Chương 8: Phân tích và thiết kế hệ rời rạc

Chia sẻ: Tran Duy Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

0
89
lượt xem
14
download

Chương 8: Phân tích và thiết kế hệ rời rạc

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở chương 4 chúng ta đã xét khái niệm ổn định của hệ liên tục, hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn. Chúng ta cũng đã dẫn ra được điều kiện để hệ liên tục ổn định là tất cả các thí nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 8: Phân tích và thiết kế hệ rời rạc

  1. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 1 Chöông 8 PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 8.1. KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH 8.1.1. Khaùi nieäm veà tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc ÔÛ chöông 4 chuùng ta ñaõ xeùt khaùi nieäm oån ñònh cuûa heä lieân tuïc, heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh neáu tín hieäu vaøo bò chaën thì tín hieäu ra bò chaën. Chuùng ta cuõng ñaõ daãn ra ñöôïc ñieàu kieän ñeå heä lieân tuïc oån ñònh laø taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng ñeàu naèm beân traùi maët phaúng phöùc theo bieán s, noùi caùch khaùc taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng cuûa heä lieân tuïc phaûi coù phaàn thöïc aâm. Do pheùp bieån ñoåi Z vaø pheùp bieán ñoåi Laplace coù moái lieân heä z eTs (vôùi T laø chu kyø laáy maãu) neân s coù phaàn thöïc aâm töông ñöông vôùi | z | 1, hay z naèm trong voøng troøn ñôn vò. Vì vaäy ñieàu kieän ñeå heä rôøi raïc oån ñònh laø taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng ñeàu phaûi naèm beân trong voøng troøn ñôn vò cuûa maët phaúng phöùc theo bieán z. Hình 8.1 minh hoïa mieàn oån ñònh cuûa heä lieân tuïc vaø heä rôøi raïc. Im s Im z Mieàn oån ñònh Re s Mieàn oån ñònh Re z 1 (a) Heä lieân tuïc (b) Heä rôøi raïc Hình 8.1: Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng ñieàu khieån
  2. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 2 Nhö vaäy töông töï nhö ñaõ laøm ñoái vôùi heä lieân tuïc, ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc ta chæ caàn khaûo saùt phöông trình ñaëc tröng. Sau ñaây laø phöông trình ñaëc tröng cuûa hai daïng moâ taû heä rôøi raïc thöôøng gaëp: Heä thoáng rôøi raïc cho bôûi sô ñoà khoái: R(s) T C(s) + G(s) H(s) Phöông trình ñaëc tröng laø: 1 GH ( z ) 0 (8.1) Heä thoáng rôøi raïc cho heä phöông trình bieán traïng thaùi: x(k 1) Ad x(k ) Bd r (k ) c(k ) Dd x(k ) Phöông trình ñaëc tröng laø: det( zI Ad ) 0 (8.2) Ñoái vôùi caùc heä rôøi raïc coù moâ taû toaùn hoïc khaùc hai daïng treân, tham khaûo chöông 7 ñeå ruùt ra phöông trình ñaëc tröng. Ñeå thieát keá heä ñieàu khieån rôøi raïc, yeâu caàu toái thieåu tröôùc tieân laø heä phaûi oån ñònh. Veà cô baûn, kyõ thuaät phaân tích vaø ñaùnh giaù ñoä oån ñònh cuûa heä tuyeán tính lieân tuïc cuõng coù theå aùp duïng cho heä rôøi raïc vôùi moät soá söûa ñoåi caàn thieát. Ñoù laø nhöõng tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá Routh–Hurwitz, tieâu chuaån oån ñònh taàn soá Nyquist–Bode, phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá,… Ñoái vôùi heä ñieàu khieån rôøi raïc coøn coù theâm tieâu chuaån ñaïi soá Jury ñöôïc söû duïng ñeå kieåm tra tính oån ñònh cuûa heä. Song cuõng nhö caùc tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá khaùc nhö Routh – Hurwitz, keát luaän cuûa tieâu chuaån Jury cuõng chæ cho bieát heä coù oån ñònh hay khoâng, nhöng khoâng cho bieát vò trí caùc nghieäm trong maët phaúng Z. Neáu keát quaû cho thaáy heä oån ñònh thì coù theå khaúng ñònh ñöôïc taát caû caùc nghieäm ñeàu naèm trong voøng troøn ñôn vò treân maët phaúng Z, song chuùng ta khoâng theå bieát caùc nghieäm naèm gaàn vôùi ñöôøng troøn ñôn vò nhö theá naøo. Traùi vôùi tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá, phöông phaùp phaân tích ñaùp öùng taàn soá khoâng chæ xaùc ñònh tính oån ñònh maø coøn chæ ra caàn thieát keá nhö theá naøo ñeå heä töø khoâng oån ñònh trôû neân ñaït chæ tieâu chaát löôïng mong muoán. Sau ñaây chuùng ta seõ laàn löôït trình baøy caùc kyõ thuaät ñaùnh giaù tính oån ñònh ñaõ keå treân.
  3. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 3 8.1.2. Tieâu chuaån Routh–Hurwitz môû roäng Tieâu chuaån Routh–Hurwitz cho pheùp ñaùnh giaù phöông trình ñaïi soá a0 x a1 x n 1 n an 1 x an 0 coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc hay khoâng. ÔÛ chöông 4 ta ñaõ söû duïng keát quaû naøy ñeå ñaùnh giaù soá nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc cuûa phöông trình ñaëc tröng cuûa heä lieân tuïc a0 s n a1s n 1 an 1s an 0 . Neáu phöông trình noùi treân coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc thì heä lieân tuïc khoâng oån ñònh. Tuy nhieân, ta khoâng theå söû duïng tröïc tieáp tieâu chuaån Routh–Hurwitz ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc vì mieàn oån ñònh cuûa heä rôøi raïc naèm beân trong ñöôøng troøn ñôn vò. Muoán duøng tieâu chuaån Routh–Hurwitz ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc ta phaûi thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: w 1 z (8.3) w 1 z 1 w (8.4) z 1 Vôùi caùch ñoåi bieán nhö treân, mieàn naèm trong voøng trong ñôn vò cuûa maët phaúng z bieán nöûa traùi cuûa maët phaúng w (xem hình 8.2). Sau ñoù ta aùp duïng tieâu chuaån Routh–Hurwitz ñoái vôùi phöông trình ñaëc tröng theo bieán w, neáu khoâng toàn taïi nghieäm w naèm beân phaûi maët phaúng phöùc thì khoâng toàn taïi nghieäm z naèm ngoaøi voøng troøn ñôn vò, khi ñoù ta keát luaän heä rôøi raïc oån ñònh. Tieâu chuaån xeùt oån ñònh nhö treân goïi laø tieâu chuaån Routh–Hurwitz môû roäng. Im z Im w Re z Mieàn oån ñònh Re w Mieàn oån ñònh 1 (a) Mieàn oån ñònh theo bieán z (b) Mieàn oån ñònh theo bieán w Hình 8.2: Söï bieán ñoåi mieàn oån ñònh cuûa heä rôøi raïc
  4. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 4 Thí duï 8.1: Cho heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng: 5 z 3 2 z 2 3z 1 0 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng treân. w 1 Lôøi giaûi: Ñoåi bieán z , phöông trình ñaëc tröng trôû thaønh: w 1 3 2 w 1 w 1 w 1 5 2 3 1 0 w 1 w 1 w 1 3 2 2 3 5w 1 2w 1 w 1 3w 1 w 1 w 1 0 5 w 3w 3w 1 2 w3 w 2 w 1 3 2 3 w3 w 2 w 1 w3 3w2 3w 1 0 3 2 11w 11w 13w 5 0 Ñeán ñaây ta coù theå duøng tieâu chuaån Routh hoaëc tieâu chuaån Hurwitz. Caùch 1: Baûng Routh w3 11 13 w2 11 5 w1 8 0 w0 5 Do taát caùc heä soá ôû coät 1 baûng Routh ñeàu döông neân heä oån ñònh. Caùch 2: Ma traän Hurwitz a1 a3 0 11 5 0 a0 a2 0 11 13 0 0 a1 a3 0 11 5 1 11 0 2 11 13 5 11 0 3 5 2 0 Do caùc ñònh thöùc con cuûa ma traän Hurwitz ñeàu döông neân heä oån ñònh. 8.1.3. Tieâu chuaån Jury Xeùt heä rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng: a0 z n a1 z n 1 an 1 z an 0 (8.5)
  5. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 5 Ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng (8.5) baèng tieâu chuaån Jury, tröôùc tieân ta phaûi laäp baûng Jury theo qui taéc sau: 1. Baûng Jury goàm coù (2n+1) haøng. Haøng 1 laø caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tröng (8.5) theo thöù töï chæ soá taêng daàn. 2. Haøng chaún (baát kyø) goàm caùc heä soá cuûa haøng leû tröôùc ñoù vieát theo thöù töï ngöôïc laïi. 3. Haøng leõ thöù i 2k 1 ( k 1 ) goàm coù ( n k 1 ) phaàn töû, phaàn töû cij ôû haøng i coät j xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: 1 ci 2 ,1 ci 2,n j k 2 cij (8.6) ci 2,1 ci 1,1 ci 1,n j k 2 Phaùt bieåu tieâu chuaån Jury Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng (8.5) oån ñònh laø taát caû caùc heä soá ôû haøng leû, coät 1 cuûa baûng Jury ñeàu döông. Thí duï 8.2: Cho heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng nhö ôû thí duï 8.1: 5 z 3 2 z 2 3z 1 0 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng treân duøng tieâu chuaån Jury. Lôøi giaûi: Baûng Jury: Haøng 1 5 2 3 1 Haøng 2 1 3 2 5 Haøng 3 15 1 15 3 15 2 4.8 1.4 2 .6 51 5 51 2 51 3 Haøng 4 2.6 1.4 4.8 Haøng 5 1 4 . 8 2. 6 1 4. 8 1. 4 3.39 0.61 4 . 8 2.6 4.8 4. 8 2 . 6 1 . 4 Haøng 6 0.61 3.39 Haøng 7 1 3.39 0.61 3.28 3.39 0.61 3.39 Do caùc heä soá ôû haøng leû coät 1 baûng Jury ñeàu döông neân heä thoáng oån ñònh. Keát luaän naøy hoaøn toaøn phuø hôïp vôùi keát luaän ôû thí duï 8.1
  6. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 6 8.1.4. Quyõ ñaïo nghieäm soá Töông töï nhö heä lieân tuïc, ñoái vôùi heä rôøi raïc chuùng ta cuõng coù khaùi nieäm quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS). QÑNS laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä thay ñoåi töø 0 . Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng laø: N ( z) 1 K 0 (8.7) D( z ) N ( z) Ñaët: G0 ( z ) K (8.8) D( z ) Goïi n laø soá cöïc cuûa G0(z) , m laø soá zero cuûa G0(z) (8.7) 1 G0 ( z ) 0 (8.9) G0 ( z ) 1 Ñieàu kieän bieân ñoä (8.10) G0 ( z ) (2l 1) Ñieàu kieän pha Vì daïng phöông trình ñaëc tröng cuûa heä lieân tuïc ñaõ khaûo saùt ôû chöông 4 vaø phöông trình ñaëc tröng (8.7) laø nhö nhau (chæ thay bieán s baèng bieán z) neân qui taéc veõ QÑNS laø nhö nhau, chæ khaùc ôû qui taéc 8, thay vì ñoái vôùi heä lieân tuïc ta tìm giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo thì ñoái vôùi heä rôøi raïc ta tìm giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò. Sau ñaây laø 11 qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá cuûa heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tröng coù daïng (8.7). Chuù yù: Neáu phöông trình ñaëc tröng cuûa heä khoâng coù daïng (8.7) thì ta phaûi bieán ñoåi töông ñöông veà daïng (8.7) tröôùc khi aùp duïng caùc qui taéc veõ QÑNS. Qui taéc 1: Soá nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá = baäc cuûa phöông trình ñaëc tröng = soá cöïc cuûa G0(z) = n. Qui taéc 2: Khi K = 0: caùc nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá xuaát phaùt töø caùc cöïc cuûa G0(z). Khi K tieán ñeán + : m nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá tieán ñeán m zero cuûa G0(z), n m nhaùnh coøn laïi tieán ñeán theo caùc tieäm caän xaùc ñònh bôûi qui taéc 5 vaø 6. Qui taéc 3: Quyõ ñaïo nghieäm soá ñoái xöùng qua truïc thöïc. Qui taéc 4: Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà quyõ ñaïo nghieäm soá neáu toång soá cöïc vaø zero cuûa G0(z) beân phaûi noù laø moät soá leû.
  7. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 7 Qui taéc 5: Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi: (2l 1) ( l 0, 1, 2, ) (8.11) n m Qui taéc 6: Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truïc thöïc laø ñieåm A coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi: n m pi zi cöïc zero i 1 i 1 OA (8.12) n m n m (pi vaø zi laø caùc cöïc vaø caùc zero cuûa G0(z)). Qui taéc 7: Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá naèm treân truïc thöïc vaø laø nghieäm cuûa phöông trình: dK 0 (8.13) dz Qui taéc 8: Giao ñieåm cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi ñöôøng troøn ñôn vò coù theå xaùc ñònh baèng 1 trong 2 caùch sau ñaây: AÙp duïng tieâu chuaån Routh–Hurwitz môû roäng hoaëc tieâu chuaån Jury. Thay z a jb (ñieàu kieän: a 2 b 2 1 do giao ñieåm naèm treân ñöôøng troøn ñôn vò) vaøo phöông trình ñaëc tröng (8.7), caân baèng phaàn thöïc vaø phaàn aûo seõ tìm ñöôïc giao ñieåm giöõa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò vaø giaù trò Kgh. Qui taéc 9: Goùc xuaát phaùt cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá taïi cöïc phöùc pj ñöôïc xaùc ñònh bôûi: m n j 180 0 arg( p j zi ) arg( p j pi ) (8.14) i 1 i 1 i j Daïng hình hoïc cuûa coâng thöùc treân laø: j 180 0 + ( goùc töø caùc zero ñeán cöïc pj ) ( goùc töø caùc cöïc coøn laïi ñeán cöïc pj ) (8.15) Qui taéc10: Toång caùc nghieäm laø haèng soá khi K thay ñoåi töø 0 + . Qui taéc11: Heä soá khueách ñaïi doïc theo quyõ ñaïo nghieäm soá coù theå xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân ñoä: N ( z) K 1 (8.16) D( z ) Sau ñaây chuùng ta xeùt moät thí duï aùp duïng caùc qui taéc veõ QÑNS treân.
  8. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 8 Thí duï 8.3: Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà khoái nhö hình veõ. r(t) c(t) + ZOH G(s) T Bieát raèng: K Haøm truyeàn khaâu lieân tuïc laø G ( s ) s ( s 5) Chu kyø laáy maãu: T 0.1sec Haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng treân khi K thay ñoåi töø 0 ñeán . Tính Kgh. Lôøi giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä coù sô ñoà khoái nhö treân laø: 1 G( z) 0 Trong ñoù: G ( z ) Z GZOH ( s )G ( s ) Ts Z 1 e K s s ( s 5) (1 z 1 )Z 2 K 5 5 s ( s 5) K z 1 z[(0.5 1 e 0.5 ) z (1 e 0.5 0.5e 0.5 )] 5 z 5( z 1) 2 ( z e 0.5 ) 0.021z 0.018 G( z) K ( z 1)( z 0.607) Phöông trình ñaëc tröng laø: 0.0042 z 0.0036 1 K 0 (*) ( z 1)( z 0.607) Caùc cöïc: p1 1, p2 0.607 (n = 2) Caùc zero: z1 0.857 (m = 1) Goùc taïo bôûi tieäm caän vaø truïc thöïc: (2l 1) (2l 1) (l = 0) n m 2 1 Giao ñieåm giöõa tieäm caän vôùi truïc thöïc: cöïc zero (1 0.607) ( 0.857) OA 2.464 n m 2 1
  9. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 9 dK Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm cuûa phöông trình: 0. dz Ta coù: ( z 1)( z 0.607) z 2 1.607 z 0.607 (*) K 0.021z 0.018 0.021z 0.018 2 dK z 1.607 z 0.607 dz 0.021z 0.018 (2 z 1.607)(0.021z 0.018) ( z 2 1.607 z 0.607)(0.021) (0.021z 0.018) 2 0.021z 2 0.036 z 0.042 (0.021z 0.018) 2 dK z1 2.506 Do ñoù: 0 dz z 2 0.792 Caû hai nghieäm treân ñeàu thuoäc QÑNS neân QÑNS coù 2 ñieåm taùch nhaäp. Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò: (*) ( z 1)( z 0.607) K (0.021z 0.018) 0 z2 (0.021K 1.607) z (0.018K 0.607) 0 (**) Caùch 1: Duøng tieâu chuaån Routh–Hurwitz môû roäng: w 1 Ñoåi bieán z , thay vaøo phöông trình (**) ta ñöôïc: w 1 2 w 1 w 1 (0.021K 1.607) (0.018K 0.607) 0 w 1 w 1 0.039 Kw2 (0.786 0.036 K ) w (3.214 0.003K ) 0 Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh laø: K 0 K 0 0.786 0.036 K 0 K 21.83 K gh 21.83 3.214 0.003K 0 K 1071 Thay K gh 21.83 vaøo phöông trình (**), ta ñöôïc : z 2 1.1485 z 1 0 z 0.5742 j 0.8187 Vaäy giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi voøng troøn ñôn vò laø: z 0.5742 j 0.8187
  10. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 10 Caùch 2: Thay z a jb vaøo phöông trình (**), ta ñöôïc: (a jb) 2 (0.021K 1.607)(a jb) (0.018K 0.607) 0 a2 j 2ab b 2 (0.021K 1.607)a j (0.021K 1.607)b (0.018K 0.607) 0 a 2 b 2 (0.021K 1.607)a (0.018K 0.607) 0 j 2ab j (0.021K 1.607)b 0 Keát hôïp vôùi ñieàu kieän a 2 b 2 1 ta ñöôïc heä phöông trình: a 2 b 2 (0.021K 1.607)a (0.018 K 0.607) 0 j 2ab j (0.021K 1.607)b 0 a2 b2 0 Giaûi heä phöông trình treân, ta ñöôïc 4 giao ñieåm laø: z 1 , töông öùng vôùi K 0 z 1, töông öùng vôùi K 1071 z 0.5742 j 0.8187 , töông öùng vôùi K 21.8381 Vaäy K gh 21.83 Im z 0.5742+j0.8187 +j 2.506 0.792 Re z 3 2 1 0 0.607 +1 j 0.5742 j0.8187 Hình 8.3: QÑNS cuûa heä thoáng ôû thí duï 8.3
  11. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 11 8.2. CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ RÔØI RAÏC 8.2.1. Ñaùp öùng cuûa heä rôøi raïc Tuøy theo moâ taû toaùn hoïc heä rôøi raïc maø ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñaùp öùng cuûa heä rôøi raïc baèng moät trong hai caùch sau ñaây: Caùch 1: neáu heä rôøi raïc moâ taû bôûi haøm truyeàn thì tröôùc tieân ta tính C ( z) , sau ñoù duøng pheùp bieán ñoåi Z ngöôïc ñeå tìm c(k ) . Caùch 2: neáu heä rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi thì tröôùc tieân ta tính nghieäm x (k ) cuûa phöông trình traïng thaùi, sau ñoù suy ra c(k ) . Töông töï nhö heä lieân tuïc ta cuõng coù khaùi nieäm cöïc quyeát ñònh cho heä rôøi raïc. Ñoái vôùi heä lieân tuïc, caëp cöïc quyeát ñònh laø caëp cöïc naèm gaàn truïc aûo nhaát. Ts Do quan heä z e , neân ñoái vôùi heä rôøi raïc caëp cöïc quyeát ñònh laø caëp cöïc naèm gaàn voøng troøn ñôn vò nhaát. Heä baäc cao coù theå xaáp xæ gaàn ñuùng veà heä baäc hai vôùi 2 cöïc laø caëp cöïc quyeát ñònh. 8.2.2. Chaát löôïng quaù ñoä Coù hai caùch ñeå ñaùnh giaù chaát löôïng quaù ñoä cuûa heä rôøi raïc. Caùch 1: Ñaùnh giaù chaát löôïng quaù ñoä döïa vaøo ñaùp öùng cuûa heä thoáng. Tröôùc tieân ta phaûi tính ñöôïc ñaùp öùng c(k) cuûa heä thoáng (xem muïc 8.2.1), sau aùp duïng caùc coâng thöùc sau: Tính ñoä voït loá: duøng bieåu thöùc ñònh nghóa: cmax cxl POT 100% (8.17) cxl trong ñoù: cmax laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa c(k). cxl laø giaù trò xaùc laäp cuûa c(k). Tính thôøi gian quaù ñoä: goïi kqñ laø thôøi ñieåm laáy maãu maø töø ñoù trôû ñi ñaùp öùng c(k) cuûa heä thoáng bieán thieân khoâng quaù % so vôùi giaù trò xaùc laäp cxl, nghóa laø: .cxl c(k ) cxl , k k qñ (8.18) 100 1 cxl c(k ) 1 cxl , k k qñ (8.19) 100 100 Thôøi gian quaù ñoä ñöôïc xaùc ñònh baèng coâng thöùc:
  12. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 12 t qñ k qñ .T (8.20) trong ñoù T laø chu kyø laáy maãu cuûa heä rôøi raïc. Caùch 2: Ñaùnh giaù chaát löôïng quaù ñoä döïa vò trí caëp cöïc quyeát ñònh. Caùch naøy chæ cho keát quaû gaàn ñuùng vaø chæ aùp duïng ñöôïc khi chu kyø laáy * maãu T ñuû nhoû. Khi bieát caëp cöïc quyeát ñònh z re j cuûa heä rôøi raïc laø döïa Ts * vaøo quan heä z e ñeå suy ra nghieäm s , töø ñoù tính ñöôïc heä soá taét vaø taàn soá dao ñoäng töï nhieân n baèng caùc coâng thöùc: ln r (8.21) (ln r ) 2 2 1 n (ln r ) 2 2 (8.22) T Sau ñoù aùp duïng caùc coâng thöùc ñaõ trình baøy trong chöông 5 ñeå tính ñoä voït loá, thôøi gian quaù ñoä,… 8.2.3. Sai soá xaùc laäp Theo ñònh lyù giaù trò cuoái, ta coù: exl lim e(k ) lim(1 z 1 ) E ( z ) (8.23) k z 1 Coâng thöùc treân laø coâng thöùc toång quaùt, coù theå aùp duïng cho moïi heä rôøi raïc. Sau ñaây chuùng ta khaûo saùt bieåu thöùc sai soá xaùc laäp cuûa heä rôøi raïc laáy maãu trong keânh sai soá (hình 8.4), ñaây laø heä rôøi raïc thöôøng gaëp nhaát trong thöïc teá. r(t) e(k) c(t) + T G(s) H(s) Hình 8.4: Heä rôøi raïc laáy maãu trong keânh sai soá Neáu khoâng coù khaâu laáy maãu, bieåu thöùc sai soá laø: R(s) E (s) (8.24) 1 G(s) H (s) AÙp duïng caùc nguyeân taéc ñaõ trình baøy ôû muïc 7.3.2.7, rôøi raïc hoaù bieåu thöùc (8.24) vôùi khaâu laáy maãu naèm trong keânh sai soá, ta ñöôïc:
  13. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 13 R( z ) E( z) (8.25) 1 GH ( z ) Thay vaøo bieåu thöùc (8.23) ta ñöôïc: R( z ) exl lim(1 z 1 ) (8.26) z 1 1 GH ( z ) Ta thaáy sai soá khoâng chæ phuï thuoäc vaøo caáu truùc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng maø coøn phuï thuoäc vaøo tín hieäu vaøo. 1 Neáu tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò: R( z ) , thay vaøo bieåu thöùc 1 z 1 (8.26) ta ñöôïc: 1 1 exl lim (8.27) z 1 1 GH ( z ) 1 lim GH ( z ) z 1 Ñaët: KP lim GH ( z ) (8.28) z 1 KP goïi laø heä soá vò trí. Thay KP vaøo bieåu thöùc (8.27) ta ñöôïc: 1 exl (8.29) 1 KP Tz 1 Neáu tín hieäu vaøo laø haøm doác ñôn vò: R ( z ) , thay vaøo bieåu (1 z 1 ) 2 thöùc (8.26) ta ñöôïc: Tz 1 1 T exl lim 1 (8.30) z 11 z 1 GH ( z ) lim(1 z 1 )GH ( z ) z 1 1 Ñaët : KV lim(1 z 1 )GH ( z ) (8.31) T z 1 KV goïi laø heä soá vaän toác. Thay KV vaøo bieåu thöùc (8.31) ta ñöôïc: 1 exl (8.32) KV Chuùng ta vöøa khaûo saùt caùc phöông phaùp ñaùnh giaù chaát löôïng heä rôøi raïc. Sau ñaây laø moät soá thí duï aùp duïng. Thí duï 8.4: Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà khoái nhö hình veõ, r(t) c(t) + ZOH G(s) T
  14. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 14 Trong ñoù: K Haøm truyeàn khaâu lieân tuïc: G ( s ) (K 10 , a 2,b 3) ( s a )( s b) Chu kyø laáy maãu: T 0.1sec 1. Tìm haøm truyeàn kín Gk (z ) 2. Tính ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò. 3. Ñaùnh giaù chaát löôïng cuûa heä thoáng: ñoä voït loá, thôøi gian quaù ñoä, sai soá xaùc laäp. Lôøi giaûi: 1. Haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc: G( z) Gk ( z ) 1 G( z) Trong ñoù: G ( z ) Z GZOH ( s )G ( s ) Ts Z 1 e K s ( s a )( s b) K (1 z 1 )Z 1 s ( s a )( s b) z 1 z ( Az B) K z ( z 1)( z e aT )( z e bT ) aT bT b(1 e ) a (1 e ) Vôùi A ab(b a ) ae (1 e bT ) aT be bT (1 e aT ) B ab(b a) Thay K 10 , a 2 , b 3 , T 0.1 ta ñöôïc: 0.042 z 0.036 G( z) ( z 0.819)( z 0.741) 0.042 z 0.036 ( z 0.819)( z 0.741) Do ñoù: Gk ( z ) 0.042 z 0.036 1 ( z 0.819)( z 0.741) 0.042 z 0.036 Gk ( z ) 2 z 1.518 z 0.643
  15. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 15 2. Ñaùp öùng cuûa heä: C ( z ) Gk ( z ) R ( z ) 0.042 z 0.036 0.042 z 1 0.036 z 2 R( z ) R( z ) z 2 1.518 z 0.643 1 1.518 z 1 0.643 z 2 (1 1.518 z 1 0.643 z 2 )C ( z ) (0.042 z 1 0.036 z 2 ) R ( z ) c(k ) 1.518c(k 1) 0.643c(k 2) 0.042r (k 1) 0.036r (k 2) c(k ) 1.518c(k 1) 0.643c(k 2) 0.042r (k 1) 0.036r (k 2) Vôùi ñieàu kieän ñaàu: c( 1) c( 2) 0 r ( 1) r ( 2) 0 Thay vaøo coâng thöùc ñeä qui treân, ta tính ñöôïc: c(k ) 0; 0.0420; 0.1418; 0.2662; 0.3909; 0.5003; 0.5860; 0.6459; 0.6817;... 0.6975; 0.6985; 0.6898; 0.6760; 0.6606; 0.6461; 0.6341; 0.6251; 0.6191;... S te p Re sp o n se 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 Amplitude 0 .3 0 .2 0 .1 0 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 T i m e (se c) Hình 8.5: Ñaùp öùng naác ñôn vò cuûa heä thoáng khaûo saùt ôû thí duï 8.4 3. Ñaùnh giaù chaát löôïng cuûa heä thoáng: Giaù trò xaùc laäp cuûa ñaùp öùng quaù ñoä laø: c xl lim(1 z 1 )C ( z ) z 1 lim(1 z 1 )Gk ( z ) R( z ) z 1 0.042 z 0.036 1 lim(1 z 1 ) 2 1 z 1 z 1.518 z 0.643 1 z 0.042 z 0.036 lim 2 z 1 z 1.518 z 0.643 c xl 0.624
  16. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 16 Ñoä voït loá: cmax cxl 0.6985 0.624 POT 100% 100% cxl 0.624 POT 11.94% Thôøi gian quaù ñoä theo chuaån 5%. Theo keát quaû tính ñaùp öùng cuûa heä thoáng ôû treân ta thaáy: 1 0.05 cxl c(k ) 1 0.05 cxl 0.593 c(k ) 0.655, k 14 k qñ 14 t qñ k qñT 14 0.1 t qñ 1.4 sec Sai soá xaùc laäp: do heä hoài tieáp aâm ñôn vò neân ta coù theå tính sai soá xaùc laäp baèng coâng thöùc exl rxl cxl 1 0.624 exl 0.376 Ñeå so saùnh ta coù theå tính laïi ñoä voït loá vaø thôøi gian quaù ñoä döïa vaøo vò trí caëp cöïc phöùc. Caëp cöïc phöùc cuûa heä laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng: z 2 1.518 z 0.643 0 z 0.7590 j 0.2587 0.8019 0.3285 Do ñoù: ln r ln 0.8019 0.5579 (ln r ) 2 2 (ln 0.8019) 2 0.3285 2 1 1 n (ln r ) 2 2 (ln 0.8019) 2 0.3285 2 0.3958 T 0 .1 Vì vaäy: 0.5579 3.14 POT exp .100% exp .100% 12.11% 2 2 1 1 0.5579 3 3 t qñ 1.36 sec n 0.5579 0.3958 Keát quaû treân cho thaáy hai phöông phaùp ñaùnh giaù chaát löôïng quaù ñoä döïa vaøo ñaùp öùng cuûa heä thoáng vaø döïa vaøo vò trí caëp cöïc phöùc quyeát ñònh cho keát quaû hoaøn toaøn phuø hôïp nhau.
  17. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 17 Thí duï 8.5: Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc coù sô ñoà khoái nhö hình veõ. r(t) e(t) e(kT) eR(t) c(t) + ZOH G(s) T Trong ñoù: K (s a) Haøm truyeàn khaâu lieân tuïc: G ( s ) ( s b)( s c) ( K 2 , a 5,b 2 ,c 3) Chu kyø laáy maãu: T 0.1sec 1. Thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân. 2. Tính ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò (ñieàu kieän ñaàu baèng 0) döïa vaøo phöông trình traïng thaùi vöøa tìm ñöôïc. 3. Tính ñoä voït loá, thôøi gian quaù ñoä, sai soá xaùc laäp. Lôøi giaûi: 1. Thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng theo trình töï 4 böôùc ñaõ trình baøy ôû muïc 7.4.3. Böôùc 1: Heä phöông trình traïng thaùi cuûa khaâu lieân tuïc: ER(s) C(s) G(s) Coù nhieàu caùch thaønh laäp phöông trình traïng thaùi heä lieân tuïc, trong thí duï naøy ta aùp duïng phöông phaùp toïa ñoä pha. Ta coù: C (s) 2( s 5) 2 s 10 G(s) 2 E R ( s ) ( s 2)( s 3) s 5s 6 Ñaët bieán phuï Y(s) sao cho: C ( s ) (2 s 10)Y ( s ) c(t ) 2 y (t ) 10 y (t ) (*) E R ( s ) ( s 2 5s 6)Y ( s) eR (t ) y (t ) 5 y (t ) 6 y (t ) (**) Ñaët: x1 (t ) y (t ) x2 (t ) x1 (t ) y (t ) x2 (t ) y (t ) Thay caùc bieán traïng thaùi vaøo phöông trình (**), ta ñöôïc: eR (t ) x2 (t ) 5 x2 (t ) 6 x1 (t ) x2 (t ) 6 x1 (t ) 5 x2 (t ) eR (t ) Keát hôïp phöông trình treân vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi, ta ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi vieát döôùi daïng ma traän nhö sau:
  18. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 18 x1 (t ) 0 1 x1 (t ) 0 eR (t ) x2 (t ) 6 5 x2 (t ) 1 A B Thay caùc bieán traïng thaùi vaøo phöông trình (*) ta ñöôïc: x (t ) c(t ) 10 x1 (t ) 2 x2 (t ) 10 2 1 x2 (t ) D Böôùc 2: Tính ma traän quaù ñoä: 1 1 -1 1 0 0 1 s 1 (s) sI A s 0 1 6 5 6 s 5 s 5 1 1 s 5 1 ( s 2)( s 3) ( s 2)( s 3) s ( s 5) 6 6 s 6 s ( s 2)( s 3) ( s 2)( s 3) s 5 1 ( s 2)( s 3) ( s 2)( s 3) (t ) L 1[ ( s )] L 1 6 s ( s 2)( s 3) ( s 2)( s 3) 3 2 1 1 L 1 L 1 s 2 s 3 s 2 s 3 6 6 2 3 L 1 L 1 s 2 s 3 s 2 s 3 (3e 2t 2e 3t ) (e 2t e 3t ) (t ) ( 6e 2t 6e 3t ) ( 2e 2t 3e 3t ) Böôùc 3: Rôøi raïc hoùa caùc phöông trình traïng thaùi cuûa heä lieân tuïc, ta ñöôïc: x[(k 1)T ] Ad x(kT ) Bd eR (kT ) c(kT ) Dd x(kT ) Trong ñoù: (3e 2t 2e 3t ) (e 2t e 3t ) Ad (T ) ( 6e 2t 6e 3t ) ( 2e 2t 3e 3t ) t T 0.1 0.9746 0.0779 Ad 0.4675 0.5850
  19. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 19 T T (3e 2 2e 3 ) (e 2 e 3 ) 0 Bd ( ) Bd d 0 0 ( 6e 2 6e 3 ) ( 2e 2 3e 3 ) 1 T (e 2 e 3 ) d 0 ( 2e 2 3e 3 ) 2 3 0.1 e e ( ) 2 3 2 3 (e e ) 0 0.0042 Bd 0.0779 Dd D 10 2 Böôùc 4: Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng rôøi raïc vôùi tín hieäu vaøo r (kT ) laø: x[(k 1)T ] Ad Bd Dd x(kT ) Bd r (kT ) c(kT ) Dd x(kT ) Trong ñoù: 0.9746 0.0779 0.0042 Ad Bd Dd 10 2 0.4675 0.5850 0.0779 0.9326 0.0695 Ad Bd Dd 1.2465 0.4292 Vaäy phöông trình traïng thaùi caàn tìm laø: x1 (k 1) 0.9326 0.0695 x1 (k ) 0.0042 r (kT ) (***) x2 (k 1) 1.2465 0.4292 x2 (k ) 0.0779 x1 (k ) c(k ) 10 2 x2 ( k ) 2. Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: Tröôùc tieân ta tìm nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi. x1 (k 1) 0.9326 x1 (k ) 0.0695 x2 (k ) 0.0042r (k ) (***) x2 (k 1) 1.2465 x1 (k ) 0.4292 x2 (k ) 0.0779r (t ) Vôùi ñieàu kieän ñaàu x1 ( 1) x2 ( 1) 0 , thay vaøo hai coâng thöùc ñeä qui treân, ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi laø:
  20. Chöông8: PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ RÔØI RAÏC 20 3 x1 (k ) 10 0; 4.2; 13.5; 24.2; 34.2; 42.6; 49.1; 54.0; 57.4; 59.7; 61.2; 62.0; 62.5; 62.7; 62.8; 62.8; 62.7; 62.7; 62.6; 62.6 ... 3 x2 (k ) 10 0; 77.9; 106.1; 106.6; 93.5; 75.4; 57.2; 41.2; 28.3; 18.5; 11.4; 6.5; 3.4; 1.4; 0.3; -0.3; -0.5; -0.5; -0.5; -0.4 ... Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: x (k ) c(k ) 10 2 1 10 x1 (k ) 2 x2 (k ) x2 (k ) c( k ) 0; 0.198; 0.348; 0.455; 0.529; 0.577; 0.606; 0.622; 0.631; 0.634; 0.635; 0.634; 0.632; 0.630; 0.629; 0.627; 0.627; 0.626; 0.625; 0.625... Step Response 0.7 0.6 0.5 0.4 Amplitude 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec) Hình 8.6: Ñaùp öùng naác ñôn vò cuûa heä thoáng khaûo saùt ôû thí duï 8.5 3. Ñaùnh giaù chaát löôïng cuûa heä thoáng Theo keát quaû tính ñaùp öùng ôû treân ta thaáy: Giaù trò cöïc ñaïi cuûa ñaùp öùng laø: cmax = 0.635 Giaù trò xaùc laäp cuûa ñaùp öùng laø: cxl = 0.635 Ñoä voït loá cuûa heä thoáng laø: cmax cxl 0.635 0.625 POT 100% 100% c xl 0.625 POT 1.6% Thôøi gian quaù ñoä theo chuaån 5%. Theo keát quaû tính ñaùp öùng cuûa heä thoáng ôû treân ta thaáy: 1 0.05 c xl c(k ) 1 0.05 cxl

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản