Chuyên đề luyện thi ĐH phần khảo sát hàm số

Chia sẻ: nhantaivn

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề luyện thi đh phần khảo sát hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Chuyên đề luyện thi ĐH phần khảo sát hàm số

 

  1. Chuyên đề khảo sát hàm số ồ Văn Hoàng Chuyên đề : Khảo sát hàm số và ứng dụng yM axM b c (a, b, c, d, e Z) : giải hệ dxM e Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số . xM , yM Z 1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xM ; yM) . c B1 : hệ số góc tiếp tuyến k = f ‘(xM) . yM axM b dxM e c B2 :Phương trình tiếp tuyến : y – yM = k(x – xM ) . yM axM b dxM e c xM , Z xM Z , dxM e öôù c cuû a c 2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến dxM e với đồ thị. B1: Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x) . 5.Dạng 5:TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : f ( x) g ( x) B2: Điều kiện tiếp xúc : f '( x) g '( x) a. Cmr đồ thị hàm số nhận điểm M(xM ; yM) làm tâm đối xứng Chú ý : x xM X B1: Đặt thay vào y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X) a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có y yM Y yC yC / B2: Ta chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ (tức là F(-X) = - F(X) ) nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. y /C y /C/ X 0 x xM trên tập xác định nên nhận làm tâm đối xứng b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) Y 0 y yM *Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm phân thức (gđ 2 tc) tại I : *Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là (d): y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là * // ( ) : y = ax + b : (d) // ( ) (d) : y = ax + m. trục tung X = 0 x=a 1 c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I . * ( ) : y = ax + b (a 0) : (d) ( ) (d) : y = x + m. a xM xN 2 xI Tìm m nhờ đk tx. yM yN 2 yI c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M (C/) : g(x, y) = 0 sao giải hệ 4 pt 4 ẩn : cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), yM f ( xM ) M(xo,yo) (C/) g(xo,yo) = 0; (d) qua M: y = k(x – xo) + yo yN f ( xN ) yC yd ặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + (d) tx (C) : (1). y /C k b Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. 1 Đặt đk để phương trình có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp dt (d) là (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và a tuyến), tìm được xo hay yo. (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) I (d) m?; 3.Dạng 3:Đường cong : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt Ox tại ba điểm thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. 3 2 phân biệt khi : ax + bx + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt Tìm tọa điểm uốn : B1: y’’ = 0 có nghiệm xo yo = f(xo) hay yCĐ .yCT < 0 . B2: Tọa độ điểm uốn : U(xo;yo) . 4.Dạng 4:. Điểm đặc biệt của (Cm) : y = f(x, m) 6.Dạng 6:ĐƠN ĐIỆU : a/ Điểm cố định : M(xo, yo) (Cm), m yo = f(xo, m), m a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : Am + B = 0, m (hay Am2 + Bm + C = 0, m) i) a> 0 và y’ = 0 vô nghiệm hàm số tăng trên R (luôn tăng) A 0 ii) a< 0 và y’ = 0 vô nghiệm hàm số giảm trên R (luôn giảm) A 0 iii)a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 (hay B 0 ). Giải hệ, được M. B 0 hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta có : C 0 + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(xo, yo) (Cm), m + hàm số tăng trên ( , x1); + hàm số tăng trên (x2, + ); yo f(xo,m), m + hàm số giảm trên (x1, x2) yo = f(xo, m) VN m Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + iv)a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 A 0 hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 A 0 A 0 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : C = 0 VN m) (hay B 0 ). B 0 0 + hàm số giảm trên ( , x1); + hàm số giảm trên (x2, + ); C 0 +hàm số tăng trên (x1, x2) A B 0 ax 2 bx c Giải hệ , được M. Chú ý : C VN B=0 b. Biện luận sự biến thiên của y = B A BC VN mx n c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên (Cm) qua M(xo, yo) yo = f(xo, m) có n nghiệm m. từng khỏang xác định. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm (nghịch biến) bậc 2, bậc 2 có điều kiện x , bậc 3, trùng phương. trên từng khỏang xác định. c d/Tìm điểm M © : y = ax + b + có tọa độ nguyên dx e
  2. Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) . x x p B2: Giữ nguyên phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x >0 qua Oy cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 . B3: Giữ nguyên phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y < 0qua Ox 2 m / Nhớ g(x) = f(–x) : đối xứng qua (Oy); iv) Nếu a.m < 0 và y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt g(x) = – f(x) : đối xứng qua (Ox). cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và . 11. Dạng 11: Bài toán tìm quỹ tích . c.Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến x f ( m) B1: Tìm toạ độ quỹ tích M . (nghịch biến) / miền x I: đặt đk để I nằm trong miền đồng y g ( m) biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt y/ = 0 B2:Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích . với . B3:Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra 7.Dạng 7:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của điều kiện của x và y . hàm số . Nếu xo = a thì M (d) : x = a. Trên khoảng (a ; b) thì ta lập bảng xét dấu của y’ và yCĐ là Nếu yo = b thì M (d) : y = b. GTLN; yCT là GTNN . 12.Dạng 12 : Bài toán TƯƠNG GIAO : Trên đoạn [a ; b] thì ta giải phương trình :y’ = 0 có nghiệm x1 ; * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) x2 ; … thuộc [a ; b] là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. Tính y(x1) ; y(x2) ; … ; y(a) ; y(b) .Số lớn nhất là GTLN ; số nhỏ *Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao nhất là GTNN. điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n 8.Dạng8: Cực trị f có đúng n cực trị f/ đổi dấu n lần. nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : / f ( xo ) 0 F(x) = m; đặt điều kiện để (C):y=F(x) & (d): y = m có n điểm chung. f đạt cực đại tại xo ; *Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : f / / ( xo ) 0 Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số f / ( xo ) 0 điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). f đạt cực tiểu tại xo f / / ( xo ) 0 PThđ điểm chung, không tách được m, dạng ax2 + bx + c = 0 1/ Hàm bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị (x ) hay dạng bậc 3 : x = f(x) = 0 : lập , xét dấu , giải phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt pt f(x) = 0 để biết m nào thì là nghiệm của f, với m đó, số *Tính yCĐ.yCT : nghiệm bị bớt đi 1. Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D); Bài toán đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng . B1:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là Hàm bậc 2/ bậc 1 : ; yCĐ.yCT = , ax4 + bx2 + c = 0 (1). / dùng Viète với pt y = 0. Đặt t = x2 (điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành : 2 at + bt + c = 0 (2). 2/ Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ab 0, Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1) 3 cực trị ab < 0 9.Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm dương điểm cực tiểu (cực trị) 0 ax 2 bx c f ( x) phân biệt S 0 a) Hàm phân thức : y = = . dx e g ( x) P 0 B1: Điều kiện để có cực trị là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt . B2:Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có f '( xCD ) f '( xCT ) 4 nghiệm là : m ; n ; n ; m . B2: có 2 nghiệm xCĐ ; xCT thì yCĐ = & yCT = g '( xCD ) g '( xCT ) Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì m n 2 n f '( x) m = 9n (3) . B3:Kết luận :Đường thẳng qua cực trị là : y = . g '( x) n m S B3:Ap dụng định lí viet : (4) . b) Hàm đa thức :y = ax3 + bx2 + cx + d . n.m P B1:Điều kiện để có có cực trị là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt . Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng : B2:Chia đa thức :Lấy y chia y’ .Kết quả có dạng : m; n; n; m . 1 b 2(3ac b 2 ) 9ad cb y = y’(x) .[ x ]+ .x . BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : 3 9a 9a 9a a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của B3:Giả sử có hai nghiệm xCĐ ; xCT thì f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), yCĐ = ; yCT = số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác: đổi biến; cần biết mỗi B4:Kết luận :đường thẳng qua cực trị là:y = . biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t . 1/ Giải bất phương trình bằng đồ thị : f 10.Dạng 10:Vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối . 1) Hàm số y = f(|x|) . x a f<g a < x < b, f > g Phương pháp : b x g B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) . x a B2: Giữ nguyên phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x > 0 qua Oy f g a x b,f g a b 2) Hàm số y = |f(x)| . x b Phương pháp : 2/ Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị sao cho khoảng cách đó là B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) . ngắn nhất . B2: Giữ nguyên phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y <0 qua Ox3) f ( x) a Hàm số y = |f(|x|)| . B1: Từ y = đổi hệ trục toạ độ Y = (với a là hằng số ). g ( x) X Phương pháp :
  3. Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng a a 3 B2: Lấy A ; và B ; với 0; 0. thay vào phương trình y = f(x) ta thu được y 2 x3 x 1. 2 Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 (m 1)x 1 3 Vậy quĩ tích đồ thị hàm y 2 x3 x 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. 2 b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị x m b) y’ = 6[x2 (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 Giải. a) với m = 1, y = x3 + 3x2 1 x m 1 b) y’ = 3mx2 + 6mx (m 1). Điều kiện cần và đủ để y = f(x) Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng không có cực trị là phương trình f’ (x) = 0 không có hai nghiệm y’(x)<0 x (m, m + 1); y’(x)>0 x ( , m) (m + 1, + ) phân biệt, nghĩa là Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1. m 0 Điểm cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) 1 ta được y = 2x3 + 3x2 + 1. Vậy đồ thị của hàm y = 2x3 + 3x2 + 1 m 0 0 m 4 là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi. ' 9m 2 3m(m 1) 0 c) Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + mx2 m mà quĩ tích đã biết ở câu a). a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) = x4 mx3 (2m + 1)x2 + mx + 1 b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 0. c) Xác định m sao cho x 1 y 1. b) Tìm các điểm trên trục tung sao cho qua đó có thể kẻ được ba Giải a) m = 3 y = x3 + 3x2 3 tiếp tuyến với đồ thị của y = f(x) với m = 0. b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm c) Xác định m sao cho phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm khác số có cực đại và cực tiểu và ycđ. yct < 0 nhau lớn hơn 1. y’ = 3x2 + 2mx = x(3x + 2m). y’ = 0 x = 0 và x = 2m/3 Giải. a) Với m = 0, hàm số có dạng y = x4 x2 + 1 Hàm có cực đại và cực tiểu 2m/3 0 m 0 y 1 Vậy đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt m 3 3/2 3/4 c) y x 1 với x 1 y 0 m 1. Với m 1, m 0, ta có 2m / 3 1. - 2 /2 0 2 /2 x với m [ 1, 1]\ 0 để y x 1 với x 1 điều kiện đủ là b) f(x) là hàm chẵn nên trục tung là trục đối xứng. Nên qua điểm trên trục tung kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị thì phải có 1 tiếp 4m3 tuyến song song với trục hoành. Từ đó điểm cần tìm phải là điểm 1 y 2m / 3 m 27 M(0, 1). Ta kiểm tra điều đó. (vì y ( 1) = 1, y(1) = 1, y (0) = m đều thuộc [ 1, 1]). Giả sử y = ax + 1 là tiếp tuyến khác qua a. Khi đó phải có 4 2 4m 3 4m 2 xo xo 1 axo 1 Nhưng , m 1 m 1 khi m 1. 3 với xo là hoành độ tiếp điểm. 27 27 4 xo 2 xo a m = 0 cũng thỏa mãn. Kết luận m [ 1, 1]. Giải hệ đó (đối với (xo, a)) ta có các nghiệm (0, 0), và Ví dụ 3. Cho hàm số y = (m 2)x3 mx + 2 (1) 3 / 3, 4 3 / 9 . Từ đó các tiếp tuyến khác y = 1 là a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b) C minh rằng khi m (0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu. y 4 3/9 x 1 .Vậy điểm cần tìm là M (0, 1). c) C minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định. c) Phương trình x mx3 (2m + 1)x2 + mx + 1 = 0 (1) 4 Giải b) y’ = 3(m 2)x2 m 1 1 m (0, 2) m / 3(m 2) < 0 và phương trình y’ = 0 vô nghiệm. x2 m x 2m 1 0 (2) x2 x c) y = mx3 2x3 mx + 2 mx (x2 1) 2(x3 1) y = 0 1 1 Phương trình đúng với mọi m R Đặt t x . t’(x) = 1 2 > 0, do đó x > 1 thì t(x) > t(1) = 0. xo 0 yo 2 x x 2 xo xo 1 0 Bây giờ (2) có dạng t2 mt (2 1) = 0. (3) xo 1 yo 4 Vậy để có hai nghiệm lớn hơn 1, phương trình (3) phải có hai 3 yo 2 xo 1 xo 1 yo 0 nghiệm dương. Tức là phải có Đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định (0, 2), ( 1, 4), (1, 0). m 2 4 1 2m 0 m 2 8m 4 0 Ví dụ 4. Cho y = f(x) = 2x3 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + 1(1) S/2 m/2 0 m 0 a) Tìm quĩ tích điểm uốn p 1 2m 0 m 1/ 2 b) Tìm quĩ tích điểm cực đại c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm CĐ & CT của đồ thị. m 4 2 5,1 / 2 Giải. a) y’ = 6x2 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) 2m 1 mx 1 y” = 12x 6(2m + 1), y” = 0 x Ví dụ 6. Cho hàm số y (1) 2 x m y” đổi dấu khi x biến thiên qua (2m + 1)/2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. 2m 1 2m 1 b) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến không đổi? Vậy điểm uốn là U ,f . c) Cm rằng khi m thay đổi đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định. 2 2 d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng của đồ thị. 2m 1 2x 1 Từ x suy ra m , 2 2
  4. Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng 2x 1 3 4ab 2a Giải. a) Với m = 2, y 2 . Tập xác định R\ 2 (4a2+a)x2+(4ab 2a)x+b2 b c = 0 có nghiệm kép x = x 2 x 2 a(4a 1) Đồ thị có hai tiệm cận x = 2 và y = 2. m 1 b 4ab 2a 3 vậy: = (4a+1)m = 12ab 8a+b 1 Đ m y' 2 0 với x 2. 2a a(4a 1) x 2 4a 1 0 a 1/ 4 Vậy y giảm trên các khoảng ( , 2) và (2, + ). Bảng biến thiên 12ab 8a b 1 0 b 1/ 2 Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I của hai tiệm cận. 4a 2 a x 2 (4ab 2a)x b2 b c 0 c 1/ 4 1 m2 b) y ' 2 ,x m 1 2 1 1 x m Như vậy parabôn cần tìm là y x x 0 4 2 4 Nếu 1 m2 > 0 ( 1 < m < 1) thì hàm luôn đồng biến trên c) Giả sử (xo, yo) là điểm mà tiệm cận không đi qua. ( , m) và (m, + ). Từ đó phương trình yo = (m + 1)xo + m2 + m vô nghiệm, hay Nếu 1 m2 < 0 ( m [ 1, 1] thì hàm luôn nghịch biến trên phương trình m2 + (xo + 1)m + xo − o = 0 vô nghiệm mỗi khoảng xác định 1 2 1 1 Nếu 1 m2 = 0 ( m = 1) thì y không đổi = (xo + 1)2 − 4(xo− yo) < 0 yo xo xo 4 2 4 m=1 y 1 trên R\ 1 1 2 1 1 Đó là các điểm nằm trong parabôn y x x . m= 1 y 1 trên R\ 1 4 2 4 c) Giả sử (xo, yo) là điểm cố định. Khi đó ĐH Năm 2006: 1/ A : ( C ) y = 2x3− 9x2 + 12x − 4 a/ KSHS. xo m 3 b/Xác định m để pt : 2 x 9 x 2 12 x m 0 có 6 nghiệm pb. xo yo 1 m xo yo 0 m 2 x x 1 xo yo 0 xo yo xo 1, yo 1 2/ B : ( C) y a/ KSHS. 2 x 2 xo yo 1 xo 1 xo 1, yo 1 b) Viết pttt của ( C ) & vuông góc với tiệm cận xiên . Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định (1, 1) và ( 1, 1). 2 3 2 d) Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận tức là điểm (m, m). Khi HD: b/ k=-1 : x0 = −2 ;y 3 m thay đổi các điểm này vạch đường thẳng y = x. 2 2 3/ D: (C) y = x3 − 3x +2 a/ KSHS. m 1 x2 m2 b/ Đt (D) qua A(3;20) có hsg m. Định m để (D ) cắt ( C ) tại 3 Vd 7. Cho hàm số y x m điểm khác nhau . Đsố : m>15/4 và m ≠ 24. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 ĐH Năm 2005 : b) Chứng minh rằng với mọi m tiệm cận xiên của đồ thị luôn 1/ A : ( Cm ) y = mx +1/x a/ KSHS. tiếp xúc với một parabôn cố định. Xác định parabôn đó. b/Xác định m để HS có ctrị và khoảng cách từ cực tiểu đến tiệm c) Tìm tất cả các điểm mà tiệm cận xiên không đi qua 1 cận xiên bằng Giải Với m = 1, 2 2x2 1 1 y m 2 m y 2 x 1 8 1 m 1 x 1 x 1 7 CT ( ; 2 m ); d (m; tcx) 2 2 6 m m 1 m 1 2 a) * D = R\ 1 5 m2 2m 1 0 m 1 4 1 x 2 (m 1) x m 1 * y' 2 , 3 2/ B : ( C) y . a/ KSHS. x 1 2 2 x 1 1 x b) CMR: Với mọi m, ( Cm ) luôn có CĐ, CT và khoảng cách 2 -2 -1 1 2 3 giữa hai điểm đó bằng 20 . y’ = 0 x 1 2 HD: b/ Cđ( -2;m-3) CT(0;m+1). D = 20 2 2 1 3 m 2 1 y’ > 0 x ,1 1 , 3/ D: (Cm): y x x a/ KSHS. 2 2 3 2 3 2 2 b/ Gọi M (Cm) có xM = –1. Tìm m để tại M có tt // d: 5x − y = 0 y’ < 0 x ,1 1 . ĐH Năm 2004: 2 2 x 2 3x 3 Tiệm cận xiên y = 2(x + 1) Tiệm cận đứng x = 1 1/ A : ( C) y a/ KSHS. b) Ta có tiệm cận xiên y = (m + 1)x + m2 + m 2( x 2) Giả sử các tiệm cận xiên trên luôn tiếp xúc parabôn cố định y = b/ Tìm m để y = m cắt (C) tại A,B sao cho : AB=1 . ax2 + bx + c, a 0. HD: pt hđộ : x2 + (2m 3) x + 3 2m = 0 có ax + bx c m 1 x m 2 +m (1) 2 0 m 3 / 2; m 1/ 2 Ta có m 1 b 1 5 2ax b m 1 x (2) AB 1 x1 x2 1 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 m 2a 2 Từ đó : ax2 + bx + c = (2ax + b)x + (2ax + b) (2ax + b 1) 2/ B: ( C) y 1 3 x 2 x 2 3x a/ KSHS. 3 b/Viết pttt của ( C ) tại điểm uốn . CMR pttt nầy cóHSG nhỏ nhất Chú ý : a > 0: HSGóc NN, a < 0 : HSG lớn nhất . 3/ D: (Cm) y x 3 3mx 2 9 x 1 a/ KSHS khi m = 1
  5. Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng b/ Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường thẳng y = x +1. b/Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt HD: I thuộc đt m=0, m = 2 HD: pt t2 − mx + m −1 = 0 Có hai nghiệm dương ĐH B Năm 2003 :(C) y x 3 3 x 2 m a/KSHS khi m = 2 . (m 2) 2 0 m 1 b/Tìm m để ( Cm ) có hai hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ . S m 0 HD : YCĐB xo ≠ 0 sao cho y(x0) ≠ − y(−x0) m 2 2 P m 1 0 Thế x0 vào hai vế để phương trình có 2 ngh: 3 x0 m m 0. 1 3 1 ĐH Năm 2002: DỰ BỊ 3 –2002:(C) y x mx 2 2 x 2m 3 3 1/A: (C): y x 3 3mx 2 3(1 m 2 ) x m3 m 2 a/KSHS khi m =1 a/ Cho m = ½ . Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số , b/Tìm k để x 3 3 x 2 k 3 0 có 3 nghiệm phân biệt. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp c/ Viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị của ( Cm ) tuyến đó song song với đường thẳng D: y = 4x + 2 b/ ( 0 k 3 3k 2 4 1 k 3; k 0; k 2 ) c/ Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi c/ (Cm) có cực trị với mọi m .Chia y cho y/ ta có : y = 2x+ m− m2 đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích 2/ B: y mx 4 ( m 2 9) x 2 10 a/KSHS khi m =1. bằng 4. Hd: b/ 2 tt : ( d1) y=4x-26/3 ; ( d2) y=4x+73/6 b/Tìm m để HS có 3 ctrị . 1 3 DỰ BỊ 6 –2002:Cho ( C ) y x 2 x 2 3x a/ KSHS x 0 3 HD: b/ y’= 2x( 2mx2 + m2 − 9) = 0 . b/Tính diện tích hình phẳng: ( C ) và Ox . ĐS : S= 9/4 ( Đvdt ) 2mx 2 m 2 9 0(2) m 0 Tự luyện m 3 (2) Có 2ngh ph biệt khác 0 9 m 2 Bài 1: Cho hàm số y ( x m)3 3x (1) x2 0 m 2 2m 1/Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1 DỰ BỊ 1 B:Cho ( C ) y x 4 6 x 2 5 ; a/ KSHS. 2/Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0 4 2 3 b/ Tìm m để phương trình x − 6x − log 2 m 0 có 4 ngh ph biệt x 1 3x k 0 1 3/Tìm k để hệ sau có nghiêm 1 1 HD: 4 log 2 m 5 5 9 log 2 m 0 m 1 log 2 x 2 log 2 ( x 1)3 1 29 2 3 DỰ BỊ 1A/2004:Cho (C) y x 4 2m 2 x 2 1 ; x 1 Bài 2: Cho hàm số y (1) a/KSHS khi m = 1. x 1 b/Tìm m để HS có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân . 1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm HD: y’= 0 x=0 ;x= m . Vậy HS có 3 ctrị khi m ≠ 0 2) Tìm m để đường thẳng D:y = 2x + m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song nhau Gọi A(0;1); B; C có hoành độ m và có tung độ là : 1− m4. 3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M AB ( m ; m 4 ); AC ( m ; m4 ) . đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất Vì y là hàm số chẵn nên AC = AB . YCĐB x 2 Bài 3: Cho hàm số y (1) . Cho điểm A(0;a). Xác định a AB. AC 0; m 0 m 2 m8 0 m6 1 m 1 x 1 để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tương DỰ BỊ 1 B –2004 Cho y x 3 2mx 2 m2 x 2 ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox a/KSHS khi m = 1 . HD a ≠−1 & a > − 2 có 2 nghiệm phân biệt. y1.y2 < 0 b/Tìm m để HS đạt cực tiểu tại x=1 . ĐS a> − 2/3 và a ≠ 1 y , (1) 0 Bài 4: Cho hàm số y x 4 2 m 2 x 2 1 (1) HD: y đạt ctiểu tại x = 1 ,, m 1. y (1) 0 1/ Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1 DỰ BỊ B1 –2003: ( C) y ( x 1)( x mx m) 2 2/Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân a/KS-HS ( C )khi m=4 . b/Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt . Bài 5: Cho hàm số y x 4 4 x 2 m (1) .Giả sử đồ thị cắt trục HD: x 2 mx m 0 có 2 ngh ≠1 m < 0 V m > 4 và m ≠ ½ hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác định m sao cho hình phẳng 2x 1 giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên DỰ BỊ B2 –2003: ( C) y a/KSHS. và phần phía dưới đối với trục hoành bằng nhau x 1 HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4, là nghiệm b/Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm M (C): tiếp tuyến x3 x4 của ( C ) tại M vuông góc IM . Strên= Sduói f ( x)dx f ( x)dx . HD : Ta có ktt .kIM = −1. Mà ktt = −1/(xM−1)2 kIM = (xM−1)2 0 x3 x 1 xM 1 Vận dụng tính chất đối xứng , định ly Viét m = 20/9. Mặt khác I(1;2) kIM = M =1 yM 2 1 Bài 6 : Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 . xM 1 1) Khảo sát và vẽ (C) . xM 0 yM 1 2) Cmr tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Vậy : (xM −1)2 = 1 Vậy : M(0;1) M(2;3) . 3) Tìm các điểm trên (C) vẽ đúng một tiếp tuyến đến (C) . xM 2 yM 3 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) . DỰ BỊ D2 –2003: (C) y 2 x3 3 x 2 1 a/ KSHS . a) Tại diểm M(-1 ;-2) b/ ( d ) qua M(0;1) có HSG là k, tìm k: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân b) Qua diểm A( -1;-2) biệt. (k > 9/8 và k 0) c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x+1 . 5) Tìm các điểm trên đường thẳng :y= -2 có thể vẽ đến (C) DỰ BỊ 1 –2002: y x 4 m x 2 m 1 ; a) 3 tiếp tuyến . b) 2 tiếp tuyến vuông góc . a/KSHS khi m =8. 6) Biện luận theo m số nghiệm của pt :
  6. Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng a) x 3 3 x 2 2 m3 3m 2 2 8) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến của ( C ) đi qua giao 3 điểm 2 đường tiệm cận . b) x 3x 2 2 m 9) Tính thể tích tạo bởi hình phẳng giới hạn bới (C ) và hai trục 7) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M (-1, -2 ) có hệ số góc là tọa độ khi quay quanh trục Ox . m. Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt có 10) Tìm hai điểm trên hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách hoành độ âm . giữa chúng nhỏ nhất . 8)Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M , A , B sao cho tiếp 11) Tìm hai điểm trên (C) đối xứng qua đường thẳng y = x −1 . tuyến tại A và B vuông góc . 12) Tìm m Để (C) cắt d : y = − x+ m tại hai điểm phân biệt A; B: 1 a) AB ngắn nhất 9)Tìm m để 3 m, x 2; 1 x 3x 2 2 b) AB = 2 2 10)Giải phương trình x 3 3 x 2 2 1 c) Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Bài 7 : Cho hàm số y = 2 x 3 3(m 3) x 2 18mx 8 . ( Cm ) 13) Từ dồ thị (C ) suy ra đồ thị các hàm số : 2x 1 2x 1 2x 1 1) Khảo sát hàm số khi m = 1 . a) y ; b) y ; c) y 2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x= 1 . x 1 x 1 x 1 3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . 2x 1 4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương . 14) Tìm m để phương trình m có 2 nghiệm phân biệt . 5) Tìm m để hàm số có cđại và ctiểu tại x1 , x2 : x1 2 x2 1 x 1 2x 1 6)Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục Ox . 15) tìm m để phương trình = m có 4 nghiệm phân biệt . 7) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị . x 1 9) Tìm m để (Cm) có 2 cực trị đối xứng qua đthẳng x - 4y -18 = 0 Ứng dụng của khảo sát hàm số 10) Chứng minh rằng khi m thay đổi (Cm) đi qua hai điểm cố Một số kiến thức cần nhớ định A và B . 11) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định A và B song song Phương pháp tìm GTLN,GTNN trên một khoảng, một đoạn với nhau . Xác định tham số để các phương trình hoặc bất phương trình 12) Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với trục Ox . có nghiệm VD 13) Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua Ox. F(x) = m m thuộc [MinF(X); MaxF(x)] 14) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn đi qua gốc tọa độ O . F(x) > m với mọi x . . m < minF(x) 15)Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập F(x) < m có ngiệm . . m > MaxF(x) . . . thành cấp số cộng . Chú ý khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới có thể sử dụng Bài 8 : Cho hàm số y x 4 (m 2 10) x 2 9 . phương pháp miền giá trị 1) Khảo sát và vẽ (C) khi m= 0 . x 1 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới (C) và đthẳng y = 9 . Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của y trên đoạn [-1;2] x2 1 3) Tìm k để ph trình x 4 10 x 2 9 k có 8 nghiệm phân biệt ln 2 x 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) . Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [1;e3] y x a) Tại các điểm uốn . b) Đi qua giao điểm của (C) và trục tung . Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của y x6 4(1 x 2 )3 trên đoạn [-1;1] c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −16x + 1 . Bài 4: Tìm m để bất pt (1 2 x).(3 x) m (2 x 2 5 x 3) có 5) Tìm các điểm trên (C) vẽ đến (C) ba tiếp tuyến . nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3] 6) Tìm n để đường thẳng y = n cắt (C) tại 4 điểm phân biệt A,B,C ,D sao cho AB =BC = CD . HD Đặt t= (1 2 x).(3 x) Từ miền xác đinh của x suy ra 7) Tìm m để đồ thị (1) có 3 cực trị .Viết phương trình Parabol đi 7 2 qua 3 điểm cực trị . t 0; . Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2. 4 8) Tìm m để đồ thị (1) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân . Tìm miền giá trị của VT m < − 6 9) Gọi M là điểm nằm trên (C) .Viết phương trình tiếp tuyến d Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau thoả mãn với mọi của (C) tại M .Tìm giao điểm P, Q khác M của d và (C) .Tìm M x thuộc [0;1] : a.( x 2 x 1) ( x 2 x 1) 2 . để M là trung điểm của P, Q . HD Đặt t = x2 + x − 1 dùng miền giá trị suy ra a = −1 10) Chứng minh rằng với mọi m để đồ thị (1) luôn cắt trục Ox Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm tại 4 điểm phân biệt .Chứng minh rằng trong các giao điểm đó có x2 x 1 x2 x 1 m . HD −1 < m < 1 2 điểm nằm trong khoảng ( 3;3) và hai điểm nằm ngoài ( 3;3) . Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x 2x 1 3cos 4 x 5.cos 3 x 36.sin 2 x 15cos x 36 24 m 12 m 2 0 Bài 3 : Cho hàm số y . x 1 HD Đặt t=cosx BBT 0 ≤ m ≤ 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Bài 8: Tìm m để phương trình 2 2sin 2 x m(1 cos x)2 có 2) Tính diện tích giới hạn trục tung trục hoành và (C) . nghiệm trên [- /2; /2] 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A( -1;3) . 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm y 2sin 8 x cos 4 2 x trục tung . HD : 3 và 1/27 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm thẳng: y + x +5=0 y 2 x 2 x (4 x 4 x ) voi 0 x 1 . 6) Gọi M (C ) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B . Bài 11: Tìm m sao cho hàm số y = − x3 − m2x + 2 đạt GTNN trên Chứng minh rằng 1, bằng 1. Đáp số : là những giá trị cần tìm. a) M là trung điểm AB b) Diện tích tam giác IAB là một hằng số Tiệm cận 7) Tìm điểm M ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất .
  7. Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng 2 2x x 1 BT1(ĐHSP TPHCM 2001 Khối D )Cho (C) y x 1 CMR tích các khoảng cách từ M (C) đến 2 tiệm cận không đổi. 2x2 mx 2 BT2(ĐHSP TPHCM 2001 Khối A )(Cm): y x 1 Tìm m để tiệm cận xiên tạo với 2 trục một tam giác có diện tích bằng 4.
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản