Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P6 new 2010

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
194
lượt xem
110
download

Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P6 new 2010

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P6 new 2010 " là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P6 new 2010

  1. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p Chương 6 : Hư ng d n gi i bài t p 1.4.1. 3 3 Ch ng minh cot A + cot B + cot 3 C≥ (cot A + cot B + cot C )3 9 và cot A + cot B + cot C ≥ 3 1.4.2. x Xét hàm f ( x ) = sin v i x ∈ (0 ; π ) 4 π 2− 3 Ch ng minh f ' ' ( x ) < 0 và sin = 12 2 Cu i cùng s d ng Jensen. 1.4.3. 3 3 Ta ñã có : sin A + sin B + sin C ≤ 2  1 1 1  và theo AM – GM thì : (sin A + sin B + sin C ) + + ≥9  sin A sin B sin C  1.4.4 B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : A B C 7 3 − (cos A + cos B + cos C ) + 2 sin sin sin ≥ 2 2 2 4 A B C 1 ⇔ sin sin sin ≤ 2 2 2 8 1.4.5. The Inequalities Trigonometry 101
  2. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C Ch ng minh cot A + + cot B + cot C = 2 sin A sin B sin C 9 và sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 1.4.6. A B C ð ý cos cos cos > 0 nên b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 2 2 A B C A− B B−C C−A 8 cos cos cos cos cos cos ≥ 8 sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 ⇔ (sin A + sin B )(sin B + sin C )(sin C + sin A) ≥ 8 sin A sin B sin C Ti p theo dùng AM – GM ñ ch ng minh ti p. 1.4.7. A B C ð t x = tan ; y = tan ; z = tan ⇒ xy + yz + zx = 1 2 2 2 ( Theo BCS thì : 3 x y + y z + z x ≥ ( xy + yz + zx ) 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 ⇒ x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ≥ (1) 3 Theo AM – GM thì : xy + yz + zx 3 2 2 2 1 ≥ x y z ⇒ xyz ≤ ⇔ 3 3 xyz ≤ 1 (2) 3 3 3 4 4 T (1) suy ra : 1 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ và theo (2) có ≥ 4 3xyz 3 3 D nñ n: 1 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ 4 3 xyz ( ) ⇔ 2 + 2 x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ 8 3xyz ( )( )( ) ( )( )( ⇔ 1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2 + 1 − x 2 1 − y 2 1 − z 2 ≥ 8 3 xyz ) ⇔ 1+ (1 − x ) ⋅ (1 − y 2 2 ) ⋅ (1 − z ) ≥ 3 2 x 2 ⋅ 2y ⋅ 2z (1 + x ) (1 + y 2 2 ) (1 + z ) 1 + x 2 2 1+ y 1+ z2 2 ⇔ 1 + cos A cos B cos C ≥ 3 sin A sin B sin C 1.4.8. Theo AM – GM ch ng minh ñư c :  1 1 1   1 1 1 3  p − a + p − b + p − c  ≥ 3 p − a + p − b + p − c + p  4        The Inequalities Trigonometry 102
  3. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p  1 1 1 3  43 3 và 3 + + + ≥  p−a p−b p−c p ⇒ ñpcm.   S 1.4.9. & 1.4.10. 2 Ta có : (2ma ) + a 3 ( ) 2 ( = 2 a2 + b2 + c2 ) 2 2 2 a +b +c ⇒ ama ≤ 2 3 1 a + b2 + c2 2 ⇒ ≥ ama 2 3  a 2 3a 2  ≥ 2 (1) m a + b2 + c2 ⇒ a 2  ma 2 3ma  a ≥ a2 + b2 + c2 (2)  Tương t (1) : b 2 3b 2 ≥ mb a 2 + b 2 + c 2 a b c ⇒ + + ≥2 3 c 2 3c 2 m a mb mc ≥ 2 mc a + b 2 + c 2 Tương t (2) : 2 mb 2 3mb ≥ 2 b a + b2 + c2 m a mb mc 3 3 2 ⇒ + + ≥ mc 2 3mc a b c 2 ≥ 2 c a + b2 + c2 1.4.11. Ch ng minh : ma l a = ( p − a )(2b 2 + 2c 2 − a 2 )bc (b + c )2 và (2b + 2c − a )bc ≥ 2 2 2 (b + c )4 − a 2 (b + c )2 4 ⇒ m a l a ≥ p( p − a ) Tương t cho mb l b và mc l c r i c ng các b t ñ ng th c l i ⇒ ñpcm. 1.4.12. The Inequalities Trigonometry 103
  4. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p 1 b+c 1 2 Ta có : ma < ⇒ 2 > a 2 a ma b+c 2  1 1 1   2 + 2 + 2 >  1 1 1 a b c  3 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ ⇒ ñpcm. a ma b mb c mc b + c c + a a + b abc + + 2 2 2 1.4.13. c2 Theo AM – GM thì : ( p − a )( p − b ) ≤ ⇒ ñpcm. 4 1.4.14. 1 1 1 1 Ch ng minh : + + = r i dùng AM – GM. ha ha ha r 1.4.15. Xét hàm f ( x ) = sin x ∀x ∈ (0 ; π ) có f ' ' ( x ) < 0 A + 3B sin A + 3 sin B Áp d ng Jensen thì : sin ≥ 4 4 sin A + 3 sin B 4 Áp d ng AM – GM thì : ≥ sin A sin 3 B 4 T ñó suy ra ñpcm. 2.6.1. ( Chú ý OA + 3 OB − OC )2 ≥ 0 v i O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . 2.6.2. ( Chú ý 2OA + 3 OB + OC ) 2 ≥0 2.6.3. Chú ý (( 5 + 1)OA + OB − 2OC ) 2 ≥0 2.6.4. The Inequalities Trigonometry 104
  5. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p 2π Gi s A≥ 3 A B C A π A Ch ng minh : tan + tan + tan ≥ tan + 2 tan −  2 2 2 2 4 4 A π A Xét f ( A) = tan + 2 tan −  2 4 4  2π  D th y : f ' ' ( x ) > 0 ⇒ f (x ) ñ ng bi n trên  ;π  3  π  2π  mà 2 tan = 2 − 3 ⇒ f ( A) ≥ f   = 4− 3 12  3  2.6.5. D th y : 1 = 4 p2 = (a + b − c ) + (b + c − a ) + (c + a − b ) = 1 + 2 1 + 2 1 4r 2 16S 2 (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b) c − (a − b ) 2 2 a − (b − c ) 2 b − (c − a ) 2 ⇒ ñpcm. 2.6.6. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : a 2 (a − b )(a − c ) + b 2 (b − c )(b − a ) + c 2 (c − a )(c − b ) ≥ 0 2.6.7. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) > 0 2.6.8. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : cot A + cot B + cot C ≥ 3 2.6.9 a ≥ b ≥ c  π  Ch ng minh f ( x ) = tan x tăng trên  0 ;  ⇒  A B C  2 tan 2 ≥ tan 2 ≥ tan 2  Ti p theo s d ng Chebyshev ⇒ ñpcm. The Inequalities Trigonometry 105
  6. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p 2.6.10. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : A B C 1 tan tan tan ≤ 2 2 2 3 3 2.6.11. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c ) ≥ 9abc 2.6.12. 2 ( ) ( Ta có : ma = R 2 1 + 2 cos A cos(B − C ) + cos 2 A ≤ R 2 1 + 2 cos A + cos 2 A ) ⇒ ma ≤ R(1 + cos A) ⇒ ma + mb + mc ≤ 3R + R(cos A + cos B + cos C ) = 4 R + r 2.6.13. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : A B C 1 sin sin sin ≤ 2 2 2 8 2.6.14. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x 2 + 2 x( y cos 2C + z cos 2 B )2 yz cos 2 A + y 2 + z 2 ≥ 0 v i x = p−a , y = p−b , z = p−c Xét ∆' ⇒ ñpcm. 2.6.15. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : A B C tan A tan B tan C ≥ cot cot cot 2 2 2 B+C C+A A+ B ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ tan + tan + tan (*) 2 2 2  π Xét f ( x ) = tan x ∀x ∈  0 ;   2 A + B tan A + tan B Theo Jensen thì : tan ≤ ⇒ ñpcm. 2 2 The Inequalities Trigonometry 106
  7. Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Chương 6 Hư ng d n gi i bài t p Ch ng minh các b t ñ ng th c sau r i xét khi d u b ng x y ra : 3 3.3.1. cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ 4 3.3.2. sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C 1 1 1 3 1 3.3.3. + + ≥ + tan A tan B tan C sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 2 2  a2 + b2 + c2  a 2b 2 c 2 3.3.4.  cot A + cot B + cot C   ≤   A B C tan tan tan 2 2 2 a cos A + b cos B + c cos C 1 3.3.5. ≤ a+b+c 2 A B C 3.3.6. ma mb mc ≥ abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.7. l a lb l c ≤ abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.8. bc cot + ca cot + ab cot ≥ 12S 2 2 2  1  1  1  26 3 3.3.9. 1 + 1 + 1 +  ≥5+  sin A  sin B  sin C  9 sin A sin B sin C 1 3.3.10. 2 ≤ (sin A + sin B + sin C ) 6 3 The Inequalities Trigonometry 107
Đồng bộ tài khoản