Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Chia sẻ: | Ngày: doc 42 p | 192

1
672
views

Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi tốt hình học không gian đạt kết quả cao

CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
Nội dung Text

  1. CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN A.Tóm tắt lí thuyết: I.Góc giữa hai đường thẳng: 1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b.  a // a ' 2.  thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’và b // b ' b’ 3.Góc giữa hai đường thẳng luôn không tù. II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: V và mặt phẳng (α ) . Nếu V không vuông góc với (α ) , khi 1. Cho đường thẳng đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và hình chiếu vuông góc V ’ của V lên mặt phẳng (α ) . A A' 2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù. 3. Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (α ) .khi đó góc giữa đường thẳng ∆ và (α ) không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và m. 1
  2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆ ⊥ (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α)). 4. Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa đường thẳng a và (P). 5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó với mọi đường thẳng ∆ ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường thẳng ∆ và a bằng 90o . (V, (α )) + (·V, a ) = 90o · .Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Khi đó với mọi đường thẳng 6 · · ∆ ta có: (V, (α )) + (V, ( β )) = 90o . 7. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống mặt phẳng (α). Khi đó A ' B ' = AB cos( ¼, (α )) . Do đó A ' B ' ≤ AB , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB AB song song với (α) hoặc nằm trên (α). III.Góc giữa hai mặt phẳng: 1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β). a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau, a ta nói góc giữa chúng bằng 0. b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. b Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β) O m và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O. Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. 2.Góc giữa hai đường thẳng luông không tù. (α ) //(α ') 3. Nếu  ( β ) //( β ') · · Thì ((α ), ( β )) = ((α '), ( β ')) . V⊥ (α ) · ¶ thì (V, a) = ((α ), ( β )) . 4.Nếu  a ⊥ ( β ) · 5.Nếu (α ) ⊥ ( β ) thì ((α ), ( β )) = 900 . 6.Trong mặt phẳng (β) cho hình H có diện tích S(H). Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H xuống mặt phẳng (α). Khi đó diện tích S(H’) của H’ được tính bằng công thức · S(H) = S(H’). Cos((α ), ( β )) . Do đó S(H) ≤ S(H’). 2
  3. B.Một số dạng toán liên quan: I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o . · Tính MN,SO và ( MN , ( SAO)) . Hướng dẫn giải: S M A B P N O H D C Gọi P là trung điểm AO. Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD) do đó: · · ( MN , ( ABCD)) = MNP = 60o. Trong V NCP theo định lí hàm số cosin ta có 5a 2 NP = CN + CP − 2CN .CP.cos 45 = 2 2 2 o . 8 PN 5 Trong tam giác vuông MNP ta có MN = =a o cos60 2 15 15 và PM=PN.tan 60o = a ⇒ SO = 2 MP = a . 8 2 Gọi H là trung điểm của OC.Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC). 3
  4. · · Do đó ( MN , ( SAC )) = NMH . 1 a2 5 Ta có NH = OB = , MN = a . Do đó trong tam giác vuông MHN ta có 2 4 2 NH 1 sin · NMH = = . MN 2 5 π 1 Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) bằng α thỏa mãn sin α = ,0 ≤ α ≤ . 2 25 Bài 2 : Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, đáy có cạnh bằng a,cạnh bên có độ dài bằng b.Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và mặt phẳng (BCC’B’).Tính tan α . Hướng dẫn giải: M B C a P N A b B' C' M' A' Gọi M’,N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC. Gọi P là trung điểm của BM. Ta có AN ⊥ BC và AN ⊥ BB’ nên AN ⊥ (BCC’B’). Do đó α = MC ' P . · Ta có 1 a3 MP = AN = . 2 4 3a 2 MC ' = MM '2 + M ' C '2 = b 2 + 4 9a 2 ⇒ PC ' = b 2 + . 16 4
  5. MP a3 Trong tam giác vuông C’PM ta có tan α = = . PC ' 16b 2 + 9a 2 Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc BC’, N’ thuộc đoạn AB’. Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc α. Chứng minh rằng : a MN ≥ 2cosα +sinα Hướng dẫn giải: P D C M' N' A B D' M C' N A' B' Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M,N trên (ABCD). Không mất tính tổng quát giả sử MM ' < NN ' . { P} = MN ∩ M ' N ' . Khi đó: MM’=BM’, NN’=AN’=a – BN’, MN=PN – PM ⇒ MNcosα = ( PN – PM )cosα = PNcosα – PMcosα = PN’ – PM’ = M’N’. ⇒ M’N’= MNcosα Do đó : M’N’ = BN '2 + BM '2 = MNcosα (1) Ta có MNsinα = PNsinα – PMsinα = NN’ – MM’ =a – BN’ – BM’ = a- (BN’ + BM’) (2) Từ (1) và (2) suy ra MN ( 2cosα + sin α ) = 2( BN '2 + BM '2 ) + a − ( BN '+ BM ') ≥ ( BN '+ BM ') + a − ( BN '+ BM ') = a 5
  6. ( do 2(a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b) 2 ) a MN ≥ ⇒ (đpcm) 2cosα +sinα Bài 4: · Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân AB=AC=a. BAC = α ,biết SA,SB,SC đều hợp với mp(ABC) góc α .Gọi O là tâm vòng (ABC). a)CM: O trùng với hc của S lên mp(ABC) b)Tính d(S,(ABC)). Hướng dẫn giải: S B A OI C a) Gọi I là hinh chiếu của S lên (ABC), theo giả thiết, ta có: · · · SAI = SBI = SCI = α (1) Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung cạnh góc vuông SI và thỏa (1) nên bằng nhau . Vậy IA=IB=IC ⇒ I ≡O. b) Ta có : AC=2R.sinB (Đl hàm sin trong VABC ) α α ⇒ a=2R.sin( 90o − )= 2R.cos 2 2 a ⇒ R= α 2cos 2 6
  7. a ⇒ IB= α 2cos 2 d ( S , ( ABC )) = SO ( SO ⊥ ( ABC )) = IB tan α ( # SOB vuông) α α α 2a sin cos a sin a tan α 2 2= 2 = = α α cosα 2cosα cos 2cos 2 2 Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. AA’ ⊥ (ABC).Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) góc 30o . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BB’. a)Tính AA’ b) góc[MN,(BA’C’)]. Hướng dẫn giải: A C M B N C' A' I B' Tính AA’: Gọi I là trung điểm A’B’, ta có: C’I ⊥ A’B’ ( VA ' B ' C ' đều) Mà C’I ⊥ AA’ (AA’ ⊥ (A’B’C’)) Vậy C’I ⊥ (ABB’A’) (1) ⇒ BI = hcBC '/( ABB 'C ) ⇒ IBC ' = 30° · Mặt khác (1) ⇒ C’I ⊥ IB ⇒ VIC ' B vuông tại I C 'I ⇒ BC ' = =a 3 sin 30° VBB ' C ' vuông: 7
  8. ⇒ BB’= BC '2 − B ' C '2 = 3a 2 − a 2 = a 2. b)Tính góc[MN,(BA’C’)]. Gọi J là trung điểm của A’C’ H là hình chiếu của M lên BJ. Trong hình thang BNJM,MN cắt BJ tại K.K cũng là giao diểm của MN và(B’A’C’). Mặt khác , hcM /( BA 'C ') = H ∈ BJ B A M H C K N B' A' J C' uuuu uur ·r u · ⇒ góc [MN,(BA’C’)]= MKH = MN , BJ Ta có u uuu uuu uuuu uuur uuuu uur r r r r MN .BJ = ( MB + BN ).( BM .BB ') uuu uuuu uuu uuur uuu uuuu uuu uuur rr r rr r = MB.BM + MB.BB ' + BN .BM + BN .BB ' −3a 2 a2 = + 0 + 0 + a2 = 4 4 uuuu uur a 2 ru ⇒ MN.BJ.cos( MN , BJ )= (2) 4 Mà : 3a 2 a 2 a 5 MN = BM + BN = + = 2 2 4 2 2 3a 2 a 11 BJ = BM 2 + MJ 2 = + 2a 2 = 4 2 uuuu uur a 2 ru 2 ⇒ a 55 .cos( MN , BJ )= Vậy (3) 4 4 8
  9. uuuu uur ru 1 ⇒ cos( MN , BJ )= >0. 55 uuuu uur ru 1 Vậy góc[MN,(BA’C’)] = góc( MN , BJ ) = arccos . 55 Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân tại A. AA’ ⊥ (ABC).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’.Biết rằng MN=a và góc[MN,(ABC)]= α , góc[MN,(BCC’B’)]= β . a)Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a, α . b)CMR: cos α = 2 sin β . Hướng dẫn giải: A C a/ Gọi I là trung điểm BC, Ta có MN ⊥ (ABC) I M ⇒ MI = hcMN /( ABC ) J B · · ⇒ α = IMN α = IMN VMIN VMIN vuông tại I. ⇒ MI=MN.cos α =a.cos α (1) IN=MN.sin α =a.sin α (2) C' A' Từ (1) ⇒ AB=2a.cos α N ( MI là đường trung bình VABC ) BC=2a 2 .cos α (3) ( VABC vuông cân) B' Từ (2) ⇒ AA’=BB’=CC’=a.sin α .( IN = AA’) b)Ta có: MI // AC, MI=AC/2 ⇒ MI ⊥ AB,MI=MB ⇒ VMIB vuông cân (4) Gọi J là trung điểm BI thì MJ ⊥ BI Mà MJ ⊥ BB’ (BB’ ⊥ (ABC)) Do đó MJ ⊥ (BCC’B’) · ⇒ JN = hcMN /( BCC ' B ') ⇒ β = MNJ . Ta có VMJN vuông ⇒ MJ=MN.sin β =a.sin β 9
  10. ⇒ BI=2MJ=2asin β (do (4)) ⇒ BC=2BI=4asin β (5) ⇒ 2a 2 .cos α = 4asin β Từ (3) và (5) ⇒ cos α = 2 sin β . Bài 7: Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC,ACD,ADB vuông tại A.M là một điểm ở trong tam giác BCD.Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC),(ACD),(ADB). CMR: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ = 1 . Hướng dẫn giải: Từ M dựng các đoạn vuông góc MH,MK,ML từ M đến các mặt phẳng (ABC),(ACD), (ADB) theo thứ tự. Ta có: D AH = hcAM /( ABC ) AK = hcAM /( ACD) L MK AL = hcAM /( ABD ) · β· · ⇒ α = MAH, = MAK,λ = MAL I A C J Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho: H MA MK ML sin α = ,sin β = ,sin λ = AM AM AM B MH 2 + MK 2 + ML2 ⇒ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ = AM 2 Lần lượt dựng các đoạng vuông góc HJ,HI từ H đến AB,AC thì AJHI là hình chữ nhật. Mặt khác, ta có HI ⊥ AC Mà HI ⊥ AD (AD ⊥ (ABC)) Do đó HI ⊥ (ACD) ⇒ HI là khoảng cách Từ I đến (ACD) ⇒ HI = MK (MK//AD ⇒ MH // (ACD) ) Tương tự : HJ = ML MH 2 + MK 2 + ML2 Từ đó sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ = AM 2 MH 2 + HI 2 + HJ 2 = AM 2 10
  11. MH 2 + AH 2 = = 1 ( ∆AMH vuông). AM 2 II.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trong mp(P).Hai điểm M,N di động trên CB và CD, Đặt CM=x,CN=y.Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy điểm S.Tìm liên hệ giữa x,y để a) (SAM) và (SAN) tạo nhau góc 45o b) (SAM) ⊥ (SMN). Hướng dẫn giải: S A D N y B C M x a) Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AM và SA ⊥ AN. · Suy ra MAN là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN). · ⇒ MAN = 45o . Ta có · MN 2 = MA2 + AN 2 − MA.NA.cos MAN MN 2 = a 2 + (a − x ) 2 + a 2 + (a − y ) 2 − 2(a 2 + (a − x) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ). Mà MN 2 = x 2 + y 2 nên 11
  12. x 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + y 2 − 2ax − 2ay − 2(a 2 + (a − x) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ) ⇔ 2(a 2 + (a − x ) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ) = 4a 2 − 2ax − 2ay. ⇔ x 2 y 2 + 4a 3 ( x + y ) = 4a 2 + 2axy ( x + y ). b) Do (SAM) ⊥ (SMN) và MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ (SMA) ⇒ MN ⊥ AM. ⇒ AN 2 = AM 2 + MN 2 ⇒ a 2 + (a − y )2 = a 2 + (a − x) 2 + x 2 + y 2 ⇒ 2a 2 − 2ay + y 2 = 2a 2 − 2ax + 2x 2 + y 2 ⇒ x 2 = a ( x − y ). Vậy để (SAM) ⊥ (SMN) thì x 2 = a ( x − y ) (x>y). Bài 9: Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = · AC = a, goùc BAC = 120o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh ∆ AB'I vuoâng taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I). Hướng dẫn giải: Caùch 1: Goïi H laø trungñieåm BC ⇒ AH ⊥ BC. a ∆ ABH laø nöûatamgiaùcñeàucaïnhAB =a ⇒ AH = 2 a3 B/ C/ vaøBH = ⇒ BC = a 3 2 A/ ∆IB/ C/ vuoângcoù: I 2 2 a 13a IB/ 2 = IC/ 2 + B/ C/ 2 = + 3a2 = H B 4 4 C 30o a2 2 5a2 ∆ AIC vuoângcoù: AI 2 = IC2 + AC2 = +a = A 4 4 5a2 13a2 Ta coù: AI 2 + AB/ 2 = + 2a2 = = IB/ 2 4 4 (AB/ laø ñöôøngcheùocuûahình vuoângAA /B/B caïnha) Vaäy, ∆ /I vuoângtaïi A. AB a2 10 1 1a 5 / = .AI.AB = . .a 2 = SAB/ I Ta coù: 2 22 4 a2 3 1 1a = .AH.BC = . .a 3 = SABC 2 22 4 12
  13. Goïi α laø goùcgiöõahai maëtphaúng(ABC) vaø(AB/I), theocoângthöùcchieáu,ta coù: SABC a2 3 a2 10 30 cosα = = = : SAB/ I 4 4 10 Caùch 2: C/ z A H ⊥ BC Goïi H laø trungñieåmBC ⇒ A/ a ∆ ABH laø nöûatamgiaùcñeàucaïnhAB =a B/ I a a3 ⇒ AH = vaø BH = ⇒ BC = a 3 2 2 C A Döïng heätruïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az y 60o H A (0; 0; 0), ñoâi moätvuoânggoùc, z B a 3 a   a3a  / ; ; 0÷, C  − B ; ; 0÷, A (0; 0; a), 2 2  22  a 3 a  /  a 3 a   a 3 a a B/  ; ; a÷, C  − ; ; a÷, I  − ;;÷ 2 2   2 2   2 2 2 uuu /  a 3 a  uu  a 3 a a  r r AB =  ; ; a÷, AI =  − ;;÷ 22 2 2 2   uuu / uu a 3  a 3  a a rr 3a2 a2 2a2 a AB .AI = . − + . + a. = − ++ =0 ÷ Ta coù: 2  2  22 2 4 4 4 uuu / uu r r Vaäy, ∆ /I vuoângtaïi A. ⇒ AB ⊥ AI. AB r n1 = (0; 0; 1) * Phöôngtrìnhmp(ABC): z =0 coù phaùpvectô uuu / uu rr * mp(AB/I) coù caëpvectôchæphöông AB , AI phaùpvectô: , neâncoù r r  a2 3a2 3 2a2 3  uuu / uu a2 a2 r [AB ; AI] =  − ; − ÷ = − (1 3 3; − 2 3) = − .n2 ; ; 4 4 4 4 4 r vôùi n2 = (1 3 3; − 2 3) ; . Goïi α laø goùcgiöõa(ABC) vaø(AB/I), ta coù: 0+ 0− 2 3 23 30 cosα = = = . 0 + 0 + 1. 1+ 27 + 12 40 10 Bài 10: · Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, có AB = a, BAC = α , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là β. 13
  14. 1 + cos 2α a) Chứng minh tan α .tan β = . cos 2α b) Tam giác ABC thỏa mãn điều gì để β = 600 . Hướng dẫn giải: S Qua A hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC . K DO SA ⊥ ( ABC ) và BC ⊥ AB => BC ⊥ ( SAB ) => BC ⊥ AH => AH ⊥ ( SBC ) => AH ⊥ SC H => SC ⊥ ( AHK ) => SC ⊥ KH C A => ¼ = β (do ¼ < 900 ) AKH AKH BC AH AH BC Ta có tan α tan β = = . . . B AB HK AB HK AH SH Do # ABH ~# SAH => = . AB SA BC SC # SHK ~# SCB => = HK SH SH SC SC Ta có tan α tan β = = . . SA SH SA a 1 + cos 2α a Mà AC = => SC = cosα cosα 1 + cos α 1 + cos 2α 1 + cos 2α 2 SC => tan α tan β = => = = cosα cosα cos 2α SA b) Do β = 600 nên tan α tan β = 3 tan α 1 + cos 2α 1 Theo câu a) => 3 tan α = = tan 2 α + 2 = 1+ cos α cos α 2 2 => tan α + 2 = 3 tan α => tan α = 1 => tan α = ±1 2 2 2 Do 0o < α < 90o => tan α = 1 => α = 45o Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 3 . a) Tính góc S ữa (SAD) và (SBC) gi b) Tính góc giữa (SBC) và (SCD) Hướng dẫn giải: Q P B A E 14 H C D I
  15. a) Gọi I = AD ∩ BC =>SI là giao tuyến của (SAD) và (SBC)  BD ⊥ AD => BD ⊥ ( SAD) => BD ⊥ SI Ta có :   BD ⊥ SA Dựng DE ⊥ SI tại E. => ( BDE ) ⊥ SI · Suy ra BED là góc giữa (SAD) và (SBC). · · Mặc khác # AIB là tam giác đều (do IAB = IBA = 60o ) Nên AI = AB = 2a SI 2 = SA2 + AI 2 = 7 a 2 => SI = a 7 # SAI ~# DEI (do 2 tam giác vuông có góc nhọn I chung) DE DI a 1 = = = => SA SI a 7 7 SA a 3 => DE = = 7 7 BD ⊥ ( SAD) nên BD ⊥ DE . Ta có Trong # BDE , ta có : BD a 3 tan BED = = =7 BE a 3 7 · => BED = arctan 7 . · Vậy (( SAD, ( SBC )) = arctan 7 . Dựng AP ⊥ SH tại P, khi đó ta cũng có AP ⊥ CD ( do CD ⊥ ( SAH ) ) b) Nên AP ⊥ ( SCD) . Tương tự dựng AQ ⊥ SC tại Q thì AQ ⊥ ( SBC ) 15
  16. · · Do đó PAQ = (( SBC ), ( SCD)) Xét # vuông SAH, ta có : 1 1 1 5 = + =2 2 2 2 AP AH AS 3a 3 => AP = a . 5 # SAC có SA ⊥ AC , SA = SC = a 3 nên # SAC vuông cân tại A 1 2 a6 => AQ = SC = SA = 2 2 2 AP ⊥ (SCD) nên AP ⊥ PQ. Trong # vuông APQ, ta có: 3 a 5 = 10 cosPAQ = 5 a6 2 10 · Suy ra : PAQ = arccos 5 10 · Vậy (( SBC ), ( SCD)) = arccos . 5 Bài 12: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết OA = a, OB = b, OC = c và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) = h. Gọi α, β, γ là các góc tạo bởi (ABC) với cái mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA). Chứng minh rằng : a) cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1 . b) cosα +cosβ +cosγ ≤ 3 . Hướng dẫn giải: a) Kẻ OH ⊥ ( ABC ) tại H. Kéo dài CH ∩ AB = { I } OC ⊥ OA => OC ⊥ (OAB ) => OC ⊥ AB Ta có :  (1) OC ⊥ OB C Lại có : OH ⊥ ( ABC ) => OH ⊥ AB (2) Từ (1),(2) => AB ⊥ (OCI ) => AB ⊥ CI và AB ⊥ OI (3) H # OCI vuông O, đường cao OH, ta có: O B I 16 A
  17. 1 1 1 1 1 1 = 2+ = + + 2 2 OA OB OC 2 2 2 OH OI OC 1 111 HAY : 2 = 2 + 2 + 2 . h abc · · Từ (3), ta có: CIO = COH =α (cạnh t/ư vuông góc). OH h => cosα = cosCOH= =. OC c h h Tương tự : cosβ = , cosγ = . a b 2 1 1 1 => cos α + cos β + cos γ = h  2 + 2 + 2 ÷ = 1 . 2 2 2 a b c  b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopski,ta có: ( cosα +cosβ +cosγ ) ≤ 3 ( cos 2α + cos 2 β + cos2γ ) =3 2 Vậy cosα +cosβ +cosγ ≤ 3 .(đpcm) Bài 13: · Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, BDC = 45o . Gọi · ADB = α . Xác định α để góc giữa 2 mặt phẳng (ADC) và (BDC) bằng 60 . o Hướng dẫn giải: D J C A I Dựng BI ⊥ AC . Ta có : BI ⊥ DA( DA ⊥ ( ABC )) => BI ⊥ ( DAC ) B => BI ⊥ DC Dựng BJ ⊥ DC => DC ⊥ ( BIJ) Vậy (·ADC ), ( BDC ) ) = BJI . · ( 17
  18. Ta có # BJI vuông tại I ( BI ⊥ ( DAC ) ). · Theo đề bài BJI = 60o nên # BJI là nửa tam giác đều. 3 1 4 Suy ra BI = BJ => 2 = 3BJ 2 2 BI · Mặt khác # DBC vuông tại B và BDC = 45o => # DBC vuông cân tại B=>BD = BC AB AB Ta có: Sinα = => AB = BC = sinα = BD BC Hơn nữa trong # ABC vuông tại B, ta có : 11  1 1 1 = + = + 1÷ 2 BC  sin α 2 2 2 2  BI AB BC · Trong # DJB vuông tại J có JDB = 45o nên # DJB vuông cân tại J, do đó: 1 2 2 DB = 2 BJ => = = 2 2 BC 2 BJ DB 11 42 + 1÷ = . => 2 BC  sin α 2 2  3 BC 1 8 15 =>  2 + 1÷ = => sinα =  sin α 3 5 15 Vậy => α = arcsin . 5 Bài 14: Cho # ABC vuông tại A có BC là cạnh huyền thuộc mặt phẳng (P). Gọi β,γ lần lượt là góc hợp bởi 2 đường thẳng AB,AC với mặt phẳng (P). Gọi α là góc hợp bởi mặt phẳng(ABC) với mặt phẳng (P).Chứng mình rằng: Sin 2α = Sin 2 β + Sin 2γ . Hướng dẫn giải: Kẻ AH ⊥ ( P ) A => ·ABH = β , · ACH = γ Kẻ HI ⊥ BC Mà HI ⊥ AH => AI ⊥ BC ( định lí 3 đường vuông góc) C => · H AIH = α Trong # ABC vuông tại A, ta có: I 1 1 1 = + 2 2 AC 2 B IA AB AH 2 AH 2 AH 2 => = + IA2 AB 2 AC 2 Vậy Sin 2α = Sin 2 β + Sin 2γ . 18
  19. Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có dáy là hình thang vuông tại A,B với AB=BC=a,AD=2a,SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 .Gọi I là trung điểm của SC. a) Chứng minh AI ⊥ (SCD). b) Tính góc α giữa hai mp (ABCD) và (SCD), góc β giữa hai mp (SAB) và (SCD). Hướng dẫn giải: a) SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC,SA=AC= a 2 . Tam giác SAC vuông cân tại A nên AI ⊥ SC. Gọi K là trung điểm của AD, S tứ giác ABCK là hình vuông nên: CK=KA=KD=a ⇒ tam giác ACD vuông tại C ⇒ CD ⊥ AC. Mà CD ⊥ AS, do SA ⊥ (ABCD) nên: I CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AI. K A D ⇒ AI ⊥ (SCD). Ta có: AI ⊥ SC và CD b) Ta có giao tuyến của (ABCD) và (SCD) là CD. Theo câu a), CD ⊥ (SAC) nên CD ⊥ AC và CD ⊥ SC. B C · Do đó góc giữa (ABCD) và (SCD) là α = SCA . Mà tam giác SAC vuông cân tại A nên α = 45o . Ta có AD ⊥ AB và SA,nên AD ⊥ (SAB). Theo cmt, AI ⊥ (SCD).Vậy góc giữa (SAB) và (SCD) là β =góc (AI,AD). AI · Vì AI ⊥ (SDC) nên AI ⊥ ID.Tam giác AID vuông tại I và cosIAD = AD SC 1 1 · = AC 2 =a.Vậy cosIAD = ⇒ β = 60o . với AD=2a,AI= 22 2 Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và BA=BC=a, SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc α giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Hướng dẫn giải: S H C A 19 B
  20. Gọi H là trung điểm của AC, ta có BH ⊥ AC Ta có BH ⊥ SA vì SA ⊥ (ABC), nên BH ⊥ (SAC). Ta cũng có tam giác SHC là hình chiếu của tam giác SBC lên (SAC). SSHC Vậy cosα = SSBC 1 1 2 SSHC = SA.HC= a. a 2 = a 2 . 2 2 2 4 Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên tam giác SBC vuông tại B. 1 1 a2 2 . Ta có : SSBC = SB.BC= AB 2 .BC= 2 2 2 S 1 Vậy cosα = SHC = ⇒ α = 60o . SSBC 2 Câu 17: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Dựng hai đoạn AA’,CC cùng vuông góc với (ABC) và nằm cùng phía đối với (ABC), AA = CC ’= a. Tính góc giữa hai mp (A’BC) và (C’BA). Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC’ và CA’; H là trung điểm của AC. Ta có: AC ⊥ OB.Hạ HI ⊥ OB, suy ra OB ⊥ (ACI) và góc giữa (A’BC) và (C’BA) là góc giữa IA và IC. Ta có: OH//AA’ ⇒ OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BH. A' C' 1 1 1 16 a3 = + = 2 ⇒ HI = . 2 2 2 HI HB HO 3a 4 O AH 2 · · tanAIH = = > 1⇒ AIH > 45o IH 3 I A C H 2 2 · · ⇒ AIH = arctan ⇒ AIC = π − 2arctan . 3 3 B Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, Sa vuông góc với mp đáy và SA=x. Tính x để hai mp (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o . Hướng dẫn giải: 20
Đồng bộ tài khoản