CHƯƠNG I - CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Chia sẻ: Tran Van Tam Tam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

643
lượt xem 82
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ - CHƯƠNG I - CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG I - CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Phaàn ÑAÏI SOÁ CHÖÔNG I CAÊN BAÄC HAI , CAÊN BAÄC BA §1. Caên baäc hai 1. Caên baäc hai Ta ñaõ bieát : Caên baäc hai cuûa soá a khoâng aâm laø soá x sao cho x2 = a Ví duï : Caên baäc hai cuûa 16 laø 4 vaø – 4 (vì 42 = 16 vaø (–4)2 = 16 ) • Moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau : soá döông kí hieäu laø a coøn soá aâm laø − a ; • Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø chính soá 0, ta vieát 0 = 0 ; • Soá thöïc aâm a khoâng coù caên baäc hai, khi ñoù ta noùi bieåu thöùc a khoâng coù nghóa hay khoâng xaùc ñònh. Vôùi soá döông a, soá a goïi laø caên baäc hai soá hoïc cuûa a. Soá 0 cuõng ñöôïc goïi laø caên baäc hai soá hoïc cuûa soá 0 Ñònh nghóa : Caên baäc hai soá hoïc cuûa soá thöïc a khoâng aâm laø soá khoâng aâm x sao cho x2 = a. Nhaän xeùt : * a ≥ 0 vôùi a ≥ 0 * ( a )2 = a vôùi a ≥ 0 ⎧a ≥ 0 * Phöông trình x = a ⇔ ⎨ ⎩x = a 2 Pheùp toaùn tìm caên baäc hai soá hoïc cuûa soá khoâng aâm goïi laø pheùp khai phöông (goïi taét laø khai phöông). Chaúng haïn, khai phöông soá 4 ta ñöôïc soá 2. Ñeå khai phöông cuûa moät soá, ngoaøi caùch tính nhaåm soá vaø tính bình phöông cuûa soá ñoù, ngöôøi ta coù theå duøng maùy tính boû tuùi hoaëc duøng baûng soá . 2. So saùnh hai caên baäc hai Ñònh lí: Vôùi a, b laø caùc soá döông, ta coù: 1
a) Neáu a < b thì a < b b) Neáu a < b thì a < b. AÙp duïng: So saùnh 3 vôùi 10 Ta coù 3 = 9 ; Vì 9 < 10 neân 9 < 10 Vaäy 3 < 10 Baøi taäp 1. Ñieàn vaøo oâ troáng trong baûng sau : x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x2 Giaûi X 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x2 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 2. Tìm caên baäc hai soá hoïc suy ra caên baäc hai caùc soá sau : a. 169 ; b. 289 ; c. 529 ; d. 361 3. So saùnh caùc soá : a. 5 vaø 3 b. 23 vaø 5 c. 2 10 vaø 6 d. 15 + 16 vaø 8 Giaûi a. 3 = 9 . Do 5 < 9 neân 5 < 3 b. 5 = 25 . Do 23 < 25 neân 23 < 5 c. 6 = 36 ; 2 10 = 40 . Do 40 > 36 neân 2 10 > 6 d. Giaû söû 15 + 16 > 8. Vaäy 15 > 4 ( sai do 15 < 16 = 4 ) 2
Vaäy 15 + 16 < 8 4. Duøng kí hieäu , vieát nghieäm cuûa caùc phöông trình döôùi ñaây. Sau ñoù, duøng maùy tính boû tuùi ñeå tính keát quaû chính xaùc vôùi 3 chöõ soá sau daáu phaåy. a) x2 = x; b) x2 = 3; c) x2 = 3,5; d) x2 = 4,12 Giaûi a. x = 0 hoaëc x = 1 b. x = ± 3 ≈ ±1, 732 c. x = ± 3,5 ≈ ±1,871 d. x = ± 4,12 ≈ ±2, 03 5. Ñoá: Tính caïnh moät hình vuoâng bieát dieän tích cuûa noù baèng dieän tích cuûa hình chöõ nhaät coù chieàu roâng 3,5m coøn chieàu daøi 14m (h.1). 14 3,5 Hình 1 Giaûi Dieän tích hình vuoâng : 3, 5.14 = 49 Vaäy caïnh hình vuoâng = 49 = 7 Coù theå em chöa bieát Töø thôøi xa xöa, ngöôøi ta ñaõ thaáy giöõa Hình hoïc vaø Ñaïi soá ñaõ coù lieân quan maät thieát. Khaùi nieäm caên baäc hai cuõng coù phaàn xuaát phaùt töø Hình hoïc. Khi bieát ñoä daøi caïnh hình vuoâng, ta tính ñöôïc dieän tích hình ñoù baèng caùch tính bình phöông (hay naâng leân luõy thöøa baäc hai) ñoä daøi caïnh. Ngöôïc laïi, neáu bieát dieän tích hình vuoâng, ta tìm ñöôïc ñoä daøi caïnh nhôø khai phöông cuûa soá ño dieän tích. Ngöôøi ta coi pheùp laáy caên baäc hai soá hoïc laø pheùp toaùn ngöôïc cuûa pheùp bình phöông vaø coi vieäc tìm caên moät soá laø tìm “caùi goác, caùi nguoàn”. Ñieàu naøy hieän coøn thaáy trong ngoân ngöõ moät soá nöôùc. Chaúng haïn, ôû tieáng Anh, hình vuoâng laø square, coøn caên baäc hai laø square root vaø caên baäc hai soá hoïc laø 3
principal square root.Coøn tieáng Phaùp caên baäc hai cuûa x laø “ racine carreù de x”.Chính vì theá caên baäc hai coù kyù hieäu laø chöõ caùi “ r “ . BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI Baøi 1 Tìm x bieát raèng : a. x 2 = 16 b. 4 x 2 − 25 = 0 c. 4 x 2 = 3 d. ( x + 1)2 = x 2 + 2 x + 3 Baøi 2 Chöùng minh : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 4 z + 10 > 0 Höôùng daãn x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 4 z + 10 = ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( z − 2 ) + 1 > 0 2 2 2 Baøi 3 Cho x 2 = 9 vaø y 2 = 25 .Haõy tính : E = x + y Höôùng daãn ⎡x = 3 x2 = 9 ⇔ ⎢ ⎣ x = −3 ⎡y = 5 y2 = 25 ⇔ ⎢ ⎣ y = −5 Neáu x = 3 ; y = 5 thì E = 8 - Neáu x = 3 ; y = -5 thì E = -2 - Neáu x = -3 ; y = 5 thì E = 2 - Neáu x = -3 ; y = -5 thì E = -8 - Baøi 4 Cho 0 < a ≤ 1 .Chöùng minh raèng : a. a ≥ a 2 b. a ≥ a Höôùng daãn 4
0≤a≤1 ⎧a ≤ 1. ⇔ a2 < a a. ⎨ ⎩a ≥ 0 ⎧ a ≤1 ⎪ b. ⎨ ⇒a≤ a ⎪ a ≥0 ⎩ Baøi 5 Cho x + y = 1, tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = x 3 + y3 Höôùng daãn A = x 3 + (1 − x)3 = x 3 + 1 − 3x + 3x 2 − x 3 ⎡ 1⎤ 1 1 = 3 ⎢(x − )2 + ⎥ ≥ ⎣ 12 ⎦ 4 2 1 1 min A = (taïi x = y = ). 4 2 Baøi 6 a. Chöùng minh baát ñaúng thöùc : a2 + b2 ≥ 2 ab Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo ? b. Chöùng minh raèng : Neáu x + y > 2 thì : x2 + y2 > 2 Neáu x2 + y2 ≤ 2 thì : x + y ≤ 2 Höôùng daãn : b. x 2 + y 2 > 4 − 2xy ⎫ ⎪ 2 2 2 2 ⎬ 2(x + y ) > 4 hay x + y > 2 x 2 + y 2 ≥ 2xy ⎪ ⎭ 2x − 1 ≤ x 2 (do x 2 + 1 ≥ 2x) ⎫⎪ 2 2 ⎬ 2(x + y) − 2 ≤ x + y 2y − 1 ≤ y 2 (do y2 + 1 ≥ 2y) ⎪ ⎭ Maø x 2 + y 2 ≤ 2, neân 2(x + y) − 2 ≤ 2 ⇒ x + y ≤ 2 5