Chuyên đề bòi dưỡng toán lớp 6

Chia sẻ: nhutrungduc

1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào. 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø. 3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là AÌB hay BÉ A. Nếu AÌB và BÉ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề bòi dưỡng toán lớp 6

Chuyªn ®Ò 1:
Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể
không có phần tử nào.
2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập h ợp A gọi là
tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A.
Nếu A ⊂ B và B ⊃ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.

Ví dụ 4. Cho hai tập hợp
A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10};
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp con của tập h ợp A v ừa là t ập h ợp con
của tập hợp B.
c) Dùng kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ giữa tập hợp A,B và tập hợp nói trong
câu b). Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó.
Giải. a) Tập hợp A có 3 phần tử , tập hợp B có 6 phần tử.
b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì vậy chỉ có một tập
hợp C vừa là tập hợp con của tập hợp A ,vừa là tập hợp con của tập hợp B: C = {5}.
c) C ⊂ A và C ⊂ B. biểu diễn bởi hình vẽ:
Bài tập:
1. Cho hai tập hợp
M = {0,2,4,…..,96,98,100};
Q = { x ∈ N* | x là số chẵn ,x 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên
a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6.
Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}.
ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 .
Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng bằng 36.
Giải. Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b . vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) =
1. theo đề bài tổng của hai số bằng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12.
như vậy ta phải tìm các cặp số c,d có tổng bằng 12 và (c,d) = 1 . các cặp số đó là 1 và 11 ; 5 và
7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 hoặc ngược lại.

Bài tập:
1. Viết các tập hợp :
a) ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35);
b) BC(8,12,24); BC(5,15,35);
2. Tìm giao của hai tập hợp :
A = { n ∈ N : n là ước của 18}
B = { m ∈ N : m là ước của 36}.
3. Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43.
4. Có 100 quyển vở và 90 bút bi. Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số vở và bút thành một số
phần thưởng như nhau gôm cả vở và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thì
còn lại 4 quyển và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh.tính sô học sinh được
thưởng?.
5. Gọi G là tập hợp các số là bội của 3 ; H là tập hợp các số là bội của 18. tìm G ∩ H.
6. Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng
chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách
trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó.

Bài tập cñng cè.
1. Tìm ƯCLN của ác số có 9 chữ số được viết bởi các chữ số 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và
trong mỗi số các chữ số đều khác nhau.
2. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 66 , ƯCLN của chúng bằng 12.
3. Tìm 2 số tự nhiên ,biết tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của chúng bằng 6.
4. Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ
sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ.
5. Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như
nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có
bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?.
6. Biết rằng 3n + 1 và 5n + 4 ( n ∈ N) là 2 số không nguyên tố cùng nhau .tìm ƯCLN của 2
số trên.

Bội chung nhỏ nhất
Tiết 18.
1.BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác o trong tập hợp các bội chung của
các số đó.
2. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số , ta thực hiện 3 bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.tích đó
là BCNN phải tìm.
Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là
tích của các số đó.
Trong các số đã cho nếu số lơn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã
cho là số lơn nhất đó.
3.Muốn tìm bôi chung của hai hay nhiều số , ta tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư.
a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên.
b) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên.
Giải.
a) Gọi x là số phải tìm thì x – 1  ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6.
BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60
Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,…
Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301.
b) Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n ∈ N*) và x  7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4
(n + 2). Vì 7.8n  7 ,do đó để x  7 thì phải có 4(n + 2)  7 hay n + 2 7 . dặt n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k ∈
N*).
x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, …

Bài tập.
1. Tìm BCNN của ba số sau : số nhỏ nhất có hai chữ số ,số lớn nhất có ba chữ số và số nhỏ nhất có bốn
chữ số.
2. Có thể chỉ dung một chữ số 2 để lập các số có dạng : 2, 22, 22,222,.. sao cho số đó:
a) là bội của 5 được không?
b) Là bội của 9 được không?
2. Tìm BCNN(30 , 45) và ƯCLN(30 ,45) . thử lại rằng tích của BCNN (30 , 45) và ƯCLN(30 , 45) bằng tích
của hai số 30 và 45.
3. Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần ,
Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một
ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật
mấy lần?
4. Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được
số chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào?




Cộng hai số nguyên cùng dấu.
.
Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng rồi đặt
trước kết quả dấu của chúng

Ví dụ. tính tổng các số nguyên x biết:
a) - 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 .
Giải . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10)
+ (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)
= - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55
b) 5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . tổng phải tìm là
B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90.
Bài tập:
1. So sánh :
a) │3 + 5│ và │3│ + │5│;
b) │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│;
Từ đó rút ra nhận xét gì về │a + b│ và │a│ + │b│ với a , b ∈ Z.
2. Điền dấu < , > vào ô trống một cách thích hợp:

a) 7 + │- 23│ 15 + │- 33│

b)│- 11│ + 5 │- 8│ + │- 2│

c) │- 21│+│- 6│ -7
3. Tìm x ∈ Z biết :
a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│
b) │- 3│ + │- 7│ = x + 3
c) 8 +│x│ = │- 8│+ 11;
d) │x│ + 15 = - 9
4. Tìm các cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 5.
5. Cho 1 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tổng của 31 số đó là số
nguyên dương?




Cộng hai số nguyên khác dấu.
1. Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0 .
2. Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng
(số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Với mọi số nguyên a ta có a + 0 = 0 + a = a.

Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) trong đó dấu * chỉ dấu “ + “ hoặc dấu “ –“ . hãy xác định dấu của các số
hạng để tổng bằng:
a) 22 ; b) – 22 ; c) 8 ; d) - 8 .
Giải . Trong câu a và b , giá trị của tổng bằng tổng các giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai
số nguyên cùng dấu . dấu của tổng là dấu chung của hai số hạng đó, ta có :
a) (+ 15) + (+7) = 22;
b) (- 15) + (- 7) = - 22
Trong câu c và d , giá trị tuyệt đối của tổng bằng hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng
hai số nguyên khác dấu. dấu của tổng là dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có:
c) (+ 15) + (- 7) = 8;
d) (- 15) + (+ 7) = - 8.

Bài tập.
1. Tính tổng │a│ + b , biết:
a) a = - 117 , b = 23;
b) a = -375 , b = - 725;
c) a = - 425 , b = - 425 .
2. Tìm x ∈ Z , biết :
a) x + 15 = 105 + ( - 5);
b) x – 73 = (- 35) + │- 55│;
c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│.
3. thay dấu * bằng chữ số thích hợp :
a) ( - *15) + ( - 35) = - 150;
b) 375 + ( - 5*3) = - 288;
c) 155 + ( - 1**) = 0.
4. Tính tổng của hai số nguyên:
a) Liền tiếp và liền sau số + 15;
b) Liền trước và liền sau số - 37;
c) Liền trước và liền sau số 0;
d) Liền trước và liền sau số a.
5.a) Viết số - 7 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 10.
b) Viết số - 15 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 20.




Tính chất của phép cộng các số nguyên.
Tính chất giao hoán : với mọi a , b ∈ Z : a + b = b + a.
1.
Tính chất kết hợp: với mọi a , b ∈ Z : a + ( b + c) = (a + b) + c.
2.
Cộng với số 0 : với mọi a ∈ Z : a + 0 = 0 + a = a.
3.
4. Cộng với số đối : tổng của hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: : với mọi a
∈ Z : a + ( - a) = 0 .
Nếu tổng của hai số nguyên bằng o thì chúng là hai số đối nhau : : với mọi a , b ∈
Z : a + b = 0 thì a = - b bà b = - a.


ví dụ: Tính tổng của số nguyên x , biết:
a) - 10 < x < 10 ;
b) - 10 < x ≤ 10 .
Giải. a) Các số nguyên x thỏa mãn - 10 < x < 10 là x = - 9 , - 8 , -7 ,….., 7 , 8 ,9.
Tổng của các số nguyên đó là:
S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + …+ 7 + 8 + 9 = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] …= 0.
b) Tương tự a) , tổng bằng 10.
Bài tập.
1. Tính :
a) A = 1 + (-3) + 5 + ( - 7) +….+ 17 + ( -19);
b) B = (- 2) + 4 + (-6) + 8 + …+ ( - 18) + 20;
c) C = 1 + (-2) + 3 + (-4) + ….+ 1999 + ( - 2000) + 2001;
2. Tính tổng các số nguyên x , biết:
a) – 50 < x ≤ 50;
b) - 100 ≤ x < 100.
3. Hãy điền các số : 0 , - 2 , 2, - 4 , 4 ,- 6 , 6, 8 , 10 vào các ô của bảng 3.3 = 9 ô vuông ( mỗi số một ô) sao cho
tổng ba số trên mỗi hàng ngang , mỗi hàng dọc , mỗi đường chéo đều bằng nhau.
4. Cho các số : - 2 , -4 , - 5 , - 6 , 7, 9 , 11. hãy sắp xếp các số trên sao cho có một số đ ặt ở tâm vòng tròn , các
số còn lại nằm ở trên đường tròn đó và cứ ba số bất kí trong các số trên đều nằm trên một đường thẳng mà
tổng của chúng bằng nhau và bằng 0.
5. Viết tất cả các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 50 theo thứ tự tùy ý. Sau dod cứ mỗi số
cộng với số chỉ thứ tự của nó để được một tổng. hãy tính tổng của tất cả các tổng tìm được.



Quy tắc dấu ngoặc.
1. Quy tắc dấu ngoặc : khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu
tất các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ - “ thành dấu “
+ “ . Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn
giữ nguyên.
2. Tổng đại số: trong một tổng đại số ta có thể :
- Thay đổi tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng;
- Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu đằng
trước dấu ngoặc là dấu “ – “ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc
Ví dụ. Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51.
Giải. áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất của tổng đại số ta có:
A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51)
A = - 120 – 80 = - 200.
Bài tập.
1. Tính nhanh:
a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999);
b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 );
c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440).
2. Tìm số nguyến x , biết :
a) 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289)
b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415);
c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746.
3. Tính giá trị của biểu thức a – b – c , biết:
a) a = 45 , b = 175 , c = - 130;
b) a = - 350, b = - 285, c = 85;
c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250.
4. Cho n số nguyên bất kì : a1, a2 ,…,an. chứng tỏ rằng S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+….+│an-1 + an│+│an – a1│
là một số chẵn.
5. Cho 15 số tự nhiên khác nhau và khác 0 , trong đó mỗi số không lớn hơn 28. Chứng tỏ rằng trong 15 số
dã cho bao giờ cũng tìm được ít nhất một nhóm gồm 3 số mà số này bằng tổng của hai số còn lại hoặc
một nhóm gồm 2 số mà số này gấp đôi số còn lại.



Quy tắc chuyển vế.
1. Tính chất của đẳng thức : khi biến đổi các đẳng thức ta thường áp dụng các
tính chất sau:
Nếu a = b thì a + c = b + c;
Nếu a + c = b + c thì a = b;
Nếu a = b thì b = a .
2. Quy tắc chuyển vế : khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một
đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “
thành dấu “ + “.

Ví dụ: Tìm x ∈ Z , biết :
a) 3 – x = (- 21) – ( - 9) , hay 3 – x = -21 + 9 hay 3 – x = - 12 , do đó x = 3 + 12 = 15.
b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16.
Bài tập:
1. Tìm y ∈ Z , biết :
a) y + 25 = - 63 – ( - 17);
b) y + 20 = 95 _ 75;
c) 2y – 15 = -11 – ( - 16);
d) - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26).
2. Cho ba số - 25; 15; x (x ∈ Z). tìm x , biết :
a) Tổng của ba số trên bằng 50;
b) Tổng của ba số trên bằng - 35;
c) Tổng của ba số trên bằng – 10.
2. Cho x , y ∈ Z . Hãy chứng minh rằng:
a) nếu x – y > 0 thì x > y ;
b) nếu x > y thì x – y > 0.
3. Cho a ∈ Z. tìm số nguyên x biết:
a) a + x = 11 ;
b) a – x = 27.
Trong mỗi trường hợp hãy cho biết với giá trị nào của a thì x là số nguyên dương, số nguyên am , số 0?
4. Cho a∈ Z. tìm x ∈ Z biết
a) │x│= a ;
b) │x + a│ = a.



bội và ước của một số nguyên.
1. Bội và ước của một số nguyên : cho a , b∈ Z và b≠ 0 . nếu có số nguyên q sao
cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. ta còn nói a là bội của b va b là ước của a.
Chú ý :
• Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được q và viết a : b = q.
• Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.
• Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
• Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên.
2. Tính chất:
• Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c :
a  b và b  c ⇒ a  c.
• Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b :
∀ m ∈ Z ta có a  b ⇒ a = am b.

• Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết
cho c
a  c và b  c ⇒ ( a + b )  c và ( a – b )  c.


Ví dụ . Tìm số nguyên n , sao cho: (n - 6)  ( n – 1 ).

Giải . (n - 6)  ( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5]  ( n – 1 ) suy ra ( - 5)  ( n – 1 ) hay (n – 1) là ước của ( - 5). Do đó:

• Nếu n – 1 = -1 thì n = 0;

• Nếu n – 1 = 1 thì n = 2;

• Nếu n – 1 = - 5 thì n = -4;

• Nếu n -1 = 5 thì n = 6.

Thử lại:

• Với n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6)  ( - 1);

• Với n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4)  1;

• Với n = -4 thì n – 6 = - 10 , n- 1 = -5 và (– 10)  ( - 5);

• Với n = 6 thì n – 6 = 0 , n- 1 = 5 và 0  5;

vậy n = - 4 , 0 , 2 ,6.

Bài tập

1. Chứng tỏ rằng :

a) Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3;

b) Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5.

2. Có hay không một hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs bằng 111…11 ;
( 2001 chữ số 1)?

3. Tìm số nguyên n sao cho:

a) (3n + 2)  ( n – 1 ).

b) (3n + 24)  ( n – 4 ).

c) (n2 + 5)  ( n + 1 ).

4. Cho x, y là các số nguyên . chứng tỏ rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y cũng chia hết cho 31.
điều ngược lại có đứng không?

5. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n thì :

a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9;
b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;




Phân số bằng nhau.
a c
Hai phân số gọi là bằng nhau nếu : a. b = c. d.

b d


Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48.

Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24.

3 12
Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số (1). Để lập các cặp phân số bằng nhau
=
6 24
khác ta làm như sau:

24 12
• Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số = .
6 3

3 6
• Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số = .
12 24

24 6
• Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số =.
12 3

Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau.

Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa.

Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau:

3 12 24 12 3 6 24 6
= ; = ; = ; =;
6 24 6 3 12 24 12 3

3 48 48 24 3 6 48 6
= ; = ; = ; =;
6 24 6 3 24 48 24 3

6 24 48 24 6 12 48 12
= ; = ; = ; = ;
12 48 12 6 24 48 24 6

2 y
Ví dụ. Tìm các cặp số nguyên x, y biết : = .
−3
x

2 y
Giải. Từ = , suy ra xy = - 6.
−3
x

Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cả các cách phân tích số -6 dước dangjtichs của hai số nguyên:

( - 6) = ( - 1).6 = 6 .( -1) = ( -2) .3 = ( - 3) .2.
Vì vai trò của x , y như nhau nên có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài :



x -1 6 1 -6 2 -3 -2 3

y 6 -1 -6 1 -3 2 3 -2

Bài tập.

1.Viết các phân số sau dưới dạng phân số co mẫu dương:

− 22 − 11 − 51
3
; ; ; ;
− 37 − 19 − 39 − 57

2.Tìm các số nguyên x,y biết:

−3
7 x x
x 5
a) = ; b) = ; c) = .
y − 1 − 19
y y
3 11

3. Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết :

x −y −t
12 z
== = = .
−6 − 17 − 9
5 3

4
− 24 x z3
4.Tìm các số nguyên x, y , z biết : = = 2= .
−6 3y −2

5. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong sáu số sau :

- 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15.

6. Tìm các số tự nhiên a , b , biết rằng a ,b là các số nguyên tố cùng nhau

a + 7b 29
và = .
a + 5b 28



Rút gọn phân số.
1. Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một
số ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian
hơn.

a
2. Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số
b
tối giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau.
5n + 3
là phân số tối giản với ∀ n ∈ N.
Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số
3n + 2

5n + 3
Vì n ∈ N , nên 5n + 3 ∈ N* và 3n + 2 ∈ N* . do vậy để chứng minh phân số là phân số tối giản với ∀ n ∈
3n + 2
N. at phải chứng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d ∈ N và d≥ 1) , ta có 5n + 3  d và 3n + 2  d , do đó 3(5n + 3)  d và 5(3n
5n + 3
+ 2)  d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3)  hay 15n + 10 – 15n – 9 d , hay 1 d , do đó d = 1 .vậy phân số là
3n + 2
phân số tối giản với ∀ n ∈ N.

− 188887
Vì dụ . tìm phân số bằng phân số , biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6.
211109

− 188887 − 17 − 17 k
(k ∈ Z , k ≠ 0).
Giải . ta có: . Các phân số pahir tìm có dạng
=
211109 19 19k

Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3.

− 17.3 − 51
Vậy phân số phải tìm là : =
19.3 57

Bài tập

(−2) 3 .33.5 5.7.8
2 3.3
1. Rút gọn các phân số sau: a) b)
2 2.3 2.5 3.2 4.5 3.14

2. Rút gọn các phân số sau:

5 2.611.16 2 + 6 2.12 6.15 2 25 28 + 25 24 + ... + 25 4 + 1
a) ; b)
2.612.10 4 − 812.960 3 25 30 + 25 28 + ... + 25 2 + 1

3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:

15n + 1 n 3 + 2n
a) b) 4 .
30n + 1 n + 3n 2 + 1

18n + 3
4. Tìm tất cả các số nguyên để phân số là phân số tối giản.
21n + 7

13
5. a) Cho phân số . Phải them vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân
9
5
số ?
7
19
b) Cho phân số . Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số
44
22
?
47

6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần lượt bằng : 2 ,3, 4,
5,6 ,7 , 8, 9.

a
7. Tìm phân số tối giản , biết:
b

a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho;

b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho.

8. Tìm phân số , biết :

9
a) Phân số đó bằng phân số và BCNN của tử và mẫu là 360;
20

20
b) Phân số đó bằng phân số và ƯCLN của tử và mẫu là 36.
39

a 1
9. Tìm phân số , biết rằng phân số đó bằng phân số .
6a
ab

5n 2 + 1 n n
là số tự nhiên với n ∈ N thì cá phân số
10. Chứng tỏ rằng nếu phân số là các phân số tối

2 3
6
giản.




Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:

Bước 1 : Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung.

Bươc 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng
mẫu).

Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.


Ví dụ. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số sau:
4.5 + 4.11 − 15.8 + 10.7 2 4.5 2.7
; và 3 .
8.7 − 4.3 5.6 + 20.3 2 .5.7 2.11

Giải. rút gọn các phân số:

4(5 + 11) 4.16 16
4.5 + 4.11
= = = ;
4(2.7 − 3) 4.11 11
8 .7 + 4 .3

− 5(3.8 − 2.7) − 5.10 − 10 − 5
− 15.8 + 10.7
= = = = ;
5(6 + 4.3)
5.6 + 20.3 5.18 18 9

2 4.5 2.7 2.2 3.5.5.7 2.5 10
=3 = = .
2 3.5.7 2.11 2 .5.7.7.11 7.11 77

16 − 5 10
Quy đồng mẫu ba phân số : ; ; .
11 9 77

Mẫu chung : 7.9.11 = 693.

Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9.

16 16.63 1008 − 5 − 5.77 − 385 10 10.9 90
Vậy : = = ; = = ; = = .
11 11.63 693 9 9.77 693 77 77.9 693

Bài tập:

1. Tìm mẫu chung của các phân số sau :

− 19 − 23
13 11
a) và ; b) 2 và
2 .3.5 2
2 4 2
3.7 2.13
2 .3 .5 .7 3 .7.11

2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém mẫu 3 đơn vị và có

a) BC của các tử là 210;

b) BC của các mẫu là 210;

c) BC của các tử và mẫu là 210;

3. Tìm các chữ số a , b ,c để:

36
a) Phân số = a + b;
ab

1000
b) Phân số = abc .
a+b+c

4. Cho ba phân số:

− 5 2 − 5.3 2 4 6.9 5 + 6 9.120 2929 − 101
; 4 12 ;
2.1919 + 404
5 3 + 5 2 .3 2 8 .3 − 611
Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số đó.

6. Tìm phân số có mẫu bằng 11 , biết rằng khi cộng tử với – 18, nhân mẫu với
7 thì được một phân số bằng phân số ban đầu.

8
7. a) Tìm phân số bằng phân số , có tích giữa tử và mẫu bằng 324;
18

b)Tìm phân số biết tích của tử và mẫu là 550 và mẫu của phân số chỉ chứa các số nguyên tố 2 và 5.

So sánh phân số.
1. Với hai phân số cùng mẫu dương , ta có :

ac
a) Nếu a < c và b > 0 thì c và b > 0 thì >.
bb

2. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dưới dạng hai phân
số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn
hơn thì phân số đó lơn hơn.




Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

5 6
a) Có mẫu là 30 , lớn hơn và nhỏ hơn .
17 17

2 1
b) Có mẫu là 5 , lớn hơn và nhỏ hơn .
−3 −6

Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn.

a
, trong đó a ∈ Z., ta có:
Giải. a) Gọi phân số cần tìm là
30

5 a 6 150 17 a 180
, quy đồng mẫu chung của ba phân số ta được :
< < < < ; suy ra 150 < 17a < 180 ,
17 30 17 510 510 510
9 3 10 1
do đó 8 < a < 11 , mà a ∈ Z. nên a = 8 ,10. vậy có hai phân số thỏa mãn đề bài : = ; =.
30 10 30 3

5 31 6
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : <
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản