Chuyên đề hàm số

Chia sẻ: Nguyễn Tiến | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

1
666
lượt xem
363
download

Chuyên đề hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thân gửi những học trò thương! Năm học mới đã đến kèm theo đó là sự bận rộn của các bạn trong Thời gian vừa qua thầy đã tìm kiếm được một số vấn đề về khảo sát hàm số. Rất muốn chia sẻ cùng các bạn. Với mỗi chuyên đề sau này thầy cung cấp là những phương pháp giải không có trong SGK, SBT, các bài tập đều là những dạng đề thi ĐH các năm về trước. Thầy nghĩ rằng việc học sát với các dạng đề thi sẽ giúp các bạn có thể nắm bắt và...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề hàm số

  1. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Thân gửi những học trò thương! Năm học mới đã đến kèm theo đó là sự bận rộn của các bạn trong việc học chính tại trường và học thêm nâng cao nên đã không còn có thời gian đến học nhóm nữa. Thầy đã thực sự không còn có thể giúp được các bạn nhiều trong việc học tập, tuy vậy thầy vẫn muốn theo sát quá trình học tập của các bạn tại lớp, tại trường. Thời gian vừa qua thầy đã tìm kiếm được một số vấn đề về khảo sát hàm số. Rất muốn chia sẻ cùng các bạn. Với mỗi chuyên đề sau này thầy cung cấp là những phương pháp giải không có trong SGK, SBT, các bài tập đều là những dạng đề thi ĐH các năm về trước. Thầy nghĩ rằng việc học sát với các dạng đề thi sẽ giúp các bạn có thể nắm được dạng đề toán thi TN và ĐH. Thầy rất mong ngoài kiến thức SGK; SBT và kiến thức các thầy cô giáo trên trường dạy, các bạn có thể tranh thủ làm những dạng bài của thầy để nâng cao thêm tầm kiến thức, và rất mong các bạn sẽ đón nhận chuyên đề này và những chuyên đề khác nữa. Mong các bạn góp ý và bổ sung nhưng thiếu sót về mặt kiến thức cũng như phương pháp giải. Trong quá trình học với từng chuyên đề, những phần các bạn không hiểu hay thắc mắc có thể liên hệ trực tiếp với thầy. Nếu còn ngại thì viết tên bài/số trang và chuyển tới Hưng, thầy sẽ cố gắng hướng dẫn các bạn sớm nhất. Cảm ơn các bạn rất nhiều. Chúc các bạn sức khoẻ, thành công! TRUNG TÂM GIA SƯ ANH TIẾN http://violet.vn/thandieu2 Thân tặng http://diendankienthuc.net Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 1 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  2. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. Tóm tắt lý thuyết. 1. Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị. Hàm số y = f(x) có cực trị  y = f(x) có cực đại và cực tiểu  f’(x) = 0 có nghiệm. Chú ý: * Nếu f'(x0) = 0 và f"(x0) = 0 thì ta không tìm được cực trị của hsố y = f(x) theo dấu hiệu II. Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ không được kết luận hàm số không có cựu trị. * Dấu hiệu II thường tìm cực trị những hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác. B. Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3. 1 3 Bài 1: Tìm m để hàm số y = x + mx2 + (m + 6)x - (2m + 1) có cực đại và cực tiểu. 3 Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + 5 có cực đại và cực tiểu. Bài 3: Chứng minh rằng  m, hàm số y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1; x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m. 1 3 Bài 4: Tìm m để hàm số y = x + (m - 2)x2 + (5m + 4)x + m2 + 1 đạt cực trị tại x1; x2 3 thoả mãn điều kiện x1 < -1 < x2 1 3 Bài 5: Tìm m để hàm số y = x + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + (m2 -m) đạt cực trị x1; x2 3 thoả mãn điều kiện -1
  3. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y  f x  ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M  x0 ; y0    C  .  Tính đạo hàm và giá trị f '  x0  .  Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '  x0  x  x0   y0 . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0    C  có hệ số góc k  f '  x0  . Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .  Giải phương trình: f '  x   k , tìm nghiệm x0  y0 .  Phương trình tiếp tuyến dạng: y  k  x  x0   y0 . Chú ý: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 , khi đó:  Nếu d //   d  : y  ax  b  hệ số góc k = a. 1  Nếu d     d  : y  ax  b  hệ số góc k  . a Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A  x A ; y A    C  .  Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d  : y  k  x  x A   y A  Điều kiện tiếp xúc của  d  và  C  là hệ phương trình sau phải có nghiệm:  f  x   k  x  xA   y A    f ' x  k  Tổng quát: Cho hai đường cong  C  : y  f  x  và  C '  : y  g  x  . Điều kiện để hai đường cong  f  x  g  x  tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.  .  f ' x  g ' x  Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 3 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  4. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN. A. Hướng dẫn cách giải 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0)  (C): y = f(x) có hệ số góc là f’(x0). Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của (C) là y - y0 = f’(x0)(x- x0)  y = f’(x0)(x- x0) + y0 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. Phương pháp: Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ xi => f’(xi) = k => x = xi là nghiệm của phương trình f’(x) = k. Giải phương trình f’(xi) = k => nghiệm x  (x0; x1;x2; …xi…xn) Phương trình tiếp tuyến tại xi là y = k(x- xi) + f(xi) Cách 2: Phương pháp điều kiện nghiệm kép Xét đường thẳng với hệ số góc k với phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với (C): y = f(x)  phương trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép. Giải phương trình (*) với  = o => các giá trị của m => phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Vì điều kiện (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm f’(x) = g’(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các hàm số mà phương trình tương giao kx + m = f(x) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2. 3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc. a, Dạng trực tiếp k =  1;  2,  3; … b, Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc  => k = tg  với    0 ,30 0 ;45 0 ;...165 0  15 c, Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b => k = a. 1 d, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b => k = - với a  0 a k a e, Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc  => = tg  với 1  ka    0 ,30 0 ;45 0 ;...75 0  15 Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 4 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  5. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- 4. Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước. Phương pháp tìm tiếp điểm: Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f’(xi)(x - xi) + f(xi). Do A  (t) nên b = f’(xi)(a- xi) + f(xi). x = xi là nghiệm của phương trình b = f’(xi)(a- xi) + f(xi). Giải phương trình tìm được nghiệm x  (x0; x1;x2; …xi…xn). Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi). Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x-a) + b tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x)  Hệ phương trình f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f’(x) (x - a) + b. Giải phương trình ta tìm f’(x) = k được x  (x0; x1;x2; …xi…xn). Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi). Phương pháp điều kiện nghiệm kép: Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a,b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) + b tiếp xúc với (C) y = f(x)  k(x-a) + b = f(x) có nghiệm kép ….  … Nói chung u(k)x2 + v(k)x + w(k) = 0 có nghiệm kép u(k)  0  = g(k) =  .k2 +  .k +  = 0 (**) Hệ sinh ra hệ số góc Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra giá trị của k hoặc số lượng của k. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a;b). B: BÀI TẬP Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 5 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  6. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x3 - 3x + 5 khi biết a, Hoành độ của tiếp điểm là x1 = -1; x2 = 2 ; x3 = 3 b, Tung độ của các tiếp điểm là y1 = 5; y2 = 3 ; y3 = 7 Bài 2. Cho (C): y = f(x) = 2x3 - 3x2 + 9x - 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau: a, Đường thẳng (d) y = 7x + 4 b, Parabol (p): y = -x2 + 8x - 3 c, Đường cng (C) y = x3 - 4x2 + 6x + 7 Bài 3: Cho hàm số (Cm) y = x3 + 1 - m(x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 6 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  7. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Bài 4: Cho (C) y = x3 + + 3x2 + 3x + 5. a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đường thẳng y = kx + m. 1 3 2 Bài 5: Tìm các điểm trên đồ thị (C): y = x - x + mà tiếp tuyến đó vuông góc với 3 3 1 2 đường thẳng y = x+ . 3 3 Bài 6: Cho đồ thị (C) y = x3 + 3x2 - 9x + 5 Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 7: Cho đồ thị (C) y = x3 - 3x + 7 a, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1 1 b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y = x2 9 c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 450. Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x3 + 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1. b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 4 biết tiếp tuyến đó song song với y = 9x. Bài 9: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 +2 biết tiếp tuyến đó  5y - 3x + 4 = o x b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến đó  y = 3 Bài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x3 - 3x2 - 12x - 5 a, Viết phương trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4 1 b, Viết pt tiếp tuyến  y = x2 3 1 0 c, Viết pt tiếp tuyến tạo với y = x 5 một góc 45 2 1 3 Bài 11: Cho đồ thị (C) y = x - 2x2 + x - 4. 3 a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 600 1 0 b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = x  3 góc 30 2 c, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đt y = -x + 2 d, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với y = 2x - 3. 19 3 2 Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( ( ;4) đến (C) y = 2x - 3x + 5 12 b, Cho (C) y = x3 - 3x2 + 2. 23 + Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm B( ; -2) đến (C) 9 + Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. + Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 7 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  8. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Bài 13: Cho (C) y = x3 - 12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) . 2 Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( ;1 ) đến y = x3 - 3x + 1 3 + Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x3 - x - 6. + Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x3 + 9x + Cho đồ thị (C) y = x3 + ax2 + bx + c. Tìm các điểm M  (C) để có thể kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị. + Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x3 - 9x2 + 17x + 2. Bài 15: Cho đồ thị (C) y = -x4 + 2x2 - 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 9 Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(5, ) đến đồ thị (C) y = x4 - 7x2 + 10. 4 5 + Viết pt tiếp tuyến đi qua B( 1, - 4) đến đồ thị (C) y = x4 - 2x3 - 2x2 + 4 + Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x4 - x3 + 2x2 -1 Bài 17: Cho (C): y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ. 1 3 2 Bài 18: Cho (C): y = x - x + . Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông 3 3 1 2 góc với đường thẳng y = x . 3 3 2 x  3x  6 Bài 19: Cho (C): y = . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến x 1 (C); tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 20: Cho (C): y = mx3 - (m - 1)x2 - (m - 2)x + m -1. Tìm m để (C) đạt cực đại tại x = -1. Khi m = 1, tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 21: Cho (C): y = -x4 + 2x2 - 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 22: Cho (C): y = x3 - 3x2 + 2. a, Qua A(0; 1) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy. b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên. Bài 23: Cho (P) y = 2x2 + x - 3. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 450 Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 8 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  9. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- x 2  3x  2 Bài 24: Cho (C): y = . Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M x kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 25: Cho (C) y = x3 + 3x2. Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 4  mx  3x 2 Bài 26: Cho (C): y = , Với giá trị nào của m thì tếp tuyến vủa đồ thị tại điểm có 4x  m hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận. 2x  1 Bài 27: Cho (H): y = và 1 điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. x 1 Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. CMR: M là trung điểm của AB. CMR: Diện tích Tam giác IAB = const. c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất (gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB + IA 2  IB 2  2 IA.IB + 2 IA.IB = 2(2+ 2 ) Dấu = sảy ra  IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.) x 1 Bài 28: Cho (C): y = . CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cận của (C) một tam x 1 giác có diện tích không đổi. 3x  2 Bài 29: Cho (C): y = . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 450. x 1  4x  5 Bài 30: Cho (C): y = . Viết pt tiếp tuyến vủa (C) song song với y = 3x + 2. 2x  1 2x  3 Bài 31: Cho (C): y = . Viết pt tiếp tuyến của (C)  y = - 2x. 5x  4 3x  7 Bài 32: Cho (C): y = . Viết pt tiếp tuyến của (C) biết  2x  5 1 a, Tiếp tuyến song song với y = x + 1 2 b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x. c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 450. Bài 32: Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C): x3 y= . x 1 3x  4 Bài 34: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y = 4x  3 x2 Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y = x2 x Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y = đi qua giao điểm I của 2 x 1 đường tiệm cận. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 9 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  10. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- 3( x  1) Bài 37: Viết phương trình tiếp tuyến từ O(0;0) đến (C): y = x2 x 2  3x  3 Bài 38: Cho (C): y = . Chứng minh rằngDiện tích tam giác tạo bởi hai tiệm cận với x 1 1 tiếp tuyến bất kì là không đổi. x 2  3x  3 Bài 39: Cho (C): y = . Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0. x2 2x 2  7 x  7 Bài 40: Cho (C): y = . Viết pt tiếp tuyến của (C) song song với đt y = x + 4. x2 4 2 Bài 41: Cho hàm số y  x  2 x a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): i. Tại điểm có hoành độ x  2 . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x  y  2009  0 . iv.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x  24 y  2009  0 . x2  x  3 Bài 42: Cho hàm số y  có đồ thị là (C). x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): i. Tại giao điểm của (C) với trục tung. ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành. iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1). iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 13. x2  x  1 Bài 43 :Cho hàm số y  có đồ thị (C). x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). x 2  3x  3 Bài 44: Cho hàm số y  có đồ thị (C). x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). b. Chứng minh rằng qua điểm M(3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 10 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  11. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- x2 Bài 45: Cho hàm số: y  có đồ thị (C). x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm M  (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm đối xứng của (C). Bài 46: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. x2  x  1 Bài 47: Cho hàm số y  (ĐH KhốiB 2006) x2 . a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên. ĐS: b. y   x  2 2  5 . 3 1 m 2 1 Bài 48: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y  x  x  (*) (m là tham số). 3 2 3 (ĐH KhốiD 2005) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2. b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5 x  y  0 ĐS: m=4. Bài 49: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  x  3m  Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành. Bài 50: Cho hàm số y  x 4  x3   m  1 x 2  x  m  Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành. x2  4 Bài 51: Cho đồ thị hàm số  C  : y  . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ x 1 đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C). 4 2 Bài 52: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  2 x  1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). 3 Bài 53: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  3x  2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). Bài 54: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH KhốiB 2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9). Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 11 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  12. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô’ y  f x  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:  Nghiệm của phương trình f '  x   0 là hoành độ của điểm cực trị.  f '  x0   0   Nếu  thì hàm số đạt cực đại tại x  x0 .  f ''  x0   0   f '  x0   0   Nếu  thì hàm số đạt cực tiểu tại x  x0 .  f ''  x0   0  Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp a  0   Để hàm số y  f  x  có 2 cực trị  .  y '  0   Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  yCĐ . yCT  0 .  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  xCĐ .xCT  0 .  yCĐ  yCT  0  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trên trục hoành  .  yCĐ . yCT  0  yCĐ  yCT  0  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành  .  yCĐ . yCT  0  Để hàm số y  f  x  có cực trị tiếp xúc với trục hoành  yCĐ . yCT  0 . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số y  ax3  bx 2  cx  d Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. ax 2  bx  c Dạng 2: Hàm số y  dx  e  ax 2   bx  c ' 2a b Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y  x  dx  e  ' d d Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 12 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  13. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- MỘT SỐ BÀI TẬP   x  m m2  1 x  m4  1 2 1. Chứng minh rằng hàm số y = luôn có có cực trị với mọi m. Tìm xm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x. 1 3 2 2. Cho hàm số y  x  mx   m  2  x  1 . Định m để: 3 a. Hàm số luôn có cực trị. b. Có cực trị trong khoảng  0;   . c. Có hai cực trị trong khoảng  0;   . 3. Định m để hàm số y  x 3  3mx 2   m 2  1 x  2 b 2  4ac đạt cực đại tại x = 2. 4. Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4. a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu. 5. Cho hàm số y  x3  3mx 2  9 x  3m  5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy. x 2   m  1 x  m  1 6. Cho hàm số y  . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, xm cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. 3 2 7. Cho hàm số y  x  1  2m  x   2  m  x  m  2 . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. x 2  2mx  1  3m 2 8. Cho hàm số y  . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai xm phía đối với trục tung. 1 3 2 9. Cho hàm số y  x  mx   2m  1 x  m  2  Cm  . Định m để hàm số có hai điểm 3 cực trị cùng dương. x 2  2  m  1 x  m 2  4m 10. Cho hàm số y  (1). (ĐH KhốiA / 2007) x2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ĐS: m  4  2 6 . Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 13 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  14. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- 3 2 2  2  11. Cho hàm số y   x  3x  3 m  1 x  3m  1 (1), m là tham số. (ĐH KhoiB/2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. 1 ĐS : b m . 2 4  2  12. Cho hàm số y  mx  m  9 x  10 (1) (m là tham số). 2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐHKhốiB/2002) Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y  f x  có tập xác định là miền D.  f(x) đồng biến trên D  f ' x   0 , x  D .  f(x) nghịch biến trên D  f ' x   0 , x  D . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c . 1. Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. b b 2. Nếu   0 thì f(x) có nghiệm x và f(x) luôn cùng dấu với a khi x . 2a 2a 3. Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. So sánh nghiệm của tam thức với số 0   0   0   * x1  x2  0   P  0 * 0  x1  x2   P  0 * x1  0  x2  P  0 S  0 S  0   1. Cho hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  3  m  1 x  1 . Định m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng  2;   . x3 mx 2 2. Xác định m để hàm số y   2x  1 . 3 2 a. Đồng biến trên R. b. Đồng biến trên 1;   . Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 14 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  15. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- 3. Cho hàm số y  x 3  3  2m  1 x 2  12m  5  x  2 . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2;   . b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 . mx 2  6 x  2 4. Cho hàm số y  . Định m để hàm số nghịch biến trên 1;  . x2 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức về khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB   xB  x A 2   yB  y A 2 . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 và Ax0  By0  C điểm M(x0;y0) khi đó d  M ,.   . A2  B 2 3 2 1. Cho hàm số y  x  3mx  3 x  3m  2  Cm  . Định m để  Cm  có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất. 2x  2 2. Cho hàm số  C  : y  . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách x 1 đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. x2  x  1 3. Cho hàm số  C  : y  . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 x 1 tiệm cận là nhỏ nhất. 2x  2 4. Cho hàm số  C  : y  . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao x 1 cho đoạn MN nhỏ nhất. x2  x  1 5. Cho hàm số  C  : y  . Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao x 1 cho đoạn MN nhỏ nhất. x2  2x  1 6. Cho hàm số  C  : y  . x 1 a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 15 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  16. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- 1 7. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y  mx  (*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2005) x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = . 4 b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến 1 tiệm cận xiên bằng . ĐS: m=1. 2 Dạng 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số ta đưa về dạng F  x, y   mG  x, y  . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu y  f  x, m   F  x, y   0 có là nghiệm của hệ phương trình   . G  x, y   0  3 2 1. Cho hàm số y  x  3  m  1 x  3mx  2  Cm  . Chứng minh rằng  Cm  luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. 2 x2  6  m x  4 2. Cho hàm số  Cm  : y  . Chứng minh rằng đồ thị  Cm  luôn đi qua một mx  2 điểm cố định khi m thay đổi. 4 2 3. Cho hàm số  Cm  : y  1  2m  x  3mx   m  1 . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. 3 2 4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y   m  3 x  3  m  3 x   6m  1 x  m  1  Cm  luôn đi qua ba điểm cố định. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 16 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  17. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Dạng 6: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ thị (C) y  f  x có đồ thị (C’) y f x có đồ thị (C “) y  f  x   0, x  D . Do đó ta y  f  x  có f   x   f  x  , phải giữ nguyên phần phía trên x  D nên đây là hàm số trục Ox và lấy đối xứng phần chẵn do đó có đồ thị đối phía dưới trục Ox lên trên. xứng qua trục tung Oy. y y y (C) (C') (C'') x x x MỘT SỐ BÀI TẬP 2 x x 1. Cho hàm số  C  : y  . 2x  2 a. Khảo sát hàm số. x2  x b. Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt. k. 2 x 2 x2  3x  3 2. Cho hàm số  C  : y  . x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. x 2  3x  3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m. x 1 4 x  x2 3. Cho hàm số  C  : y  . x 1 a. Khảo sát hàm số. b. Định m để phương trình x 2   m  4  x  m  0 có bốn nghiệm phân biệt. x2  x  1 4. Cho hàm số  C  : y  . x2 a) Khảo sát hàm số. b) Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x 2  1  m  x  2m  1  0 . Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 17 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  18. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- 5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  2 x3  9 x 2  12 x  4 . 3 b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x  9 x 2  12 x  m . (ĐH KA2006 Dạng 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của đồ thị  C  : y  f  x   Tồn tại hai điểm M(x;y) và  x  x '  2 x0   x '  2 x0  x  M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:    f  x   f  x '   2 y0   f  x   f  2 x 0  x   2 y0  Vậy I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của (C)  f  x   2 y0  f  2 x0  x  . 2 x2  2 x  2  m 1. Cho hàm số y  có đồ thị  Cm  . 2x  3 Tìm giá trị của m để  Cm  có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. x 2  2m 2 x  m 2 2. Cho hàm số  Cm  : y  . x 1 Định m để  Cm  có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 3. Cho hàm số y  x3  3x 2  m 1 (m là tham số). a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B2003) ĐS: a. f  x0    f   x0  , x0  0  … m>0. x3 2 11 4. Cho hàm số y    x  3 x  có đồ thị  C  . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng 3 3 nhau qua trục tung. 5. Cho hàm số y  x3  ax 2  bx  c 1 . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1). 6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 18 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  19. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- Dạng 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN 6 1. Định nghĩa: y (d) là tiệm cận của (C)  lim MH  0 M  (d)  M C  4 2. Cách xác định tiệm cận (C) a. Tiệm cận đứng: lim f x     d  : x  x 0 . x  x0 2 M b. Tiệm cận ngang: lim f x   y 0  d  : y  y 0 . H x c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ trong đó: x f x    lim ;   lim  f x   x  . x  x x  Các trường hợp đặc biệt: *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm * Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu ax  b ax 2  bx  c A nhất biến) y  y  x     mx  n tỷ) mx  n mx  n n +TXĐ: D= R\  n    m +TXĐ: D= R\     m n +TCĐ: lim y    d  : x   n n m +TCĐ: lim y    d  : x   x n m m x m a a +TCN: lim y   d  : y  A x  m m +TCX: lim 0  TCX: y=x+ x  mx  n y y 3 3 a 2 y 2 m I y  x   1 I x 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 n -1 x n -2 m x -2 m mx 2   3m2  2  x  2 1. Cho hàm số y  1 , với m là tham số thực. x  3m a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1. b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450. (ĐH Khối A2008) Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 19 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
  20. *.L.* *.O.* *.V.* *.E.* ---------------- My Life ---------------- mx 2   m 2  1 x  1  m 2. Cho hàm số y  f  x  . Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f(x) có tiệm x cận xiên đi qua gốc tọa độ. ax 2  (2a  1).x  a  3 3. Cho hàm số y  a  1, a  0  có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của x2 hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định. 2 x 2  3x  2 4. Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (C). x 1 a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một số không đổi. b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất. 2 x 2  mx  2 5. Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị (Cm). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị x 1 hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. x 1 6. Tìm m để đồ thị hamd số y 2 có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn x  mx  1  x1  x2  5   3 3 .  x1  x2  35  x 1 7. Cho hàm số y có đồ thị (C). x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. 2x  1 8. Cho hàm số y có đồ thị (H). 2x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (H) tại giao điểm với trục tung. c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất. Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 20 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường
Đồng bộ tài khoản