¹ng sau:
+∞ +∞
∑ an ( x − x0 )
∑ an x n (1),
n
(2),
n =1 n =1

trong ®ã x0, an (n =1, 2, 3,...) lµ c¸c sè thùc.
+∞
∑ x n lµ chuçi luü thõa víi an = 1 (∀ n =1, 2, 3,...).
VÝ dô 7.16.
n =1


( x − 2)
n
1
+∞
∑ lµ chuçi luü thõa víi an = (n =1, 2, 3,...).
3n + 1
3n + 1
n =1

NhËn xÐt 7.12.
(i) Chuçi luü thõa d¹ng (1) lu«n héi tô t¹i x = 0, chuçi luü thõa d¹ng (2) lu«n héi
tô t¹i x = x0.
(ii) Chuçi luü thõa d¹ng (2) lu«n ®a ®îc vÒ d¹ng (1) b»ng c¸ch ®Æt y = x −x0.
V× vËy ®Ó xÐt sù héi tô cña chuçi luü thõa chóng ta chØ cÇn xÐt sù
héi tô cña chuçi luü thõa d¹ng (1).



22
7.6. Sù héi tô cña chuçi luü thõa


7.6.1. §Þnh lý Abel.
+∞
∑ an x n héi tô t¹i x0≠
§Þnh lý 7.9. NÕu chuçi luü thõa 0 th× chuçi luü thõa ®ã héi tô
n =1

tuyÖt ®èi t¹i mäi x mµ  x0
x< .
+∞ +∞
Chøng minh. V× chuçi luü thõa ∑ a n x héi tô t¹i x0 ≠ 0, nªn chuçi sè ∑ an x0
n n
héi
n =1 n =1

n
tô. Theo ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó mét chuçi sè héi tô th× nlim a n x 0 = 0 . Do ®ã, a n x 0 lµ
n
→+∞

®¹i lîng bÞ chÆn khi n→ + ∞ . VËy:
n
∃ M > 0 ,∃ N0> 0: ∀ n > N0 ⇒| a n x 0 | ≤ M.
+∞
∑ an x n héi tô vµ cã tæng b»ng 0.
T¹i x = 0 chuçi
n =1
n n
x x
n
≤M
Víi x ≠ 0, ta cã: | anx | = (∀ n > N0).
n
an x0
x0 x0
n
+∞
x
∑ lµ d¬ng vµ lµ chuçi nh©n héi tô khi | x| ≤ | x0| . VËy theo dÊu

x0
n =1
n
+∞
∑ n
an x
hiÖu so s¸nh 1 cña chuçi sè d¬ng, víi mäi x mµ | x| ≤ | x0| th× héi tô.
n = N 0 +1
n
+∞
∑ an x n
Theo tÝnh chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè th× chuçi héi tô. Do ®ã, chuçi
n =1
+∞
∑ an x n héi tô tuyÖt ®èi khi | x| ≤ | x0| .(®pcm)
n =1
+∞
∑ an x n ph©n kú t¹i x1 ≠
HÖ qu¶ 7.9.1. NÕu chuçi luü thõa 0 th× chuçi luü thõa ®ã
n =1

ph©n kú t¹i mäi x mµ  x1
x> .


23
Chøng minh.
+∞
∑ an x n héi tô t¹i x0. Th× x1 ≠
Gi¶ sö tån t¹i x0 sao cho:  0 x1 chuçi
x> vµ 0, theo
n =1


+∞
∑ an x n héi tô tuyÖt ®èi khi | x| ≤ | x0| . Do ®ã chuçi héi tô t¹i x1.
®Þnh lý Abel chuçi
n =1

Tr¸i víi gi¶ thiÕt, suy ra (®pcm)
NhËn xÐt 7.13. §èi víi chuçi luü thõa mµ b»ng c¸ch nµo ®ã chóng ta t×m
®îc hai ®iÓm x0, x1 ≠ 0 (x0 < x1); t¹i x0 chuçi héi tô, t¹i x1 chuçi ph©n kú. Th× kÕt
luËn ®îc chuçi héi tô trªn (−|x0| ; | x0| ), ph©n kú trªn (−∞;−|x1| ) ∪ (| x1| ;+∞ ), cßn trªn
[−|x1| ; −|x0| ] vµ [| x0| ;| x1| ] ph¶i xÐt riªng.
VÊn ®Ò ®Æt ra lµ víi mét chuçi luü liÖu cã hay kh«ng mét sè a > 0 sao cho
chuçi héi tô khi | x| < | a| vµ ph©n kú khi | x| > | a| ?
Ngêi ta ®· chøng minh ®îc víi mçi chuçi luü thõa lu«n t×m ® îc mét sè r ≥ 0
sao cho chuçi héi tô khi | x| < | r| vµ ph©n kú khi | x| > | r| .
+∞
∑ an x n héi tô khi | x|
| r| (khi r > 0). Th× r ®îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi luü

+∞
∑ an x n .
thõa
n =1

7.6.2. Ph¬ng ph¸p t×m b¸n kÝnh héi tô cña chuçi luü thõa.
Dùa vµo c¸c dÊu hiÖu D ′ Alembert vµ Cauchy vÒ sù héi tô cña chuçi sè d ¬ng
ngêi ta chøng minh ®îc ®Þnh lý sau:
+∞
a n +1
∑ an x n cã = k hoÆc lim n a n = k .
lim
§Þnh lý 7.10. NÕu chuçi luü thõa
an n →+∞
n →+∞
n =1

Th× b¸n kÝnh héi tô r cña chuçi luü thõa ®ã ®îc tÝnh theo


24
c«ng thøc:

 0 k h i k = +∞ ;

r =  +∞ k h i k = 0;
1
 k h i 0 < k < +∞ .
k
VÝ dô 7.16. T×m miÒn héi tô cña c¸c chuçi sau:

( x − 1) n , n
+∞
xn +∞
 n +1 
+∞
a) ∑ ÷ ( x − 2) .
c) ∑ 

2n
, b)
n =1 3n − 1 n =1  2n − 1 
n2
n =1

+∞
xn 1
Gi¶i. a) ∑ > 0 (∀ n = 1, 2, 3,...) vµ:
. §©y lµ chuçi luü thõa víi a n =
3n − 1
n =1 3n − 1



3n + 2
a n +1
= lim = 1. VËy b¸n kÝnh héi tô cña chuçi ®· cho lµ r = 1. Hay
k = lim
n →+∞ 3n − 1
an
n →+∞


chuçi ®· cho héi tô khi | x| < 1 vµ ph©n kú khi | x| > 1.
+∞
1
∑ 3n − 1 . §©y lµ chuçi sè d¬ng ph©n kú (so s¸nh víi
T¹i x = 1, ta cã chuçi sè:
n =1


+∞
1
∑ n ). VËy chuçi luü thõa ®· cho ph©n kú t¹i x = 1.
chuçi
n =1


( −1) n
+∞
∑ 3n − 1 . §©y lµ chuçi sè ®an dÊu héi tô (sö dông
T¹i x = −1, ta cã chuçi sè:
n =1

®Þnh lý Leibnitz). VËy chuçi luü thõa ®· cho héi tô t¹i x = −1.
VËy miÒn héi tô cña chuçi luü thõa ®· cho lµ: [−1; 1).

( x − 1)
n
1
+∞
∑ > 0 (∀ n = 1, 2, 3,...) vµ:
b) . §©y lµ chuçi luü thõa víi an =
n2
n2
n =1




25
( n + 1) = 1 .
2
a
k = lim n +1 = lim
n2
n →+∞ a n →+∞
n

VËy b¸n kÝnh héi tô cña chuçi ®· cho lµ r = 1. Hay chuçi ®· cho héi tô khi | x
−1| < 1 vµ ph©n kú khi | x −1| > 1.
+∞
1
∑ n 2 . §©y lµ chuçi sè d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet
T¹i x −1 = 1, ta cã chuçi sè:
n =1

héi tô. VËy chuçi luü thõa ®· cho héi tô t¹i x −1 = 1.

( −1)
n
( −1) n +∞ +∞
1
+∞
∑ ∑ n2

T¹i x −1 = −1, ta cã chuçi sè: . Cã = héi tô nªn chuçi
2
n
n2 n =1 n =1
n =1




( −1) n
+∞
∑ héi tô. VËy miÒn héi tô cña chuçi luü thõa ®· cho lµ:
n2
n =1

x −1∈[−1; 1] ⇔ x ∈[−2; 0].
n n
+∞
 n +1   n +1 
÷ ( x − 2) . §©y lµ chuçi luü thõa víi an = 
c) ∑ 
2n
÷ > 0 (∀ n = 1, 2,
2n − 1  2n − 1 
n =1  

n +1 1
a n = lim =.
k = lim
3,...) vµ: n
n →+∞ 2n − 1 2
n →+∞


VËy b¸n kÝnh héi tô cña chuçi ®· cho lµ r = 2. Hay chuçi ®· cho héi tô khi | (x
−2)2| < 2 vµ ph©n kú khi | (x −2)2| > 2.
n
+∞
 n +1 
T¹i (x −2) = 2, ta cã chuçi sè: ∑ 
2
÷ . §©y lµ chuçi sè d¬ng vµ lµ chuçi
n =1  2n − 1 

héi tô (sö dông dÊu hiÖu Cauchy). VËy chuçi luü thõa ®· cho héi tô t¹i (x −2)2 = 2.
T¹i (x−2)2=−2 v« nghiÖm. VËy miÒn héi tô cña chuçi luü thõa ®· cho lµ:
0 ≤ (x −2)2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ x −2 ≤ 2 ⇔ 2− 2 ≤ x ≤ 2 + 2.
VÝ dô 7.17. T×m miÒn héi tô cña c¸c chuçi sau:


26
( x − 1)
n
+∞ +∞
2n − 13
+∞
( x + 2) .
∑n !x , ∑
n

n
a) b) , c) 3
n =1 n + 2
n!
n =1 n =1




27
+∞
∑ n ! xn lµ chuçi luü thõa víi an = n! > 0 (∀ n = 1, 2, 3,...) vµ:
Gi¶i. a)
n =1


( n + 1) ! = lim n + 1 = +∞
a n +1
( )
= lim
k = lim .
an n!
n →+∞ n →+∞ n →+∞


VËy b¸n kÝnh héi tô cña chuçi ®· cho lµ r = 0 hay chuçi luü thõa ®· cho héi tô
t¹i duy nhÊt ®iÓm x = 0.

( x − 1)
n
1
+∞
∑ > 0 (∀ n = 1, 2, 3,...) vµ:
b) lµ chuçi luü thõa víi an =
n!
n!
n =1

1
a n +1 n!
= lim = lim = 0.
k = lim
n →+∞ ( n + 1) ! n →+∞ n + 1
an
n →+∞


VËy b¸n kÝnh héi tô cña chuçi ®· cho lµ r = + ∞ hay chuçi luü thõa ®· cho héi tô t¹i
mäi ®iÓm.
+∞
2n − 13
2n − 13
( x + 2) n lµ chuçi luü thõa víi an = 3
∑ > 0 (∀ n = 7, 8, 9,...) vµ: k
c) 3
n =1 n + 2 n +2


( )
n 3 + 2 ( 2n − 13)
a n +1
= lim = 1.
= nlim
( n + 1) + 2  ( 2n − 11)
n →+∞  3
→+∞ a
n

VËy b¸n kÝnh héi tô cña chuçi ®· cho lµ r = 1. Hay chuçi ®· cho héi tô khi | x
+ 2| < 1 vµ ph©n kú khi | x+ 2| > 1.
+∞
2n − 13

T¹i x + 2 = 1, ta cã chuçi sè: . §©y kh«ng ph¶i lµ chuçi sè
3
n =1 n + 2

+∞ +∞ +∞
2n − 13 2n − 13
1
d¬ng, nhng ∑ 3 ∑ n 2 ). Nªn ∑
lµ chuçi sè d¬ng héi tô (so s¸nh víi 3
n =7 n + 2 n =1 n + 2
n =7

lµ chuçi sè héi tô . VËy chuçi luü thõa ®· cho héi tô t¹i x + 2 = 1.




28
+∞
2n − 13
∑ ( −1)
n
T¹i x + 2 = −1, ta cã chuçi sè: . §©y kh«ng ph¶i lµ chuçi sè
n3 + 2
n =1


1 1
®an dÊu v× sè h¹ng thø 6 b»ng − vµ sè h¹ng thø 7 b»ng − , nhng chuçi
218 345

+∞
2n − 13
∑ ( −1)
n
lµ chuçi sè ®an dÊu héi tô (theo Leibniz). VËy chuçi
n3 + 2
n =7


+∞
2n − 13
∑ ( −1)
n
héi tô hay chuçi luü thõa ®· cho héi tô t¹i x + 2 = −1.
n3 + 2
n =1

VËy miÒn héi tô cña chuçi luü thõa ®· cho lµ: [−3; −1].
+∞
∑ an x n .
NhËn xÐt 7.14. Cho chuçi luü thõa
n =7

T¹i x = 0 chuçi héi tô vµ cã tæng b»ng 0.
T¹i x ≠ 0. NÕu tån t¹i sè N0 nguyªn, d¬ng sao cho an ≠ 0 (∀ n > N0) vµ tån t¹i
giíi h¹n:

a n +1x n +1 a
= x lim n +1 = k(x),
lim (7.11)
an x n n →+∞ a
n →+∞
n


a n x n = x lim
hoÆc lim a n = k(x). (7.12)
n
n
n →+∞ n →+∞

Th× ta cã thÓ sö dông dÊu hiÖu D ′ Alembert hoÆc dÊu hiÖu Cauchy ®èi víi
chuçi sè d¬ng ®Ó t×m miÒn héi tô cña luü thõa ®· cho nh sau:
+∞
∑ a n x n lµ chuçi sè d¬ng.
Víi x≠ 0. V× an ≠ 0 (∀n>N0) nªn chuçi
n = N 0 +1




29
NÕu giíi h¹n (7.11) [hoÆc (7.12)] tån t¹i th× theo dÊu hiÖu D ′ Alembert

+∞
∑ a n x n héi tô khi | k(x)| < 1 vµ ph©n kú khi |
(hoÆc dÊu hiÖu Cauchy) chuçi
n = N 0 +1


k(x)| > 1. Tõ ®ã cã thÓ suy ra ®îc sù héi tô cña chuçi luü thõa ®· cho.
+∞
2n − 1 n
∑ x.
VÝ dô 7.18. T×m miÒn héi tô cña chuçi: n
n =1 3

2n − 1
> 0 (∀ n = 1, 2, 3, ...) chuçi héi tô
Gi¶i. Chuçi ®· cho lµ chuçi luü thõa víi an =
3n
t¹i x = 0 vµ cã tæng b»ng 0.
+∞
2n − 1 n
∑ x lµ chuçi sè d¬ng vµ
T¹i mçi x ≠ 0 ta cã:
3n
n =1


( 2n + 1) 3n = x
a n +1x n +1 a n +1
= x lim = x lim n +1
k(x) = lim .
( 2n − 1) 3
an x n n →+∞ a n →+∞ 3
n →+∞
n

+∞
2n − 1 n x
∑ < 1 , ph©n
x héi tô khi
Theo dÊu hiÖu D′ Alembert chuçi n
3 3
n =1

x
> 1. Do ®ã, chuçi luü thõa ®· cho héi tô tuyÖt ®èi khi x ∈ (−3; 3).
kú khi
3
Víi mçi x > 3 chuçi luü thõa ®· cho lµ chuçi sè d ¬ng cã k(x) > 1. Theo dÊu
hiÖu D′ Alembert chuçi luü thõa ®· cho ph©n kú.
Víi mçi x < −3 chuçi luü thõa ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu vµ viÕt ® îc díi d¹ng:

+∞ +∞
2n − 1 n +∞
2n − 1
∑ ( −1) 3n x = ∑ ( −1) u n ( x ) , víi
∑ 3n x n =
n n

n =1 n =1 n =1

2n − 1 n 2n − 1 n
3 = 2n − 1 ⇒ nlim u n ( x ) ≥ nlim ( 2n − 1) = +∞ .
x>
un(x) =
3n 3n →+∞ →+∞




30
VËy ®iÒu kiÖn (ii) cña ®Þnh lý Leibnitz kh«ng tho¶ m·n. Hay chuçi luü thõa ®·
cho ph©n kú khi x < −3.
+∞
= lim ( 2n − 1) = +∞ ⇒ chuçi
∑ ( 2n − 1) ⇒ nlim u n
Víi x = 3 ta cã chuçi sè →+∞ n →+∞
n =1

ph©n kú, hay chuçi luü thõa ph©n kú t¹i x = 3.
+∞
∑ ( −1) ( 2n − 1) .
n
Víi x = −3 ta cã chuçi sè
n =1


⇒ nlim u n = nlim ( −1) ( 2n − 1) kh«ng tån t¹i.
n
→+∞ →+∞

⇒ chuçi ph©n kú, hay chuçi luü thõa ph©n kú t¹i x = −3.
⇒ MHT cña chuçi luü thõa ®· cho lµ (−3;3).
7.6.3. §¹o hµm vµ tÝch ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi.
+∞
∑ an x n héi tô trªn miÒn X vµ víi mçi x ∈ X
§Þnh lý 7. 11. NÕu chuçi luü thõa ta cã
n =1


+∞
∑ an x n = S(x). Th× ta cã thÓ ®¹o hµm vµ tÝch ph©n tõng sè h¹ng
n =1

′ +∞
 +∞ n
cña chuçi. Cô thÓ:  ∑ a n x  = ∑ n a n x n −1 = S ′ ( x ) (∀ x ∈ X);
 n =1  n =1

a n x n +1
+∞ +∞

∫ n =1 an x d x = n =1 n + 1 = ∫ S ( x ) d x .
∑ ∑
n



VÝ dô 7.18. TÝnh c¸c tæng sau:
(i) S1(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ....
(ii) S2(x) = x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ....
1 1 1
(iii) S3(x) = x − x2 + x3 − x4 + ...
2 3 4




31
+∞ +∞
x
∑x ∑ xn
n
= (khi −1 < x < 1). Theo
Gi¶i. Ta cã lµ chuçi luü thõa héi tô vµ
1− x
n =1 n =1

®Þnh lý 7.11, ®¹o hµm hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn ta cã:
1
S1(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + .... = (∀x ∈ (−1;1)).
( 1− x) 2
Nh©n c¶ hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi x2 ta ®îc:
x2
S2(x) = x + 2x + 3x + 4x + .... = (∀x ∈ (−1;1)).
2 3 4 5
( 1− x) 2
+∞
∑ ( −x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − .... + ( − x ) + ... lµ chuçi luü thõa
n n
MÆt kh¸c,
n =0


+∞
1
∑ ( −x )
n
= (∀x ∈ (−1;1)). Theo ®Þnh lý 7.11, tÝch ph©n hai vÕ cña
héi tô vµ
1+ x
n =0

®¼ng thøc trªn ta cã:
dx
1 1 1
S3(x) = x − x2 + x3 − x4 + ... = ∫ = ln 1 + x + C (∀x ∈ (−1;1)).
1+ x
2 3 4
7.6.4. Khai triÓn hµm sè thµnh chuçi luü thõa.
§Þnh lý 7. 12. NÕu hµm f(x) cã ®¹o hµm mäi cÊp t¹i x0 vµ ®¹o hµm c¸c cÊp
cña nã liªn tôc trong mét l©n cËn nµo ®ã cña x 0 th× nã khai triÓn ®îc thµnh chuçi
luü thõa t¹i x0 . Khi ®ã,
+∞
1k
∑ k ! f ( ) ( x0 ) ( x − x0 ) .
k
f(x) =
k =0

VÝ dô 7.19. Khai triÓn c¸c hµm sè sau thµnh chuçi luü thõa cho tõng trêng hîp cô
thÓ:
(i) f(x) = sin x theo luü thõa cña x. (ii)
f(x) = cos x theo luü thõa cña x.
(iii) f(x) = ln x theo luü thõa cña x −1.


32
Gi¶i. (i) f(x) = sin x lµ hµm cã ®¹o hµm mäi cÊp t¹i x = 0 vµ

( )
f(n)(x) = sin x + n π 2 .

Nªn f(x) = sin x khai triÓn ®îc thµnh chuçi luü thõa t¹i x = 0 vµ

sin n π n
x3 x5 2 x + ...
f(x) = sin x = x − + + ... +
3! 5 ! n!
(ii) f(x) = cos x lµ hµm cã ®¹o hµm mäi cÊp t¹i x = 0 vµ

( )
f(n)(x) = cos x + n π 2 .

Nªn f(x) = cos x khai triÓn ®îc thµnh chuçi luü thõa t¹i x = 0 vµ

cos n π n
2 4
f(x) = cos x = 1 − x + x − ... + 2 x + ...
2! 4! n!
(iii) f(x) = ln x lµ hµm cã ®¹o hµm mäi cÊp t¹i x = 1 vµ
1
= x −1 , f′ (1) =1, f(n)(x) = (−1)n−1(n−1)! x−n, f(n)(1) = (−1)n−1(n−1)!.
f′ (x) =
x
Nªn f(x) = ln x khai triÓn ®îc thµnh chuçi luü thõa t¹i x = 1 vµ
1 1
( x − 1) 3 − ( x − 1) 4 + ....
f(x) = ln x = (x−1) −(x−1)2 +
2! 3!
C©u hái «n tËp ch¬ng 7

C©u 1: §Þnh nghÜa chuçi sè; §Þnh nghÜa tæng cña chuçi sè.
C©u 2: §Þnh nghÜa sù héi tô cña chuçi sè. Nªu c¸c tÝnh chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi
sè; chøng minh tÝnh chÊt thø 3 vÒ sù héi tô cña chuçi sè.
+∞ +∞
C©u 3: Cho hai chuçi sè ∑ u n ( A ) , ∑ v n ( B ) . Khi ®ã cã thÓ nãi g× vÒ sù héi tô cña
n =1 n =1


+∞
∑ ( u n + vn ) nÕu:
chuçi
n =1

a) C¶ hai chuçi (A) vµ (B) ®Òu héi tô?


33
b) Mét trong hai chuçi héi tô cßn chuçi kia ph©n kú?
c) C¶ hai chuçi (A) vµ (B) ®Òu ph©n kú?
C©u 4: 1. Ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ Cauchy vÒ sù héi tô cña chuçi sè, tõ ®ã
suy ra ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó mét chuçi sè héi tô.
+∞
∑ u n cã nlim u n = a ≠ 0 hoÆc kh«ng tån t¹i lim u n th× cã kÕt luËn
2. Cho chuçi sè →+∞ n →+∞
n =1

g× vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®· cho?
C©u 5: §Þnh nghÜa chuçi sè d¬ng. Ph¸t biÓu c¸c dÊu hiÖu: So s¸nh 1, So s¸nh 2,
Dalambe vµ Cauchy vÒ sù héi tô cña chuçi sè d ¬ng. Chøng minh dÊu hiÖu so s¸nh 2;
mçi dÊu hiÖu ®ã lµ diÒu kiÖn cÇn hay ®iÒu kiÖn ®ñ hay ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ
®Ó mét chuçi sè d¬ng héi tô?
C©u 6: C¸c dÊu hiÖu: So s¸nh 1, So s¸nh 2, Dalambe vµ Cauchy vÒ sù héi tô cña
chuçi sè d¬ng cã ¸p dông ®Ó xÐt sù héi tô cña c¸c chuçi sè sau ®©y ® îc kh«ng? t¹i
sao?
a) Chuçi sè ©m.
b) Chuçi sè kh«ng ©m.
+∞ bn
∑ an héi tô vµ nlim = 1. Th× cã thÓ kh¼ng ®Þnh
C©u 7: Cho chuçi sè d¬ng
an
→+∞
n =1


+∞
∑ bn còng héi tô hay kh«ng? t¹i sao?
chuçi
n =1

+∞ +∞
∑ un ( A ) , ∑ vn ( B )
C©u 8: Cho hai chuçi sè lµ c¸c chuçi sè héi tô, ®ång thêi
n =1 n =1


+∞
u n ≤ t n ≤ vn ( ∀n = 1, 2,...) . Chøng minh r»ng chuçi sè ∑ t n (C) còng héi tô.
n =1

NÕu c¸c chuçi (A) vµ (B) cïng ph©n kú th× cã thÓ nãi g× vÒ sù héi tô cña
chuçi (C)?


34
+∞
∑ an lµ chuçi sè kh«ng ®æi dÊu vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
C©u 9: Cho
n =1

lim n a n = k ≠ 0.
n →+∞

Th× chuçi ®· cho ph©n kú.
C©u 10: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý Lepnit vÒ sù héi tô cña chuçi sè ®an

+∞
∑ ( −1)
n
u n kh«ng? t¹i sao? NÕu cã
dÊu. §Þnh lý Lepnit cã ®óng cho chuçi ®an dÊu
n =1

Ýt nhÊt mét trong hai gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý Lepnit vÒ sù héi tô cña chuçi sè ®an dÊu
kh«ng ®îc tho¶ m·n th× ®Þnh lý cßn ®óng n÷a kh«ng? LÊy vÝ dô minh ho¹.
+∞
∑ u n . Nªu mèi liªn hÖ gi÷a sù héi tô cña chuçi sè
C©u 11: Cho chuçi sè bÊt kú
n =1


+∞ +∞
∑ un ∑ u n . LÊy vÝ dô minh ho¹.
vµ sù héi tô cña chuçi sè
n =1 n =1

C©u 12: Nªu c¸c ®Þnh nghÜa vÒ: chuçi hµm; chuçi luü thõa; ®iÓm tô vµ miÒn héi
tô cña chuçi luü thõa.
C©u 13: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý Abel vÒ sù héi tô cña chuçi luü thõa. Tõ

+∞
®ã h·y chøng tá r»ng nÕu chuçi luü thõa ∑ a n x ph©n kú t¹i ®iÓm x0 ≠ 0 th× nã
n

n =1

ph©n kú t¹i mäi x mµ | x| > | x0| . mçi
C©u 14: §Þnh nghÜa b¸n kÝnh héi tô cña chuçi luü thõa. Nªu ph ¬ng ph¸p t×m b¸n
kÝnh héi tô cña chuçi luü thõa.
C©u 15: Nªu ®iÒu kiÖn ®Ó cã thÓ ®¹o hµm vµ tÝch ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi
luü thõa trªn miÒn héi tô cña nã. ¸p dông kÕt qu¶ trªn vµo viÖc tÝnh tæng.




35
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản