Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

0
244
lượt xem
161
download

Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010 " là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010

  1. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Chương 2 : Các phương pháp ch ng minh Ch ng minh b t ñ ng th c ñòi h i k năng và kinh nghi m. Không th khơi khơi mà ta ñâm ñ u vào ch ng minh khi g p m t bài b t ñ ng th c. Ta s xem xét nó thu c d ng bài nào, nên dùng phương pháp nào ñ ch ng minh. Lúc ñó vi c ch ng minh b t ñ ng th c m i thành công ñư c. Như v y, ñ có th ñương ñ u v i các b t ñ ng th c lư ng giác, b n ñ c c n n m v ng các phương pháp ch ng minh. ðó s là kim ch nam cho các bài b t ñ ng th c. Nh ng phương pháp ñó cũng r t phong phú và ña d ng : t ng h p, phân tích, quy ư c ñúng, ư c lư ng non già, ñ i bi n, ch n ph n t c c tr … Nhưng theo ý ki n ch quan c a mình, nh ng phương pháp th t s c n thi t và thông d ng s ñư c tác gi gi i thi u trong chương 2 : “Các phương pháp ch ng minh”. M cl c: 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương ………………………………………... 32 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s ……………………………………………... 38 2.3. ðưa v vector và tích vô hư ng ………………………………………….. 46 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n ……………………………………….. 48 2.5. T n d ng tính ñơn di u c a hàm s ……………………………………… 57 2.6. Bài t p ……………………………………………………………………. 64 The Inequalities Trigonometry 31
  2. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương : Có th nói phương pháp này là m t phương pháp “xưa như Trái ð t”. Nó s d ng các công th c lư ng giác và s bi n ñ i qua l i gi a các b t ñ ng th c. ð có th s d ng t t phương pháp này b n ñ c c n trang b cho mình nh ng ki n th c c n thi t v bi n ñ i lư ng giác (b n ñ c có th tham kh o thêm ph n 1.2. Các ñ ng th c,b t ñ ng th c trong tam giác). Thông thư ng thì v i phương pháp này, ta s ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh v d ng b t ñ ng th c ñúng hay quen thu c. Ngoài ra, ta cũng có th s d ng hai k t qu quen thu c sin x ≤ 1 ; cos x ≤ 1 . Ví d 2.1.1. π 1 − sin CMR : 14 > 3 cos π π 7 2 sin 14 L i gi i : Ta có : π 3π π 5π 3π 7π 5π 1 − sin = sin − sin + sin − sin + sin − sin 14 14 14 14 14 14 14 π  π 2π 3π  = 2 sin  cos + cos + cos  14  7 7 7  π 1 − sin ⇒ 14 = cos π + cos 2π + cos 3π (1) π 7 7 7 2 sin 14 M t khác ta có : π 1 π 3π 5π π 4π 2π  cos =  cos + cos + cos + cos + cos + cos  7 2 7 7 7 7 7 7  π 2π 2π 3π 3π π = cos cos + cos cos + cos cos (2) 7 7 7 7 7 7 π 2π 3π ð t x = cos ; y = cos ; z = cos 7 7 7 Khi ñó t (1), (2) ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x + y + z > 3( xy + yz + zx ) (3) mà x, y, z > 0 nên : (3) ⇔ (x − y )2 + ( y − z )2 + (z − x )2 >0 (4 ) The Inequalities Trigonometry 32
  3. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Vì x, y, z ñôi m t khác nhau nên (4) ñúng ⇒ ñpcm. Như v y, v i các b t ñ ng th c như trên thì vi c bi n ñ i lư ng giác là quy t ñ nh s ng còn v i vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Sau khi s d ng các bi n ñ i thì vi c gi i quy t b t ñ ng th c tr nên d dàng th m chí là hi n nhiên (!). Ví d 2.1.2. CMR : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab sin 3x + ca cos 2 x − bc sin x ) L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( ) a sin 2 2 x + cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + cos 2 x + c 2 ≥ 2ab(sin x cos 2 x + sin 2 x cos x ) + 2 + 2ca cos 2 x − 2bc sin x ( ⇔ a 2 cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + c 2 − 2ab cos 2 x sin x − 2ca cos 2 x + 2bc sin x ) ( + a sin 2 x − 2ab sin 2 x cos x + b 2 cos 2 x ≥ 0 2 2 ) ⇔ (a cos 2 x − b sin x − c ) + (a sin 2 x − b cos x ) ≥ 0 2 2 B t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm. Ví d 2.1.3. CMR v i ∆ABC b t kỳ ta có : 9 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 1 − cos 2 B 1 − cos 2C 9 1 − cos 2 A + + ≤ 2 2 4 1 1 ⇔ cos 2 A + (cos 2 B + cos 2C ) + ≥ 0 2 4 1 ⇔ cos 2 A − cos A cos(B − C ) + ≥ 0 4 2  cos(B − C )  1 2 ⇔  cos A −  + sin (B − C ) ≥ 0  2  4 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. The Inequalities Trigonometry 33
  4. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.1.4. π Cho α , β , γ ≠ + kπ (k ∈ Z ) là ba góc th a sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 . CMR : 2 2  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  2 2 2   ≤ 1 − 2 tan α tan β tan γ  3  L i gi i : Ta có : sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 ⇔ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 1 1 1 ⇔ + + =2 1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ 2 2 ⇔ tan 2 α tan 2 β + tan 2 β tan 2 γ + tan 2 γ tan 2 α = 1 − 2 tan 2 α tan 2 β tan 2 γ Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  2 2 2 2 2 2   ≤ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  3  ⇔ (tan α tan β − tan β tan γ ) + (tan β tan γ − tan γ tan α ) + (tan γ tan α − tan α tan β ) ≥ 0 2 2 2 ⇒ ñpcm. tan α tan β = tan β tan γ  ð ng th c x y ra ⇔ tan β tan γ = tan γ tan α ⇔ tan α = tan β = tan γ tan γ tan α = tan α tan β  Ví d 2.1.5. CMR trong ∆ABC b t kỳ ta có : A B C  A B C cot + cot + cot ≥ 3 tan + tan + tan  2 2 2  2 2 2 L i gi i : Ta có : A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C  x, y , z > 0 ð t x = cot ; y = cot ; z = cot thì  2 2 2  x + y + z = xyz Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 34
  5. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 1 1 x + y + z ≥ 3 + +  x y z   3( xy + yz + zx ) ⇔ (x + y + z ) ≥ xyz ⇔ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx ) 2 ⇔ (x − y ) + ( y − z ) + (z − x ) ≥ 0 2 2 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ cot A = cot B = cot C ⇔ A=B=C ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.1.6. 1 1 2 CMR : + ≤ 3 + sin x 3 − sin x 2 + cos x L i gi i : Vì − 1 ≤ sin x ≤ 1 và cos x ≥ −1 nên : 3 + sin x > 0 ; 3 − sin x > 0 và 2 + cos > 0 Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( 6(2 + cos x ) ≤ 2 9 − sin 2 x ) ( ⇔ 12 + 6 cos x ≤ 18 − 2 1 − cos 2 x ) ⇔ 2 cos 2 x − 6 cos x + 4 ≥ 0 ⇔ (cos x − 1)(cos x − 2) ≥ 0 do cos x ≤ 1 nên b t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.1.7. π π CMR ∀ ≤ α ;β < ta có : 3 2 2  1  1  −1 ≤  − 1  cos β − 1  cos α + cos β  cos α   L i gi i : π π 1 T ∀ ≤ α ;β < ⇒ 0 < cos α ; cos β ≤ 3 2 2 The Inequalities Trigonometry 35
  6. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 0 < cos α + cos β ≤ 1  do ñó  1 0 < cos α cos β ≤ 4  ð t a = cos α + cos β ; b = cos α cos β B t ñ ng th c ñã cho tr thành : 2−a 1− a + b ≤ a b 2 2−a 1− a + b ⇔  ≤  a  b ⇔ (2 − a ) b ≤ a 2 (1 − a + b ) 2 ⇔ a 3 − a 2 − 4ab + 4b ≤ 0 ( ) ⇔ (a − 1) a 2 − 4b ≤ 0 B t ñ ng th c cu i cùng ñúng vì a ≤ 1 và a 2 − 4b = (cos α − cos β ) ≥ 0 ⇒ ñpcm. 2 Ví d 2.1.8. Cho các góc nh n a và b th a sin 2 a + sin 2 b < 1 . CMR : sin 2 a + sin 2 b < sin 2 (a + b ) L i gi i : π  Ta có : sin 2 a + sin 2  − a  = 1 2  2 2 nên t ñi u ki n sin a + sin b < 1 suy ra : π π b< −a ; 0 < a+b < 2 2 M t khác ta có : sin 2 (a + b ) = sin 2 a cos 2 b + sin 2 b cos 2 a + 2 sin a sin b cos a cos b nên thay cos 2 b = 1 − sin 2 b vào thì b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 sin 2 a sin 2 b < 2 sin a sin b cos a cos b ⇔ sin a sin b < cos a cos b ⇔ 0 < cos(a + b ) (ñ ý 2 sin a sin b > 0 nên có th chia hai v cho 2 sin a sin b ) π B t ñ ng th c sau cùng hi n nhiên ñúng do 0 < a + b < ⇒ ñpcm. 2 The Inequalities Trigonometry 36
  7. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.1.9. Cho ∆ABC không vuông. CMR : ( ) 3 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 5 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≤ 9 + tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( )( )( 4 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 4 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C − 8 ≤ 1 + tan 2 A 1 + tan 2 B 1 + tan 2 C )  1  1  1   1 1 1  1 ⇔ 4 − 1 − 1 − 1 − 4 + + − 3 − 8 ≤  cos A  cos B  cos C   cos A cos B cos C  2 2 2 2 2 2 cos A cos 2 B cos 2 C 2 4  1 1 1  1 ⇔ − + + ≤ cos A cos B cos C  cos A cos B cos B cos C cos C cos A  cos A cos 2 B cos 2 C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 4 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B 3 ⇔ + + cos 2 C ≥ 2 2 4 ⇔ 2(cos 2 A + cos 2 B ) + 4 cos C + 1 ≥ 0 2 ⇔ 2 cos( A + B ) cos( A − B ) + 4 cos 2 C + 1 ≥ 0 ⇔ 4 cos 2 C − 4 cos C cos( A − B ) + 1 ≥ 0 ⇔ (2 cos C − cos( A − B )) + sin 2 ( A − B ) ≥ 0 2 ⇒ ñpcm. Ví d sau ñây, theo ý ki n ch quan c a tác gi , thì l i gi i c a nó x ng ñáng là b c th y v bi n ñ i lư ng giác. Nh ng bi n ñ i th t s l t léo k t h p cùng b t ñ ng th c m t cách h p lý ñúng ch ñã mang ñ n cho chúng ta m t bài toán th t s ñ c s c !!! Ví d 2.1.10. Cho n a ñư ng tròn bán kính R , C là m t ñi m tùy ý trên n a ñư ng tròn. Trong hai hình qu t n i ti p hai ñư ng tròn, g i M và N là hai ti p ñi m c a hai ñư ng tròn v i ñư ng kính c a n a ñư ng tròn ñã cho. CMR : MN ≥ 2 R 2 − 1 ( ) L i gi i : π G i O1 ,O2 là tâm c a hai ñư ng tròn. ð t ∠CON = 2α (như v y 0 < α < ) 2 và OO1 = R1 ; OO2 = R2 Ta có : ∠O2 ON = α π ∠O1OM = −α 2 The Inequalities Trigonometry 37
  8. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh V y: π  MN = MO + ON = R1 cot  − α  + R2 cot α = R1 tan α + R2 cot α 2  Trong ∆ vuông O1 MO có : π  R1 = O1O sin − α  = (R − R1 ) cos α 2  R cos α R1 (1 + cos α ) = R cos α ⇒ R1 = 1 + cos α Tương t : R sin α R2 = OO2 sin α = (R − R2 ) sin α ⇒ R2 = 1 + sin α Do ñó : R cos α sin α R sin α cos α MN = ⋅ + ⋅ 1 + cos α cos α 1 + sin α sin α R sin α R cos α = + C 1 + cos α 1 + sin α sin α + cos α + 1 =R (1 + sin α )(1 + cos α ) O1 O2 α α α 2 cos  sin + cos  2 2 2 =R 2 M O N  α α 2 α  sin + cos  .2 cos  2 2 2 1 =R α α α cos  sin + cos  2 2 2 2R = sin α + cos α + 1  π mà sin α + cos α ≤ 2  α −  ≤ 2 ⇒ MN ≥ 2R ( ) = 2 R 2 − 1 ⇒ ñpcm.  4 2 +1 π ð ng th c x y ra ⇔ α = ⇔ OC ⊥ MN . 4 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s : Các bư c ñ u cơ s mà tác gi mu n nh c ñ n ñây là ph n 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác. Ta s ñưa các b t ñ ng th c c n ch ng minh v các b t ñ ng th c cơ b n b ng cách bi n ñ i và s d ng các ñ ng th c cơ b n. Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác gi khuyên b n ñ c nên ch ng minh các ñ ng th c, b t ñ ng th c cơ b n s d ng như m t b ñ cho bài toán. The Inequalities Trigonometry 38
  9. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.2.1. Cho ∆ABC . ðư ng phân giác trong các góc A, B, C c t ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC l n lư t t i A1 , B1 , C1 . CMR : S ABC ≤ S A1B1C1 L i gi i : G i R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì nó cũng là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆A1 B1C1 . A B1 B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 R 2 sin A sin B sin C ≤ 2 R 2 sin A1 sin B1 sin C1 (1) C1 B+C C+A A+ B Do A1 = ; B1 = ; C1 = nên : 2 2 2 (1) ⇔ sin A sin B sin C ≤ sin B + C sin C + A sin A + B 2 2 2 B C A B C A B C A B C ⇔ 8 sin sin sin cos cos cos ≤ cos cos cos (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C Vì cos cos cos > 0 nên : A1 2 2 2 (2) ⇔ sin A sin B sin C ≤ 1 ⇒ ñpcm. 2 2 2 8 ð ng th c x y ra ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.2. CMR trong m i tam giác ta ñ u có : 7 A B C sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + 4 sin sin sin 4 2 2 2 L i gi i : A B C Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 B t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : 3 sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + cos A + cos B + cos C (1) 4 mà : The Inequalities Trigonometry 39
  10. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh cos A = sin B sin C − cos B cos C cos B = sin C sin A − cos C cos A cos C = sin A sin B − cos A cos B nên : (1) ⇔ cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ 3 (2) 4 Th t v y hi n nhiên ta có : 1 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 (3) 3 3 M t khác ta có : cos A + cos B + cos C ≤ 2 ⇒ (3) ñúng ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.3. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 1 1 1 + + ≥1 1 + 2 cos A + 4 cos A cos B 1 + 2 cos B + 4 cos B cos C 1 + 2 cos C + 4 cos C cos A L i gi i : ð t v trái b t ñ ng th c c n ch ng minh là T. Theo AM – GM ta có : T [3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] ≥ 9 (1) 3 mà : cos A + cos B + cos C ≤ 2 và hi n nhiên : cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 ≤ 3 3 4 ⇒ 3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤ 9 (2 ) T (1), (2) suy ra T ≥ 1 ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.4. CMR v i m i ∆ABC b t kỳ, ta có : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) 2 2 2 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 40
  11. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2(ab + bc + ca ) ≥ 4 3S + a 2 + b 2 + c 2 (1) Ta có : b2 + c2 − a2 cot A = 4S c + a2 − b2 2 cot B = 4S a + b2 − c2 2 cot C = 4S Khi ñó : (1) ⇔ 4S  1 + 1 + 1  ≥ 4 3S + 4S (cot A + cot B + cot C )    sin A sin B sin C   1   1   1  ⇔ − cot A  +  − cot B  +  − cot C  ≥ 3  sin A   sin B   sin C  A B C ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.5. CMR trong m i tam giác, ta có : A B B C C A 5 r sin sin + sin sin + sin sin ≤ + 2 2 2 2 2 2 8 4R L i gi i : A B C Áp d ng công th c : r = 4 R sin sin sin , ta ñưa b t ñ ng th c ñã cho v d ng 2 2 2 tương ñương sau : A B B C C A A B C 5 sin sin + sin sin + sin sin − sin sin sin ≤ (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 A B C Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 Do ñó : (1) ⇔ sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A − 1 (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 5 (2) 2 2 2 2 2 2 4 8 Theo AM – GM, ta có : A B  A B cos cos  cos cos  2 + 2 ≥ 2 ⇒ sin A sin B  2 + 2  ≥ 2 sin A sin B 2 cos  B A 2 B A 2 2 cos cos  cos  2 2  2 2 The Inequalities Trigonometry 41
  12. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh A B 1 B A ⇒ 2 sin sin ≤  sin A tan + sin B tan  2 2 2 2 2 Tương t ta có : B C 1 C B 2 sin sin ≤  sin B tan + sin C tan  2 2 2 2 2 C A 1 A C 2 sin sin ≤  sin C tan + sin A tan  2 2 2 2 2 T ñó suy ra :  A B B C C A 2 sin sin + sin sin + sin sin  ≤  2 2 2 2 2 2 1 A B C  ≤  tan (sin B + sin C ) + tan (sin C + sin A) + tan (sin A + sin B ) 2 2 2 2   A B B C C A ⇒ cos A + cos B + cos C ≥ 2 sin sin + sin sin + sin sin   2 2 2 2 2 2 Khi ñó : A B B C C A 1 sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 ≤ (cos A + cos B + cos C ) − (cos A + cos B + cos C − 1) = (cos A + cos B + cos C ) = 2 4 4 4 3 mà cos A + cos B + cos C ≤ 2 A B B C C A 1 5 ⇒ sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 2 2 2 2 2 2 4 8 ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.6. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 3  a2 + b2 + c2  a 2b 2c 2   ≤  cot A + cot B + cot C    A B C tan tan tan 2 2 2 L i gi i : Ta có : a2 + b2 + c2 = 4S cot A + cot B + cot C nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 42
  13. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh a 2b 2 c 2 64S 3 ≤ (1) A B C tan tan tan 2 2 2 M t khác ta cũng có : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇒ a 2 ≥ 2bc − 2bc cos A A ⇒ a 2 ≥ 4bc sin 2 2 A 4bc sin 2 a2 2 = 2bc sin A = 4 S ⇒ ≥ A A tan tan 2 2 Tương t ta cũng có : b2 c2 ≥ 4S ; ≥ 4S B C tan tan 2 2 ⇒ (1) ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.7. CMR trong m i tam giác ta có : (1 + b + c − bc ) cos A + (1 + c + a − ca ) cos B + (1 + a + b − ab) cos C ≤ 3 L i gi i : Ta có v trái c a b t ñ ng th c c n ch ng minh b ng : (cos A + cos B + cos C ) + [(b + c ) cos A + (c + a )cos B + (a + b) cos C ] − (ab cos C + bc cos A + ca cos B ) ð t: P = cos A + cos B + cos C Q = (b + c ) cos A + (c + a ) cos B + (a + b ) cos C R = ab cos C + bc cos A + ca cos B 3 D th y P ≤ 2 M t khác ta có : b cos C + c cos B = 2 R(sin B cos C + sin C cos B ) = 2 R sin (B + C ) = 2 R sin A = a Tương t : c cos A + a cos C = b a cos B + b cos A = c ⇒Q = a+b+c Và ta l i có : The Inequalities Trigonometry 43
  14. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 ab cos C + bc cos A + ca cos B = + + 2 2 2 2 2 2 a +b +c ⇒R= 2 3 ⇒ P + Q + R ≤ + (a + b + c ) − a2 + b2 + c2 = 3− (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≤ 3 2 2 3 ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.8. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : R+r ≥4 3 S L i gi i : Ta có : abc 2 R 3 sin A sin B sin C S R= = = 4S 8 2 sin A sin B sin C S S 8 2 sin A sin B sin C r= = = p R(sin A + sin B + sin C ) sin A + sin B + sin C V y: 1 S 1 S 8 2 sin A sin B sin C R+r = + + 2 2 sin A sin B sin C 2 2 sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C Theo AM – GM ta có : R+r 3 S S sin A sin B sin C ≥ 3 8 sin A sin B sin C (sin A + sin B + sin C ) mà : 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 sin A sin B sin C ≤ 8 4S S ⇒ R+r ≥3 = 4 3 S ⇒ ñpcm. 4 4 27 .3 3 Ví d 2.2.9. CMR trong m i tam giác ta có : The Inequalities Trigonometry 44
  15. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2 2 8 S  ab ab bc bc ca ca 8  S    ≥ + + ≥   3  2r  a+b b+c c+a 3 R  L i gi i : Theo AM – GM ta có : ab ab bc bc ca ca ab + bc + ca + + ≤ a+b b+c c+a 2 2 8 S  Do S = pr ⇒   = (a + b + c ) 2 3  2r  6 L i có : ab + bc + ca (a + b + c ) 2 ≤ 2 6 2 8 S  ab ab bc bc ca ca ⇒   ≥ + + ⇒ v trái ñư c ch ng minh xong. 3  2r  a+b b+c c+a Ta có : a + b + c = 2 R(sin A + sin B + sin C ) 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 ⇒ a + b + c ≤ 3R 3 Theo AM – GM ta có : S2 = p ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≤ p abc 8 abc 2 p 8 S  8 8 9 abc 9abc ⇒   ≤ ⋅ = ⋅ = 3 R  3 a+b+c 2 2 a + b + c (a + b ) + (b + c ) + (c + a )      3 3  M t l n n a theo AM – GM ta có : 9abc 9abc ab ab bc bc ca ca ≤ ≤ + + (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) 3. 3 (a + b )(b + c )(c + a ) a + b b + c c + a ⇒ v ph i ch ng minh xong ⇒ B t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn. Ví d 2.2.10. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 4 a8 b8 c8  abc 6  + + ≥  3R   2 A 2 B 2 C   cos cos cos 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 45
  16. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh L i gi i : Áp d ng BCS ta có : a8 + + b8 ≥ c8 + b4 + c4 (a 4 ) 2 A B C A B C cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 2 2 2 2 2 2 mà : A B C 9 cos 2 + cos 2 + cos 2 ≤ 2 2 2 4 4  abc    = 16 S 2 2 ( )  R  Vì th ta ch c n ch ng minh : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16S 2 Trư c h t ra có : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c ) (1) ( ) ( ) Th t v y : (1) ⇔ a 2 a 2 − bc + b 2 b 2 − ca + c 2 c 2 − ab ≥ 0 ( ) [ ] [ ] [ ⇔ a 2 + (b + c ) (b − c ) + b 2 + (c + a ) (c − a ) + c 2 + (a + b ) (a − b ) ≥ 0 (ñúng!) 2 2 2 2 2 ] 2 M t khác ta cũng có : 16 S 2 = 16 p( p − a )( p − b )( p − c ) = (a + b + c )(a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (2 ) T (1), (2) thì suy ra ta ph i ch ng minh : abc ≥ (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (3) ð t: x = a+b−c y =b+c−a z = c+a−b vì a, b, c là ba c nh c a m t tam giác nên x, y, z > 0 Khi ñó theo AM – GM thì : abc = ( )( )( ) (x + y )( y + z )(z + x ) ≥ 2 xy 2 yz 2 zx = xyz = (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) 8 8 ⇒ (3) ñúng ⇒ ñpcm. 2.3 ðưa v vector và tích vô hư ng : Phương pháp này luôn ñưa ra cho b n ñ c nh ng l i gi i b t ng và thú v . Nó ñ c trưng cho s k t h p hoàn gi a ñ i s và hình h c. Nh ng tính ch t c a vector l i mang ñ n l i gi i th t sáng s a và ñ p m t. Nhưng s lư ng các bài toán c a phương pháp này không nhi u. Ví d 2.3.1. The Inequalities Trigonometry 46
  17. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh CMR trong m i tam giác ta có : 3 cos A + cos B + cos C ≤ 2 L i gi i : L y các vector ñơn v e1 , e2 , e3 l n lư t trên các c nh AB, BC , CA . Hi n nhiên ta có : A (e + e 1 2) ≥0 + e3 2 e1 ⇔ 3 + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) ≥ 0 1 2 2 3 3 1 ⇔ 3 − 2(cos A + cos B + cos C ) ≥ 0 3 e3 ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ B 2 e2 C ⇒ ñpcm. Ví d 2.3.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : 3 cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − 2 L i gi i : G i O, G l n lư t là tâm ñư ng tròn ngo i ti p và tr ng tâm ∆ABC . A Ta có : OA + OB + OC = 3OG Hi n nhiên : (OA + OB + OC ) ≥ 0 2 ⇔ 3R + 2 R [cos(OA, OB ) + cos (OB, OC ) + cos(OC , OA)] ≥ 0 2 2 O ⇔ 3R + 2 R (cos 2C + cos 2 A + cos 2 B ) ≥ 0 2 2 B C 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ OA + OB + OC = 0 ⇔ OG = 0 ⇔ O ≡ G ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.3.3. The Inequalities Trigonometry 47
  18. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Cho ∆ABC nh n. CMR ∀x, y, z ∈ R ta có : 1 2 yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ − 2 (x + y2 + z2 ) A L i gi i : G i O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . Ta có : (xOA + yOB + zOC ) 2 ≥0 O B C ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyOA.OB + 2 yz OB.OC + 2 zxOC.OA ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy cos 2C + 2 yz cos 2 A + 2 zx cos 2 B ≥ 0 1 2 ⇔ yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ − 2 ( x + y2 + z2 ) ⇒ ñpcm. 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n : V n i dung cũng như cách th c s d ng các b t ñ ng th c chúng ta ñã bàn chương 1: “Các bư c ñ u cơ s ”. Vì th ph n này, ta s không nh c l i mà xét thêm m t s ví d ph c t p hơn, thú v hơn. Ví d 2.4.1. CMR ∀∆ABC ta có :  A B C  A B C 9 3  sin + sin + sin  cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2 2 L i gi i : Theo AM – GM ta có : A B C sin + sin + sin 2 2 2 ≥ 3 sin A sin B sin C 3 2 2 2 M t khác : A B C cos cos cos A B C A B C 2 2 2 cot + cot + cot = cot cot cot = 2 2 2 2 2 2 A B C sin sin sin 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 48
  19. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 (sin A + sin B + sin C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = 2 2 2 2 2 2 A B C A B C sin sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 3 sin A A B B C C cos sin cos sin cos 3 2 2 2 2 2 2 ≥ ⋅ 2 A B C sin sin sin 2 2 2 Suy ra :  A B C  A B C  sin + sin + sin  cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2 A B C A A B B C C 3 sinsin sin sin cos sin cos sin cos 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ ⋅ 2 A B C sin sin sin 2 2 2 9 A B C = 3 cot cot cot (1) 2 2 2 2 A B C mà ta cũng có : cot cot cot ≥ 3 3 2 2 2 9 A B C 9 9 3 ⇒ ⋅ 3 cot cot cot ≥ ⋅ 3 3 3 = (2) 2 2 2 2 2 2 T (1) và (2) :  A B C  A B C 9 3 ⇒  sin + sin + sin  cot + cot + cot  ≥  2 2 2  2 2 2 2 ⇒ ñpcm. Ví d 2.4.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3 2 L i gi i : Vì ∆ABC nh n nên cos A, cos B, cos C , tan A, tan B, tan C ñ u dương. cos A + cos B + cos C 3 Theo AM – GM ta có : ≥ cos A cos B cos C 3 sin A sin B sin C tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C = cos A cos B cos C The Inequalities Trigonometry 49
  20. Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = cos A cos B cos C 2 cos A cos B cos C 3 3 sin A cos A sin B cos B sin C cos C ≥ ⋅ 2 2 cos A cos B cos C Suy ra : 3 (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 ⋅ cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C 2 cos A cos B cos C 93 = tan A tan B tan C (1) 2 M t khác : tan A tan B tan C ≥ 3 3 9 3 9 9 3 ⇒⋅ tan A tan B tan C ≥ ⋅ 3 3 3 = (2) 2 2 2 T (1) và (2) suy ra : (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3 2 ⇒ ñpcm. Ví d 2.4.3. Cho ∆ABC tùy ý. CMR :              tan A + 1  +  tan B + 1  +  tan C + 1 ≥4 3  2 tan   A 2 tan   B 2 C       tan   2  2  2  L i gi i :  π Xét f ( x ) = tan x ∀x ∈  0 ;   2 Khi ñó : f ' ' ( x ) = A B C Theo Jensen thì : tan + tan + tan ≥ 3 (1) 2 2 2  π Xét g ( x ) = cot x ∀x ∈  0 ;   2  π Và g ' ' ( x ) = 2(1 + cot 2 x )cot x > 0 ∀x ∈  0 ;   2 A B C Theo Jensen thì : cot + cot + cot ≥ 3 3 (2) 2 2 2 V y (1) + (2)⇒ ñpcm. The Inequalities Trigonometry 50
Đồng bộ tài khoản