Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 3)

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

0
114
lượt xem
45
download

Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 3)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề bất đẳng thức lượng giác (chương 3)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 3)

  1. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Chương 3 : Áp d ng vào m t s v n ñ khác “Có h c thì ph i có hành” Sau khi ñã xem xét các b t ñ ng th c lư ng giác cùng các phương pháp ch ng minh thì ta ph i bi t v n d ng nh ng k t qu ñó vào các v n ñ khác. Trong các chương trư c ta có các ví d v b t ñ ng th c lư ng giác mà d u b ng thư ng x y ra trư ng h p ñ c bi t : tam giác ñ u, cân hay vuông …Vì th l i phát sinh ra m t d ng bài m i : ñ nh tính tam giác d a vào ñi u ki n cho trư c. M t khác v i nh ng k t qu c a các chương trư c ta cũng có th d n ñ n d ng toán tìm c c tr lư ng giác nh b t ñ ng th c. D ng bài này r t hay : k t qu ñư c “gi u” ñi, b t bu c ngư i làm ph i t “mò m m” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công vi c ñó th t thú v ! Và t t nhiên mu n gi i quy t t t v n ñ này thì ta c n có m t “v n” b t ñ ng th c “kha khá”. Bây gi chúng ta s cùng ki m tra hi u qu c a các b t ñ ng th c lư ng giác trong chương 3 : “Áp d ng vào m t s v n ñ khác” M cl c: 3.1. ð nh tính tam giác…………………………………………………………67 3.1.1. Tam giác ñ u…………………………………………………………..67 3.1.2. Tam giác cân…………………………………………………………..70 3.1.3. Tam giác vuông………………………………………………………..72 3.2. C c tr lư ng giác……………………………………………………….....73 3.3. Bài t p……………………………………………………………………...76 The Inequalities Trigonometry 66
  2. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác 3.1. ð nh tính tam giác : 3.1.1. Tam giác ñ u : Tam giác ñ u có th nói là tam giác ñ p nh t trong các tam giác. nó ta có ñư c s ñ ng nh t gi a các tính ch t c a các ñư ng cao, ñư ng trung tuy n, ñư ng phân giác, tâm ngo i ti p, tâm n i ti p, tâm bàng ti p tam giác … Và các d ki n ñó l i cũng trùng h p v i ñi u ki n x y ra d u b ng các b t ñ ng th c lư ng giác ñ i x ng trong tam giác. Do ñó sau khi gi i ñư c các b t ñ ng th c lư ng giác thì ta c n ph i nghĩ ñ n vi c v n d ng nó tr thành m t phương pháp khi nh n d ng tam giác ñ u. Ví d 3.1.1.1. 9 CMR ∆ABC ñ u khi th a : ma + mb + mc = R 2 L i gi i : Theo BCS ta có : ( (ma + mb + mc )2 ≤ 3 ma 2 + mb 2 + mc 2 ) 9 2 ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 2 4 ( a + b2 + c2 ) 2 ( ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) 9 mà : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 9 81 ⇒ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 ⋅ = R 2 2 4 4 9 ⇒ m a + mb + mc ≤ R 2 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.2. A B ab CMR n u th a sin sin = thì ∆ABC ñ u. 2 2 4c L i gi i : Ta có : The Inequalities Trigonometry 67
  3. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác A+ B A− B A− B 2 R.2 sin cos cos ab a + b 2 R(sin A + sin B ) 2 2 = 2 ≤ 1 ≤ = = 4c 8c 2 R.8 sin C C C C A+ B 2 R.8.2 sin cos 8 sin 8 cos 2 2 2 2 A B 1 ⇒ sin sin ≤ 2 2 A+ B 8 cos 2 A+ B A B ⇔ 8 cos sin sin ≤ 1 2 2 2 A+ B A− B A+ B ⇔ 4 cos  cos − cos  −1 ≤ 0 2  2 2  A+ B A+ B A− B ⇔ 4 cos 2 − 4 cos cos +1 ≥ 0 2 2 2 2  A+ B A− B 2 A−B ⇔  2 cos − cos  + sin ≥0  2 2  2 ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.3. CMR ∆ABC ñ u khi nó th a : 2(ha + hb + hc ) = (a + b + c ) 3 L i gi i : ði u ki n ñ bài tương ñương v i : r r r 2.2 p + +  = (a + b + c ) 3 a b c r r r 3 ⇔ + + = a b c 2 1 1 1 3 ⇔ + + = A B B C C A 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 2 2 2 M t khác ta có :    1 1  1 1 ≤ 1 +  =  tan A + tan B   A B 4 A B  4 2 2 cot + cot  cot cot  2 2  2 2 Tương t : The Inequalities Trigonometry 68
  4. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác 1 1 B C ≤  tan + tan  B C 4 2 2 cot + cot 2 2 1 1 C A ≤  tan + tan  C A 4 2 2 cot + cot 2 2 1 1 1 1 A B C ⇒ + + ≤  tan + tan + tan  A B B C C A 2 2 2 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 2 2 2 3 1 A B C A B C ⇒ ≤  tan + tan + tan  ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.4. 3 CMR n u th a S = 3Rr thì ∆ABC ñ u. 2 L i gi i : Ta có : A B C A B C S = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 R 2 .2.2.2. sin sin sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C = 4 R sin sin sin 4 R cos cos cos = r 4 R cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ≤ r 4R = Rr 8 2 ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.1.5. CMR ∆ABC ñ u khi nó th a ma mb mc = pS L i gi i : Ta có : 1 1 1 A ma = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) = (b 2 + c 2 + 2bc cos A) ≥ bc(1 + cos A) = bc cos 2 2 4 4 2 2 mà : The Inequalities Trigonometry 69
  5. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác b2 + c2 − a2 2 A b2 + c2 − a2 cos A = ⇒ 2 cos −1 = 2bc 2 2bc 2 b + c − a + 2bc (b + c ) − a 2 p( p − a ) 2 2 2 ⇒ cos 2 A = = = 4bc 4bc bc ⇒ ma ≥ p( p − a ) Tương t : m b ≥ p ( p − b )   m c ≥ p ( p − c )  ⇒ ma mb mc ≥ p p( p − a )( p − b )( p − c ) = pS ⇒ ñpcm. 3.1.2. Tam giác cân : Sau tam giác ñ u thì tam giác cân cũng ñ p không kém. Và ñây thì chúng ta s xét nh ng b t ñ ng th c có d u b ng x y ra khi hai bi n b ng nhau và khác bi n th ba. Ví π 2π d A = B = ;C = . Vì th nó khó hơn trư ng h p xác ñ nh tam giác ñ u. 6 3 Ví d 3.1.2.1. A+ B CMR ∆ABC cân khi nó th a ñi u ki n tan 2 A + tan 2 B = 2 tan 2 và nh n. 2 L i gi i : sin ( A + B ) 2 sin ( A + B ) 2 sin C Ta có : tan A + tan B = = = cos A cos B cos( A + B ) + cos( A − B ) cos( A − B ) − cos C C vì cos( A − B ) ≤ 1 ⇒ cos( A − B ) − cos C ≤ 1 − cos C = 2 sin 2 2 C C 4 sin cos 2 sin C 2 sin C 2 2 = 2 cot C = 2 tan A + B ⇒ ≥ = cos( A − B ) − cos C C C 2 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 A+ B ⇒ tan A + tan B ≥ 2 tan 2 2 2 2 A+ B 2  tan A + tan B  T gi thi t : tan A + tan B = 2 tan ≤ 2  2  2  (2 2 ) 2 2 ⇔ 2 tan A + tan B ≤ tan A + tan B + 2 tan A tan B The Inequalities Trigonometry 70
  6. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác 2 ⇔ (tan A − tan B ) ≤ 0 ⇔ tan A = tan B ⇔ A=B ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.2.2. A CMR ∆ABC cân khi th a ha = bc cos 2 L i gi i : 2bc A Trong m i tam giác ta luôn có : ha ≤ l a = cos b+c 2 2bc bc mà b + c ≥ 2 bc ⇒ ≤ = bc b+c bc 2bc A A A ⇒ cos ≤ bc cos ⇒ ha ≤ bc cos b+c 2 2 2 ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm. Ví d 3.1.2.3. B CMR n u th a r + ra = 4 R sin thì ∆ABC cân. 2 L i gi i : Ta có : B sin B B B B 2 r + ra = ( p − b ) tan + p tan = (2 p − b ) tan = (a + c ) tan = 2 R(sin A + sin C ) 2 2 2 2 B cos 2 B B sin sin A+C A−C B 2 = 4 R cos cos A−C 2 = 4 R sin B cos A − C ≤ 4 R sin B = 4 R sin cos ⋅ ⋅ 2 2 B 2 2 B 2 2 2 cos cos 2 2 B ⇒ r + ra ≤ 4 R sin ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm. 2 The Inequalities Trigonometry 71
  7. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Ví d 3.1.2.4. 1 2 CMR n u S = 4 ( ) a + b 2 thì ∆ABC cân. L i gi i : 1 2 1 1 Ta có : a 2 + b 2 ≤ 2ab ⇒ 4 ( ) a + b 2 ≥ ab ≥ ab sin C = S 2 2 1 2 ⇒ 4 ( ) a + b 2 ≥ S ⇒ ∆ABC cân n u th a ñi u ki n ñ bài. Ví d 3.1.2.5. 9 CMR ∆ABC cân khi th a 2 cos A + cos B + cos C = 4 L i gi i : Ta có :  A B+C B−C 2 cos A + cos B + cos C = 21 − 2 sin 2  + 2 cos cos  2 2 2 2 A A B−C 1 9  A 1 B −C  1 2 B−C 1 9 = −4 sin 2 + 2 sin cos − + = − 2 sin − cos  + cos − + 2 2 2 4 4  2 2 2  4 2 4 4 2  A 1 B−C  1 2 B−C 9 9 = − 2 sin − cos  − sin + ≤  2 2 2  4 2 4 4 ð ng th c x y ra khi B = C ⇒ ñpcm. 3.1.3. Tam giác vuông : Cu i cùng ta xét ñ n tam giác vuông, ñ i di n khó tính nh t c a tam giác ñ i v i b t ñ ng th c lư ng giác. Dư ng như khi nh n di n tam giác vuông, phương pháp bi n ñ i tương ñương các ñ ng th c là ñư c dùng hơn c . Và ta hi m khi g p bài toán nh n di n tam giác vuông mà c n dùng ñ n b t ñ ng th c lư ng giác. Ví d 3.1.3.1. CMR ∆ABC vuông khi th a 3 cos B + 6 sin C + 4 sin B + 8 cos C = 15 L i gi i : The Inequalities Trigonometry 72
  8. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Theo BCS ta có : 3 cos B + 4 sin B ≤ 3 2 + 4 2 cos 2 B + sin 2 B = 5  ( )( )  ( )( 6 sin C + 8 cos C ≤ 6 2 + 8 2 sin 2 C + cos 2 C = 10  ) ⇒ 3 cos B + 4 sin B + 6 sin C + 8 cos C ≤ 15 ð ng th c x y ra khi và ch khi :  cos B sin B  4 3 cos B + 4 sin B = 5  3 = 4  tan B = 3  π  ⇔ ⇔ ⇔ tan B = cot C ⇔ B + C = 6 sin C + 8 cos C = 10  sin C = cos C cot C = 4 2  6  8   3 ⇒ ñpcm. 3.2. C c tr lư ng giác : ðây là lĩnh v c v n d ng thành công và tri t ñ b t ñ ng th c lư ng giác vào gi i toán. ð c bi t trong d ng bài này, g n như ta là ngư i ñi trong sa m c không bi t phương hư ng ñư ng ñi, ta s không bi t trư c k t qu mà ph i t mình dùng các b t ñ ng th c ñã bi t ñ tìm ra ñáp án cu i cùng. Vì l ñó mà d ng toán này thư ng r t “khó xơi”, nó ñòi h i ta ph i bi t khéo léo s d ng các b t ñ ng th c cũng như c n m t v n li ng kinh nghi m v b t ñ ng th c không nh . Ví d 3.2.1. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : a sin 4 x + b cos 4 y a cos 4 x + b sin 4 y f (x , y ) = + c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y v i a, b, c, d là các h ng s dương. L i gi i : sin 4 x cos 4 x ð t f ( x , y ) = af 1 + bf 2 v i f 1 = + c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y cos 4 x sin 4 x f2 = + c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y ( ) ( Ta có : c + d = c sin 2 x + cos 2 x + d sin 2 y + cos 2 y ) Do ñó : The Inequalities Trigonometry 73
  9. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác  sin 4 x cos 4 x  (c + d ) f1 = [(c sin 2 x + d cos 2 y ) + (c cos 2 x + d sin 2 y )] 2 2 + 2 2   c sin x + d cos y c cos x + d sin y 2  sin 2 x cos 2 x  ≥  c sin 2 x + d cos 2 y + c cos 2 x + d sin 2 y  =1  2 2 c sin x + d cos y c cos x + d sin y  2 2   1 1 a+b ⇒ f1 ≥ Tương t : f 2 ≥ .V y f ( x , y ) = af 1 + bf 2 ≥ c+d c+d c+d Ví d 3.2.2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P = cos 3 A + cos 3B − cos 3C L i gi i : Ta có : cos 3C = cos 3[π − ( A + B )] = cos[3π − 3( A + B )] = − cos 3( A + B ) nên  A+ B  A− B 2  A+ B P = cos 3 A + cos 3B + cos 3( A + B ) = 2 cos 3  cos 3  + 2 cos 3  −1  2   2   2  3  A+ B  A− B  A+ B 1 ⇒ P + = 2 cos 2 3  + 2 cos 3  cos 3  + = f (x , y ) 2  2   2   2  2  A− B 3 ∆' = cos 2 3  −1 ≤ 0 ⇒ P ≥ −  2  2 ∆ ' = 0 3  P=− ⇔  A+ B 1  A− B 2 cos 3 2  = − 2 cos 3 2        2  A− B cos 3 2  = 1    ⇔ cos 3 A + B  = − 1 cos 3 A − B         2  2  2  A = B A = B    A = 2π ⇔ 1 ⇔  9 cos 3 A = − 2   4π  A =  9  2π 5π 3 A = B = 9 ,C = 9 V y Pmin =− ⇔ 2  A = B = 4π , C = π   9 9 The Inequalities Trigonometry 74
  10. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác Ví d 3.2.3. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C P= cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C L i gi i : Ta có : 3 P= −1 cos A + cos 2 B + cos 2 C 2 3 = −1 ( 3 − sin A + sin 2 B + sin 2 C 2 ) 3 ≤ −1 = 3 9 3− 4 Do ñó : Pmax = 3 ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 3.2.4. Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a y = 4 sin x − cos x L i gi i : ði u ki n : sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0 Ta có : y = 4 sin x − cos x ≤ 4 sin x ≤ 1 sin x = 1 π D u b ng x y ra ⇔  ⇔ x = + k 2π cos x = 0 2 M t khác : y = 4 sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1 sin x = 0 D u b ng x y ra ⇔  ⇔ x = k 2π cos x = 1  π  y max = 1 ⇔ x = + k 2π V y 2  y min = −1 ⇔ x = k 2π  Ví d 3.2.5. 2 + cos x Cho hàm s y= . Hãy tìm Max y trên mi n xác ñ nh c a nó. sin x + cos x − 2 The Inequalities Trigonometry 75
  11. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác L i gi i : Vì sinx và cosx không ñ ng th i b ng 1 nên y xác ñ nh trên R. 2 + cos x Y0 thu c mi n giá tr c a hàm s khi và ch khi Y0 = có nghi m. sin x + cos x − 2 ⇔ Y0 sin x + (Y0 − 1) cos x = 2Y0 + 2 có nghi m. (2Y0 + 2)2 ≤ Y0 2 + (Y0 − 1)2 2 ⇔ 2Y0 + 10Y0 + 3 ≤ 0 − 5 − 19 − 5 + 19 ⇔ ≤ Y0 ≤ 2 2 − 5 + 19 V y y max = 2 3.3. Bài t p : CMR ∆ABC ñ u n u nó th a m t trong các ñ ng th c sau : 3 3.3.1. cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A = 4 3.3.2. sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = sin A + sin B + sin C 1 1 1 3 1 3.3.3. + + = + tan A tan B tan C sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 2 2  a2 + b2 + c2  a 2b 2c 2 3.3.4.  cot A + cot B + cot C   =   A B C tan tan tan 2 2 2 a cos A + b cos B + c cos C 1 3.3.5. = a+b+c 2 A B C 3.3.6. ma mb mc = abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.7. l a lb l c = abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.8. bc cot + ca cot + ab cot = 12 S 2 2 2  1  1  1  26 3 3.3.9. 1 + 1 + 1 +  = 5+  sin A  sin B  sin C  9 sin A sin B sin C 1 3.3.10. 2 = (sin A + sin B + sin C ) 6 3 The Inequalities Trigonometry 76
Đồng bộ tài khoản