Chuyên đề luyện thi ĐH phần lượng giác

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
446
lượt xem
123
download

Chuyên đề luyện thi ĐH phần lượng giác

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. ...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề luyện thi ĐH phần lượng giác

  1. Chuyên đề lượng giác ồ Văn Hoàng Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng Tương tự đối với pt : cosax cosbx = 1 ; sinax cosbx = 2 giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể *Đôi lúc giải PTLG ta còn dùng phép đổi biến cho phần cung cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng lượng giác .Chẳng hạn với phương trình : giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương sin 3 x sin 2 x.sin x . Ta có thể đặt t = x + 4 4 4 trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết 3x 3t sin 3 x sin(3t ) sin 3t quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các 4 4 yêu cầu tối thiểu sau đây : 1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng 2x 2t sin 2 x sin 2t sin 2t giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các 2 2 cung(góc) đặc biệt. Khi đó: sin3t = sin2t.sint 3sin t 4sin 3 t 2 cos t.sin 2 t 2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc phương trình này ta có thể thực hiện nhiều cách giải dễ dàng. biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp . 3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy * Chú ý: Đối với các công thức sinx ; cosx = 2 sin x 4 điều kiện) trước khi tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều các công thức nhân ba ; công thức hạ bậc theo tang của cung chia kiện khi có kết quả. đôi khi dùng phải chứng minh . * Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường rất đa dạng.Chẳng hạn : Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì -Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một biến đổi tương đương về ph trình chỉ chứa một hàm lượng giác. trong các đồng nhất sau: Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của nhiều cung Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x. khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các Ví dụ : Giải phương trình : hàm lượng giác của một cung. a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x Sau khi biến đổi như trên nếu phương trình nhận được không có b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 dạng quen thuộc thì có thể đi theo hai hướng: c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x 4 4 -Nếu cần biến đổi cos x-sin x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng Hướng thứ nhất: Biến đổi phương trình đã cho để đưa về việc giải phương trình một trong các đồng nhất sau: đơn giản quen thuộc. Các phương pháp biến đổi gồm có: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x. *Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp hạ bậc toán như:1 sin2x = (sinx cosx)2 Phương pháp biến đổi thành phương trình tích 3 Phương pháp tổng các số hạng không âm cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x Phương pháp đánh giá Phương pháp hàm số 4 Hướng thứ hai 1 2 1 cos 2 2 x 3 cos 4 x Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm cos 4 x sin 4 x 1 sin 2 x 2 2 4 Bài 1 ĐHYD98 (1 tan x)cos 3 x (1 cot x) sin3 x 2 sin2 x 6 6 3 2 1 3cos 2 2 x 5 3cos 4 x sinx 0; cosx 0 cos x sin x 1 sin 2 x 4 4 8 ĐK: sinx.cosx 0 sin 2 x 0 * Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx ± sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ; cos4x − sin4x ; cos3x − sin3x ; 1 + tanx; pt cos 3 x( sinx cosx ) sin3 x( sinx cosx ) 2 sin 2 x cosx sinx cotx − tanx ; 2 sin x …. 4 cos 2 x( sinx cosx) sin2 x( sinx cosx) 2 sin2 x * Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các sinx cosx 0 hướng sau: 2sin2 x sinx cosx 2 +Hạ bậc phương trình(nếu có). ( sinx cosx) 4sinx.cosx +Đưa về cùng cung: sinx 0 cosx 0 sinx 0 cosx 0 -Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ. 2 2 sin x cos x sin 2 x sin 2 x 1 -Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi về phương trình tích sinx 0 Cosx 0 (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử x k ;( k ) chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai) 2x k2 4 -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các 2 hạng tử hơn,kém nhau 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia Bài 2:A96 Giải phương trình: tanx - tanx.tan3x = 2 hai vế của phương trình cho coskx hoặc sinkx (k là bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn ĐK: chứa duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ. * Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức ( pt ) tan x(tan x tan 3x ) 2 thường được dùng để ước lượng như: sin x 1 ; cos x 1 ; sin( x 3 x) sin 2 x tan x 2 tan x 2 a sin x b cos x a 2 2 b ; cosx.cos3 x cosx.cos3 x m n sinx 2sinx.cosx 2 sin 2 x sin x cos x sin x cos 2 x 1 (với m, n 2 N ; m, n 3 ) . 2 2 cosx cosx.cos3 x cosx.cos3 x sin ax 1 -Đối với phương trình sinax sinbx = 2 2 sin 2 x cosx.cos 3x cos 2 x 1 cos 4 x cos 2x sin bx 1 k (dấu lấy tương ứng) cos 4 x 1 4x k2 x ; (k ). 4 2
  2. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng Bài 3: ĐHHH96 Giải 5 3sin 2 x 4cosx 1 2cosx 1 2cosx 0 ( pt ) 5 3sin 2 x 4cosx (1 2cox) 2 1 Bài 10: Giải tan x.sin 2 x 2sin 2 x 3(cos 2 x sinx.cosx ) cosx 2 ĐK: cosx 0 x k ;k 5 3(1 cos 2 x) 4cosx 1 4cosx 4cos 2 x 2 sin3 x ( pt ) 2 sin 2 x 3(cos 2 x sin 2 x sinx.cosx) cosx Chia 2 vế cho cos2x ≠ 0 có tan 3 x 2 tan 2 x 3(1 tan 2 x tan x) Bài 4:ĐHAN Giải phương trình: tanx + cotx = 4 tan 3 x tan 2 x 3 tan x 3 0 (tan x 1)(tan 2 x 3) 0 sinx 0 k ĐK sinx.cosx 0 sin 2 x 0 x ;(k ) cosx 0 2 tan x 1 tan x tan( ) x k 4 4 sinx cos 4 x sin x cos x 2 2 ;(m, k ). pt . 4 4 1 4sinx.cosx tan 2 x 3 cosx sin4 x sinx.cosx tan 2 x tan 2 x m 3 3 1 sin 2 x sin 2 x sin 2 6 cos 2 x 1 1:A03/ cot x 1 sin 2 x sin 2 x ds : x k 1 tan x π x 2 π + k2 4 π π π 2x k2 x k 6 12 2 ;(k ). 2:B03/ cotx - tanx + 4sin2x = KQ: x=± +k 5 sin2x 3 2x k2 2x k 6 12 2 x 2 2 3:D03/ sin - tan x-cos =0 KQ: x = π; x=- +kπ 2 2 4 2 4 Bài 5: ĐHNT97 Giải phương trình: 2tanx + cotx= 3 sin 2 x 4:A04/ Tinh các góc của tam giác ABC không tù ,thoả mãn : sinx 0 k cos 2 A 2 2 cos B 2 2 cos C 3 Đk: x ;k cosx 0 2 A 90o 2 2 Giải: M 0 sinx cosx sin x cos x 2 B C 45o Ta có: tanx+cotx= π; x π cosx sinx sinx.cosx sin 2 x π 5π 2 2 5:B04/ 5sinx-2=3 1-sinx tg x. KQ: x = + k2 = +k2 pt tan x cotx tan x 3 π; x = - + kπ 6 6 sin 2 x 6:D04/ 2cosx-1 2sinx+cosx =sin2x-sinx 2 2 tan x 3 tan x 3 π π sin 2 x sin 2 x KQ: x = ± + k2 3 4 x k ;( k ) 7:A05/ Cos23xcos2x –cos2x = 0 3 Hd:hạ bậc đưa về pt bậc2 theo sin4x. Đs: x = k. /2 Bài 6:ĐHVHHN98 Giải phương trình: 8:B05: 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 cos10 x 2cos 2 4 x 6cos3 x.cosx cosx 8cosx.cos 3 3x 2 KQ : x k ;x k2 pt cos10 x 2cos 2 4 x cosx 2cosx(4cos 3 3 x 3cos3 x) 4 3 cos10 x 1 cos8 x cosx cos10 x cos8 x 3 9:D05/ cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 0 cosx 1 x k2 ;(k ). 4 4 2 Bài 7:ĐHHVNH98 Giải phương trình: sin 6 x cos 6 x cos 4 x 3 1 2sin 2 x.cos 2 x [sin 4 x sin 2 x ] 0; ds : x k sin 6 x cos 6 x ( sin 2 x cos 2 x )3 3( sin 2 x.cos 2 x (sin 2 x cos 2 x ) 2 2 4π 3 2 3 1 cos 2 4 x 5 3 x 3 1 sin 2 x 1 ( ) cos 4 x 10:db1.A05/ Tìm x (0; ): 4sin 2 - 3cos2x=1+2cos 2 x- 4 4 2 8 8 π 2π 7π 2 π π 17π 5π 4 5 3 k 5 5 ( pt ) cos 4 x cos 4 x cos 4 x 1 x ;(k ). x= +k hay x = - + h2 . KQ x ; ; 8 8 2 18 3 6 18 18 6 1 (Chọn k = 0; k = 1; h = 1) Bài 8:ĐHHN98 Giải sin3 x.cosx cos3 x.sinx 11:db2.A05/ π; π 4 3 π π π 2 2 1 2 2cos x - - 3cosx - sinx = 0. KQ: x= +k x= +k ( pt ) sinx.cosx( sin x cos x) 4 sinx.cosx( cos 2 x) 1 4 2 4 4 k π cos2x - 1 π sin 4 x 1 k2 4x x ;(k ). 12:db2.B05/ tan + x - 3tan 2 x = 2 . KQ: x=- +kπ 2 8 2 2π sinx cos x 4 3 3 2 Bài 9:Giải phương trình cos x 4 sin x 3cosx.sin x sinx 0 3 13:db1.D05/ tan -x + = 2. ( pt ) cosx.cos 2 x 4 sin3 x 3cosx.sin2 x sinx 0 π; 2 = x + k2πcosx 1+ cosx(1 sin 2 x) 4sin3 x 3cosx.sin2 x sinx 0 π 5π KQ:x = + k2 3 2 6 6 (cosx sinx ) 4sin x 4cosx.sin x 0 14:db2D05/ sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0
  3. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng π; x = π + k2π; x = ; x = + π π; x= 5ππ+kπ π π π π 5π 34:B08/ sin x3 3 3 cos x sin x.cos x 2 3 sin 2 x cos x KQ: x = + k2 k2 2 6 6 k KQ : x ;x k 2 cos 6 x + sin 6 x - sinx.cosx 5 4 2 3 15:A06/ = 0. KQ: x = + 2k 35:D08/ 2sinx(1+cos2x) + sin2x =1 +2cosx 2 - 2sinx 4 2 x ds : x k ;x k2 16:B06/ cotx+sinx 1+tanx.tan = 4. KQ: x= +k 4 3 2 12 12 36)Tham khảo 2004: 4(sin3x +cos3x ) =cosx +3sinx. 2 1 1 17:D06/ cos3x +cos2x –cosx -1 = 0. KQ : x k ;x k2 37) Tham khảo 2004: 2 2 cos x 3 cos x sin x 4 18:db1.A06/ 38)TK 2004: sin x sin 2 x 3 cos x cos 2 x π 7π x 2 / 9 k 2 / 3;.. x k2 19:db2.A06/ 2sin 2x- +4sinx+1=0. KQ: x= +k2π; x=kπ Cao đẳng năm2006 6 6 1)sin3x + cós3x =2(sinx +cosx) -1. HD: t = sinx +cosx π π 2)4cos2x – 6sin2x + 5sin2x – 4 = 0. HD: tanx(tanx −1) = 0 20:db1.B06/ 2sin 2 x-1 tg 2 2x+3 2cos2 -1 =0. KQ: x = ± +k π; x = + k2π; x = π + k2π 6 2 3)sin3x = sinx + cosx. HD: cosx(sinx.cosx −1) = 0 21:db2.B06/ cos2x+ 1+2cosx sinx-cosx =0 4) 1+cos2x +cos4x = 0. HD: cos2x(2cos2x −1) = 0 π π 5) 2sin2x -cosx – 1 = 0. KQ: x = +k 6) 2sinx +cosx =sin2x +1. HD: (1 − cosx)(2sinx −1) = 0 4 2 7) sin2x +cos2x +sinx -2cos2x/2= 0.HD (cosx –sinx)(2sinx−1)= 0 22:db1.D06/ cos3 x sin 3 x 2 sin 2 x 1. 8)sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) Đưa về dạng: cos2x(sin3x – cos3x) = 0 9)2cos2x + 5sinx -4 = 0 KQ : x k ; x k2 ; x k2 4 π; xx = ± + k2π; x2= k2π π; = + k2π 10) (1+sinx)(1+cosx) = 2. HD: t = sinx + cosx 23:db2.D06/ 4sin 3 x+4sin 2 x+3sin2x+6cosx=0. 3x x 11) sin 3.sin Đặt π 2π 4 2 4 2 KQ: x = - + k2 2 3 pt sin 3t 3sin t sin 3t 3sin t 24:A07/ 1 + sin 2 x cosx + 1 + cos2 x sinx = 1 + sin2x 3sin t 4sin 3 t 3sin t sin t 0 x k2 π π 2 KQ: x = - + k 12)cos7x +sin8x = cos3x –sin2x. HD: sin5x(cos3x-sin2x) =0 4 2 1 25:B07/ 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x 13) sin 3 x cos3 x 1 sin 2 x. HD: t = sinx +cosx 2 2 5 2 KQ : x k2 ; x k ;x k 2 8 18 3 18 3π π; x= π π 14) 2 sin x cos x tg x 4 2 x x 26:D07/ sin +cos + 3cosx=2. KQ: x = +k2 - +k2 2 2 2 6 x k 4 1 1 sin x 2sin 2 x 1 0 27:db1.A07/ sin 2 x sin x 2 cot 2 x. 4 2 2 2sin x sin 2 x x k2 3 2 15) sin 4 x cos 4 x 2 3 sin x.cos x 1 cos 2 x 3 sin 2 x 1 27: KQ : x k 28: KQ: x k 4 2 3 Phương pháp đổi biến: Để giải phương trình lượng giác bằng 28:Db2.A07/ 2 cos 2 x 2 3 sin x cos x 1 3 sin x 3 cos x . phương pháp đổi biến, ta sử dụng biến t để chuyển phương trình π x π 3x π;x=- +kπ. ban đầu về chứa các cung t, 2t, 3t,…, kt, rồi sử dụng các công 5x thức góc nhân đôi, nhân ba,… 29:db1.B07/ sin - - cos - = 2cos . 2 4 2 4 2 2 Ví dụ 1: Giải sin(2x - ) = 5sin(x - ) + cos3x (1) KQ : x k ;x k2 ; x k2 3 6 3 3 2 sin 2 x cos 2 x Đặt t = x - 2x - = 2t và 3x = 3t + 30:db2.B07/ tan x - cot x.; x k2 6 3 2 cos x sin x 3 Khi đó (1) sin2t = 5sint + cos(3t + ) sin2t = 5sint - sin3t 31:db1.D07/ 2 2 sin x - cos x 1.KQ : x k ;x k 2 12 4 3 sin3t + sin2t = 5sint 3sint - 4sin3t + 2sint.cost = 5sint π (3 - 4sin2t + 2cost - 5) sint = 0 (2sin2t - cost + 1)sint = 0 32:db2.D07/ 1- tan x 1 sin 2 x 1 tan x.KQ : x=k 2 4 (2cos t + cost - 3) sint = 0 sin t 0 1 1 7 cos t 1 33:A08/ 4sin x . sint = 0 t=k x- =k sin x 3 4 3 6 sin x cos t (loại) x= +k ,k 2 2 6 5 3 x 1 3x KQ : x k ;x k ;x k Ví dụ 2: Giải sin( ) = sin( ) (2) 4 8 8 10 2 2 10 2
  4. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng 3 x 3x 1 Giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc. Đặt t = - 3t = . (2) sint = sin( 3t ) 10 2 10 2 2 Để giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc, ta 2sint = sin3t 2sint = 3sint - 4sin3t 4sin3t - sint = 0 thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. (4sin2t - 1)sint = 0 (1 - 2cos2t)sint = 0 Bước 2: Thực hiện hạ bậc của phương trình bằng việc sử dụng sin t 0 t k t k các công thức: 1 21 cos 2t 2t k2 t k Ví dụ 1: Giải sin24x - cos26x = sin(10x + ) (1) 2 3 6 2 3 x 3 1 cos8 x 1 cos12 x k x k2 Phương trình (1) sin(10 x 10 ) 10 2 5 2 2 2 3 x 4 2cos10x + cos12x + cos8x = 0 k x k2 10 2 6 15 2cos10x + 2cos10x.cos2x = 0 3 x 14 (cos2x + 1)cos10x = 0 k x k2 10 2 6 15 2x k2 x k cos 2 x 1 2 Ví dụ 3: Giải sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) (3) ,k 4 4 cos10 x 0 10 x k k 2 x 20 10 3x 3t Ví dụ 2: Giải phương trình sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (2) Đặt t = x + suy ra 4 Sử dụng công thức hạ bậc ta có: 4 2x 2t 1 cos 6 x 1 cos8 x 1 cos10 x 1 cos12 x 2 (2) 2 2 2 2 (2) sin(3t - ) = sin(2t - ).sint - sin3t = - cos2t. sint (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = 0 2 - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = 0 - 2sin9x(sin3x + sinx) = 0 3 2 3sint - 4sin t = (1 - 2sin t)sint sin3t - sint = 0 - 4sin9x.sin2x.cosx 2 2 (sin t - 1)sint = 0 cos t.sint = 0 cost.sint = 0 sin 9 x 0 k k k x sin2t = 0 2t = k t= x+ sin 9 x 0 9 2 4 2 sin 2 x 0 ,k sin 2 x 0 k k cos x 0 x x=- ,k . Vậy phương trình có 1 nghiệm 2 4 2 Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử Ví dụ 4: Giải 2cos( x ) = sin3x - cos3x (4) bằng 3). Thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó 6 mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc. Cụ thể ta xét ví dụ sau: Đặt t = x 3x = 3t - Ví dụ 3: Giải phương trình sin23x - sin22x - sin2x = 0 (3) 6 2 1 cos 6 x 1 cos 2 x (3) sin 2 2 x 0 2 2 (4) 2cost = sin(3t - ) - cos(3t - ) 2cost = - cos3t - sin3t 2 2 2 (cos6x−cos2x) + 2sin 2x = 0 -2 sin4x.sin2x + 2sin22x = 0 2cost = - (4cos t - 3cost) - (3sint - 4sin3t) 3 - 2sin2x(sin4x - sin2x) = 0 4cos3t - cost + 3sint - 4sin3t = 0 (5) k x Ta xét hai trường hợp: sin 2 x 0 2 ,k TH1: Với cost = 0 t= k ,k sin 4 x sin 2 x x k 2 6 3 Khi đó phương trình có dạng: 3sin( k ) - 4sin3( k )=0 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: sin32x .cos6x + sin6x .cos32x = 2 2 8 (Vô lý). Vậy t = k không là nghiệm của phương trình. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau để biến đổi cho VT: 2 Cách 1: Ta có: VT = sin22x.sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.cos22x = (1 - 2cos2x).sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.(1 - 2sin22x) TH2: Với cost ≠ 0 k ,k t≠ = sin2x.cos6x + sin6x.cos2x - cos22x.sin2x.cos6x - 2 Chia cả hai vế của phương trình (5) cho cos3t, ta được: sin6x.cos2x.sin22x 4−(1+tan2t)+3(1+tan2t)tant−4tan3t=0 tan3t+tan2t−3tant−3 = 0 = sin8x - cos2x.sin2x.(cos2x.cos6x + sin6x.sin2x) tan t 1 1 3 = sin8x - sin4x.cos4x = sin8x 2 4 (tant + 1)(tan2t - 3) = 0 tan t 3 Cách 2: Ta có: tan t 3 1 1 VT = (3sin2x - sin6x)cos6x + (3cos2x + cos6x).sin6x 5 4 4 t k x k x k 3 3 4 6 4 12 = (sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) = sin8x 4 4 t k x k x k ,k Phương trình được biến đổi về dạng: 3 6 3 6 k x t k x k x k 3 3 1 48 4 3 6 3 2 sin8x = sin8x = ,k . 4 8 2 5 k Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. x 48 4
  5. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng Phương trình lượng giác 5 7 8/. sin( 2 x ) – 3cos( x ) = 1 + 2sinx Loại 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai , bậc cao với 1 hàm 2 2 9/. cos2x + 5sinx + 2 = 0 10/. cos2x + 3cosx + 2 = 0 số lượng giác 11/. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 12/. cos2x + sinx + 1 = 0 Cách giải chung. 13/. 3 tan 2 x 1 3 tan x 1 0 14/. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 b1. Đặt HSLG theo t ( với t = sinx hoặc t = cosx thì có đk t 1 ) 2 2 15/. cos 3xcos2x – cos x = 0 16/. cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 b2. Giải phương trình theo t ( chẳng hạn f(t) = 0 ) b3. Chọn t thoả mãn điều kiện và giải theo phương trình lượng Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx giác cơ bản để tìm x dạng: asinx + bcosx = c (1) Chú ý: 1.Phương trình cơ bản. (k ) Điều kiện có nghiệm Điều kiện vô nghiệm u v 2k (1) có nghiệm a2 + b 2 c2 (1) vô nghiệm a2 + b 2 < c2 . sinu = sinv cosu = cosv u v 2k u v 2k cotu = cotv u=v+k Cách giải 1: tanu = tanv u=v+k b1.Chia 2 vế của (1) cho a 2 b 2 Đặc biệt: ( cần ghi nhớ ) ( k ) b2.Biến đổi về dạng: sinu = sinv (hoặc cosu = cosv ) (2) b3.Giải (2) và kết luận. º sinx = 0 x= k º sinx = 1 x= + k2 º sinx = –1 x= – + k2 2 2 Chú ý: º cosx = 0 x= +k º cosx = 1 x = k2 º cosx = – 1 x= +k2 Sau khi biến đổi asinx + bcosx thành dạng C. sin x hoặc 2 C. cos x ta có thể dùng máy tính cầm tay (MTCT) để tính º tanx = 0 x=k º tanx = 1 x= +k º tanx = – 1 x 4 nghiệm của phương trình. =– +k 4 Cách giải 2: 2. Phương trình bậc nhất theo 1 HSLG b a.sinx + b = 0 (a 0) a.cosx + b = 0 (a 0) b1. Chia 2 vế của (1) cho a. Đặt tg a b b b b sinx = – sin ( nếu 1) cosx = – cos ( nếu 1) b2.Biến đổi về dạng: sinu = sinv ( hoặc cosu = cosv ) (2) a a a a b3.Giải (2) và kết luận. a.tanx +b = 0 (a 0) a.cotx + b = 0 (a 0) Cách giải 3: b b tanx = tg cotx = cot g x 2t 1 t2 a a b1. Đặt t tg , với sin x , cos x 3.phương trình bậc hai theo 1 HSLG 2 1 t2 1 t2 a.sin2x + b.sinx + c = 0 (3.1) 2 b2. Giải phương trình bậc hai theo t: (b c)t 2at b c 0 a.cos2x + b.cosx + c = 0 (3.2) b3. Kết luận a.tan2x + b.tanx + c = 0 (3.3) a.cot2x + b.cotx + c = 0 (3.4) Đăc biệt : sin x cos x 2 sin( x ) 2 cos( x ) Cách giải. 4 4 b1.Dùng ẩn phụ: BT2. Giải các phương trình sau (3.1) Đặt X = sinx ; (3.2) Đặt X = cosx , ĐK:–1 X 1 1/. 3cosx + 4sinx = – 5 2/. 2sin2x – 2cos2x = 2 (3.3) Đặt X = tanx ; (3.4) Đặt X = cotx 2 3/. 5sin2x – 6cos x = 13 4/ 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 4 ta được phương trình a.X2 + b.X + c = 0 (2) 2 6 5/ cos 7 x 3 sin 7 x 2 0 . Tìm nghiệm x ( ; ) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) 5 7 b3.Dùng phương trình cơ bản giải phương trình tìm x. Kết luận 6/ ( cos2x – 3 sin2x) – 3 sinx – cosx + 4 = 0 4. Phương trình bậc hai theo 1 HSLG a.sin3x + b.sin2x + c.sinx + d = 0 (4.1) Loai 3. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + d = 0 (4.2) dạng: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d (1) a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = 0 (4.3) Cách giải 1: a.cot3x + b.cot2x + c.cotx + d = 0 (4.4) b1.Tìm nghiệm cosx = 0 Cách giải: b2.Với cosx 0.Chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được: b1.Dùng ẩn phụ: a.tan2x + b.tanx + c = d.(1 + tan2x) (2) (4.1) Đặt X = sinx , – 1 X 1 (4.2) Đặt X = cosx b3.Giải (2) và kết luận. , –1 X 1 Cách giải 2: (4.3) Đặt X = tanx b1.Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc (4.4) Đặt X = cotx b2.Biến đổi (1) về dạng: A.sin2x + B.cos2x = C (2) ta được phương trình a.X3 + b.X2 + c.X + d = 0 = 0 (2) (pt. bậc nhất theo sin2x và cos2x) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Giải (2) và kết luận. b3.Dùng phương trình cơ bản giải phương trình tìm x. Kết luận Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + d.cos3x = e BT1. Giải các phương trình sau: Cách giải. 2 cos 2 x 4 cos x 1 b1.Tìm nghiệm cosx = 0 1/. 2/. 4sin3x+3 2 sin2x = 8sinx sin x 0 b2.Với cosx 0.Chia 2 vế của (1) cho cos3x, ta được: 1 5sin x 2 cos 2 x 0 a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = e.(1 + tan2x) (2) 3/. 4cosx.cos2x +1=0 4/. b3.Giải (2) và kết luận. cos x 0 5/. Cho 3sin3x – 3cos2x+4sinx– cos2x+2 = 0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x – 8sinx) = 0 (2). Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) BT3. Giải các phương trình sau 6/. sin3x + 2cos2x – 2 = 0 7/. sin6x + cos4x = cos2x 1/ 3sin2x– 3 sinxcosx + 2cos2x = 2 2/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx – 2cos2x = 4
  6. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng 3/ 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 13 3/. cos3x + sin3x = cos2x 4/. cos6x – sin6x = cos22x 4/ 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1+ 3 )cos2x – 5 – 3 =0 8 5/ tanx sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 6/ sin3(x- /4)= 2 sinx 7 5/. sin4x + cos4x = cot( x ) cot( x ) 6/. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 7/ 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 8/ sinx – 4sin3x + cosx = 0 8 3 6 3 3 9/ 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 0 10/ 2 cos3x = sin3x 7/. cos x + sin x = cosx – sinx 8/. cos6x + sin6x = cos4x 11/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 12/ sinx sin2x + sin3x = 6 cos3x 9/. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 1 x x Loại 4. Phương trình đối xứng và gần đối với sinx và cosx 10/ . cos8x + sin8x = 11/. (sinx + 3)sin4 2 – (sinx+3) sin2 2 +1 = 0 4.1 dạng: a.(sinx + cosx) + b.sinxcosx = c (1) 8 Cách giải: Loại 7. Phương trình lượng giác biến đổi về dạng tích bằng 0 b1.Đặt X = sinx + cosx = 2 sin( x ) ta có: f ( x) 0 4 Cách giải: Dùng công thức f(x).g(x) = 0 g ( x) 0 X2 1 X 2 và sinxcosx = BT7. Giải các phương trình sau 2 1/. cos2x – cos8x + cos4x = 1 b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) 2/. sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 b3.Giải (2) và kết luận. 3/. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 4/. sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 5/. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 4.2 dạng: a.(sinx – cosx) + b.sinxcosx = c (1) 3 Cách giải: 6/. sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 2 b1.Đặt X = sinx – cosx = 2 sin( x ) , ta có: 7/. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 4 5 8/. cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 1 X2 4 X 2 và sinxcosx = 9/. 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 2 10/. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) 11/. sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 b3.Giải (2) và kết luận. 12/. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 13/. cos2x – 2cos3x + sinx = 0 14/. sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 15/. cosx(cos4x + 2) + cos2x – cos3x = 0 BT4. Giải các phương trình sau 16/. 1 + tanx = sinx + cosx 17/. (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 1/. sin3 x + cos3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 2/. 1 – sin3 x + cos3 x = sin2x 18/. cotx – tanx = cosx + sinx 19/. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 3/. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 4/. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2 Loại 8. Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc 5/. (1+sin x)(1+cosx) = 2 6/. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1=1–2sin2x 2t 1 t2 3 sin2x=2sinxcosx sinx = ; cosx = 1 t 2 1 t2 3 3 7/. 1+sin 2x + cos 2 x = sin 4x 8/. 3(cotx – cosx)-5(tanx-sin x)=2 2 2 tan x 4 4 2 2 tan2x= 2t 9/. cos x + sin x – 2(1 – sin xcos x) sinxcosx – (sinx+cosx)=0 1 tan 2 x tanx= 1 t2 Loại 5. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp hạ bậc BT8. Giải các phương trình sau Công thức hạ bậc 2 Công thức hạ bậc 3 1 1/. sin3xcosx = + cos3xsinx 2/. cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16 1 cos 2 x 3 cos x cos3 x 4 cos2x= ; cos3x= ; 2 4 3/. tanx + 2cot2x = sin2x 4/ . sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 5/. sin4x = tanx 6/. sin2x + 2tanx = 3 1 cos2 x 3sin x sin 3x sin2x= sin3x= 7/. sin2x+cos2x+tanx=2 8/. tanx+2cot2x=sin2x 2 4 3 BT5. Giải các phương trình sau 9/. cotx=tanx+2cot2x 10/. tan2x+sin2x= cotx 2 1/. sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos24 x 2/. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 3/. sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 11/. (1+sinx)2 = cosx 12/. sin 2 4 x sin 2 3 x sin 2 2 x sin 2 x 5x 9x 13/. cos2 x cos2 2 x cos2 3 x cos2 4 x 2 4/. cos3x + sin7x = 2sin2( ) – 2cos2 2 4 2 5/. sin24 x + sin23x = cos22x + cos2x , với x (0; ) Loại 9. Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng 6/. sin 4x – cos 6x = sin( 10,5 2 2 10x ) với x (0; ) 2 1. Công thức biến đổi tổng thành tích 7/. cos4x – 5sin4x = 1 8/. 4sin3x – 1 = 3 – 3 cos3x a b a b a b a b cosa + cosb = 2cos .cos cosa – cosb = – 2sin .sin 9/. sin22x + sin24x = sin26x 10/. sin2x = cos22x + cos23x 2 2 2 2 11/. 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3 a b a b a b a b sina + sinb = 2sin .cos sina – sinb = 2cos .sin 12/. 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x 2 2 2 2 x sin(a b) sin(a b) 13/. cos4xsinx – sin22x = 4sin2( ) – 7/2 , với x 1
  7. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng 3/. sin2x + sin4x = sin6x 4/. sinx + 2 sin x 2 x sin2x = cosx + cos2x tg 2 x 2 5/ sin8x + cos4x =1 + 2sin2xcos6x 6/ cosx + sin 2 x 4 cos 2 cos2x + cos3x + cos4x = 0 2 7/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 8/ sin5x + sin 4 2 x cos 4 2 x 9/. cos 4 4 x 10/. sinx + 2sin2x = 1 tg x tg x 9/ tanx + tan2x = tan3x 10/ 3cosx + cos2x 4 4 – cos3x +1 = 2sinxsin2x cogt 2 x tg 2 x 16(1 cos 4 x) Loại 10. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu số cos 2 x Cách giải. cos 2 x 1 b1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( mẫu số khác 0 ) 11/. cot gx 1 sin 2 x sin 2 x 12/. 1 tgx 2 b2. Rút gọn phương trình, giải phương trình cuối cùng ( sau khi thu gọn ) 2 cot gx tgx 4sin 2 x b3. Đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm sin 2 x x x Chú ý: Việc chọn nghiệm ( nhận nghiệm nào, loại nghiệm nào ), 13/. sin 2 tg 2 x cos 2 0 14/. 2 4 2 tùy theo bài tốn ta dùng phương pháp đại số hoặc phương pháp hình học 5sin x 2 3 1 sin x tg 2 x Giả sử rằng: 2 cos 6 x sin 6 x sin x cos x 2m 15/. 0 16/. + Điều kiện xác định là: x x0 m ,p * 2 2sin x p x + Phương trình có nghiệm là cot gx sin x 1 tgx.tg 4 2 2k x k ,n * 3 n 17/. tgx 2 0 18/. phương pháp đại số cot x 2k 2m 4 + Nghiệm xk bị loại m : x0 tgx 7 n p cos 2 x + Nghiệm xk được nhận 4sin 2 2 x 6sin 4 x 9 3cos 2 x 19/. 0 20/. 2k 2m cos x m : x0 n p 1 3 sin x cos x phương pháp hình học cos x 2m 6 + Điều kiện xác định là: x x0 m ,p * có nghĩa 21/. 4sin x 3cos x 6 22/. p 4sin x 3cos x 1 là trên đường tròn lượng giác có p điểm A1, A2, ..., Ap không thể 1 3 sin x cos x 3 là ngọn cung nghiệm của phương trình đã cho. 3 sin x cos x 1 + Ký hiệu L A1 , A2 ,..., Ap ( tập hợp các điểm bị loại ). 1 cos x cos 2 x cos 3 x 2 23/. (3 3 sin x) 24/. 2k 2 cos 2 x cos x 1 3 + Các nghiệm xk k ,n * được biểu diễn bởi cos x 2sin x.cos x n 3 n ngọn cung nghiệm trên đường tròn lượng giác. 2 cos 2 x sin x 1 + Ngọn cung nào thuộc L thì bị loại, ngược lại thì được nhận. 1 25/. 1 tgx 2sin x 26/. cos x 1 1 BT 10. Giải các phương trình sau sin x cos x 1 cos 2 x tan x cot x 1/. 1 cot g 2 x 2/. 1 1 10 sin 2 2 x 27/. cos x sin x 28/ cos x 2sin x cos x cos x sin x 3 3 sin 5 x 2 cos 2 x sin x 1 1 cos 3x sin 3x 5sin x 3/. 5 sin x cos 2 x 3 4/. sin 4 x cos 4 x 1 1 2sin 2 x 29/. (tan x cot x) 30/. sin x cot g 5 x sin 2 x 2 1 sin 3 x sin 5 x cos 9 x 2 3 5 5/. 2tgx cot gx 3 6/. 1 1 sin 2 x 31/. 2cos2x – 8cosx + 7 = 32/. 2sin3x – 1 cos x sin x 2tgx cot gx 2sin 2 x 1 sin 2 x = 2cos3x + cos x 1 2 cos x sin x 7/. 8/. 1 tgx cot g 2 x cot gx 1 33/. tan x sin 2 x cos 2 x 2 2 cos x 0 34/. 1 + cos x
  8. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng 1 cos 2 x 3 x 1 3x cot2x = 1/. sin( ) = sin( ) 2/. sin 2 2 x 10 2 2 10 2 1 35/. 2tanx + cot2x = 2sin2x + 36/ . sin( 3x ) = sin2x sin( x ) sin 2x 4 4 1 1 4x 2 2 sin( x ) cos cos 2 x 4 sin x cos x 3/. 3 0 4/. cosx – 2 1 tg 2 x 37/. 2 tan x cot x 3 38/ sin 2 x 3 x 2sin( )=3 3 cos 2 x cot 2 x 2 2 4sin x cos x cot 2 x cos 2 x 4 4 7 5/. cos( 2 x ) = sin(4x+3 ) 6/. 3cot2x 2 + 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx 2 Loại 11. phương trình lượng giác chứa căn thức hoặc chứa 7/. 2cot2x + + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 8/. cos2x + giá trị tuyệt đối cos 2 x Cách giải 1 1 = cosx + b1). Đặt điều kiện xác định (nếu có) cos 2 x cos x b2). Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc khử căn thức ( thông thường 1 2 dùng quy tắc bình phương hai vế. Cần nhớ: 9/. sinx – cos2x + + =5 10/. sin x sin 2 x a b 0 a 2 b2 ) rồi giải phương trình 1 sin 2 x 1 tan x b3). Kết luận +2 =3 1 sin 2 x 1 tan x Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp khoảng (cần nhớ dấu của giá trị lượng giác và chiều biến thiên của các hàm số lượng giác ) Loại 13. Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp BT 11. Giải các phương trình sau 1/. sin x cos x sin x cos x 2 2/. BT13. Giải các phương trình sau 2 cos x sin x 1 1/. 3 4 6 (16 3 8 2) cos x 4 cos x 3 3/. cos 2 x 1 sin 2 x 2 sin x cos x 4/. 1 sin 2 x cos x sin x 2/. cos 3x 9 x 2 16 x 80 =1 tìm n0 x Z 4 tg 2 x tgx 3/. 5cos x cos 2 x + 2sinx = 0 5/. tgx , x 6/. tgx 1 tgx 1 2 2 4/. 3cotx – tanx(3-8cos2x) = 0 4x 2 sin x tan x cos cos 2 x 5/. 2 cos x 2 3 0 tan x sin x 1 tg 2 x 6/. sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin 2x sin 3x sin x 7/. tan2x.tan23 x.tan24x.= tan2x– tan23 x + tan4x 7/. cos x sin 2 x , 0 x 2 8/. 8/. tan2x = – sin3xcos2x 1 cos 2 x 9/. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x) sin 2 x 2sin x 2 2sin x 1 10/ . sin x sin x 1 sin 2 x cos x sin 2 2 x 4 cos 4 2 x 1 2 cos 2 x tan 2 x 9/. 0 10/. 11/ . cos2 4 sin x – 1 = tan2 x 4 2sin x cos x sin x 1 cos x 0 12/. 11/. 2 cos x sin x 1 12/ . x x x 2 3x 2 cos 6 sin 2sin 2sin 5 12 5 12 5 3 5 6 sin x cos x 4sin 2 x 1 13/ . sin x cos x sin x cos x 1 14/. 2 sin 2x cos 2x 1 4 Loại 14. Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế 0 ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm sin x cos x sin 3x sin x BT13. Giải các phương trình sau 15/. sin 2 x cos 2 x 0 x 2 16/. 1 cos 2 x 1/. cos3x + 2 cos 2 3x = 2(1+sin22x) 2 sin x sin x 1 sin x cos x 2/. 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2sinxcos28x 3/. cos24x + cos26x = sin212x + sin216x + 2 với x 0; Loại 12. Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc hoặc 1 hàm 2 số lượng giác 4/. 8cos4xcos 2x + 1 cos 3x +1 = 0 sin x 5/. cos x BT12. Giải các phương trình sau 6/. 5 – 4sin2x – 8cos2x/2 = 3k tìm k Z* để hệ có nghiệm
  9. Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng 2 x 7/. 1– = cosx 2 8/. ( cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x 1 9/. 1 cos x 1 cos x cos 2 x sin 4 x 2

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản