CHƯƠNGV: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

Chia sẻ: sang20092215

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: CHƯƠNGV: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

CHÖÔNGV

PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG THEO SINX, COSX

a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1)
Caù c h giaû i
Ñaët t = sin x + cos x vôùi ñieàu kieän t ≤ 2
⎛ π⎞ ⎛ π⎞
Thì t = 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
Ta coù : t 2 = 1 + 2 sin x cos x neân (1) thaønh
b 2
at +
2
( )
t −1 = c

⇔ bt 2 + 2at − b − 2c = 0
Giaû i (2) tìm ñöôïc t, roà i so vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
⎛ π⎞
giaû i phöông trình 2 sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm ñöôï c x
⎝ 4⎠
Baø i 106 : Giaû i phöông trình sin x + sin2 x + cos3 x = 0 ( *)

(
(*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x 1 − sin2 x = 0 )
⇔ (1 + sin x ) = 0 hay sin x + cos x (1 − sin x ) = 0
⎡sin x = −1 (1 )
⇔⎢
⎢sin x + cos x − sin x cos x = 0 ( 2 )

π
• (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z )
2
⎛ π⎞
•Xeùt ( 2 ) : ñaët t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
ñieàu kieän t ≤ 2 thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
t2 − 1
Vaä y (2) thaø n h t − =0
2
⇔ t 2 − 2t − 1 = 0
⎡t = 1 − 2
⇔⎢
⎢ t = 1 + 2 ( loaïi )

⎛ π⎞
Do ñoù ( 2 ) ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 1 − 2
⎝ 4⎠
⎛ π⎞ 2
⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 1 = cos ϕ vôùi 0 < ϕ < 2π
⎝ 4⎠ 2
π 2
⇔ x− = ±ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1
4 2
π 2
⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , vôùi cos ϕ = −1
4 2

3
Baø i 107 : Giaû i phöông trình −1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2x ( *)
2
3
( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x
2
⎛ π⎞
Ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
Thì t2 = 1 + 2sin x cos x
⎛ t2 − 1 ⎞ 3 2
Vaä y (*) thaø n h : −1 + t ⎜ 1 −
⎜ 2 ⎟ 2
⎟= (
t −1 )
⎝ ⎠
( ) (
⇔ −2 + t 3 − t 2 = 3 t 2 − 1 )
⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0
( )
⇔ ( t − 1) t 2 + 4t + 1 = 0

⇔ t = 1 ∨ t = −2 + 3 ∨ t = −2 − 3 ( loaïi )
⎛ π⎞ 1 π
vôùi t = 1 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin
⎝ 4⎠ 2 4
π π π 3π
⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈
4 4 4 4
π
⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈
2
⎛ π⎞ 3−2
vôù i t = 3 − 2 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ
⎝ 4⎠ 2
π π 3−2
⇔ x+ = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ
4 4 2
π 3π 3−2
⇔ x =ϕ− + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ , vôùi = sin ϕ
4 4 2
Baø i 108 :Giaû i phöông trình 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *)
⎧sin x ≠ 0
Ñieà u kieä n ⎨ ⇔ sin 2x ≠ 0
⎩cos x ≠ 0
sin x cos x
Luù c ñoù (*) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = +
cos x sin x
sin2 x + cos2 x 1
⇔ 2 ( sin x + cos x ) = =
sin x cos x sin x cos x
⎛ π⎞
Ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
⎝ 4⎠
Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x vôùi t ≤ 2 vaø t 2 ≠ 1
2
(*) thaøn h 2t = 2
t −1
3
⇔ 2t − 2t − 2 = 0
(Hieå n nhieâ n t = ±1 khoâ n g laø nghieä m )
(
⇔ t− 2 )( )
2t 2 + 2t + 2 = 0
⎡t = 2
⇔⎢ 2
⎢ t + 2t + 1 = 0 ( voâ nghieäm )

⎛ π⎞
Vaä y ( *) ⇔ 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2
⎝ 4⎠
⎛ π⎞
⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 1
⎝ 4⎠
π π
⇔ x + = + k2π, k ∈
4 2
π
⇔ x = + k2π, k ∈
4

Baø i 109 : Giaû i phöông trình 3 ( cot gx − cos x ) − 5 ( tgx − sin x ) = 2 ( *)
Vôù i ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 , nhaâ n 2 veá phöông trình cho sinxcosx ≠ 0 thì :
( *) ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 2 sin x cos x
⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x
⇔ 3 cos x ⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − 5 sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = 0
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇔ 3 cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − 5 sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = 0
⎡sin x + cos x − sin x cos x = 0 (1)
⇔⎢
⎢3 cos x − 5 sin x = 0
⎣ ( 2)
( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D )
⎛ π⎞
Giaû i (1) Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
⎝ 4⎠
Thì t2 = 1 + 2sin x cos x vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 vaø t ≠ ±1
t2 − 1
(1) thaøn h : t − = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0
2
(
⎡ t = 1 + 2 loaïi do t ≤ 2
⇔⎢
)
⎢ t = 1 − 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän )

⎛ π⎞ 1− 2
Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin α ( 0 < α < 2π )
⎝ 4⎠ 2
⎡ π ⎡ π
⎢ x + = α + k2π ⎢ x = α − + k2π
⇔⎢ 4 ⇔⎢ 4
π
⎢ x + = π − α + k2π, k ∈ ⎢x = 3π
− α + k2π, k ∈

⎣ 4 ⎢
⎣ 4
3
( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( vôùi 0 < β < π )
5

Baø i 110 : Giaû i phöông trình
3 (1 + sin x ) ⎛π x⎞
3tg3 x − tgx + = 8 cos2 ⎜ − ⎟ ( *)
cos x ⎝4 2⎠
2


Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1
⎡ ⎛π ⎞⎤
( ) ( )
Luù c ñoù : (*) ⇔ tgx 3tg 2 x − 1 + 3 (1 + sin x ) 1 + tg 2 x = 4 ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥
⎝2 ⎠⎦

= 4 (1 + sin x )
⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − 4 ⎤ = 0
⎣ ⎦
⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( tgx + 1 + sin x ) = 0
⇔ ( 3tg 2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = 0
⎡3tg 2 x = 1 (1)
⇔⎢
⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎣ (2)
1 3 π
•(1) ⇔ tg 2 x = ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ
3 3 6
⎛ π⎞
• Giaûi ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ±1
Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
t2 −1
(2) thaøn h : t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0
2

⇔⎢
(
⎡ t = −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2 )
⎢ t = −1 + 2 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän )

⎛ π⎞ 2 −1
Vaä y sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ
⎝ 4⎠ 2
⎡ π ⎡ π
⎢ x + 4 = ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = ϕ − 4 + k2 π, k ∈ ¢
⇔⎢ ⇔⎢
⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ¢ ⎢ x = 3π − ϕ + k2 π, k ∈ ¢

⎣ 4 ⎢
⎣ 4
Baø i 111 : Giaû i phöông trình 2sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos2x ( *)
(*) ⇔ 2 ( sin 3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin 2 x − cos2 x = 0
⇔ sin x − cos x = 0 hay 2 (1 + sin x cos x ) − 1 + ( sin x + cos x ) = 0
⎡sin x − cos x = 0 (1)
⇔⎢
⎢sin x + cos x + sin 2x + 1 = 0 ( 2 )

• (1) ⇔ tgx = 1
π
⇔x= + kπ, k ∈ ¢
4
⎛ π⎞
•xeùt ( 2 ) ñaët t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2
t 2 = 1 + sin 2x
Vaäy ( 2 ) thaønh t + ( t 2 − 1) + 1 = 0
⇔ t ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −1
⎛ π⎞
Khi t = 0 thì cos ⎜ x − ⎟ = 0
⎝ 4⎠
π π
⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ¢
4 2

⇔x= + kπ, k ∈ ¢
4
⎛ π⎞ 1 3π
Khi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos
⎝ 4⎠ 2 4
π 3π
⇔ x− =± + k2 π, k ∈ ¢
4 4
π
⇔ x = π + k2 π hay x = − + k2 π, k ∈ ¢
2

Baø i 112 : Giaû i phöông trình
sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *)

Ta coù : (*)
⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin 2 x − cos2 x ) + ( sin 3 x − cos3 x ) + ( sin 4 x − cos4 x ) = 0
⇔ ( sin x − cos x ) = 0 hay 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = 0
⎡sin x − cos x = 0 (1)
⇔⎢
⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + 2 = 0 ( 2 )

Ta coù : (1) ⇔ tgx = 1
π
⇔ x = + kπ, k ∈ ¢
4
⎛ π⎞
Xeù t (2) : ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
t2 −1
(2) thaø n h 2t + +2 = 0
2
⇔ t 2 + 4t + 3 = 0
⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaïi )
⎛ π⎞ 1 3π
khi t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos
⎝ 4⎠ 2 4
⎡ π 3π
⎢ x− = + k2 π, k ∈ ¢
⇔⎢ 4 4
⎢ x − π = − 3π + k2 π, k ∈ ¢

⎣ 4 4
⎡ x = π + k2 π, k ∈ ¢
⇔⎢
⎢ x = − π + k2 π, k ∈ ¢
⎣ 2


( )
Baø i 113 : Giaû i phöông trình tg 2 x 1 − sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 ( *)
Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1
sin 2 x
Luù c ñoù (*) ⇔
cos x
2 (1 − sin3 x ) + cos3 x − 1 = 0
⇔ (1 − cos x )(1 − sin 3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin 2 x ) = 0
2


⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = 0
hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin 2 x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = 0
⎡ cos x = 1 ( nhaän do ñieàu kieän )

⇔ ⎢sin x = 1 ( loaïi do ñieàu kieän )
⎢ 2
⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = 0
2 2 2

⎡ cos x = 1
⇔⎢ 2
⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = 0
2


⎡ cos x = 1
⇔⎢
⎣sin x − cos x = 0 hay sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎡ cos x = 1 ∨ tgx = 1
⇔⎢
⎣sin x + cos x + sin x cos x = 0
⎡ x = k2 π, k ∈ ¢
⎢ π
⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ¢
⎢ 4
⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0

xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = 0
ñaë t

(
π⎞
t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2 vaø t ≠ ±1
⎝ 4⎠
)
⇒ t = 1 + 2 sin x cos x
2


t2 − 1
Ta ñöôï c phöông trình t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0
2
⎡ t = −1 − 2 ( loaïi )
⇔⎢
⎢ t = − 1 + 2 ( nhaän so vôùi ñk )

⎛ π⎞ 2 −1
Vaä y cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ
⎝ 4⎠ 2
π π
⇔ x − = ±ϕ + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± ϕ + k2 π, k ∈ ¢
4 4

Baø i 114 : Cho phöông trình m ( sin x + cos x + 1) = 1 + sin 2x ( *)
⎡ π⎤
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc ñoaï n ⎢ 0, ⎥
⎣ 2⎦
⎛ π⎞
Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ , ñieà u kieä n t ≤ 2
⎝ 4⎠
Thì t = 1 + sin 2 x
2


Vaä y (*) thaø n h : m ( t + 1) = t 2
π π π 3π
Neá u 0 ≤ x ≤ thì ≤ x + ≤
2 4 4 4
2 ⎛ π⎞
Do ñoù ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1
2 ⎝ 4⎠
⇔1≤ t ≤ 2
ta coù m ( t + 1) = t 2
t2
⇔m= (do t = -1 khoâ n g laø nghieä m cuû a phöông trình)
t +1
t2
Xeù t y = treân ⎡1, 2 ⎤
⎣ ⎦
t +1
t 2 + 2t
Thì y ' = > 0 ∀t ∈ ⎡1, 2 ⎤
⎣ ⎦
( t + 1)
2



Vaä y y taê n g treâ n ⎡1, 2 ⎤
⎣ ⎦
⎡ π⎤
Vaä y (*) coù nghieä m treâ n ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y
⎣ 2⎦
( 2)
1
⇔ ≤ m ≤ 2 2 −1
2
( )
Baø i 115 : Cho phöông trình cos3 x + sin 3 x = m sin x cos x ( *)
a/ Giaû i phöông trình khi m = 2
b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m
Ta coù : (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = m sin x cos x
⎛ π⎞
Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
(
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 )
Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x
⎛ t2 − 1 ⎞ ⎛ t2 − 1 ⎞
Vaä y (*) thaø n h t ⎜ 1 − ⎟ = m⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⇔ t ( 3 − t 2 ) = m ( t 2 − 1)
a/ Khi m = 2 ta coù phöông trình
( )
t ( 3 − t 2 ) = 2 ( t 2 − 1)
⇔ t 3 + 2t 2 − 3t − 2 = 0
( )(
⇔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0 )
⇔ t = 2 hay t = − 2 + 1 hay t = − 2 − 1( loaïi )
⎛ π⎞ π π
Vaä y • cos x ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x − = k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = + k2 π, k ∈ ¢
⎝ 4⎠ 4 4
⎛ π ⎞ 1− 2
• cos ⎜ x − ⎟ = = cos α
⎝ 4⎠ 2
π π
⇔ x − = ±α + k2 π, k ∈ ¢ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ¢
4 4
b/ Xeù t phöông trình t ( 3 − t ) = k ( t − 1) ( **)
2 2


Do t = ±1 khoâ n g laø nghieä m cuû a (**) neâ n
3t − t 3
( * *) ⇔ m = 2
t −1
3t − t 3
Xeù t y = 2 ( C ) treân ⎡− 2, 2 ⎤ \ {±1}
⎣ ⎦
t −1
−t 4 − 3
Ta coù y ' = < 0∀t = ±1
( t 2 − 1)
2



suy ra y giaûm treân ( −1,1 ) vaø
lim y = + ∞ , lim− y = − ∞
x → − 1+ x→ 1

Do ñoù treân ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, 2 ⎤ \ {±1} ta coù
⎣ ⎦
3t − t 3
(d) y = m caét (C) y = 2 vôùi ∀m ∈ R
t −1
Vaä y (*) coù nghieä m ∀m ∈ R
Baø i 116 : Cho phöông trình
1⎛ 1 1 ⎞
m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ tgx + cot gx + + = 0 ( *)
2⎝ sin x cos x ⎟⎠
1
a/ Giaû i phöông trình khi m =
2
⎛ π⎞
b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
Vôùi ñ ieàu kieän sin 2x ≠ 0 ta coù
1 ⎛ sin x cos x 1 1 ⎞
(*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ + + + =0
2 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟ ⎠
⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = 0
⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + 1 + cos x + sin x = 0
⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 0
2



⎡sin x + cos x = 0 (1)
⇔⎢
⎢ m sin 2x + sin x + cos x + 1 = 0 ( 2 )

⎛ π⎞
Xeù t (2) ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
Thì t = 1 + sin 2 x
2


Do sin 2x ≠ 0 neân t ≤ 2 vaø t = ±1
⎡t = 0
Vaä y (*) thaø n h : ⎢
⎢ m ( t − 1) + t + 1 = 0
2

⎡ t = 0 ( nhaän so ñieàu kieän )
⇔⎢
⎢ m ( t − 1) + 1 = 0
⎣ ( do t ≠ −1)
1
a/ Khi m = thì ta ñöôï c :
2
⎡t = 0

⎢ t = − 1 ( loaïi do ñieàu kieän )

Vaä y sinx + cosx = 0
⇔ tgx = −1
π
⇔ x = − + kπ, k ∈ ¢
4
π π π π
b/ Ta coù : 0 < x < ⇔ − < x −
0
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ 1
⎪1 − 2 ≤ 1 ⎪m ≤ 1 − 2 = − 2 − 1

⎩ m ⎩

⇔ m ≤ − 2 −1


Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + 2 ( sin x + cos x ) − 3sin 2x + m
3


a/ Giaû i phöông trình f(x) = 0 khi m = -3
b/ Tính theo m giaù trò lôù n nhaá t vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa f(x)
2
Tìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R
⎣ ⎦
⎛ π⎞
(
Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ñieàu kieän t ≤ 2
⎝ 4⎠
)
Thì t = 1 + sin 2 x
2


Vaø cos2 2x = 1 − sin 2 2x = 1 − ( t 2 − 1) = −t 4 + 2t 2
2



Vaä y f ( x ) thaønh g ( t ) = − t 4 + 2t 2 + 2t 3 − 3 ( t 2 − 1) + m
a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0
(
⇔ −t 2 t 2 − 2t + 1 = 0)
⇔ t = 0∨ t =1
vaäy khi m = -3 thì f( x) = 0
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 1
⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 hay cos ⎜ x − ⎟ =
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2
π π π π
⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ¢
4 2 4 4
3π π
⇔x= + kπ hay x = + k2 π ∨ x = k2 π, k ∈ ¢
4 2
b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t 2 − 3t + 1)
3 2


⎧g ' ( t ) = 0 1

Vaä y ⎨ ⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t =
⎪t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤
⎩ ⎣ ⎦
2

⎛ 1 ⎞ 47
Ta coù : g ( 0 ) = 3 + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m
⎝ 2 ⎠ 16
g ( 2) = 4 2 − 3 + m, g ( 2) = m −3−4 2
Vaä y : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + 3
x∈ ¡ t∈ ⎡ − 2 , 2 ⎤
⎣ ⎦

Minf ( x ) = Min g ( t ) = m − 3 − 4 2
x∈ R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤
⎣ ⎦
2
Do ñoù : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R
⎣ ⎦
⎧Max f ( x ) ≤ 6

⇔⎨ R
⎪Min f ( x ) ≥ − 6
⎩ R
⎧m + 3 ≤ 6

⇔⎨
⎪m − 3 − 4 2 ≥ −6

⇔ 4 2 −3 ≤ m ≤ 3
( )
2
Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = −t 2 t 2 − 2t + 1 + 3 + m = − ⎡ t ( t − 1) ⎤ + 3 + m
⎣ ⎦
Ñaë t u = t 2 − t
⎡ 1 ⎤
Khi t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + 2 ⎥ = D
⎣ ⎦ ⎣ 4 ⎦
Vaä y g ( t ) = h ( u ) = − u + 3 + m
2


Max f ( x ) = Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + 3
R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ u∈D
⎣ ⎦

Min f ( x ) = Min g ( t ) = Min h ( u ) = m − 3 − 4 2
R ⎡ ⎤
t ∈ ⎣− 2 , 2 ⎦ u∈D



Chuù yù 1 : Phöông trình giaû ñoá i xöù n g
a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = 0
ñaë t t = sinx – cosx
⎛ π⎞ ⎛ π⎞
thì t = 2 sin ⎜ x − ⎟ = − 2 cos ⎜ x + ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 thì t = 1 − 2 sin x cos x
2




Baø i 118 : Giaû i phöông trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1 ( *)
Ñieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x = ±1
cos x
Luù c ñoù (*) ⇔ 2 sin x + = 4 sin x cos x + 1
sin x
⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x
⇔ 2 sin2 x − sin x − cos x 4 sin2 x − 1 = 0 ( )
⇔ sin x ( 2 sin x − 1) − cos x ( 2 sin x − 1) ( 2 sin x + 1) = 0
⇔ 2 sin x − 1 = 0 hay sin x − cos x ( 2 sin x + 1) = 0
⎡2 sin x − 1 = 0 (1 )
⇔⎢
⎢sin x − cos x − sin 2x = 0
⎣ ( 2)
1
• Ta coù (1) ⇔ sin x = ( nhaän do sin x ≠ 0)
2
π 5π
⇔x= + k2π ∨ x = + k2π, k ∈
6 6
⎛ π⎞
• Xeùt ( 2 ) Ñaët t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ± 1
Thì t2 = 1 − sin 2x
( )
Vaä y (2) thaø n h : t − 1 − t 2 = 0
⇔ t2 + t − 1 = 0
−1 + 5 −1 − 5
⇔t= ∨t= ( loaïi )
2 2
π ⎞ −1 + 5

Do ñoù : 2 sin ⎜ x − ⎟ =
⎝ 4⎠ 2
(
nhaän do t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 )
⎛ π⎞ 5 −1
⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ
⎝ 4⎠ 2 2
⎡ π
⎢ x − 4 = ϕ + k2π, k ∈
⇔⎢
⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈

⎣ 4
⎡ π
⎢ x = ϕ + 4 + k2π, k ∈
⇔⎢
⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈

⎣ 4

Baø i 119 : Giaû i phöông trình
cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )( *)

( )
Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )
⇔ ( sin x − cos x ) ⎡ 2 ( 2 − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − 5 = 0
⎣ ⎦
⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − 5 = 0
⎛ π⎞
Ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
(*) thaøn h : t ( t + 4 ) − 5 = 0
⇔ t 2 + 4t − 5 = 0
⇔ t = 1 ∨ t = −5 ( loaïi )
⎛ π⎞ 1 π
Vaä y ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin
⎝ 4⎠ 2 4
π π π 3π
⇔ x− = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈
4 4 4 4
π
⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈
2

Baø i 120 : Giaû i phöông trình cos3 x + sin 3 x = cos 2x ( *)
Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x
⇔ cos x + sin x = 0 hay 1 − sin x cos x = cosx − sin x
⎡sin x + cos x = 0 (1 )
⇔⎢
⎢sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0
⎣ ( 2)
Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1
π
⇔x=− + kπ, k ∈
4
⎛ π⎞
Xeù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
Thì t2 = 1 − 2sin x cos x
1 − t2
(2) thaøn h t − + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0
2
⇔ t = −1
⎛ π⎞ 1 ⎛ π⎞
vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟
⎝ 4⎠ 2 ⎝ 4⎠
⎡ π π
⎢ x − = − + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈
⇔⎢ 4 4 ⇔⎢
π 5π
⎢x − = ⎢ x = 3π + k2π, k ∈
+ k2π, k ∈ ⎣ 2

⎣ 4 4

Baø i 121 : Cho phöông trình cos3 x − sin 3 x = m (1 )
a/ Giaû i phöông trình (1) khi m = 1 baè n g caù c h ñaë t aå n phuï t = cos x − sin x
⎡ π π⎤
b/ Tìm m sao cho (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 4⎦
Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m
⎛ π⎞
Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟
⎝ 4⎠
Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
Thì t2 = 1 − 2sin x cos x
⎛ 1 − t2 ⎞
Vaä y (1) thaø n h : t ⎜ 1 +
⎜ ⎟=m
⎝ 2 ⎟ ⎠
( )
⇔ t 3 − t 2 = 2m ( 2)
a/ Khi m = 1 thì (2) thaø nh t3 − 3t + 2 = 0
( )
⇔ ( t − 1) t 2 + t − 2 = 0
⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( loaïi )
⎛ π⎞ 2 π π
Vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈
⎝ 4⎠ 2 4 4
π
⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈
2
⎡ π π⎤ π π
b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì 0 ≤ x + ≤
⎣ 4 4⎦ 4 2
⎛ π⎞
neâ n 0 ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1
⎝ 4⎠
⎛ π⎞
⇔ 0 ≤ t = 2 cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2
⎝ 4⎠
nhaä n xeù t raè n g vôù i moãi t tìm ñöôï c treâ n ⎡0, 2 ⎤
⎣ ⎦
⎡ π π⎤
ta tìm duy nhaá t moä t x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 4⎦
xeù t f ( t ) = −t + 3t treân ⎡0, 2 ⎤
3
⎣ ⎦
⇒ f ' ( t ) = −3t + 3
2




⎡ π π⎤
vaä y (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 4 4⎦
⇔ ( d ) y = 2m caét ( C ) y = −t 3 + 3t treân ⎡0, 2 ⎤ taï i 2 ñieå m phaâ n bieä t
⎣ ⎦
⇔ 2 ≤ 2m < 2
2
⇔ ≤ m
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản