Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số

Chia sẻ: Cao Duy Duy | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:18

0
442
lượt xem
132
download

Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề giá trị cực trị của hàm số', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số

  1. Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn Cộng tác viên truongtructuyen.vn
  2. Nội dung  Tóm tắt lý thuyết  Ví dụ minh hoạ  Bài tập tự giải
  3. Giá trị cực trị của hàm số Tóm tắt lý thuyết  Cho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.  Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị x1; x2. Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau: • Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x) • f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép chia và Ax + B là số dư của phép chia) • Vì f’(x1) = f’(x2) = 0 nên - f(x1) = Ax1 + B f(x ) = Ax + B
  4. Giá trị cực trị của hàm số u(x) y=  Đối với hàm hữu tỉ v(x) . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0) ≠ 0 u(x 0 ) u'(x 0 ) y'(x 0 ) = 0 ⇔ u'(x 0 )v(x 0 ) - u(x 0 )v'(x 0 ) = 0 ⇔ = thì v(x 0 ) v '(x 0 ) u(x 0 ) u'(x 0 ) y(x 0 ) = =  Vậy giá trị cực trị của hàm số là v(x 0 ) v '(x 0 )
  5. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1 x 2 + (2m + 1)x + m2 + m + 4 Cho hàm số y = . Chứng minh rằng đồ thị hàm số 2(x + m) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi. Lời giải 1 2  x1 = 2 − m ≠ −m Ta có y ' = − = 0 ⇔ (x + m)2 − 4 = 0 ⇔  2 (x + m)2  x 2 = −2 − m ≠ −m Hàm sè có 2 ®iÓm cùc trÞ x1 = 2 - m và x 2 = - 2 - m 2x1 + 2m + 1 5 2x + 2m + 1 3 ⇒ y(x1 ) = = ; y(x 2 ) = 2 =− 2 2 2 2 VËy ®å thÞhàm sè luôn có 2 ®iÓm cùc trÞ  5  3 M  2 − m;  ; N  −2 − m; −  và  2  2 2  5  3  MN = [ (2 − m) − ( −2 − m)] +  −  −   = 4 2 kh«ng ®æi 2  2  2 
  6. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2 x 2 + mx − 2 Cho hàm số y = . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm mx − 1 cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆: x + 2y – 3 = 0. Lời giải mx − 2x + m 2 Ta có: y ' = (mx − 1)2 Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ f(x) = mx2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm   m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 1  '    phân biệt khác ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 − m2 > 0 ⇔ −1 < m < 1 m  1     f   ≠ 0 1 m − ≠ 0 m ≠ ±1  m   m
  7. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) ⇔ m ∈ ( −1;1) \ { 0} Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên: 2x1 + 2m 2 y1 = y(x1 ) = = x1 + 2 m m 2x + 2m 2 y 2 = y(x 2 ) = 2 = x2 + 2 m m 2 Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình: y = x+2 m 2 Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = x+2 m
  8. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) 1 3 Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với ∆ : y = − x+ 2 2 2  1 thì . − = −1 ⇔ m = 1 (không thỏa mãn) m  2   Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên 2 đường thẳng vuông góc với y = x+2 m Chú ý: Cho 2 đường thẳng d1: y = a1x + b1 d2: y = a2x + b2 d1 vuông góc với d2 ⇔ a1.a2 = -1 d1 song song với d2 ⇔ a1 = a2 và b1 ≠ b2
  9. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 3 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m. Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x – 2y – 5 = 0 Lời giải Ta có y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 9 - 3m >0 ⇔ − 3 < m < 3 2 Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị ⇒ y’ (x1) = y’ (x2) = 0 và theo Vi-ét ta có  x1 + x 2 = 2   m2  x1.x 2 =  3  2m2  1 1 Lấy y chia cho y’ ta được y = (x − 1)y '+  − 2  x + m2 + m 3  3  3  2m2  1 ⇒ y1 = y(x1 ) =  − 2  x1 + m2 + m  3  3  2m2  1 ⇒ y 2 = y(x 2 ) =  − 2  x 2 + m2 + m  3  3
  10. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt) Vì tọa độ (x1; y1) ; (x2; y2) luôn thỏa mãn phương trình  2m2  1 y= − 2  x + m2 + m  3  3 Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là  2m2  1 d: y =  − 2  x + m2 + m  3  3 Để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d vuông góc với ∆ và khoảng cách từ (x1; y1) ; (x2; y2) đến ∆ là bằng nhau  2m2  1  − 2  . = −1  3  2 m = 0 (1) ⇔ ⇔  x1 − 2 y1 − 5 = x 2 − 2 y 2 − 5 2(y1 + y 2 ) − (x1 + x 2 ) + 10 = 0 (2)  12 + ( −2)2 12 + ( −2)2 
  11. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)  2m2  2 2  Gi¶i (2) ⇒ 2  − 2  (x1 + x 2 ) + m + 2m  − (x1 + x 2 ) + 10 = 0  3  3   2m2  2  ⇔ 2  − 2  2 + m2 + 2m − 2 + 10 = 0  3  3  ⇔ 4m(m + 1) = 0 ⇔ m = 0 hoÆc m = −1 Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ∆: x – 2y – 5 = 0 Chú ý: Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 | Ax0 + By 0 + C| d(M; ∆ ) = A 2 + B2
  12. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 4 Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3x – 1. Xác định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox Lời giải Ta có y’ = 3mx2 – 6mx + 3. Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ g(x) = mx2 – 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt m ≠ 0 m ≠ 0 m < 0 ⇔ ' ⇔ 2 ⇔ (1)  ∆ >0 m −m > 0 m >1 Lấy y chia cho g(x) ta được: y = (x - 1).g(x) + (2 - 2m)x Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số  x1 + x 2 = 2  y = y ( x ) = ( 2 − 2m ) x   1 1 1 ⇒ g(x1 ) = g(x 2 ) = 0 và ta có  1 ⇒  x1x 2 =  y 2 = y ( x 2 ) = ( 2 − 2m ) x 2   m
  13. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 4 (tt) Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox (2 − 2m)2 ⇔ y1.y 2 < 0 ⇔ (2 − 2m)x1x 2 < 0 ⇔
  14. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 5 Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều. Lời giải Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 0 x = 0 x = 0 ⇔ ⇔ x = m 2  x = ± m(m > 0) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 (1) 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; m); B( m; m − m ); C( − m;m − m ) 2 2 ∆ABC đều ⇔ AB2 = AC2 = BC2
  15. Giá trị cực trị của hàm số Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 5 (tt)  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 m −0 +  m − m2 − m  = − m − 0 +  m − m2 − m       ⇔ ( m − 0) + ( m − m ) − m  = ( ) ( ) 2 2 2 2  2 m − ( − m) +  m − m2 − (m − m2 )      m + m4 = m + m4  ⇔ ⇔ m = 0 hoÆc m = 3 3 (2) m + m = 4m 4  Từ (1) và (2) ⇒ m = 3 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam 3 giác đều.
  16. Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số 1 y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 3 Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Bài 3: (HVQHQT – 97) Xác định m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều.
  17. Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) 2x 2 + 3x + m − 2 Bài 4: Chứng minh rằng nếu hàm số y = x+2 đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2| Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số x 2 − (m + 1)x − m2 + 4m − 2 y= x −1 a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số x 2 + 2mx + 2 y= x +1 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.
  18. Giá trị cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) − x 2 + 3x + m Bài 7: Cho hàm số y = x−4 Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn |yCĐ - yCT| = 4 mx 2 + (m2 + 1)x + 4m3 + m Bài 8: Cho hàm số y = x +m Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục Ox.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản