Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng

Chia sẻ: Nguyễn Phong Châu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

3
219
lượt xem
95
download

Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo luyện thi dành cho sinh viên học sinh luyện thi cao đẳng đại học. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho bạn trong kỳ thi

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng

  1. WWW.ToanCapBa.Net * cot x  cot   x    k CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN * cot x  a  x  arc cot a  k (với a không 1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa: phải là giá trị đặt biệt) * A có nghĩa khi A  0 . * cot x  cot  0  x   0  k180 0 1 có nghĩa khi A  0 . * 3: Công thức lượng giác cơ bản: A 1 1 * sin 2   cos 2   1 * 1  tan 2   có nghĩa khi A  0 * cos 2  A 1 Đặt biệt: * 1  cot 2   * tan  . cot   1  sin 2   k 2 * sin x  0  x  k * sin x  1  x  4: Công thức đối: 2 * cos( )  cos  * sin(  )   sin    k 2 * sin x  1  x   * tan( )   tan  * cot( )   cot  2  5: Công thức bù:  k * cos x  1  x  k 2 * cos x  0  x  * sin(   )  sin  * cos(   )   cos  2 * cos x  1  x    k 2 . * tan(   )   tan  * cot(   )   cot  *Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối 6:Công thức phụ: xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm   * sin(   )  cos  * cos(   )  sin  tâm đối xứng. 2 2 2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:   * tan(   )  cot  * cot(   )  tan   x    k 2 * sin x  sin    2 2  x      k 2 7:Công thức hơn kém  :  x  arcsin a  k 2 * sin(   )   sin  * cos(   )   cos  * sin x  a   ( với a  1 và a * tan(   )  tan  * cot(   )  cot   x    arcsin a  k 2 8:Công thức cộng: không phải là giá trị đặt biệt) * cos(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b  x   0  k 360 0 * sin x  sin  0   * cos(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b  x  180    k 360 0 0 0  * sin(a  b)  sin a. cos b  cos a. sin b  x    k 2 * cos x  cos    * sin(a  b)  sin a. cos b  cos a. sin b  x    k 2 tan a  tan b * tan(a  b)   x  arccos a  k 2 1  tan a. tan b * cos x  a   ( với a  1 và a  x   arccos a  k 2 tan a  tan b * tan(a  b)  không phải là giá trị đặt biệt) 1  tan a. tan b  x   0  k 360 0 9:Công thức nhân đôi: * cos x  cos  0   * cos 2a  cos a  sin a  2cos a  1 2 2 2  x     k 360 0 0   1  2 sin 2 a . * tan x  tan   x    k * sin 2a  2 sin a. cos a * tan x  a  x  arctan a  k (với a không phải là giá 2 tan  trị đặt biệt) * tan 2  1  tan 2  * tan x  tan  0  x   0  k180 0 Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  2. WWW.ToanCapBa.Net 10. Công thức nhân ba: 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số * sin 3  3 sin   4 sin 3  lượng giác: b * cos 3  4 cos 3   3 cos  * aX  b  0  X   a 11:Công thức hạ bậc: Trong đó là một hàm số lượng giác 1  cos 2a 1  cos 2a 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số * cos a  sin 2 a  2 2 2 lượng giác: 1  cos 2 * Dạng a sin 2 x  b sin x  c  0 * tan 2   1  cos 2 Đặt t  sin x ,  1  t  1 . 12:Công thức biến đổi tích thành tổng: * Dạng a cos 2 x  b cos x  c  0 1 cos(a  b)  cos(a  b) Đặt t  cos x ,  1  t  1. * cos a. cos b  2 * Dạng a tan 2 x  b tan x  c  0 Đặt t  tan x . 1 cos(a  b)  cos(a  b) sin a. sin b  * Dạng a cot 2 x  b cot x  c  0 Đặt t  cot x . 2 1 3. Phương trình dạng a sin x  b cos x  c (1): sin a. cos b  sin(a  b)  sin(a  b) *Cách giải: 2 + Chia hai vế của phương trình (1) cho 13:Công thức biến đổi tổng thành tích: a 2  b 2 ta được: ab ab a b c * cos a  cos b  2 cos cos sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 2 2 2 2 2 ab a b cos a  cos b  2 sin sin c  cos  sin x  sin  cos x  2 2 a  b2 2 ab ab sin a  sin b  2 sin cos c 2 2  sin( x   )  ab ab a2  b2 sin a  sin b  2 cos sin 2 2 4. Phương trình dạng: sin( a  b) a sin 2 x  b sin x cos x  c cos x 2  d (1) tan a  tan b  cos a. cos b Cách giải:     0 + Thay  6 4 3 2  k  sin 2 x  1) cos x  0( x  sin 0 1 1 2 3 2 2 2 2 vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không? cos 1 0 1  3 2  k là nghiệm Nếu thỏa thì kết luận x  2 2 2 2 tan 0 1 KXĐ 1 3 của phương trình. 3   k ) , chia hai + Với cos x  0 (  x  cot KXĐ 3 1 0 1 2 3 vế của (1) cho cos 2 x ta được phương trình: Các phương trình lượng giác thường gặp: Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  3. WWW.ToanCapBa.Net 1 a tan 2 x  b tan x  c  d . cos 2 x 5: Phương trình :  a tan 2 x  b tan x  c  d .(1  tan 2 x) * Dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  Đặt t  sin x  cos x ( 2 sin( x  ) ) , t  2 4 t 1 2 Ta có : sin x cos x  . 6. 2 sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  2 cos x 2 Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo ( ĐH KHỐI D-2008 ) biến t. * Dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 7. sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2 x  ( CĐ KHỐI A, B, D-2008 ) Đặt t  sin x  cos x ( 2 sin( x  ) ) , t  2 4 1 t2 8. (1  sin 2 x) cos x  (1  cos 2 x) sin x  1  sin 2 x Ta có : sin x cos x  . 2 ( ĐH KHỐI A-2007 ) Thay vào phương trình ta được phương trình theo biến t. 9. 2 sin 2 2 x  7 sin 7 x  1  sin x ( ĐH KHỐI B-2007 ) MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012 2  x x 10.  sin  cos   3 cos x  2 Giải các phương trình sau:  2 2 (1  2sin x) cos x  3 ( ĐH KHỐI A-2009 ) 1. ( ĐH KHỐI D-2007 ) (1  2sin x)(1  sin x)   2 cos 6 x  sin 6 x  sin x cos x 2. 0 11. 2  2 sin x sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin x) 3 ( ĐH KHỐI A-2006) ( ĐH KHỐI B-2009 ) x 12. cot x  sin x(1  tan x tan )  4 2 3. 3 cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x  0 ( ĐH KHỐI B-2006 ) (ĐH KHỐI D-2009 ) 13. cos 3 x  cos 2 x  cos x  1  0  7  1 1 ( ĐH KHỐI D-2006 ) 4.   4 sin   x 3 sin x 4  sin( x  ) 2 14. cos 2 3x cos 2 x  cos 2 x  0 ( ĐH KHỐI A-2008 ) ( ĐH KHỐI A-2005 ) 15. 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 5. sin 3 x  3 cos 3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x ( ĐH KHỐI B-2005 ) ( CĐ KHỐI B -2008 ) Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  4. WWW.ToanCapBa.Net 16.    3  cos 4 x  sin 4  cos x   sin  3x     0  4  4 2 17. 5 sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x ( ĐH KHỐI B-2004 ) ( ĐH KHỐI D-2005 ) cos 2 x 1 26. 4(sin 4 x  cos 4 x)  sin 4 x  2  0 18. cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 ( CĐ XD số 2 -2006 ) ( ĐH KHỐI A-2003)  x  x cos 4    sin 4   2 1  sin 2 x 19. cot x  tan x  4 sin 2 x  2 2  27. sin 2 x   sin 2 x 2 sin 2  x   ( ĐH KHỐI B-2003 )  4 ( CĐ XD số 3 - Khối A -2006 )  x 2x 20. sin 2    tan x  cos 0 2 2 4 2 cos x  sin 2 x 3 28. ( ĐH KHỐI D-2003 ) 2 cos 2 x  sin x  1 ( CĐ GTVT III - Khối A -2006 ) 21. Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2  của phương trình: 29. 4sin 3 x  cos 3 x   cos x  3 sin x cos 3x  sin 3x   5 sin x    cos 2 x  3 ( CĐ SP Hưng Yên - Khối A -2006 ) 1  2 sin 2 x   ( ĐH KHỐI A-2002 ) 30. cos 3 x  sin x  3 sin 2 x cos x ( CĐ SP Hưng Yên - Khối B -2006 ) 22. sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x ( ĐH KHỐI B-2002 ) 1 31. sin 2 2 x   sin 2 x 2 23. Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm đúng phương trình: ( CĐ SP Hưng Yên - Khối D1, M -2006 ) cos 3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4  0 ( ĐH KHỐI D-2002 ) 7x 3x x 5x 32. sin  sin cos  sin 2 x cos 7 x  0 cos 2 2 2 2 24. ( CĐ BC Hoa Sen -2006 )       cos  x    cos 2  2 x    cos 2  3x    3 cos x 2  2  2  2  1  sin x  33. 3 tan 2  x    2     2  sin x  ( CĐ KT-KTCN I KHỐI A-2006 ) ( CĐ Sài Gòn -2007 ) 25. sin 3 x  cos 3 x  2(sin x  cos x)  1  34. sin 2  x    cos 2 x 1   4 2  ( CĐ KT-KTCN II KHỐI A-2006 ) Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  5. WWW.ToanCapBa.Net 35. 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2 x  sin x ( ĐH KHỐI D-2004 ) Chuyên đề phương trình lượng giác 5 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  6. WWW.ToanCapBa.Net I. Phương trình lượng giác cơ bản: Ví dụ 1: Giải phương trình: x a. sin 2 x   s inx b. sin 2 x  2 cos x c. cos3x  s inx d. cosx=-sin 2  x 3 x 3 e. sin2  f. s in4x  2sin .cos4x g. cos   2 4 3 4 2 Giải: 2   2 x   x  k 2 x  k 3 a. sin 2 x   s inx  sin2x=sin(-x)      2 x    x  k 2  x    k 2  2 cos x  0 b. pt  2sin x.cos x  2 cos x  0  2 cos x  s inx  1  0   s inx  1  0    x  2  k cos x  0   x   k    x    k 2 s inx  1 2   2     3x  2  x  k 2  4 x  2  k 2  c. cos3x  s inx  cos3x  cos   x       3x     x  k 2  2 x     k 2 2      2 2    x  8  k 2   x     k   4  x  x    2  k 2 d. cosx=-sin  cosx  sin     cosx  cos       x x x    x    x  k 2 2  2 2    2 x  x  2  k 4  2    k 2    x   2  k 4 3x     k 2  3 3 2  2 1  cos x 3 x3 1 e. sin 2     2  2 cos x  3  2 cos x  1  cos x    cos x  cos 24 2 4 2 3 2   x  3  k 2   x   2  k 2   3 Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  7. WWW.ToanCapBa.Net  3 sin 4 x f. s in4x  2sin .cos4x  sin4x=2. .cos4 x  sin 4 x  3cos4 x  3 3 2 cos4 x      k  x   tan 4 x  3  tan 4 x  tan  4x  k 3 3 12 4  x 5 10   4  6  k 2  x  3  k 8 5 x 3 x g. cos    cos  cos     x   5  k 2  x   10  k 8 4 2 4 6 4    6 3 sin x.sin 3 x  cos x.cos 3 x 3 3 1 Ví dụ 2: Giải phương trình      8 tan  x   .tan  x   6 3   Giải:  k Điều kiện: x   62       Ta có tan  x   .tan  x    tan  x   .cot   x    tan   x  .cot   x   1             6 3 6 6 6 6       Phương trình tương đương với: sin 3 x.sin 3 x  cos3 x.cos 3 x 1   1 8 1 1  sin 3 x.sin 3 x  cos3 x.cos 3 x   sin 2 x.s inx.sin 3 x  cos 2 x.cos x.cos3 x  8 8 1  cos2 x cos2 x  cos4 x 1  cos2 x cos2 x  cos4 x 1    . . 2 2 2 2 8 1  2  cos2 x  cos2 x.cos4 x   2 1 1  cos3 x   cos2 x  8 2    x  6  k  loai   ,k Z  x     k   6 .  Vậy : x    k 6 Chuyên đề phương trình lượng giác 7 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  8. WWW.ToanCapBa.Net cos 2 x  cos 3 x  1 Ví dụ 3: Giải phương trình: cos 2 x  tan x  2 cos 2 x Giải: Điều kiện: cosx ≠ 0 cos x  1 pt  cos 2 x  tan x  1  cos x  (1  tan x)  2cos x  cos x -1  0   2 2 2 cos x   1  2  x  k 2 (n)   x   2  k 2 (n)   3 Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên  0; 2  của phương trình : sin 3x  sin x  sin 2x  cos2x 1  cos2x Giải: ĐK : 1  cos2x  0  2sin x  0  sin x  0  s inx  0  x   2 2   2cos2x.sin x pt   2cos  2x   4  2 sin x Khi x   0;   thì sinx > 0 nên :  (1)  2 cos2x = 2 cos  2x     4    x  16 2  9 Do x   0;   nên x  hay x  16 16 Khi x   ; 2  thì sinx < 0 nên :   (1)   2 cos2x = 2 cos  2x    cos  -2x  = cos  2x-      4 4   5  x  16 2 21 29 Do x   ; 2  nên x  hay x  16 16  5  Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 2 cos   x  sin x  1  12  Giải: Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  9. WWW.ToanCapBa.Net  5 5  5     x  sin x  1  2 sin  2 x    sin   1 2 2cos  12  12    12  5  5  5   5   1  sin  2 x    sin   sin  sin  2 x    sin  sin  12  12 4 12  4 12   2       2 cos sin     sin    3  12   12   5     x  6  k  2 x  12   12  k 2 5     k    sin  2 x    sin        2 x  5  13  k 2  x  3  k 12   12       12 12 4 2(cos x  sin x) 1 Ví dụ 6: Giải phương trình:  tan x  cot 2 x cot x  1 Giải: Điều kiện:sinx.cosx  0 và cotx  1 Phương trình đã cho tương đương với 2(cos x  sin x ) 1  sin x cos 2 x cos x  1 cos x sin 2 x sin x 2(cos x  s inx) 1 1     2 s inx sin 2 x sin x  cos2 x cos x cos x  s inx cos x cos x sin 2 x s inx cos x sin 2 x s inx  0 (loai )  sin 2 x  2 s inx  0  2sin x cos x  2 s inx  0   cos x  2   2  2  x =   k 2  cosx = 4 2  Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x =   k 2 4 II. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc: Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá löôïng giaùc. Vaø a, b, c laø caùc heä soá a  0. Caùch giaûi: Đặtë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì t  1 ) + Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn ñieàu kieän. Chuyên đề phương trình lượng giác 9 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  10. WWW.ToanCapBa.Net + Giaûi phöông trình f(x) = t. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a. sin 2 x  3cos x  2 cos 2 x  3cos 2 x  2 b. 5sin 2 x  2 cos 2 x  3sin x  10  2 cos 2 x c. cos3x.cos x  1 Giải: a. pt  1  cos 2 x  3cos x  2 cos 2 x  3(2 cos 2 x  1)  2   x  k 2  cos x  1   2  5cos x  3cos x  2  0   2   x  arccos     k 2 2 cos x    5   5   2  x   arccos     k 2  5  b. pt  5sin x  2(1  sin x)  3sin x  10  2(1  2sin x) 2 2 2 s inx  1   11sin x  3sin x  14    x   k 2 2 11 s inx   (VN ) 2  4 1 c. pt   cos4 x  cos2 x   1  cos4 x  cos2 x  2  2 cos 2 2 x  1  cos2 x  2 2 cos2 x  1  2 cos 2 x  cos2 x  3  0    cos2 x  1  2 x  k 2 2 cos2 x   3 (VN )  2  x  k Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau: 2 cos 4 x  6co s 2 x  1  3cos 2 x 1  cos x(2 cos x  1)  2 sin x a.  0 (1) b.  1 (2) 1  cos x cos x c. 3cosx  2  3(1  cosx).cot 2 x (3) d. sin 6 x  cos 6 x  2cos 2 x  1 (4) Giải:  a. Đ k x   m . 2 Ta có (1)  22 cos 2 2 x  1  3(1  cos 2 x  1  3 cos 2 x  0 Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  11. WWW.ToanCapBa.Net k  cos 2 x  1 x  2  2 cos 2 2 x  3 cos 2 x  1  0    cos 2 x  1  x     k  2   6 Đối chiếu với điều kiện ta được   k ; h, k  Z . x  h ; x   6 b. ĐK : cos x  1  x  m2 Ta có: (2)  1  2 cos 2 x  cos x  2 sin x  1  cos x  2(1  sin 2 x)  2 sin x  0  2 sin x    2sin x  2 sin x  2  0   2 2 sin x  2 (VN )     x   4  k 2   2 ( Thỏa điều kiện)  sin x    sin       x  5  k 2 2  4   4 c. ĐK : x  m cos 2 x cos 2 x Ta có (3)  3 cos 2 x  2  3(1  cos x) 2  3 cos 2 x  2  3(1  cos x)  1  cos 2 x sin x 3 cos 2 x  3 cos x  2    6 cos 2 x  cos x  2  0 1  cos x    1  x   3  k 2 cos x  2 (Thỏa ĐK)   cos x   2  x   arccos( 2 )  k 2     3 3 d. Ta có:  3 sin 6 x  cos 6 x  sin 2 x  (cos 2 x) 3  3  (sin 2 x  cos 2 x) 3  3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x)  1  sin 2 2 x  4 3 1  cos 2 2 x  4 4 3 1 Khi đđó: (4)  cos 2 2 x   cos 2 x  3 cos 2 2 x  4 cos 2 x  1  0 4 4  x  k cos 2 x  1    cos 2 x  1  x   1 arccos 1  k 2   3 2 3 Ví dụ 3: Tìm caùc nghieäm treân khoaûng  0;   cuûa phöông trình : Chuyên đề phương trình lượng giác 11 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  12. WWW.ToanCapBa.Net  sin 3x  cos 3 x  (5)  cosx   4  cos 2 x 7  2sin 2 x  1  Giải: 5   x  12  m2 ĐK : sinx    1   x    m2 2   12 Ta có sin 3 x  cos 3x  3sin x  4sin 3 x  4 cos3 x  3cos x  3(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)(1  sin x cos x)  (sin x  cos x)(4 sin x cos x  1)  (sin x  cos x)(2 sin 2 x  1) sin 3x  cos 3x   sin x  cos x 2 sin 2 x  1 Ta có (5)  7(sin x  cos x  cos x)  4  cos 2 x  7 sin x  4  (1  2 sin 2 x) sin x  3 (VN )  2sin x  7 sin x  3  0   2 sin x  1  2    x  6  k 2 1  sin x     x  5  k 2 2   6 *Chọn nghiệm thuộc khoảng 0;   ta được hai nghiệm của phương trình là:  5 x ; x 6 6 Ví dụ 4: Giải phöông trình : cos 2 x  5sin x  3  0 (*) . Giải: (*)  1  2sin x  5sin x  3  0 2    x  6  k 2  1 s inx  1  2sin 2 x  5sin x  2  0    sin x    2   x  5  k 2 2 s inx  2 (VN )   6 17 x Ví dụ 5. Giải phương trình sin(2x  )  16  2 3.s inx cos x  20sin 2 (  ) 2 2 12 Giải:   1 3 pt  c os2x  3 sin 2x  10cos(x  )  6  0  c os2x  sin 2x  5c os(x  )  3  0 6 2 2 6 Chuyên đề phương trình lượng giác 12 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  13. WWW.ToanCapBa.Net      cos(2x  )  5cos(x  )  3  0  2cos 2 (x  )  5cos(x  )  2  0 3 6 6 6     1 x  2  k 2 c os(x  6 )   2   x   5  k 2 c os(x   )  2 (VN )     6 6 sin 4 2 x  c os 4 2 x  c os 4 4 x . Ví dụ 6. Giải phöông trình    x ). tan(  x) tan( 4 4 Giải:   Điều kiện: x l ,l  Z 4 2     Ta có :  x ) tan(  x )  tan(  x ) cot(  x)  1 t an( 4 4 4 4 1 11 sin4 2xcos42x 1 sin2 4x   cos24x 2 22 cos2 4x  1 pt  2cos4 4x  cos2 4x 1  0   2 cos 4x   1 (VN )   2  1 cos2 4x  0  sin2 4x  0  sin4x  0  4x  k  x  k 4  Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là xk ,k Z 2  2  3  sin x   sin 2  x    sin 2  x   Ví dụ 7. Giải phöông trình 3 3 2   Giải: 2   2   1  cos  2x   1  cos   2x    3  sin x 3 3   Pt  2 2 2 2   2    1 1  sin x  cos  2x    cos   2x   0 1  sin x  2 cos 2x     0   3 3  2    1 – cos2x – sinx = 0  2sin2x – sinx = 0 Chuyên đề phương trình lượng giác 13 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  14. WWW.ToanCapBa.Net   x  k   x    k2 sin x  0   6   5 sin x  1 x   k2  2 (k  Z ) 6 sin 2 x cos 2 x Ví dụ 8. Giải phương trình: (1)   tan x  cot x cos x sin x Giải: cos x  0  Điều kiện:   sin 2 x  0  x  k s inx  0 2 cos 2x cos x  sin 2x sin x sin x cos x (1)    sin x cos x cos x sin x cos  2 x  x  sin 2 x  cos 2 x    cos x  sin 2 x  cos 2 x sin x cos x sin x cos x  x    k 2 (l ) cos x  1    2 cos x  cos x  1  0  2  x   2  k 2 (n) cos x   1   3 2 Ví dụ 9. Giải phương trình : 2 sin 2 x  sin 2 x  sin x  cos x  1  0 Giải: Ta có: 2 sin x  sin 2 x  sin x  cos x  1  0  2 sin 2 x  (2 cos x  1) sin x  cos x  1  0 . 2   (2 cos x  1) 2  8(cos x  1)  (2 cos x  3) 2 . Suy ra sin x  0,5 hoặc sin x  cos x  1 .  5  2k hoặc x   2k Với sin x  0,5 ta có x  6 6    Với sin x  cos x  1 ta có sin x  cos x  1  sin x     2  sin      4 2 4   3 x  2k hoặc x   2k Vậy nghiệm của phương trình là 2 Ví dụ 10. Giải phương trình: 2 cos 5 x. cos 3x  sin x  cos 8 x Giải: PT  cos2x + cos8x + sinx = cos8x  1- 2sin2x + sinx = 0 1  sinx = 1 hoặc sin x   2 Chuyên đề phương trình lượng giác 14 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  15. WWW.ToanCapBa.Net   7  x  k 2 ; x    k 2 ; x   k 2 , ( k  Z ) 2 6 6 4  2sin 2 x 3   2 3  2(cot x  1) . Ví dụ 11. Giải phương trình: cos 2 x sin 2 x Giải:  Đk: x  k 2   4 3 1  tan 2 x   2 3  2cot x Phương trình đã cho tương đương với: sin 2 x 2(sin 2 x  cos 2 x)  3tan 2 x   3  2cot x sin x cos x  3tan 2 x  2tan x  3  0    tan x   3 x    k   3  1  tan x   x    k   3   6   So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x   k ; kZ 6 2 BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ : 1. Giaûi phöông trình :   cos x 2 sinx  3 2  2cos 2 x  1 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x a. b. 0 1 1  sin 2 x cos x 17 c. 5sinx  2  3(1  sinx).tan 2 x d. sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x 16 2. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng  0; 2  cuûa phöông trình : cos 3x  sin 3x   5  sinx    3  cos 2 x 1  2sin 2 x   III. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b  0 Chuyên đề phương trình lượng giác 15 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  16. WWW.ToanCapBa.Net + Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2  c2. + Caùch giaûi : - Chia 2 veá phöông trình cho a 2  b 2 ta ñöôïc : asinx b cos x c   a b a b a  b2 2 2 2 2 2 a b c - Ñaët cos  vaø ñaët sin   ta coù phöông trình:  sin   a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 sin( x   )  sin  Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a. 3 sin 2 x  cos2 x  2 b. s inx  3 cos x  2sin 3x c. cos x  3 sin 3x  cos3x  3 sin x d. 3sin 2 x  cos 2 x  3 s inx  cos x Giải:   3 1 a. pt  sin 2 x  cos2 x  1  cos sin 2 x  sin cos2 x  1 2 2 6 6     sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k 6 62 6    1 3 b. pt  s inx  cos x   sin 3x  cos s inx  sin cos x   s in3x 2 2 3 3      x  3  3 x  k 2  x  12  k 2    sin  x    sin(3x)     x   2  k  x      3x  k 2 3      3 3 3 1 3 1 c. pt  3 sin 3 x  cos3 x  3 sin x  cos x  sin 3 x  cos3 x  s inx  cos x 2 2 2 2      cos sin 3x  sin cos3 x  cos s inx  sin cosx 6 6 6 6     x  k 3 x   x   k 2      6 6   sin  3x    sin  x     x    k  3 x      x    k 2 6 6    3 2   6 6 Chuyên đề phương trình lượng giác 16 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  17. WWW.ToanCapBa.Net d.   2 pt   cos 2 x  ( 3 s inx  cos x)  0 3 s inx  ( 3 s inx  cos x)( 3 s inx  cos x)  ( 3 s inx  cos x )  0  ( 3 s inx  cos x )( 3 s inx  cos x  1)  0       3 1 sin  x  6   0 cos s inx  sin cos x  0 s inx  cos x  0    3 s inx  cos x  0   6 6 2 2     cos  s inx-sin  cos x  1     3 s inx  cos x  1  3 1 1  sin  x    sin s inx- cos x     6 6 2 6 6   2 2 2     x  6  k  x   6  k    x      k 2    x   k 2    66 3    x        k 2  x    k 2   6 6   Ví dụ 2: Giaûi phöông trình : 3 1 a. 4 cos 3 2 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x  3 cos 2 x (1) b. 8sinx  (2)  cosx sinx c. sin 2 x  cos 2 x  cos x  sin x  0 (3) d. 9 sin x  3 cos x  3 sin 2 x  cos 2 x  8 (4) e. 2cos 3 x  cos 2 x  sinx  0 (5) f. sin x  cos x  sinx  cosx (6) 3 3 g. 4 (sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2 (7) h. 3 (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x (8) Giải: a. (1)  4 cos 3 2 x  3 cos 2 x   3 sin 6 x  2 cos 4 x 1 3  cos 6 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x  cos 6 x  sin 6 x  cos 4 x 2 2    cos 6 x    cos 4 x . 3  sin x  0 m m  Z  b. ĐK :   sin 2 x  0  x  cos x  0 2 Ta có (2)  4 sin 2 x sin x  3 sin x  cos x  2(cos x  cos 3x)  3 sin x  cos x   1 3  cos x  sin x  cos 3x  cos x    cos 3x 2 2 3  c. Ta có (3)  (2 sin x cos x  sin x)  2 cos 2 x  cos x  1  0  sin x(2 cos x  1)  (2 cos x  1)(cos x  1)  0  (2 cos x  1)(sin x  cos x  1)  0 Chuyên đề phương trình lượng giác 17 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  18. WWW.ToanCapBa.Net  1  cos x   2 sin( x  )  1 2 4 d. Ta có (4)  9 sin x  6 sin x cos x   3 cos x  2 cos 2 x  9  0  3 sin x(3  2 cos x)  (2 cos x  3)(cos x  3)  0  (2 cos x  3)(cos x  3 sin x  3)  0  cos x  3 sin x  3  0 1 3 3  cos  cos x  sin  sin x   sin   cos x  sin x   10 10 10 1 3 cos   và sin   Đặt 10 10     Phương trình  cos( x   )  cos      cos( x   )  cos      2  2  e. Ta có (5)  2 cos x  2 cos x  1  sin x  0  2 cos x(cos x  1)  (1  sin x)  0 3 2 2  2(1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  (1  sin x)  0  (1  sin x)2(1  sin x)(1  cos x)  1  0  (1  sin x)(2 sin x  2 cos x  sin 2 x  1)  0    (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x) 2  0 1  sin x  0  (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0   sin x  cos x  0 f. Ta có (6)  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  sin x  cos x  2 cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  0  cos x(2  sin 2 x  sin x cos x)  0 1  cos 2 x 1  cos x(2   sin 2 x)  0  cos x(3  cos 2 x  sin 2 x)  0 2 2  cos x  0 1 1 31 g. Ta có sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  1  (1  cos 4 x)   cos 4 x 2 4 44 1 3 1 Nên (7)  3  cos 4 x  3 sin 4 x  2  cos 4 x  sin 4 x   2 2 2  2   cos 4 x    cos 3 3  3 1 1 3 h. Ta có (8)  3 sin 3x  cos 3x  sin x  3 cos x  sin 3 x  cos 3x  sin x  cos x 2 2 2 2      sin  3x    sin  x   6 3   Chuyên đề phương trình lượng giác 18 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  19. WWW.ToanCapBa.Net  Ví dụ 3. Giải phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos 2 (2 x  ) 4 Giải:   PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin 2 x)  3 1  cos(4x+ )  2   cos4x+ 3 sin 4 x  cos2x+ 3 sin 2 x  0    sin(4 x  )  sin(2 x  )  0 6 6     x   18  k 3   2sin(3 x  ).cosx=0    x=   k 6 2      k và Vậy PT có hai nghiệm . x x k 2 18 3 BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ : 1) Giaûi phöông trình : 3 sin 3x  3 cos 9 x  2 cos 3x  4 sin 3 3x 3 1 2) Giaûi phöông trình : 8cosx   sin x cosx 3) Giaûi phöông trình : sin 2 x  2sin x  1  4sin 2 xcosx  cos 2 x  2sin x cos 2 x 4) Giaûi phöông trình : sinx  4 cos x  sin 2 x  2 cos 2 x  1 5) Giaûi phöông trình : 2sin 3 x  cos 2 x  cosx  0 6) Giaûi phöông trình : sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx   7) Giaûi phöông trình : 8 sin 6 x  cos 6 x  3 3 sin 4 x  2 8) Giải phương trình : 3 (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x IV. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: 1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: *Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1) *Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về PT bậc nhất theo sin2x và cos2x ) 1  cos 2 x b 1  cos 2 x (1)  a  sin 2 x  c d 0 2 2 2 Chuyên đề phương trình lượng giác 19 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
  20. WWW.ToanCapBa.Net  b sin 2 x  (c  a) cos 2 x  (2d  a  c) . * Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx ) Xeùt hai tröôøng hôïp :  + Neáu x =  k ; k  Z coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng. 2  2 + Neáu x   k ; k  Z , chia hai veá phöông trình cho cos x ta ñöôïc: 2 atan x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0 2 2  (a + d)tan x + btanx + c + d = 0. Ví duï 1: Giải các phương trình sau   a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1) b. 4sin2x – 3sinxcosx + 2 3  4 cos x = 4 (2) c. 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4) Giải a. (1)  cos 2 x  sin 2 x   3 sin 2 x  1  cos 2 x  3 sin 2 x  1    1 3 1  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x    cos 2 2 2 3 3  b. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x  1 nghiệm đúng phương trình (2).  Vậy (2) có nghiệm x   k . 2 + Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x ta được 4 t anx 2  3 t anx  3  4  4(1  tan 2 x)    k  tan x  tan x 6 6   Vậy PT (2) có nghiệm là : x   k ; x   k ; kZ 2 6 5 3 c. (3)  5(1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x)  3 2 2  7 cos 2 x  5 sin 2 x  7 d. Xét cosx = 0 thì sin 2 x  1 nghiệm đúng phương trình (2).   k . Vậy (2) có nghiệm x  2 +Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x ta được 1  t anx  3 tan 2 x  3(1  tan 2 x)  tan x  2  x  arctan 2  k Chuyên đề phương trình lượng giác 20 LTĐH Năm 2012-2013 WWW.ToanCapBa.Net Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản