Chuyên đề cực trị - tiếp tuyến (Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

0
186
lượt xem
63
download

Chuyên đề cực trị - tiếp tuyến (Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề cực trị - tiếp tuyến (nguyễn phú khánh – đà lạt)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề cực trị - tiếp tuyến (Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt)

  1. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt (m − 1)x + m Cho (Cm) : y = . Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm treân (Cm) coù hoaønh ñoä x0 = 4 thì x−m song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù 2 cuûa goùc heä truïc. | −m 2 y = f (x) = | m (x − m)2 Ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm vôùi ñöôøng phaân giaùc (Δ 2 ) : y = − x , ta phaûi coù: −m 2 fm = −1 ⇔ | = −1 ⇔ m 2 = (4 − m)2 ⇔ m = 2 (4 − m) 2 (3m + 1)x − m 2 + m Cho (C) : y = , m ≠ 0. Tìm m ñeå tieáp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm vôùi truïc hoaønh x+m song song y = x. Vieát phöông trình tieáp tuyeán. Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh m2 − m ⎧ 1 ⎫ x0 = , m ∉ ⎨0, − ,1⎬ 3m + 1 ⎩ 3 ⎭ 4m 2 y| = (x + m)2 Tieáp tuyeán taïi ñieåm (C) coù hoaønh ñoä // y = x 4m 2 = 1 ⇔ 4m 2 = (x 0 + m)2 ⇔ x 0 = m ∨ x 0 = −3m (x 0 + m) 2 ⎡ m2 − m ⎢ m= ⎡ m = −1 ⇔⎢ 3m + 1 ⇔ ⎢ ⎢ m2 − m ⎢m = − 1 ⎢ −3m = 3m + 1 ⎣ ⎣ 5 • m = −1 tieáp tuyeán taïi (-1,0) coù pt : y = x + 1 1 ⎛3 ⎞ 3 • m = − tieáp tuyeán taïi ⎜ , 0 ⎟ coù pt : y = x − 5 ⎝5 ⎠ 5 m Cho (C) : y = x − 1 + .Tìm m ñeå coù ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vuoâng goùc nhau x +1 Goïi M 0 (x 0 , y 0 ) laø ñieåm caàn tìm ⇒ y = k(x − x 0 ) + y 0 laø ñöôøng thaúng (d) qua M0 ⎧ m ⎪x − 1 + x + 1 = k(x − x 0 ) + y 0 = kx + k − k − kx 0 + y 0 ⎪ (d) laø t2 ⇔ ⎨ ⎪1 − 1 =k ⎪ (x 0 + 1)2 ⎩ ⎧ m ⎪x − 1 + x + 1 = k(x + 1) − (1 + x 0 )k + y 0 ⎪ ⇔⎨ ⎪x + 1 − 1 = k(x + 1) ⎪ ⎩ x +1
  2. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ m 1 ⎪x − 1 + x + 1 = x + 1 − x + 1 − (1 − x 0 )k + y 0 ⎪ ⇔⎨ ⎪ 1 = 1− k ⎩ (x + 1) 2 ⎪ ⎧ m +1 ⎧ y0 + 2 ⎪ = y 0 + 2 − (x 0 + 1)k ⎪ x +1 ⎪k ≠ x + 1 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 0 ⎪⎛ m + 1 ⎞ = (1 − k)(m + 1)2 ⎪ y + 2 − (x + 1)k 2 = (1 − k)(m + 1)2 ⎪⎜ x + 1 ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎩[ 0 0 ] ⎧ y0 + 2 ⎪k ≠ ⇔⎨ x0 + 1 ⎪(x + 1)2 k 2 + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = 0 (*) ⎩ 0 0 0 0 0 0 y0 + 2 Töø M0 keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau ⇔ pt (*) coù 2 nghieäm thoûa k1k2 = -1 vaø khaùc x0 + 1 ⎧ y0 + 2 ⎪k ≠ ⇔⎨ x0 + 1 ⇒m>0 ⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m ⎩ 0 0 x +1 Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò y = vôùi truïc hoaønh , bieát raèng tieáp tuyeán ñoù x −3 vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 4 y| = − , ∀x ≠ 3 (x − 3)2 Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 , khi ñoù (T) coù heä soá goùc laø KT = -1 4 ⎡x = 5 . Goïi (x0,y0) laø tieáp ñieåm cuûa (d) vaø (C) , ta coù K T = y| ⇔ −1 = − ⇒⎢ 0 (x 0 − 3) ⎣ x0 = 1 2 • x 0 = 1 ⇒ y 0 = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x • x 0 = 5 ⇒ y 0 = 3 ⇒ (T2 ) : y = −x + 8 (T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)} x+2 Cho haøm soá y = f(x) = ; goïi ñoà thò haøm soá laø (C) , vaø A(0,a).Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp x −1 tuyeán ñeán (C) sao cho 2 tieáp tuyeán töông öùng naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc Ox Phöông trình tieáp tuyeán (T) vôùi (C) taïi M 0 (x 0 , y 0 ) : y − y 0 = f(x0 ) (x − x 0 ) | ⎛x +2⎞ 3 ⎛x +2⎞ 3 ⇔ y −⎜ 0 ⎟=− (x − x 0 ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ 0 ⎟=− (− x 0 ) ⎝ x0 − 1 ⎠ (x 0 − 1) ⎝ x0 − 1 ⎠ (x 0 − 1)2 2 ⎧x − 1 ≠ 0 ⎪x 0 ≠ 1 ⎧ ⇔⎨ 0 ⇔⎨ g(x ) = (a − 1)x 2 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0 ⎩(a − 1)x 0 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0 2 ⎪ 0 ⎩ 0
  3. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán khi g(x ) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 1 0 ⎧a − 1 ≠ 0 ⎪ vaø ⎨Δ|g = (a + 2)2 − (a + 2)(a − 1) > 0 ⇔ −2 < a ≠ 1 ⎪ ⎩g(1) = (a − 1)1 − 2(a + 2)1 + a + 2 ≠ 0 2 Khi ñoù goïi M1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) laø 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía Ox ⎛ x + 2 ⎞⎛ x 2 + 2 ⎞ x1x 2 + 2(x1 + x 2 ) + 4 ⇔ y1y 2 < 0 ⇔ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟
  4. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x 2 − 3x + 6 Cho haøm soá y = , ñoà thò (C) . Töø goác toaï ñoä coù theå keû ñöôïc bao nheâu tieáp tuyeán ñeán haøm soá x −1 (C) , tìm toaï ñoä tieáp ñieåm ⎧QuaO Goïi (T) ⎨ ⇔ (T) : y = kx laø tieáp tuyeán cuûa (C) ⎩Heä soá goùc k ⎧ x 2 − 3x + 6 ⎪ = kx ⎪ x −1 ⎧(x − 1)(x 2 − 3x + 6) = (x 2 − 2x − 3)x ⇔⎨ 2 coù nghieäm ⇔ ⎨ ⎪ x − 2x − 3 = k ⎩x ≠ 1 ⎪ (x − 1) ⎩ 2 ⎧x 2 − 6x + 3 = 0 ⇔⎨ ⇔ x = 3± 6 ⎩x ≠ 1 Vaäy töø O keû ñöôïc ñuùng 2 tieáp tuyeán ñeán (C) ⎡x = 3 + 6 ⎡y = 3 6 − 3 ⎡ M = (3 + 6,3 6 − 3) ⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 1 ⎢x = 3 − 6 ⎣ ⎢ y = −3 6 − 3 ⎢ M 2 = (3 − 6, −3 6 − 3) ⎣ ⎣ Cho haøm soá y = mx 3 − (m − 1)x 2 − (m + 2)x + m − 1 , (Cm) 1.Tìm m ñeå (Cm) ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1 2.Khi m = 1 , tìm treân ñöôøng thaúng y = 2 nhöõng ñieåm töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) 1.m =1 2. (C) : y = x 3 − 3x ; A(a,2) ∈ (d) : y = 2 ⇒ (d) : y = k(x − a) + 2 ⎧x 3 − 3x = k(x − a) + 2 Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä ⎨ 2 ⎩3x − 3 = k ⎡ x = −1 ⇔⎢ ⎣ f(x) = 2x − (3a + 2)x + 3a + 2 = 0 2 Qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) ⇔ f(x) = 0 coù 2 nghieäm khaùc 1 ⎧ 2 ⎧Δ f > 0 ⎧(3a + 2) − 8(3a + 2) > 0 ⎪a < − ∨ a > 2 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 ⎩f ( −1) ≠ 0 ⎩ 2 + 3a + 2 + 3a + 2 ≠ 0 ⎪ a ≠ −1 ⎩ 2 Vaäy ñieåm caàn tìm laø A(a,2) ; a < − ∨ a > 2 ∧ a ≠ −1 3 Cho haøm soá y = −x 4 + 2x 2 − 1 , ñoà thò (C). Tìm taát caû caùc ñieåm thuoäc truïc tung sao cho töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) Goïi A(0,a) ∈ Oy , (d) laø ñöôøng thaúng qua A daïng : y = kx + a Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä : ⎧−x 4 + 2x 2 − 1 = kx + a ⎨ ⇔ 3x 4 − 2x 2 − 1 − a = 0 (1) ⎩ −4x 3 + 4x = k Töø A coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi (1) phaûi coù 3 nghieäm
  5. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2 ⇔ −1 − a = 0 ⇔ a = −1 . Khi ñoù 3x 4 − 2x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 3 Vaäy toaï ñoä ñieåm caàn tìm laø A(0,-1) Cho haøm soá y = x 3 − 3x 2 + 2 ; ñoà thò (C) 1.Qua A(1,0) coù theå keû ñöôïc maáy tieáp tuyeán vôùi (C) . Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy 2.CMR khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán qua A cuûa (C) noùi treân 1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1,0) coù heä soá goùc k daïng y = k(x − 1) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä ⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − 1) ⎨ 2 coù nghieäm ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ k = −3 ⎩3x − 6x = k Vaäy coù 1 tieáp tuyeán (d) : y = −3x + 3 keû ñeán (C) 2.Goïi (T) laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song tieáp tuyeán taïi A daïng y = −3x + b Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä : ⎧x 3 − 3x 2 + 2 = −3x + b ⎧ b = x 3 − 3x 2 + 2 ⎨ 2 ⇔⎨ ⇒ b = 3 ⇒ (T) : y = −3x + 3 ⎩3x − 6 = −3 ⎩x = 1 (T) ≡ (d) vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A x4 5 Cho haøm soá y = − 3x 2 + , coù ñoà thò (C) 2 2 1.Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x M = a .CMR hoaønh ñoä caùc giao ñieåm cuûa tieáp tuyeán (d) vôùi ñoà thò laø nghieäm cuûa phöông trình (x − a)2 (x 2 + 2ax + 3a2 − 6) = 0 2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå tieáp tuyeán (d) caét ñoà thò taïi 2 ñieåm P,Q khaùc nhau vaø khaùc M.Tìm quõy tích trung ñieåm K cuûa ñoaïn thaúng PQ ⎛ a4 5⎞ a4 5 1.Goïi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3) 2 ⎝ 2 2⎠ 2 2 3 5 Tieáp tuyeán taïi M coù phöông trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 2 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) laø : x4 5 3 5 − 3x 2 + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 2 2 2 ⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 0 2 2 2 2.Quõy tích trung ñieåm K Theo treân ñeå (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät P vaø Q vaø khaùc M thì phöông trình : x 2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 coù ⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > 0 ⎧a < 3 ⎪ 2 nghieäm khaùc a ⎨ 2 ⇔⎨ ⎩ a + 2a + 3a − 6 ≠ 0 ⎪ a ≠1 2 2 ⎩
  6. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ 1 ⎪ Khi ñoù K ⎨ 7 4 5 ⎪ y K = − x K + 9x K + 2 ⎩ 2 2 7 5 Vaäy quyõ tích trung ñieåm K laø ñöôøng cong y = − x 4 + 9x 2 + vaø giôùi haïn bôûi 1 ≠ x ≤ 3 2 2 Cho haøm soá y = −x 4 + 2mx 2 − 2m +1 coù ñoø thò laø (Cm).Ñònh m ñeå caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (Cm) taïi A vaø B ñieåm coá ñònh vuoâng goùc nhau Ñieåm coá ñònh A(-1,0) B(1,0) vaø y| = −4x 3 + 4mx ⇒ y|A = 4 − 4m ; y|B = −4 + 4m Tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc nhau ⇔ y |A .y|B = −1 3 5 ⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m = 4 4 x +1 Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc tung maø töø moãi ñieåm aáy chæ coù theå keû x −1 ñöôïc ñuùng 1 tieáp tuyeán ñeán (C) Goïi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A coù phöông trình y = kx + a Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä ⎧x +1 ⎪ x − 1 = kx + a x + 1 ⎪ −2x ⎨ ⇒ = + a ⇔ (a − 1)x 2 − 2(a + 1)x + a + 1 = 0 (1) ⎪ −2 x − 1 (x − 1) 2 =k ⎩ (x − 1) 2 ⎪ Töø A coù theå keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán ñeán (C) ⇔ (1) coù 1 ngheäm (1) 1 Xeùt a − 1 = 0 ⇔ a = 1 ⎯⎯→ −4x + 2 = 0 ⇒ x = ⇒ A(0,1) 2 ⎧a − 1 ≠ 0 ⎧a ≠ 1 ⎨ ⇔⎨ ⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1) ⎩Δ ' = 0 ⎩2a + 2 = 0 x −1 Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) x +1 Tìm treân ñöôøng thaúng y = x nhöõng ñieåm sao cho coù theå keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vaø goùc giöõa 2 π tieáp tuyeán ñoù baèng 4 Goïi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x 0 , x 0 ) ⇒ tieáp tuyeán taïi M tieáp xuùc (C) daïng y = k(x − x 0 ) + x 0 (d) x −1 Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) kx − kx 0 + x 0 = (1) x +1 Theo ycbt thì (1) coù nghieäm keùp ⇔ kx 2 + (k − kx 0 + x 0 − 1)x + x 0 − kx 0 + 1 = 0 ⎧k ≠ 0 coù nghieäm keùp ⇔ ⎨ ⎩Δ = (1 + x 0 ) k − 2(x 0 + 3)k + (x 0 − 1) = 0 (2) 2 2 2 2
  7. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt π Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) taïo thaønh goùc 4 2 k − k2 π ⎛ k − k2 ⎞ ⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa 1 = tan = 1 ⇔ ⎜ 1 ⎟ =1 1 + k1 .k 2 4 ⎝ 1 + k1 .k 2 ⎠ ⎧x 0 + 1 ≠ 0 ⎧x 0 ≠ 1 ⎪ ⎪ 2 2 ⇔ ⎨Δ k = 8(x 2 + 1) > 0 0 ⇔ ⎨ ⎡ 2(x 2 + 3) ⎤ ⎡ x0 − 1⎤ ⎥ −5⎢ ⎥ −1 = 0 0 ⎪(k + k ) − 5k .k − 1 = 0 ⎪⎢ ⎩ 1 2 1 2 ⎩ ⎣ (1 + x 0 ) ⎦ ⎣ x0 + 1⎦ ⎧x 0 ≠ −1 ⎧M(− 7, − 7) ⎪ ⇔⎨ 2 ⇔ x0 = ± 7 ⇒ ⎨ ⎩x 0 + 1 = 8 ⎪M( 7, 7) ⎩ Cho Parabol (P) : y = 2x 2 + x − 3 . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc Oy sao cho töø ñoù ta coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (P) vaø 2 tieáp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau 1 goùc 450 Goïi M(0,m) ∈ Oy . Phöông trình qua M coù heä soá goùc k laø y = kx + m (d) Phöông trình hoaøng ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø : 2x 2 + x − 3 = kx + m ⇔ 2x 2 + (1 − k)x − m − 3 = 0 (1) (d) laø tieáp tuyeán cuûa (P) khi (1) coù nghieäm keùp ⇔ Δ = 0 ⇔ k 2 − 2k + 8m + 25 = 0 (2) Coù k1 + k 2 = 2 ; k1 .k 2 = 8m + 25 k 2 − k1 Hai tieáp tuyeán hôïp nhau 1 goùc 450 khi tan 450 = 1 = 1 + k1 .k 2 ⇔ (k1 + k 2 )2 − 4k1 k 2 = (1 + k1 k 2 )2 (3) Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán taïo nhau goùc 450 khi (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa (3) ⎧Δ| = 1 − 8m − 25 = 0 ⎧m < −3 ⇔⎨ k ⇔⎨ ⎩16m + 112m + 193 = 0 2 ⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26) 2 3 + 14 3 − 14 ⇔m=− ∨m= 4 4 ⎛ 3 + 14 ⎞ ⎛ 3 − 14 ⎞ Vaäy M1 ⎜ 0, − ⎟ , M 2 ⎜ 0, ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x2 Cho haøm soá y = goïi ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå x −1 keû tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp nhau goùc 450 Goïi A(a,4) laø ñöôøng thaúng tuyø yù treân y = 4 ⎧Qua A(a, 4) Goïi (T) laø ñöôøng thaúng ⎨ coù daïng: y = k(x − a) + 4 ⎩Coù heä soá goùc laø k Vaø moïi ñöôøng thaúng (T1) vaø (T2) ñi qua A coù heä soá goùc k ñeàu coù daïng : y = k1 (x − a) + 4 vaø y = k 2 (x − a) + 4
  8. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt k1 − k 2 Do (T1) vaø (T2) taïo nhau 1 goùc 450 khi tan 450 = 1 + k1 .k 2 ⇔ (1 + k1k 2 )2 = (k1 − k 2 )2 ⇔ (1 + k1k 2 )2 − (k1 + k 2 )2 + 4k1k 2 = 0 (1) x2 Do (T) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) ⇔ = k(x − a) + 4 coù nghieäm keùp x −1 ⇔ (1 − k)x 2 − (4 − ka − k)x + 4 − ka = 0 coù nghieäm keùp khaùc ⎧1 − k ≠ 0 ⎪ ⎪k ≠ 1 ⎧ 1⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ k ⎡(a − 1) − 4(a − 2) ⎤ = 0 (2) 2 ⎪Δ = (a − 1) k − 4(a − 2)k = 0 2 2 ⎩ ⎩ ⎣ ⎦ Qua A keû ñöôïc tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goù 450 khi phöông trình (2) coù 2 nghieäm k1,k2 (k ≠ 1) ⎧k = 0 ⎪ vaø thoûa maõn heä thöùc (1) ⎨ 4(a − 2) thoûa maõn (1) khi ⎪ k = (a − 1)2 ⎩ ⎧ 4(a − 2) ⎪ k = (a − 1)2 ≠ 1 ⎧a ≠ 3 ⎪ ⎪ ⎨ 2 ⇔ ⎨a ≠ 1 ⎡ ⎪ k = 0.(1 + 0) − 0 + 4(a − 2) ⎤ ⎪a2 + 2a − 7 = 0 2 ⎢ + 4.0 = 0 ⎩ ⎪ ⎩ ⎣ (a − 1)2 ⎥ ⎦ ⎡ a = −1 − 2 2 ⇔⎢ ⎢a = −1 + 2 2 ⎣ Vaäy A1 (−1 − 2 2, 4) , A 2 (−1 + 2 2, 4) x2 + x + 2 Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm treân (C) caùc ñieåm A ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi A vuoâng x −1 goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò ⎛ 4 ⎞ Giaû söû A ⎜ x 0 , x 0 + 2 + ⎟ laø ñieåm baát kyø treân (C) vaø I(1,3) laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieám caän ⎝ x0 − 1 ⎠ uur ⎛ 4 ⎞ ⇒ AI = ⎜ 1 − x 0 ,1 − x 0 − ⎟ ⎝ x0 − 1 ⎠ uur Nhö vaäy AI laø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AI Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa (C) tieáp xuùc vôùi (C) taïi A , coù heä soá goùc 4 r ⎛ 4 ⎞ r uur k = y|(x ) = 1 − ⇒ a = ⎜ 1,1 − ⎟ laø vectô chæ phöông cuûa (d) ; do ñoù (d) ⊥ (AI) ⇔ a.AI = 0 0 (x 0 − 1)2 ⎝ (x 0 − 1)2 ⎠ ⇒ x0 = 1 ± 4 8 ⎛ 4 − 34 8 + 8 ⎞ ⎛ 4 4 + 34 8 + 8 ⎞ Vaäy coù 2 ñieåm A1 ⎜ 1 − 4 8, ⎟ , A 2 ⎜ 1 + 8, ⎟ ⎜ 4 8 ⎟ ⎜ 4 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  9. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x 2 − 3x + 2 Cho haøm soá y = .Tìm treân ñöôøng thaúng x = 1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc 2 tieáp x tuyeán ñeán (C) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc nhau Goïi M(1,m) ∈ x = 1 .Ñöôøng thaúng (T) qua M coù heä soá goùc k daïng : y = k(x − 1) + m Töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau tôùi (C) khi heä ⎧ x 2 − 3x + 2 ⎪ = k(x − 1) + m ⎪ x ⎧ (x , k ) ⎨ 2 ( I ) coù 2 nghieäm ⎨ 1 1 thoûa maõn k1 .k 2 = −1 ⎪x − 2 = k ⎩(x 2 , k 2 ) ⎪ x ⎩ 2 Töø ( I ) ⇒ (m + 2)x 2 − 4x + 2 = 0 (*) , x ≠ 0 ⎧ ⎪ ⎧m ≠ −2 ⎪m + 2 ≠ 0 ⎪ ⎪ ⎪ Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = 4 − 2(m + 2) > 0 ⇔ ⎨m < 0 ⎪ (x 2 − 2) (x 2 − 2) ⎪ ⎪(x1x 2 ) − 2 ⎣(x1 + x 2 ) − 2x1x 2 ⎦ + 4 = −(x1x 2 ) 2 2 ⎪ 1 ⎡ ⎤ . 2 2 = −1 ⎩ ⎪ x1 ⎩ 2 x2 ⎧−2 ≠ m < 0 ⎪ ⇔ ⎨⎛ 2 ⎞2 ⎡⎛ 4 ⎞ 2 4 ⎤ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎪⎜ m + 2 ⎟ − 2 ⎢⎜ m + 2 ⎟ − m + 2 ⎥ + 4 = − ⎜ m + 2 ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ ⎧ −2 ≠ m < 0 ⎪ −2 ≠ m < 0 ⎧ ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ m = −3 ± 7 ⎩m + 6m + 2 = 0 ⎪ m = −3 ± 7 ⎩ Vaäy M1 (1, −3 − 7) , M 2 (1, −3 + 7) Cho haøm soá y = x 3 + 3x 2 .Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng 3 tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) , trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi M(m,0) laø ñieåm baát kyø treân truïc hoaønh Ñöôøng thaúng (d) ñi qua M coù heä soá goùc laø k daïng : y = k(x − m) ⎧x 3 + 3x 2 = k(x − m) (d) laø tieáp tuyeán (C) khi ⎨ 2 (I) ⎩3x + 6x = k Qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau khi ( I ) coù 3 giaù trò k sao cho 2 trong 3 giaù trò ñoù tích baèng -1 Khi ñoù ( I ) ⇔ x 3 + 3x 2 = (3x 2 + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡2x 2 + 3(1 − m)x − 6m ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎡x = 0 ⇔⎢ 2 ⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = 0 (*) ⎡ m < −3 ⎧Δ = 3m 2 + 10m + > 0 Theo ycbt (*) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 ⇔ ⎨ ⇔⎢ 1 ⎩ m≠0 ⎢− < m ≠ 0 ⎣ 3
  10. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ 2 ⎪x1 + x 2 = (m − 1) Khi ñoù pt (*) coù 2 nghieäm vaø ⎨ 3 ⎪x1x 2 = −3m ⎩ Khi qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) thì k1 = 3x1 + 6x1 , k 2 = 3x 2 + 6x 2 , k 3 = 0 2 2 Theo baøi toaùn : k1k 2 = −1 ⇔ (3x1 + 6x1 )(3x 2 + 6x 2 ) = −1 2 2 1 1 ⇒m= thoûa m < −3 hoaëc − < m ≠ 0 27 3 ⎛ 1 ⎞ Vaäy M ⎜ , 0 ⎟ ⎝ 27 ⎠ 2x 2 − x + 1 Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm treân truïc hoaønh 4 ñieåm töø ñoù döïng ñöôïc tieáp tuyeán hôïp x −1 vôùi Ox goùc 450 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñoù Tieáp tuyeán hôïp vôùi Ox goùc 450 laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = ± 1 2 TH1: k = y| = 1 ⇔ 2 − = 1 ⇒ x = 1± 2 (x − 1)2 ⎡x = 1 − 2 ⎡y = 3 − 3 2 ⎡ (T ) : y = x + 2 − 2 2 ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 1 ⎢x = 1 + 2 ⎣ ⎢y = 3 + 3 2 ⎣ ⎢(T2 ) : y = x + 2 + 2 2 ⎣ 2 2 TH2: k = y| = −1 ⇔ 2 − = −1 ⇔ x = 1 ± (x − 1) 2 3 ⎡ 2 ⎡ 2 ⎢x = 1 − ⎢y = 3 − 5 ⎡ (T ) : y = − x − 4 − 2 6 3 3 ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 3 ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢(T4 ) : y = −x + 4 + 2 6 ⎢x = 1 + ⎢y = 3 + 5 ⎣ ⎣ 3 ⎣ 3 Cho haøm soá y = x 3 − 3x 2 + 2 coù ñoà thò (C) ⎛ 23 ⎞ 1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù qua A ⎜ , −2 ⎟ ⎝ 9 ⎠ 2.Tìm treân ñöôøng thaúng y = -2 caùc ñieåm töø ñoù coù theå keû ñeán ñoà thò (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc ⎛ 23 ⎞ 1.Tieáp tuyeán (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − 2 ⎝ 9 ⎠ ⎧ 3 ⎛ 23 ⎞ ⎪x − 3x + 2 = k ⎜ x − ⎟ − 2 2 Ta coù : ⎨ ⎝ 9 ⎠ ⇒ (x − 2)(3x 2 − 10x + 3) = 0 ⎪3x 2 − 6x = k ⎩ ⎡ ⎡ ⎢ x = 2, k = 0 ⎢(d) : y = −2 ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ x = 3, k = 9 ⇒ tieáp tuyeán ⎢(d) : y = 9x − 25 ⎢ 1 5 ⎢ 5 61 ⎢x = , k = − ⎢(d) : y = − x + ⎣ 3 3 ⎣ 3 27
  11. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Goïi A(a,-2) ∈ y = −2 Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc laø k , coù phöông trình y = k(x − a) − 2 Ñieàu kieän (T) vaø (C) tieáp xuùc nhau laø: ⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − a) − 2 ⎨ 2 ⇒ (x − 2) ⎣ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎦ = 0 ⎡ ⎤ ⎩ 3x − 6x = k ⎡ x = 2 ; k = 0 ⇒ y = −2 ⇔⎢ ⎢g(x) = 2x 2 − (3a − 1)x + 2 = 0 coù x1 + x 2 = 3a − 1 ; x1 .x 2 = 1 ⎣ 2 Ñeå töø A döïng 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1 ⎧ 5 ⎧Δ g > 0 ⎧(3a − 1) − 16 > 0 2 ⎪a < −1 ∨ a > 3 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⇔ ⎨ k1 .k 2 = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x 2 − 6x 2 ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55 2 ⎪g ≠ 0 ⎪a ≠ 2 ⎪a ≠ 2 ⎩ (2) ⎩ ⎪ ⎩ 55 ⎛ 55 ⎞ ⇔a= ⇒ A ⎜ , −2 ⎟ 27 ⎝ 27 ⎠ Cho haøm soá y = −x 3 + 3x 2 − 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 töø ñoù döïng ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán ñoà thò Goïi A(a,2) ∈ y = 2 Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = k(x − a) + 2 laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä : ⎧−x 3 + 3x 2 − 2 = k(x − a) + 2 ⎨ coù nghieäm ⎩−3x + 6x = k 2 ⇒ (x − 2) ⎡ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎤ = 0 ⇔ ⎡ x − 2 = 0 ⎣ ⎦ ⎢2x 2 − (3a − 1)x + 2 = g(x) = 0 ⎣ Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 thoûa : ⎧ Δg > 0 ⎧ 5 ⎪ ⎧3(a + 1)(3a − 5) > 0 ⎪ a < −1 ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 ⎪g(2) ≠ 0 ⎩ ⎩a ≠ 2 ⎪a ≠ 2 ⎩ 5 Vaäy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ 2 3 (m − 1)x + m Cho hoï ñöôøng cong (Cm) : y = , m ≠ 0 .Chöùng minh raèng (Cm) tieáp xuùc 1 ñöôøng thaúng coá x−m ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh khi m: thay ñoåi (m − 1)x 0 + m Goïi (x0,y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua khi y 0 = x0 − m ⇔ (x 0 + y 0 − 1)m − x 0 (y 0 + 1) = 0 : coù nghieäm ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m
  12. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧x + y 0 − 1 = 0 ⎧x = 0 ⎪ ⎧x = 2 ⇔⎨ 0 ⇔⎨ 0 ∨ ⎨ 0 ⎩ x 0 (y 0 + 1) = 0 ⎪ y0 = 1 ⎩ ⎩ y 0 = −1 Ñieàu kieän ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m neân A(0,1) thoûa baøi toaùn Vaäy A(0,1) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua −m 2 −m 2 Ta laïi coù y| = ⇒ y| (0) = = −1 ; ∀m ≠ 0 (x − m)2 (0 − m)2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi A laø y − y A = y| (0)(x − x A ) ⇔ y = x +1 Cho haøm soá y = x 3 − 12x + 12 ,ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng thaúng y = -4 nhöõng ñieåm A maø töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) Goïi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − 4 ⎧x 3 − 12x + 12 = k(x − a) − 4 Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä ⎨ 2 ⎩3x − 12 = k ⎡x = 2 ⇔⎢ ⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + 8 − 6a = 0 2 Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán phaân bieät ⇔ g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 ⎧Δ > 0 ⎧ 4 ⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a > ⇔⎨ ⇒⎨ 3 ⎪g(2) ≠ 0 ⎩a ≠ 2 ⎪ ⎩ 4 Vaäy nhöõng ñieåm A(a, −4);a < −4 ∨ a > ∧ a ≠ 2 thoûa baøi toaùn 3 Cho haøm soá y = x 4 − 4x 3 + 3 , coù ñoà thò laø (C) 1.Chöùng minh raèng toàn taïi moät tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät 2.Vieát phöông trình tieáp tuyeán thöù 2 vôùi ñoà thò song song vôùi tieáp tuyeán vöøa keå . Cho bieát hoaønh ñoä tieáp ñieåm 3.Döïa vaøo caùc keát quaû treân , tuyø theo tham soá m , suy ra soá nghieäm phöông trình : x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 1.Tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm cuûa (C) daïng y = ax + b (d) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) laø: x 4 − 4x 3 + 3 = ax + b ⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = 0 (1) Ñeå (d) tieáp xuùc (C) thì phaûi coù ñoàng thôøi 2 nghieäm keùp ⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = (x − α )2 (x − β)2 ⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = x 4 − 2(α + β)x 3 + (α 2 + β2 + 4αβ)x 2 − 2αβ(α + β)x
  13. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧α + β = 2 ⎧α + β = 2 ⎪α 2 + β2 + 4αβ = 0 ⎪αβ = −2 ⎪ ⎪ Ñoàng nhaát thöùc 2 veá ⎨ ⇔⎨ ⎪2αβ(α + β) = a ⎪ a = −8 ⎪α β = 3 − b ⎩ 2 2 ⎪ b = −1 ⎩ ⎧ tieáp tuyeán : y = −8x − 1 (d1 ) ⎪ ⇒⎨ ⎪ hoaønh ñoä tieáp ñieåm : α = 1 − 3 ; β = 1 + 3 ⎩ 2.Tieáp tuyeán song song y = −8x −1 Ta coù y| = −8 ⇔ 4x 3 − 12x 2 = −8 ⇔ ⎡ x = 1 ⇒ y = 0 ⎢ ⎢x = 1 − 3 ⎢x = 1 + 3 ⎣ Vaäy tieáp tuyeán thöù 2 coù phöông trình y = −8x + 8 (d 2 ) 3. x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3 Laø phöong trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa ⎧(C) : y = x 4 − 4x 3 + 3 ⎨ ⎩(d) : 8x − m + 3 (d1 ) ∩ Oy = {0, −1} , (d) ∩ Oy = {0,3 − m} (d 2 ) ∩ Oy = {0,8} -m + 3 m Nghieäm phöông trình +∞ m < -5 2 nghieäm 8 m = -5 3 nghieäm (coù 1 nghieäm keùp x = 1) -5 < m < 4 4 nghieäm phaân bieät -1 m=4 2 nghieäm keùp x = 1 ± 3 −∞ m>4 Voâ nghieäm (3m + 1)x − m 2 + m Cho haøm soá y = , m ≠ 0 coù ñoà thò laø (Cm) x+m 1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh , tieáp tuyeán seõ song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 20 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy 2.CMR : (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh 3.Treân ñöôøng thaúng x = 1 , chæ ra taát caû caùc ñieåm maø khoâng coù ñöôøng naøo cuûa (Cm) ñi qua m2 − m 1 1. (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x 0 − m 2 + m = 0 ⇔ x 0 = ; m ≠ 0; m ≠ − 3m + 1 3 4m 2 (3m + 1)2 Ta coù : y| = ⇒ y|0 = (x + m)2 4m 2 (3m + 1)2 Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 10 ⇔ y|0 = 1 ⇔ =1 4m 2 ⎡ m = −1 , x 0 = −1 , y 0 = 0 ⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + 1 ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎛3 ⎞ 1 3 ⎢m = − , x0 = , y0 = 0 ⎢ B , 0 , (T2 ) : y = x − 3 ⎣ 5 5 ⎢ ⎜ ⎣ ⎝5 ⎠ ⎟ 5
  14. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Goïi ñöôøng thaúng coá ñònh laø y = ax + b (3m + 1)x − m 2 + m Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : = ax + b x+m ⇔ ax 2 + [(a − 3)m + b − 1] x + m 2 + (b − 1)m = 0 ⎧a ≠ 0 ⎧a ≠ 0 ÑKTX : ⎨ ∀m ⇔ ⎨ 2 ⎩(a − 10a + 9)m + 2 [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = 0 2 2 ⎩Δ = 0 ⎧⎡ a = 1 ⎪⎢ ⎧(T ) : y = x + 1 ⇔ ⎨ ⎣a = 9 ⇔ ⎨ 1 ⎪ b =1 ⎩(T2 ) : y = 9x + 1 ⎩ 3.Goïi A(1,a) ∈ x = 1 3m + 1 − m 2 + m Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a = voâ nghieäm m 1+ m ⇔ m 2 + (a − 4)m + a − 1 = 0 voâ nghieäm m khi Δm < 0 ⇔ a2 − 12a + 20 < 0 ⇔ 2 < a < 10 Nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng qua laø A(1,a) ; 2 < a < 10 Cho ñöôøng cong y = 3x − 4x 3 ; ñoà thò (C) 1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(1,3) 2.Tìm treân ñöôøng cong y = -9x + 8 nhöõng ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø chuùng vuoâng goùc nhau 1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua M(1,3) vaø coù heä soá goùc laø k coù pt : y = k (x – 1) vaø coù x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm , khi ñoù ta coù : ⎧3x 0 − 4x 3 = k(x 0 − 1) + 3 ⇔ ⎧ x 0 = 0 ; k = 3 ; y = 3x 0 ⎨ ⎪ ⎩ 3 − 12x 2 = k ⎨ 3 ⎪x 0 = 2 ; k = −24 ; y = −24x + 27 0 ⎩ 2.Goïi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + 8 . Moïi ñöôøng thaúng qua A coù heä soá goùc laø k ñeàu coù phöông trình : y = k(x − a) − 9a + 8 vaø x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm khi heä ⎧3x 0 − 4x 3 = k(x − a) − 9a + 8 ⎨ 0 coù nghieäm ⎩3 − 12x 2 = k 0 ⇔ (x 0 − 1) ⎡2x 2 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a ⎤ = 0 ⎣ 0 ⎦ ⎡x = 1 ; k = 9 ⇔⎢ 0 ⎣ f ( x 0 ) = 2x 0 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a = 0 2 Theo baøi toaùn ta coù f ( x 0 ) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät 2 ⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > 0 ⇔ a > ∨ a < −2 (*) 3 f ( x 0 ) = 0 thoûa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t1 )(3 − 12t 2 ) = −1 2 2 ⇔ 9 − 36 ⎡(t1 + t 2 )2 − 2t1t1 ⎤ + 144t1 t 2 = −1 Vôùi t1 t 2 laø 2 nghieäm cuûa f(x 0 ) = 0 ⎣ ⎦ 2 2
  15. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x 2 + (1 − 2m)x − m Goïi (Cm) laø ñoà thò y = f (x) = . Haõy xaùc ñònh giaù trò m ñeå (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm vaø 2 x −1 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi Giaûi x 2 + 2x + m m y ' = f '(x) = ; y = x − 2m + ;(m ≠ 0) (x + 1) 2 x +1 (Cm) caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ phöông trình : x 2 + (1 − 2m)x − m = 0 (1) coù hai nghieäm ⎧Δ = (1 − 2m) 2 − 4(− m) > 0 ⎪ phaân bieät khaùc -1 ⇔ ⎨ ⎪(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ 0 2 ⎩ ⎧4m 2 + 1 > 0 ⇔ ⎨ ñuùng. ⎩ m≠0 Vaäy vôùi m ≠ 0 thì (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) vôùi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa phöông trình (1). Khi ñoù ta coù : x1 + x 2 = 2m − 1 vaø x1x 2 = −m Tieáp tuyeán taïi M, N vuoâng goùc nhau ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 ⎛ x 2 + 2x + m ⎞⎛ x 2 + 2x + m ⎞ ⇔⎜ 1 1 ⎟⎜ 2 2 ⎟ = −1 ⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟ ⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 2 + 2x 2 + m) = − ( x1 + 1) ( x 2 + 1) 2 2 ⇔ (x1x 2 )2 + 2x1x 2 (x1 + x 2 ) + m(x12 + x 2 2 ) + 2m(x1 + x 2 ) + m 2 + 4x1x 2 = −(x1x 2 + x1 + x 2 + 1)2 ⇔ 4m 2 + m(2m − 1)2 − 4m = −m 2 ⇔ m(4m 2 + m − 3) = 0 3 ⇔ m = 0 (loaïi) V m = −1 V m = 4 Vaäy 3 m = −1 V m = 4 Nhaän xeùt : 1) Neáu ko ñaët ñieàu kieän m ≠ 0 ñeå toàn taïi (Cm) laø haøm höõu tæ hoaëc khoâng noùi roõ (Cm) caét Ox coù hai nghieäm khaùc maãu soá (nghóa laø m ≠ 0 ) thì aét haún ta nhaän m=0 laøm nghieäm thì keát quaû sai. 2) Thoâng thöôøng caùc em quen duøng Viet cho y' . Nhöng yeâu caàu baøi toaùn khoâng ñeà caäp y' ñeå f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 trong Viet cuûa phöông trình baäc hai. 1/ Cho haøm soá y = x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 5 coù ñoà thò (C) .Tìm phöông trình tieáp tuyeán tieáp xuùc (C) taïi hai ñieåm phaân bieät , tính toaï ñoä tieáp ñieåm. 2/ Chöùng minh raèng coù 1 tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc (C) : y = x 4 + 4 x3 − 2 x 2 + 7 x + 6 taïi hai ñieåm phaân bieät . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. 3/ Xaùc ñònh a, b ñeå (d) : y= ax+b tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong (C) : y = x 4 − 6 x3 + x 2 + 26 x + 3 taïi hai ñieåm phaân bieät. Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
  16. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1/ Goïi (d) : y = ax + b. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) : x ≠ 3 x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = ax + b ⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = 0 Phöông trình (1) phaûi coù 2 nghieäm keùp x1 , x2 phaân bieät. (1) vieát laïi ⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = ( x − x1 ) 2 ( x − x2 ) 2 = 0 ⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = x 4 − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 x2 ⎤ x 2 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 2 = 0 ⎣ ⎦ Ñoàng nhaát thöùc hai veá ta ñöôïc: ⎧2( x1 + x2 ) = 2 ⎧ x1 + x2 = 1 ⎪ ⎪ x x = −2 ⎪( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = −3 2 ⎪ ⎨ ⇔⎨ 1 2 ⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a ⎪a = −4 ⎪x x = 5 − b 2 2 ⎪b = 1 ⎩ ⎩ 1 2 ⇒ tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai ñieåm phaân bieät (d): y= -4x+1. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm phöông trình : x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x= -1 V x= 2 Vaäy 2 tieáp ñieåm laø ; A (-1,5) ; B (2,-7) 2/ Töông töï y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18) 3/ Töông töï y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5) (m − 1) x 2 − (5m + 2) x + 2m − 14 Cho (C) : y = vaø (d) : y = 2mx + 2 . x−3 1. Xaùc ñònh m ñeå (C) vaø (d) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. 2. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (d) vaø truïc Oy. Tính theo m toaï ñoä cuûa ñieåm N treân (d) thoaû maõn heä thöùc uuu r uuur NA MA uuu = − uuur . r NB MB 3. Tìm quyõ tích ñieåm N khi m thay ñoåi. (m − 1)x 2 − (5m + 2)x + 2m − 14 1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d): =2mx+2; x ≠ 3 x −3 ⇔ (m + 1) x 2 + (4 − m) x + 8 − 2m = 0 (1). (d) caét (C) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
  17. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ 4 ⎧m + 1 ≠ 0 ⎪m < − V m > 4 ⎨ ⇔⎨ 9 ⎩Δ = 9m − 32m − 16 > 0 2 ⎪ m ≠ -1 ⎩ uuu r uuur NA MA x −x ⎛x −x ⎞ 2. uuu = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟ r NB MB xB − x N ⎝ xB − xM ⎠ ⇔ ( x A + x B ) x N = 2 x A xB ⇔ x N = 4 yN = 2mxN + 2 = 2 − 8m ⇒ N (-4,2-8m). ⎧2 − y ⎧ m ≠ −1 ⎪ 8 ≠ −1 ⎧ y ≠ 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ 4 ⎪⎡ 2 − y 9 ⎪ ⎡ y < −30 3. xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giôùi haïn bôûi: ⎨ ⎢ m < − ⇔ ⎨⎢ < − ⇔ ⎨⎢ ⎪⎢ 9 ⎪⎢ 8 4 ⎪ ⎢ y > 50 ⎪⎣m > 4 ⎩ ⎪⎢ 2 − y ⎪⎣ ⎩ 9 ⎪⎢ 8 > 4 ⎩⎣ 50 Quyõ tích ñieåm N laø phaàn ñöôøng x = -4 , öùng y< -30 V y > vôùi y ≠ 10 9 Cho haøm soá : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) .Tìm caùc ñieåm thuoäc ñoà thò (C) maø qua ñoù keû ñöôïc moät vaø chæ moät tieáp tuyeán tôùi ñoà thò (C). Goïi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3 x0 − 2 . Phöông trình ñöôøng thaúng (t) qua M coù heä soá goùc laø k coù daïng 2 y = k ( x − x0 ) + y0 ⎧− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0 ⎪ (t) tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm : ⎨ vôùi y0 = − x03 + 3 x0 − 2 2 ⎪−3 x + 6 x = k 2 ⎩ ⇔ ( x − x0 ) ⎡ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤ = 0 ⎣ 2 ⎦ ⎡ x − x0 = 0 ⇔⎢ ⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3) 2 ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ 1 2 ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎢ x = x0 Vx = 3 − x0 ⎣ 2 ⎡ x = x0 ⎡ k = −3 x0 2 + 6 x0 ⎢ ⇔⎢ 3 − x0 ⇒ ⎢ ⎛ 3 − x0 ⎞ 2 ⎛ 3 − x0 ⎞ ⎢x = ⎣ 2 ⎢ k = −3 ⎜ 2 ⎟ + 6 ⎜ 2 ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − x0 Vaäy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) coù 2 tieáp tuyeán vôùi tieáp ñieåm x = x0 , x = . Muoán coù 1 vaø chæ 1 tieáp tuyeán 2 3 − x0 vôùi (C) , ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø 2 tieáp ñieåm phaûi truøng nhau ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = 0 . Khi ñoù heä soá 2 goùc cuûa tieáp tuyeán laø k = 3.
  18. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Keát luaän : Vaäy coù tieáp tuyeán duy nhaát cuûa (C) laø : y=3(x -1) vôùi tieáp ñieåm M 0 (1, 0) Cho ñöôøng cong y = − x3 + 3x + 2 tìm caùc ñieåm treân truïc hoaønh sao cho töø ñoù veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong Goïi M ( x0 , 0) ∈Ox : Ñöôøng thaúng qua M coù daïng y = k ( x − x0 ) ;(t) (t) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm: ⎧ 3 ⎪ − x + 3 x − 2 = k ( x − x0 ) 2 ⎨ ⎡ ⎤ ⇔ ( x + 1) ⎣ 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎦ = 0;(1) ⎪ −3 x + 6 x = k 2 ⎩ Qua M ( x0 , 0) veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong khi : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⎧Δ = (3x0 + 2) 2 − 8(3x0 + 2) > 0 ⎪ ⇔⎨ ; f ( x) = 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎪ f ( −1) = 6 x0 + 6 > 0 ⎩ 2 ⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > 2 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa y = x 2 − 2 x ; y = x3 + 2 x − 4 Goïi y= ax+b laø tieáp tuyeán chung vaø giaû söû x1 , x2 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm. Vôùi y = x 2 − 2 x vaø y = x3 + 2 x − 4 . Khi heä sau coù nghieäm ⎧ ⎧ x12 − 2 x1 = ax1 + b;(1) ⎪b = x12 − 2 x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12 ⎪ ⎪ ⎪2 x1 − 2 = a;(2) ⎪ 3x 2 + 4 ⎨ 3 ⇒ ⎨ x1 − 2 = 3x2 2 + 2 ⇒ x1 = 2 ⎪ x2 + 2 x2 − 4 = ax2 + b;(3) ⎪ 2 ⎪3 x 2 + 2 = a;(4) ⎪ 3 (3 x2 + 4) 2 ⎩ 2 ⎪ x2 + 2 x2 − 4 = x2 (3x2 2 + 2) − ⎩ 4 ⎧9 x2 − 8 x2 + 24 x2 = 0 4 3 ⎪ ⎪a = 3 x2 + 2 2 ⎧ x2 = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 3 x2 2 + 4 ⇒ ⎨a = 2 ⇒ y = 2 x − 4 ⎪ x1 = ⎪b = −4 ⎪ 2 ⎩ ⎪b = − x1 ⎩ 2 x+2 Cho haøm soá y = .Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñi qua A (-6,5) x−2 Phöông trình ñöôøng thaúng qua A (-6,5) coù heä soá goùc laø k : y = k ( x + 6) + 5 , (d) (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
  19. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ 4 ⎧ 4 ⎪1 + x − 2 = k ( x + 6) + 5 ⎪1 + x − 2 = k ( x − 2) + 8k + 5 ⎪ ⎪ ⎨ ⇔⎨ ⎪− 4 ⎪− 4 2 = k =k ⎪ ( x − 2) ⎩ 2 ⎪ ( x − 2) ⎩ ⎧ 4 4 ⎪1 + x − 2 = − x − 2 + 8k + 5 ⎪ 2 = 2k + 1 ⎪ ⎧ ⇔⎨ ⇔ ⎨x−2 ⎪− 4 ⎪ =k ⎩−(2k + 1) = k 2 ⎪ ( x − 2) ⎩ 2 ⎡ k = −1 1 1 7 ⇔⎢ 1 vôùi k = -1 :y= -x -1 vôùi k = − : y = − x + ⎢k = − 4 4 2 ⎣ 4 4 + mx − 3x 2 Cho haøm soá y = .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0 4x + m vuoâng goùc vôùi tieäm caän. • Tieäm caän ñöùng : 4 x + m = 0 . 3 7 • Tieäm caän xieân : y = − x + m. 4 16 12 x − 6mx + m − 16 2 2 • y' = (4 x + m)2 m 2 − 16 Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi x0 = 0 laø y '(0) = =k m2 m 2 − 16 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi TCÑ thì k = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = ±4 m2 3 TCX ⇔ − k = −1 voâ nghieäm. 4 ⇒ tieáp tuyeán taïi x = 0 chæ vuoâng goùc TCÑ khi m = ±4 mx − 3 Cho haøm soá ( Hm) : y = x+m−4 1/ Ñònh m nguyeân ñeå haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh 2/ Vôùi m= 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân (H) maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (H) laäp vôùi Ox 1 goùc döông 1350 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán. m 2 − 4m + 3 1/ y ' = . Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh ⇔ y ' < 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 < 0 ( x + m − 4) 2 1< m < 3 ⎫ ⇔ ⎬⇒ m= 2 gt : m ∈ Ζ ⎭ 2x − 3 2/ m=2 ⇒ y = . x−2
  20. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2 x0 − 3 Goïi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 = x0 − 2 1 ⎫ y '0 = − ⎪ 1 ( x0 − 2) 2⎬⇒ =1 ⎪ ( x0 − 2) 2 k = y '0 = tan135 = −1⎭ 0 ⎡ x0 = 3; y0 = 3 ⎡ M 1 (1,1) ⇒⎢ →⎢ ⎣ x0 = 1; y0 = 1 ⎣ M 2 (3,3) M : y = −x + 2 phöông trình tieáp tuyeán taïi 1 M 2 : y = −x + 6 2 x2 − x + 1 Cho haøm soá y = x −1 1/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 3 ñieåm M keû ñöôïc ñeán (C) chæ 1 tieáp tuyeán // Ox 2/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 4 ñieåm sao töø ñieåm ñoù coù theå keû ñeán (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goùc 450 ÑS: 1/ M 1 (1, 7), M 2 (2, 7), M 3 (3, 7) 2/ M1 (−3 ± 2 6); M 2 (5 ± 2 2) x 2 + mx + m Cho haøm soá y = ; ñoà thò (Cm) ; m tham soá .Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai x+2 ñieåm phaân bieät vaø tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm ñoù vuoâng goùc vôùi nhau. x 2 + mx + m Ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät khi phöông trình : = 0 coù hai nghieäm phaân x+2 ⎧ Δ = x 2 − 4m > 0 bieät khi x 2 + mx + m =0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ≠ −2 ⇔ ⎨ ⎩ 4 − 2m + m ≠ 0 ⎡m < 0 ⇔⎢ . Vaäy vôùi m< 0 V m > 4 thì ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh ⎣m > 4 ñoä xA , xB laø nghieäm cuûa phöông trình : x 2 + mx + m = 0. Hai tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . ⇔ y '( A) y '( B ) = −1 ⎛ x 2 + 4 x A + m ⎞ ⎛ xB 2 + 4 xB + m ⎞ ⇔⎜ A ⎟⎜ ⎟ = −1 ⎝ ( x A + 2) ⎠ ⎝ ( xB + 2) 2 2 ⎠ ⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1) 2 ⎧ x A xB = m Vôùi ⎨ thì (1) ⇔ (4 − m) 2 m + (4 − m 2 ) = 0 ⎩ x A + xB = − m ⎡ m= 4 (loai) vì m >4 ⎢ m= -1 ( nhân) vì m< 0 ⇔ m = −1 ⎣ Cho haøm soá y = x3 + mx 2 + 1 coù ñoà thò laø (Cm). Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) : y= -x+1 caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät A (0,1) , B,C sao cho caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (Cm) vuoâng goùc
Đồng bộ tài khoản