Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ

Chia sẻ: venus_s2_u

Định nghĩa 7.1. Dãy số là một tập hợp gồm vô hạn các số thực được sắp xếp theo một quy luật nào đó. Thông thường, người ta ký hiệu dãy số bởi...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ

 

  1. Ch¬ng 7: chuçi sè – chuçi luü thõa 7.1. chuçi sè 7.1.1. §Þnh nghÜa chuçi sè. §Þnh nghÜa 7.1. D·y sè lµ mét tËp hîp gåm v« h¹n c¸c sè thùc ® îc s¾p xÕp theo mét quy luËt nµo ®ã. Th«ng thêng, ngêi ta ký hiÖu d·y sè bëi: {un} = u1, u2, u3, ..., un, ... trong ®ã uk ®îc gäi lµ sè h¹ng thø k cña d·y sè (k = 1, +∞ ), un ®îc gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè. VÝ dô 7.1. (i) TËp hîp: {1, 3, 5, 7, 9} kh«ng ph¶i lµ d·y sè v× nã chØ cã 5 sè h¹ng. (ii) TËp hîp: {1, 3, 5, 7, 9,...} lµ d·y sè v× nã cã v« h¹n sè thùc vµ ® îc s¾p xÕp theo quy luËt sè ®øng sau b»ng sè ®øng ngay tr íc nã céng víi 2. D·y sè nµy ® îc viÕt gän nh sau: {2n + 1}. §Þnh nghÜa 7.2. Cho d·y sè {un}. Tæng tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y sè trªn ( ký hiÖu lµ +∞ ∑ u n ) ®îc gäi lµ mét chuçi sè. VËy: n =1 +∞ ∑ u n = u1 + u2+ u3+ ... + un+ ... n =1 7.1.2. C¸c lo¹i chuçi sè. Chuçi sè d¬ng lµ mét chuçi mµ tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña nã ®Òu d¬ng. Chuçi sè ©m lµ mét chuçi mµ tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña nã ®Òu ©m. Chuçi sè ®an dÊu lµ mét chuçi mµ hai sè h¹ng bÊt kú ®øng c¹nh nhau th× cã dÊu ngîc nhau. 1
  2. Mét chuçi sè kh«ng ph¶i lµ chuçi sè d¬ng, kh«ng ph¶i lµ chuçi sè ©m, kh«ng ph¶i lµ chuçi sè ®an dÊu th× ®îc gäi lµ chuçi sè bÊt kú. VÝ dô 7.2. +∞ +∞ ∑ 2 , ∑ ( 3n − 1) n (i) lµ c¸c chuçi sè d¬ng. n =1 n =1 +∞ +∞ ∑ ( −1) ∑ ( 1 − 2n ) 2 n +1 (ii) , lµ c¸c chuçi sè ©m. n =1 n =1 +∞ +∞ ∑ ( −1) ∑ ( −1) n +1 2 n n lµ c¸c chuçi sè ®an dÊu. (iii) , n =1 n =1 +∞ +∞ ∑ ( −1) 2 n +1 ∑ sin n cos n , (iiii) lµ c¸c chuçi sè bÊt kú. n =1 n =1 7.1.3. Sù héi tô cña chuçi sè. +∞ ∑ u n = u1+ u2+ u3+ ... + un+ ... Ta thµnh lËp d·y c¸c tæng riªng Cho chuçi sè n =1 nh sau: S1 = u1, S2 = u1+ u2, S3 = u1+ u2+ u3,..., Sn = u1+ u2+ u3+ ... + un,... +∞ +∞ §Þnh nghÜa 7.3. NÕu chuçi sè ∑ u n cã nlim S n tån t¹i, h÷u h¹n. Th× chuçi ∑ un →+∞ n =1 n =1 ®îc gäi lµ héi tô. Khi ®ã, +∞ ∑ u n = nlim S n =I, →+∞ n =1 +∞ ∑ un I ®îc gäi lµ tæng cña chuçi sè. Trong tr êng hîp ngîc l¹i, chuçi ®îc gäi lµ ph©n n =1 kú. +∞ ∑ u n ph©n kú khi lim S n kh«ng tån t¹i hoÆc tån t¹i nhng lµ NhËn xÐt 7.1. Chuçi n →+∞ n =1 sè v« h¹n. 2
  3. +∞ 1 ∑ 2n VÝ dô 7.3. (i) Chuçi héi tô vµ cã tæng = 1 v×: n =1   1 11 1 1 + + ... + n = 1 − n ⇒ lim S n = lim  1 − n ÷ = 1. Sn = n →+∞   2 24 2 2 n →+∞ +∞ ∑n (ii) Chuçi ph©n kú v×: n =1 n ( n + 1) n ( n + 1) Sn = 1 + 2 + ... + n = ⇒ lim S n = lim = +∞ . 2 2 n →+∞ n →+∞ +∞ ∑ ( −1) n (iii) Chuçi ph©n kú v×: n =1 −1 k h i n = 2k + 1 Sn = −1 + 1 − 1 + ... + ( −1) =  n (k nguyªn, d¬ng).  0 k h i n = 2k ⇒ nlim S n kh«ng tån t¹i. →+∞ TÝnh chÊt 7.1. +∞ +∞ +∞ ∑( u n ± vn ) (i) NÕu ∑ u n vµ ∑ vn lµ c¸c chuçi héi tô th× còng héi tô. n =1 n =1 n =1 (ii) NÕu nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña mét chuçi sè víi mét sè kh¸c kh«ng th× kh«ng lµm thay ®æi sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®ã. (iii) NÕu thªm vµo hoÆc bít ®i mét sè h÷u h¹n c¸c sè h¹ng cña chuçi sè th× kh«ng lµm thay ®æi sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®ã. §Þnh lý 7.1 (Tiªu chuÈn Cauchy ®Ó mét chuçi sè héi tô). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó +∞ ∑ u n héi tô lµ: (∀ε >0),(∃ Nε > 0: ∀ m,n > Nε) ⇒ m− Sn< ε. chuçi sè S n =1 3
  4. +∞ ∑ u n héi tô lµ nlim u n = 0 . HÖ qu¶ 7.1.1. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè →+∞ n =1 +∞ ∑ u n héi tô nªn: Chøng minh. Theo ®Þnh lý 7.1, v× chuçi sè n =1 ⇒(∀ε >0),(∃ Nε > 0: ∀ m = n−1,n > Nε) ⇒ m− Sn ε. S < ⇒ (∀ε >0),(∃ Nε > 0: ∀ n−1 > Nε) ⇒ n ε. u< ⇒nlim u n = 0 . (®pcm) →+∞ NhËn xÐt 7.2. NÕu mét chuçi sè kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nlim u n = 0 (nghÜa lµ →+∞ giíi h¹n trªn kh«ng tån t¹i hoÆc tån t¹i nh ng lµ sè kh¸c 0) th× chuçi ®ã ph©n kú. Tuy nhiªn, hÖ qu¶ 7.1.1 chØ lµ ®iÒu kiÖn cÇn nªn mét chuçi sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lim u n = 0 , th× cha kÕt luËn ®îc chuçi sè ®ã héi tô hay ph©n kú. n →+∞ VÝ dô 7.4. +∞ n +1 n +1 1 ∑ 2n − 1 ph©n kú v×: nlim u n = lim = ≠ 0. (i) Chuçi n →+∞ 2n − 1 2 →+∞ n =1 +∞ ∑ ( −1) n ph©n kú v×: nlim u n kh«ng tån t¹i. (ii) Chuçi →+∞ n =1 Chó ý 7.1. Chóng ta c«ng nhËn c¸c kÕt qu¶ sau: +∞ ∑ q n (q lµ h»ng sè) ®îc gäi lµ chuçi sè nh©n. Chuçi nµy héi tô (i) Chuçi sè n =1 khi   1 vµ ph©n kú khi  ≥ 1. q< q +∞ 1 ∑ ns (ii) Chuçi sè (s lµ h»ng sè) ®îc gäi lµ chuçi Dirichlet. Chuçi nµy héi tô n =1 khi s > 1 vµ ph©n kú khi s ≤ 1. NhËn xÐt 7.3. §èi víi chuçi sè Dirichlet vµ chuçi sè nh©n chóng ta chØ cÇn nh×n vµo s hoÆc q lµ cã thÓ kÕt luËn ®îc chuçi ®ã héi tô hay ph©n kú. Ch¼ng h¹n: 4
  5. +∞ ∑ 2n lµ chuçi sè ph©n kú v× nã lµ chuçi sè nh©n cã q = 2 > 1. (i) n =1 +∞ 1 1 ∑ 3n lµ chuçi sè héi tô v× nã lµ chuçi sè nh©n cã q = 3 < 1. (ii) n =1 +∞ 1 1 ∑ 3 n lµ chuçi sè ph©n kú v× nã lµ chuçi sè Dirichlet cã s = 3 < 1. (iii) n =1 +∞ 1 ∑ n 2 lµ chuçi sè héi tô v× nã lµ chuçi sè Dirichlet cã s = 2 > 1. (iiii) n =1 7.2. Sù héi tô cña chuçi sè d¬ng +∞ ∑ u n lµ chuçi sè d¬ng nÕu un > 0 (∀n =1, 2, 3,...). Nh¾c l¹i: Chuçi sè n =1 Trong phÇn nµy chóng ta ®a ra c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét chuçi sè d ¬ng héi tô. 7.2.1. DÊu hiÖu so s¸nh 1. +∞ +∞ ∑ u n , ∑ vn ; tån t¹i sè c > 0 vµ tån t¹i sè N §Þnh lý 7.2. Cho hai chuçi sè d¬ng n =1 n =1 nguyªn d¬ng sao cho: un ≤ c.vn (∀n > N). +∞ +∞ ∑ vn héi tô th× chuçi sè ∑ u n héi tô. Khi ®ã, (i) NÕu chuçi sè n =1 n =1 +∞ +∞ ∑ u n ph©n kú th× chuçi sè ∑ vn ph©n kú. (ii) NÕu chuçi sè n =1 n =1 (KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng cho chuçi sè kh«ng ©m). NhËn xÐt 7.4. §Ó ¸p dông ®îc dÊu hiÖu so s¸nh 1 xÐt sù héi tô cña mét chuçi sè ta ph¶i tiÕn hµnh qua c¸c bíc nh sau: 5
  6. Bíc 1: KiÓm tra tÝnh d¬ng cña chuçi sè ®· cho. +∞ ∑ vn tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: lµ chuçi sè d¬ng ; Bíc 2: §a ra chuçi sè thø hai n =1 ®· biÕt héi tô hay ph©n kú råi; so s¸nh ®îc víi chuçi sè ®· cho. §Ó ®a ra chuçi sè thø hai ta ph¶i dùa vµo chuçi sè ®· cho vµ chuçi sè nh©n (hoÆc chuçi sè Dirichlet). +∞ +∞ 5n 1 VÝ dô 7.5. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: a) ∑ 2 ∑n . , b) n =1 3n + 1 n =1 3 − 2 +∞ 1 1 ∑ 3n 2 + 1 . > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ Gi¶i. a) Ta cã un = 2 3n + 1 n =1 chuçi d¬ng. +∞ +∞ 1 ∑ vn ∑ n2 Chuçi sè = lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet héi tô v× s = 2 > n =1 n =1 1. MÆt kh¸c: 1 1 1 = vn (∀n =1, 2, 3,...). un = < 3n 2 + 1 3n 2 3 Theo dÊu hiÖu so s¸nh 1, chuçi ®· cho héi tô. +∞ 5n 5n b) ∑ n >0 (∀n=1,2,...) vËy chuçi ®· cho lµ chuçi d¬ng. . Ta cã un= n n =1 3 − 2 3 −2 n +∞ +∞  5 Chuçi sè ∑ vn = ∑  ÷ lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi nh©n ph©n kú v× q > 1. n =1  3  n =1 n 5n  5 >  ÷ = vn (∀n =1, 2, 3,...). MÆt kh¸c: un = n 3 − 2  3 Theo dÊu hiÖu so s¸nh 1, chuçi ®· cho ph©n kú. NhËn xÐt 7.5. NÕu trong vÝ dô 7.5, ë phÇn a) mÉu sè 3n2 + 1 ®îc thay bëi 6
  7. 3n2 − k hoÆc ë phÇn b) mÉu sè 3 n − 2 ®îc thay bëi 3n + k (víi k lµ h»ng sè d ¬ng). Th× chóng ta kh«ng thÓ ¸p dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ® îc. §Ó kh¾c phôc, sau ®©y chóng ta ®a ra dÊu hiÖu so s¸nh 2. 7.2.2. DÊu hiÖu so s¸nh 2. +∞ +∞ u ∑ u n , ∑ vn cã nlim v n = k ≠ §Þnh lý 7.3. Cho hai chuçi sè d¬ng 0, h÷u h¹n. Th× →+∞ n =1 n =1 n hai chuçi sè trªn cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú. Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý ta suy ra k > 0. Theo ®Þnh nghÜa giíi h¹n ta cã: un un lim = k ⇔ (∀ε > 0), (∃ Nε > 0: ∀ n > Nε) ⇒ k − ε < < k + ε (7.1) n →+∞ v vn n k V× (7.1) ®óng víi mäi ε > 0 nªn còng ®óng víi ε0 = > 0. NghÜa lµ tån t¹i N 0 2 > 0 sao cho víi mäi n > N0 th×: 3k k k k vn = (k − )vn < un < (k + )vn = vn . (7.2) 2 2 2 2 +∞ +∞ u n héi tô. Tõ (7.2) ta cã: k vn < un (∀ n > N0). ¸p dông ∑ u n héi tô ⇒ n∑ (i) NÕu 2 =N n =1 0 +∞ +∞ ∑ v n héi tô ⇒ ∑ vn héi tô. dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 +∞ +∞ u n ph©n kú. Tõ (7.2) ta cã: un < 3k vn (∀ n >N0). ¸p ∑ u n ph©n kú ⇒ n∑ (ii) NÕu 2 =N n =1 0 +∞ +∞ ∑ v n ph©n kú ⇒ ∑ vn ph©n kú. dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 7
  8. +∞ +∞ v n héi tô. Tõ (7.2) ta cã: un < 3k vn (∀ n >N0). ∑ ∑ vn héi tô ⇒ (iii) NÕu 2 n=N0 n =1 +∞ +∞ ∑ u n héi tô ⇒ ∑ u n héi tô. ¸p dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 +∞ +∞ v n ph©n kú. Tõ (7.2) ta cã: k vn < un (∀n > N0). ¸p ∑ vn ph©n kú ⇒ n∑ (iiii) NÕu 2 =N n =1 0 +∞ +∞ ∑ u n ph©n kú ⇒ ∑ u n ph©n kú. dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 Tõ (i) ®Õn (iiii) ⇒ (®pcm) NhËn xÐt 7.6. §Ó ¸p dông ®îc dÊu hiÖu so s¸nh 2 xÐt sù héi tô cña chuçi sè chóng ta còng ph¶i ch¶i qua c¸c bíc nh trong nhËn xÐt 7.4. +∞ +∞ 5n 1 VÝ dô 7.6. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: a) ∑ 2 ∑ 3n + 2 . , b) 3n − 2 n =1 n =1 +∞ 1 1 ∑ 3n 2 − 2 . > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ Gi¶i. a) Ta cã un = 2 3n − 2 n =1 chuçi d¬ng. +∞ +∞ 1 Chuçi sè ∑ vn = ∑ n2 lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet héi tô v× s = 2 > n =1 n =1 1. MÆt kh¸c: n2 un 1 = lim = ≠ 0, h÷u h¹n. lim n →+∞ 3n 2 − 2 n →+∞ v 3 n Theo dÊu hiÖu so s¸nh 2, chuçi ®· cho héi tô. +∞ 5n ∑ 3n + 2 . b) n =1 8
  9. 5n > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ chuçi d¬ng. Ta cã un = n 3 +2 n +∞ +∞  5 Chuçi sè ∑ vn = ∑  ÷ lµ chuçi d¬ng vµ lµ chuçi nh©n ph©n kú v× n =1  3  n =1 5n 3n un = lim n q > 1. MÆt kh¸c: nlim = 1 ≠ 0, h÷u h¹n. ( ) v n n →+∞ 3 + 2 5n →+∞ Theo dÊu hiÖu so s¸nh 2, chuçi ®· cho ph©n kú. un Chó ý 7.2. Trong dÊu hiÖu so s¸nh 2, ta míi chøng minh ®îc cho trêng hîp nlim = vn →+∞ k ≠ 0, h÷u h¹n. NÕu k = 0 hoÆc k = + ∞ th× dÊu hiÖu so s¸nh 2 cßn ®óng n÷a kh«ng ? Sau ®©y chóng ta xÐt cô thÓ cho tõng trêng hîp. un (i) NÕu k = 0 ⇔ nlim =k vn →+∞ un ⇔ (∀ε > 0), (∃ Nε > 0: ∀ n > Nε) ⇒ − ε < <ε (7.3) vn V× (7.3) ®óng víi mäi ε > 0 nªn còng ®óng víi ε0 = 2 > 0. NghÜa lµ tån t¹i N 0 > 0 sao cho víi mäi n > N0 th×: −2vn < un < 2vn. (7.4) +∞ +∞ ∑ ∑ vn v n héi tô. Tõ (7.4) ta cã: un < 2vn (∀ n >N0). ¸p dông héi tô ⇒ NÕu n=N 0 n =1 +∞ +∞ ∑ u n héi tô ⇒ ∑ u n héi tô. dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 9
  10. +∞ +∞ ∑ u n ph©n kú ⇒ n∑ u n ph©n kú. Tõ (7.4) ta cã: un < 2vn (∀ n >N0). ¸p NÕu =N n =1 0 +∞ +∞ ∑ v n ph©n kú ⇒ ∑ vn ph©n kú. dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 Nh vËy, nÕu k = 0. Th× dÊu hiÖu so s¸nh 2 kh«ng ®óng n÷a mµ chØ cã thÓ kÕt luËn nh sau: +∞ +∞ ∑ vn héi tô ⇒ ∑ u n héi tô. ∗ NÕu k = 0 th× tõ chuçi n =1 n =1 +∞ +∞ ∑ u n ph©n kú ⇒ ∑ vn ph©n kú. ∗ NÕu k = 0 th× tõ chuçi n =1 n =1 un (ii) NÕu k = + ∞ ⇔ nlim = +∞ vn →+∞ un ⇔ (∀M > 0), (∃ Nε > 0: ∀ n > Nε) ⇒ >M (7.5) vn V× (7.5) ®óng víi mäi M > 0 nªn còng ®óng víi M0 = 20 > 0. NghÜa lµ tån t¹i N0 > 0 sao cho víi mäi n > N0 th×: un > 20vn. (7.6) +∞ +∞ ∑ vn ph©n kú ⇒n∑ v n ph©n kú. Tõ (7.6) ta cã: u n> 20vn (∀ n >N0). ¸p NÕu =N n =1 0 +∞ +∞ ∑ u n ph©n kú ⇒ ∑ u n ph©n kú. dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 10
  11. +∞ +∞ ∑ u n héi tô ⇒ n∑ u n héi tô. Tõ (7.6) ta cã: un< 20vn (∀ n > N0). ¸p dông NÕu =N n =1 0 +∞ +∞ ∑ v n héi tô ⇒ ∑ vn héi tô. dÊu hiÖu so s¸nh 1 ta cã n=N0 n =1 Nh vËy, nÕu k = + ∞ . Th× dÊu hiÖu so s¸nh 2 kh«ng ®óng n÷a mµ chØ cã thÓ kÕt luËn nh sau: +∞ +∞ ∑ u n héi tô ⇒∑ vn héi tô. ∗ NÕu n =1 n =1 +∞ +∞ ∗ NÕu ∑ vn ph©n kú ⇒ ∑ u n ph©n kú. n =1 n =1 NhËn xÐt 7.7. Muèn ¸p dông c¸c dÊu hiÖu so s¸nh1 vµ dÊu hiÖu so s¸nh 2 11
  12. ®Ó xÐt sù héi tô cña chuçi sè d ¬ng. Chóng ta ph¶i ®a ra ®îc chuçi d¬ng thø hai ®· biÕt héi tô hay ph©n kú råi vµ so s¸nh ®îc víi chuçi ®· cho. Tuy nhiªn, viÖc ®a ra chuçi thø hai tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn nh trªn kh«ng ph¶i trêng hîp nµo còng thuËn lîi. §Ó kh¾c phôc sau ®©y chóng ta ®a ra hai ®iÒu kiÖn ®ñ kh¸c (thuËn lîi h¬n) ®Ó xÐt sù héi tô cña chuçi sè d¬ng. 7.2.3. DÊu hiÖu D′ Alembert. +∞ u n +1 ∑ un cã nlim §Þnh lý 7.5. Cho chuçi sè d¬ng = k. Khi ®ã: un →+∞ n =1 +∞ ∑ un (i) NÕu k < 1. Th× chuçi héi tô. n =1 +∞ ∑ un (ii) NÕu k > 1. Th× chuçi ph©n kú. n =1 (iii) NÕu k = 1. Th× cha kÕt luËn ®îc vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi +∞ ∑ un . n =1 VÝ dô 7.7. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: +∞ +∞ 5n − 13 +∞ 2n n ∑ 3n , c) ∑ 3n 2 − 2 . a) ∑ 2 , b) n =1 3n − 2 n =1 n =1 +∞ 2n n Gi¶i. a) ∑ 2 > 0 (∀n =1, 2, 3,...) vËy chuçi ®· cho lµ . Ta cã un = 2 3n − 2 n =1 3n − 2 2n +1 chuçi d¬ng ; un+1 = . 3n 2 + 6n + 1 ( ) 2n +1 3n 2 − 2 u n +1 = lim n = 2 > 1. ⇒ k = nlim ( ) n →+∞ 2 3n 2 + 6n + 1 →+∞ u n Theo dÊu hiÖu D′ Alembert, chuçi ®· cho ph©n kú. 12
  13. +∞ 5n − 13 5n − 13 8 ∑ > 0 (∀n =3, 4, 5,...), u1 = − < 0 vËy chuçi ®· b) . Ta cã un = 3n 3n 3 n =1 +∞ 5n − 8 5n − 13 ∑ cho kh«ng ph¶i lµ chuçi d¬ng. Nhng chuçi lµ chuçi d¬ng ; un+1 = n +1 . 3n 3 n =3 3 ( 5n − 8) n u n +1 1 = lim n +1 = < 1. Theo dÊu hiÖu D′ Alembert, chuçi ⇒ k = nlim ( 5n − 13) 3 →+∞ u n →+∞ 3 n +∞ 5n − 13 ∑ héi tô. Theo tÝnh chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè th× chuçi ®· cho héi tô. 3n n =3 +∞ n n ∑ 3n 2 − 2 . Ta cã un = 3n 2 − 2 > 0 (∀n =1, 2, 3,...), vËy chuçi ®· cho lµ chuçi d- c) n =1 ( ) 3n 2 − 2 ( n + 1) n +1 u n +1 = lim = 1. . ⇒ k = lim ¬ng ; un+1 = ( ) 3n 2 + 6n + 1 n →+∞ n 3n 2 + 6n + 1 n →+∞ u n Theo dÊu hiÖu D′ Alembert, cha kÕt luËn ®îc sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi +∞ +∞ 1 ∑ vn = ∑n ®· cho. MÆt kh¸c, chuçi lµ chuçi sè d¬ng vµ lµ chuçi Dirichlet ph©n n =1 n =1 n2 1 un = lim = ≠ 0 , h÷u h¹n. Theo dÊu hiÖu so s¸nh 2, kú. Ta l¹i cã: nlim ( ) n →+∞ 3n 2 − 2 3 →+∞ v n chuçi ®· cho ph©n kú. 7.2.4. DÊu hiÖu Cauchy. +∞ ∑ un cã nlim n u n = k. Khi ®ã: §Þnh lý 7.6. Cho chuçi sè d¬ng →+∞ n =1 13
  14. +∞ ∑ un (i) NÕu k < 1. Th× chuçi héi tô. n =1 +∞ ∑ un (ii) NÕu k > 1. Th× chuçi ph©n kú. n =1 +∞ ∑ un . (iii) NÕu k = 1. Th× cha kÕt luËn ®îc vÒ sù héi tô cña chuçi n =1 n2 n +∞ +∞ n VÝ dô 7.8. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi: a) ∑  1 +  , b) 1 ∑  3n + 1 ÷ .  ÷ n =1   n n =1  n2 n2 +∞ Gi¶i. a) ∑  1 +  . Ta cã un =  1 1  1 + ÷ > 0 (∀n =1, 2, 3,...), vËy chuçi ®· cho  ÷ n n n =1   n  1 u n = lim  1 + ÷ = e > 1. ⇒ k = lim lµ chuçi d¬ng n n n →+∞  n →+∞ Theo dÊu hiÖu Cauchy, chuçi ®· cho ph©n kú. n n +∞ n n b) ∑  (∀n =1, 2, 3,...), vËy chuçi ®· cho lµ ÷ . Ta cã un =  ÷>0  3n + 1   3n + 1  n =1 n1 ⇒ k = nlim n u n = nlim  ÷ = < 1. chuçi d¬ng →+∞  3n + 1  3 →+∞ Theo dÊu hiÖu Cauchy, chuçi ®· cho héi tô. NhËn xÐt 7.8. (i) C¸c dÊu hiÖu so s¸nh 1, so s¸nh 2, dÊu hiÖu D′ Alembert vµ dÊu hiÖu Cauchy ¸p dông ®îc ®Ó xÐt sù héi tô cña chuçi sè ©m b»ng c¸ch nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña chuçi sè ©m víi (−1). (ii) Trªn ®©y chóng ta ®· tr×nh bÇy c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét chuçi sè d ¬ng héi tô hay ph©n kú, theo thø tù: dÊu hiÖu so s¸nh 1, so s¸nh 2, dÊu hiÖu D′ Alembert vµ dÊu hiÖu Cauchy. Tuy nhiªn, khi ¸p dông chóng ta nªn ®i theo chu tr×nh ng îc l¹i. Tøc 14
  15. lµ, sö dông c¸c dÊu hiÖu D′ Alembert vµ Cauchy tríc, nÕu kh«ng ®îc (k =1) th× sö dông dÊu hiÖu so s¸nh 2, còng kh«ng ®îc th× sö dông dÊu hiÖu so s¸nh 1 nÕu kh«ng ®îc n÷a th× sö dông ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè héi tô. VÝ dô sau ®©y kh¼ng ®Þnh ®iÒu ®ã. n2 +∞ VÝ dô 7.9. XÐt sù héi tô cña chuçi ∑  1 +  1 1 ÷ n.  n e n =1  Gi¶i. DÔ dµng kiÓm tra ®îc chuçi trªn kh«ng ¸p dông ®îc c¸c dÊu hiÖu D′ Alembert vµ Cauchy (v× trong c¶ hai trêng hîp ®ã ta lu«n t×m ®îc k =1). ViÖc sö dông c¸c dÊu hiÖu so s¸nh 1 vµ so s¸nh 2 ®Ó xÕt sù héi tô cña chuçi sè nµy gÆp rÊt nhiÒu −1 khã kh¨n. MÆt kh¸c, lim u n = e ≠ 0 v×: 2 n →+∞ ln ( 1+ t ) − t x 1−1− t   1  1 1  x lim x  x ln  1+ ÷−1 lim lim −1 = et →0 ( ) = e 2 . 2t 1+ t t2  x  lim u n = lim   1 + ÷  = e =e x →+∞  t →0 x →+∞ e  x  n →+∞    Nªn chuçi ®· cho ph©n kú. 7.3. Sù héi tô cña chuçi sè ®an dÊu 7.3.1. §Þnh nghÜa chuçi sè ®an dÊu. §Þnh nghÜa 7.4. Chuçi sè ®an dÊu lµ mét chuçi sè cã mét trong c¸c d¹ng sau : +∞ +∞ ∑ ( −1) u n ∑ ( −1) n +1 n u n , trong ®ã un > 0 (n = 1, 2, 3,...). hoÆc n =1 n =1 VÝ dô 7.9. ( −1) n ( −1) n +1 . +∞ +∞ ∑ ∑ (i) C¸c chuçi sè sau ®©y lµ c¸c chuçi sè ®an dÊu: , n2 + 2 n n =1 n =1 15
  16. ( −1) n +∞ 1 ∑ n 2 − 2 kh«ng ph¶i lµ chuçi ®an dÊu v× u1 = −1< 0, u2 = 2 > 0. (ii) Chuçi sè n =1 NhËn xÐt 7.9. +∞ ∑ ( −1) n u n lµ (−1)nun chø kh«ng ph¶i lµ un . (i) Sè h¹ng tæng qu¸t cña n =1 +∞ ∑ ( −1) n +1 u n lµ (−1)n+1un chø kh«ng ph¶i lµ un . 7.3.2. Sù (ii) Sè h¹ng tæng qu¸t cña n =1 héi tô cña chuçi sè ®an dÊu. +∞ ∑ ( −1) n +1 u n tho¶ m·n c¸c §Þnh lý 7.7 (®Þnh lý Leibnitz). NÕu chuçi sè ®an dÊu n =1 ®iÒu kiÖn sau: (i) u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ...; (ii) nlim u n = 0. →+∞ Th× chuçi ®an dÊu trªn héi tô vµ cã tæng ≤ u1. Chøng minh. Víi mçi k= 1,2,3,... ta cã: uk−uk+1 ≥ 0 (v× u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ...) nªn S2k = u1 − u2 + u3 − u4 + ... − u2k + u2k = (u1 − u2) + (u3 − u4) + ...+ (u2k-1 − u2k). (7.7) = u1 − (u2 − u3) + ...+ (u2k-2 − u2k-1) − u2k ≤ u1. (7.8) 16
  17. Tõ (7.7) vµ (7.8) suy ra { S2k} lµ d·y kh«ng gi¶m vµ bÞ chÆn trªn bëi u1 khi k → + ∞ . Theo tiªu chuÈn tån t¹i giíi h¹n thø hai th× tån t¹i lim S 2k = I ≤ u1. (7.9) k →+∞ MÆt kh¸c, v× nlim u n = 0 nªn klim u 2k +1 = 0. Mµ S2k+1= S2k+ u2k+1. Do ®ã: →+∞ →+∞ lim S 2k +1 = lim S 2k + lim u 2k +1 = I + 0 = I ≤ u1. (7.10) k →+∞ k →+∞ k →+∞ Tõ (7.9) vµ (7.10) suy ra nlim S n = I ≤ u1. (®pcm) →+∞ ( −1) n +1 . +∞ ∑ VÝ dô 7.10. XÐt sù héi tô cña chuçi sè n +3 n =1 1 Gi¶i. Chuçi sè ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu víi un = vµ ta cã: n +3 1 1 1 1 > u2 = > u3 = > ....; lim u n = lim u1 = = 0. n →+∞ n + 3 4 5 6 n →+∞ 1 Theo ®Þnh lý Leibniz, chuçi sè ®· cho héi tô vµ cã tæng ≤ . 4 Chó ý 7.3. +∞ ∑ ( −1) n +1 u n vµ lµ ®iÒu kiÖn (i) §Þnh lý Leibnitz ph¸t biÓu cho chuçi ®an dÊu d¹ng n =1 +∞ +∞ ∑ ( −1) u n héi tô. §èi víi chuçi ®an dÊu d¹ng ∑ ( −1) u n n +1 n ®ñ ®Ó chuçi chóng ta n =1 n =1 +∞ ∑ ( −1) n u n víi chØ ¸p dông ®îc ®Þnh lý Leibnitz sau khi nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña n =1 +∞ ∑ ( −1) n u n mµ kh«ng kÕt luËn ®îc (−1), do ®ã chØ kÕt luËn ®uîc sù héi tô cña n =1 +∞ ∑ ( −1) n u n cã tæng ≤ u1. n =1 17
  18. +∞ ∑ ( −1) n +1 u n mµ c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý Leibnitz (ii) §èi víi chuçi ®an dÊu d¹ng n =1 chØ ®óng khi n > N (víi N lµ sè nguyªn d¬ng nµo ®ã). Th× vÉn kÕt luËn ®îc sù héi tô cña chuçi ®an dÊu ®ã nhng kh«ng kÕt luËn ®îc chuçi ®ã cã tæng ≤ u1. ( −1) n ( −1) n +∞ +∞ n ∑ ∑ n 2 + 16 . VÝ dô 7.11. XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi sè (i) , (ii) n n =1 n =1 1 Gi¶i. (i) Chuçi sè ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu víi u n = . Nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng n ( −1) n +1 +∞ ∑ cña chuçi sè ®· cho víi (−1) ta ®îc chuçi sè míi: vµ ta cã: n n =1 1 1 1 > u3 = > ....; lim u n = lim u1 = 1 > u2 = = 0. n →+∞ n 2 3 n →+∞ ( −1) n +1 +∞ ∑ héi tô vµ cã tæng ≤ 1. Theo tÝnh Theo ®Þnh lý Leibnitz, chuçi sè n n =1 chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè suy ra chuçi sè ®· cho héi tô. n (ii) Chuçi sè ®· cho lµ chuçi sè ®an dÊu víi un = . Nh©n tÊt c¶ c¸c sè h¹ng 2 n + 16 ( −1) n +1 +∞ n ∑ cña chuçi sè ®· cho víi (−1) ta ®îc chuçi sè míi: vµ ta cã: n 2 + 16 n =1 −n 2 − n + 16 n < 0 (∀n ≥ 4). lim u n = lim 2 = 0 , un+1 − un =  ( ) ( n + 1) + 16 n 2 + 16 2 n →+∞ n + 16 n →+∞  18
  19. k h i n = 1, 2, 3, 4; u 4 +∞ ∑ ( −1) vn nh n +1 sau: vn =  X©y dùng chuçi Th× ba n > 4. u n khi n =1 ( −1) ( −1) n +1 n +∞ +∞ +∞ n n ∑ ( −1) n +1 ∑ n 2 + 16 , ∑ v n cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú chuçi vµ 2 n + 16 n =1 n =1 n =1 +∞ ∑ ( −1) n +1 v n lµ chuçi ®an dÊu tho¶ m·n (tÝnh chÊt vÒ sù héi tô cña chuçi sè), mµ n =1 ( −1) n +∞ n ∑ n 2 + 16 ®Þnh lý Leibnitz nªn chuçi héi tô. n =1 NhËn xÐt 7.10. (i) NÕu chuçi sè ®an dÊu cã ®iÒu kiÖn ( ii) cña ®Þnh lý Leibnitz kh«ng tho¶ m·n (tøc lµ, nlim u n kh«ng tån t¹i hoÆc tån t¹i nh ng b»ng k ≠ 0). Th× →+∞ chuçi sè ®an dÊu ®ã ph©n kú v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó mét chuçi sè héi tô. (ii) NÕu chuçi sè ®an dÊu cã ®iÒu kiÖn ( i) cña ®Þnh lý Leibnitz kh«ng tho¶ m·n vµ ®iÒu kiÖn (ii) cña ®Þnh lý tho¶ m·n. Th× ta ch a thÓ kÕt luËn g× vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ®an dÊu ®ã, v× ®Þnh lý Leibnitz chØ lµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ mµ kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè ®an dÊu héi tô. VÝ dô sau ®©y sÏ kh¼ng ®Þnh ®iÒu ®ã. ( −1) n +1 . §©y lµ chuçi sè ®an dÊu héi tô. Ta +∞ ∑ VÝ dô 7.12. (a) Cho chuçi sè n n =1 11 300 − + + ... lµ chuçi héi tô tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (ii) 3 cã chuçi sè míi: 1 − 8 + 23 nhng kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (i) cña ®Þnh lý Leibnitz. 19
  20. 1111 1 1 (b) Chuçi: − 2 + 32 − 23 + 34 − ... + + 2n + ... lµ chuçi sè ®an dÊu héi tô ( −2 ) 2n −1 3 (tæng cña hai chuçi héi tô) vµ lµ chuçi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (ii) nhng kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (i) cña ®Þnh lý Leibnitz. ( −1) 2k −2 , ( −1) 2k −1 (c) XÐt chuçi sè ®îc cho bëi: u2k-1= u2k= (k = 1,2,3, ...). 2k − 1 2k ( −1) + ( −1) 2k − 2 2 k −1 1111 Chuçi ®ã cô thÓ nh sau: 1 − + −+ − ... + + ... 2k − 1 2 34 2k 5 +∞ 2k − 2k − 1 ∑ = . 2k 2k − 1 k =1 §©y lµ chuçi sè ®an dÊu ph©n kú tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ( ii) nhng kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (i) cña ®Þnh lý Leibnitz. 7.4. Chuçi sè bÊt kú 7.4.1. Chuçi sè trÞ tuyÖt ®èi. +∞ +∞ ∑ u n lµ chuçi sè bÊt kú th× chuçi ∑ u n §Þnh nghÜa 7.5. Cho ®îc gäi lµ chuçi sè n =1 n =1 +∞ ∑ un . trÞ tuyÖt ®èi cña chuçi sè n =1 +∞ +∞ +∞ ∑ un ∑ un ∑ u n ®îc gäi lµ NÕu chuçi héi tô cßn chuçi ph©n kú th× chuçi n =1 n =1 n =1 chuçi b¸n héi tô. 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản