Chuyên đề giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chia sẻ: thuylinh_304

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn là một bài...

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số

TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
TỔ TOÁN




Giáo Viên : Trần Phú Vinh




Năm Học : 2009-2010
A.Lời nói đầu :
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên
một đoạn là một bài toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT trong các
năm vừa qua .Nhưng phần lớn học sinh không giải được bài toán này với các lý
do sau : Các em không nắm được phương pháp giải , tính đạo hàm sai, tìm
nghiệm của đạo hàm sai , tính các giá trị sai, không biết loại hoặc nhận nghiệm ,
kết luận GTLN-GTNN sai . vv…vv . Vì các lý do trên nên tôi quyết định chọn
chuyên đề này để nêu ra các loại hàm số thường cho trong bài tìm GTLN-GTNN
của hàm số trên một đoạn để nhầm giúp học sinh hạn chế những sai sót trên .
[ a; b]
y = f ( x)
B Nội Dung.: Giả sử tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn
Quy Tắc :
1.Tìm các điểm x1 ; x2 ;...; xn trên khoảng (
a; b )
, tại đó ( ) bằng không hoặc
f/ x
f / ( x)
không xác
định
2.Tính : ( ) ( 1) ( 2 ) ( n) ( )
f a ;f x ;f x ;...; f x ;f b .
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
M = max f ( x ) m = min f ( x )
[ a ;b ] [ a ;b ]
Khi đó ;
Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta có thể tóm tắt quy tắc trên thành phương pháp
[ a; b] như sau :
y = f ( x)
tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn
f / ( x)
b) Tính đạo hàm
x1 ; x2 ;...; xn ∈ ( a; b )
f / ( x) = 0
c) Giải phương trình : , tìm các nghiệm (nếu
có)
f ( a ) ; f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) ; f ( b ) .
d) Tính các giá trị :
maf ( x ) = M = max { f ( a ) ; f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) }
e) Kết luận : [ a ;b]
min ( x ) = m = min { f ( a ) ; f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) }
[ a ;b ]
C.Các loại hàm số thường gặp: Ta thường gặp các loại hàm số cho trong bài
( ) trên đoạn [ ] sau :
y= f x a; b
tìm GTLN-GTNN của hàm số
1) Hàm đa thức :
1.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
[ −1;1]
a) y = f ( x ) = 2 x3 − 6 x 2 + 1
trên đoạn
trên đoạn [ ]
f ( x ) = −2 x 4 + 4 x 2 + 3
b) y = 0; 2
1
c) y = f ( x ) = − x 3 + x 2 − 2 x + 1
trên đoạn [
−1;0]
3
Giải
( x) = 6x − 12 x
/ 2
f
f) Ta có : 
f / ( x ) = 0 ⇔ 6 x 2 − 12 x = 0 ⇔  x =0
 x =2 ( x = 2 loại )

( − ) =− ( 0 ) =1; f (1) −
f 1 7; f 3
 Tính :
Trang 1


max f ( x ) = 1 min f ( x ) = −7
[ −1;1] [ −1;1]
 Vậy : ;
f / ( x ) = −8 x 3 + 8 x
g) Ta có : 
f / ( x ) = 0 ⇔ −8 x 3 + 8 x = 0 ⇔  x =0 1
 x =± ( x = −1 loại )

( 0 ) =3; f (1) =6; f ( 2 ) =−
f 13
 Tính :
max f ( x ) =6 min f ( x ) =−13
[ 0;2] [ 0;2]
 Vậy : ;
f / ( x ) = − x2 + 2x − 2
h) Ta có : 
f / ( x ) = 0 ⇔ − x2 + 2x − 2 = 0
(vô nghiệm)

11
f (−) = (0) =
1 ;f 1
3
 Tính :
11
( x) =
max f
( x ) =1
min f
3
[ −1;0]
[ −1;0]
 Vậy : ;
1.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1
a) y = f ( x ) = x3 − x 2
trên đoạn [ ]
1;3
3
1 1
b) y = f ( x ) = − x 4 + x 2 +
2 trên đoạn [ 0; 2]
2
 5
 −2; 2 
c) y = f ( x ) = 2 x − 3x − 12 x + 1
3 2
trên đoạn  
[ −1; 4]
d ) y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 5
trên đoạn
trên đoạn [
−1;3]
f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16
e) y =
 1
0; 
g ) y = f ( x ) = x4 − x2 + 1
trên đoạn  2 
2) Hàm phân thức :
2.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
2x +1
a) y = f ( x ) =
1 − x trên đoạn [ 2; 4]
1
2x +1
b) y = f ( x ) =  − ;1
x − 2 trên đoạn  2 
4
c) y = f ( x ) = − x + 1 −
x + 2 trên đoạn [ −1; 2]
x2 + 2x − 3
d ) y = f ( x) =
trên đoạn [ ]
0;3
x+2
Giải
3
f / ( x) = > 0∀x ≠ 1
( 1− x)
2

i) Ta có : 
Trang 2


f ( 2 ) = −5; f ( 4 ) − 3
 Tính :
max f ( x ) = −3 min f ( x ) = −5
[ 2;4] [ 2;4]
 Vậy : ;
5
( x) =− < 0∀ ≠ 2
/
f x
( x −2 )
2

j) Ta có : 
 1
− ÷ 0; f (1) = 3
= −
f
 2
 Tính :
max f ( x ) = 0 minf ( x ) = −3
1 1
− 2 ;1 − 2 ;1
 Vậy : ;
   

4
f / ( x ) = −1 +
( x + 2)
2

k) Ta có : 
4
f / ( x ) = 0 ⇔ −1 + = 0 ⇔  x=04
 x =−
( x + 2)
2

( x = −4 loại )

f ( −1) = −2; f ( 0 ) = −1; f ( 2 ) = −2
 Tính :
max f ( x ) = −1 minf ( x ) = −2
[ −1;2] [ −1;2]
 Vậy : ;
x2 − 4 x + 7
f / ( x) =
( x + 2)
2

l) Ta có : 
f / ( x ) = 0 ⇔ x2 − 4 x + 7 = 0
(Vô nghiệm )

3 12
f ( 0 ) =− ; f ( 3) =
2 5
 Tính :
12 3
min f ( x ) = −
max f ( x ) =
5 2
[ 0;3] [ 0;3]
 Vậy : ;
2.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1 
−x + 2
a) y = f ( x ) =  ; 4
x + 2 trên đoạn  2 
1
b) y = f ( x ) =
2 − x trên đoạn [ 0;1]
9
c) y = f ( x ) = x + 3 +
x − 2 trên đoạn [ 3;6]
x 2 + 3x
d ) y = f ( x) =
x − 1 trên đoạn [ 0;3]
2x
e) y = f ( x ) =
3 x − 1 trên đoạn [ 1;3]
Trang 3

1 − 2x
g) y = f ( x) =
2 x − 4 trên đoạn [ −2;1]
3) Hàm phân thức :
3.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
[ −1;1]
a) y = f ( x ) = 5 − 4 x
trên đoạn
1 
 ;3
b) y = f ( x ) = 4 x − x 2
trên đoạn  2 
c) y = f ( x ) = x + 4 − x 2
Giải
 5
2
( x) =− < 0∀ ∈ −∞ ÷
/
f x ;
5 −4 x  4
a)  Ta có :
( −) = (1) =
f 1 3; f 1
 Tính :
max f ( x ) = 3 min f ( x ) = 1
[ −1;1] [ −1;1]
 Vậy : ;
2− x
f / ( x) =
4x − x2
m)  Ta có :
f / ( x) = 0 ⇔ 2 − x = 0 = 0 ⇔ x = 2

1  7
( 2 ) =2; ( 3) =
=
f ÷ ;f f 3
2  2
 Tính :
7
max f ( x ) = 2 min f ( x ) =
2
1  1 
 2 ;3  2 ;3
 Vậy : ;
   

D = [ −2; 2]
. Ta xét hàm số trên MXĐ của nó.
c) MXĐ :
x
f / ( x) = 1−
4 − x2
 Ta có :
x
( x ) = 0 ⇔1 − = 0 ⇔  x= 2 2
/
f
 x =−
4−x 2

( −2 ) = −2; f ( 2 ) = 2 2; f ( − )
f ( 2 ) = 2; f 2 =0
 Tính :
max f ( x ) = 2 minx f ( x ) = −2
2
[ −2;2] [ −2;2]
 Vậy : ;
3.2) Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
[ −1;1]
a) y = f ( x ) = 9 − 7 x 2
trên đoạn
[ 0;3]
b) y = f ( x ) = ( x − 6 ) x 2 + 4
trên đoạn
c) y = f ( x ) = 4 + 4 − x 2
x +1
d ) y = f ( x) =
x 2 + 1 trên đoạn [ −1; 2]
Trang 4

trên đoạn [ ]
e) y = f ( x ) = ( 3 − x ) x + 1 2
0; 2
4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit:
4.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
[ −1; 2]
a ) y = f ( x ) = 2 x.lx
trên đoạn
[ −1;0]
b) y = f ( x ) = x − l2 x
trên đoạn
ln x
c) y = f ( x ) =
x trên đoạn 1; l 
2
 
[ −1;0]
d ) y = f ( x ) = x 2 − ln ( 1 − 2 x )
trên đoạn
Giải
( x ) = 2l + 2 xl
/ x x
f
a)  Ta có :
f / ( x ) = 0 ⇔ x = −1

2
( − ) =− ( 2 ) =4l2
f 1 ;f
l
 Tính :
2
max f ( x ) = 4l2 min f ( x ) = −
l
[ −1;1] [ −1;1]
 Vậy : ;
f / ( x ) = 1 − 2l2 x
b)  Ta có :
1
f / ( x ) = 0 ⇔ 1 − 2l2 x = 0 ⇔ x = − ln 2
2

 Tính :
1 
1 1 1
( − ) =− − ( 0 ) =−
; f − ln 2 ÷ =− ln 2 − ; f
f 1 1 1
2  2 2
l
1
1 ln 2 − 1 min f ( x ) = −1−
m axf ( x ) = −
2
2 l
[ −1;0] [ −1;0]
 Vậy : ;
1 − ln x
f / ( x) =
x2
c)  Ta có :
f / ( x ) = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = l

1 2
( l ) =l
(1) =0; ( l) = 2
f f ;f 2
l
 Tính :
1
( x) =
max f
( x ) =0
min f
l
 l2 
1; 
  l2 
1;
 Vậy : ;  

1
f / ( x ) = 2x +
1 − 2x
d)  Ta có :

2
f / ( x) = 0 ⇔ 2x + = 0 ⇔  x =1 1
1− 2x  x =− 2 ( x = 1 loại )

Trang 5
 1 1
( − ) =4 −ln 5; ( 0 ) =0
f − ÷ = −ln 2; f
f 2
 2 4
 Tính :
1
max f ( x ) = 4 −ln 5 max f ( x ) = − ln 2
4
[ −2;0] [ −2;0]
 Vậy : ;
4.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
[ −2;1]
a ) y = f ( x ) = x.l2 x
trên đoạn
trên đoạn [
−1; 2]
b) y = f ( x ) = x − lx
ln 2 x
c) y = f ( x ) =
x trên đoạn 1; l 
3
 
[ 1; l]
d ) y = f ( x ) = x ln x
trên đoạn
x
l
e) y = f ( x ) =
e + l trên đoạn [ ln 2;ln 4]
x


[ 1; l]
g ) y = f ( x ) = x 2 .ln x
trên đoạn
trên đoạn [ ]
h) y = f ( x ) = x.l −x
−1; 2
5) Hàm số lượng giác:
5.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
 π π
− ;
a ) y = f ( x ) = sin 2 x − x  
trên đoạn  2 2 
 π
0;
b) y = f ( x ) = x + 2 cos x  
trên đoạn  2 
c) y = f ( x ) = sin 2 x − 2 cos x + 2
Giải
( x ) = 2cos2x − 1
/
f
a)  Ta có :
 x=π
f ( x ) = 0 ⇔  6π
/
 π π
x ∈ − ; 
 x =− 6 ( Do  2 2  )

 Tính :
 π π  π 3π π  3π π  π
f  − ÷= ; f  − ÷= − + ; f  ÷= − ; f  ÷=
 2 2  6 6  2  2
2 6 2 6
π π
max f ( x ) = min f ( x ) = −
2 2
 π π π π 
− 2 ; 2  2;2 
 Vậy : ;
   

f / ( x ) = 1 − 2sinx
b)  Ta có :
π
f / ( x) = 0 ⇔ x =  π
x ∈  0; 
4 ( Do  2  )

π  π π  π
( 0) = = + f ÷ =
f 2; f  ÷ 1;
4  4 2  2
 Tính :
Trang 6
π
( x) = +1
max f min f ( x ) = 2
4
 π  π
0; 2 
0; 2 
 Vậy : ;  
 

c) MXĐ : D = R
f ( x ) = −cos 2 x − 2co s x + 3
 Ta có :
 Đặt : t = sin x ; [
t ∈ −1;1] ; ∀x ∈ R
2



trên đoạn [
−1;1]
 Ta xét hàm số : ( )
g t = −t 2 − 2t + 3
g / ( t ) = −2t − 2
 Ta có :
g / ( t ) = 0 ⇔ t = −1

(−) = g (1) =
g 1 4; 0
 Tính :
max f ( x ) = max g ( t ) = 4 min f ( x ) = max g ( t ) = 0
R R
[ −1;1] [ −1;1]
 Vậy : ;
5.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
 3π 
0; 
a ) y = f ( x ) = 2sin x − sin 2 x
trên đoạn  2 
 π
0; 2 
b) y = f ( x ) = 2 cos 2 x + 4s inx
trên đoạn  
c) y = f ( x ) = 2sin 3 x + cos 2 x − 4sin x + 1
 π π
− 6 ; 2 
d ) y = f ( x ) = sin 2 x − x
trên đoạn  
s inx
e) y = f ( x ) =
2 + cos x trên đoạn [ 0; π ]
[ 0; π ]
g ) y = f ( x ) = 3.x − 2s inx
trên đoạn
D.Kết Luận:
Kính thưa quý thầy cô và các em học sinh , trên đây tôi đã nêu các loại hàm số
thường gặp trong bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên một đoạn .
Do thời gian thực hiện chuyên đề có hạn, nên chắc chắn nhông tránh những
thiếu sót , mong quý thầy cô trong tổ nhiệt tình đóng góp để chuyên đề này
hoàn chỉnh hơn , nhầm giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn . Xin chân thành
cám ơn nhiều ! 

Trà Cú Ngày 08
tháng12năm 2009

Giáo hiên thực hiện




Trần Phú Vinh
Trang 6
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản