Chuyên Đề Bồi dưỡng HSG Đại Số 8

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

3
911
lượt xem
328
download

Chuyên Đề Bồi dưỡng HSG Đại Số 8

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Chuyên Đề Bồi dưỡng HSG Đại Số 8 " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên Đề Bồi dưỡng HSG Đại Số 8

  1. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí 1. Chuyªn ®Ò : §a thøc Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: a. A = x 4 − 17 x 3 + 17 x 2 − 17 x + 20 taïi x = 16. b. B = x 5 − 15x 4 + 16 x 3 − 29 x 2 + 13x taïi x = 14. c. C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + ... + 10 x 2 − 10 x + 10 taïi x = 9 d. D = x15 − 8x14 + 8x13 − 8x12 + ... − 8 x 2 + 8x − 5 taïi x = 7. Baøi 2: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: 1 1 1 650 4 4 a. M = 2 . − .3 − + 315 651 105 651 315.651 105 1 3 546 1 4 b. N = 2 . − . − 547 211 547 211 547.211 Baøi 3: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: a. A = x 3 ( x 2 − y 2 ) + y 2 ( x 3 − y 3 ) vôùi x = 2; y = 1 . b. M.N vôùi x = 2 .Bieát raèng:M = −2 x 2 + 3x + 5 ; N = x 2 − x + 3 . Baøi 4: Tính giaù trò cuûa ña thöùc, bieát x = y + 5: a. x ( x + 2 ) + y ( y − 2 ) − 2 xy + 65 b. x 2 + y ( y − 2 x ) + 75 Baøi 5: Tính giaù trò cuûa ña thöùc: x (1 + y ) − y ( xy − 1) − x 2 y bieát x+ y = -p, xy = q Baøi 6: Chöùng minh ñaúng thöùc: a. ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = ab + bc + ca − x 2 ; bieát raèng 2x = a + b +c b. 2bc + b2 + c2 − a2 = 4 p ( p − a ) ; bieát raèng a + b + c = 2p Baøi 7: a. Soá a goàm 31 chöõ soá 1, soá b goàm 38 chöõ soá 1. Chöùng minh raèng ab – 2 chia heát cho 3. b. Cho 2 soá töï nhieân a vaø b trong ñoù soá a goàm 52 soá 1, soá b goàm 104 soá 1. Hoûi tích ab coù chia heát cho 3 khoâng? Vì sao? Baøi 8: Cho a + b + c = 0. Chöùng minh raèng M = N = P vôùi: M = a ( a + b )( a + c ) ; N = b ( b + c )( b + a ) ; P = c ( c + a )( c + b ) Baøi 9: Cho bieåu thöùc: M = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) + x 2 . Tính M 1 1 1 theo a, b, c, bieát raèng x = a + b + c . 2 2 2 Baøi 10: Cho caùc bieåu thöùc: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chöùng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13. Ngöôïc laïi neáu B chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13. Baøi 11: Cho caùc bieåu thöùc: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Ruùt goïn bieåu thöùc 7A – 2B. 1
  2. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí b. Chöùng minh raèng: Neáu caùc soá nguyeân x, y thoûa maõn 5x + 2y chia heát cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17. Baøi 12: Chöùng minh raèng: a. 817 − 279 − 913 chia heát cho 405. b. 122 n+1 + 11n+2 chia heát cho 133. n ( n + 1) Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, 6 , 10, 15,…, ,… 2 Chöùng minh raèng toång hai soá haïng lieân tieáp cuûa daõy bao giôø cuõng laø soá chính phöông. ®Ò 2. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi biÓu thøc nguyªn I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a 2 + ... + a n )2 = = a1 + a 2 + ... + a 2 + 2(a1a 2 + a1a 3 + ... + a1a n + a 2 a 3 + ... + a 2 a n + ... + a n −1a n ); 2 2 n 2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam gi¸c n y, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®−îc th nh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triÓn (x + y)n th nh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö l c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ng−êi ta gäi b¶ng trªn l tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 v víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 2
  3. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí II. C¸c vÝ dô VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z ] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] 3 = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a)x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b)x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c)x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d)(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) VÝ dô 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) M x + y = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T−¬ng tù : 2 2 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) 3
  4. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí B i tËp: 1. Cho a + b + c = 0 v a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. 2. Cho x + y + z = 0 v xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 4. Chøng minh r»ng nÕu: 5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z. a b 6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 v x, y kh¸c 0 th× = . x y 2 2 2 2 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) a b c v x, y, z kh¸c 0 th× = = . x y z 7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 11. Hai sè a, b lÇn l−ît tháa m n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 v b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H y tÝnh : D = a + b. 12. Cho a3 – 3ab2 = 19 v b3 – 3a2b = 98. H y tÝnh : E = a2 + b2. 13. Cho x + y = a + b v x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. 3. Chuyªn ®Ò: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 4
  5. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö th nh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: B i 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö a, x2 − 5x + 6 d, x2 − 13x + 36 b, 3x2 − 8 x + 4 e, x 2 + 3 x − 18 c, x 2 + 8 x + 7 f, x 2 − 5 x − 2 4 g ,3x2 − 16 x + 5 h, 8x2 + 30 x + 7 i, 2 x 2 − 5 x − 1 2 k, 6x2 − 7 x − 20 B i 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: 1, x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4 2, x 3 + 2 x − 3 3, x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4 4, x 3 − 7 x + 6 5, x 3 − 9 x 2 + 6 x + 16 6, 4 x 3 − 13 x 2 + 9 x − 18 7, x 3 − 4 x 2 − 8 x + 8 8, − x 3 − 6 x 2 + 6 x + 1 9, 6 x 3 − x 2 − 486 x + 81 10, x 3 − 7 x − 6 11, x 3 − 3 x + 2 12, x 3 − 5 x 2 + 3 x + 9 13, x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10 14, x 3 + 3 x 2 + 6 x + 4 15, x 3 − 2 x − 4 16, 2 x 3 − 12 x 2 + 17 x − 2 17, x 3 + x 2 + 4 18, x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2 19, x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24 20, 2 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 21, 3 x 3 − 14 x 2 + 4 x + 3 22, x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 1 (§a thøc ® cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ) II- Ph−¬ng ph¸p thªm v bít cïng mét h¹ng tö 1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tö l m xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu cña hai b×nh ph−¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) B i 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: 1, (1 + x2 )2 − 4x(1 − x2 ) 2, ( x2 − 8) + 36 2 3, x4 + 4 4, x4 + 64 5, 64x4 + 1 6, 81x4 + 4 7, 4x4 + 81 8, 64x4 + y 4 9, x4 + 4 y 4 10, x4 + x2 +1 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö l m xuÊt hiÖn thõa sè chung B i 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: 5
  6. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí 1, x7 + x2 +1 2, x7 + x5 +1 3, x5 + x4 +1 4, x5 + x +1 5, x8 + x7 +1 6, x5 − x4 −1 7, x5 + x −1 8, x10 + x5 +1 III- Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn B i 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö 1, x( x + 4)( x + 6)( x +10) +128 2, (x +1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 4, ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x −12 5, x2 + 2xy + y2 + 2x + 2 y −15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a4 7, 6x4 −11x2 + 3 8, ( x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2 9, x2 − 2xy + y2 + 3x − 3 y −10 10, ( x2 + 2x)2 + 9x2 +18x + 20 11, x2 − 4xy + 4 y2 − 2x + 4 y − 35 12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) +16 B i 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö 1, x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 − 6 x + 1 2, ( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) 2 + ( xy + yz + zx ) 2 IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Ph−¬ng ph¸p: Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: a, P = x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) b, Q =a(b + c − a)2 +b(c + a −b)2 + c(a +b −c)2 + (a +b −c) (b + c − a)(c + a −b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y 2 ( y − z ) + y 2 ( z − y ) = 0 Nh− vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®æi(ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ® chóa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i l h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) = k(x − y)( y − z)(z − x) ®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 ta ®−îc k = -1 6
  7. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c b i to¸n B i 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: M = a (b + c − a ) 2 + b(c + a − b) 2 + c(a + b − c) 2 + (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) N = a (m − a )2 + b(m − b)2 + c(m − c) 2 − abc , víi 2m = a+ b + c. Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: a ) A = (a + b + c)(ab + bc + ca ) − abc. b) B = a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 . c)C = ab(a + b) − bc(b + c) + ac( a − c). d ) D = (a + b)(a 2 − b 2 ) + (b + c)(b 2 − c 2 ) + (c + a )(c 2 − a 2 ) e) E = a 3 (c − b 2 ) + b3 ( a − c 2 ) + c 3 (b − a 2 ) + abc( abc − 1). f ) f = a (b − c)3 + b(c − a )3 + c(a − b)3 . g )G = a 2b 2 (a − b) + b 2 c 2 (b − c) + a 2 c 2 (c − a). h) H = a 4 (b − c) + b 4 (c − a ) + c 4 ( a − b). V-Ph−ong ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö: a ) A = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 14 x + 3 b) B = 4 x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 + 2 x + 1 c)C = 3 x 2 + 22 xy + 11x + 37 y + 7 y 2 + 10 d ) D = x 4 − 7 x 3 + 14 x 2 − 7 x + 1 e) E = x 4 − 8 x + 63 B i tËp: VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau th nh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b v P = ab, th× a2 + b2 = S 2 - 2P ; a3 + b3 = S 3 - 3SP . V× vËy : A = x3 – 3( S 2 - 2P )x + 2( S 3 - 3SP ) = (x 3 - S 3 ) - (3S 2 x - 3S 3 ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x 2 + Sx + S 2 ) - 3S 2 (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x 2 + Sx - 2S 2 + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau th nh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; 7
  8. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí 6 5 4 3 2 e) x + 3x + 4x + 4x + 4x + 3x + 1. f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + 1 ; h) x12 + 1 ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. 4. Chuyªn ®Ò: X¸c ®Þnh ®a thøc * §Þnh lÝ Beout (BªZu) v øng dông: 1) §Þnh lÝ BªZu: D− trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x) = ( x − a)q( x) + f (a) (Beout, 1730 - 1783, nh to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a l nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. ¸p dông: §Þnh lÝ BªZu cã thÓ dïng ®Ó ph©n tÝch mét ®a thøc th nh nh©n tö. Thùc hiÖn nh− sau: B−íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a n o ®ã v thö xem x = a cã ph¶i l nghiÖm cña f(x) kh«ng. B−íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: f ( x) = ( x − a) p( x) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a. B−íc 3: TiÕp tôc ph©n tÝch p(x) th nh nh©n tö nÕu cßn ph©n tÝch ®−îc. Sau ®ã viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ. D¹ng 1: T×m ®a thøc th−¬ng b»ng ph−¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè(ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh), ph−¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc. *Ph−¬ng ph¸p1: Ta dùa v o mÖnh ®Ò sau ®©y : NÕu hai ®a thøc P(x) v Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau. VÝ dô: P( x) = ax 2 + 2bx − 3 ; Q ( x) = x 2 − 4 x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph−¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) v Q(x) tháa m n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th−¬ng v d− trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l−ît l M(x) v N(x) Khi ®ã ta cã: P( x ) = Q( x).M ( x) + N ( x) (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I) V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : x = α ( α l h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph−¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th−¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d−). VÝ dô: B i 1(PhÇn b i tËp ¸p dông) Gäi th−¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 l Q(x), ta cã: a 2 x 3 + 3ax 2 − 6 x − 2a = ( x + 1).Q( x ) . 8
  9. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí Vì ñ ng th c ñúng v i m i x nên cho x = -1 ta dư c: a = −2 − a 2 + 3a + 6 − 2a = 0 ⇒ −a 2 + a + 6 = 0 ⇒   a=3 V i a = -2 thì A = 4 x − 6 x − 6 x + 4, Q( x) = 4 x 2 − 10 x + 4 3 2 V i a = 3 thì A = 9 x 3 + 9 x 2 − 6 x − 6, Q( x) = 9 x 2 − 6 *Ph−¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh− SGK) B i tËp ¸p dông Bài 1: Cho ña th c A( x) = a x + 3ax 2 − 6 x − 2a(a ∈ Q) . X¸c ñ nh a sao cho A(x) chia h t 2 3 cho x + 1. B i 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) = x 4 − x 3 − 2 x − 4 th nh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x 2 + dx + 2 B i 3: Víi gi¸ trÞ n o cña a v b th× ®a thøc : x 3 + ax 2 + 2 x + b chia hÕt cho ®a thøc: x 2 + x + 1 . H y gi¶i b i to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. B i 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ó ®a thøc: f ( x ) = x 4 − 9 x 3 + 21x 2 + x + k chia hÕt cho ®a thøc: g ( x) = x 2 − x − 2 . Bài 5: Tìm t t c các s t nhiên k ñ cho ña th c: f (k ) = k 3 + 2k 2 + 15 chia h t cho nh th c: g (k ) = k + 3 . Bài 6: V i giá tr nào c a a và b thì ña th c: f ( x ) = x 4 − 3x 3 + 3x 2 + ax + b chia h t cho ña th c: g ( x) = x 2 − 3x + 4 . Bài 7: a) Xác ñ nh các giá tr c a a, b và c ñ ña th c: P( x) = x 4 + ax 2 + bx + c Chia h t cho ( x − 3)3 . b) Xác ñ nh các giá tr c a a, b ñ ña th c: Q ( x) = 6 x 4 − 7 x 3 + ax 2 + 3x + 2 chia h t cho ña th c M ( x) = x 2 − x + b . c) Xác ñ nh a, b ñ P( x) = x 3 + 5 x 2 − 8 x + a chia h t cho M ( x) = x 2 + x + b . Bài 8: Hãy xác ñ nh các s a, b, c ñ có ñ ng th c: x 3 − ax 2 + bx − c = ( x − a )( x − b )( x − c ) (ð h c t t ð i s 8) Bài 9: Xác ñ nh h ng s a sao cho: a) 10 x 2 − 7 x + a chia h t cho 2 x − 3 . b) 2 x 2 + ax + 1 chia cho x − 3 dư 4. c) ax 5 + 5 x 4 − 9 chia h t cho x − 1 . Bài 10: Xác ñ nh các h ng s a và b sao cho: a) x 4 + ax 2 + b chia h t cho x 2 − x + 1 . b) ax 3 + bx 2 + 5 x − 50 chia h t cho x 2 + 3x + 10 . c) ax 4 + bx 2 + 1 chia h t cho ( x − 1) 2 . d) x 4 + 4 chia h t cho x 2 + ax + b . Bài 11: Tìm các hăng s a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x − 3 thì dư -5. Bài 12: Tìm các h ng s a, b, c sao cho ax 3 + bx 2 + c chia h t cho x + 2 , chia cho x 2 − 1 thì dư x + 5 . (M t s v n ñ phát tri n ð i s 8) 9
  10. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí Bài 13: Cho ña th c: P( x) = x 4 + x 3 − x 2 + ax + b và Q ( x) = x 2 + x − 2 . Xác ñ nh a, b ñ P(x) chia h t cho Q(x). Bài 14: Xác ñ nh a và b sao cho ña th c P( x) = ax 4 + bx 3 + 1 chia h t cho ña th c Q ( x) = ( x − 1) 2 Bài 15: Cho các ña th c P( x) = x 4 − 7 x 3 + ax 2 + 3 x + 2 và Q ( x) = x 2 − x + b . Xác ñ nh a và b ñ P(x) chia h t cho Q(x). (23 chuyên ñ toán sơ c p) D ng 2: Phương pháp n i suy NiuTơn Phương pháp: ð tìm ña th c P(x) b c không quá n khi bi t giá tr c a ña th c t i n + 1 ñi m C1 , C 2 , C 3 , L , C n +1 ta có th bi u di n P(x) dư i d ng: P ( x) = b0 + b1 ( x − C1 ) + b2 ( x − C1 )( x − C 2 ) + L + bn ( x − C1 )( x − C 2 ) L ( x − C n ) B ng cách thay th x l n lư t b ng các giá tr C1 , C 2 , C3 , L, C n +1 vào bi u th c P(x) ta l n lư t tính ñư c các h s b0 , b1 , b2 , L, bn . B i tËp ¸p dông Bài 1: Tìm ña th c b c hai P(x), bi t: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = −9 . Gi i ð t P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) (1) b0 = 25 Thay x l n lư y b ng 0; 1; 2 vào (1) ta ñư c: 7 = 25 + b1 ⇔ b1 = −18 − 9 = 25 − 18.2 + b2 .2.1 ⇔ b2 = 1 V y, ña th c c n tìm có d ng: P ( x) = 25 − 18 x + x( x − 1) ⇔ P ( x) = x 2 − 19 x + 25 . Bài 2: Tìm ña th c b c 3 P(x), bi t: P(0) = 10, P (1) = 12, P (2) = 4, P(3) = 1 Hư ng d n: ð t P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) + b3 x ( x − 1)( x − 2) (1) Bài 3: Tìm ña th c b c ba P(x), bi t khi chia P(x) cho ( x − 1), ( x − 2), ( x − 3) ñ u ñư c dư b ng 6 và P(-1) = - 18. Hư ng d n: ð t P( x) = b0 + b1 ( x − 1) + b2 ( x − 1)( x − 2) + b3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) (1) P ( −1) = 0 Bài 4: Cho ña th c b c b n P(x), th a mãn: P ( x) − P ( x − 1) = x( x + 1)( 2 x + 1), (1) a) Xác ñ nh P(x). b) Suy ra giá tr c a t ng S = 1.2.3 + 2.3.5 + K + n(n + 1)(2n + 1), (n ∈ N * ) . Hư ng d n: Thay x l n lư t b ng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta ñư c : P(−1) − P(−2) = 0 ⇔ P(−2) = 0, P(0) − P(−1) = 0 ⇔ P(0) = 0 P(1) − P(0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = 6 P(2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P(2) = 36 ð t P( x) = b0 + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x − 1) + b4 ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) (2) Thay x l n lư t b ng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta ñư c: 10
  11. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí 0 = b0 0 = b1 ⇔ b1 = 0, 6 = b2 .2.1 ⇔ b2 = 3, 36 = 3.3.2 + b3 .3.2.1 ⇔ b3 = 3 1 0 = 3.(−1)(−2) + 3.(−1)(−2)(−3) + b4 (−1)(−2)(−3)(−4) ⇔ b4 = 2 V y, ña th c c n tìm có d ng: 1 1 P( x) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x( x − 1) + ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) = x( x + 1) 2 ( x + 2) 2 2 (Tuy n ch n bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho ña th c P( x) = ax 2 + bx + c, (a, b, c ≠ 0) . Cho bi t 2a + 3b + 6c = 0 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) . 1   2 2) Ch ng minh r ng: P(0), P , P(1) không th cùng âm ho c cùng dương. 1   2 P(0) = 19 Bài 6: Tìm m t ña th c b c hai, cho bi t: P(1) = 85 P(2) = 1985 BiÓn 5. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi ph©n thøc h÷u tØ VÝ dô 1. 3n + 1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè l ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; 5n + 2 n2 + 4 b) Cho ph©n sè A = (n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao n+ 5 cho ph©n sè A ch−a tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay 1 Μ d ⇒ d = 1. 3n + 1 VËy ph©n sè l ph©n sè tèi gi¶n. 5n + 2 29 29 b) Ta cã A = n - 5 + . §Ó A ch−a tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i ch−a tèi n+ 5 n+ 5 gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c −íc d−¬ng lín h¬n 1 cña 29. V× 29 l sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 Μ 29 ⇒ n + 5 =29k (k ∈ N) hay n=29k – 5. Theo ®iÒu kiÖn ®Ò b i th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} 11
  12. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m n ®iÒu kiÖn ®Ò b i. Tæng cña c¸c sè n y l : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690. 1 1 1 1 VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 v a + b + c ≠ 0 tháa m n ®iÒu kiÖn + + = . a b c a+ b+ c Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng : 1 1 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 . a b c a + b + c2009 2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã : + + = ⇔ + + - =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab ⇔ + = 0 ⇔ (a + b). =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) é + b= 0 a é=- b a ê ê ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔ ê + c = 0 ⇔ ê = - c ⇒ ®pcm. b b ê ê ê + a= 0 c ê=- a c ë ë 1 1 1 1 1 1 1 Tõ ®ã suy ra : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + 2009 + 2009 = 2009 a b c a (- c) c a 1 1 1 2009 2009 2009 = 2009 2009 2009 = 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 . a b c a + b + c2009 2009 VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc : 1 æ ç 1 + 1 ÷+ ö 3 æ ç 1 + 1 ÷+ ö 6 æ 1ö ç1 + ÷. A= 3ç 3 ÷ 3÷ 4ç 2 ÷ 2÷ 5ç ÷ ÷ (a + b) ça è b ø (a + b) ça è b ø (a + b) ça b ø è Lêi gi¶i §Æt S = a + b v P = ab. Suy ra : a + b2 = (a + b)2 – 2ab = S 2 - 2P 2 a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S 3 - 3SP . 1 1 a+ b S 1 1 a 2 + b 2 S 2 - 2P Do ®ã : + = = ; 2+ 2= = ; a b ab P a b a2b2 P2 1 1 a 3 + b 3 S 3 - 3SP + = = . a 3 b3 a 3b3 P3 1 S 3 - 3SP 3 S 2 - 2P 6 S Ta cã : A = 3 . + 4. + 5. S P3 S P2 S P = S - 3P 3(S 2 - 2P) 2 6 (S 4 - 3S 2 P) + (3S 2 P - 6P 2 ) + 6P 2 S4 + + 4 = = 4 3 S 2 P3 S4P2 S P S4P3 S P 1 1 Hay A = 3 = 3 3 . P ab 12
  13. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí VÝ dô 4. Cho a, b, c l ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc v o gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + . (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch 1 x 2 - (a + b)x + ab x 2 - (b + c)x + bc x 2 - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2 – Bx + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) C 1 1 1 víi : A = + + ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c Ta cã : A = = 0; (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) b 2 - a 2 + c2 - a 2 + a 2 - c2 B= = =0 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) ; ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) C= = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = 1. (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1∀x (®pcm). C¸ch 2 §Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) l ®a thøc cã bËc kh«ng v−ît qu¸ 2. Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c l ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu n y chØ x¶y ra khi v chØ khi P(x) l ®a thøc kh«ng, tøc l P(x) = 0 ∀x. Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm. 1 VÝ dô 9. Cho x + = 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x 2 + 2 ; b) B = x 3 + 3 ; c) C = x 4 + 4 ; d) D = x 5 + 5 . x x x x Lêi gi¶i 2 2 1 æ 1ö çx + ÷ - 2 = 9 - 2 = 7 ; a) A = x + 2 = ç ÷ ÷ x ç è xø 13
  14. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí 3 3 1 æ 1ö æ 1ö b) B = x + 3 = çx + ÷ - 3çx + ÷= 27 - 9 = 18 ; ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ x ç è xø ç è xø 2 4 1 æ2 1 ö ÷ c) C = x + 4 = ç çx + ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ; x ç è x2 ø ÷ æ 1 öæ 1ö 1 1 d) A.B = çx 2 + 2 ÷çx 3 + 3 ÷= x 5 + + x + 5 = D + 3 ⇒ D = 7.18 – 3 = 123. ç ÷ç ÷ç ÷ ÷ ç è x ø è x ø x x 2 ax + b c VÝ dô 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho : 2 = 2 + . (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x 2 + 1) (a + c)x 2 + (b - a)x + (c - b) + = = x2 + 1 x - 1 (x 2 + 1)(x - 1) (x 2 + 1)(x - 1) 2 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc 2 , ta ®−îc : (x + 1)(x - 1) ìa+ c= 0 ìa= - 1 ï ï ï ï ï ï 2 - x- 1 1 í b - a = 0 Û í b = - 1 . VËy 2 = 2 + . ï ï c- b = 2 ï c= 1 ï (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 ï ï î ï ï î 6. Chuyªn ®Ò: Gi¶i ph−¬ng tr×nh I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình ñưa v d ng (1) *Cách gi i: (Bi n ñ i và ñưa h t v m t v sau ñó rút g n thành d ng ax+b=0) TH1:a=0 n u b ≠ 0 thì phương trình (1)vô nghi m n u b=0 thì phương trình (1) vô s nghi m −b TH2:a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghi m duy nh t x= a 14
  15. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí *Ví d : a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (bi n ñ i và chuy n v m t v ) b2: -4x+12=0 (rút g n v d ng ax+b=0) −12 b3: x= =3 −4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) ⇔ 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 ⇔ x+3,8=0 ⇔ x= -3,8 *Các bài t p tương t : a)7x+21=0 b)12-6x=0 c)5x-2=0 d)-2x+14=0 e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 4 5 1 −5 2 g) x − = h) x + 1 = x − 10 3 6 2 9 3 i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0 n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) x −3 1 − 2x p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) = 6− 5 3 3x − 2 3 − 2( x + 7) v) 2  x +  = 5 −  + x   13 3    w) −5 =  5 5  6 4 7x 20 x + 1,5 5( x − 1) + 2 7 x − 1 2(2 x + 1) s) − 5( x − 9) = y) − = −5 8 6 6 4 7 II/Phương trình tích: A = 0 *Cách gi i: Pt:A.B=0 ⇒  (A=0 (1) B=0 (2) ) B = 0 Ta có pt (1),(2) là phương trình b c nh t cách gi i tương t ph n trên (Chú ý các phương trình chưa có d ng A.B=0 ta ñưa v d ng A.B=0 b ng cách phân tích thành nhân t ) *Ví d : a)(4x-10)(24+5x)=0  4 x − 10 = 0 (1) ⇔  24 + 5 x = 0 (2) 10 5 −24 T (1) x= = (2) ⇒ x= 4 2 5 10 5 −24 V y phương trình có 2 nghi m x= = ho c x= 4 2 5 b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) 15
  16. eBook.here.vn - Onbai.org T i eBook, ð thi, Tài li u h c t p mi n phí ⇔ (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 ⇔ (x-1)(2x+11)=0  x −1 = 0 ⇔ x =1 ⇔   2 x + 11 = 0 ⇔ x = −11  2 *Các bài t p tương t : 2( x + 3) 4 x − 3  a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)   − =0  7 5  7 x + 2 2(1 − 3 x)  c)(3,3-11x)  + =0 d) ( 3 − x 5)(2 x 2 + 1) = 0  5 3  e) (2 x − 7 )( x 10 + 3) = 0 f) (2 − 3x 5)(2,5 x + 2) = 0 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0 r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0 t)2x2+5x+3=0 y) ( x − 2 ) + 3( x 2 − 2) = 0 16
Đồng bộ tài khoản