Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng

Chia sẻ: chau1141996

Tài liệu tham khảo luyện thi dành cho sinh viên học sinh luyện thi cao đẳng đại học. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho bạn trong kỳ thi

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng

WWW.ToanCapBa.Net

* cot x  cot   x    k
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
* cot x  a  x  arc cot a  k (với a không
1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:
phải là giá trị đặt biệt)
* A có nghĩa khi A  0 .
* cot x  cot  0  x   0  k180 0
1
có nghĩa khi A  0 .
*
3: Công thức lượng giác cơ bản:
A
1 1
* sin 2   cos 2   1 * 1  tan 2  
có nghĩa khi A  0
*
cos 2 
A
1
Đặt biệt: * 1  cot 2   * tan  . cot   1
 sin 2 
 k 2 * sin x  0  x  k
* sin x  1  x 
4: Công thức đối:
2
* cos( )  cos  * sin(  )   sin 

 k 2
* sin x  1  x  
* tan( )   tan  * cot( )   cot 
2
 5: Công thức bù:
 k
* cos x  1  x  k 2 * cos x  0  x 
* sin(   )  sin  * cos(   )   cos 
2
* cos x  1  x    k 2 . * tan(   )   tan  * cot(   )   cot 
*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối 6:Công thức phụ:
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm  
* sin(   )  cos  * cos(   )  sin 
tâm đối xứng. 2 2
2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:  
* tan(   )  cot  * cot(   )  tan 
 x    k 2
* sin x  sin    2 2
 x      k 2 7:Công thức hơn kém  :
 x  arcsin a  k 2 * sin(   )   sin  * cos(   )   cos 
* sin x  a   ( với a  1 và a
* tan(   )  tan  * cot(   )  cot 
 x    arcsin a  k 2
8:Công thức cộng:
không phải là giá trị đặt biệt)
* cos(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b
 x   0  k 360 0
* sin x  sin  0   * cos(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b
 x  180    k 360
0 0 0

* sin(a  b)  sin a. cos b  cos a. sin b
 x    k 2
* cos x  cos    * sin(a  b)  sin a. cos b  cos a. sin b
 x    k 2
tan a  tan b
* tan(a  b) 
 x  arccos a  k 2
1  tan a. tan b
* cos x  a   ( với a  1 và a
 x   arccos a  k 2 tan a  tan b
* tan(a  b) 
không phải là giá trị đặt biệt) 1  tan a. tan b
 x   0  k 360 0 9:Công thức nhân đôi:
* cos x  cos  0  
* cos 2a  cos a  sin a  2cos a  1
2 2 2
 x     k 360
0 0

 1  2 sin 2 a .
* tan x  tan   x    k
* sin 2a  2 sin a. cos a
* tan x  a  x  arctan a  k (với a không phải là giá
2 tan 
trị đặt biệt) * tan 2 
1  tan 2 
* tan x  tan  0  x   0  k180 0



Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


10. Công thức nhân ba: 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số
* sin 3  3 sin   4 sin 3  lượng giác:
b
* cos 3  4 cos 3   3 cos 
* aX  b  0  X  
a
11:Công thức hạ bậc: Trong đó là một hàm số lượng giác
1  cos 2a 1  cos 2a 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số
* cos a  sin 2 a 
2

2 2 lượng giác:
1  cos 2 * Dạng a sin 2 x  b sin x  c  0
* tan 2  
1  cos 2 Đặt t  sin x ,  1  t  1 .
12:Công thức biến đổi tích thành tổng:
* Dạng a cos 2 x  b cos x  c  0
1
cos(a  b)  cos(a  b) Đặt t  cos x ,  1  t  1.
* cos a. cos b 
2
* Dạng a tan 2 x  b tan x  c  0 Đặt t  tan x .
1
cos(a  b)  cos(a  b)
sin a. sin b 
* Dạng a cot 2 x  b cot x  c  0 Đặt t  cot x .
2
1 3. Phương trình dạng a sin x  b cos x  c (1):
sin a. cos b  sin(a  b)  sin(a  b)
*Cách giải:
2
+ Chia hai vế của phương trình (1) cho
13:Công thức biến đổi tổng thành tích: a 2  b 2 ta được:
ab ab
a b c
* cos a  cos b  2 cos cos
sin x  cos x 
2 2
a b a b a  b2
2 2 2 2 2
ab a b
cos a  cos b  2 sin sin c
 cos  sin x  sin  cos x 
2 2
a  b2
2
ab ab
sin a  sin b  2 sin cos
c
2 2  sin( x   ) 
ab ab a2  b2
sin a  sin b  2 cos sin
2 2 4. Phương trình dạng:
sin( a  b) a sin 2 x  b sin x cos x  c cos x 2  d (1)
tan a  tan b 
cos a. cos b Cách giải:
   
0 + Thay

6 4 3 2
 k  sin 2 x  1)
cos x  0( x 
sin 0 1
1 2 3
2
2 2 2 vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không?
cos 1 0
1

3 2
 k là nghiệm
Nếu thỏa thì kết luận x 
2
2 2
2
tan 0 1 KXĐ
1 3 của phương trình.
3

 k ) , chia hai
+ Với cos x  0 (  x 
cot KXĐ 3 1 0
1
2
3
vế của (1) cho cos 2 x ta được phương trình:
Các phương trình lượng giác thường gặp:

Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

1
a tan 2 x  b tan x  c  d .
cos 2 x
5: Phương trình :  a tan 2 x  b tan x  c  d .(1  tan 2 x)
* Dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c

Đặt t  sin x  cos x ( 2 sin( x  ) ) , t  2
4
t 1
2
Ta có : sin x cos x  .
6. 2 sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  2 cos x
2
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo ( ĐH KHỐI D-2008 )
biến t.
* Dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 7. sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2 x
 ( CĐ KHỐI A, B, D-2008 )
Đặt t  sin x  cos x ( 2 sin( x  ) ) , t  2
4
1 t2 8. (1  sin 2 x) cos x  (1  cos 2 x) sin x  1  sin 2 x
Ta có : sin x cos x  .
2 ( ĐH KHỐI A-2007 )
Thay vào phương trình ta được phương trình theo
biến t. 9. 2 sin 2 2 x  7 sin 7 x  1  sin x
( ĐH KHỐI B-2007 )
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012 2
 x
x
10.  sin  cos   3 cos x  2
Giải các phương trình sau:
 2 2
(1  2sin x) cos x
 3 ( ĐH KHỐI A-2009 )
1. ( ĐH KHỐI D-2007 )
(1  2sin x)(1  sin x)

 
2 cos 6 x  sin 6 x  sin x cos x
2. 0
11.
2  2 sin x
sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin x)
3

( ĐH KHỐI A-2006)
( ĐH KHỐI B-2009 )
x
12. cot x  sin x(1  tan x tan )  4
2
3. 3 cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x  0 ( ĐH KHỐI B-2006 )
(ĐH KHỐI D-2009 ) 13. cos 3 x  cos 2 x  cos x  1  0
 7 
1 1 ( ĐH KHỐI D-2006 )
4.   4 sin   x
3
sin x 4 
sin( x  )
2 14. cos 2 3x cos 2 x  cos 2 x  0
( ĐH KHỐI A-2008 ) ( ĐH KHỐI A-2005 )

15. 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0
5. sin 3 x  3 cos 3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x
( ĐH KHỐI B-2005 )
( CĐ KHỐI B -2008 )


Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

16.
   3

cos 4 x  sin 4  cos x   sin  3x     0
 4  4 2
17. 5 sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x
( ĐH KHỐI B-2004 ) ( ĐH KHỐI D-2005 )
cos 2 x 1 26. 4(sin 4 x  cos 4 x)  sin 4 x  2  0
18. cot x  1   sin 2 x  sin 2 x
1  tan x 2 ( CĐ XD số 2 -2006 )
( ĐH KHỐI A-2003)
 x  x
cos 4    sin 4  
2
1  sin 2 x
19. cot x  tan x  4 sin 2 x  2 2

27.
sin 2 x


sin 2 x
2 sin 2  x  
( ĐH KHỐI B-2003 )
 4
( CĐ XD số 3 - Khối A -2006 )

x 2x
20. sin 2    tan x  cos 0
2

2 4 2
cos x  sin 2 x
3
28.
( ĐH KHỐI D-2003 )
2 cos 2 x  sin x  1
( CĐ GTVT III - Khối A -2006 )
21. Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2  của phương
trình:
29. 4sin 3 x  cos 3 x   cos x  3 sin x
cos 3x  sin 3x 

5 sin x    cos 2 x  3 ( CĐ SP Hưng Yên - Khối A -2006 )
1  2 sin 2 x 

( ĐH KHỐI A-2002 ) 30. cos 3 x  sin x  3 sin 2 x cos x
( CĐ SP Hưng Yên - Khối B -2006 )
22. sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x
( ĐH KHỐI B-2002 ) 1
31. sin 2 2 x   sin 2 x
2
23. Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm đúng phương
trình: ( CĐ SP Hưng Yên - Khối D1, M -2006 )
cos 3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4  0
( ĐH KHỐI D-2002 ) 7x 3x x 5x
32. sin  sin cos  sin 2 x cos 7 x  0
cos
2 2 2 2
24.
( CĐ BC Hoa Sen -2006 )
  
  
cos  x    cos 2  2 x    cos 2  3x    3 cos x
2

 2  2  2
 1  sin x 
33. 3 tan 2  x    2
  
 2  sin x 
( CĐ KT-KTCN I KHỐI A-2006 )
( CĐ Sài Gòn -2007 )
25. sin 3 x  cos 3 x  2(sin x  cos x)  1

34. sin 2  x    cos 2 x
1
 
4 2

( CĐ KT-KTCN II KHỐI A-2006 )
Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


35. 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2 x  sin x
( ĐH KHỐI D-2004 )




Chuyên đề phương trình lượng giác 5 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

I. Phương trình lượng giác cơ bản:

Ví dụ 1: Giải phương trình:
x
a. sin 2 x   s inx b. sin 2 x  2 cos x c. cos3x  s inx d. cosx=-sin
2

x 3 x 3
e. sin2  f. s in4x  2sin .cos4x g. cos  
2 4 3 4 2
Giải:
2

 2 x   x  k 2 x  k 3
a. sin 2 x   s inx  sin2x=sin(-x)   

 2 x    x  k 2
 x    k 2
 2 cos x  0
b. pt  2sin x.cos x  2 cos x  0  2 cos x  s inx  1  0  
s inx  1  0


 x  2  k
cos x  0 
 x   k
 
 x    k 2
s inx  1 2

 2
 
 
3x  2  x  k 2  4 x  2  k 2

c. cos3x  s inx  cos3x  cos   x    
 
3x     x  k 2  2 x     k 2
2 
 
 
2 2
 

x  8  k 2

 x     k

 4
 x
 x    2  k 2
d. cosx=-sin  cosx  sin     cosx  cos      
x x
x
 
 x    x  k 2
2  2 2


 2
x
 x  2  k 4
 2    k 2


 x   2  k 4
3x
    k 2
 3 3
2

2
1  cos x 3
x3 1
e. sin 2     2  2 cos x  3  2 cos x  1  cos x    cos x  cos
24 2 4 2 3
2

 x  3  k 2

 x   2  k 2

 3
Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 3 sin 4 x
f. s in4x  2sin .cos4x  sin4x=2. .cos4 x  sin 4 x  3cos4 x  3
3 2 cos4 x
   
 k  x 
 tan 4 x  3  tan 4 x  tan  4x  k
3 3 12 4
 x 5 10

 4  6  k 2  x  3  k 8
5
x 3 x
g. cos    cos  cos   
 x   5  k 2  x   10  k 8
4 2 4 6
4 
 
6 3
sin x.sin 3 x  cos x.cos 3 x
3 3
1
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 
  8
tan  x   .tan  x  
6 3
 
Giải:
 k
Điều kiện: x  
62
     
Ta có tan  x   .tan  x    tan  x   .cot   x    tan   x  .cot   x   1
           
6 3 6 6 6 6
     
Phương trình tương đương với:
sin 3 x.sin 3 x  cos3 x.cos 3 x 1
 
1 8
1 1
 sin 3 x.sin 3 x  cos3 x.cos 3 x   sin 2 x.s inx.sin 3 x  cos 2 x.cos x.cos3 x 
8 8
1  cos2 x cos2 x  cos4 x 1  cos2 x cos2 x  cos4 x 1
  
. .
2 2 2 2 8
1
 2  cos2 x  cos2 x.cos4 x  
2

1 1
 cos3 x   cos2 x 
8 2


 x  6  k  loai 
 ,k Z
 x     k

 6 .

Vậy : x    k
6




Chuyên đề phương trình lượng giác 7 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

cos 2 x  cos 3 x  1
Ví dụ 3: Giải phương trình: cos 2 x  tan x  2

cos 2 x
Giải:
Điều kiện: cosx ≠ 0
cos x  1
pt  cos 2 x  tan x  1  cos x  (1  tan x)  2cos x  cos x -1  0  
2 2 2
cos x   1
 2
 x  k 2 (n)

 x   2  k 2 (n)

 3


Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên  0; 2  của phương trình :
sin 3x  sin x
 sin 2x  cos2x
1  cos2x
Giải:
ĐK : 1  cos2x  0  2sin x  0  sin x  0  s inx  0  x  
2 2






2cos2x.sin x
pt   2cos  2x  
4

2 sin x
Khi x   0;   thì sinx > 0 nên :

(1)  2 cos2x = 2 cos  2x  
 
4

 
x 
16 2
 9
Do x   0;   nên x  hay x 
16 16

Khi x   ; 2  thì sinx < 0 nên :
 
(1)   2 cos2x = 2 cos  2x    cos  -2x  = cos  2x- 
   
4 4
 
5 
x 
16 2
21 29
Do x   ; 2  nên x  hay x 
16 16
 5 
Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 2 cos   x  sin x  1
 12 
Giải:

Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 5 5  5 


 x  sin x  1  2 sin  2 x    sin   1
2 2cos 
12  12 

 12 
5  5  5   5
 
1
 sin  2 x    sin   sin  sin  2 x    sin  sin 
12  12 4 12  4 12
 
2
    
 2 cos sin     sin   
3  12   12 

5  

 x  6  k
 2 x  12   12  k 2
5   

k  
 sin  2 x    sin      
 2 x  5  13  k 2  x  3  k
12   12 



 
12 12 4

2(cos x  sin x)
1
Ví dụ 6: Giải phương trình: 
tan x  cot 2 x cot x  1
Giải:
Điều kiện:sinx.cosx  0 và cotx  1
Phương trình đã cho tương đương với
2(cos x  sin x )
1

sin x cos 2 x cos x
 1
cos x sin 2 x sin x
2(cos x  s inx)
1 1
    2 s inx
sin 2 x sin x  cos2 x cos x cos x  s inx cos x
cos x sin 2 x s inx cos x sin 2 x
s inx  0 (loai )
 sin 2 x  2 s inx  0  2sin x cos x  2 s inx  0  
cos x  2

 2


2
 x =   k 2
 cosx =
4
2

Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x =   k 2
4


II. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:

Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá löôïng giaùc.
Vaø a, b, c laø caùc heä soá a  0.
Caùch giaûi: Đặtë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì t  1 )
+ Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn ñieàu kieän.

Chuyên đề phương trình lượng giác 9 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

+ Giaûi phöông trình f(x) = t.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a. sin 2 x  3cos x  2 cos 2 x  3cos 2 x  2 b. 5sin 2 x  2 cos 2 x  3sin x  10  2 cos 2 x
c. cos3x.cos x  1
Giải:

a. pt  1  cos 2 x  3cos x  2 cos 2 x  3(2 cos 2 x  1)  2

 x  k 2

cos x  1
  2
 5cos x  3cos x  2  0   2   x  arccos     k 2
2
cos x    5

 5
  2
 x   arccos     k 2
 5

b. pt  5sin x  2(1  sin x)  3sin x  10  2(1  2sin x)
2 2 2


s inx  1

 11sin x  3sin x  14    x   k 2
2
11
s inx   (VN ) 2
 4
1
c. pt   cos4 x  cos2 x   1  cos4 x  cos2 x  2  2 cos 2 2 x  1  cos2 x  2
2
cos2 x  1
 2 cos 2 x  cos2 x  3  0    cos2 x  1  2 x  k 2
2
cos2 x   3 (VN )
 2
 x  k



Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau:
2 cos 4 x  6co s 2 x  1  3cos 2 x 1  cos x(2 cos x  1)  2 sin x
a.  0 (1) b.  1 (2)
1  cos x
cos x
c. 3cosx  2  3(1  cosx).cot 2 x (3) d. sin 6 x  cos 6 x  2cos 2 x  1 (4)
Giải:

a. Đ k x   m .
2
Ta có (1)  22 cos 2 2 x  1  3(1  cos 2 x  1  3 cos 2 x  0




Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

k

cos 2 x  1 x  2
 2 cos 2 2 x  3 cos 2 x  1  0   
cos 2 x  1  x     k
 2 
 6
Đối chiếu với điều kiện ta được

 k ; h, k  Z .
x  h ; x  
6
b. ĐK : cos x  1  x  m2
Ta có: (2)  1  2 cos 2 x  cos x  2 sin x  1  cos x  2(1  sin 2 x)  2 sin x  0
 2
sin x  
 2sin x  2 sin x  2  0  
2
2
sin x  2 (VN )



 x   4  k 2


2
( Thỏa điều kiện)
 sin x    sin     
 x  5  k 2
2  4

 4
c. ĐK : x  m
cos 2 x cos 2 x
Ta có (3)  3 cos 2 x  2  3(1  cos x) 2  3 cos 2 x  2  3(1  cos x) 
1  cos 2 x
sin x
3 cos 2 x
 3 cos x  2    6 cos 2 x  cos x  2  0
1  cos x


 1
 x   3  k 2
cos x  2
(Thỏa ĐK)
 
cos x   2  x   arccos( 2 )  k 2


 
3 3
d. Ta có:
 3
sin 6 x  cos 6 x  sin 2 x  (cos 2 x) 3 
3
 (sin 2 x  cos 2 x) 3  3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x)  1  sin 2 2 x 
4
3 1
 cos 2 2 x 
4 4
3 1
Khi đđó: (4)  cos 2 2 x   cos 2 x  3 cos 2 2 x  4 cos 2 x  1  0
4 4
 x  k
cos 2 x  1
 

cos 2 x  1  x   1 arccos 1  k 2
 
3 2 3


Ví dụ 3: Tìm caùc nghieäm treân khoaûng  0;   cuûa phöông trình :
Chuyên đề phương trình lượng giác 11 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 sin 3x  cos 3 x 
(5)
 cosx   4  cos 2 x
7
 2sin 2 x  1 
Giải:
5

 x  12  m2
ĐK : sinx   
1

 x    m2
2

 12
Ta có
sin 3 x  cos 3x  3sin x  4sin 3 x  4 cos3 x  3cos x 
3(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)(1  sin x cos x)
 (sin x  cos x)(4 sin x cos x  1)  (sin x  cos x)(2 sin 2 x  1)
sin 3x  cos 3x
  sin x  cos x
2 sin 2 x  1
Ta có (5)  7(sin x  cos x  cos x)  4  cos 2 x  7 sin x  4  (1  2 sin 2 x)
sin x  3 (VN )
 2sin x  7 sin x  3  0  
2
sin x  1
 2


 x  6  k 2
1
 sin x   
 x  5  k 2
2

 6
*Chọn nghiệm thuộc khoảng 0;   ta được hai nghiệm của phương trình là:
 5
x ; x
6 6


Ví dụ 4: Giải phöông trình : cos 2 x  5sin x  3  0 (*) .
Giải:
(*)  1  2sin x  5sin x  3  0
2




 x  6  k 2
 1
s inx  1
 2sin 2 x  5sin x  2  0    sin x   
2
  x  5  k 2
2
s inx  2 (VN ) 
 6
17 x
Ví dụ 5. Giải phương trình sin(2x  )  16  2 3.s inx cos x  20sin 2 (  )
2 2 12
Giải:

 
1 3
pt  c os2x  3 sin 2x  10cos(x  )  6  0  c os2x  sin 2x  5c os(x  )  3  0
6 2 2 6
Chuyên đề phương trình lượng giác 12 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

   
 cos(2x  )  5cos(x  )  3  0  2cos 2 (x  )  5cos(x  )  2  0
3 6 6 6
 
 
1
x  2  k 2
c os(x  6 )   2
 
x   5  k 2
c os(x   )  2 (VN )
 

 6
6
sin 4 2 x  c os 4 2 x
 c os 4 4 x .
Ví dụ 6. Giải phöông trình  
 x ). tan(  x)
tan(
4 4
Giải:
 
Điều kiện: x l ,l  Z
4 2
   
Ta có :  x ) tan(  x )  tan(  x ) cot(  x)  1
t an(
4 4 4 4
1 11
sin4 2xcos42x 1 sin2 4x   cos24x
2 22
cos2 4x  1
pt  2cos4 4x  cos2 4x 1  0   2
cos 4x   1 (VN )

 2

1 cos2 4x  0  sin2 4x  0  sin4x  0  4x  k  x  k
4


Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là xk ,k Z
2
 2  3  sin x
 
sin 2  x    sin 2  x  
Ví dụ 7. Giải phöông trình 3 3 2
 
Giải:

2   2
 
1  cos  2x   1  cos   2x 
  3  sin x
3 3
 
Pt  2 2 2
2   2
   1
1  sin x  cos  2x    cos   2x   0 1  sin x  2 cos 2x     0
 
3 3  2
 
 1 – cos2x – sinx = 0  2sin2x – sinx = 0




Chuyên đề phương trình lượng giác 13 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


 x  k

 x    k2
sin x  0
  6
  5
sin x  1 x   k2
 2 (k  Z )
6

sin 2 x cos 2 x
Ví dụ 8. Giải phương trình: (1)
  tan x  cot x
cos x sin x
Giải:
cos x  0 
Điều kiện:   sin 2 x  0  x  k
s inx  0 2
cos 2x cos x  sin 2x sin x sin x cos x
(1)   
sin x cos x cos x sin x
cos  2 x  x  sin 2 x  cos 2 x
   cos x  sin 2 x  cos 2 x
sin x cos x sin x cos x
 x    k 2 (l )
cos x  1


 2 cos x  cos x  1  0 
2
 x   2  k 2 (n)
cos x   1
  3
2

Ví dụ 9. Giải phương trình : 2 sin 2 x  sin 2 x  sin x  cos x  1  0
Giải:
Ta có: 2 sin x  sin 2 x  sin x  cos x  1  0  2 sin 2 x  (2 cos x  1) sin x  cos x  1  0 .
2


  (2 cos x  1) 2  8(cos x  1)  (2 cos x  3) 2 .
Suy ra sin x  0,5 hoặc sin x  cos x  1 .
 5
 2k hoặc x   2k
Với sin x  0,5 ta có x 
6 6
  
Với sin x  cos x  1 ta có sin x  cos x  1  sin x    
2
 sin   
 
4 2 4
 
3
x  2k hoặc x   2k
Vậy nghiệm của phương trình là
2

Ví dụ 10. Giải phương trình: 2 cos 5 x. cos 3x  sin x  cos 8 x
Giải:
PT  cos2x + cos8x + sinx = cos8x
 1- 2sin2x + sinx = 0
1
 sinx = 1 hoặc sin x  
2

Chuyên đề phương trình lượng giác 14 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

  7
 x  k 2 ; x    k 2 ; x   k 2 , ( k  Z )
2 6 6

4  2sin 2 x
3
  2 3  2(cot x  1) .
Ví dụ 11. Giải phương trình:
cos 2 x sin 2 x
Giải:

Đk: x  k
2

  4
3 1  tan 2 x   2 3  2cot x
Phương trình đã cho tương đương với:
sin 2 x
2(sin 2 x  cos 2 x)
 3tan 2 x   3  2cot x
sin x cos x
 3tan 2 x  2tan x  3  0


 tan x   3 x    k


3

1
 tan x 
 x    k

 3 
 6
 
So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x   k ; kZ
6 2


BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :

1. Giaûi phöông trình :
 
cos x 2 sinx  3 2  2cos 2 x  1
4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
a. b.
0 1
1  sin 2 x
cos x
17
c. 5sinx  2  3(1  sinx).tan 2 x d. sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x
16
2. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng  0; 2  cuûa phöông trình :
cos 3x  sin 3x 

5  sinx    3  cos 2 x
1  2sin 2 x 



III. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b  0
Chuyên đề phương trình lượng giác 15 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

+ Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2  c2.
+ Caùch giaûi :
- Chia 2 veá phöông trình cho a 2  b 2 ta ñöôïc :
asinx b cos x c
 
a b a b a  b2
2 2 2 2 2

a b c
- Ñaët cos  vaø ñaët sin   ta coù phöông trình:
 sin  
a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2
sin( x   )  sin 


Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a. 3 sin 2 x  cos2 x  2 b. s inx  3 cos x  2sin 3x
c. cos x  3 sin 3x  cos3x  3 sin x d. 3sin 2 x  cos 2 x  3 s inx  cos x
Giải:
 
3 1
a. pt  sin 2 x  cos2 x  1  cos sin 2 x  sin cos2 x  1
2 2 6 6
  

sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k
6 62 6


 
1 3
b. pt  s inx  cos x   sin 3x  cos s inx  sin cos x   s in3x
2 2 3 3
  

 x  3  3 x  k 2  x  12  k 2


 sin  x    sin(3x)   
 x   2  k
 x      3x  k 2
3

 

 3
3

3 1 3 1
c. pt  3 sin 3 x  cos3 x  3 sin x  cos x  sin 3 x  cos3 x  s inx  cos x
2 2 2 2
   
 cos sin 3x  sin cos3 x  cos s inx  sin cosx
6 6 6 6
 

 x  k
3 x   x   k 2
 

  6 6

 sin  3x    sin  x    
x    k 
3 x      x    k 2
6 6
 
 3 2

 6 6




Chuyên đề phương trình lượng giác 16 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

d.
 
2
pt   cos 2 x  ( 3 s inx  cos x)  0
3 s inx

 ( 3 s inx  cos x)( 3 s inx  cos x)  ( 3 s inx  cos x )  0  ( 3 s inx  cos x )( 3 s inx  cos x  1)  0


  

3 1
sin  x  6   0
cos s inx  sin cos x  0
s inx  cos x  0
 
 3 s inx  cos x  0  
6 6
2 2


 
cos  s inx-sin  cos x  1   

3 s inx  cos x  1
 3 1 1
 sin  x    sin
s inx- cos x 
 
 6 6 2 6 6

 2 2 2
 

 x  6  k  x   6  k
 
 x      k 2 
  x   k 2

 
66 3
 
 x        k 2  x    k 2
 
6 6
 

Ví dụ 2: Giaûi phöông trình :
3 1
a. 4 cos 3 2 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x  3 cos 2 x (1) b. 8sinx  (2)

cosx sinx
c. sin 2 x  cos 2 x  cos x  sin x  0 (3) d. 9 sin x  3 cos x  3 sin 2 x  cos 2 x  8 (4)
e. 2cos 3 x  cos 2 x  sinx  0 (5) f. sin x  cos x  sinx  cosx (6)
3 3


g. 4 (sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2 (7) h. 3 (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x (8)

Giải:
a. (1)  4 cos 3 2 x  3 cos 2 x   3 sin 6 x  2 cos 4 x
1 3
 cos 6 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x  cos 6 x  sin 6 x  cos 4 x
2 2


 cos 6 x    cos 4 x .
3

sin x  0 m
m  Z 
b. ĐK :   sin 2 x  0  x 
cos x  0 2
Ta có (2)  4 sin 2 x sin x  3 sin x  cos x  2(cos x  cos 3x)  3 sin x  cos x


1 3
 cos x  sin x  cos 3x  cos x    cos 3x
2 2 3

c. Ta có (3)  (2 sin x cos x  sin x)  2 cos 2 x  cos x  1  0
 sin x(2 cos x  1)  (2 cos x  1)(cos x  1)  0
 (2 cos x  1)(sin x  cos x  1)  0


Chuyên đề phương trình lượng giác 17 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


1
 cos x   2 sin( x  )  1
2 4

d. Ta có (4)  9 sin x  6 sin x cos x   3 cos x  2 cos 2 x  9  0
 3 sin x(3  2 cos x)  (2 cos x  3)(cos x  3)  0
 (2 cos x  3)(cos x  3 sin x  3)  0  cos x  3 sin x  3  0
1 3 3
 cos  cos x  sin  sin x   sin 
 cos x  sin x  
10 10 10
1 3
cos   và sin  
Đặt
10 10
 
 
Phương trình  cos( x   )  cos      cos( x   )  cos     
2  2 
e. Ta có (5)  2 cos x  2 cos x  1  sin x  0  2 cos x(cos x  1)  (1  sin x)  0
3 2 2


 2(1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  (1  sin x)  0
 (1  sin x)2(1  sin x)(1  cos x)  1  0
 (1  sin x)(2 sin x  2 cos x  sin 2 x  1)  0
 
 (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x) 2  0
1  sin x  0
 (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0  
sin x  cos x  0
f. Ta có (6)  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  sin x  cos x
 sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  sin x  cos x
 2 cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  0  cos x(2  sin 2 x  sin x cos x)  0
1  cos 2 x 1
 cos x(2   sin 2 x)  0  cos x(3  cos 2 x  sin 2 x)  0
2 2
 cos x  0
1 1 31
g. Ta có sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  1  (1  cos 4 x)   cos 4 x
2 4 44
1 3 1
Nên (7)  3  cos 4 x  3 sin 4 x  2  cos 4 x  sin 4 x  
2 2 2
 2

 cos 4 x    cos
3 3

3 1 1 3
h. Ta có (8)  3 sin 3x  cos 3x  sin x  3 cos x  sin 3 x  cos 3x  sin x  cos x
2 2 2 2
 
 
 sin  3x    sin  x  
6 3
 



Chuyên đề phương trình lượng giác 18 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


Ví dụ 3. Giải phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos 2 (2 x  )
4
Giải:


PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin 2 x)  3 1  cos(4x+ ) 
2

 cos4x+ 3 sin 4 x  cos2x+ 3 sin 2 x  0
 
 sin(4 x  )  sin(2 x  )  0
6 6
 

 x   18  k 3

 2sin(3 x  ).cosx=0  
 x=   k
6
2

  
 k và
Vậy PT có hai nghiệm .
x x k
2 18 3



BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
1) Giaûi phöông trình : 3 sin 3x  3 cos 9 x  2 cos 3x  4 sin 3 3x
3 1
2) Giaûi phöông trình : 8cosx  
sin x cosx
3) Giaûi phöông trình : sin 2 x  2sin x  1  4sin 2 xcosx  cos 2 x  2sin x cos 2 x
4) Giaûi phöông trình : sinx  4 cos x  sin 2 x  2 cos 2 x  1
5) Giaûi phöông trình : 2sin 3 x  cos 2 x  cosx  0
6) Giaûi phöông trình : sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx
 
7) Giaûi phöông trình : 8 sin 6 x  cos 6 x  3 3 sin 4 x  2
8) Giải phương trình : 3 (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x


IV. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

*Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)

*Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về PT bậc nhất theo
sin2x và cos2x )
1  cos 2 x b 1  cos 2 x
(1)  a  sin 2 x  c d 0
2 2 2
Chuyên đề phương trình lượng giác 19 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 b sin 2 x  (c  a) cos 2 x  (2d  a  c) .


* Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx )
Xeùt hai tröôøng hôïp :

+ Neáu x =  k ; k  Z coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.
2
 2
+ Neáu x   k ; k  Z , chia hai veá phöông trình cho cos x ta ñöôïc:
2
atan x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
2

2
 (a + d)tan x + btanx + c + d = 0.


Ví duï 1: Giải các phương trình sau
 
a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1) b. 4sin2x – 3sinxcosx + 2
3  4 cos x = 4 (2)
c. 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4)

Giải

a. (1)  cos 2 x  sin 2 x   3 sin 2 x  1  cos 2 x  3 sin 2 x  1
 

1 3 1
 cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x    cos
2 2 2 3 3

b. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x  1 nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm x   k .
2
+ Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x ta được
4 t anx 2  3 t anx  3  4  4(1  tan 2 x)
 
 k
 tan x  tan x
6 6
 
Vậy PT (2) có nghiệm là : x   k ; x   k ; kZ
2 6
5 3
c. (3)  5(1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x)  3
2 2
 7 cos 2 x  5 sin 2 x  7
d. Xét cosx = 0 thì sin 2 x  1 nghiệm đúng phương trình (2).

 k .
Vậy (2) có nghiệm x 
2
+Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x ta được
1  t anx  3 tan 2 x  3(1  tan 2 x)  tan x  2  x  arctan 2  k

Chuyên đề phương trình lượng giác 20 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net



BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:
1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0
2) Giaûi phöông trình : sin2x + (1  3) sin x cos x  3cos 2 x  0
3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:

Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo
sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin 2 x  cos 2 x  1 . (k , n  N )
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (sin 2 x  cos 2 x)  sin 3 x  sin x cos 2 x (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. (sin 2 x  cos 2 x) 2  sin 5 x  2 sin 3 x cos 2 x  sin x cos 4 x (bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng
đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và
côsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k,
k N ”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
k

 
+Bước 2: -Xét cosx  0. Chia hai vế PT cho cos x và thay  2 
1 k
  1  tan x .
2
n

 cos x
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi
hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như
cách 1. Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x  sin x cos x  cos 2 x (1)
Giải cách 1:

 m .
+ĐK: x 
2

Chuyên đề phương trình lượng giác 21 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

+(1)  sin x  sin x cos 2 x  cos 3 x (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì  1  0 ; vô lý)
+cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

 k (t = tanx)
tan x(1  tan 2 x)  tan x  1  t 3  1  t  1  tan x  1  x  
4
Giải cách 2:
(*)  sin x(1  cos 2 x)   cos 3 x  sin 3 x   cos 3 x (**)

 k
tan 3 x  1  tan x  1  x  
4
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**)  sin 3 x  cos 3 x  0  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  0  (sin x  cos x)(2  sin 2 x)  0

 k
 sin x  cos x  0  tan x  1  x   .
4


Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 3 x  sin x  cos x (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx  0, chia hai vế (2) cho cos3x được : 1  tan x(1  tan 2 x)  (1  tan x)
 t (t 2  t  1)  0  t  0  tan x  0  x  k (với t = tanx )
Giải cách 2:
(2)  cos x(cos 2 x  1)  sin x  cos x sin 2 x  sin x  0  sin x(sin x cos x  1)  0
 sin x(sin 2 x  2)  0  sin x  0  x  k

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 sin 3 x  2 cos 3 x  sin 2 x cos x  2 cos x  0 (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx  0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
3 tan 3 x  2  tan 2 x  2(1  tan 2 x)  3t 3  3t 2  0  3t 2 (t  3 )  0
 x  k
t  0  tan x  0

 
 x     k
t   3  tan x   3  3
Giải cách 2:
(3)   3 sin 3 x  sin 2 x cos x   2 cos x(1  cos 2 x)  0
 
 sin 2 x( 3 sin x  cos x)  2 cos x sin 2 x  0  sin 2 x 3 sin x  3 cos x  0
 x  k
 x  k
sin x  0

 
 x     k
sin x  3 cos x  0 tan x   3
   3

Chuyên đề phương trình lượng giác 22 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net



Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx =  1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx  0
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
t 2  4t  3  0  t  1  t  3
Giải cách 2:
(4)  (3 cos 4 x  3 sin 2 x cos 2 x)  (sin 2 x cos 2 x  sin 4 x)  0
 3 cos 2 x(cos 2 x  sin 2 x)  sin 2 x(cos 2 x  sin 2 x)  0
cos 2 x  0
 cos 2 x(3 cos 2 x  sin 2 x)  0  
 tan x   3

Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 6 x  cos 6 x  cos 2 2 x  sin x cos x (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin 6 x  cos 6 x  (sin 2 x  cos 2 x)(sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x) =
= sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x
Và biến đổi : cos 2 2 x  (cos 2 x  sin 2 x) 2  cos 4 x  sin 4 x  2 sin 2 x cos 2 x
Thì PT (5)  sin 2 x cos 2 x  sin x cos x  0 (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x  cos 6 x  (cos 2 x  sin 2 x) 2  sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
t  0
t 5  t 4  2t 3  t 2  t  0   4 3
t  t  2t  t  1  0 (5.1)
2


 1   1
1 1
Khi đó PT (5.1)  t 2  t  2    0   t 2  2    t    2  0 (5.2)
2
t t   t

t
1
PT (5.2) đặt ẩn phụ u  t  thì được PT bậc hai u 2  u  0  u  0  u  1 .
t
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0  tan x  0  x  k .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
 k
 k cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = . Phù hợp với mọi cách
x
2 2
giải.

BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân
PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :
1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)
2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
Chuyên đề phương trình lượng giác 23 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
4) Giaûi phöông trình : sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx (đẳng cấp bậc 3)
5) Giaûi phöông trình : 8sin 6 x  cos 6 x   3 3 sin 4 x  2 (đẳng cấp bậc 6)
6) Giải phương trình : 3 (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x (đẳng cấp bậc 3)
7) Giaûi phöông trình : sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx (đẳng cấp bậc 3)
8) Giaûi phöông trình : 4 (sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2 (đẳng cấp bậc 4)
9) Giải phương trình : 3 (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x (đẳng cấp bậc 3)
17
10) Giaûi phöông trình : sin 8 x  cos8 x  (đẳng cấp bậc 8)
cos 2 2 x
16
11) Giaûi phöông trình : sin 6 x  cos 6 x  2cos 2 x  1 (đẳng cấp bậc 6)


V. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một
cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)

Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (1)

Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin  x    t  2
 
4

t 1
2
 t 2  1  2 sin x cos x  sin x cos x  (*)
2
t 2 1
(1)  at  b.  c  0  bt 2  2at  2c  b  0 (1.1) .
2
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .
Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t 02  1 để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)

Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (2)

Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 sin  x    t  2
 
4

1 t 2
 t 2  1  2 sin x cos x  sin x cos x  (**)
2
1 t2
(1)  at  b.  c  0  bt 2  2at  2c  b  0 (2.1) .
2
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x.
Chuyên đề phương trình lượng giác 24 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 
 
s in x  c o s x  2 s in  x    2 cos  x  
 4  4
 
 
s in x  c o s x  2 s in  x    2 cos  x 
 
 4  4


Ví dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x sin 2 x  12(cos x  sin x)  12 cos 2 x  0 (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình 8 cos 2 x  3 sin 2 x sin x  3 sin 2 x cos x  7 2 sin  x   (2)
 
4

Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
sin x  sin x  2 cos x  2  0
3 2


Ví dụ 4: Giải phương trình sin x cos x  12(sin x  cos x  sin 2 x)  sin x cos x  12 (4)
2 2


Ví dụ 5: Giải phương trình (5)
sin 2 x  sin x cos x  cos x  2 sin 2 x(sin x  1)  1
Ví dụ 6: Giải phương trình (6)
(sin x cos x  1) cos 2 x  cos x  sin x  0

Giải:

Ví dụ 1: (1)  sin x  cos x sin 2 x  12(sin x  cos x)  12  0
sin x  cos x  0 (1a )

12(sin x  cos x)  sin 2 x  12  0 (1b)
  
(1a)  sin  x    0  x   k  x   k
 
4 4 4

t  1
 t  1 t  sin x  cos x 
(1b)  t 2  12t  13  0  
t  13
    
  
1
 t  1  2 sin  x    1  sin  x      sin  x    sin   
4 4 4  4
  
2
 

 x  4   4  k 2 
 x   2  k 2
 

 x        k 2
 x    k 2

 4 4
 k
 k ; x 
+ Vậy (1) có nghiệm là x  (k  Z )
4 2
Ví dụ 2: (2)  cos x  sin x 8(cos x  sin x)  3 sin 2 x  7  0
sin x  cos x  0 ( 2a )

8(cos x  sin x)  3 sin 2 x  7  0 (2b)

(2a)  x    k
4

Chuyên đề phương trình lượng giác 25 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

(2b) : Đặt t = cos x  sin x ; ( t  2 )  t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  1  t 2 (*)
t  2
2
(2b)  3t  8t  4  0   2t 
2
t   3
 3
Ví dụ 3: (3)  (1  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x  1)  0
 x  k 2
cos x  1


 x  k
sin x  cos x  sin x cos x  1  0

 2

Ví dụ 4: (4)
 sin x  cos x sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  0
sin x  cos x  0

sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  0


x  4

 x  k

 2

Ví dụ 5: (5)  sin 2 x  1  (sin x cos x  cos x)  2 sin 2 x(sin x  1)  0
 sin x  1sin x  1  cos xsin x  1  2 sin 2 x(sin x  1)  0
 sin x  1sin x  cos x  2 sin 2 x  1  0
sin x  1

sin x  cos x  2 sin 2 x  1  0

Ví dụ 6: (6)  sin x cos x  1cos 2 x  sin 2 x   cos x  sin x   0
 sin x cos x  1cos x  sin x cos x  sin x   cos x  sin x   0
 (cos x  sin x) sin x cos x  1cos x  sin x   1   0
cos x  sin x  0 (6a )

(sin x cos x  1)(cos x  sin x)  1  0 (6b)

 k
(6a)  x 
4
(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  2 ) ; t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  t 2  1 (*)
 t 2 1 
(6b)   2  1.t  1  0  t  3t  2  0  (t  1)(t  t  2)  0
3 2

 
t  1 k
 t  1 thay vào (*) thì sin2x = 0  x 

t  2 2


Chuyên đề phương trình lượng giác 26 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


Giải các phương trình sau :
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1) 2 sin 2 x(sin x  cos x  1)  2 cos x    2 .
1
2) sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x  sin x  cos x
 
2
4

4) 3  sin x 3  sin 2 x   8(2  cos x)
3) cos x  cos x  2 sin x  2  0
3 2


5) cos 2 x(1  sin x cos x)  cos x  sin x  0 6) sin 3 x  3 sin 2 x  6 cos x  6  0




VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

1. Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.

Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 4 x 1  cos8 x
Phương trình (1) tương đương với:   
2 2 2 2
 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
 4cos5x.cos2x.cosx = 0

 π kπ
π
 x  10  5
5 x  2  kπ
cos 5 x  0 

cos 2 x  0   2 x  π  kπ   x  π  lπ , (k , l , n  )


 2 42
cos x  0 

 π π
 x   nπ
 x   kπ
 
2 2
 

Chuyên đề phương trình lượng giác 27 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).

Giải

Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)
 cos2x(sin6x–cos6x) = 0
 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
 cos2x = 0
π π kπ
 2x   kπ  x   , (k  )
2 42

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x  2 2 sin 3 x sin 3 x  6 2 cos 4 x  1  0 (3).
Giải
Ta có:
(3)  2 2 cos3 x(4 cos3 x  3cos x)  2 2 sin 3 x sin 3 x  1  0
 2 cos 2 x.2 cos x cos 3 x  2sin 2 x.2sin x sin x3x  2
 (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x)  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x)  2
 2(cos 2 x  cos 2 x cos 4 x)  2
2 2
 cos 2 x(1  cos 4 x )  cos 2 x.cos 2 2 x 
2 4
2 π
 cos 2 x   x    kπ , (k  )
2 8


Ví dụ 4. Giải phương trình: cos x  cos3x  1  2 sin  2x   .
4  
Giải:




Chuyên đề phương trình lượng giác 28 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net



cos x  cos3x  1  2 sin  2x    2cos x cos 2x  1  sin 2x  cos2x
4

 2cos x  2sin x cos x  2cos x cos 2x  0  cos x  cos x  sinx  cos2x   0
2



cos x  0
 cos x  cos x  sinx 1  s inx  cosx   0  cos x  sinx  0

1  sinx  cosx  0



x   k

  

2
 x   k x   k
 
 x     k
2 2
 

 
 4
  x    k
x    k 
 
 x       k2
4 4
  x  k2
sin  x      1  4 4 
  
 
 5 
4 2
 x    k2
 44

Ví dụ 5. Giải phương trình cos2x  2sin x  1  2sin x cos 2x  0

Giải:
Ta có: cos2x  2sin x  1  2sin x cos 2x  0
cos2 x  1  0
 cos2 x 1  2sin x   1  2sin x   0   cos2 x  11  2sin x   0  
1  2sin x  0

 2 x  k 2
cos2 x  1 

 1   x   k 2
s inx   6
 
2 5
x   k 2
 6

Ví dụ 6. Giải phương trình sau: (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx.

Giải

 l
Điều kiện: cos x  0  x 
2
Ta có:




Chuyên đề phương trình lượng giác 29 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 s inx  s inx
1 – tanx  1  sin2x   1  tanx  1   1  2sin x cos x   1 
 cos x  cos x
 (cos x  s inx)  s inx  cos x   cos x  s inx  (cos x  s inx)  s inx  cos x   (cos x  s inx)=0
2 2


 (sinx  cos x)  (cos x  s inx)(cos x  s inx)  1  0
 (sinx  cos x) cos 2 x  sin 2 x  1  0  (sinx  cos x)  cos2x  1  0
 

  
 
 2 sin  x  4   0   x   k   x    k (n)
s inx  cos x  0
    4 4
  
cos2 x  1  0
 2 x  k 2  x  k ( n )
cos2 x  1




Ví dụ 7: Giải phương trình: 2sin 2  x    2sin 2 x  t anx .
4

Giải:

 l (*)
Điều kiện : cos x  0  x 
2

 sinx
pt  1  cos  2 x    2sin 2 x 
2 cos x

 cos x  sin 2 x.cos x  2sin 2 x.cos x  sinx  cos x  sinx  sin 2 x  cos x  sinx   0

 cos x  sin 2 x.cos x  2sin 2 x.cos x  sinx  cos x  sinx  sin 2 x  cos x  sinx   0
 (cos x  sinx)(1  sin 2 x )  0



s inx   cos x  t anx  1  x    k
  
4
  x   k (nhân)
sin 2 x  1  2 x    l 2  x    l 4 2

 2 4


Ví dụ 8. Giải phương trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 3
Giải:
pt  2  cos6 x  cos4 x   3(2 cos 2 x  1)  2sin x cos x  3
 4 cos 5 x cos x  2 3cos 2 x  3  2sin x cos x  3




Chuyên đề phương trình lượng giác 30 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 
 4cos5xcosx -2sinxcosx - 2 3cos 2 x  0  2 cos x 2cos5x -sinx - 3cosx  0

 

 x  2  k
cos x  0 x   k

 
2 

2cos5x -sinx - 3cosx=0
 s inx  cos x  2 cos 5 x s inx  3 cos x  2 cos 5 x


 
 
 x  2  k x   k
 2
 
sin  s inx  cos  cos x  cos 5 x
1 3
 2 s inx  2 cos x  cos 5 x 
 6 6



x   k


 2
 x  2  k 
 
 x    k


cos  x     cos 5 x 24 2

 
  
6
 x  k
 36 3


cos 2 x.  cos x  1
 2 1  sin x  .
Ví dụ 9. Giải phương trình
sin x  cos x
Giải:
ĐK: sin x  cos x  0
Khi đó PT  1  sin 2 x   cos x  1  2 1  sin x   sin x  cos x 
 1  sin x 1  cos x  sin x  sin x.cos x   0
sin x  1
 1  sin x 1  cos x  1  sin x   0   (thoả mãn điều kiện)
cos x  1


 x   2  k 2 k, m  


 x    m2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x    k 2 và x    m2  k , m   
2

x
Ví dụ 10. Giải phương trình 1  sin sin x  cos sin 2 x  2 cos 2   
x x
 
4 2
2 2
Giải:
 
x x
pt  1  sin sin x  cos sin 2 x  1  cos   x   1  sin x
2 2 2 


Chuyên đề phương trình lượng giác 31 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

x  x x
x x x
 sin x sin  cos sin x  1  0  sin x sin  cos .2 sin cos  1  0
2  2 2
2 2 2
 x  x
x
 sin x sin  1 2 sin 2  2 sin  1  0
 2  2
2

sin x  0
x  k

x  k
x x 
 sin  1  x  k , k  
 
   k 2
2  x    k 4
2 2
 x x
 2sin 2  2sin  1  0
 2 2


1 8 1
Ví dụ 11. Giải phương trình: 2 cos x  cos 2 (  x)   sin 2 x  3cos( x  )  sin 2 x
3 3 2 3
Giải:
1 8 1
pt  2cosx+ cos 2 x   sin 2 x  3s inx+ sin 2 x  6cosx+cos 2 x  8  6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x
3 3 3
7
 6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x  9s inx+7)  0  6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- )  0
2
1  s inx=0 (1) 

 x   k 2 ;(k  Z )
 (1-sinx)(6cosx-2sinx+7)  0  
6cosx-2sinx+7=0(2) 2


(p/t vô nghiệm )
(2)

cos 2 x 1
Ví dụ 12. Tìm x  (0;  ) thoả mãn phương trình: cotx – 1 =  sin 2 x  sin 2 x .
1  tan x 2

Giải:
sin 2 x  0 sin 2 x  0

ĐK: 
sin x  cos x  0 tan x  1
cos x  sin x cos 2 x. cos x
 sin 2 x  sin x cos x
PT  
cos x  sin x
sin x
cos x  sin x
 cos 2 x  sin x cos x  sin 2 x  sin x cos x

sin x
 cos x  sin x  sin x(1  sin 2 x)

 (cos x  sin x)(sin x cos x  sin 2 x  1)  0

 (cosx  sin x)(sin2x  cos2x  3)  0

Chuyên đề phương trình lượng giác 32 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 c os x  sinx  0

 (cos x  sinx)( 2sin(2x  )  3)  0  
 2 sin(2 x   )  3( voly )
4
 4

 k (k  Z ) (tmđk)
 cos x  sin x  0  tanx = 1  x 
4

Do x  0;   k  0  x 
4
Ví dụ 13. Giải phương trình: sin 3 x  3sin 2 x  cos 2 x  3sin x  3cos x  2  0 .
Giải:

Ta có : sin 3x  3sin 2 x  cos 2 x  3sin x  3cos x  2  0
 (sin 3x  sin x)  2sin x  3sin 2 x  (cos 2 x  2  3cos x)  0
 2sin 2 x.cos x  2sin x  6.sin .cos x  (2 cos 2 x  3cos x  1)  0
 2sin x.cos 2 x  2sin x  6.sin .cos x  (2 cos 2 x  3cos x  1)  0
 1
 sin x  2

 (2sin x  1)(2 cos 2 x  3cos x  1)  0   cos x  1
 1
cos x 
 2


 x  6  k 2
1
* sin x    , (k  Z ).
 x  5  k 2
2

 6


 x  3  k 2
1
* cos x    , (k  Z ).
 x     k 2
2

 3
* cos x  1  x  k 2 , (k  Z ).

Ví dụ 14. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
Giải:
 sin x   cosx 
 2  1  sin x     1  cosx   0
 cosx   sin x 
2  sin x  cosx  cosx.sin x  3  sin x  cosx  cosx.sin x 
  0
cosx sin x
2 3
  cosx  sin x  cosx.sin x   0
 
 cosx sin x 

Chuyên đề phương trình lượng giác 33 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

3
2 3
* Xét   0  tan x   tan   x    
cosx sin x 2
* Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với t    2; 2  .
 
Khi đó phương trình trở thành:
t2 1
t  0  t 2  2t  1  0  t  1  2
2
  1 2
Suy ra : 2cos  x    1  2  cos  x     cos
   
 4  4 2

 x      2
4

 
 
Ví dụ 15.Giải phương trình : 5 cos 3 x    3 cos 5 x    0
6 10 
 
Giải:
 
 
pt  5 cos  3 x    3cos  5 x    0
2 2
 
 5sin 3 x  3sin 5 x
 2sin 3x  3(sin 5 x  sin 3x)
 2sin x( 3cos 4 x  4sin 2 x  3)  0
sin x  0

3cos 2 x  cos 2 x  2  0
2


 x  k
 ( k Z )
 x   1 arccos( 2 )  k
 2 3



 x  k Ví dụ 16. Giải phương
 Ví dụ 16. Giải phương trình trình
( k Z )
 x   1 arccos( 2 )  k

 sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cos x 
2 3


Giải:

sin x  cosx  0
pt  (sin x  cosx). 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx   0  
 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx  0

 k ( k  Z )
+ Với sin x  cosx  0  x 
4
(t    2; 2  )
+ Với 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx  0 , đặt t = sin x  cosx  


Chuyên đề phương trình lượng giác 34 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 t  1
được pt : t2 + 4t +3 = 0  
t  3(loai )
 x    m2
Với t = -1   (m  Z )
 x     m2
 2


 x  4  k ( k  Z )

Vậy :  x    m2 (m  Z )
 
 x    m2
 2

Ví dụ 17. Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8
 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
1  sin x  0 
 x   k 2

6 cos x  2 sin x  7  0 (VN ) 2

1  sin 2 x  cos 2 x
Ví dụ 18. Giải phương trình  2 sin x sin 2 x .
1  cot 2 x
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2011)
Giải:
ĐK : sinx ≠ 0 x  k
Phương trình đã cho  sin 2 x(1  s in2x  cos 2 x)  2 2 sin 2 x cos x

 1  sin 2 x  cos 2 x  2 2 cos x
 2 cos 2 x  2sin x cos x  2 2 cos x  0
 2 cos x(cos x  sin x  2)  0
 cosx = 0 hay cosx + sinx = 2

 cosx = 0 hay sin  x    1
 

4 
 
x=  k 2 (k  Z)
 k hay x =
2 4
Ví dụ 19. Giải phương trình sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2011)
Giải:

Chuyên đề phương trình lượng giác 35 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

Phương trình đã cho tương đương :
2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx
 sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx
 cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0
 sinx = 1 hay cosx(2cosx + 1) – 1 = 0
 2
x=  k 2 hay 2cos x + cosx – 1 = 0
2
 1
x=  k 2 hay cosx = – 1 hay cosx =
2 2
 
 x=  k 2 hay x =  + k2 hay x =   k 2 (k  Z)
2 3
s in2x  2 cos x  sin x  1
Ví dụ 20. Giải phương trình 0
tan x  3
( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2011)
Giải
Đk : tan x   3 ; cosx  0
Pt  sin2x + 2cosx  sinx  1 = 0  2sinxcosx + 2cosx  (sinx + 1) = 0
 2cosx (sinx + 1)  (sinx + 1)= 0  (2cosx  1)(sinx + 1) = 0


 x   3  k 2
 1
cos x 
 2 
 

sin x  1  x    k 2
 2

 k 2 (k  )
So đk ta có nghiệm của pt : x 
3
Ví dụ 21. ( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2012)
Giải phương trình 3 s in2x+cos2x=2cosx-1
Giải
. 3 s in2x+cos2x=2cosx-1
 2 3 sinxcosx + 2cos2x = 2cosx  cosx = 0 hay 3 sinx + cosx = 1
 
3 1 1
 cosx = 0 hay sinx + cosx =  cosx = 0 hay cos( x  )  cos
2 2 2 3 3
 2
 x =  k hay x  k 2 hay x   k 2
2 3

Ví dụ 22. ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2012)
Giải phương trình 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1.
Giải
2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1


Chuyên đề phương trình lượng giác 36 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

 (2 cos x  1)(cos x  1)  3 sin x(2 cos x  1)  0
 1
cos x   2 2

2 cos x  1  0
  x   3  k 2

 
cos x  3 sin x  1 cos  x     1 
 x  k 2
 
 3 2
Ví dụ 22. ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2012)
Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
Giải
sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x  sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2 cos2x
 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2 cos2x  cos2x = 0 hay 2sinx + 2cosx = 2
 1
 cos2x = 0 hay sin( x  ) 
4 2
   7
x=  k 2 (với k  Z).
 k 2 hay x =
hay x = 
k
4 2 12 12


2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

17
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác: (4).
sin 8 x  cos8 x 
32
Giải
Ta có (4)
4 4
 1  cos 2 x   1  cos 2 x  17 1 17
4 2
     32  8 (cos 2 x  6 cos 2 x  1)  32
2 2
  
1
t  2
17 13
2
t, với t[0; 1], ta có t  6t  1   t  6t   0  
Đặt cos 2x = 2 2

t   13
4 4

 2
cos 4 x  1 1
1 1
Vì t[0;1], nên t   cos 2 2 x   
2 2 2 2
cos4x = 0  4 x   kπ  x  π  k π , (k  )
π
2 8 4
Ví dụ 2. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Giải
2 2
Ta có (5)  2(1 cos x)sinx + 2 – 2 cos x + cosx – 1 = 0
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos x  1  x  k 2π , (k  )

 2sin x  2 cos x  2sin x cos x  1  0 (*)
Chuyên đề phương trình lượng giác 37 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
t  0 π
2 t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2 t = 0    sin x  - cos x  x    nπ , (n  )
t  2 (lo¹i) 4
π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x    nπ ; x  k 2π , (n, k  )
4

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác
bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Ví dụ 1. Giải phương trình: π |sin (6).
 cos x
x|


Giải

Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x | 0, nên π |sin  π 0  1 , mà |cosx| ≤ 1.
x|


| sin x | 0  k  n  0
 x  k 2π 2 k 2π  n
 x  kπ , (k   )
Do đó (6)      

x  0
 x  nπ  x  nπ
| cos x | 1  x  nπ , (n  )
 
(Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

x2
Ví dụ 1: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1   cos x .
2
Giải
2
x
. Dễ thấy f(x) = f(x), x 
Đặt f ( x)= cos x  , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết
2
ta chỉ xét với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với
x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 2: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng  0; 
π
 
2

2 n
thoả mãn phương trình: sin n x  cos n x  2 .
2

Giải

Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)

Chuyên đề phương trình lượng giác 38 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

2n
 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng  0;  , ta có minf(x) = f   = 2 2
  
 2 4

Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
4


BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)

ĐS: x  k 2 ; x   n 2
2.
2
3. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x
 
ĐS: x    k ; x    n2
4 3
4. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
   7
 n ; x   m .
ĐS: x    k ; x  
4 4 12 12

5. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x  k .
2
6. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
 1
 k 2 ; x    n2 ; x      l 2 ; với sin    .
ĐS: x 
2 4

7. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội)  k .
ĐS: x 
4
   
8. sin  3x    sin 2 x.sin  x   ; (Học Viện BCVT) ĐS: x  k
   
4 4 4 2
   
3 3 3
9. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x  k .
12


 k
x  4


 7 
1 1
ĐS:  x   k
10.   4 sin   x

3 
 8
sin x 4 
sin  x  

5
 2
x   k

 8
11. sin 3 x  3 cos3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x



Chuyên đề phương trình lượng giác 39 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =   k ,
3

 k
x
4
12. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
 2
 k  x    k 2 (k  )
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x 
4 3
13. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải

2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
(1)
2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK t  1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0.
=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
1
t  2 1
 …(biết giải)
 cos x 
 2
t  sin x - 2 loaï i

14. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK t  1 .
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2.
15. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
2  cos x  sin x 
1
16. Giải phương trình lượng giác: 
tan x  cot 2 x cot x  1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x   0

Điều kiện: 
cot x  1

2  cos x  sin x 
1 cos x.sin 2 x
Từ (1) ta có:    2 sin x
sin x cos 2 x cos x cos x
 1
cos x sin 2 x sin x
 2 sin x.cos x  2 sin x


 x  4  k 2
2
k  
 cos x  
 x     k 2
2

 4
Chuyên đề phương trình lượng giác 40 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x    k 2  k  
4
sin x  cos x 1
4 4
  tan x  cot x 
17. Giải phương trình:
sin 2 x 2
Giải
sin 4 x  cos 4 x 1
  tan x  cot x  (1)
sin 2 x 2
Điều kiện: sin 2 x  0
1
1
1  sin 2 2 x
1  sin 2 2 x
1  sin x cos x  1 1
2
2
   1  sin 2 2 x  1  sin 2 x  0
(1)   
sin 2 x sin 2 x 2
sin 2 x 2  cos x sin x 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.


18. Giải phương trình: 2 sin 2  x    2 sin 2 x  tan x .
4

Giải
 
Pt 2 sin 2  x     2 sin 2 x  tan x (cosx  0)
 
 1  cos  2 x    cos x  2 sin 2 x.cos x  sin x
  2 
4 
 
 (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
19. Giải phương trình: sin 2 x  cos x  3  2 3cos3 x  3 3cos2 x  8  3 cos x  s inx   3 3  0 .
Giải

sin 2 x(cos x  3)  2 3.cos3 x  3 3.cos 2 x  8( 3.cos x  sin x)  3 3  0
 2sin x.cos 2 x  6sin x.cos x  2 3.cos3 x  6 3 cos 2 x  3 3  8( 3.cos x  sin x)  3 3  0
 2 cos 2 x( 3 cos x  sin x)  6. cos x( 3 cos x  sin x)  8( 3 cos x  sin x)  0
 ( 3 cos x  sin x)(2 cos 2 x  6 cos x  8)  0
 tan x  3
 3 cos x  sin x  0 
  cos x  1
2
 cos x  3cos x  4  0
 cos x  4 (loai)



 x  3  k , k  


 x  k 2

20. Giải phương trình: cosx=8sin3  x  
 
6

Giải

 
cosx=8sin3  x    cosx =
3
3 sin x  cos x
 
6

 3 3 sin 3 x  9sin 2 x cos x  3 3 sin x cos 2 x  cos3 x  cos x  0 (3)
Chuyên đề phương trình lượng giác 41 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3)  3 3 tan 3 x  8 tan 2 x  3 3 tan x  0
 tan x  0  x  k
2  cos x  sin x 
1
21. Giải phương trình lượng giác: 
tan x  cot 2 x cot x  1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x   0
Điều kiện: 

cot x  1

2  cos x  sin x 
1 cos x.sin 2 x
Từ (1) ta có:    2 sin x
sin x cos 2 x cos x cos x
 1
cos x sin 2 x sin x
 2 sin x.cos x  2 sin x


 x  4  k 2
2
k  
 cos x  
 x     k 2
2

 4

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x    k 2  k   
4
22. Giải phương trình: cos 2 x  5  2(2  cos x)(sin x  cos x)
Giải
2
Phương trình  (cosx–sinx) – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos x  sin x  1

cos x  sin x  5 (loai vi cos x  sin x  2)
 x    k 2
 
 2 sin x    1  sin x    sin    (k  Z )
2
 x    k 2
4 4 4


23. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
Giải
 
 sin sinx + cos cosx = – cos3x.
3 sin x  cos x  2 cos 3x  0
3 3
 
 cos  x     cos 3x cos  x    cos(  3x)

   
3 3
 
  k
x    k
 3 2  (kZ)
x=
(k ) 
 3 2
 x   k
 3



Chuyên đề phương trình lượng giác 42 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

23 2
24. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
8
Giải
23 2
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =  cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
8
23 2
8
 
23 2 2
 cos2 3x  sin 2 3x  3  cos 3x cos x  sin 3x sin x    cos 4 x   x    k ,k  Z .
2 16 2
2
25. Định m để phương trình sau có nghiệm
   
 
4sin 3 x sin x  4 cos  3 x   cos  x    cos 2  2 x    m  0
4 4 4
  
Giải
Ta có:
* 4sin 3 x sin x  2  cos 2 x  cos 4 x  ;
   
 
* 4 cos  3x   cos  x    2 cos  2 x    cos 4 x   2  sin 2 x  cos 4 x 


 4  4  2 
  1  1
* cos 2  2 x    1  cos  4 x     1  sin 4 x 
 

 4  2  2  2
Do đó phương trình đã cho tương đương:
1 1
2  cos 2 x  sin 2 x   sin 4 x  m   0 (1)
2 2

Đặt t  cos 2 x  sin 2 x  2 cos  2 x   (điều kiện:  2  t  2 ).
 
 4
Khi đó sin 4 x  2sin 2 x cos 2 x  t 2  1 . Phương trình (1) trở thành:
t 2  4t  2m  2  0 (2) với  2  t  2
(2)  t 2  4t  2  2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y  2  2m (là đường song song
với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y  t 2  4t với  2  t  2 .
x 2 2
y’ +
y 24 2
24 2
Trong đoạn   2 ; 2  , hàm số y  t  4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2  4 2 tại t   2 và đạt giá
2
 
trị lớn nhất là 2  4 2 tại t  2 .
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2  4 2  2  2m  2  4 2
 2 2  m  2 2 .

Chuyên đề phương trình lượng giác 43 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net




TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2011

KHỐI A
cos 3 x  sin 3 x 

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: 5  sin x   cos 2 x  3
1  2 sin 2 x 
 
(Khối A_2002).
Giải




 5
ĐS: .
x ;x
3 3
cos 2 x 1
2. Giải phương trình: cot x  1   sin 2 x  sin 2 x
1  tan x 2
(Khối A_2003)
Giải




Chuyên đề phương trình lượng giác 44 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net





 k  k   
ĐS: x
4
3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x  cos 2 x  0
(Khối A_2005)
Giải




k
k  
ĐS: x
2
 
2 cos 6 x  sin 6 x  sin x cos x
4. Giải phương trình: 0
2  2 sin x
(Khối A_2006)
Giải



Chuyên đề phương trình lượng giác 45 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net




5
 k 2  k   
ĐS: x
4
1  sin x  cos x  1  cos x  sin x  1  sin 2 x
5. Giải phương trình: 2 2



(Khối A_2007)
Giải



 
 k 2 , x  k 2  k   
ĐS:  k , x 
x
4 2
 7 
1 1
6.   4 sin   x
3 

sin x 4 
sin  x  
 2
(Khối A_2008)
Giải




  5
 k ,  k   
ĐS:  k , x   k , x 
x
4 8 8



Chuyên đề phương trình lượng giác 46 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

1  2 sin x  cos x
7. Giải phương trình: 3.

1  2 sin x 1  sin x 
(Khối A_2009)
Giải




 2
, k  
ĐS: x k
18 3

KHỐI B
8. Giải phương trình sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x
(Khối B_2002)
Giải




 
, k  
ĐS: xk ;x k
9 2
2
9. Giải phương trình cot x  tan x  4 sin 2 x 
sin 2 x
(Khối B_2003)
Giải




Chuyên đề phương trình lượng giác 47 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net





 k ,  k   
ĐS: x
3
5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x
10. Giải phương trình
(Khối B_2004)
Giải




 5
 k 2 ,  k   
ĐS:  k 2 ; x 
x
6 6
11. Giải phương trình 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0
(Khối B_2005)
Giải




2
 k 2  k   
ĐS: x
3
 x
12. Giải phương trình: cot x  sin x  1  tan x tan   4
2

(Khối B_2006)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 48 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net




 5
 k ,  k   
ĐS:  k ; x 
x
12 12
13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x
(Khối B_2007)
Giải




 2 5 2
, k  
ĐS: x k
;x  k
18 3 18 3
14. Giải phương trình sin 3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x
(Khối B_2008)
Giải




  
 k ,  k   
ĐS: x k ;x 
4 2 3
sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x  2  cos 4 x  sin 3 x  .
15. Giải phương trình:
(Khối B_2009)
Giải


Chuyên đề phương trình lượng giác 49 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net




 2k 
, x    2 k ,  k   
ĐS: x 
42 7 6

KHỐI D
16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0
(Khối D_2002)
Giải




 3 5 7
ĐS: x ;x;x  ;x 
2 2 2 2
x  2 x
17. sin 2    tan x  cos 2  0
2 4 2
(Khối D_2003)
Giải




Chuyên đề phương trình lượng giác 50 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net





 k ,  k   
ĐS: x    k 2 , x  
4
18. Giải phương trình  2 cos x  1  2 sin x  cos x   sin 2 x  sin x
(Khối D_2004)
Giải




 
 k ,  k   
ĐS:  k 2 , x  
x
3 4
   3

19. Giải phương trình: cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3 x     0
4  4 2

(Khối D_2005)
Giải




Chuyên đề phương trình lượng giác 51 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net


 k ,  k   
ĐS: x
4
20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0
(Khối D_2006)
Giải




2
 k 2 ,  k   
ĐS: x
3
2
 x
x
21. Giải phương trình  sin  cos   3 cos x  2
2 2

(Khối D_2007)
Giải




 
 k 2 ,  k   
ĐS:  k 2 , x  
x
2 6
22. Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2 x
(CĐ_A_B_D_2008)
Giải




 4 2
, k  
ĐS:  k 2 , x 
x k
3 15 5


Chuyên đề phương trình lượng giác 52 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
(Khối D_2008)
Giải




2 
k  
ĐS:  k 2 , x   k  ,
x
3 4
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
(CĐ_A_B_D_2009)
Giải




 5
 k ,  k   
ĐS:  k , x 
x
12 12
25. Giải phương trình 3 cos 5 x  2 sin 3x cos 2 x  sin x  0
(Khối D_2009)
Giải




   
, k  
ĐS: x k ,x k
18 3 6 2

26. ĐỀ TS KHỐI A NĂM 2010


Chuyên đề phương trình lượng giác 53 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net




Giải:

1  sin x  cos2x  sin  x   
 4   1 cosx . Điều kiện: cosx  0


1  tan x tan x  1
2
1  sin x  cos2x   sin x  cosx   cosx
pt 
sin x
1
cosx
cosx 1  sin x  cos2x   sin x  cosx 
 cosx

cosx  sin x
 1  sin x  cos2x  1  1  2sin 2 x  sin x  0  2sin 2 x  sin x  1  0
sin x  1 (loaïi)

sin x  1 (thoûa ñk)
 2

 
 x  6  k2
 k  Z .

 x  7  k2
 6





27. ĐỀ TS KHỐI B NĂM 2010

Giải:




Chuyên đề phương trình lượng giác 54 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net

28. ĐỀ TS KHỐI D NĂM 2010

Giải:
Phương trình đã cho
 2sin x cos x  1  2sin 2 x  3sin x  cos x  1  0
 cos x(2sin x  1)  2sin 2 x  3sin x  2  0
 cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(s inx  2)  0
 (2sin x  1)(cos x  s inx  2)  0


 x  6  k 2
 1
s inx 
 
2
  x  5  k 2
cos x  s inx  2 (VN ) 
 6
29. Giải phương trình: 2 cos 3x(2 cos 2 x  1)  1
Giải:
PT  2 cos 3x(4 cos x  1)  1  2 cos 3x(3  4 sin x)  1
2 2


Nhận xét x  k , k  Z không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
2 cos 3x(3  4 sin 2 x)  1
 2 cos 3x(3 sin x  4 sin 3 x)  sin x ( nhân hai vế của phương trình cho sinx)
2m

x  5
6 x  x  m2
;mZ
 2 cos 3 x sin 3 x  sin x  sin 6 x  sin x   
6 x    x  m2  x    2m

 7 7
2m
 k  2m=5k  m  5t , t  Z
Xét khi
5
 2m
= k  1+2m=7k  k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, l  Z
Xét khi 
7 7
2m  2m
Vậy phương trình có nghiệm: x  ( m  5t ); x   ( m  7l  3 ) trong đó m, t , l  Z
5 7 7

Hết




Chuyên đề phương trình lượng giác 55 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản