Chuyên đề luyện thi ĐH phần giải tích tổ hợp

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
281
lượt xem
69
download

Chuyên đề luyện thi ĐH phần giải tích tổ hợp

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề luyện thi đh phần giải tích tổ hợp', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề luyện thi ĐH phần giải tích tổ hợp

  1. Chuyên đề đại số tổ hợp ồ Văn Hoàng 1. Giai thừa : n! = 1.2...n; a) Chẵn gồm 4 chữ số ĐS : 3.63 0! = 1; n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n b) Lẻ gồm 4 chữ số ĐS : 3.63 c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số 2. Quy tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 d) 5 chữ số khác nhau có mặt số 2 ? . có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. e) 5 chữ số khác nhau có mặt 2 số 1 và 6 ? Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. f) 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3. Quy tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn 3 chữ số cuối một đơn vị. HD: c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số . TH2 : Gồm 5 chữ số. này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn TH3 : Gồm 6 chữ số. ĐS : 3(63 + 64 + 65) liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. d) Chữ số 2 có có 5 vị trí vậy có 5. .5= 600 số . 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. e) Số 1và 6 có , xếp 4 số vào 3 vị trí còn lại là . ĐS . = 480 Số cách xếp : Pn = n !. 5. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ f) Vì tổng tất cả các số là 21 nên tổng ba số đầu là 10, ba số cuối là 11. Có 3 cặp số thoả mãn là: k n! k k + Cặp 3 số đầu gồm 1, 4, 5 ba số cuối gồm 2, 3, 6. Có 3!.3! = 36 số. khác nhau số cách : An , An Cn .Pk . (n N; k ≤ n) + Cặp 3 số đầu gồm 2, 3, 5 ba số cuối gồm 1, 4, 6. Có 3!.3! = 36 số. (n k )! + Cặp 3 số đầu gồm 1, 3, 6 ba số cuối gồm 2, 4, 5. Có 3!.3! = 36 số. 6. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Vậy có: 3.36 = 108 số. n! Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có k Số cách chọn : Cn 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh 3. k !(n k )! HD: Coi hai số 2 và 3 là một cặp. Xét 2 trường hợp: + TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số. Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị + TH2: cặp 2, 3 đứng ở các vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144. ĐS: 192 Cn Cn k ; Cn 11 Cn 1 Cn k n k k k Bài 4:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. 7. Công thức nhị thức Niutơn Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi n số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5. (a+b)n = Cn a n 0 Cn a n 1b ... Cn a n k b k 1 k ... Cn b n = n Cn a k b n k k Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách k 0 lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. Chú ý: Vế phải có n+1 số hạng . ĐS 4: . ĐS B5: . ĐS6: Mũ của a và b trong mỡi số hạng có tổng bằng n . Bài 7: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng : Tk+1= Cn an k b k k n đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. n Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách Tổng các hệ số là : 2 Bài 8: Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 Một số công thức đặc biệt: quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác (1 x) n Cn Cn x ... Cnk x k ... Cnn x n 0 1 màu vừa khác số? ĐS: 64 cách Bài 9: Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi 0 1 n Cn Cn ... Cn 2n ; người nhận được ít nhất 1 đồ vật. ĐS: 150 cách Bài 10: Cho hình thập giác đều. Cn Cn Cn ... ( 1) k Cn 0 1 2 k ... ( 1) n Cn n 0 1) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng n 0 1 n n cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50 tam giác; 10 hcn Đặt P(x) = (1 x) C n C x ... C x n n 2) Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác? P(x) là đa thức bậc n nên ta có thể tính giá trị tại một điểm bất kì; lấy đạo Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta hàm; tích phân trên một đoạn bất kì. Khi đó ta có các bài toán mới. muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau: Ví dụ: P(2001) = 1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường. ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! 2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường. Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn HD: . 2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp 1) Giải các PT, BPT: 4 5 6 n 1 n 2 a) Cn Cn 3Cn 1 (n = 6) b) Cn 2 Cn 2 2,5 An (n=5) 4 c) 23 An 24( An 1 Cn 4 ) (n ≥ 2) d) An 3 n 3 n 2Cn 2 9n (n {3;4}) P k 2 2) Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0: n 5 60 An 3 (n k )! .... ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3). 3) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp 1. Các bài toán về phép đếm: con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Thường lập luận để có thể coi mỗi sự việc mà ta phải đếm hoặc chọn là việc lấy ra k phần tử từ một tập hợp A có n phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử. tử (k≤ n). 4) CMR : Cn 2Cn 3Cn ... nCn n.2n 1 . 1 2 3 n Nếu k phần tử được lấy ra từ tập A không có vấn đề thứ tự thì dùng số HD: (1 x) n Cn Cn x Cn x 2 Cn x 3 ... Cnn x n 0 1 2 3 tổ hợp chập k của n phần tư của tập A . Nếu giữa k phần tử lấy ra từ A có vấn đề thứ tự phải chú ý Lấy đạo hàm hai vế ta có : chọn x = 1 đpcm. Nếu vai trò các phần tử được lấy ra từ A như nhau(nghĩa là các phần tử 2 2 1 23 2 2 n 1 n 3n 1 1 0 của A có cơ hội đồng đều trong sự lựa chọn) thì dùng số chỉnh hợp khi 5) CMR : 2 Cn Cn Cn .... Cn k< n và dùng hoán vị khi k = n. 2 3 n 1 n 1 2 Nếu vai trò các phần tử lấy ra từ A khác nhau thì lý luận bằng qui tắc (1 x )n 1 2 3n 1 1 HD: Xét : I (1 x )n dx = 0 = (1 ) đếm 0 n 1 n 1 Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. 0 1 1 2 1 2 3 1 HD: Xét 2 trường hợp. ĐS: . Mà I (C x n Cn x Cn x ... Cn x n 1 ) n 2 0 2 3 n 1 Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
  2. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng 2 3 n 1 4 4 0 2 1 2 2 2 n A 3A I 2Cn Cn Cn ... Cn (2). Từ (1) và (2) đpcm D.2005 Tính giá trị biểu thức : M n 1 n . Biết rằng : 2 3 n 1 1 (n 1)! 1 1 1 2 1 6) Tính : I (1 x) n dx và S = Cn 0 Cn Cn .... n Cn 2 2 2 2 Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 .HD: n = 5; n = − 9(l). M= ¾ 2 3 n 1 0 CĐ05 Cho ( 1-x)n +x(1+x) n-1=Px. Biết : a0+a1+a2+…+an = 512 . HD : = Tìm a 3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x2+….+ anxn . Cho x=1 thì: 2n-1 = a0 + a1 + a2 +…+ an = 512 = 29 n = 10 ( 1-x)10 +x(1+x) 9 a3 = n 1 A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 trong khai triển x7 , => S = x4 1 2 3 n biết C2 n C2 n 2 20 1 C2 n ..... C2 n 7) CMR: 1 4Cn 42 Cn ... 4n 1 Cn 1 4n 5n 1 2 n 1 1 1 1 ĐS: n =10, hệ số = 210 HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x= 4 đpcm. D2006 Có 12 HS : trong dó 5 HS lớp A; 4 HS lớp B và 3 HS lớp 8) CMR: 316 C16 315 C16 314 C16 ... C16 216 0 1 2 16 C . Cần 4 HS đi trực sao cho 4 HS nầy không quá 2 trong 3 lớp 16 HD: Khai triển : ( 3x-1) chọn x = 1 đpcm. trên. Hỏi có mấy cách chọn . Cy Cxy 1 Cxy 1 HD : Số cách chọn 4 HS: . 9) Tìm x ; y thuộc N* : x 1 . ĐS : x=8 ; y = 3 6 5 2 * 1A,1B;2C: =60; *1A,2B;1C: ; 10) CMR : Cn 2Cn 3Cn ... nCn n 2n 1 1 2 3 n * 2A,1B;2C: . HD: Xét : (1+x) n khai triển. Lấy đạo hàm 2 vế. Chọn x = 1 đpcm . ĐS : - ( 60+90+120) = 495-270=225 28 n 1 1 1 3 1 5 1 2 n 2 2n 1 11) Trong khai triển : x 3 x x hãy tìm số hạng không chứa15 A2007 Cm C2 n C2 n C2 n ... C2 n 2 4 6 20 2n 1 x . Biết : Cn Cn 1 Cn 2 n n n 5 79 . HD: k = 5 C12 792 B2007 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết 1 12) Tính I x 2 (1 x 3 ) n dx . Đổi biến: u= 1+x3 có rằng 3n Cn 3n 1 Cn 3n 2 Cn 3n 3 Cn ... ( 1) n Cnn 2048 0 1 2 3 0 ĐS: n = 11, hệ số = 22 Mặt khác ta có : D2007 Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau: Nhân hai vế cho x2 , lấy tích phân hai vế . P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 Tìm nguyên hàm thế cận từ 0 −> 1 ta được vế trái . Ax2 C y 22 3 x 1 x n Bdb07 Tìm x, y N thỏa mãn hệ . A-2002 Cho khai triển : 2 2 1 21 . Biết : Cn 5Cn và số 3 Ay Cx2 66 3 hạng thứ tư bằng 20. Hãy tìm n và x ? ĐS : n = 7 và x= 4 . ĐK: x 2, y 3 D-2002 Tìm n N*: Cn 2Cn 4Cn ... 2n Cn 243 0 1 3 n n ĐS : Xét (1+x ) và chọn x= 2 => n= 5. n 1 A- 2003 Tìm hệ số của x8 trong khai triển x5 . x3 n 1 n 4 Biết : Cn 4 Cn 3 7( n 3) . HD : K= 4 => C12 495 . Ddb07 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: B-03 Cho n N* tính: 3 2 1 An 8Cn Cn 49 . n Xét : (1+x) n Khai triển tính tp hai vế ta có : Điều kiện n 4. Ta có: x 2 2 n Cn x 2 k 2 n k k . 3n -3 k 0 D2003 Với n N*, gọi a3n - 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn 2n 4 4 3 2 1 Tìm n để a3n-3 = 26n. ĐS: n = 5. Ta có: An 8Cn Cn 49 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 A-2004 Tìm hệ số của x8 trong khai triển :[1+x2( 1-x)]8 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 (n – 7)(n2 + 7) = 0 n = 7. Hd:Số hạng thứ 4 và thứ 5: Hs của x8 là C74 23 280 7 3 1 n 1 1 1 1 D04 Tìm số hạng không chứa x: (x > 0)ĐS : k = 4 35 x 4 B2008 Chứng minh rằng (n, k là các k x n 2 Cn 1 Cn 11 k Cnk B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó ;10 câu số nguyên dương, k k ≤ n, Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử). tb ; 15 câu dễ. Hỏi từ 30 câu trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra sao cho mỗi đề có 5 câu khác nhau trong đó mỗi đề nhất thiết = = phải có 3 loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hơn hai . 1 3 2n 1 Giải : Có ba THợp 2dễ + 1TB + 2 khó: 10500. 2d + 2TB +1khó: D2008 Tìm n N* thoả hệ thức C2 n C2 n ... C2 n 2048 23625 3d + 1TB + 1 khó: 22750 . Tổng : 56.875 . 2n 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 (1 x) C xC xC xC ... x C x 2 n C2 nn 2 A- 2005Tìm số nguyên dương n sao cho : 2n 2n 2n 2n 2n 1 C2 n 1 2 2.2C2 n 1 3.22 C2 n 3 1 4.23 C2 n 4 1 ... (2n 1)2 2n C2 n 2n 1 1 2005. x=1: 22 n 0 C2 n 1 C2 n C22n C2 n ... C22nn 3 1 C22nn (1) 2n+1 0 1 2 3 2n 1 2n Xét:( 1-x) . Khai triển, lấy đạo hàm hai vế, chọn x=2: (2n+1)=2005 n=1002 x=-1: 0 C 2n C 2n C 2n C 2n ... C 2n C 2n (2) B2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam 2n 1 3 2n 1 12 (1) - (2) : 2 2(C 2n C 2n ... C 2n ) 4096 2 n = 6. và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam Bài tập tham khảo và 1 nữ. ĐS: C12 C3 .C84 C2 .C4 C1 207.900 4 1 1 4 1
  3. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia Trường hợp 3: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a2 hoặc lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 a2a1. Có 24 cách. Vậy ta có: 6 18 18 24 360 số n. có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của Giải: Có 3 trường hợp: 3 7 tất cả các số tự nhiên đó. Trường hợp 1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam C7 C26 . Tổ 2 có 2 Giải: 2 9 2 10 nữ, 9 nam C4 C19 . Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam C2 C10 Cách 1: 3 7 2 9 Vậy ta có: C7 C26C4 C19 cách. Gọi n a4a3a2a1a0 a4 .104 a3 .103 a2 .102 a110 a0 là Trường hợp 2: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam 2 8 C7 C26 số cần lập. Ta có 4 cách chọn a4, 4 cách chọn a3, 3 cách 3 8 chọn a2, 2 cách chọn a1, 1 cách chọn a0. Vậy có: Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam C5 C18 , Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam 4.4.3.2.1 96 số n. 2 10 2 8 3 8 CC 2 10 Vậy ta có: C7 C26C5 C18 cách Cách 2: Trường hợp 3: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam 2 8 C7 C26 , Tổ 2 có 2 Ta có 4 cách chọn và 4! Cách sắp xếp 4 số còn lại. Vậy có: 4. 4! = 96 số n. 2 9 3 9 nữ, 9 nam C5 C18 , Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam C3 C9 , * Tính tổng 96 số n lập được: 2 8 2 9 Vậy ta có: C7 C26C5 C18 cách Cách 1: Có 24 số n n a4 a3 a2a1a0 , có 18 số n a4 a3 a2 a11 , Theo quy tắc cộng ta có: có 18 số n a4a3a2a1 2 , có 18 số n a4a3a2a1 3 , có 18 số 3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9 C7 C26C4 C19 + C7 C26C5 C18 + C7 C26C5 C18 cách. n a4 a3 a2 a1 4 . Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 2 3 4) 180 . có n điểm phân biệt n 2 . Biết rằng 2800 tam giác có Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là 1800, tổng các chữ số hàng trăm là 18000, tổng các chữ số hàng nghìn là đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thoả mãn điều kiện trên. 180000. Giải: Số tam giác có một đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 2 Có 24 số n 1a3 a2 a1a0 , có 24 số n 2a3 a2a1a0 , có 24 số là: 10Cn Số tam giác có một đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: n 3a3a2a1a0 , có 24 số n 4a3a2a1a0 . 2 nC10 Tổng các chữ số hàng chục nghìn là Theo đề bài ta có: 24(1 2 3 4).10000 2400000 2 2 10Cn nC10 2800 n 2 8n 560 0 n 20 Vậy tổng 96 số n là: Câu 3: Từ các chữ số 0, 1,. 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được 180 1800 18000 180000 2400000 2599980 bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí a4. số lập được đều nhỏ hơn 25000. Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí ai, với i = 0, 1, 2, 3. Vậy tổng 96 số n là: Giải: Gọi n a1a2a3 a4 a5 chẵn, ai a j i j ,n 25000 . (1 2 3 4) 24.104 18(103 10 2 101 10 0 ) Vì n 25000 a1 1;2 ta có các trường hợp sau: 100 Trường hợp 1: a1 = 1. Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 4 cách Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn của x2 x , 3 chọn a5 ( n chẵn). A5 cách chọn a2 a3 a4 . Vậy ta có: chứng minh rằng: 99 100 198 199 1.4.A 3 240 số n. 1 1 1 1 5 0 100C100 1 101C101 99 .. 199C100 100 200C100 0 . 2 2 2 2 Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ hơn 5. k Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2. ( C là tổ hợp chập k của n phần tử) n 2 Ta có 2 cách chọn a5. A4 cách chọn a3a4. Giải: Ta có: 100 2 Vậy ta có: 1.2.2.A4 48 số n. x2 x C100 x100 0 C100 x101 C100 x102 1 2 .. C100 x 200 , lấy 100 Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ hơn 5. 1 Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2 đạo hàm hai vế, cho x và nhân hai vế với 2 2 Ta có 3 cách chọn a5 . A4 cách chọn a3a4 ( -1), ta có kết quả: 2 99 100 198 199 Vậy ta có; 1.2.3.A4 72 số n. 0 100C100 1 1 101C101 1 99 .. 199C100 1 100 200C100 1 0 2 2 2 2 Theo quy tắc cộng ta có: 240 48 72 360 số n. Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được Câu 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 có thể lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau. nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 chữ nghìn bằng 8. 3 Giải: số 1, 3, 5 là: A5 6 cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ như một Gọi n a1a2 a3 a4 a5 a6 là số cần lập. Yêu cầu bài toán: phần tử x.Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số chẵn 0, 2, 4, 6. a3 a4 a5 8 a3 ,a4 ,a5 1,2,5 hay a3 , a4 , a5 1,3,4 Gọi n a4a3a2a1a0 . ta có các trường hợp sau: a) Khi a3 , a4 , a5 1,2,5 . Có 6 cách chọn a1; có 5 cách Trường hợp 1: a0 = 0. Đưa x vào 4 vị trí đầu: Có 3 cách. chọn a2. 2 Đưa 2 chữ số chẵn 2,4, 6 vào 2 vị trí còn lại có A3 cách. Có 3! Cách chọn a3, a4, a5. Có 4 cách chọn a6. 2 Vậy có: 3.A3 18 cách. Vậy ta có: 6.5.6.4 720 số n. Trường hợp 2: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a4. Có b) Khi a3 , a4 , a5 1,3,4 tương tự ta cũng có 720 số n. 2 3.A3 18 cách.. Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n .
  4. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng Cách khác: * Khi a3 , a4 , a5 1,2,5 . Có 3! = 6 cách chọn 2005! 2005! 3 a3 a4 a5 , có A cách chọn a1, a2, a6. k !(2005 k )! (k 1)!(2004 k )! k 1 2005 k 6 Vậy ta có: 6.5.6.4 720 số n. 2005! 2005! 2006 k k * Khi a3 , a4 , a5 1,3,4 , tương tự ta cũng có 720 số n. k !(2005 k )! (k 1)!(2006 k )! Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n . k 1002 k 1002 7 1002 k 1003, k N . Câu 8: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức k 1003 k 1003 2n 2 3x , trong đó n là số nguyên dương thoả mãn: Câu 12: Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức: 2 2 C 1 C 3 5 C2 n 2n ... C2 n 1 k 1024 . ( Cn là tổ hợp chập 2Pn 6 An Pn An 12 ( Pn là số hoán vị của n phần tử và 2n 1 2n 1 1 1 k k của n phần tử) An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). Giải:Ta có: Giải: 2n 1 2 2 1 x 0 C2 n 1 C2 n 1 x C2 n 1 x 2 1 2 C2 n 1 x 3 3 ... C2 n 1 x 2n 2n 1 1 Ta có: 2Pn 6 An Pn An 12 n N, n 1 Cho x = 1, ta có: 6.n ! n! n! 6.n ! 2.n ! n! 12 2(6 n !) 0 22n 1 C2n 1 C2n 0 1 1 2 C2n 1 3 C2n 1 2n ... C2n 1 1 1 (n 2)! (n 2)! (n 2)! (n 2)! Cho x = -1, ta có: 0 1 0 C2n 1 C2n 1 C2n 2 3 C2n 4 C2n ... C2nn 1 2 1 2 6 n! 0 1 1 1 n! 6 n 3 n 2 Lây (1) – (2) 2 2n 1 2 C 1 C 3 C 5 ... C 2n 1 n! 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 0 n(n 1) 2 0 n n 2 0 n 3 2n 1 3 5 2n 1 10 (n 2)! 2 C C 2n 1 2n 1 C 2n 1 ... C 2n 1 1024 2 ( Vì n 2 ) Vậy 2n = 10. 2 3 10 Ax Cy 22 Ta có: 2 3 x 10 k ( 1) C 2 k 10 k (3 x ) .k Câu 13: Tìm x, y N thoả mãn hệ: 3 2 k 0 10 Ay Cx 66 7 Suy ra hệ số của x là: C .3 .2 hay C .3 .2 7 10 7 3 3 10 7 3 Giải: Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 Với điều kiện: x 2, y 3 , ta có: nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 1 người biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ. 2 Ax 3 Cy 22 x ( x 1) y ( y 1)( y 2) 22 6x 2 6x y3 3y 2 6 Giải: 3 Ay 2 Cx 66 1 y3 3y 2 2y .2 Ta có 3 trường hợp: y ( y 1)( y 2) x ( x 1) 66 3 5 2 * 3 nữ và 5 nam: có C5 C10 2520 cách. 4 4 * 4 nữ và 4 nam: Có C5 C10 1050 cách. 6x 2 6x y3 3y 2 2y 132 x 4 hay x 3 loai 5 3 * 5 nữ và 3 nam: có C C 120 cách 5 10 2 3 2 11x 11x 132 0 y 3y 2y 60 Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách. Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và x 4 x 4 nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5. ( y 5)( y 2 2y 12) 0 y 5 Giải: Câu 14: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông Gọi n a1a2a3 a4 a5 là số cần lập. ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệ khác A, B, C, Ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí 2 A5 4.5 20 D. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cách. cho là 439. Xếp 1, 5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu Giải: tiên Nếu n 2 thì n 6 8 . Do dó số tam giác có 3 đỉnh được 3 4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2. lấy từ n + 6 điểm không vượt quá C8 56 439 3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3 ( loại). 2 * Theo quy tắc nhân ta có: A5 .5.4.3 20.60 1200 số n. Vậy n 3 . Cách khác: Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n 2 Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: Ta có: A5 4.5 20 + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: cách. 3 3 3 3 (n 4)(n 5)(n 6) (n 2)(n 1)n Bước 2: Có A5 3.4.5 60 cách bốc 3 trong 5 số còn lại Cn 6 C3 Cn 1 439 6 6 rồi xếp vào 3 vị trí còn lại. Vậy có 20. 60 = 1200 số n thoả mãn yêu cầu bài toán. k (n 4)(n 5)(n 6) (n 2)(n 1)n 2540 Câu 11: Tìm k 0;1;2;........;2005 sao cho C2005 đạt giá 2 k n 4n 140 0 n 10 hay n 14 loai trị lớn nhất ( với Cn là tổ hợp chập k của n phần tử). Đáp số: n = 10. Giải: Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà k k 1 k C2005 C2005 mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau? C2005 lớn nhất k k 1 k N Giải: C2005 C2005 Gọi n a1a2 a3 a4 là số cần lập. * Trường hợp 1: a4 = 0, ta có: 8 cách chọn a1 ( Vì a1 2 ).
  5. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng 8 cách chọn a2, 7 cách chọn a3; 1 cách chọn a4. ak 2 C k k 12 k 1 23 Vậy ta có: 8. 8. 7.1 = 448 số n . 1 1 1 k ak 1 2k 1C k 1 12 2(12 k ) 3 * Trường hợp 2: a4 0 vì a4 chẵn. Mà k k 7 . Do đó a0 < a1 < ….< a8. Z Ta có: 4 cách chọn a4; 7 cách chọn a1; 8 cách chọn a2; 7 cách chọn a3. ak Tương tự : 1 k 7 . Do đó a8 > a9 > ….> a12. Vậy ta có: 4 . 7. 8 . 7 = 1568 số n. ak 1 Vậy cả hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n Số lớn nhất trong các số a0, a1, ……, an là: Câu 16: Chứng minh rằng: a8 28 C12 126720 8 1 1 1 3 1 5 1 2 n 1 22 n 1 C2n C2n C2n .... C2n ( n là số n 1 1 1 1 2 4 6 2n 2n 1 Câu 20: Chứng minh rằng: k k 1 k ( n, k k n 2 Cn 1 Cn 1 Cn nguyên dương, Cn là tổ hợp chập k của n phần tử). k Giải: là các số nguyên dương, k n , C là tổ hợp chập k của n n Ta có: phần tử). 1 x 2n 0 C2 n 1 C2 n x ... C2 n x 2n , 1 x 2n 2n 0 C2 n 1 C2 n x ... C2 n x 2n 2n Giải: Ta có: 2n n 1 1 1 n 1 k !( n 1 k )! ( k 1)!( n k )! 1 x (1 x )2n 2 C2 n x C2 n x 3 1 3 ... C2n 1x 2n 2n 1 k k 1 . n 2 Cn 1 Cn 1 n 2 (n 1)! 1 1 (1 x )2n (1 x )2n 1 k !(n k )! k !( n k )! 1 C2n x C2n x 3 1 3 ..... C2n 1x 2 n 2n 1 dx . ( n 1 k ) ( k 1) . 0 2 0 n 2 n! n! Cnk 1 (1 x )2n (1 x )2n (1 x )2n 1 (1 x )2n 1 1 22 n 1 Câu 21: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức: 0 1 0 2 2(2n 1) 2n 1 C2n C2n ... C2n 1 2048 ( Cn là tổ hợp chập k của n 1 3 2n k 1 phần tử). C2n x C2n x 3 1 3 ..... C2n 1x 2 n 2n 1 dx Giải: 0 1 (1 x )2n C2n C2n x C2n x 2 C2n x 3 ... C2n 1x 2 n 1 C2n x 2 n 0 1 2 3 2n 2n 1 x2 3 x4 C2n . C2n . ... C2n x 2 n 2n 2 4 0 * x 1: 22n 0 1 2 C 2 n C2 n C2 n 3 2n C2n ... C2n 1 2n C2 n 1 0 1 2 3 2n 1 2n 1 1 1 3 1 2n 1 * x 1: 0 C C C C ... C C 2 C2n C2n ... C2n 2 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 4 2n Lấy (1) – (2): Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 22n 2(C2n C2n ... C2n 1 ) 4096 212 1 3 2n n 6 5 Câu 17: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức: 5 Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị x 1 2x x 2 (1 3 x )10 18 1 Giải: thức Niutơn của 2x 5 ( x > 0). 5 x Hệ số của x trong khai triển của x (1 2 x )5 là ( 2)4 .C5 4 5 Giải: Hệ số của x trong khai triển của x 2 (1 3 x )10 là 33.C10 3 18 18 1 k 18 6 1 18 k 5 Hệ số của x trong khai triển của x (1 2 x )5 x 2 (1 3 x )10 là 2x 5 C18 (2 x )18 k k x 5 C18 .218 k.x k 5 x k 0 k 0 ( 2)4 .C5 33.C10 3320 4 3 10 6 Câu 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Yêu cầu bài toán k 0 k 15 18 5 nhị thức Niu tơn của (2 x )n , biết Vậy số hạng không chứa x là: 23.C18 6528 15 3n Cn 0 3n 1Cn 1 3 n 2 Cn 2 3 n 3 Cn 3 ... ( 1)n Cn n 2048 (n là Câu 23: Cho khai triển nhị thức: k số nguyên dương, C là tổ hợp chập k của n phần tử). n x 1 x n x 1 n x 1 n 1 x x 1 x n 1 0 1 n 1 Giải:Ta có: 2 2 23 Cn 2 2 Cn 2 2 2 3 ... Cn 2 2 2 3 C 3n Cn 3n 1Cn 3n 2 Cn 3n 3 Cn ... ( 1)n Cn (3 1)n 0 1 2 3 n ( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Từ giả thiết suy ra n = 11. 3 1 11 Cn 5Cn và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm x và n. 11 Ta có: 2 x C11.21 k x k . Suy ra hệ số của số hạng k 3 Giải: Từ Cn 1 5Cn ta có: n 3 và k 0 10 x n! n! n(n 1)(n 2) n 7 chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 x ) là: 5 5n n2 3 n 28 0 3!(n 3)! (n 1)! 6 n 4 C11 .211 10 10 22 . Với n = 7 ta có: n Câu 19: Cho khai triển 1 2 x a0 a1x ... an x n , trong 3 x 1 x 3 C7 2 2 2 3 140 35.22 x 2.2 x 140 2x 2 4 x 4 đó n N * và các hệ số a0, a1, ….,an thoả mãn hệ thức a1 an Câu 24: Cho đa giác đều A1A2…..A2n ( n nguyên) nội tiếp a0 ... 4096 . Tìm hệ số lớn nhất trong các số đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 2 2n a0, a1, …., an. trong 2n điểm A1, A2, …., A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ Giải: nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2, …, A2n. Tìm n. n a1 an 1 Giải: Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm Đặt f ( x ) 1 2x a0 a1x ... an x n a0 ..... f 2n 3 A1A2…..A2n là: C2n . 2 2n 2 Từ giả thiết suy ra: 2n 4096 212 n 12 Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2…..A2n đi qua tâm Với mọi k 0;1;2;3...;11 ta có: ak 2k C12 , ak k 2k 1C12 1 k đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n 1
  6. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong Với n 3 thì x x x 3n 3 x x 2n n 3 2n 2 n 1 2n điểm A1,A2, …, A2n có các đường chéo là hai đường 3n-3 2 Do đó hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (x chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các n n 3 0 3 + 1) (x + 2) là a3 n 3 2 .Cn .Cn 2.Cn .Cn1 1 đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của 2n 2n 2 3n 4 n 5 2 đa giác A1A2…..A2n tức Cn . Vậy a3 n 3 26n 26n 7 3 n 3 2 (2n )! n! 2 Theo giả thiết thì: C2n 20Cn 20 Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) 3!(2n 3)! 2!( n 2)! n n 2n.(2n 1)(2n 2) n(n 1) n n 1 2 20. 2n 1 15 n 8 Cách 2: Ta có : x 2 1 x 2 x 3n 1 1 6 2 x2 x i k Câu 25: Tìm số nguyên dương n sao cho: n 1 n 2 n n x 3n i Cn k Cn x 3n i Cn x 2i Cn 2k x k k Cn 2Cn 4Cn .... 2n Cn 243 0 1 2 n i 0 x2 k 0 x i 0 k 0 n n Giải: Ta có: x 1 k C x . k Trong khai triển trên , luỹ thừa của x là 3n – 3 khi -2i – k = - n k 0 3 hay 2i + k = 3. Ta chỉ có 2 trường hợp thoả mãn đk này n là i = 0 , k = 3 hoặc i = 1 , k = 1. Cho x = 2 ta được: 3n Cn 2k k 3n 243 35 n 5 Vậy hệ số của x 3n-3 là a3 n 3 Cn .Cn .23 Cn .Cn .2 0 3 1 1 k 0 8 Câu 26: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị 2n 2n 2 3n 4 n 5 1 n Do đó a3 n 3 26n 26n 7 thức Niutơn của x5 , biết rằng: 3 n x3 2 n 1 n k Cn 4 Cn 3 7( n 3) ( n là số nguyên dương, x > 0, Cn là Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) tổ hợp chập k của n phần tử). Câu 29: Giải bất phương trình: n 2 5 Cn 2Cn4 3 3 2An Giải:Ta có: k k (trong đó Cn là số tổ hợp chập k của n phân tử và An là n 1 n n 1 n n Cn 4 Cn 3 7(n 3) Cn 3 Cn 3 Cn 3 7(n 3) chỉnh hợp tập k của n phân tử ) (n 2)(n 3) Giải : Điều kiện n N và n 4 7(n 3) n 2 7.2! 14 n 12 Bất phương trình đã cho có dạng : 2! Số hạng tổng quát của khai triển là: n2 5 n ! n! n! 12 k 2 2 k 5 60 11k n 4 !4! n 3 !3! n 3 ! k 3 k C12 x x2 C12 x 2 n 5 n2 2n 5 0 n 5 0 n 5 60 11k 2 60 11k (do n + 2n + 5) > 0 , mọi n) Ta có: x 2 8 k 4 x8 Kết hợp điều kiện . được nghiệm của bất phương trình đã 2 8 Do đó hệ số của số hạng chứa x là: cho là n = 4 , n = 5 8 Câu 30: Tính hệ số của x trong khai triển thành đa thức 4 12! C12 495 của 1 x 2 1 x 8 4!(12 4)! Câu 27: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: Giải: 8 0 22 1 1 23 1 2 2n 1 1 n k 1 x2 1 x 0 C8 C8 x 2 (1 x ) C8 x 4 (1 x )2 1 2 C8 x 6 (1 x )3 3 Cn Cn Cn ... Cn ( Cn là tổ hợp 2 2 n 1 C8 x 8 (1 x )4 4 C8 x 10 (1 x )5 5 C8 x 12 (1 x )6 6 C8 x 14 (1 x )7 7 C8 x 16 (1 x )8 8 chập k của n phần tử). Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong Giải: 4 số hạng cuối lớn hơn 8. n 0 8 Ta có: 1 x Cn Cn x Cn x 2 1 2 ... Cn x n n Vậy x chỉ có trong các số hạng thứ 4, thứ 5 với hệ số 3 2 4 0 2 2 tương ứng là: C8 .C3 ,C8 .C4 . Suy ra: (1 x )n dx 0 Cn Cn x Cn x 2 1 2 .... Cn x n dx n Suy ra: a8 168 70 238 . 1 1 Câu 31: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi 1 x2 x3 xn 1 dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm (1 x )n 1 2 1 0 1 Cn x Cn 2 Cn n ... Cn 2 1 n 1 2 3 n 1 tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề . 22 1 1 23 1 2 2n 1 1 n 3n 1 2n 1 nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và 0 C n Cn Cn ... Cn số câu hỏi dễ không ít hơn 2? 2 2 n 1 n 1 Giải:Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3 nên có Câu 28: Với n là số nguyên dương, gọi a3 n 3 là hệ số của các trường hợp sau: n x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của x 2 1 (x 2)n . * Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách 2 2 1 chọn là: C15 .C10 .C5 23625 Tìm n để a3 n 3 26n * Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách Giải: 2 1 2 chọn là: C15 .C10 .C5 10500 Cách 1: Ta có: n * Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách x2 1 Cn x 2 n 0 Cn x 2 n 1 2 Cn x 2 n 2 4 n ... Cn 3 1 1 chọn là: C15 .C10 .C5 22750 ( x 2)n Cn x n 2Cn x n 1 22 Cn x n 2 ... 2n Cn 0 1 2 n Vì thế cách chọn trên đôI một khác nhau nên số đề kiểm Dễ dàng kiểm tra n = 1 , n = 2 không thoả mãn đk bài toán tra có thể lập được là: 23625 + 10500 + 22750 = 56875.
  7. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng Câu 32: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị Giải: Từ giả thiết suy ra: 0 1 2 n 3 1 7 C2n 1 C2n 1 C2n 1 ... C2 n 1 220 1 thức Niutơn của x 4 với x > 0. k 2n 1 k x Vì C 2n 1 C 2n 1 , k,0 k 2n 1 nên: Giải:Ta có: 0 1 2 1 0 1n 2n 1 7 7 k 7 7 k k 7 28 7k C2n 1 C2n 1 C2n 1 .... C2n C2n 1 C2n 1 ... C2n 1 2 1 3 1 k 3 7 k 1 k 3 4 k 12 2 x 4 C 7 x 4 C x 7 x C x 7 x k 0 x k 0 k 0 Từ khai triển nhị thức Niutơn của (1 1)2n 1 suy ra: Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k 0 1 2n 1 C2n 1 C2n 1 ..... C2n 1 (1 1)2 n 1 22 n 1 3 28 7k k Z,0 k 7 thoả mãn: 0 k 4 Từ (1), (2), (3) suy ra: 2 2n 2 20 hay n = 10. 12 10 n 10 7 Số hạng không chứa x cần tìm là: C4 35 1 10 k Ta có: 4 x7 C10 x 4 k ( x 7 )k C10 x 11k k 40 Câu 33: Tìm số nguyên dương n sao cho: x k 0 k 0 1 2 3 4 26 k C2 n 1 2.2C2 n 1 3.2C2 n 1 4.2C2 n 1 ... (2 x 1).2 2n C2 n 2n 1 1 2005 Hệ số của x là C10 với k thoả : 11k 40 26 k 6 k 26 ( C là số tổ hợp chập k của n phân tử). n Vậy hệ số của x là: C 6 10 210 Giải:Ta có: Câu 37: Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4 . Biết rằng (1 x )2 n 1 0 C2 n 1 1 C2 n 1x C2 n 1x 2 2 C2 n 1x 3 3 ... C2 n 1 x 2 n 2n 1 1 x R Lấ số tập hợp con gồm 4 phần tử gấp 20 lần số tập con gồm 2 y đạo hàm hai vế ta có: phần tử của A. Tìm k 1 ;2;3...n sao cho số tập con gồm (2 x 1)(1 x )2n 1 C2 n 1 2 2C2n 1x 3C2n 2 x 2 3 ... (2n 1)C2n 1x 2n 2 x R k phần tử của A là lớn nhất. Thay x = - 2, ta có: k 1 2 Giải: Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng Cn . Từ giả C2n 1 2.2C2n 1 3.22 C2n 3 1 4.23 C2n 4 1 ..... (2n 1).22 nC2nn 1 2 1 2n 1 thiết suy ra: Theo giả thiết ta có: 2n 1 2005 n 1002 4 2 Câu 34: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm Cn 20Cn n 2 5n 234 0 n 18 ( vì n 4 ). 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân đội thanh C18 1 k 18 k niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi Do k 1 k 9 nên C18 k 1 tỉnh có 4 nam và 1 nữ? 1 2 9 9 10 18 Giải: C18 C18 .... C18 C18 C18 .... C18 1 4 Có C3 .C12 cách phân công các thanh niên tình nguyện về Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất k = 9. tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công thanh niên tình Câu 38: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ 1 4 thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp nguyện về tỉnh thứ nhất thì có C2C8 cách phân công các B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp công thanh niên tình nguyện về tình thứ nhất và tỉnh thứ trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 1 4 hai thì có C1C4 cách phân công các thanh niên tình nguyện Giải:Số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh đã cho là: 4 về tỉnh thứ 3. C12 495 . Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh theo Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhấtmột em 1 4 1 4 1 4 yêu cầu bài toán là: C3 .C12 .C2 .C8 .C1C4 207900 được tính như sau: 4 An 1 3A n 3 - Lớp A có 2 học sinh, lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số Câu 35: Tính giá trị của biểu thức: M . Biết 2 1 1 cách chọn là: C5 .C4 .C3 120 (n 1)! 2 2 2 2 - Lớp B có 2 học sinh, lớp A, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số rằng Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 ( n là số nguyên 1 2 1 k k cách chọn là: C5 .C4 .C3 90 dương, An là chỉnh hợp tập k của n phân tử và Cn là số tổ - Lớp C có 2 học sinh, lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh. Số hợp chập k của n phân tử). 1 1 2 cách chọn là: C5 .C4 .C3 60 Giải: Điều kiện: n 3 . Ta có: 2 2 2 2 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 là: 120 + 90 + 60 = 270. (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225. 2 2 149 Câu 39: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2!(n 1)! 2! n ! 2!(n 1)! 2!(n 2)! . 1 1 1 1 1 1 2 1 3 ( 1) n 1 n 2 n 5 1 ... Cn Cn Cn ... Cn n 4n 45 0 2 3 4 n 2 3 n n 9 Giải:Xét tích phân: Vì n nguyên dương nên n = 5. 1 1 1 (1 x )n dx Cn Cn x ... ( 1)n 1Cn x n dx 1 2 n 6! 5! 0 x 0 3A 5 2! 3. 2! 3 3 4 A6 1 2 ( 1)n 1 n M 1 Cn Cn .... Cn 1 6! 6! 4 2 n 26 Câu 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Mặt khác, đặt x = 1 – t, ta có: n 1 1 1 1 1 (1 x )n 1 tn tn 1 nhị thức Niutơn của x7 , biết rằng dx ( 1)dt dt x4 0 x 0 1 t 0 t 1 1 2 n C2n 1 C2 n 1 ... C2 n 1 220 1 ( n là số nguyên 1 1 1 1 k 1 t t2 .... t n 1 .... dt 1 2 dương, C là số tổ hợp chập k của n phân tử). n 0 2 3 n Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
  8. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng Câu 40: Rút gọn tổng: 7) Gọi số có 4 chữ số khác nhau là: abcd 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 Do số đó lớn hơn 3000 nên a 3 hay a 3;4;5;6 . Vậy S C19 C19 C19 .... C19 C19 2 3 4 20 21 có 4 cách chọn a, 3 số còn lại được coi như một chỉnh hợp Giải:Theo nhị thức Niutơn thì: chập 3 của 5 phần tử. Suy ra các số thoả mãn đề bài là: x (1 x )19 0 x C19 C19 x C19 x 2 1 2 ... C19 x 18 18 C19 x 19 19 3 4.A5 240 ( số). C19 x C19 x 2 0 1 C19 x 3 2 .... C19 x 19 18 C19 x 20 19 8) Gọi số có 3 chữ số khác nhau là abc . do số đó không 1 x2 x3 x 4 20 x 21 x nhỏ hơn 243 ( hay abc 243 ) nên a 2 . Vậy x(1 x )19 dx 0 C19 . 1 C19 . 2 C19 . 18 ... C19 . 19 C19 . 1 0 0 2 3 4 20 21 a 2;3;4;5;6 . 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 C19 C19 C19 ..... C19 C19 S + Với a = 2 để 2bc 243 b 4 b 4;5;6 2 3 4 20 21 1 Nếu b = 4, lập luận tương tự, cần c 4, c 3 do đó có 3 Do đó S . 420 cách chọn c. Vậy số có dạng 24c là: 1 x 3 = 3 ( số). 1 2 n * Nếu b = 5, 6 thì c có thể chọn bất kì trong 4 số còn lại. vậy Câu 41: Tính tích phân: I x (1 x ) dx n N . Từ đó 0 số các số có dạng 25c hoặc 26c là: 1 x 2 x 4 = 8 (số). 1 0 1 1 1 2 1 3 ( 1)n n 1 cmr: Cn Cn Cn Cn ... Cn + Với a = 3; 4; 5; 6 ta có thể chọn b, c là 2 số bất kì trong 5 2 4 6 8 2( n 1) 2( n 1) số còn lại sau khi chọn a. Tất cả các dạng này là: Giải: 2 4.A5 80 ( số) 1 1 n 1 (1 x 2 )n 1 1 Vậy từ 6 số đã cho, ta có thể lập được 3 + 8 + 80 = 91 ( Ta có; I 1 x2 d (1 x 2 ) 1 0 20 2 n 1 2( n 1) số)có 3 chữ số khác nhau không nhỏ hơn 243.. Mặt khác: 9) Ta có: abc 243 * 1 n 1 n 3 I x. Cn ( 1)k .x 2k dx k Cn ( 1)k .x 2k k 1 dx Từ 6 số đã cho, thành lập được A6 120 ( số) có 3 chữ 0 k 0 0 k 0 số khác nhau. Trong đó số các số không nhỏ hơn 243 là n x 2k 2 1 n k Cn 91 số. Vậy số các số thoả mãn (*) là: 120 – 91 = 29 ( số). Cn ( 1)k k 0 Cn ( 1)k . k Câu 43: Một lớp 12 có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam. k 0 2k 2 k 0 2(k 1) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra những tổ có 5 người: Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1) Nam, nữ tuỳ ý, không phân biệt nhiệm vụ. Câu 42: Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu 2) Có 3 nam, không phân biệt nhiệm vụ. cách viết số: 3) Có ít nhất 2 nữ, không phân biệt nhiệm vụ. 1) Có 6 chữ số. 4) Tổ trưởng là nữ, số còn lại không phân biệt nhiệm vụ. 2) Có 6 chữ số đôi một khác nhau. 5) Tổ trưởng là nam và có ít nhất 2 nam nữ. 3) Có 4 chữ số. 6) 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 tổ viên. 4) Có 4 chữ số đôi một khác nhau. 7) Mỗi người sẽ phụ trách một trong 5 đội thiếu niên cụ thể 5) Chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau. của phường. 6) Có 6 chữ số khác nhau và là số lẻ. Giải: 7) Có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000. 1) Số học sinh trong lớp là: 15 + 25 = 40 ( học sinh) 8) Có 3 chữ số khác không lớn hơn 243. Do đó số cách chọn 1 tổ 5 người theo yêu cầu đề bài là: 9) Có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 243. 5 C40 658008 ( Cách) Giải: 3 1) Để viết một số có 6 chữ số từ các số đã cho, ta có 6 2) Để chọn một tổ có 5 người: Gồm 3 nam: có C25 2300 cách chọn số hàng trăm nghìn, tương tự với các số ở mỗi 2 ( Cách chọn). 2 nữ: có C15 150 ( cách chọn). hàng còn lại đều có 6 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta lập 3 2 6 được: 6 = 46656 số thoả mãn điều kiện đề bài. Theo quy tắc nhân, số cách chọn tổ là: C25 .C15 241500 ( 2) Do yêu cầu 6 chữ số đôi một khác nhau nên có 6 cách cách). chọn số hàng trăm nghìn, 5 cách chọn số hàng vạn, 4 cách 3) Cách 1: Số học sinh nữ trong tổ có thể là: 2, 3, 4 hoặc chọn số hàng nghìn, …., 1 cách chọn số hàng đơn vị. 5. Vậy có tất cả 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 ( số) thoả mãn đề Số cách chọn một tổ gồm 2 nữ, 3 nam là: 2 3 bài. C15 .C25 241500 6 3) Lập luận tương tự câu 1 ta lập được: 6 = 1296 số thoả Số cách chọn một tổ gồm 3 nữ, 2 nam là: mãn đề bài. 3 2 C15 .C25 136500 4) Lập luận tương tự câu 2, có 6 cách chọn số hàng nghìn, 4 1 5 cách chọn số hàng trăm, 4 cách chọn số hàng chục, 3 Số cách chọn một tổ gồm 4 nữ, 1 nam là: C15 .C25 34125 cách chọn số hàng đơn vị. Số cách chọn một tổ gồm 5 nữ là: C 5 3003 15 Vậy có tất cả: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 ( số) thoả mãn đề bài. Cách 2: Tính số tổ có 1 nữ và số tổ không có nữ là: 5) Gọi abc là số thoả mãn đề bài, số đó chia hết cho 5 5 4 5 5 4 C25 15C25 . Số tổ phải tìm là: C40 (C25 15C25 ) nên chỉ có mọt cách chọn c = 5, số a, b có thể được coi là 1 một chỉnh hợp chập 2 của 5 số còn lại sau khi đã chọn số 4) Để tổ trưởng là nữ, có C15 15 cách chọn. 2 c. Vậy có tất cả 1.A5 20 số. Bốn tổ viên được chọn trong 39 học sinh còn lại, có: 4 6) Do số được thành lập là một số lẻ nên số hàng đơn vị C39 82251 cách chọn. Vậy số cách chọn tổ là: 1 4 phải là: 1, 3, 5. vậy có 3 cách chọn. Các số còn lại được C15 .C39 1233765 ( cách chọn). coi như một hoán vị năm phần tử. Vậy có tất cả: 1 5) Để tổ trưởng là nam, có C25 25 cách chọn. 3.P5 3.5! 360 ( số). Bốn người còn lại trong tổ gồm:
  9. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng + 2 nam, 2 nữ: C .C 2 24 2 15 28980 ( cách chọn) 3) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 10 + 3 nam, 1 nữ: C .C 3 1 30360 ( cách chọn) 1 24 15 2x 4 + 4 nam: C24 10626 ( cách chọn). x Tổng số cách chọn là: 4) Xét khai triển của ( x 3 xy )15 25. 28980 30360 10626 1749150 a) Tìm hai hạng tử chính giữa. 6) Một tổ trưởng và một tổ phó có thể coi là một chỉnh hợp b) Tính hệ số của hạng tử chứa x 21y 12 chập 2 của 40 học sinh trong lớp: Giải: 2 3 3 3 A40 1560 ( cách chọn) 1) Số hạng chứa x trong khai triển của 2 x 1 là 8x Ba tổ viên là một tổ hợp chập 3 của 38 học sinh còn lại ( 3 4 Số hạng chứa x trong khai triển của 3 x 1 là: sau khi đã chọn tổ trưởng và tổ phó ) : 1 3 3 2 C38 8436 ( cách chọn) C (3 x ) 4 108 x 2 2 3 7 Vậy số cách chọn tổ là: A .C 13160160 40 38 Số hạng chứa x trong khai triển của x 1 là: 7) Do mỗi người sẽ phụ trách một đội thiếu niên khác nhau 4 C x 3 35 x 3 7 nên có thể mỗi tổ là một chỉnh hợp chập 5 của 40 học sinh. 3 5 Vậy hệ số của x trong đa thức P(x) là: 8 – 108 + 35 = - 65 Vậy số cách chọn tổ là: A40 78960960 n n k n 1 1 Câu 44: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao 2) Ta có: x ( 1)k Cn x n k . k ( 1)k Cn x n k 2k . nhiêu số? x k 0 x k 0 0 1 2 1) Có 5 chữ số khác nhau. Theo giả thiết ta có: Cn Cn Cn 38 . 2) Có 5 chữ số. Điều kiện: 3) Có 3 chữ số khác nhau. n(n 1) 4) Có 3 chữ số khác nhau và là số lẻ. n N n 2 28 n 2 3n 54 0 5) Có 3 chữ số khác nhau và nhất thiết có mặt chữ số 2. 2 Giải: Phương trình có nghiệm n = 9 thoả mãn điều kiện. Khi đó số hạng thứ 5 của khai triển là: ( 1)4 C9 x 9 2.4 4 126 x 1) Gọi số có 5 chữ số khác nhau là: abcde . vì a 0 nên 3) Ta có: có 4 cách chọn. Bộ số bcde có thể coi là một hoán vị của 10 k n n 4 số còn lại sau khi đã chọn số a, vậy có P4 4! 24 ( Số) 1 1 2x ( 1)k C10 (2 x )10 k . k ( 1)k 210 k .C10 x10 k 2k Số cách thành lập số có 5 chữ số khác nhau là: 4 x 24 = 96 x k 0 x k 0 ( cách) . 2) Để thành lập một số có 5 chữ số, ta chọn lần lượt từng Do đó số hạng không chứa x tương ứng với hàng, a 0 nên có 4 cách chọn a; 5 cách chọn b; 5 cách 10 2k 0 k 5 chọn c; 5 cách chọn d; 5 cách chọn e. Vậy số các số có 5 Vậy số hạng cần tìm là: ( 1)25.C10 5 8064 chữ số thành lập từ 5 chữ số đã cho là: 15 4) Khai triển của x 3 xy gồm 16 hạng tử: 4.5 4 2500 ( số). 3) Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: abc . Vì a 0 nên có Số hạng tổng quát của khai triển là: C15 ( x 3 )15 k .( xy )k C15 x 45 2 k y k k k 4 cách chọn. Bộ số bc có thể coi là một chỉnh hợp chập 2 2 a) Hai hạng tử chính giữa trong khai triển là số hạng thứ 8 của 4 phần tử, số các chỉnh hợp là: A4 12 và thứ 9 trong dãy: Vậy các số thoả mãn đề bài: 4 x 12 = 48 ( số) C15 x 45 2.7 y 7 6435.x 31.y 7 ;C15 x 45 2.8 y 8 6435.x 29 .y 8 7 8 4) Gọi số có 3 chữ số khác nhau là abc , đề số đó là số lẻ b) Hạng tử chứa x 21y 12 tương ứng với k = 12. Vậy hệ số thì c 1;3 , vậy có 2 cách chọn c. Còn lại 4 số 12 của hạng tử đó là: C15 455 ( gồm cả số 0) để chọn a và b; do a 0 nên có 3 cách chọn số a, từ đó còn 3 cách chọn b. Vậy số các số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 2 x 3 x 3 = 18 (số). 5) Gọi số phải tìm là abc , trong đó nhất thiết có một vị trí là số 2: + Số 2 ở vị trí của a; các số b, c chọn trong 4 số còn lại nên 2 là một chỉnh hợp chập 2 của 4 số nên có A4 12 số loại này. + Số 2 ở vị trí của số b; khi đó có 3 cách chọn a; 3 cách chọn c nên có 3 x 3 = 9 số loại này. + Số 2 ở vị trí của c; tương tự, ta được 9 số. Vậy có tất cả: 12 + 9 + 9 = 30 số thoả mãn đề bài. 3 Câu 45: 1) Tính hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 4 7 của: P ( x ) (2 x 1) (3 x 1) ( x 1) n 1 2) Khai triển của x có tổng các hệ số của 3 số hạng x đầu là 28. tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản