Chuyên đề Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

Chia sẻ: trungtran3

"Chuyên đề Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức " là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Nội dung Text: Chuyên đề Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

 

  1. Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức a b c 3 VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:    bc ca ab 2  yzx a  2 x  b c    xz y 1 yzx xz y x yz  3 Ta đặt  y  c  a  b  nên BĐT      z  a  b  2 2 x y z  2   x yz c   2  x y  y z   z x x y y z z x              2 .  2 .  2 .  6 (đúng)  y x  z y x z y x z y x z Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  a  b  c VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2  y 2  z 2  3 . CMR: xy yz zx   3 z x y  xy a  z   yz Đặt b  với a, b, c  0 từ giả thiết x2  y 2  z 2  3  ab  bc  ca  3  x  zx c  y  Và BĐT cần CM  CM BĐT a  b  c  3 mặt khác ta có BĐT sau: a 2  b2  c 2  ab  bc  ca  a  b  c  3(ab  bc  ca)  3 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  x  y  z  1 1 4 9 VD3: Cho x, y, z >0 thoả x  y  z  1 . CMR    36 x y z  a x  a  b  c   b Từ giả thiết ta có thể đặt:  y  với a,b,c >0  abc  c z  a b  c  abc a bc a b c Nên BĐT  CM  4.  9.  36 a b c b c a c a b    4.  4.  9.  9.  22 a a b b c c b a c a  c b b a c a c b    4.     9.    4.  9.   2 .4.  2 .9.  2 4. .9.  22 (đúng) a b a c  b c a b a c b c
  2.  1 x  6  b  2a  1 Dấu “=” xảy ra    y   c  3a  3  1 z  2  VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR xyz  ( x  y  z)( y  z  x)( z  x  y) x  b c  Ta đặt  y  c  a với a, b, c  0 nên BĐT  CM BĐT (a  b)(b  c)(c  a)  8abc z  a  b  mặt khác ta có (a  b)(b  c)(c  a)  8abc  a(b  c)2  b(c  a)2  c(a  b) 2  0 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  x  y  z VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .  1  1  1 CMR:  a  1   b  1   c  1    1  b  c  a  x a  y   y Do abc  1 nên ta có thể đặt b  với x, y, z  0  z  z c  x  x z  y x  z y Nên BĐT có thể viết lại   1    1    1    1 y y  z z  x x  xyz  ( x  y  z)( y  z  x)( z  x  y) (đã CM ở VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1 VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . 1 1 1 3 CMR : 3  3  3  a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2  1 a  x   1 Ta đặt b  với x, y, z  0 và do abc  1 nên xyz  1  y  1 c   z x2 y2 z2 3 Nên BĐT     yz zx x y 2 mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:  x2 y2 z2   y  z    z  x    x  y     y  z z  x x  y   x  y  z   2     x2 y2 z 2  x  y  z 3 3 xyz 3        yz zx x y 2 2 2 Vậy BĐT đuợc chứng minh.
  3. Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1 VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz  x  y  z  2 . 3 CMR: x  y  z  xyz 2 1 1 1 Từ xyz  x  y  z  2    1 1 x 1 y 1 z 1 1 1 Ta đặt  a,  b,  c với a, b, c  0 1 x 1 y 1 z 1 a b  c 1 b a  c 1 c a  b x  ,y  ,z   Nên BĐT cần CM  CM BĐT a a b b c c a b b c c a 3 .  .  .  bc ca ca a b a b bc 2 a b 1 a b  Mặt khác ta có: .     bc ca 2 ac bc  b c 1 b c  .     ca ab 2ba ca  c a 1 c a  .     ab bc 2 cb a b  Nên a b b c c a 1 a b b c c a  3 .  .  .         bc ca ca a b a b b c 2  a c b c b a c a c b a b  2 Vậy BĐT luôn đúng Dấu “=” xảy ra  x  y  z  2 Sau đây là một số bài tập để luyện tập: Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác: a b c 1,   3 b c a c  a b a b c 1 1 1 1 1 1 2,      a b c b c a c  a b a b c Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2  y 2  z 2  2 xyz  1. CMR: 3 1, x  y  z  2 1 1 1 2,    4( x  y  z ) x y z a b c Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt x  ,y ,z  bc ca ab Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1. 1 1 1 1 CMR:    2  22  ab bc ca abc 3 6 Bài 4: Cho a, b, c  0 thoả mãn abc  1 . CMR: 1   a  b  c ab  bc  ca Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1, a 2  b2  c 2  4 3S với S là diện tich tam giác 2, a 2b(a  b)  b2c(b  c)  c 2a(c  a)  0 Gợi ý: Đặt a  x  y, b  y  z, c  z  x
  4. TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN “Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này. Bài toán: Với hai số dương x và y ta có: 1 1 1 1  (  ) (1) x y 4 x y Đẳng thức xảy ra khi x =y. Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. Cách 1. Với hai số dương x và y ta có: 1 1 1 1 ( x  y) 2  0  (x + y)2  4 xy   (  ) x y 4 x y Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y. Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 1 1 1 1 2 x  y  2 xy ,  2 .  x y x y xy 1 1 1 1 1 1 Từ đó: ( x  y) (  )  4   (  ) x y x y 4 x y Và đẳng thức xảy ra khi x =y. Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  (  );  (  );  (  ) ab 4 a b bc 4 b c ca 4 c a Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được: Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 1 1 1 1    (   ) (2) ab bc ca 2 a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. * Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 1 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b 2 a  b b  c c  a (3) * Kết hợp (2) và (3) ta có Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương: 1 1 1 1 1 1 1    (   ) (4) a  2b  c b  2c  a c  2a  b 4 a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. 1 1 1 Chú ý: Nếu thêm giả thiết    4 thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học a b c và Cao đẳng khối A, năm 2005. Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương: 1 1 1 1 1 1      (5) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 4 2    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c 1 1 4 2    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a
  5. 1 1 4 2    c  3a a  2b  c (c  3a)  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5) a  3b  b  2c  a  Đẳng thức xảy ra khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tg tg tg 2 2 2 1    B C C A A B A B C 1  tg .tg 1  tg .tg 1  tg .tg 4.tg .tg .tg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C Giải: Đặt x  tg , y  tg , z  tg thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 2 2 2 Hệ thức trở thành: x y z 1    1  yz 1  zx 1  xy 4 xyz Ta có: x y z x y z       1  yz 1  zx 1  xy ( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy ) 1 x x  1 y y  1 z z     xy  yz  zx  yz   4  xy  zx  yz  zx   4  xy  yz  zx  xy        4      1 x z x y y  z  1  1 1 1  xy  yz  zx 1    xy  yz  zx  yz  xy  zx   4  x  y  z       4    4 xyz 4 xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của x y z Q   x 1 y 1 z 1 Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và a 1 b 1 c 1 1 1 4 Q    3    a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 4 4 4 16 8 (  )     a b c ab c abc 3 8 1  Q  3  3 3 a  b  3  1  a  b  x  y  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c  2 2 a  b  c  6 c  3   z  1    1 1 x  y  Vậy: MaxQ  đạt được khi  2 3  z  1  Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
  6. x 1 1 y y  z z  x A    t  y y z z  x xt Với x, y, z, t là các số dương. Giải : Ta có: xt ty yz zx A(  1)  (  1)  (  1)  (  1)  4  1 y yz zx xt x y t  z y x zt     4 t  y y z z x xt  1 1   1 1   ( x  y)    (t  z )  y  z  x  t   4  t  y z  x    4 4  ( x  y)  (t  z ) 4 x y zt x y zt 4( x  y  z  t )  40 z y zt Vậy MinA=0 khi x = y = z = t. Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự: Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức: 1 1 1  1 1 1 1 1/      . 2a  3(b  c) 2b  3(c  a) 2c  3(a  b)  a  b b  c c  a  4 1 1 1 1 1 1 1  2/        a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 2  a  2c b  2a c  2b  Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 1 1 17    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 96 Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 2 A 2   4 xy x y 2 xy Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca T   a  b  2c b  c  2a c  a  2b Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng: 1 1 1  1 1 1    2    p a p b p c a b c trungtrancbspkt
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản