CHUYÊN ĐỀ cực trị đại số

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

1
602
lượt xem
177
download

CHUYÊN ĐỀ cực trị đại số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CHUYÊN ĐỀ cực trị đại số là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ cực trị đại số

  1. CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2x2 + 3x + 1. b) x2 – 2x + 5. c) 4x2 – 4x – 3. d) x2 – 5x + 1. e) 5x2 + 7x + 9. HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) 6 – x2 – 6x. b) 1 – x2 – 6x2. c) 4 – x2 + 2x. d) 4x – x2. e) 7 – 3x – x2. HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ. 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2 . x + 2x + 6 1 C1: Vì x2 + 2x + 6 = (x + 1)2 + 5 ≥ 5. Nên: y ≤ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1. 5 1 1 C2: y = 2 ⇔ yx2 + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm ⇔ Δ’ = y – 5y2 ≥ 0 ⇔ 0 < y ≤ . x + 2x + 6 5 1 Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = –1( Thực chất là thay y = vào phương trình theo x). 5 2x 2 + 5 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2x 2 + 1 2x 2 + 1 + 4 4 4 HD: Làm tương tự bài 3. y = = 1+ 2 £ 1 + = 5 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0. 2x + 1 2 2x + 1 1 x - 2x + 1 2 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2 . x + 4x + 5 (x - 1) 2 HD: y = ³ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −1. (x + 2) 2 + 5 1 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . 6x - 5 - 9x 2 2 1 HD: Biến đổi biểu thức trở thành: A = ³ 4 - (3x - 1) 2 2 1 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2 . (Đề thi chuyên Nguyễn Tất Thành) 4x − 4x + 3 HD: Làm tương tự bài 6. x2 - 2 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 . x +2 4 HD: Biến đổi biểu thức trở thành: B = 1 - 2 ³1 x +2 x4 +1 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x2 1 HD: Ta có: C = x 2 + 2 ³ 2 x x 2 - 2x - 2 Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y = 2 . x + x +1 3x 2 - 2(x 2 + x + 1) 3x 2 3 3 C1: y = = 2 - 2 ⇒ -2 £ -2£ = 4 x + x +1 2 x + x +1 æ ö 2 3 çx + 1 ÷ + 3 ç ÷ ç è 2ø÷ 4 4 C2: Sử dụng phương trình bậc hai. Bạn đọc tự giải. x2 + x +1 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 ( x ≠ −1). x + 2x + 1 ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1
  2. CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ y2 - y + 1 1 1 HD: Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1 ⇒ A = 2 = 1- + 2 . y y y æ ö 2 Đặt z = 1 ⇒ A = z2 – z + 1 = çz - 1 ÷ + 3 ³ 3 . Dấu “=” xảy ra: z = 1 Û y = 2 Û x = 1 . ç ÷ y ç è 2÷ø 4 4 2 (x + 2)(x + 8) Bài 12: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x x + 10x + 16 ç 2 æ ö æ 16 ö = ç x + ÷ + 10 . Vì: x . = 16 = const ⇒ ç x + ÷ nhỏ nhất ⇔ x2 = 16. 16 16 HD: A = ÷ ÷ ç ÷ x ç è xø x ç è x÷ø Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18. (x + 100) 2 Bài 13: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x HD: min B = 400 khi x = 100. x Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = (x + 100) 2 y - 100 1 100 1 C1: Đặt x + 100 = y ⇒ x = 100 − y. B = 2 = - 2 . Đặt = z . y y y y æ 1 ö 2 ÷ £ 1 . Dấu “=” xảy ra ⇔ z = 1 ⇔y = 200⇔x = 100. - 100 çz - 1 ⇒ B = z – 100z2 = ç ÷ 400 ç è 200 ÷ ø 400 200 x x 1 C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b)2 ≥ 4ab: B = £ = ⇔ x = 100. (x + 100)2 400x 400 (x + y) 2 Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + y2 (x + y) 2 HD: A = ³ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0. x 2 + y2 2xy 2xy A = 1+ 2 £ 1+ = 1 + 1 = 2 (vì x2 + y2 ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0. x +y 2 2xy 2x 2 + 4x - 1 Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = . x2 +1 3x 2 + 3 - (x 2 - 4x + 4) (x - 2)2 HD: B = = 3- 2 £ 3 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2. x2 +1 x +1 4x 2 + 4x + 1 - 2x 2 - 2 (2x + 1) 2 1 B= = - 2 ³ -2 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = - . x +1 2 x +1 2 2 4x - 2xy + 4y 2 2 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 2 + y2 (x - y)2 HD: C = 3 + ³ 3 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0. x 2 + y2 (x + y) 2 C = 5- £ 5 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0. x 2 + y2 x +1 Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x + x +1 2 3x + 3 x + 4x + 4 - x - x - 1 2 2 (x + 2) 2 1 1 HD: D = = = - ³ - ⇔ x = −2. 3(x + x + 1) 2 3(x + x + 1) 2 3(x + 1 + 1) 3 2 3 ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2
  3. CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ x 2 + x + 1- x 2 x2 D= = 1- 2 £ 1 ⇔ x = 0. x2 + x +1 x + x +1 Bài 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3x − 1)2 – 4.| 3x − 1| + 5. 1 HD: Đặt |3x – 1|=y⇒A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 ≥ 1⇔y = 2⇔| 3x – 1| = 2⇔x = 1 hoặc x = - . 3 Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = | x − 3| + | x – 7 | HD: Áp dụng | x + y | ≤ | x | + | y | . Dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0. Với chú ý | A | = | −A |. Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x2 + x + 3 | + | x2 + x − 6 | HD: Tương tự bài 19. Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x 2 - 2x + 1 + x 2 - 6x + 9 HD: y = | x – 1 | + | x – 3 |. Giải tương tự bài 19. Bài 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = (x - 1990) 2 + (x - 1991)2 HD: Áp dụng tương tự bài 22. Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x(x + 1)(x + 2)(x +3) HD: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 25: Cho y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của y. HD: làm tương tự bài 24. Bài 26: Cho biểu thức M = x2 + y2 + 2z2 + t2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị nguyên ìx 2 - y 2 + t 2 = 21 ï không âm tương ứng của x, y, z, t cho biết chúng thỏa mãn đồng thời: ï 2 (1) í . ïx + 3y 2 + 4z 2 = 21 (2) ï î HD: Cộng (1) và (2): 2(x2 + y2 + 2z2 + t2) – t2 = 122 ⇔ 2M = 122 + t2 ≥ 122. Suy ra: min M = 61. Khi đó (x, y, z, t) = (5, 2, 4, 0). (Thi HSG quốc gia 1985 – 1986 bảng A) Bài 27: Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức: D = 2x + 3y – 4z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 2x + y + 3z = 6 (1) giá trị nhỏ nhất đó biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:  (x, y, z > 0). 3x + 4y − 3z = 4 (2) 4 x x 2 2 HD: Cộng (1) và (2): y = 2 – x thế vào (1) ⇒ z = - . Thay x, z vào P: P = + ³ (vì x ≥ 0) 3 3 3 3 3 2 4 Vậy: min P = ⇔ x = 0, y = 2 và z = z = . (Thi chuyên Nguyễn Tất Thành) 3 3 Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2. Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy – 4 = 0 (1). HD: (1) ⇔ (x2 + y2) + (x2 – 2xy + y) = 8 ⇒ A = 8 – (x – y)2 ≤ 8. 8 (1) ⇔ 3A = 8 + (x + y)2 ≥ 8 ⇒ A ≥ . 3 Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2. Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn: 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 (1). ( ) HD: (1)⇔S + 4(x + y)2 = 36⇔S = 36 – 4(x + y)2 ≤ 36 ⇔ (x, y)= 3 2 ; - 3 2 Ú -3 2 ; 3 2 ( ) (2) ⇔ 9S = 36 + 4(x – y)2 ≥ 36 ⇔ S ≥ 4 ⇔ x = y = ± 2 . Bài 30: Cho (x, y) là nghiệm của phương trình x2 + 3y2 + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0. Tìm các cặp số (x, y) sao cho biểu thức S = x + y đạt giá trị lớn nhất? đạt giá trị nhỏ nhất? HD: Đưa về dạng (x + y – 5)2 = 9 – 2(y – 1)2 ≤ 9 ⇔ |x + y – 5| ≤ 3 ⇔ 2 ≤ x + y ≤ 8 ⇔ max S= 8 Û (7 ; 1) . min S = 2 Û (1 ; 1) . Bài 31: Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: (m + n ) 2 A= m3 + n3 Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2006 - 2007 ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (m + n ) 2 m+n m+n 1 1 HD: A = = ≤ = + ≤ 1 + 1 = 2 ⇔ m = n = 1. (m + n )(m − mn + n ) (m − n ) + mn 2 2 2 mn m n 2 2 Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y. HD: (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 ⇒ A2 ≤ 2 ⇔ - 2 £ A £ 2 . Bài 33: Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = a2 + b2 b) B = a4 + b4 c) C = a8 + b8. 4 4 2 2 4 4 HD: a) Làm tương tự bài 32. b) a + b ≥ 2a b . Cộng vào hai vế a + b . c) Tương tự. Bài 34: Cho 2x + y = 6. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + y2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy HD: Thay y = 6 – 2x vào biểu thức ⇒ sử dụng phương pháp bình phương đúng. Bài 34: Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2 + z2. HD: Đặt x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c ⇒ a + b + c = 0 ⇒ A = 3 + a2 + b2 + c2 ≥ 3 ⇔ x = y = z = 1. Bài 35: Cho x + 3y = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2. HD: Thay x = 10 – 3y vào A ⇒ kết quả: A = 10(y – 3)2 + 10 ≥ 10 ⇔ x = 1, y = 3. Bài 36: Cho x + 2y = 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy. HD: Tương tự bài 35 Bài 37: Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy. HD: x2 + y2 = 2 – 2xy ⇒ A = 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 = 4 ⇔ x = y = 1. æ 1 öæ 1ö Bài 38: Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = ç1 - 2 ÷ç1 - 2 ÷ . ÷ ç x ÷ç y ÷ ç è ÷ç øç è ÷ ø 2 2 1 HD: Biến đổi B = 1 + . Ta có: 1 = (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ ³ 8⇒ B ≥ 9 ⇔ x = y = . xy xy 2 Bài 39: Tìm giá trị của x để biểu thức y = x - x - 1993 đạt giá trị nhỏ nhất. æ 1ö 2 HD: TXĐ: { x ∈ R, x ≥ 1993 }. y = ç x - 1993 - ÷ + 1993 - ³ 1992 ⇔ x - 1993 = . 1 3 1 ç ç ÷ ÷ è 2ø 4 4 2 2 2 2 Bài 40: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = (x – ay) + 6(x – ay) + x + 16y – 8xy + 2x – 8y + 10 (x, y, a là các số nguyên). ìx - ay + 3 = 0 (1) ï HD: Biến đổi y = (x – ay + 3)2 + (x – 4y + 1)2 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔ ï í . Từ (1) ïx - 4y + 1 = 0 (2) ï î và (2) ⇒ (a – 4)y = 2 với x, y, a nguyên ⇒ (x, y, a) = (3, 1, 6), (7, 2, 5), (−5, −1, 2), (−9, −2, 3). Bài 41: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: M = x + 2y. HD: Áp dụng Bunhiaxcốpki: (x + 2y)2 ≤ (x2 + 4y2)(12 + 12) = 50. Bài 42: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y. HD: x + y ≥ 2 xy Þ xy ³ 2 xy Þ (xy)2 ³ 4 Þ xy ³ 4 Þ x + y ³ 4 ⇔ x = y = 2. Bài 43: a) Trong tập hợp các hình chữ nhật có cùng chu vi, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. b) Trong tập hợp các hình chữ nhật có cùng diện tích, hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. HD: a) p = a + b = const. ⇒ 4S = p2 – (a – b)2 ≤ p2 ⇔ a = b b) S = ab = const ⇒ p = a + b ≥ 2 ab = 2 S ⇔ a = b. Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) y = x - 2 + 4 - x . b) y = 3 - t + t - 1 2 HD: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcốpki. Xét y . Bài 45: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab. HD: Biến đổi, đồng thời thay a + b = 1 và a = 1 – b. ta được: Q = 2a2 – 2a + 1 ⇒ kết quả. ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 4
Đồng bộ tài khoản