Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

1.079
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật

Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này - Cách 1 : Truy toán - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3 : Dùng quy nạp toán học - Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình - Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học - Ví d ụ 1 : Cho A  2  2  2  ...  2 có 100 d ấu căn Chứng minh A không phải là một số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2 2 2  4  2 2 2  Thật vậy 22  4  2 2 2 2 < ..... 22  4  2 A 2 2 2  ...  2< Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm ) Cách giải này thường được gọi là truy toán Ví d ụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau 1 1 1 1    ...  n 1  n 1 2 2 3 3 4 Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 Giải : Xét số hạng tổng quát n  n 1 1 1  n  n 1   n  n 1 n 1  n n  n 1 1 1 1 1    ...  Vậy : n 1  n 1 2 2 3 3 4 Trang 2 ( 2 1)  ( 3  2)  ( 4  3)  ...  ( n  n 1) =
n 1 = Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví d ụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 1 1 1 1 1     ... 2 2 Ta thấy : B  5  13  5  13  5  13  ....  ( B2 – 5 )2 = 13 + B  B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B  B4 – 10 B2 – B + 12 = 0  B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0  B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0  ( B – 3 )[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0  ( B – 3 )[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0 Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 > 11 do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3 Trang 3
Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình Ví d ụ 5 : Tính giá trị của biểu thức 11 11 11 1 1 C  1 2  2  1 2  2  1 2  2 ...  1 2  2 12 23 34 99 100 Giải : 1 1 Xét số hạng tổng quát : 1   với k là số nguyên k2 ( k  1) 2 2 2 1 1 1  1   12      1 2   dương , ta có : 2 k (k 1)  k   k 1 2 2 1  1   1   1  1   1  2 1     21.   2    2 1  k   k 1  k   k  k 1  k 1    k  1 1  k   1 1 1   1  Vì : 2 1.   2  .   2 1  2.  0  k k k 1   k  1  k (k  1)    2 1 1 1 1 1 2   1   Vậy : k (k 1)2  k (k 1)  1 1 1 1 1 1 1   1   1  Nên : k 2 (k  1)2 k (k 1) k k 1 áp dung vào bài  1 1  1 1  1 1 1 1  C  1     1     1     ...  1     1 2  2 3  3 4  99 100  1111111 11 1  99        ...   100   99,99 1223344 99 100 100 Ví d ụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 4 4 4  ...  4
Trang 4 Giả sử b ài toán đúng với n = k , tức là ta có : Bk  4  4  4  ...  4 < 3 là đúng        k Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1 B k 1  4  4  4  ...  4 = 4  Bk        k 1 Vì Bk < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = 4  B k < 43 < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n Ví dụ 7 : Cho biểu thức 2 2 2 2  ...  2 A 2 2 2 2  ...  2 ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn . 1 Chứng minh A> 4 Giải : Đặt : an  2  2  2  ...  2 có biểu thức có n dấu căn 2  a1 00 2 2 A an  2an1 an1  an  2 Ta có :  và 2  a 99 2  a100 2  a100 2  a100 1 Vậy : A     2 2  2  a100   2  a100  2  a100 2  (a100  2) 4  a100 a100 Sau đây ta c/m < 2 bằng truy toán Ta có a1  2 < 2 đúng a2  2  2  2  a1 22  4  2 < a3  2  2  2  2  a2 < 22  4  2 ..... a100  2  a99 < 2
Trang 5 1 1 a100  2 < 2 + 2 = 4 , nên : V ậy : > 2  a1 0 0 4 1 Từ đó A > ( dpcm ) 4 Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học Ví d ụ 8 : Chứng minh rằng : 2 3 4 5 6 .... 2003 2004 k ak  k  1 và n và k là những số nguyên dương . Ta chứng minh Phản chứng : ak  k  1 Giả sử thì theo cách đặt trên ta có : ak2 2 ak  k .ak 1  a  k .ak 1  ak 1  2 2 mà a k  ( k  1) k k 2 2 k  2k  1 k 2  2k 2 a k ( k  1) nên a k 1  k2    k k k k 2002 2003  2003 phải đúng . với mọi số nguyên dương k , tức là ak  k 1 ak  k  1 điều này vô lý . Vậy là sai . Vậy là đúng . Do đó a2  3 . Ta có điều phải chứng minh . Ví d ụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình x  2 x  2 x  2 x  ....  2 x  2 3x  x Giải : Dễ thấy x = 0 là một ngiệm Nếu x = 1 , ta có :
Trang 6 1 2 1 2 1 ...  2 1 2 3.1  1 2  3  1 Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình Nếu x = 2 , ta có : 2  2 2  2 2  2 2  ...  2 2  2 6  2  2  2 Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phương trình Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có : 2 x  2 3 x do x = 3 nên 2 x  2 3x  2 3  2 3.3  2 9  6 Căn tiếp theo sẽ là : 2 x  2 x  2 3x  2 3  2 3  2 3.3  2 3  6  6 và quá trình như vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có : 3 2.3  3 đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phương trình Nếu x > 3 , thì x  2 x  2 x  2 x  ...  2 x  2 3 x  x  x 2  x  2 x  2 x  2 x  ...  2 x  2 3 x  x2 = x + 2x  x2 – 3x = 0  x = 0 ho ặc x = 3 Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3
Trang 7 Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau a) A 2  2  2  2  ... vô hạn dấu căn b ) B  6  6  6  6  ... vô hạn dấu căn Bài 2 : Chứng minh rằng : a ) C    6      3 6  6  ... 6   n 3 3 3 ... 3 6 b ) D    6 6      2 6    n Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : a 2  a 2  a 2  ...  a 2  a  1 ; Với n  Z+ Tn     n Bài tập 4 : Chứng minh rằng 1 1 1 1    ...  1 (n 1) n  n n 1 2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4 với mọi số nguyen dương n Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có 1 1 1 1 2 n 3 2 n 2    ...  n 2 3 4 Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau 1 1 1 1 a) A    ....  1 4 4 7 7  10 97  100 1 1 1 1 b) B    ....  2 3 3 4 4 5 100  101 Bài 7 : Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 S  1     ...  2 3 4 5 100
không phải là một số tự nhiên . Trang 8 Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 n , với mọi n  Z+     ...   n 1 2 3 4 a1 , a 2 , a 3 , a 4 , ...., a100 là 100 số tự nhiên sao Bài 9 : Cho 100 số : 1 1 1 1 1     ...   20 cho ta có : a1 a2 a3 a4 a100 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 2001    ...   4003( 2001  2002) 2003 3(1 2) 5( 2  3) 7( 3  4) Bài 11 : Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1  2 2  2 2  ...   12  22 2  3 3  4 20022  20032 2 Bài 12 : Chứng minh rằng : n2  1 3 8 15   ...  n 2 ,  n  N và n > 1 không phải là 4 9 16 một số nguyên . a ) Chưng minh rằng  n  Z+ ta đều có Bài 13 : n 1 1 1  1 n 1 n n ( n  1) b ) áp dụng chứng minh 3 44 55 2008 2007  2  3    ....  2008  2008 2 3 4 2007 Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình x  x  x  x  . ..  x  z         y vế trái có y dấu căn