CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA

Chia sẻ: lotus_4

Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu mn thì aman (a1). + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu ab thì anbn ( n0). 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn...

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu m>n thì am>an (a>1).

+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu a>b thì an>bn ( n>0).

2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu
của phép nhân.
(a 49 nên 27 > 72
Hướng dẫn :
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540. Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 95 = (32)5 = 310
a) Ta có:
260.545 273 = (33 )3 = 39
b) 339 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72 45-7244và 72 44-7243. 2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
Hướng dẫn:
c, 3500 và 7300
7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
7244-7244=7244(72-1)=7244.71.
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300
d, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 85 < 3 . 4 7
e, 202303 và 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Ta so sánh 2023 và 3032
2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 =>
3032 < 2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012
vậy 303202 < 2002303
f, 321 và 231
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810
3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660
371320 = (372)660 = 1369660
Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979
Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315
và B = (35)3 = 315 Vậ y A = B
b/ A = 2 300 và B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714
Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
3111 < 1714
nên
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100 b) 333444 và 444333
c) 1340 và 2161 d) 5300 và 3453
Bài 2: So sánh các số sau
b) 2100 và 10249
a) 5217 và 11972
c) 912 và 27 7 d) 12580 và 25118
e) 540 và 62010 f) 2711 và 818
Bài 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124 b) 6255 và 1257
c) 32n và 23n (n  N * ) d) 523 và 6.522
Bài 4: So sánh các số sau
a) 7.213 và 216 b) 2115 và 275.498
d) 339 và 1121
c) 199 20 và 200315
Bài 5: So sánh các số sau
b) 2500 và 5200
a) 7245  7244 và 7244  7243 c) 3111 và 1714
d) 324680 và 237020 e) 21050 và 5450 g) 52 n và
25 n ; ( n  N )
Bài 6: So sánh các số sau
a) 3500 và 7300 b) 85 và 3.47 c) 9920 và
999910
e) 321 và 231 g) 111979 và
d) 202303 và 303202
371320
h) 1010 và 48.505 i) 199010  19909 và 199110
Bài 7: So sánh các số sau
b) 291 và 535 c) 544 và 2112
a) 10750 và 7375
Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
100
Muốn biết 2 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh
2100 với 1030
và 1031.
* So sánh 2100 với 1030
Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010
nên 2100 > 1030 (*)
* So sánh 2100 với 1031
Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Từ (*),( **) ta có:
1031 2100 < 1031

32
19  5 19  5
90 90
Suy ra 1 + > 1 + 32 Hay 19A > 19B Nên A > B
31
19  5 19  5
2 2 .(218  3)
218  3 2 20  12 9
2
b) A = 20 nên 2 . A = = 20 = 1 - 20
22
2 3 2 3
2 3 2 3
2 20
20 22
2 .(2  3)
2 3 2  12 9
nên 22.B =
B = 22 = 22 = 1- 22
22
2 3 2 3 2 3 2 3
9 9 9 9
Hay 22 A < 22
Vì 20 > 22 Suy ra 1 - 20 < 1- 22
2 3 2 3 2 3 2 3
B
Nên A < B
c) Ta có:
1  5  5 2  ...  5 9
A= =
1  5  5 2  ...  5 8
1  (5  5 2  ...  5 9 ) 1  5(1  5  5 2  ...  5 8 ) 1
   5  5 (1)
2 8 2 8
1  5  5  ...  5 8
2
1  5  5  ...  5 1  5  5  ...  5
1
Tương tự B = Từ (1) và (2) Ta có
 3  4 ( 2)
1  3  3  ...  3 8
2

1 1
A= +5>5>4> + 3 =B nên A > B
2 8
1  3  3  ....  3 8
2
1  5  5  ...  5


Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x  N biết
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bài giải:
a) 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = (x +1)2
3 3 3 3

( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2
2
 99  1  2
 1 = ( x - 2)

2 
502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y  N thoả mãn
73 = x2 - y2
73 = x2 - y2
Ta thấy:
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21

Bài 2: Tìm x  N* biết.
- 777 ...7 là số chính phương
A= 111....1
2 x c hữ s ố 1 x c hữ s ố 7
Bài giải:
+ Nế u x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nế u x > 1
= ......34  2
Ta có A = 111...1 - 777...7
2x chữ số 1 x chữ số 7 mà ...34  4
Suy ra A không phải là số chính phương ( loại)
Vậ y x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2. 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35x + 9  5 vì ( 35x  5 ; 9  5 )
Mà 2. 5y  5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y)
Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
2 100
A = 1 + 2 + 2 + ...+ 2
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100)
Vậy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2  22 ; 2  22  23 ; 2  22  23  24
b) Chứng minh rằng: A  2  22  23  .....  22004 chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 34  35  36  37
b) Chứng minh rằng: B  1  3  32  ....  399 M 40
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) S1  5  52  53  ...  52004 M6;31;156
2 3 100
b) S 2  2  2  2  ....  2 M 31
5 15
c) s3  16  2 M 33
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a) A  20  21  22  ....  22006 b) B  1  3  32  ....  3100
c) C  4  42  43  ....  4n d) D  1  5  52  ....  52000
Bài 6 Cho A  1  2  22  23  ....  2200 . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho B  3  32  33  .....  32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho C  4  22  23  ....  22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) 55  54  53 M b) 76  75  7 4 M c) 109  108  107 M
7 11 222
n 2 n2
6 7 n n *
e) 10  5 M g) 3  2  3  2 M n  N
59 10
7 9 13 10 9 8
k) 109  108  107 M
h) 81  27  9 M i) 8  8  8 M
45 55 555
Bài 10 Tính nhanh
a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
b.
c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:
2 4 6 200
a) A = 1 + 5 + 5 + 5 + ...+ 5
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1
Vậy A = ( 5202 -1) : 24
7 304  1
b) Tương tự B=
73 1
Bài 3: Tính
1 1 1 1
A= + 2 + 3 + ... + 100
7 7 7 7
4 4 4 4
B =  + 2 - 3 + ...+ 200
5 5 5 5
Bài giải:
1 1 1 1
A= + 2 + 3 + ... + 100
7 7 7 7
1 1 1
7A = 1 + + 2 + ... + 99
7 7 7
1
1
A = 1  100  : 6
=> 7A - A = 1 - 100  
7
7
4 4 4 4
B =  + 2 - 3 + ...+ 200
5 5 5 5
4 4 4
5B = -4 + + 3 +...+ 201
5 5 5
4
B+5B = -4 + 200
5
4

B =   4  200  : 6
5

Bài 3: Tính
25 28  25 24  25 20  ...  25 4  1
A=
25 30  25 28  25 26  ...  25 2  1
Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252)
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
1 1
Vậ y A = =
1  25 2 626
Bài tập 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a  b  c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd
(a + b + c + d)4 = abcd
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản