Chuyên đề hàm số luyện thi đại học 12

Chia sẻ: trungtran4

" Chuyên đề hàm số luyện thi đại học 12 "nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập hàm số học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề hàm số luyện thi đại học 12

 

  1. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) HÀM S 1. TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S D ng 1: Tính ñơn ñi u c a hàm s I. Ki n th c cơ b n 1. ð nh nghĩa Gi s hàm s y = f(x) xác ñ nh trên K: + Hàm s y = f(x) ñư c g i ñ ng bi n trên kho ng K n u: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm s y = f(x) ñư c g i là ngh ch bi n trên kho ng K n u: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) 2. Qui t c xét tính ñơn ñi u a. ð nh lí Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm trên K: + N u f’(x) > 0 v i m i x thu c K thì hàm s ñ ng bi n + N u f’(x) < 0 v i m i x thu c K thì hàm s ngh ch bi n b. Qui t c B1: Tìm t p xác ñ nh c a hàm s B2: Tính ñ o hàm c a hàm s . Tìm các ñi m xi (i = 1, 2,…,n) mà t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c không xác ñ nh. B3: S p x p các ñi m xi theo th t tăng d n và l p b ng bi n thiên. B4: Nêu k t lu n v các kho ng ñ ng bi n, ngh ch bi n. II. Các ví d Lo i 1: Xét s bi n thiên c a hàm s Ví d 1. Xét s ñ ng bi n và ngh c bi n c a hàm s : 1 1 a. y = x 3 − x 2 − 2 x + 2 b. y = -x 2 + 3 x + 4 e. y = x ( x − 3), (x > 0) 3 2 x-1 c. y = x 4 − 2 x 2 + 3 d. y = x +1 Ví d 2. Xét s bi n thiên c a các hàm s sau: a. y = 3x 2 − 8 x3 b. y = x 4 + 8 x 2 + 5 c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x 3- 2x x2 − 2x + 3 d. y = e. y = f. y = 25-x 2 x+7 x +1 Lo i 2: Ch ng minh hàm s ñ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng xác ñ nh. Phương pháp + D a vào ñ nh lí. Ví d 3. Ch ng minh hàm s y = 2 x − x 2 ngh ch bi n trên ño n [1; 2] Ví d 4 a. Ch ng minh hàm s y = x 2 − 9 ñ ng bi n trên n a kho ng [3; + ∞ ). 4 b. Hàm s y = x + ngh c bi n trên m i n a kho ng [-2; 0) và (0;2] x Ví d 5. Ch ng minh r ng 3− x a. Hàm s y = ngh ch bi n trên m i kho ng xác ñ nh c a nó. 2x +1 2 x 2 + 3x b. Hàm s y = ñ ng bi n trên m i kho ng xác ñ nh c a nó. 2x +1 c. Hàm s y = − x + x 2 + 8 ngh ch bi n trên R. D ng 2. Tìm giá tr c a tham s ñ m t hàm s cho trư c ñ ng bi n, ngh ch bi n trên kho ng xác ñ nh cho trư c Phương pháp: + S d ng qui t c xét tính ñơn ñiêu c a hàm s . http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 1
  2. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) + S d ng ñ nh lí d u c a tam th c b c hai Ví d 6. 1 Tìm giá tr c a tham s a ñ hàm s f ( x) = x 3 + ax 2 + 4 x + 3 ñ ng bi n trên R. 3 Ví d 7. x 2 + 5x + m2 + 6 Tìm m ñ hàm s f ( x) = ñ ng bi n trên kho ng (1; +∞) x+3 m Ví d 8. V i giá tr nào c a m, hàm s : y = x + 2 + ñ ng bi n trên m i kho ng xác ñ nh c a nó. x −1 Ví d 9 x3 Xác ñ nh m ñ hàm s y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x ñ ng bi n trên kho ng (0; 3) 3 Ví d 10 mx + 4 Cho hàm s y = x+m a. Tìm m ñ hàm s tăng trên t ng kho ng xác ñ nh b. Tìm m ñ hàm s tăng trên (2; +∞) c. Tìm m ñ hàm s gi m trên ( −∞;1) Ví d 11 Cho hàm s y = x3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m ñ hàm s : a. Liên t c trên R b. Tăng trên kho ng (2; +∞) Ví d 12 (ðH KTQD 1997) Cho hàm s y = x3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) ñ ng bi n trên [2:+∞) D ng 3. S d ng chi u bi n thiên ñ ch ng minh BðT Phương pháp S d ng các ki n th c sau: + D u hi u ñ hàm s ñơn ñi u trên m t ño n. + f ( x) ñ ng bi n trên [a; b] thì f ( a ) ≤ f ( x) ≤ f () + f(x) ngh ch bi n trên [a; b] thì f ( a ) ≥ f ( x) ≥ f (b) Ví d 1. Ch ng minh các b t ñ ng th c sau: π 1 x2 1 a. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞ 2 2 8 2 2 3 x x c. cosx > 1 - ,x ≠ 0 d. sinx > x - , x>0 2 6 Ví d 2. Chohàm s f(x) = 2sinx + tanx – 3x  π a. Ch ng minh r ng hàm s ñ ng bi n trên n a kho ng 0;   2 π b. Ch ng minh r ng 2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; ) 2 Ví d 3 Cho hàm s f ( x) = t anx - x  π a.Ch ng minh hàm s ñ ng bi n trên n a kho ng  0;   2 x 3 π b. Ch ng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; ) 3 2 Ví d 3 4 π Cho hàm s f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ] π 4 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 2
  3. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) π a. Xét chi u bi n thiên c a hàm s trên [0; ] 4 4 π b. Ch ng minh r ng tan x ≤ x, ∀x ∈ [0; ] π 4 C C TR C A HÀM S D ng 1. Tìm c c tr c a hàm s Phương pháp: D a vào 2 qui t c ñ tìm c c tr c a hàm s y = f(x) Qui t c I. Qui t c II. B1: Tìm t p xác ñ nh. B1: Tìm t p xác ñ nh. B2: Tính f’(x). Tìm các ñi m t i ñó f’(x) = 0 ho c B2: Tính f’(x). Gi i phương trình f’(x) = 0 và kí f’(x) không xác ñ nh. hi u là xi là các nghi m c a nó. B3. L p b ng bi n thiên. B3: Tính f ”(xi) B4: T b ng bi n thiên suy ra các c c tr B4: D a vào d u c a f ” (xi) suy ra c c tr ( f ”(xi) > 0 thì hàm s có c c ti u t i xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm s có c c ñ i t i xi) * Chú ý: Qui t c 2 thư ng dùng v i hàm s lư ng giác ho c vi c gi i phương trình f’(x) = 0 ph c t p. Ví d 1. Tìm c c tr c a hàm s y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10 Qui t c I. Qui t c II TXð: R TXð: R y ' = 6 x + 6 x − 36 2 y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 x = 2 x = 2 ⇔ ⇔  x = −3  x = −3 x -3 2 +∞ y”= 12x + 6 -∞ + - y’’(2) = 30 > 0 nên hàm s ñ t c c ti u t i x = 2 và y' 0 0 + yct = - 54 71 +∞ y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i x = -3 y và -∞ - 54 ycñ =71 V y x = -3 là ñi m c c ñ i và ycñ =71 x= 2 là ñi m c c ti u và yct = - 54 Bài1. Tìm c c tr c a các hàm s sau: a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3 b. y = x 4 − 8 x3 + 432 c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7 d. y = x 4 - 5x 2 + 4 e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x Bài 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau: x+1 x2 + x − 5 (x - 4)2 a. y = 2 b. y = c. y = 2 x +8 x +1 x − 2x + 5 9 x − 3x + 3 2 x d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2 x-2 x −1 x +4 Bài 3. Tìm c c tr các hàm s http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 3
  4. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) x+1 5 - 3x a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y = x +1 2 1 - x2 x x3 d. y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 2 x2 − 6 Bài 4. Tìm c c tr các hàm s : a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + cos2x f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ] 2 D ng 2. Xác l p hàm s khi bi t c c tr ð tìm ñi u ki n sao cho hàm s y = f(x) ñ t c c tr t i x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Gi i phương trình f’(a) = 0 tìm ñư c m B3: Th l i giá tr a có tho mãn ñi u ki n ñã nêu không ( vì hàm s ñ t c c tr t i a thì f’(a) = 0 không k Cð hay CT) Ví d 1. Tìm m ñ hàm s y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 ñ t c c ti u t i x = 2 LG y ' = 3 x 2 − 6 mx + m − 1 . Hàm s ñ t c c tr t i x = 2 thì y’(2) = 0 ⇔ 3.(2)2 − 6 m.2 + m − 1 = 0 ⇔ m = 1 x = 0 V i m = 1 ta ñư c hàm s : y = x3 – 3x2 + 2 có : y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔  t i x = 2 hàm s ñ t giá x = 2 tr c c ti u V y m = 1 là giá tr c n tìm Bài 1. Xác ñ nh m ñ hàm s y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 2 Bài 2. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − mx 2 + (m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã h m sè cã C§ hay CT 3 x + mx + 1 2 Bài 3. Tìm m ñ hàm s y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x+m Bài 4. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 Bài 5. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s : f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c ti u t i ñi m x = 1, f(1) = -3 và ñ th c t tr c tung t i ñi m có tung ñ b ng 2 q Bài 6. Tìm các s th c q, p sao cho hàm s f ( x ) = xp + ñ t c c ñ i t i ñi m x = -2 và f(-2) = -2 x +1 q Hư ng d n: f '( x ) = 1 − , ∀x ≠ -1 ( x + 1)2 + N u q ≤ 0 th× f'(x) > 0 víi ∀x ≠ -1. Do ®ã h m sè lu«n ®ång biÕn . H m sè kh«ng cã cùc trÞ. + N u q > 0 thì: x2 + 2x +1− q  x = −1 − q f '( x ) = =0⇔  ( x + 1)2  x = −1 + q  L p b ng bi n thiên ñ xem hàm ñ t c c t i t i giá tr x nào. D ng 3. Tìm ñi u ki n ñ hàm s có c c tr Bài toán: ‘Tìm m ñ hàm s có c c tr và c c tr tho mãn m t tính ch t nào ñó.’ Phương pháp B1: Tìm m ñ hàm s có c c tr . B2: V n d ng các ki n th c khác Chú ý: • Hàm s y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) có c c tr khi và ch khi phương trình y’ = 0 có hai nghi m phân bi t. http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 4
  5. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) p( x ) • C c tr c a hàm phân th c y = . Gi s x0 là ñi m c c tr c a y, thì giá tr c a y(x0) có th Q( x ) P( x0 ) P '( x0 ) ñư c tính b ng hai cách: ho c y( x0 ) = hoÆc y(x 0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) Ví d . Xác ñ nh m ñ các hàm s sau có c c ñ i và c c ti u 1 x 2 + mx − 2 m − 4 a. y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 b. y = 3 x +2 Hư ng d n. a. TXð: R y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 . ð hàm s có c c tr thì phương trình: x 2 + 2 mx + m + 6 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m > 3 ∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔   m < −2 b. TXð: ¡ \ {−2} (2 x + m)( x + 2) − ( x 2 + mx − 2m − 4) x 2 + 4 x + 4 m + 4 y' = = ( x + 2)2 ( x + 2)2 H m sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi y ' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 m + 4 = 0 ∆ ' > 0 4 − 4m − 4 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ m<0 4 − 8 + 4m + 4 ≠ 0 m ≠ 0 Bài 1. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 2. Víi gi¸ trÞ n o cña m th× h m sè cã C§, CT? x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1 Bài 2. Tìm m ñ hàm sô y = luôn có c c ñ i và c c ti u. x−m Bài 3. Cho hàm s y = 2 x 3 + 2 − 12 x − 13 . Tìm a ñ hàm s có c c ñ i, c c ti u và các ñi m c c ti u c a ñ th cách ñ u tr c tung. m Bài 4. Hàm s y = x 3 − 2(m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m ñ hàm s có c c ñ i c c ti u. 3 x 2 + mx Bài 5. Cho hàm y = . Tìm m ñ hàm s có c c tr 1− x x 2 + mx − 2 m − 4 Bài 6. Cho hàm s y = . Xác ñ nh m ñ hàm s có c c ñ i và c c ti u. x+2 D ng 4. Tìm tham s ñ các c c tr tho mãn tính ch t cho trư c. Phương pháp + Tìm ñi u ki n ñ hàm s có c c tr + V n d ng các ki n th c v tam th c, h th c Viet ñ tho mãn tính ch t. Ví d . http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 5
  6. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) Bài1. Tìm c c tr c a các hàm s sau: a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3 b. y = x 4 − 8 x3 + 432 c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7 d. y = x 4 - 5x 2 + 4 e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x Bài 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau: x+1 x2 + x − 5 (x - 4)2 a. y = 2 b. y = c. y = 2 x +8 x +1 x − 2x + 5 9 x − 3x + 3 2 x d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2 x-2 x −1 x +4 Bài 3. Tìm c c tr các hàm s x+1 5 - 3x a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y = x +1 2 1 - x2 x x3 d. y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 2 x2 − 6 Bài 4. Tìm c c tr các hàm s : a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + cos2x f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ] 2 Bài 5. Xác ñ nh m ñ hàm s y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 2 Bài 6. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − mx 2 + ( m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã h m sè cã C§ hay CT 3 x 2 + mx + 1 Bài 7. Tìm m ñ hàm s y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x+m Bài 8. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 Bài 9. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s : f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c ti u t i ñi m x = 1, f(1) = -3 và ñ th c t tr c tung t i ñi m có tung ñ b ng 2 q Bài 10. Tìm các s th c q, p sao cho hàm s f ( x ) = xp + ñ t c c ñ i t i ñi m x = -2 và f(-2) = -2 x +1 Bài 11. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 2. Víi gi¸ trÞ n o cña m th× h m sè cã C§, CT? x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1 Bài 12. Tìm m ñ hàm sô y = luôn có c c ñ i và c c ti u. x−m Bài 13. Cho hàm s y = 2 x 3 + 2 − 12 x − 13 . Tìm a ñ hàm s có c c ñ i, c c ti u và các ñi m c c ti u c a ñ th cách ñ u tr c tung. m Bài 14. Hàm s y = x 3 − 2( m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m ñ hàm s có c c ñ i c c ti u. 3 x 2 + mx Bài 15. Cho hàm y = . Tìm m ñ hàm s có c c tr 1− x x 2 + mx − 2 m − 4 Bài 16. Cho hàm s y = . Xác ñ nh m ñ hàm s có c c ñ i và c c ti u. x+2 GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S D NG 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 6
  7. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) • ð tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f(x) trên ( a; b ) : +B1: Tính ñ o hàm c a hàm s y’ = f’(x) + B2: Xét d u ñ o hàm f’(x), l p b ng bi n thiên x a x0 b x a x0 b y' - + y' + - GTLN y y GTNN Trong ñó t i x0 thì f’(x0) b ng 0 ho c không xác ñ nh • ð tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm caùc giaù trò xi ∈ [ a; b ] (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh . B2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b) B3: GTLN = max{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b) } GTNN = Min{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b) } 1 Ví d 1. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y = x + trên kho ng (0; +∞ ) x Hư ng d n: D th y h àm s liên t c trên (0; +∞) x 0 1 ∞ +∞ 1 x −1 2 y' - 0 + y ' = 1− 2 = 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 . ∞ +∞ ∞ +∞ x x y D th y x = −1 ∉ (0; +∞) 2 V y Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm s không có giá tr l n nh t. Ví d 2. x3 Tính GTLN, GTNN c a hàm s y = + 2 x 2 + 3 x − 4 trên ño n [-4; 0] 3 Hư ng d n Hàm s liên t c trên [-4; 0],  x = −1 f '( x ) = x 2 + 4 x + 3 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇒   x = −3 −16 −16 f (−4) = , f (−3) = −4, f ( −1) = , f (0) = −4 3 3 VËy Max y = −4 khi x = -3 hoÆc x = 0 x∈[-4;0] −16 Min y = khi x = -4 hoÆc x = -1 x∈[-4;0] 3 Bài 1. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s (n u có): a. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 3 + 5 x − 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trªn ®o¹n [-4; 3] Bài 2. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s (n u có): x 1 a. f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; +∞) x+2 x- 1 1 π 3π c. f(x) = x 1 - x 2 d. f(x) = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2 TI M C N C A HÀM S I. Ki n th c c n n m Cho hàm s y = f(x) có ñ th là (C) • y = y0 là ti m c n ngang c a n u m t trong hai ñi u kiên sau ñư c tho mãn: lim f ( x ) = y0 , hoÆc lim f ( x ) = y0 x →+∞ x →−∞ http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 7
  8. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) • x = x0 là ti m c n ñ ng c a (C) n u m t trong các ñi u ki n sau ñ ơc tho mãn: lim+ = +∞, lim− = +∞, lim+ = −∞, lim− = −∞ x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 • ðư ng th ng y = ax + b ( a ≠ 0 ) ñư c g i là ti m c n xiên n u m t trong hai ñi u ki n sau tho mãn: lim [f ( x ) − (ax + b)] = 0 hoÆc lim [f ( x ) − (ax+b)]=0 x →+∞ x →−∞ II. Các d ng toán P( x ) D ng 1: Ti m c n hàm s h u t y = Q( x ) Phương pháp • Ti m c n ñ ng: Nghi m c a m u không ph i là nghi m c a t cho phép xác ñ nh ti m c n ñ ng. • Ti m c n ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Ti m c n ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Ti m c n ngang là t s hai h s b c cao nh t c a t và m u. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có ti m c n ngang; Ti m c n xiên ñư c xác ñ nh b ng cách phân tích hàm s thành d ng: f(x) = ax + b + ε ( x ) v i lim ε ( x ) = 0 thì y = ax + b là ti m c n x →∞ xiên. Ví d 1. Tìm các ti m c n c a các hàm s : 2x- 1 x2 − x − 7 x+2 a. y = b. y = c. y = 2 x+2 x −3 x −1 Hư ng d n 2x −1 2x −1 a. Ta th y lim− = −∞; lim+ = +∞ nên ñư ng th ng x= 2 là ti m c n ñ ng. x →−2 x + 2 x →−2 x + 2 1 2− 2x −1 x = 2 nên y = 2 là ti m c n ngang c a ñ th hàm s . Vì lim = lim x →±∞ x + 2 x →±∞ 2 1+ x b. x2 − x − 7 + lim = −∞ . Nên x = 3 là ti m c n ñ ng c a ñ th hàm s . x →3− x −3 1 −1 + y = x+2− . Ta th y lim[y - (x + 2)]= lim = 0 V y y = x+ 2 là ti m cân xiên c a ñ th hàm x −3 x →∞ x →∞ x − 3 s . x+2 c. Ta th y lim = 2 = +∞. Nên x = 1 là ñư ng ti m c n ñ ng. x →1+ x −1 x+2 + lim− 2 = +∞ . Nên x = -1 là ti m c n ñ ng. x →−1 x − 1 1 2 + x + 2 x x2 + lim 2 = = 0 . Nên y = 0 là ti m c n ngang c a ñ th hàm s . x →+∞ x − 1 1 1− 2 x D ng 2. Ti m c n c a hàm vô t y = ax 2 + bx + c (a > 0) Phương pháp b Ta phân tích ax 2 + bx + c ≈ a x + + ε ( x) 2a b V i lim ε ( x ) = 0 khi ñó y = a ( x + ) có ti m c n xiên bên ph i x →+∞ 2a b V i lim ε ( x ) = 0 khi ñó y = − a ( x + ) có ti m c n xiên bên tr ái x →−∞ 2a http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 8
  9. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) VÝ dô T×m tiÖm cËn cña h m sè: y = 9 x 2 − 18 x + 20 H−íng dÉn y = 9( x − 2)2 + 6 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 9
  10. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) f (x) C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña h m sè y = g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) f ( x) x→ x x→x DÊu cña g(x) lim 0 0 x → x g( x ) 0 L ±∞ Tuú ý 0 + +∞ L>0 0 - -∞ - +∞ L<0 0 + -∞ B i 1. T×m tiÖm cËn c¸c h m sè sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 a. y = b. y = c. y = d. y = x+2 3x + 1 2 - 3x x+1 x+ 1 1 -x + 3 4-x e. y = f. y = 4 + g. y = h. y = 2x + 1 x- 2 x 3x + 1 B i 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c h m sè sau: x 2 − 12 x + 27 x2 − x − 2 x2 + 3x 2- x a. y = b. y = c. y = d. y = x2 − 4x + 5 ( x − 1)2 x2 − 4 x − 4x + 3 2 1 x2 + 2 x 1 2x 3 − x 2 e. y = 2x -1 + f. y = g. y = x- 3 + h. y = x x −3 2(x- 1)2 x2 +1 B i 3. T×m tiÖm cËn c¸c h m sè x2 + x 2 a. y = 2 2 x −1 x+ 3 -5 5 b. y = -5 5 x+ 1 -5 5 -2 x +1 c. y = -2 -2 x2 − 4 -4 -4 -4 x −3 B i 4. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ h m sè: y = cã ®óng 2 tiÖm cËn ®øng. x + 2(m + 2) x + m 2 + 1 2 B i 5. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c h m sè: 3x 2 + x + 1 -3x 2 + x − 4 a. y = b. y = x −1 x +2 x 2 + 2(m − 1) x − 4 m + 3 B i 6.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ h m sè y = t¹o víi hai trôc x −2 to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 (®vdt) x 2 + x (3m − 2) + 3 − 3m B i 7. Cho h m sè: y = (1) x −1 a. T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm A(4; − 3) b. T×m m ®Ó ®−êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol y = x 2 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 10
  11. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) 4. kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba D¹ng 1: Kh¶o s¸t v vÏ h m sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ph−¬ng ph¸p 1. T×m tËp x¸c ®Þnh. 2. XÐt sù biÕn thiªn cña h m sè a. T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc v c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã). T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn. b. LËp b¶ng biÕn thiªn cña h m sè, bao gåm: + T×m ®¹o h m, xÐt dÊu ®¹o h m, xÐt chiÒu biÕn thiªn v t×m cùc trÞ. + §iÒn c¸c kÕt qu¶ v o b¶ng. 3. VÏ ®å thÞ cña h m sè. + VÏ ®−êng tiÖm cËn nÕu cã. + X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt: Giao víi Ox, Oy, ®iÓm uèn. + NhËn xÐt ®å thÞ: ChØ ra t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng (kh«ng cÇn chøng minh) VÝ dô 1. Cho h m sè: y = − x 3 + 3 x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè. b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 − 1 = m H−íng dÉn a. 1. TX§: D = ¡ 2. Sù biÕn thiªn cña h m sè a. Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 1 lim ( − x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x x ∞ ∞ +∞ 3 1 x -∞ 0 2 lim ( − x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ y' - 0 + 0 - x →−∞ x →−∞ x x ∞ +∞ c. B¶ng biÕn thiªn 3 x = 0 y y ' = −3 x 2 + 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ −3 x 2 + 6 x = 0 ⇒  x = 2 -1 ∞ -∞ H m sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng ( −∞;0) v (2; +∞) V nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). H m sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; v yC§=y(2)= 3 H m sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 v yCT = y(1) = -1 2 3. §å thÞ + Giao víi Oy: cho x = 0 ⇒ y = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) -5 5 + y '' = 0 ⇔ −6 x + 6 = 0 ⇒ x = 1 . §iÓm A (1; 1) + NhËn ®iÓm A l m t©m ®èi xøng. -2 b. Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ y = − x 3 + 3 x 2 − 1 v y =m Dùa v o ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn: m > 3: Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm. m = 3 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm -1< m < 3: Ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. m = -1: Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm m < -1: Ph−¬ng tr×nh cã 1nghiÖm C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba B i 1(TNTHPT – 2008) Cho h m sè y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè. http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 11
  12. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) b. BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m B i 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho h m sè y = x3 - 3x2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè ® cho. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 3 − 3x 2 − m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bài 3 (TNTHPT - 2007) Cho hàm s y= x3 − 3 x + 2 có ñ th là (C) . a/ Kh o sát và v ñ th hàm s . b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m A(2 ;4) . Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm s y= − x 3 + 3 x 2 có ñ th (C) . a/ Kh o sát và v ñ th hàm s . b/ D a vào ñ th bi n lu n s nghi m phương trình : − x 3 + 3 x 2 -m=0 . Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm s y= x3 − 6 x 2 + 9 x có ñ th là (C) . a/ Kh o sát và v ñ th hàm s . b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m cã ho nh ®é l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’=0 . c/ V i giá tr nào c a m thì ñư ng th ng y=x+m2-m ñi qua trung ñi m c a ño n th ng n i c c ñ i vào c c ti u . Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm s y= x3 − 3mx 2 + 4m3 . a/ Kh o sát và v ñ th hàm s khi m=1 . b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m có hoành ñ x=1 . B i 7 (§H- A- 2002) Cho h m sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m= 1 b. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ h m sè (1). B i 8 (C§ SP MGTW- 2004) Cho h m sè y = x3 - 3x2 + 4m a. Chøng minh ®å thÞ h m sè lu«n cã 2 cùc trÞ. b. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè khi m = 1 B i 9 (§H-B- 2007) Cho h m sè y = − x 3 + 3 x 2 + 3( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =1 b. T×m m ®Ó h m sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu v c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O. B i 10 (§H - D - 2004) Cho h m sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 2 b. T×m m ®Ó nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®−êng th¼ng y = x+ 1 B i8 Cho h m sè y = (x -1)(x2 + mx + m) a. T×m m ®Ó ®å thÞ h m sè c¾t trôc ho nh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè víi m= 4 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 12
  13. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) B i3 Cho h m sè y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6( m − 2) x − 1 a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =2 b. Víi gi¸ trÞ n o cña m h m sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu. B i 5 (§H 2006- D) Cho h m sè y = x 3 − 3 x + 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè. b. Gäi d l ®−êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) v cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3 ®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®−êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0) B i7 Cho h m sè y = (x - m)3 - 3x a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1 b. T×m m ®Ó h m sè ® cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã ho nh ®é x = 0 B i8 Cho h m sè y = (x -1)(x2 + mx + m) c. T×m m ®Ó ®å thÞ h m sè c¾t trôc ho nh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt d. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè víi m= 4 B i 11 Cho h m sè y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè khi m =1 b. T×m m ®Ó h m sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 13
  14. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) H m bËc bèn trïng ph−¬ng v mét sè b i tËp cã liªn quan I. Mét sè tÝnh chÊt cña h m trïng ph−¬ng • H m sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho a ≠ 0 • H m sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu ⇔ y ' = 0 ⇔ 2 x (2 ax 2 + b) = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt b ⇔ <0 2a • §å thÞ h m sè lu«n nhËn Oy l trôc ®èi xøng. • NÕu h m sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o th nh mét tam gi¸c c©n. D¹ng to¸n: Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ cña h m sè VÝ dô 1 (TNTHPT-2008) Cho h m sè y = x 4 − 2 x 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè. b. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ h m sè t¹i ®iÓm cã ho nh ®é x = -2 VÝ dô 2. Cho h m sè y = x 4 + 4 mx 3 + 3( m + 1) x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =0 b. Víi gi¸ trÞ n o cña m h m sè cã 3 cùc trÞ http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 14
  15. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) B i tËp h m sè trïng ph−¬ng B i 1. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ c¸c h m sè sau: a. y= -x 4 + 2 x 2 b. y = x 4 + x 2 − 2 c. y = x 4 − 6 x 2 + 1 1 4 5 d. y = x − 3x 2 = e.y = -x 4 +2x 2 +3 f. y = x 4 +2x 2 +1 2 2 B i 2. Cho h m sè y = x 4 − 2 m 2 x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =1 b. T×m m ®Ó ®å thÞ h m sè cã ba cùc trÞ l ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n. B i 3 (§H § L¹t - 2002) a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 b. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè y = x 4 − 2 x 2 + 1 c. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 − m = 0 B i 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) Cho h m sè y = − x 4 + 2 mx 2 (C m ) a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1 b. H y x¸c ®Þnh m ®Ó h m sè ®å thÞ h m sè cã 3 cùc trÞ B i 5. (§H Vinh - 2002) 1. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè y = − x 4 + 5 x 2 − 4 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 4 − 5x 2 − m 2 + 3 = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. B i6 x4 9 Cho h m sè y = − 2x2 − 4 4 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña h m sè y = k − 2 x 2 B i7 Cho h m sè y = x 4 − 2 mx 2 + m 3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè khi m = 1 b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (Cm ) cña h m sè ® cho tiÕp xóc víi trôc ho nh t¹i 2 ®iÓm B i 8. (§H CÇn th¬ - 2002) Cho h m sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 0 b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña h m sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh l ba cùc trÞ l mét tam gi¸c vu«ng c©n. http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 15
  16. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) HOÏ ÑÖÔØNG CONG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT: Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá ) Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho tröôùc. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Ta coù : Hoï ñöôøng cong (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f ( x 0 , m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 Cuï theå: • Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 • Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0 • Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0 Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (C m ) D¹ng 1: TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT: Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá ) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm) PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Böôùc 1: Goïi M 0 ( x0 ; y 0 ) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (Cm) ñi qua. Khi ñoù phöông trình: y 0 = f ( x0 , m) nghieäm ñuùng ∀ m (1) Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau: Daïng 1: Am + B = 0 ∀m Daïng 2: Am 2 + Bm + C = 0 ∀m A = 0 AÙp duïng ñònh lyù: Am + B = 0 ∀m ⇔  (2) B = 0 A = 0  Am + Bm + C = 0 ∀m ⇔  B = 0 (3) 2 C = 0  Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc ( x0 ; y 0 ) B i tËp B i 1. Cho hä (Cm) y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 2( m 2 + 4 m + 1) x − 4 m( m + 1) . CMR: Khi m thay ®æi th× hä ®−êng cong lu«n qua mét ®iÓm cè ®Þnh. mx + 1 B i 2. Cho hä ®å thÞ (Cm): = . T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh m ®å thÞ cña h m sè lu«n ®i qua víi mäi x+m m ≠ ±1 x 2 + mx − m − 1 B i 3. Cho hä (Cm) cã ph−¬ng tr×nh: y = . Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè x +1 ®Þnh. B i 4. Cho h m sè (Cm): y = x 3 − 3mx + 2 m http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 16
  17. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1. b. Chøng minh r»ng hä ®−êng cong lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. mx − 1 B i 5. Cho h m sè: y = , m ≠ ±1 . Gäi (Hm) l ®å thÞ cña h m sè ® cho. x −m a. Chøng minh r»ng víi mäi m ≠ ±1 , hä ®−êng cong lu«n qua 2 ®iÓm cè ®Þnh. b. Gäi M l giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi m thay ®æi. B i 6. Cho h m sè: y = ( m + 2) x 3 + 2( m + 2) x 2 − ( m + 3) x − 2 m + 1 (C m ) . Chøng minh r»ng hä ®å thÞ lu«n qua ba ®iÓm cè ®Þnh v 3 ®iÓm cè ®Þnh ®ã cïng n»m trªn mét ®−êng th¼ng. D¹ng 2: T×m ®iÓm hä ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua Ph−¬ng ph¸p: B1: Gi¶ sö M(x0; y0) l ®iÓm m hä ®−êng cong kh«ng thÓ ®i qua. B2: Khi cã ph−¬ng tr×nh: y 0 = f ( x0 , m) v« nghiÖm víi m tõ ®ã t×m ®−îc (x0; y0) B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm m hä ®−êng cong kh«ng thÓ ®i qua. B i 1. Cho h m sè y = ( x − 2)( x 2 − 2 mx + m 2 − 1) (C m ) . T×m c¸c ®iÓm m (Cm) kh«ng thÓ ®i qua. (3m + 1) x − m 2 + m B i 2. Cho h m sè y = x+m a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1. b. T×m c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng x = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ n o cña m ®Ó ®å thÞ h m sè ®i qua. B i 3. Cho ®å thÞ h m sè y = 2 x 3 − 3(m + 3) x 2 + 18mx − 8 (C m ) . Chøng minh r»ng trªn ®−êng cong y = x2 cã hai ®iÓm m (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m. http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 17
  18. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) CHUYÊN ð : PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH VÔ T I. PHƯƠNG PHÁP BI N ð I TƯƠNG ðƯƠNG 1. Bình phương 2 v c a phương trình a) Phương pháp Thông thư ng n u ta g p phương trình d ng : A + B = C + D , ta thư ng bình phương 2 v , ñi u ñó ñôi khi l i g p khó khăn hãy gi i ví d sau 3 A + 3 B = 3 C ⇒ A + B + 3 3 A.B ( 3 ) A+ 3 B =C và ta s d ng phép th : 3 A + 3 B = C ta ñư c phương trình : A + B + 3 3 A.B.C = C b) Ví d Bài 1. Gi i phương trình sau : x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2 Gi i: ðk x ≥ 0 Bình phương 2 v không âm c a phương trình ta ñư c: 1 + ( x + 3)( 3x + 1) = x + 2 x ( 2 x + 1) , ñ gi i phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi ph c t p m t chút . Phương trình gi i s r t ñơn gi n n u ta chuy n v phương trình : 3x + 1 − 2 x + 2 = 4 x − x + 3 Bình phương hai v ta có : 6 x + 8 x + 2 = 4 x + 12 x ⇔ x = 1 2 2 Th l i x=1 th a Nh n xét : N u phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta bi n ñ i phương trình v d ng : f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau ñó bình phương ,gi i phương trình h qu Bài 2. Gi i phương trình sau : x3 + 1 + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 x+3 Gi i: ði u ki n : x ≥ −1 Bình phương 2 v phương trình ? N u chuy n v thì chuy n như th nào? x3 + 1 Ta có nh n xét : . x + 3 = x 2 − x + 1. x + 1 , t nh n xét này ta có l i gi i như sau : x+3 x3 + 1 (2) ⇔ − x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1 x+3 x3 + 1 x = 1− 3 Bình phương 2 v ta ñư c: = x2 − x − 1 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔  x+3 x = 1+ 3  Th l i : x = 1 − 3, x = 1 + 3 l nghi m Qua l i gi i trên ta có nh n xét : N u phương trình : f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x) Mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta bi n ñ i f ( x) − h ( x) = k ( x) − g ( x) 2. Tr c căn th c 2.1. Tr c căn th c ñ xu t hi n nhân t chung a) Phương pháp M t s phương trình vô t ta có th nh m ñư c nghi m x0 như v y phương trình luôn ñưa v ñư c d ng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có th gi i phương trình A ( x ) = 0 ho c ch ng minh A ( x ) = 0 vô nghi m , chú ý ñi u ki n c a nghi m c a phương trình ñ ta có th ñánh gía A ( x ) = 0 vô nghi m http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 18
  19. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12) b) Ví d Bài 1 . Gi i phương trình sau : 3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4 Gi i: ( ) ( ) ( ) ( ) Ta nh n th y : 3 x 2 − 5 x + 1 − 3 x 2 − 3 x − 3 = −2 ( x − 2 ) v x 2 − 2 − x 2 − 3 x + 4 = 3 ( x − 2 ) −2 x + 4 3x − 6 Ta có th tr c căn th c 2 v : = 3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1) x − 2 + x 2 − 3x + 4 2 D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình . Bài 2. Gi i phương trình sau (OLYMPIC 30/4 ñ ngh ) : x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 5 Gi i: ð phương trình có nghi m thì : x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a phương trình , như v y phương trình có th phân tích v d ng ( x − 2 ) A ( x ) = 0 , ñ th c hi n ñư c ñi u ñó ta ph i nhóm , tách như sau : x2 − 4 x2 − 4 x + 12 − 4 = 3 x − 6 + x + 5 − 3 ⇔ 2 2 = 3( x − 2) + x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3  x+2 x +1  ⇔ ( x − 2)  − − 3 = 0 ⇔ x = 2  x + 12 + 4 x2 + 5 + 3  2 x+2 x+2 5 D dàng ch ng minh ñư c : − − 3 < 0, ∀x > x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 3 Bài 3. Gi i phương trình : 3 x 2 − 1 + x = x3 − 1 Gi i :ðk x ≥ 3 2 Nh n th y x=3 là nghi m c a phương trình , nên ta bi n ñ i phương trình    ( x − 3) ( x + 3 x + 9 ) 2  x+3 3 x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 + 2 3 = ( ) + 2 x −1 + 4  x3 − 2 + 5 2 3 x2 − 1 3 2    x+3 x+3 x 2 + 3x + 9 Ta ch ng minh : 1 + = 1+ <2< ( ) 2 ( ) + 2 3 x2 −1 + 4 x3 − 2 + 5 2 3 x2 − 1 x −1 +1 + 3 3 2 V y pt có nghi m duy nh t x=3 2.2. ðưa v “h t m “ a) Phương pháp N u phương trình vô t có d ng A + B = C , mà : A − B = α C dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a x . Ta có th gi i như sau : A− B  A+ B =C  = C ⇒ A − B = α , khi ñĩ ta có h :  ⇒ 2 A = C +α A− B   A − B =α b) Ví d Bài 4. Gi i phương trình sau : 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4 Gi i: ( ) ( ) Ta th y : 2 x 2 + x + 9 − 2 x 2 − x + 1 = 2 ( x + 4 ) x = −4 không ph i là nghi m Xét x ≠ −4 2x + 8 Tr c căn th c ta có : = x + 4 ⇒ 2 x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2 2x + x + 9 − 2x − x + 1 2 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 19
  20. Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)  2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1 = 2 x = 0  V y ta có h :  ⇒ 2 2x + x + 9 = x + 6 ⇔  2  2x + x + 9 + 2x − x + 1 = x + 4 2 2 x = 8   7 8 Th l i th a; v y phương trình có 2 nghi m : x=0 v x= 7 Bài 5. Gi i phương trình : 2 x2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x Ta th y : ( 2 x 2 + x + 1) − ( x 2 − x + 1) = x 2 + 2 x , như v y không th a mãn ñi u ki n trên. 1 Ta có th chia c hai v cho x và ñ t t = thì bài toán tr nên ñơn gi n hơn x Bài t p ñ ngh Gi i các phương trình sau : x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 3 x 2 − 1 + 3 x3 − 2 = 3x − 2 4 − 3 10 − 3 x = x − 2 (HSG Toàn 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 = 0 (OLYMPIC 30/4-2007) Qu c 2002) 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2 2 ( 2 − x )( 5 − x ) = x + ( 2 − x )(10 − x ) 2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4 3 x2 + 4 = x − 1 + 2x − 3 x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8 3. Phương trình bi n ñ i v tích S d ng ñ ng th c u + v = 1 + uv ⇔ ( u − 1)( v − 1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b )( v − a ) = 0 A2 = B 2 Bài 1. Gi i phương trình : 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2 x = 0 Gi i: pt ⇔ ( 3 x +1 −1 )( 3 ) x + 2 −1 = 0 ⇔   x = −1 Bi 2. Gi i phương trình : 3 x + 1 + 3 x2 = 3 x + 3 x2 + x Gi i: + x = 0 , không ph i là nghi m x +1 3  x +1  + x ≠ 0 , ta chia hai v cho x: 3 x + x = 1+ 3 x +1 ⇔  3 x − 1 ( 3 ) x −1 = 0 ⇔ x = 1   Bài 3. Gi i phương trình: x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3 Gi i: dk : x ≥ −1 x = 1 pt ⇔ ( x + 3 − 2x )( x +1 −1 = 0 ⇔  x = 0 ) 4x Bài 4. Gi i phương trình : x + 3 + =4 x x+3 Gi i: ðk: x ≥ 0 2 4x 4x  4x  Chia c hai v cho x + 3 : 1+ =2 ⇔ 1 −  = 0 ⇔ x =1 x+3 x+3  x+3  Dùng h ng ñ ng th c http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản