Chuyên đề "Các phương pháp tính tích phân"

Chia sẻ: phuctran399

Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề "Các phương pháp tính tích phân"

 

  1. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI L I NÓI ð U Ngày nay phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng trong Toán h c, tích phân ñư c ng d ng r ng rãi như ñ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i tròn xoay, nó còn là ñ i tư ng nghiên c u c a gi i tích, là n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t phương trình vi phân, phương trình ñ o hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñư c ng d ng r ng rãi trong Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c... Phép tính tích phân ñư c b t ñ u gi i thi u cho các em h c sinh l p 12, ti p theo ñư c ph bi n trong t t c các trư ng ð i h c cho kh i sinh viên năm th nh t và năm th hai trong chương trình h c ð i cương. Hơn n a trong các kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i h c phép tính tích phân h u như luôn có trong các ñ thi môn Toán c a kh i A, kh i B và c kh i D. Bên c nh ñó, phép tính tích phân cũng là m t trong nh ng n i dung ñ thi tuy n sinh ñ u vào h Th c sĩ và nghiên c u sinh. V i t m quan tr ng c a phép tính tích phân, chính vì th mà tôi vi t m t s kinh nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 v i chuyên ñ “TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ð I BI N S VÀ T NG PH N” ñ ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i h c và giúp cho các em có n n t ng trong nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c. Trong ph n n i dung chuyên ñ dư i ñây, tôi xin ñư c nêu ra m t s bài t p minh h a cơ b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s , phương pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm ñ các em h c sinh rèn luy n k năng tính tích phân và ph n cu i c a chuyên ñ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân. Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nhưng khi trình bày chuyên ñ này s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong ñư c s góp ý chân tình c a quý Th y Cô trong H i ñ ng b môn Toán S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. Nhân d p này tôi xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô trong t Toán trư ng Nam Hà, các ñ ng nghi p, b n bè ñã ñóng góp ý ki n cho tôi hoàn thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./. Trang 1
  2. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI M CL C L i nói ñ u 1 M cl c 2 I. Nguyên hàm: I.1. ð nh nghĩa nguyên hàm 3 I.2. ð nh lý 3 I.3. Các tính ch t c a nguyên hàm 3 I.4. B ng công th c nguyên hàm và m t s công th c b sung 4 II. Tích phân: II.1. ð nh nghĩa tích phân xác ñ nh 5 II.2. Các tính ch t c a tích phân 5 II.3 Tính tích phân b ng phương pháp phân tích 5 Bài t p ñ ngh 1 9 II.4 Tính tích phân b ng phương pháp ñ i bi n s 10 II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1 10 ð nh lý v phương pháp ñ i bi n s lo i 1 13 M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 1 14 Bài t p ñ ngh s 2 14 Bài t p ñ ngh s 3 15 Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng 16 II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 2 16 Bài t p ñ ngh s 5 21 Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thông 22 Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng 22 II.5. Phương pháp tích phân t ng ph n 23 Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng 28 III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân 30 Ph l c 36 Trang 2
  3. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI I. NGUYÊN HÀM: I.1. ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm s F(x) ñư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) n u v i m i x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm s F(x) = x3 là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 trên R 1 b) Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm c a hàm s f(x) = trên (0;+∞) x I.2. ð NH LÝ: N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) thì: a) V i m i h ng s C, F(x) + C cũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó. b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a;b) ñ u có th vi t dư i d ng F(x) + C v i C là m t h ng s . Theo ñ nh lý trên, ñ tìm t t c các nguyên hàm c a hàm s f(x) thì ch c n tìm m t nguyên hàm nào ñó c a nó r i c ng vào nó m t h ng s C. T p h p các nguyên hàm c a hàm s f(x) g i là h nguyên hàm c a hàm s f(x) và ñư c ký hi u: ∫ f(x)dx (hay còn g i là tích phân b t ñ nh) V y: ∫ f(x)dx = F(x)+C 1 VD2: a) ∫ 2xdx = x 2 + C b) ∫ sinxdx = - cosx + C c) ∫ cos x dx = tgx +C 2 I.3. CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM: ' 1) ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ 0 ) 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx   4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C ∫ (5x - 6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C 4 VD3: a) b) ∫ 6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C Trang 3
  4. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI I.4. B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM: B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S H P 1/ ∫ dx = x + C 1/ ∫ du = u + C x α +1 uα +1 2/ ∫ x α dx = +C ( α ≠ -1) 2/ ∫ uα du = +C ( α ≠ -1) α +1 α +1 dx du 3/ ∫ = ln x + C (x ≠ 0) 3/ ∫ = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) x u 4/ ∫ e x dx = e x + C 4/ ∫ eu du = eu + C ax au 5/ ∫ a x dx = +C ( 0 < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = +C ( 0 < a ≠ 1) lna lna 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C π π = ∫ (1+ tg 2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π ) = ∫ (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ ) dx du 8/ ∫ 2 8/ ∫ 2 cos x 2 cos u 2 = ∫ (1+ cotg 2 x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π ) = ∫ (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ ) dx du 9/ ∫ 2 9/ ∫ 2 sin x sin u CÁC CÔNG TH C B SUNG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P: CÁC CÔNG TH C LŨY TH A: 1/ ∫ 1 dx = 2 x + C (x ≠ 0) 1/ a m . a n = a m+n x am 1 1 ( ax + b ) α +1 2/ = a m-n ; n = a -n 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α n + C (a ≠ 0) a a a α +1 1 n m m m n m 1 1 3/ a =a ; a =a 3/ ∫ dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a 1 ax +b CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC: 4/ ∫ e ax+b dx = e + C (a ≠ 0) a a. CÔNG TH C H B C: a kx 5/ ∫ a kx dx = + C ( 0 ≠ k ∈ R, 0 < a ≠ 1) 1 1 k.lna 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) 2 2 1 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) b. CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG a 1 1 1/ cosa.cosb = cos ( a - b ) + cos ( a + b )  7 / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) 2  a 1 π 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b )  8 / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ 2 + kπ ) 2  1 9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) 3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b )  2  Trang 4
  5. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI II. TÍCH PHÂN: II.1. ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH: Gi s hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng K, a và b là hai ph n t b t kỳ c a K, F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K. Hi u F(b) – F(a) ñư c g i là tích phân t a ñ n b c a f(x). Ký hi u: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)- F(a) a a II.2. CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx = 0 a a b 2/ ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx b a b b 3/ ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx (k ≠ 0) a a b b b 4/ ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a a a b c b 5/ ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx v i c∈(a;b) a a c b 6 / N u f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 . a b b 7 / N u f (x ) ≥ g(x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx . a a b 8 / N u m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) . a t 9 / t bi n thiên trên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx là m t nguyên hàm c a f (t ) và G (a ) = 0 a II.3. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ð tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1f1(x ) + ... + km fm (x ) a Trong ñó: ki ≠ 0 (i = 1,2, 3,..., m ) các hàm fi (x ) (i = 1,2, 3,..., m ) có trong b ng nguyên hàm cơ b n. VD4: Tính các tích phân sau: Trang 5
  6. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI 2 2 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) 2 3 2 -1 -1 = (2 3 - 2.2 2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nh n xét: Câu 1 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/ và 2/ trong b ng nguyên hàm. 2 3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4 2) I = ∫ dx 1 x2 Nh n xét: Câu 2 trên ta chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t tách phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/, 3/ trong b ng nguyên hàm. 2 2 3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4 2 4 ⇒ I= ∫ dx = ∫(3x 2 -6x + 4 - + 2 )dx 1 x2 1 x x 4 2 = (x 3 -3x 2 + 4x - 2ln |x |- ) = 4 - 2ln2 x 1 2 x 2 -5x +3 3) I = ∫ dx 0 x +1 Nh n xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/ trong b ng nguyên hàm và công th c 3/ b sung. 2 2 2 x -5x +3  9  ⇒ I= ∫ dx = ∫  x − 6 +  dx 0  0 x +1 x +1   x2 2 =  -6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 1 4) I = ∫ e x (2xe-x +5 x e-x -e-x ) dx 0 Nh n xét: Câu 4: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/, 5/ trong b ng nguyên hàm. 1 1  2 5x 1 4 ⇒ I = ∫ e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x + x -x x -x -x x -x  = 0 0  ln5  0 ln5 π 4 π 2 5) I = ∫(4cosx +2sinx - 2 )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) 4 = 2 2 - 2 - 2+2 = 2 0 cos x 0 Nh n xét: Câu 5 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/, 7/ và 8/ trong b ng nguyên hàm. Trang 6
  7. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π 8 π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) 8 = - 2 -3 + 2 = -1- 2 0 0 Nh n xét: Câu 6 trên ta cũng ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ , 7/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung. π 12 π ∫ sin (2x - 2 7) I = )dx 0 4 Nh n xét: Câu 7 h c sinh có th sai vì s d ng nh m công th c 2/ trong b ng b ng π nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem u 2 = sin 2(2x -) (hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p). 4 V i câu 7 trư c h t ph i h b c r i s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung. π π π 12 π 1 12  π  1 12 ⇒ I = ∫ sin (2x - )dx = ∫  1 - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx 2 0 4 2 0 2  2 0 π 1 1  1 π 1 π  1 1  π 1 =  x + cos4x  12 =  + cos  - 2 0 + 4 cos0  = 24 - 16 2 4  2  12 4 3    0 π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx 0 Nh n xét: câu 8: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n ñ i tích thành t ng r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung. π π π 16 1 16 1 1 1  ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = ∫ (cos8x + cos4x )dx =  sin8x + sin4x  16 0 2 0 2 8 4  0 π 1 π  11  1 1 2 1 = 1 1  2 8 2 4 4  2 8 1 sin + sin  −  sin 0 + sin 0  =  + 4  2 8 =  8  16 1+ 2 ( )  2 ∫x 2 9) I = -1dx -2 Nh n xét: Câu 9 bi u th c trong d u tích phân có ch a giá tr tuy t ñ i, ta hư ng h c sinh kh d u giá tr tuy t ñ i b ng cách xét d u bi u th c x2 – 1 trên [-2;2] và k t h p v i tính ch t 5/ c a tích phân ñ kh giá tr tuy t ñ i. Trang 7
  8. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI 2 -1 1 2 ⇒ I= ∫x ∫ (x -1 )dx − ∫ ( x 2 -1 ) dx + ∫ ( x 2 -1 ) dx 2 2 -1dx = -2 -2 -1 1 x  -1  x 3  1 x 2 3 3 =  -x  − -x  + -x  = 5 3  -2  3  -1  3 1 3 3x +9 10) I = ∫ 2 dx 2 x - 4x -5 Nh n xét: Câu 10 trên ta không th c hi n phép chia ña th c ñư c như câu 2 và 3, m t khác bi u th c dư i m u phân tích ñư c thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c 3x+9 A B 4 1 trong d u tích phân như sau: 2 = + = - (phương pháp h s x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 b t ñ nh) 3 3 3x +9  4 1  dx = ( 4ln |x -5 |-ln |x +1 |) 2 3 ⇒ I= ∫ 2 dx = ∫  - 2 2 x - 4x -5 x -5 x +1  4 = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln 27 a'x + b' Chú ý 2: ð tính I = ∫ dx (b2 - 4ac ≥ 0) ta làm như sau: ax 2 + bx + c b 2 TH1: N u b2 - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có s phân tích ax 2 +bx + c = a(x + ) 2a b ba' ba' a'(x + )+ b' - b' - 2a 2a dx = a' dx dx ⇒ I= ∫ b ∫ b + a2a ∫ a x+ b a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a TH2: N u b2 - 4ac > 0 ⇒ ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) . Ta xác ñ nh A,B sao cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x 2 ) , ñ ng nh t hai v ⇒  Ax1 + Bx 2 = -b' 1 A(x - x1 )+ B(x - x 2 ) 1 A B I= ∫ dx = ∫( + )dx . a (x - x1 )(x - x 2 ) a x - x 2 x - x1 Trang 8
  9. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Chú ý 3: P(x) TH1: ð tính I = ∫ dx ta làm như sau: (x - a1 )(x -a2 )...(x -an ) P(x) A1 A2 An = + + ...+ (x -a1 )(x -a2 )...(x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) P(x) TH2: ð tính I = ∫ dx ta làm như sau: (x -a1 ) (x -a2 )k ...(x -an )r m P(x) A1 A2 Am = + + ...+ + ... (x -a1 )m(x -a2 )k ...(x -an )r (x - a 1 ) m (x - a 2 ) m -1 (x - a m ) P(x) TH3: ð tính I = ∫ dx v i P(x) và Q(x) là hai ña th c: Q(x) * N u b c c a P(x) l n hơn ho c b ng b c c a Q(x) thì l y P(x) chia cho Q(x). * N u b c c a P(x) nh hơn b c c a Q(x) thì tìm cách ñưa v các d ng trên. Nh n xét: Ví d 4 trên g m nh ng bài t p tính tích phân ñơn gi n mà h c sinh có th áp d ng ngay b ng công th c nguyên hàm ñ gi i ñư c bài toán ho c v i nh ng phép bi n ñ i ñơn gi n như nhân phân ph i, chia ña th c, ñ ng nh t hai ña th c, bi n ñ i tích thành t ng...Qua ví d 4 này nh m giúp các em thu c công th c và n m v ng phép tính tích phân cơ b n. BÀI T P ð NGH 1: Tính các tích phân sau: 1 2 1) I = ∫(x x + 2x 3 + 1)dx 2x 2 x + x 3 x - 3x + 1 2) Ι = ∫ dx 0 1 x2 0 2 x 3 -3x 2 -5x +3 ∫ (x + x - 3 ) dx 2 3) I = ∫ dx 4) I = 2 -1 x -2 -2 π π 6 12 5) I = ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 0 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx 0 π 16 2 ∫x 2 ∫ cos 4 8) I = + 2x -3 dx 7) I = 2xdx 0 -2 4 1 dx dx 9) I = ∫ 2 10) I = ∫ 1 x -5x +6 x +1+ x 0 2 x + 2x +6 x 2 +1 11) I = ∫ dx 12) I = ∫ dx (x - 1)(x - 2)(x - 4) (x -1)3 (x +3) xdx x 7 dx 13) I = ∫ 4 14) I = ∫ x -6x 2 +5 (1+ x 4 )2 Trang 9
  10. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI II.4. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S : II.4.1. Phương pháp ñ i bi n s lo i 1: b Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx a ch ph thu c vào hàm s f(x), c n a và b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân. T c là: b b b ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ... a a a Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà không tính tr c ti p b ng công th c hay qua các bư c phân tích ta v n không gi i ñư c. Ta xét các trư ng h p cơ b n sau: VD5: Tính các tích phân sau: 2 2 dx 1) I = ∫ 0 2 -x2 Phân tích: Bi u th c trong d u tích phân có ch a căn b c hai, ta không kh căn b ng phép bi n ñ i bình phương hai v ñư c, ta th tìm cách bi n ñ i ñưa căn b c hai v 2 2 d ng A 2 , khi ñó ta s liên tư ng ngay ñ n công th c: 1-sin x = cos x = cosx , do ñó: π π ð t x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;   2 2   2 2 π ð i c n: x= ⇒ 2sint = ⇒t = 2 2 6 x =0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ t = 0 π π π π 6 2cost.dt 2cost.dt 6 6 π π ⇒ I= ∫ =∫ = ∫ dt = t = 6 ( vì t ∈ 0;  ⇒ cost > 0 )  6 0 2 2 2 -2sin t 0 2(1-sin t) 0 6   0 2 dx Trong VD trên khi ta thay ñ i như sau: I = ∫ 0 2 -x2 . H c sinh làm tương t và π 1 ñư c k t qu I = . K t qu trên b sai vì hàm s f (x) = không xác ñ nh khi x= 2 . 2 2-x2 Do ñó khi ra ñ d ng trên Giáo viên c n chú ý: hàm s f (x) xác ñ nh trên [a;b] 6 2 2) I = ∫ 0 3 - x 2 dx Trang 10
  11. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π π ð t x = 3 sint ⇒ dx = 3 costdt , t ∈ - ;   2 2   6 6 π ð i c n: x= ⇒ 3sint = ⇒t = 2 2 4 x =0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ t = 0 π π π π 4 4 34 3 1 3 π 1  ⇒I = ∫ 3 -3sin t . 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt =  t+ sin2t  =  +  2 2 4   0 0 20 2 2  24 2 0 β β dx ∫ ∫ 2 2 a) Khi g p d ng a - x dx hay (a > 0) α α a2 - x 2 π π ð t x = a.sint ⇒ dx = a.cost.dt , t ∈ - ;   2 2   2 2 2 2 2 ( ð bi n ñ i ñưa căn b c hai v d ng A 2 , t c là: a -a sin x = a cos x =a. cosx ) π π ð i c n: x = β ⇒ t = β’ ∈ - ;   2 2   π π x = α ⇒ t = α’ ∈ - ;   2 2     π π   π π Lưu ý: Vì t ∈ - ;  ⇒ α ', β ' ∈ - ;  ⇒ cost > 0  2 2  2 2 β β' β' ⇒ ∫ a - x dx = 2 2 ∫ a -a sin t .acostdt = ∫ a 2cost 2dt , h b c cos2t. 2 2 2 α α' α' β β' β' dx a.costdt hay ∫ α =∫ = ∫ dt a 2 - x 2 α ' a 2 -a 2sin 2 t α ' ð n ñây, công th c nguyên hàm không ph thu c vào bi n s nên ta tính ñư c tích phân theo bi n s t m t cách d dàng. ñây ta c n lưu ý: Bi u th c trong d u tích phân này là hàm s theo bi n s t ñơn ñi u trên [α;β]. Ta m r ng tích phân d ng trên như sau: β β dx b) Khi g p d ng ∫ α a 2 -u 2(x)dx hay ∫ α a 2 -u 2(x) (a > 0) π π ð t u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ;     2 2 π π ð i c n: x = β ⇒ t = β’ ∈ - ;   2 2   π π x = α ⇒ t = α’ ∈ - ;   2 2   Trang 11
  12. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI 6 6 2+ 2+ 2 2 3 - (x -2 ) dx 2 VD6: Tính tích phân sau: I = ∫ 2 -x 2 + 4x -1 dx . Ta có: I = ∫ 2 π π ð t x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ;   2 2   6 2 π ð i c n: x = 2+ ⇒ sint = ⇒t = 2 2 4 x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0 π π 4 4 ⇒ I= ∫ 3 - 3sin 2 t . 3cost.dt = ∫ 3cos 2 t.dt 0 0 π π 3 4 3 1  3 π 1  = ∫ (1+ cos2t ).dt =  t + sin2t  4 = +  20 2 2  24 2  0 2 dx VD7: Tính tích phân sau: I = ∫ dx 0 2+x 2 Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m u s vô nghi m nên ta không s d ng phương pháp h s b t ñ nh như ví d 4.10 và không phân tích bi u th c trong d u tích phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.  π π ð t: x = 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ;   2 2 π ð i c n: x = 2 ⇒ 2tgt = 2 ⇒ t = 4 x =0 ⇒ 2tgt = 0 ⇒ t = 0 π π 2.(1+tg 2t )dt 4 2 π 4 2 4 2π ⇒ I= ∫ = ∫ dt = t = 0 2+2tg 2t 0 2 2 8 0 β dx c) Khi g p d ng +x2 ∫ (a > 0) αa 2 Nh n xét: a2 + x2 = 0 vô nghi m nên ta không phân tích bi u th c trong d u tích phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.  π π ð t x = a.tgt ⇒ dx = a. (1+ tg t )dt , t ∈  - ;  2  2 2  π π ð i c n: x = β ⇒ t = β’ ∈  - ;   2 2  π π x = α ⇒ t = α’ ∈  - ;   2 2 Trang 12
  13. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Ta xét ví d tương t ti p theo: 1+ 2 dx VD8: Tính tích phân sau: I = ∫ 1 2 x -2x+3 Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m u s vô nghi m nên ta phân tích m u s ñư c thành: a2 + u2(x). 1+ 2 1+ 2 dx dx Ta có: I = ∫ 1 2 x -2x+3 = ∫ 1 2+ ( x -1) 2  π π ð t x -1= 2tgt ⇒ dx = 2.(1+tg 2t )dt , t ∈  - ;   2 2 ð i c n: π x = 1+ 2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t = 4 x = 1 ⇒ tgt = 0 ⇒t= 0 π π 2.(1+tg 2t )dt 4 2 π 4 2 2π ⇒I= ∫ 4 2 = ∫ dt = t = 0 2+2tg t 0 2 2 8 0 V y: β dx d) Khi g p d ng ∫ +u 2 (x ) αa (a > 0) 2 V i tam th c b c hai a 2 +u 2 (x ) vô nghi m thì  π π ð t u(x) = a.tgt ⇒ u'(x)dx = a. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ;   2 2  π π ð i c n: x = β ⇒ t = β’ ∈  - ;   2 2  π π x = α ⇒ t = α’ ∈  - ;   2 2 Tóm l i: Phương pháp ñ i bi n s d ng 1: ð nh lý: N u 1. Hàm s x = u(t) có ñ o hàm liên t c, ñơn ñi u trên ño n [α;β]. 2. Hàm s h p f [u(t)] ñư c xác ñ nh trên ño n [α;β]. 3. u(α) = a, u(β) = b. b β thì ∫ f(x)dx = α f [u(t) ]u'(t).dt a ∫ Trang 13
  14. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI T ñó ta rút ra quy t c ñ i bi n s d ng 1 như sau: B1: ð t x = u(t) (v i u(t) là hàm có ñ o hàm liên t c trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñ nh trên [α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñ nh α , β b β β B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t) α = G( β ) -G (α ) a α M t s d ng khác thư ng dùng phương pháp ñ i bi n s dang 1: 1 a * Hàm s trong d u tích phân ch a a 2 - b2 x 2 hay ta thư ng ñ t x = sint a 2 -b 2 x 2 b 1 a * Hàm s trong d u tích phân ch a b2 x 2 - a 2 hay ta thư ng ñ t x = b2 x 2 - a 2 bsint 1 a * Hàm s trong d u tích phân ch a 2 2 2 ta thư ng ñ t x = tgt a +b x b a * Hàm s trong d u tích phân ch a x(a - bx) ta thư ng ñ t x = sin 2t b BÀI T P ð NGH 2: Tính các tích phân sau: 1 1 2 x2 1) I = ∫ x 1 - x dx 2) I = ∫ dx 2 0 0 4 - 3x 1 2 x x2 - 1 3) I = ∫ 0 3 + 2x - x 2 dx 4) I = ∫ x dx 1 3 2 1 x +1 dx 5) I = ∫ x(2 - x) dx 6) I = ∫ 2 0 x + x +1 1 1 Hư ng d n: Câu 4: ð t x = Câu 5: ð t x = 2sin 2t sint π VD9: Ch ng minh r ng: N u hàm s f(x) liên t c trên 0;  thì  2   π π 2 2 ∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx 0 0 Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau : π π 4 2 sin 4x 1) I = ∫ dx 2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx 0 sin 4x + cos 4x 0 Gi i π 2 π VT = ∫ f (sinx )dx ð t x= 2 - t ⇒ dx = -dt . 0 π π ð i c n x =0 ⇒t = ;x= ⇒t =0 2 2 Trang 14
  15. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π  π 0  2 ⇒ VT = − ∫ f  sin  − t  dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm) π  2  0 2 Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau : π 2 sin 4x 1) I = ∫ 4 4 dx 0 sin x + cos x π ð t x= - t ⇒ dx = -dt . 2 π π ð i c n x =0 ⇒t = ;x= ⇒t =0 2 2 π π π 0 sin 4( - t) 2 4 cos t 2 cos 4x I= - ∫ 2 π π dt = ∫ sin 4t + cos 4t dt = ∫ sin 4x + cos 4x dx π sin 4( - t)+ cos 4( - t) 0 0 2 2 2 π π π 2 sin x 4 cos x 22 π π 4 ⇒ 2I = ∫ sin 4x + cos 4x dx + ∫ 4 4 dx = ∫ dx = ⇒ I = . 0 0 sin x + cos x 0 2 4 π 4 2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx 0 ð t x = π - t ⇒ dx = -dt 4 π π ð i c n x =0 ⇒t = ;x= ⇒t =0 4 4 π π π 0 1-tgt π 4 4 4 ⇒ I = - ∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+ )dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt = ln2. ∫ dt - I π 4 0 1+tgt 0 0 4 πln2 π.ln2 ⇒2I = ⇒I = 4 8 BÀI T P ð NGH 3: Tính các tích phân sau: π π 2 n n 2 π 1) ∫ sin xdx = ∫ cos xdx HD: ð t x = -t . 0 0 2 a 2) Cho I = ∫ f(x)dx . CMR: -a a a) I = 2 ∫ f(x)dx n u f(x) là hàm s ch n. 0 b) I = 0 n u f(x) là hàm s l . Trang 15
  16. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI b b f(x) 3) Ch ng minh r ng: N u f(x) là hàm s ch n thì ∫ x dx = ∫ f(x)dx . -b a +1 0 2 2x 2 + 1 Áp d ng: Tính I = ∫ x dx . -2 2 +1 π ππ 4) Ch ng minh r ng: ∫ xf(sinx)dx = 2 ∫ f(sinx)dx (HD: ð t x = π - t ) 0 0 π xsinx Áp d ng: Tính I = ∫ 4+ sin 2 x dx . 0 BÀI T P ð NGH 4: Tính các tích phân sau: (Các ñ tuy n sinh ð i h c) 2 1 2 x2 a) I = ∫ dx (ðH TCKT 1997) b) I = ∫ (1- x ) dx 2 3 (ðH Y HP 2000) 0 1- x 2 0 2 a c) I = ∫ x 2 4 - x 2 dx (ðH T.L i 1997) d) I = ∫ x 2 a 2 - x 2 dx (ðH SPHN 2000) 0 0 3 2 1 dx dx e) I = ∫x 1 1- x 2 (ðH TCKT 2000) f) I = ∫ 0 x + 4x 2 +3 4 (ðH T.L i 2000) 2 1 2 dx dx g) I = ∫ (ðH N.Ng 2001) h) I = ∫x (ðH BKHN 1995) -1 (1+ x ) 2 2 2 3 x 2 -1 II.4.2. Phương pháp ñ i bi n s lo i 2: (D ng ngh ch) b N u tích phân có d ng ∫ f u(x)  u'(x)dx   a ð t: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx ð i c n: x = b ⇒ u2 = u(b) x = a ⇒ u1 = u(a) u2 ⇒ I = ∫ f (u )du u1 a) M t s d ng cơ b n thư ng g p khi ñ i bi n s lo i 2:(D ng ngh ch) Trong m t s trư ng h p tính tích phân b ng phương pháp phân tích hay tính tích phân b ng tích phân ñ i bi n s lo i 1 không ñư c nhưng ta th y bi u th c trong d u tích phân có ch a: 1. Lũy th a thì ta th ñ t u b ng bi u th c bên trong c a bi u th c có ch a lũy th a cao nh t. 2. Căn th c thì ta th ñ t u b ng căn th c. Trang 16
  17. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI 3. Phân s thì ta th ñ t u b ng m u s . 4. cosx.dx thì ta th ñ t u = sinx. 5. sinx.dx thì ta th ñ t u = cosx. dx 6. hay (1 + tg2x)dx thì ta th ñ t u = tgx. cos x 2 dx 7. hay (1 + cotg2x)dx thì ta th ñ t u = cotgx. sin x 2 dx 8. và ch a lnx thì ta th ñ t u = lnx. x VD 10: Tính các tích phân sau: 1 1. a) I = ∫(x +1) x dx 3 5 2 0 du ð t: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx = 3 2 2 3 ð i c n: x 0 1 u 1 2 2 du 1 2 5 u6 2 2 6 16 7 ⇒ I= ∫u 3 3∫ 5 = u du = = - = 1 1 18 1 18 18 2 π 2 b) I = ∫(1+sinx )3 .cosx.dx (Tương t ) 0 2 2. a) I = ∫ 4+3x 2 .12x.dx 0 ð t: u = 4+3x 2 ⇒ u 2 = 4+3x 2 ⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu ð i c n: x 0 2 u 2 4 4 4 4 4u 3 4.43 4.2 3 224 ⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u .du = 2 = - = 2 2 3 2 3 3 3 2 2 b) I = ∫ 1+2x .x .dx 2 3 (HD: I = ∫ x 2 . 1+2x 2 .xdx ) 0 0 Trang 17
  18. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI u2 -1 ð t u = 1+2x 2 ⇒ u 2 = 1+2x 2 ⇒ x 2 = 2 udu ⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx = ... 2 1 x2 c) I = ∫ 3 dx ð t u 3 = 3 1+7x 3 ⇒ u 3 = 1+7x 3 0 1+7x 3 u 2du ⇒ 3u du = 21x dx ⇒ x dx = 2 2 2 7 ð i c n: x 0 1 u 1 2 2 u2 12 1u 2 2 2 2 12 3 ⇒I = ∫ du = ∫ udu = = - = 1 7u 71 14 1 14 14 14 1 1 x3 x 2 .x 3.a) I = ∫ dx Ta có: I = ∫ dx x 2 +1 0 0 x 2 +1 ð t u = x 2 +1 ⇒ x 2 = u -1 du ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 2 ð i c n: x 0 1 u 1 2 2 u -1 12 1 2 1 1 ⇒ I= ∫ du = ∫ 1- du = (u -ln |u |) = (2 -ln2 -1 ) = (1-ln2 )   1 2u 2 1 u 1 2 2 2 x2 b) I = ∫ dx (HD: ð t u = x 3 +2 ) 1 x 3 +2 π 6 4.a) I = ∫ sin 4x.cosx.dx ð t: u = sinx ⇒ du = cosx.dx 0 ð i c n: π x 0 6 1 u 0 2 1 1 2  u5  2 1 ⇒ I = ∫ u du =   4 = 0 5  0 160 Trang 18
  19. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π 2 sinx b) I = ∫ dx (HD: ð t u = 1+3cosx ) 0 1+3cosx π 2 c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx (HD: ð t u = 1+3sinx ) 0 π 2 sin2x +sinx 5.a) I = ∫ dx (ð ðH kh i A – 2005) 0 1+3cosx π π 2sinxcosx +sinx 2 2 sinx (2cosx +1 ) Ta có I = ∫ dx = ∫ dx 0 1+3cosx 0 1+3cosx u2 -1 ð t u = 1+3cosx ⇒ u 2 = 1+3cosx ⇒ cosx = 3 -2udu ⇒ 2udu = -3sinxdx ⇒ sinxdx = 3 ð i c n: π x 0 2 u 2 1  u2 -1   -2udu  1  2 +1   2 3   3  dx = 2 ⇒I = ∫  u 9∫ (2u 2 + 1 )du 2 1 2  2u 3  2 2  2.2 3 2.13  34 = +u  =  +2 - -1 = 9 3  1 9 3 3  27 Nh n xét: ð i v i nh ng bài ch a căn th c, h c sinh có th ñ t u b ng bi u th c trong d u căn, nhưng sau khi ñ i bi n thì tích phân m i v n còn ch a căn th c nên vi c tính ti p theo s ph c t p hơn (t c là h c sinh ph i ñưa v xα). Ví d : Cách 2 c a câu 5 π 2 sin2x +sinx 5.a) I = ∫ dx (ð ðH kh i A – 2005) 0 1+3cosx π π 2sinxcosx +sinx 2 2 sinx (2cosx +1 ) Ta có I = ∫ dx = ∫ dx 0 1+3cosx 0 1+3cosx u -1 ð t u = 1+3cosx ⇒ cosx = 3 -du ⇒ du = -3sinxdx ⇒ sinxdx = 3 Trang 19
  20. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI ð i c n: π x 0 2 u 4 1 +1    u -1 -du  2    3  du = 1 (2u+1 ) du 1 4 ⇒I = ∫  3 4 u∫ 9 1 u 1  1  1 −  4 1 4 4 1 14  = ∫ 2 u + u  9 ∫ = 2u + u  =  u u + 2 u  2 2 9 1 1  9 3 1 1  32 4  34 =  + 4- -2  = 9 3 3  27 Nh n xét: Rõ ràng cách gi i 2 ñ t u b ng bi u th c trong căn th y ph c t p hơn so v i cách 1. π 2 sin2x.cosx b) I = ∫ 0 1+cosx dx (ðH kh i B – 2005) π (tgx +1 ) dx 4 2 dx 6.a) I = ∫ 2 ð t: u = tgx +1 ⇒ du = 0 cos x cos 2x ð i c n: π x 0 4 u 1 2 2  u3  2 8 1 7 ⇒ I = ∫ u 2du =   = - = 1 3 1 3 3 3 π 4 tg 2 x - 3tgx +1 b) I = ∫ dx (HD: ð t u = tgx ) 0 cos 2 x π ecotgx 2 7.a) I = ∫ sin 2 x dx π 4 -dx ð t: u = cotgx ⇒ du = sin 2x ð i c n: π π x 4 2 u 1 0 0 1 1 ⇒ I = - ∫e udu = ∫e udu = e u = e - 1 1 0 0 Trang 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản