Chuyên đề: Một số cách chứng minh định lí Pytago

Chia sẻ: nctrungvl

Định lí Pytago là một định lí tuyệt đẹp của toán học. Con người đã phát hiện và chứng minh được nó cách nay nhiều nghìn năm, từ khi toán học vừa mới hình thành. Về cách chứng minh định lí Pytago thì có đến hàng triệu cách. Cách cổ xưa nhất thuộc về Pytago. Cách chứng minh này được ghi lại trong tác phẩm kinh điển về hình học “Eléments” của Euclide khoảng năm 300 TCN, song song đó, cách chứng minh khác cũng được tìm thấy trong một tài liệu về toán của Trung Quốc vào khoảng năm...

Nội dung Text: Chuyên đề: Một số cách chứng minh định lí Pytago

Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago Toå: Toaùn − Vaät lyù

Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago.
−−−−



PHAÀN I: MÔÛ ÑAÀU.

Ñònh lí Pytago laø moät ñònh lí tuyeät ñeïp cuûa toaùn hoïc. Con ngöôøi ñaõ phaùt hieän
vaø chöùng minh ñöôïc noù caùch nay nhieàu nghìn naêm, töø khi toaùn hoïc vöøa môùi hình
thaønh. Veà caùch chöùng minh ñònh lí Pytago thì coù ñeán haøng trieäu caùch. Caùch coå xöa
nhaát thuoäc veà Pytago. Caùch chöùng minh naøy ñöôïc ghi laïi trong taùc phaåm kinh ñieån
veà hình hoïc “Eleùments” cuûa Euclide khoaûng naêm 300 TCN, song song ñoù, caùch
chöùng minh khaùc cuõng ñöôïc tìm thaáy trong moät taøi lieäu veà toaùn cuûa Trung Quoác
vaøo khoaûng naêm 500 ñeán naêm 200 TCN. Veà sau caùc nhaø toaùn hoïc ñaõ khoâng ngöøng
ñöa ra nhieàu caùch chöùng minh khaùc.
Ñeå chöùng minh ñònh lí Pytago khoâng khoù. Trong chöông trình hình hoïc 7 ñaõ
trình baøy caùch chöùng minh döïa vaøo vieäc ñaët caùc tam giaùc vuoâng coù caïnh a, b, c
vaøo hình vuoâng coù caïnh laø a + b. Caùch naøy giuùp hoïc sinh deõ daøng chöùng minh
ñöôïc ñònh lí Pytago. Ngoaøi ra coøn nhieàu caùch khaùc cuõng döïa vaøo gheùp hình nhöng
theo caùch gheùp khaùc, hoaëc öùng duïng caùc tính chaát dieän tích cuûa ña giaùc, öùng duïng
tam giaùc ñoàng daïng, heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng, …
Trong chuyeân ñeà nhoû naøy, toâi xin giôùi thieäu ñeán quyù thaày coâ moät soá caùch
chöùng minh ñònh lí Pytago maø toâi hoaëc tìm ra ñöôïc hoaëc söu taàm ñöôïc, tuy soá caùch
chöùng minh coøn ít raát nhieàu so vôùi soá caùch maø con ngöôøi ñaõ bieát nhöng vôùi soá caùch
chöùng minh naøy cuõng ñoái vôùi toâi cuõng laø moät gia taøi kha khaù. Hy voïng chuyeân ñeà
seõ ñem ñeán cho quyù thaày coâ nhieàu ñieàu thuù vò, töø ñoù vaän duïng vaøo baøi giaûng cuûa
mình nhaèm taêng höùng thuù hoïc taäp moân toaùn cho hoïc sinh.




Gvth: Ngoâ Chí Trung Trang 1
Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago Toå: Toaùn − Vaät lyù

PHAÀN II: NOÄI DUNG.
−−−−


I. Vaøi neùt lòch söû cuûa ñònh lí Pytago.
Trong toaùn hoïc, ñònh lyù Pytago (coøn goïi laø ñònh lyù Pythagore theo tieáng
Phaùp hay ñònh lyù Pythagorastes theo tieáng Anh) laø moät lieân heä trong hình hoïc
phaúng giöõa ba caïnh tam giaùc cuûa moät tam giaùc vuoâng. Ñònh lyù naøy ñöôïc ñaët teân
theo nhaø vaät lí hoïc vaø nhaø toaùn hoïc Hy Laïp Pytago soáng vaøo theá kyû 6 TCN.
Hai caùch chöùng minh coå nhaát cuûa ñònh lyù Pytago ñöôïc cho laø naèm trong
quyeån Chu Beã toaùn kinh (Trung Quoác) khoaûng naêm 500 ñeán 200 TCN vaø
Eleùments cuûa Euclide khoaûng naêm 300 TCN.
Söï lieân heä giöõa caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng ñaõ ñöôïc neâu ra tröôùc
Pytago khoaûng 1200 naêm vaøo thôøi coå Babilon. Nhöng Pytago laø ngöôøi ñaõ chöùng
minh noù vaø môû roäng phaïm vi aùp duïng cuûa noù ñeå giaûi nhieàu baøi toaùn veà lí thuyeát
vaø thöïc tieãn. Ñònh lí Pytago laø chìa khoùa ñeå xaây döïng nhieàu ñònh lí khaùc trong hình
hoïc.
Trong taùc phaåm Eleùments, Euclide trình baøy ñònh lí Pytago nhö sau:
“Trong moät tam giaùc vuoâng, toång dieän tích hai hình vuoâng döïng treân hai
caïnh goùc vuoâng baèng dieän tích hình vuoâng döïng treân caïnh huyeàn”.




b c


a




Veà sau, ngöôøi ta nhaän thaáy dieän tích hình vuoâng baèng bình phöông caïnh cuûa
noù neân phaùt bieåu laïi: “Trong moät tam giaùc vuoâng, bình phöông caïnh huyeàn baèng
toång caùc bình phöông cuûa hai caïnh goùc vuoâng” nhö chuùng ta ñaõ bieát ngaøy nay.




Gvth: Ngoâ Chí Trung Trang 2
Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago Toå: Toaùn − Vaät lyù

II. Moät soá caùch chöùng minh.
Trong phaàn naøy, toâi xin giôùi thieäu moät soá caùch chöùng minh do toâi söu taàm
ñöôïc, vieäc trình baøy coù theå khoâng theo thöù töï thôøi gian maø caùch chöùng minh ñöôïc
tìm ra. Xin quyù thaày coâ thoâng caûm.
1. Caùch caét vaø gheùp hình thöù nhaát:
Caùch naøy chính laø caùch chuùng ta ñaõ bieát trong saùch giaùo khoa toaùn 7.

a+b a+b


a
a2
b
c2
c 2
b b
a c

Vì hai hình vuoâng treân coù dieän tích baèng nhau neân phaàn dieän tích phaàn
khoâng bò caùc tam giaùc vuoâng che khuaát baèng nhau. Töø ñoù suy ra c2 = a2 + b2.

2. Caùch caét gheùp hình thöù hai:
Caùch naøy do Leonardo da Vinci tìm ra.

c c
b b

a a




c
b

a




Laät ngöôïc ña giaùc ñöôïc toâ ñaäm, ta deã daøng nhaän thaáy ña giaùc môùi bao goàm
hai tam giaùc vuoâng ban ñaàu vaø moät hình vuoâng coù caïnh baèng c, töø ñoù suy ra ñöôïc
c2 = a2 + b2.

Gvth: Ngoâ Chí Trung Trang 3
Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago Toå: Toaùn − Vaät lyù

3. Caùch caét gheùp hình thöù ba:
Caùch naøy do nhaø toaùn hoïc Henry Perigal tìm ra naêm 1873.
J



C D



a c G F



B b b
I A E
Caùch thöïc hieän:
+ Döïng hình vuoâng ABCD vaø hình vuoâng AEFG sao cho ñænh G naèm treân
caïnh AD, sao cho caïnh cuûa hình vuoâng ABCD baèng a, caïnh cuûa hình vuoâng AEFG
baèng b (giaû söû a > b).
+ Treân tia BA, laáy ñieåm I sao cho BI = AE = b.
+ Caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi CI taïi C, vuoâng goùc vôùi FI taïi F caét nhau
taïi J.
Chöùng minh:
Deã daøng chöùng minh ñöôïc CIFJ laø hình vuoâng neân coù dieän tích laø c2.
Maët khaùc, SCIFJ = SCIFGD + SDJC + SGFJ = SCIFGD + SBCI + SEFI = SABCD + SAEFG.
Hay c2 = a2 + b2.
4. Caùch caét gheùp hình thöù tö:
Ta ñaët caùc tam giaùc vuoâng coù caïnh a, b, c vaøo hình vuoâng coù caïnh a + b nhö
hình sau:
a+b

b

a
c


a-b




Ta nhaän thaáy hình vuoâng coù caïnh c baèng toång dieän tích boán tam giaùc vuoâng
coäng theâm hình vuoâng coù caïnh a − b. Neân ta coù:
a.b
c2 = 4. + (a − b)2 ⇔ c2 = 2ab + a2 + b2 − 2ab ⇔ c2 = a2 + b2.
2


Gvth: Ngoâ Chí Trung Trang 4
Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago Toå: Toaùn − Vaät lyù

5. Caùch chöùng minh cuûa toång thoáng James Garfield (Hoa Kyø):
Giaû söû tam giaùc vuoâng ABC
(vuoâng taïi A) coù AB = c, AC = b, BC = a. C'
Treân tia ñoái cuûa tia CA, ta döïng ∆A’CC’
vuoâng taïi A’ vaø baèng ∆ABC nhö hình veõ. B
⇒ AA’C’B laø hình thang vuoâng vôùi hai
a b
ñaùy laø AB, A’C’. c a
(AB + A′C′)AA′
⇒ SAA′C′B =
2
(b + c) 2
1 1 A b C c A'
= = bc + b2 + c2 .
2 2 2
Maët khaùc:
1 1 1 1
SAA′C′B = SABC + SA′CC′ + SCBC′ = bc + bc + a2 = bc + a2
2 2 2 2
1 1 1
⇒ a2 = b2 + c2 hay a2 = b2 + c2 .
2 2 2
6. Caùch chöùng minh döïa vaøo tam giaùc ñoàng daïng:
Giaû söû tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù AB = c, AC = b, BC = a.
Ta keõ ñöôøng cao AH ⊥ BC.
A




B H C
Deã daøng chöùng minh ñöôïc ∆vABC ∽ ∆vHBA ∽ ∆vHAC.
AB BC
∆vABC ∽ ∆vHBA ⇒ = ⇒ AB2 = HB.BC (1)
HB AB
AC BC
∆vABC ∽ ∆vHAC ⇒ = ⇒ AC2 = HC.BC (2)
HC AC
Töø (1) vaø (2) ⇒ HB.BC + HC.BC = AB2 + AC2
⇔ BC2 = AB2 + AC2
Hay a2 = b2 + c2.




Gvth: Ngoâ Chí Trung Trang 5
Chuyeân ñeà: Moät soá caùch chöùng minh ñònh lí Pytago Toå: Toaùn − Vaät lyù

PHAÀN III. KEÁT LUAÄN.
−−−−


Chuyeân ñeà ñaõ laøm ñöôïc:
− Trình baøy ñöôïc 6 caùch chöùng minh ñònh lí Pytago. Tuy ñaây chöa phaûi laø
con soá nhieàu, nhöng cuõng giuùp ngöôøi ñoïc coù theâm nhöõng yù töôûng ñoäc ñaùo nhaèm
tìm ra caùch khaùc ñeå chöùng minh ñònh lí Pytago.
− Trong caùc caùch chöùng minh phaàn lôùn döïa vaøo thöïc haønh caét, gheùp hình vaø
caùc quan saùt mang tính caûm tính, khoâng ñoøi hoûi suy luaän chaët cheõ neân raát phuø hôïp
vôùi hoïc sinh THCS (lôùp 7).
− Ngoaøi ra chuyeân ñeà cuõng giôùi thieäu moät soá caùch aùp duïng caùc haèng ñaúng
thöùc, coâng thöùc tính dieän tích, aùp duïng tam giaùc ñoàng daïng raát phuø hôïp ñeå giôùi
thieäu vôùi hoïc sinh lôùp 8, 9 trong caùc kieán thöùc coù lieân quan.
Vôùi chuyeân ñeà nhoû naøy, hy voïng ñem laïi söï thích thuù cho quyù thaày coâ khi
ñoïc noù.


Duyeät cuûa toå tröôûng Ngöôøi vieát chuyeân ñeà




Ñinh Ngoïc Minh Ngoâ Chí Trung

Duyeät cuûa BGH




Gvth: Ngoâ Chí Trung Trang 6
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản