Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P4 new 2010

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
210
lượt xem
127
download

Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P4 new 2010

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P4 new 2010 " là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P4 new 2010

  1. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Chương 4 : M t s chuyên ñ bài vi t hay, thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác ðúng như tên g i c a mình, chương này s bao g m các bài vi t chuyên ñ v b t ñ ng th c và lư ng giác. Tác gi c a chúng ñ u là các giáo viên, h c sinh gi i toán mà tác gi ñánh giá r t cao. N i dung c a các bài vi t chuyên ñ ñ u d hi u và m ch l c. B n ñ c có th tham kh o nhi u ki n th c b ích t chúng. Vì khuôn kh chuyên ñ nên tác gi ch t p h p ñư c m t s bài vi t th t s là hay và thú v : M cl c: Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……………………………………….78 ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t ñ ng th c trong tam giác…………………………………………………………………………………82 Th tr v c i ngu n c a môn Lư ng giác………………………………...............91 Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác…….............94 The Inequalities Trigonometry 77
  2. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác Nguy n Văn Hi n (Thái Bình) B t ñ ng th c trong tam giác luôn là ñ tài r t hay. Trong bài vi t nh này, chúng ta cùng trao ñ i v m t b t ñ ng th c quen thu c : B t ñ ng th c Ecdôs. Bài toán 1 : Cho m t ñi m M trong ∆ABC . G i Ra , Rb , Rc là kho ng cách t M ñ n A, B, C và d a , d b , d c là kho ng cách t M ñ n BC , CA, AB thì : Ra + Rb + Rc ≥ 2(d a + d b + d c ) (E ) Gi i : Ta có : 2S − 2S BMC R a ≥ ha − d a = ABC a 2S + 2S AMC = AMB a cd + bd b = c a B ng cách l y ñ i x ng M qua phân giác góc A bd + cd b  ⇒ Ra ≥ c  a  ad c + cd a  Tương t : Rb ≥  (1) b  ad b + bd a  Rc ≥  c  b c a c a b ⇒ Ra + Rb + Rc ≥ d a  +  + d b  +  + d c  +  ≥ 2(d a + d b + d c ) ⇒ ñpcm. c b c a b a Th c ra (E ) ch là trư ng h p riêng c a t ng quát sau : Bài toán 2 : Ch ng minh r ng : k k k ( k k Ra + Rb + Rc ≥ 2 k d a + d b + d c k ) (2) v i 1≥ k > 0 Gi i : Trư c h t ta ch ng minh : B ñ 1 : ∀x, y > 0 và 1 ≥ k > 0 thì : ( x + y )k ( ≥ 2 k −1 x k + y k ) (H ) Ch ng minh : k  k  (H ) ⇔  x + 1 ≥ 2 k −1  x k + 1 ⇔ f (a ) = (a + 1)k − 2 k −1 a k + 1 ≥ 0 v i x = a > 0  y   y  ( )     y [ k −1 k −1 ] Vì f ' (a ) = k (a + 1) − (2a ) = 0 ⇔ a = 1 ho c k = 1 . V i k = 1 thì (H ) là ñ ng th c ñúng. Do a > 0 và 1 > k > 0 thì ta có : f (a ) ≥ 0 ∀a > 0 và 1 > k > 0 The Inequalities Trigonometry 78
  3. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác ⇒ (H ) ñư c ch ng minh. Tr l i bài toán 2 : T h (1) ta có : k  bd c cd b  k  k −1  bd c  k  cd b   k Ra ≥  +  ≥ 2   +    a a   a   a     bd cd ( Áp d ng b ñ (H ) v i x = c ; y = b ) a a Tương t : k  k −1  ad c  k  cd a   k Rb ≥ 2   +    b   b     k  ad b  k  bd a  k  k −1 Rc ≥ 2   +    c   c      k  b  k  c  k    k a k c  k  k a k  b   k  ⇒ Ra + Rb + Rc ≥ 2 k −1 d a   +    + d b   +    + d c   +     k k k   c   b       c   a      b   a      ( k k ≥ 2k da + db + dc k ) ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi ∆ABC ñ u và M là tâm tam giác. Áp d ng (E ) ta ch ng minh ñư c bài toán sau : Bài toán 3 : Ch ng minh r ng : 1 1 1  1 1 1  + + ≥ 2R + +  (3) d a db dc  a Rb Rc   Gi i : Th c hi n phép ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v ta ñư c :  1  1 MA* = MA ' ' =  Ra  da  1  1 MB* = và MB ' ' =  Rb  db  1  1 MC* = MC ' ' =  Rc  dc Áp d ng (E ) trong ∆A ' ' B ' ' C ' ' : MA ' '+ MB ' '+ MC ' ' ≥ 2(MA * + MB * + MC *) 1 1 1  1 1 1  ⇔ + + ≥ 2 R + R + R   da db dc  a b c  ⇒ ñpcm. M r ng k t qu này ta có bài toán sau : Bài toán 4 : Ch ng minh r ng : ( k k k ) 2 k d a + d b + d c ≥ Ra + Rb + Rc (4) k k k The Inequalities Trigonometry 79
  4. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác v i 0 > k ≥ −1 Hư ng d n cách gi i : Ta th y (4) d dàng ñư c ch ng minh nh áp d ng (2) trong phép bi n hình ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v . ð ng th c x y ra khi ∆ABC ñ u và M là tâm tam giác. Bây gi v i k > 1 thì t h (1) ta thu ñư c ngay : Bài toán 5 : Ch ng minh r ng : 2 2 2 2 ( 2 2 Ra + Rb + Rc > 2 d a + d b + d c (5) ) Xu t phát t bài toán này, ta thu ñư c nh ng k t qu t ng quát sau : Bài toán 6 : Ch ng minh r ng : k k k ( Ra + Rb + Rc > 2 d a + d b + d c (6) k k k ) v i k >1 Gi i : Chúng ta cũng ch ng minh m t b ñ : B ñ 2 : ∀x, y > 0 và k > 1 thì : ( x + y )k ≥ x k + y k (G ) Ch ng minh : k (G ) ⇔  x + 1 > x k + 1 ⇔ g (a ) = (a + 1)k − a k − 1 > 0 (ñ t x = a > 0 ) k  y     y y [ k −1 Vì g ' (a ) = k (a + 1) − a k −1 ] > 0 ∀a > 0 ; k > 1 ⇒ g (a ) > 0 ∀a > 0 ; k > 1 ⇒ (G ) ñư c ch ng minh xong. S d ng b ñ (G ) vào bài toán (6) : T h (1) : k k k k  bd cd   bd   cd  bd c cd Ra ≥  c + b  >  c  +  b  (ñ t x = ; y= b)  a a   a   a  a a Tương t : k k k  ad c   cd a  Rb >   +   b   b  k k k  ad   bd  Rc >  b  +  a   c   c   k b k c  k  k a k c  k  k a k b  k ⇒ Ra + Rb + Rc > d a   +    + d b   +    + d c   +    k k k  c   b      c   a      b   a     ( k ≥ 2 da + db + dc k k ) ⇒ ñpcm. Bài toán 7 : Ch ng minh r ng : k k k k k d a + d a + d a > 2 Ra + Ra + Ra k ( ) (7) v i k < −1 The Inequalities Trigonometry 80
  5. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Hư ng d n cách gi i : Ta th y (7 ) cũng ñư c ch ng minh d dàng nh áp d ng (6) trong phép bi n hình ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v . ð ng th c không th x y ra trong (6) và (7 ) . Xét v quan h gi a (Ra , Rb , Rc ) v i (d a , d b , d c ) ngoài b t ñ ng th c (E ) và nh ng m r ng c a nó, chúng ta còn g p m t s b t ñ ng th c r t hay sau ñây. Vi c ch ng minh chúng xin dành cho b n ñ c : 1) Ra Rb Rc ≥ 8d a d b d c db + dc da + dc da + db 2) + + ≤3 Ra Rb Rc 3) Ra Rb Rc ≥ (d a + d b )(d a + d c )(d b + d c ) 2 2 2 4) Ra Rb Rc ≥ (Ra d a + Rb d b )(Ra d a + Rc d c )(Rb d b + Rc d c ) The Inequalities Trigonometry 81
  6. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t ñ ng th c trong tam giác Lê Ng c Anh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ)  π 1/ Chúng ta ñi t bài toán ñ i s sau: V i ∀ x ∈  0,  ta luôn có:  2 x x 2x < tg < < sinx < x . 2 2 π 2x x 2x Ch ng minh: Ta ch ng minh 2 b t ñ ng th c: sin x > và tg < . π 2 π 1  π ð t f ( x) = sin x là hàm s xác ñ nh và liên t c trong  0,  . x  2 xcos x- sin x  π Ta có: f '( x) = 2 . ð t g ( x) = xcos x- sin x trong  0,  khi ñó x  2  π g ' ( x ) = − x sin x ≤ 0 ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trong ño n 0,  nên g ( x ) < g ( 0 ) =0 v i  2  π  π π  2 2x x ∈  0,  . Do ñó f ' ( x ) < 0 v i ∀x ∈  0,  suy ra f ( x ) > f   = hay sin x >  2  2 2 π π  π v i ∀x ∈  0,  .  2 1  π ð t h ( x ) = tgx xác ñ nh và liên t c trên  0,  . x  2 x − sin x  π Ta có h ' ( x ) = > 0 ∀x ∈  0,  nên hàm s h ( x ) ñ ng bi n, do 2 x 2 cos 2 x  2 2  x π x 2x  π ñó h ( x ) < h   = hay tg < v i ∀x ∈  0,  . 2 2 2 π  2 x x Còn 2 b t ñ ng th c tg > và sin x < x dành cho b n ñ c t ch ng minh. 2 2 Bây gi m i là ph n ñáng chú ý: Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . G i A, B, C là ñ l n các góc b ng radian; r, R, p, S l n lư t là bán kính ñư ng tròn n i ti p, bán kính ñư ng tròn ngo i ti p, n a chu vi và di n tích tam giác; la, ha, ma, ra, tương ng là ñ dài ñư ng phân giác, ñư ng cao, ñư ng trung tuy n và bán kính ñư ng tròn bàng ti p ng v i ñ nh A... Bài toán 1: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: pπ p < Acos 2 x + Bcos 2 B + Ccos 2C < 4R R The Inequalities Trigonometry 82
  7. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Nh n xét: p T ñ nh lí hàm s sin quen thu c trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin B = và R A 4 bài toán ñ i s ta d dàng ñưa ra bi n ñ i sau Acos2 A < 2tg cos2 A = sin A < Acos2 A , t 2 π ñó ñưa ñ n l i gi i như sau. L i gi i: A 4 p Ta có: Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A ⇒ ∑ Acos 2 A < ∑ sin A = 2 π R 4 p pπ và π ∑ Acos2 A > ∑ sin A = R ⇒ ∑ Acos2 A > 4 R . T ñây suy ra ñpcm. A B B C C A Trong m t tam giác ta có nh n xét sau: tg tg + tg tg + tg tg = 1 k t h p 2 2 2 2 2 2 x 2x 2 A 2B 2B 2C 2C 2 A A B B C C A v i tg < nên ta có + + > tg tg + tg tg + tg tg = 1 ⇒ 2 π π π π π π π 2 2 2 2 2 2 2 π x x A.B + B.C + C. A > (1). M t khác tg > nên ta cũng d dàng có 4 2 2 A B B C C A A B B C C A + + < tg tg + tg tg + tg tg = 1 t ñây ta l i có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A.B + B.C + C. A < 4 (2). T (1) và (2) ta có bài toán m i. Bài toán 2: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: π2 < A.B + B.C + C. A < 4 4 Lưu ý: Khi dùng cách này ñ sáng t o bài toán m i thì ñ toán là ∆ABC ph i là nh n  π vì trong bài toán ñ i s thì ∀x ∈  0,  . L i gi i bài toán tương t như nh n xét trên.  2 2 M t khác, áp d ng b t ñ ng th c ab + bc + ca ≤ (a + b + c) thì ta có ngay 3 2 ( A+ B + C) π2 A.B + B.C + C. A ≤ = . T ñây ta có bài toán “ch t” hơn và “ñ p” hơn: 3 3 π2 π2 〈 A.B + B.C + C. A ≤ 4 3 Bây gi ta th ñi t công th c la, ha, ma, ra ñ tìm ra các công th c m i. A A Trong ∆ABC ta luôn có: 2S = bc sin A = cla sin + bla sin 2 2 The Inequalities Trigonometry 83
  8. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 1 b+c b+c 11 1 ⇒ = > =  +  la 2bccos A 2bc 2  b c  2 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  ⇒ + + > + + >  + +  la lb lc a b c 2 R  sin A sin B sin C  1 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + >  + + . la lb lc 2 R  A B C  Như v y chúng ta có Bài toán 3. Bài toán 3: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: 1 1 1 1 1 1 1 + + >  + +  la lb lc 2 R  A B C  bc b+c 2 R ( sin B + sin C ) M t khác, ta l i có = = . Áp d ng bài toán ñ i s ta la 2cos A π A 2sin  −  2 2 2 ñư c: 2( B + C ) R(B + C) R π R ( B + C ) bc 4 R ( B + C ) bc π bc 4 R π> > ⇒ > > ⇒ πR > > . π−A la π A B+C la π (B + C) la π − 2 2 ab 4 R ca 4 R Hoàn toàn tương t ta có: π R > > và π R > > . T ñây, c ng 3 chu i b t lc π lb π ñ ng th c ta ñư c: Bài toán 4: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: 12 R ab bc ca < + + < 3π R π lc la lb h h h h h h Trong tam giác ta có k t qu sin A = b = c , sin B = c = a và sin C = a = b , c b a c b a mà t k t qu c a bài toán ñ i s ta d dàng có 2 < sin A + sin B + sin C < π , mà 1 1 1 1 1 1 2 ( sin A + sin B + sin C ) = ha  +  + hb  +  + hc  +  , t ñây ta có ñư c Bài b c c a a b toán 5. Bài toán 5: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: 1 1 1 1 1 1 4 < ha  +  + hb  +  + hc  +  < 2π b c c a a b Ta xét ti p bài toán sau: Bài toán 6: Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ta luôn có: 4 2 2 2 ma + mb + mc2 2 2 2 ( A + B +C ) < 2 < A2 + B 2 + C 2 π 3R The Inequalities Trigonometry 84
  9. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 2 2 b2 + c2 a2 Nh n xét:Liên h v i ma trong tam giác ta có ma = − , t ñó ta suy ra 2 4 3 ma + mb + mc2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3R 2 ( sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) và t ñưa ñ n l i gi i. 2 2 4 L i gi i: 4x2 4 A2 Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c: 2 < sin x < x ta l n lư t có: 2 < sin2 A < A2 , 2 2 π π 2 2 4B 4C 2 < sin 2 B < B 2 và 2 < sin 2 C < C 2 . π π C ng 3 chu i b t ñ ng th c trên ta ñư c: 4 π 2 (A 2 + B 2 + C 2 ) < sin 2 A + s in 2 B + sin 2 C < A 2 + B 2 + C 2 , mà ta có: ma + mb + mc2 2 2 ma + mb + mc2 = 3R 2 ( sin 2 A + sin 2 B + sin C 2 ) ⇔ 2 2 2 = ( sin2 A + sin2 B + sin2 C ) , t 3R 4 ma + mb + mc2 2 2 ñây ta ñư c: 2 ( A2 + B 2 + C 2 ) < 2 < A2 + B 2 + C 2 (ñpcm). π 3R Bây gi ta th sáng t o m t b t ñ ng th c liên quan t i ra, ta có công th c tính ra là A x x 2x A r 2A ra = ptg , t bài toán ñ i s < tg < ch c ch n ta d dàng tìm th y < a < 2 2 2 π 2 p π B r 2B C r 2C , tương t ta cũng có < a < và < a < , c ng 3 chu i b t 2 p π 2 p π A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C ) ñ ng th c ta thu ñư c < < và ta thu ñư c Bài toán 7. 2 p π Bài toán 7: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C ) < < 2 p π Ta tìm hi u bài toán sau: Bài toán 8: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: π ( 2 R − r ) < aA + bB + cC < 4 ( 2 R − r ) A B C A Nh n xét: Ta có các k t qu : ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg = 2 2 2 2 B C A B C = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg d n ñ n ra = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg và 2 2 2 2 2 ra + rb + rc = 4 R + r (các k t qu này b n ñ c t ch ng minh), t ñó ta suy ra A A A 4 R + r = 3r + ptg + ptg + ptg và nh k t qu này ta d dàng ñánh giá t ng 2 2 2 aA + bB + cC t bài toán ñ i s nên ta d có l i gi i như sau. L i gi i: The Inequalities Trigonometry 85
  10. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác A B C A B C Ta có: ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg = ( p − b) tg = ( p − c) tg , t 2 2 2 2 2 2 A B C ñó d n ñ n ra = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg . Mà ta l i có: ra + rb + rc = 4 R + r 2 2 2 A A A suy ra 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg . Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c: 2 2 2 A A A 2 ● 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg < 3r + ( aA + bB + cC ) 2 2 2 π ⇔ π ( 2R − r ) < aA + bB + cC A A A 1 ● 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg > 3r + ( aA + bB + cC ) 2 2 2 2 ⇔ 4 ( 2R − r ) > aA + bB + cC K t h p 2 ñi u trên ta có ñi u ph i ch ng minh. Sau ñây là các bài toán ñư c hình thành t các công th c quen thu c ñ các b n luy n t p: Bài toán: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có: a/ 2π p − 8 ( R + r ) < aA + bB + cC < 2π p − 2π ( R + r ) . πS b/ < ( p − a )( p − b ) + ( p − b )( p − c ) + ( p − c )( p − a ) < 2S . 2 π c/ abc < a 2 ( p − a ) + b 2 ( p − b ) + c 2 ( p − c ) < abc . 2 1 1 1 1 1 1 d/ 4 < la  +  + lb  +  + lc  +  < 2π . b c c a a b x 2/Chúng ta xét hàm: f ( x ) = v i ∀ x ∈ ( 0,π ) . sinx s inx-xcosx Ta có f ( x ) là hàm s xác ñ nh và liên t c trong ( 0, π ) và f ' ( x ) = .ð t sin 2 x g ( x ) = s inx-xcosx , x ∈ ( 0, π ) , ta có g ' ( x ) = x sin x ≥ 0 ⇒ g ( x ) ñ ng bi n trong ño n ⇒ g ( x ) > g ( 0 ) = 0 ⇒ f ' ( x ) > 0 nên hàm f ( x ) ñ ng bi n . ( 0, π ) Chú ý 3 b t ñ ng th c ñ i s : 1.B t ñ ng th c AM-GM: Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an , ta luôn có: a1 + a2 + ... + an n ≥ a1a2 ...an n D u “=” x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an . 2.B t ñ ng th c Cauchy-Schwarz: Cho 2 b n s ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) trong ñó bi > 0, i = 1, n . Ta luôn có: The Inequalities Trigonometry 86
  11. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 2 a12 a2 2 a 2 ( a + a + ... + an ) + + ... + n ≥ 1 2 b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn a a a D u “=” x y ra ⇔ 1 = 2 = ... = n . b1 b2 bn 3.B t ñ ng th c Chebyshev: Cho 2 dãy ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) cùng tăng ho c cùng gi m, t c là: a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an  ho c  , thì ta có: b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn a1b1 + a2b2 + ... + an bn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn ≤ . n n n  a1 = a2 = ... = an D u “ = ” x y ra  . b1 = b2 = ... = bn N u 2 dãy ñơn ñi u ngư c chi u thì ñ i chi u d u b t ñ ng th c. Xét trong tam giác ABC có A ≥ B (A,B s ño hai góc A,B c a tam giác theo radian). A B x ● A≥ B ⇒ ≥ ( theo ch ng minh trên thì hàm f ( x ) = ) sin A sin B sinx A B A a A a ⇒ ≥ ⇒ ≥ , mà A ≥ B ⇔ a ≥ b . Như v y ta suy ra n u a ≥ b thì ≥ a b B b B b 2R 2R (i). A B C • Hoàn toàn tương t : a ≥ b ≥ c ⇒ ≥ ≥ và như v y ta có a b c A B ( a − b )  −  ≥ 0 , ( b − c )  −  ≥ 0 và ( c − a )  −  ≥ 0 .C ng 3 B C C A   a b b c c a  A B A b t ñ ng th c ta ñư c ∑ ( a − b )  −  ≥ 0 ⇔ 2 ( A + B + C ) ≥ ∑( b + c ) (1). cyc a b cyc a - C ng A+ B +C vào 2 v c a (1) ta thu ñư c: A B C 3( A + B + C ) ≥ ( a + b + c)  + +  (2) a b c A - Tr A + B + C vào 2 v c a (1) ta thu ñư c: ( A + B + C ) ≥ 2∑ ( p − a ) (3). cyc a A Chú ý r ng A + B + C = π và a + b + c = 2 p nên (2) ⇔ 3π ≥ 2 p ∑ ⇔ cyc a A 3π A π ∑ a ≤ 2 p (ii), và (3) ⇔ ∑ ( p − a ) a ≤ 2 (iii). cyc cyc The Inequalities Trigonometry 87
  12. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác ● M t khác ta có th áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev cho 2 b s A B C A B C  ≥ ≥  , ,  và ( p − a, p − b, p − c) . Ta có: a ≥ b ≥ c ⇒  a b c a b c  p−a ≤ p−b ≤ p−c  ∑( p − a) a ( p − a + p − b + p − c)  a + B + C   A A A  p∑ ⇒ cyc ≤  b c A a ⇔ ∑ ( p − a ) ≤ cyc . Mà 3 3 3 cyc a 3 A 3π A p∑ p p∑ A 3π A a 2p A a π ∑ a ≤ 2 p ta suy ra: ∑( p − a) a ≤ cyc ≤ 3 hay ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (iv). cyc cyc 3 cyc 3 ● Ta chú ý ñ n hai b t ñ ng th c (ii) và (iii): 1 A B C A  A.B.C  3 -Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho 3 s , , ta ñư c: a b c ∑ a ≥ 3  a.b.c  k t cyc   1 3  A.B.C  3 3π a.b.c  2 p  h p v i b t ñ ng th c (ii) ta suy ra 3   ≤ ⇔ ≥  (v). M t  a.b.c  2p A.B.C  π  1 1 a  a.b.c  3  a.b.c 3 2 p khác, ta l i có ∑ ≥ 3   , mà theo (v) ta d dàng suy ra   ≥ , t ñó ta cyc A  A.B.C   A.B.C  π a 6p có b t ñ ng th c ∑ ≥ (vi). cyc A π -Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy-Schwarz , ta có : 2 A A2 ( A + B + C ) π2 ∑ a cyc aA Aa + Bb + Cc Aa + Bb + Cc cyc =∑ ≥ = (vii), mà ta ñã tìm ñư c 2π p − 8 ( R + r ) < Aa + Bb + Cc < 2π p − 2π ( R + r ) (bài t p a/ ph n trư c) nên A π2 ∑ a 2π ( p − R − r ) cyc > (viii) (ch ñúng v i tam giác nh n). A B C -Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho 3 s ( p − a) , ( p − b ) , ( p − c ) ta ñư c: a b c A B C . . ABC S 2 ABC . . S.ABC . . ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) ≥ 3 3 ( p − a)( p − b)( p − c) =33 =33 ⇒ a b c .. abc p 4S.R 4 p.R A 2 p∑ A S A.B.C A a π ∑ ( p − a ) a ≥ 3 3 p 4S.R (4)mà ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (theo iv) nên t (4) cyc cyc 3 A p∑ 3 3 4 A 4  3π  2 S A.B.C cyc a π 729S . A.B.C 729S. A.B.C ⇒ 33 ≤ ≤ ⇔ ≤ p ∑  ⇒ ≤p   p 4S .R 3 2 4R  cyc a  4R  2p  ⇔ 54S . A.B.C ≤ π 3 . p.R (ix). The Inequalities Trigonometry 88
  13. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 2 2 2  x y   z x   y z  ● Xét t ng T =  .  b By a Ax   a Ax c Cz   c Cz b By   +  + + + +        Ta có: T ≥ 0 y+z 1 z+x 1 x+ y 1  1 1 1  ⇔ . 2 + . 2 + . 2 − 2 + + ≥ 0. x a A y b B z cC  ab AB bc BC ca CA  y + z bc z + x ca x + y ab  c a b  ⇔ . + . + . − 2 + + ≥0 x aA y bB z cC  AB BC CA  y + z bc z + x ca x + y ab  a b c  ⇔ . + . + . ≥ 2 + +  (5). x aA y bB z cC  BC CA AB  1 a b c  abc 3 6 p Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta ñư c: + + ≥ 3  ≥ (6). BC CA AB  ABC  π y + z bc z + x ca x + y ab 6 p T (5) và (6) ta ñư c: . + . + . ≥ (7). x aA y bB z cC π Thay (x, y, z) trong (7) b ng (p-a, p-b, p-c) ta ñư c: bc ca ab 12 p + + ≥ (x) A( p − a) B ( p − b) C ( p − c) π b + c c + a a + b 12 p Thay (x, y, z) trong (7) b ng (bc, ca, ab) ta ñư c: + + ≥ (xi). A B C π 2x  π 3/ Chúng ta xét b t ñ ng th c sau: sinx ≥ v i ∀ x ∈ 0,  (ph n ch ng minh b t π  2 ñ ng th c này dành cho b n ñ c). a Theo ñ nh lí hàm s sin ta có sin A = và k t h p v i b t ñ ng th c trên ta ñư c 2R a 2A a 4R a 12 R ≥ ⇔ ≥ , t ñó ta d dàng suy ra ∑ > . 2R π A π cyc A π sin x π 2 - x 2 4/ B t ñ ng th c: ≥ 2 v i ∀ x ∈ (0,π ] (b t ñ ng th c này xem như bài x π + x2 t p dành cho b n ñ c). sin x 2 x2 2 x3 B t ñ ng th c trên tương ñương ≥ 1− 2 ⇔ sin x ≥ x − 2 (1). x π + x2 π + x2 3 3 Trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin C ≤ (2) (b n ñ c t ch ng minh).T (1) 2 3 3  A3 B3 C3  và (2) ta thu ñư c ≥ ∑ sin A > A + B + C − 2  2 2 + 2 2 + 2 2  ⇒ 2 cyc π + A π + B π +C  3 3  A3 B3 C3  A3 B3 C3 π 3 3 > π − 2 2 2 + 2 2 + 2 2  ⇔ 2 2 + 2 2 + 2 2 > − . 2 π + A π + B π +C  π + A π + B π +C 2 4 The Inequalities Trigonometry 89
  14. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác sin A π 2 − A2 M t khác, áp d ng b t ñ ng th c cho 3 góc A, B, C ta thu ñư c > 2 , A π + A2 sin B π 2 − B 2 sin C π 2 − C 2 > 2 và > 2 , c ng các b t ñ ng th c ta ñư c: B π + B2 C π + C2 sin A sin B sin C π 2 − A2 π 2 − B2 π 2 − C 2 + + > 2 + + , t ñây áp d ng ñ nh lí hàm s sin A B C π + A2 π 2 + B2 π 2 + C 2 a b c a π 2 − A2 π 2 − B2 π 2 − C2 a π 2 − A2 sin A = ta có 2R + 2R + 2R > 2 2 + 2 2 + 2 2 hay ∑ > 2 R ∑ 2 . 2R A B C π + A π + B π +C cyc A π + A2 The Inequalities Trigonometry 90
  15. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Th tr v c i ngu n c a môn lư ng giác Lê Qu c Hán ð i h c Sư ph m Vinh “Lư ng giác h c” có ngu n g c t Hình h c. Tuy nhiên ph n l n h c sinh khi h c môn Lư ng giác h c (gi i phương trình lư ng giác, hàm s lư ng giác …), l i th y nó như là m t b ph n c a môn ð i s h c, ho c như m t công c ñ gi i các bài toán hình h c (ph n tam giác lư ng) mà không th y m i liên h hai chi u gi a các b môn y. Trong bài vi t này, tôi hy v ng ph n nào có th cho các b n m t cách nhìn “m i” : dùng hình h c ñ gi i các bài toán lư ng giác. Trư c h t, ta l y m t k t qu quen thu c trong hình h c sơ c p : “N u G là tr ng tâm tam giác ABC và M là m t ñi m tùy ý trong m t ph ng ch a tam giác ñó thì” : 1 1 ( ) ( ) MG 2 = MA 2 + MB 2 + MC 2 − a 2 + b 2 + c 2 (ð nh lý Lép-nít) 3 9 N u M ≡ O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì MA 2 + MB 2 + MB 2 = 3R 2 nên áp 4 d ng ñ nh lý hàm s sin, ta suy ra : OG 2 = R 2 − R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) 9 4 9  ⇒ OG 2 = R 2  − (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) (1) 9 4  T ñ ng th c (1) , suy ra : 9 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ (2) 4 D u ñ ng th c x y ra khi và ch khi G ≡ O , t c là khi và ch khi ∆ABC ñ u. Như v y, v i m t ki n th c hình h c l p 10 ta ñã phát hi n và ch ng minh ñư c b t ñ ng th c (2) . Ngoài ra, h th c (1) còn cho ta m t “ngu n g c hình h c” c a b t ñ ng th c (2) , ñi u mà ít ngư i nghĩ ñ n. B ng cách tương t , ta hãy tính kho ng cách gi a O và tr c tâm H c a ∆ABC . Xét trư ng h p ∆ABC có 3 góc nh n. G i E là giao ñi m c a AH v i ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . Th thì : ℘H / (O ) = OH 2 − R 2 = HE. HA Do ñó : OH 2 = R 2 − AH . HE (*) v i: AF cos A cos A AH = = AB. = 2 R sin C = 2 R cos A sin C sin C sin C và HE = 2 HK = 2 BK cot C = 2 AB cos B cot C cos C = 2.2 R sin C cos B = 4 R cos B cos C sin C Thay vào (*) ta có : 1  OH 2 = 8R 2  − cos A cos B cos C  (3) 8  The Inequalities Trigonometry 91
  16. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác N u ∠BAC = 90 0 ch ng h n, thì (3) là hi n nhiên. Gi s ∆ABC có góc A tù. Khi ñó ℘H / (O ) = R 2 − OH 2 = HA . HE trong ñó AH = −2 R cos A nên ta cũng suy ra (3) . T công th c (3) , ta suy ra : 1 cos A cos B cos C ≤ (4 ) 8 (D u ñ ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u). Cũng như b t ñ ng th c (2) , b t ñ ng th c (4) ñã ñư c phát hi n và ch ng minh ch v i ki n th c l p 10 và có m t “ngu n g c hình h c” khá ñ p. C n nh r ng, “xưa nay” chưa nói ñ n vi c phát hi n, ch riêng vi c ch ng minh các b t ñ ng th c ñó, ngư i ta thư ng ph i dùng các công th c lư ng giác (chương trình lư ng giác l p 11) và ñ nh lý v d u tam th c b c hai. Có ñư c (1) và (3) , ta ti p t c ti n t i. Ta th s d ng “ñư ng th ng Ơle”. N u O, G, H là tâm ñư ng tròn ngo i ti p, tr ng tâm và tr c tâm ∆ABC thì O, G, H 1 1 th ng hàng và : OG = OH . T OG 2 = OH 2 . 3 9 T (1)(3) ta có : 9 1 4 ( ) − sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = (1 − 8 cos A cos B cos C ) 4 2 2 2 hay sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A cos B cos C Thay sin 2 α b ng 1 − cos 2 α vào ñ ng th c cu i cùng, ta ñư c k t qu quen thu c : cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 2 cos A cos B cos C = 1 (5) Chưa nói ñ n vi c phát hi n ra (5) , ch riêng vi c ch ng minh ñã làm “nh c óc” không bi t bao nhiêu b n tr m i làm quen v i lư ng giác. Qua m t vài ví d trên ñây, h n các b n ñã th y vai trò c a hình h c trong vi c phát hi n và ch ng minh các h th c “thu n túy lư ng giác”. M t khác, nó cũng nêu lên cho chúng ta m t câu h i : Ph i chăng các h th c lư ng giác trong m t tam giác khi nào cũng có m t “ngu n g c hình h c” làm b n ñư ng ? M i các b n gi i vài bài t p sau ñây ñ c ng c ni m tin c a mình.  A B C 1. Ch ng minh r ng, trong m t tam giác ta có d 2 = R 2 1 − 8 sin sin sin  trong ñó  2 2 2 d là kho ng cách gi a ñư ng tròn tâm ngo i ti p và n i ti p tam giác ñó. T ñó hãy suy ra b t ñ ng th c quen thu c tương ng. • 2. Cho ∆ABC . D ng trong m t ph ng ABC các ñi m O1 và O2 sao cho các tam giác O1 AB và O2 AC là nh ng tam giác cân ñ nh O1 ,O2 v i góc ñáy b ng 30 0 và sao cho O1 và C cùng m t n a m t ph ng b AB, O2 và B cùng m t n a m t ph ng b AC. a) Ch ng minh : 1 2 ( O1O2 = a 2 + b 2 + c 2 − 4 3S 6 ) b) Suy ra b t ñ ng th c tương ng : The Inequalities Trigonometry 92
  17. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 2 2 2 sin A + sin B + sin C ≥ 2 3 sin A sin B sin C 3. Ch ng minh r ng n u ∆ABC có 3 góc nh n, thì : sin A + sin B + sin C
  18. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác Nguy n Lái GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên Gi s f ( A, B, C ) là bi u th c ch a các hàm s lư ng giác c a các góc trong ∆ABC Gi s các góc A, B, C th a mãn hai ñi u ki n :  A+ B 2 A + B  1) f ( A) + f (B ) ≥ 2 f   ho c f ( A) f (B ) ≥ f   (1)  2   2  ñ ng th c x y ra khi và ch khi A = B  π  π C +  C +  π  3  ho c f (C ) f π  3  (2) 2) f (C ) + f   ≥ 2 f   ≥ f  2  3  2   3  2          π ñ ng th c x y ra khi và ch khi C = Khi c ng ho c nhân (1)(2) ta s có b t 3 ñ ng th c : π  π  f ( A) + f (B ) + f (C ) ≥ 3 f   ho c f ( A) f (B ) f (C ) ≥ f 3   3 3 ð ng th c x y ra khi và ch khi A = B = C . Tương t ta cũng có b t ñ ng th c v i chi u ngư c l i. ð minh h a cho phương pháp trên ta xét các bài toán sau ñây : Thí d 1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta luôn có : 1 1 1 3 2 + + ≥ 1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C 2+4 3 L i gi i. Ta có : 1 1 4 4 2 + ≥ ≥ ≥ 1 + sin A 1 + sin B 2 + sin A + sin B 2 + 2(sin A + sin B ) A+ B 1 + sin 2 1 1 2 ⇒ + ≥ (3) 1 + sin A 1 + sin B A+ B 1 + sin 2 1 1 2 Tương t ta có : + ≥ (4) 1 + sin C π π 1 + sin C+ 3 1 + sin 3 2 C ng theo v (3) và (4) ta có : The Inequalities Trigonometry 94
  19. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác       1 1 1 1  1 1  4 + + + ≥ 2 + ≥ 1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C π  1 + sin A + B π  1 + sin π 1 + sin C+ 3  2 3  3  1 + sin   2  1 1 1 3 2 ⇒ + + ≥ 1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C 2+4 3 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Thí d 2. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có : 3  1  1  1   2  1 + 1 + 1 +  ≥ 1 +     sin A  sin B  sin C   3 L i gi i. Ta có : 2  1  1  1 1 1 2  1  1 + 1 +  = 1+ + + ≥ 1+ +     sin A  sin B  sin A sin B sin A sin B sin A sin B  sin A sin B  2    1  2  2  2  2  2  1  = 1 +   = 1 +   ≥ 1 +  = 1 +   sin A sin B   cos( A − B ) − cos( A + B )   1 − cos( A + B )   sin A + B         2  2    1  1   1  ⇒ 1 +  1+  ≥ 1 +  (5)  sin A  sin B   sin A + B     2  2          1   1 + 1  ≥ 1 + 1  Tương t :  1+  (6)  sin C  sin π   π     C+   3   sin 3   2  Nhân theo v c a (5) và (6) ta có : 2   2  4          1  1  1  1   1   1 + 1   ≥ 1 + 1  1 + 1 + 1 + 1 +  ≥ 1 +   sin A  sin B  sin C  sin π   sin A + B   π   π       C+   sin   3  2   sin 3   3   2  The Inequalities Trigonometry 95
  20. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 3  1  1  1   2  ⇒ 1 + 1 + 1 +  ≥ 1 +     sin A  sin B  sin C   3 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Thí d 3. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có : A B C 3 sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 2 2 2 64 L i gi i. Trư ng h p tam giác ABC tù ho c vuông.  π  π A− B C +  Gi s A = max{A, B, C} ≥ , lúc ñó cos > 0 và cos 3  > 0. 2 2  2      Ta có : 3 6A B  2 A B sin + sin 6  sin + sin 2  3 2 2 ≥ 2 2  = 1 1 − cos A + cos B  = 1 1 − cos A + B cos A − B      2  2  8 2  8 2 2      3 1 A+ B 6 A+ B A B A+ B ≥ 1 − cos  = sin ⇒ sin 6 + sin 6 ≥ 2 sin 6 (7 ) 8 2  4 2 2 4 π π C+ C Tương t ta có : sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6 3 (8) 2 2 4 C ng theo v c a (7 ) và (8) ta ñư c : π π π A B C  A+ B C+  A+ B+C + sin 6 + sin 6 + sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6 + sin 6 3  ≥ 4 sin 6 3 2 2 2 2  4 4  8     A B C π 3 ⇒ sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 3 sin 6 = (9) 2 2 2 6 64 Trư ng h p tam giác ABC nh n, các b t ñ ng th c (7 ), (8), (9) luôn ñúng. Thí d 4. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có : 3   (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) ≤ 2 2  2 + 6   4  4   L i gi i. Ta có : (cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) = 2 2 cos A − π  cos B − π  cos C − π         4  4  4 nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 96
Đồng bộ tài khoản