Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: huynhphuoc

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

 

  1. Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009. Phương pháp 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Kỹ thuật 1 : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế a3 b3 c3 (a + b + c) (1) ⇔ + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a3 a+b a+c ⎛ a3 ⎞ ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + c ⎞ 3a ⎟⎜ + + ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ (a + b ) ( a + c ) ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎜ 8 ⎠ = 4 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎟ ⎟ (a + b ) ( a + c ) 8 8 ⎜ ⎝ ⎟⎜ Chứng minh tương tự ta cũng được: b3 b+c b+a ⎛ b3 ⎞ ⎛ b + c ⎞⎛ b + a ⎞ 3b ⎟ + + ⎜ ≥ 33 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ (b + c)(b + a ) 8 8 ⎜(b + c)(b + a )⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4 ⎜ ⎝ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟ c3 c+a c+b ⎛ c3 ⎞ ⎛ c + a ⎞ ⎛ c + b ⎞ 3c ⎟⎜ + + ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜(c + a )(c + b)⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4 ⎜ ⎟⎝ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( c + a ) (c + b) 8 8 ⎜ ⎝ ⎟ Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: a3 b3 c3 a+b+c 3 + + ≥ = (đpcm) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 4 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 Bài 2:
  2. Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a + bc b + ca c + ab 4 Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ 1 (1) b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế a3 b3 c3 a+b+c (1) ⇔ + + ≥ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 9a 3 ⎛ 9a 3 ⎞ ⎟ (3b)(2c + a ) = 9a + 3b + (2c + a ) ≥ 3 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ b (2c + a ) ⎝ ⎟ ⎜ b (2c + a )⎠ Chứng minh tương tự ta cũng được: 9b3 ⎛ 9b3 ⎞ ⎟ + 3c + (2a + b) ≥ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ c (2a + b)⎠ (3c)(2a + b) = 9b ⎜ ⎟ c (2a + b) ⎜ ⎝ ⎟ 9c 3 ⎛ 9c3 ⎞ ⎟ + 3a + (2b + c) ≥ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ a (2b + c)⎠ (3a )(2b + c) = 9c ⎜ ⎟ a (2b + c) ⎜ ⎝ ⎟ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ⎡ a3 b3 c3 ⎤ 9⎢ + + ⎥ + 6 (a + b + c) ≥ 9 (a + b + c) ⎢ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) ⎥ ⎣ ⎦ a3 b3 c3 a+b+c ⇒ + + ≥ =1 b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3 Bài giải: Sử dụng giả thiết a 2 + b2 + c2 = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế
  3. a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2 (1) ⇔ + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 9a 3 9a 3 + a (b + 2c) ≥ 2 .a (b + 2c) = 6a 2 (b + 2c) b + 2c Chứng minh tương tự ta cũng được: 9b 3 9b3 + b (c + 2a ) ≥ 2 .b (c + 2a ) = 6b2 (c + 2a ) c + 2a 9c3 9c3 + c (a + 2b) ≥ 2 .c (a + 2ab) = 6c2 (a + 2b) (a + 2b) Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ⎛ a3 b3 c3 ⎞⎟ + 3 (ab + bc + ca ) ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 ) 9⎜⎜ + + ⎟ ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ ⎛ a3 b3 c3 ⎞ ⎟ ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 ) − 3 (ab + bc + ca ) ≥ 3 (a 2 + b2 + c2 ) ⇒ 9⎜ ⎜ + + ⎟ ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2 1 ⇒ + + ≥ = b + 2c c + 2a a + 2b 3 3 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ a+b b+c c+a 2 Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≤ (1) 1+a 2 1+ b 2 1+ c 2 2 Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab + bc + ca = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a a a a 1⎛ a a ⎞⎟ = = . ≤ ⎜ ⎜a + b + a + c⎠ ⎜ ⎟ ⎟ 1+a 2 2 a + ab + bc + ca a+b a+c 2⎝ Chứng minh tương tự ta cũng được:
  4. b 1⎛ b ⎜ b ⎞⎟ ≤ ⎜ + ⎟ ⎟ 1+b 2 2 ⎜b + c b + a⎠ ⎝ c 1⎛ c ⎜ c ⎞⎟ ≤ ⎜ ⎜c + a + a + b⎠ ⎟ ⎟ 1+c 2 2⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: a b c 1 ⎛a + b b + c c + a ⎞ 3 ⎟= + + ≤ ⎜⎜ + + ⎟ ⎟ 1+a 2 1+ b 2 1+ c 2 2 ⎜a + b b + c c + a ⎠ 2 ⎝ 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ac S= + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài giải: Ta lần lượt có: ⎧ ⎪ ab ab ab ab ⎛ 1 1 ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 2c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) ≤ 2 ⎜ c + a + c + b ⎠ ⎪ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ bc bc bc bc ⎛ 1 1 ⎞ ⎪ ⎨ = = ≤ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎪ ⎪ 2a + bc a (a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 2 ⎜a + b a + c⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ca ca ⎛ ca ⎜ 1 1 ⎞ ⎟ ⎪ 2b + ac = b (a + b + c) + ca = (b + c)(b + a ) ≤ 2 ⎜ b + c + b + a ⎠ ⎪ ⎪ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎪ ⎩ bc + ca bc + ab ca + ab a+b+c ⇒S≤ + + = =1 2 (a + b) 2 (c + a ) 2 (c + b) 2 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Vậy Max S = 1 . Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng: ab bc ac 1 + + ≤ c + ab a + bc b + ac 2 Phương pháp 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ Dạng 1: 1) ∀x, y > 0 ta luôn có:
  5. ⎛1 1⎞ ( x + y)⎜ + ⎟ ≥ 4 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜x y⎠ ⎝ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y 2) ∀x, y, y > 0 ta luôn có: ⎛1 1 1⎞ ⎟≥9 (x + y + x )⎜ + + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜x y ⎝ y⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z Dạng 2: 1) ∀x, y > 0 ta luôn có: 1 1 4 + ≥ x y x+y Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y 2) ∀x, y, z > 0 ta luôn có: 1 1 1 9 + + ≥ x y z x+y+z Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ab 1 1⎛ 1 1 ⎞⎟ = ab. ≤ ab. ⎜⎜a + c + b + c⎠ ⎜ ⎟ ⎟ a + b + 2c (a + c ) + ( b + c ) 4⎝ Tương tự ta cũng được: bc 1 1⎛ 1 1 ⎞⎟ = bc. ≤ bc. ⎜⎜ + ⎟ ⎟ b + c + 2a (b + a ) + ( c + a ) 4 ⎜b + a c + a⎠ ⎝ ca 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞⎟ = ca. ≤ ca. ⎜ + ⎟ ⎟ c + a + 2b ( c + b ) + (a + b ) 4 ⎜c + b a + b⎠ ⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 ⎛ bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎟= + + ≤ ⎜ ⎜ + + ⎟ ⎟ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 ⎜ a + b ⎝ b+c a+c ⎠ 4 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
  6. ab 1 1⎛ 1 1 1⎞ = ab. ≤ ab. ⎜⎜ + + ⎟ ⎟ ⎟ a + 3b + 2c (a + c) + (b + c) + 2b 9 ⎜ a + c b + c 2b ⎠ ⎝ Tương tự ta cũng được: bc 1 1⎛ 1 1 1⎞ = bc. ≤ bc. ⎜⎜ + + ⎟ ⎟ ⎟ b + 3c + 2a (b + a ) + (c + a ) + 2c 9 ⎜ b + a c + a 2c ⎠ ⎝ ca 1 1⎛ 1 1 1⎞⎟ = ca. ≤ ca. ⎜ ⎜ c + b + a + b + 2a ⎠ ⎜ ⎟ ⎟ c + 3a + 2b (c + b) + (a + b) + 2a 9⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 ⎛ a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎟= + + ≤ ⎜⎜ + + + ⎟ ⎟ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 9 ⎜ ⎝ 2 a+b b+c a+c ⎠ 6 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 3: 1 1 1 + + = 4 .Chứng minh rằng: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a b c 1 1 1 + + ≤1 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞ ⎟ ≤ 1 ⎛ 2 + 1 + 1⎞ ⎟ = ≤ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ 2a + b + c (a + b) + (a + c) 4 ⎝ a + b a + c ⎠ 16 ⎜ a b c ⎠ ⎟ ⎝ ⎟ 1 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎛ 1 2 1⎞⎟ = ≤ ⎜ + ⎜ ⎟≤ ⎜ + + ⎠ ⎟ a + 2b + c (a + b) + (b + c) 4 ⎝ a + b b + c ⎠ 16 ⎝ a b c ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⎟ 1 ⎛ 1 1 2⎞ ⎟ = ≤ ⎜ ⎜ + ⎜ ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ a + b + 2c (a + c) + (b + c) 4 ⎜ a + c b + c ⎠ ⎝ ⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 1 1 1 ⎛ 1 1 1⎞ 1 + + ≤ ⎜ + + ⎟ = .4 = 1 ⎟ 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c 4 ⎜ a b c ⎠ 4 ⎝ ⎟ 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = 4 Phương pháp 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: 3 ab (a + b) ⎛ a + b ⎞ 3 (a + b)(a 2 + ab + b2 ) a 3 + b3 (a 2 + b2 ) ⎜ ≤⎜ ⎟ ≤ ⎟ ≤ ≥ (1) 2 ⎝ 2 ⎠ ⎟ 6 2 (a + b) 3 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: b+c c+a a+b + + ≤2 a + 3 4 (b + c ) b + 3 4 (c + a ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) 3 3 3 3
  7. Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c Do đó: 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c ⇒ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ a + b + c 1 1 b+c b+c ⇒ ≤ ⇒ ≤ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a+b+c a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a + b + c Chứng minh tương tự ta cũng được: c+a c+a ≤ b + 3 4 (c + a ) a + b + c 3 3 a+b a+b ≤ c + 3 4 (a 3 + b3 ) a+b+c Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt b+c c+a a+b 2 (a + b + c ) + + ≤ =2 a + 3 4 (b3 + c 3 ) b + 3 4 (c3 + a 3 ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) a+b+c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 3 3 + 3 3 + 3 3 ≤ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a 3 + b3 ≥ ab (a + b) Do đó: 1 1 a 3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c) ⇒ ≤ a + b + abc ab (a + b + c) 3 3 Chứng minh tương tự ta cũng được: 1 1 ≤ b + c + abc bc (a + b + c) 3 3 1 1 ≤ c + a + abc ca (a + b + c) 3 3 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 1 1 1 1 ⎛1 1 1⎞⎟ 1 + 3 + 3 ≤ ⎜ ⎜ ab + bc + ca ⎠ = abc ⎟ ⎟ a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c ⎝ 3 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng: a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 + 2 + 2 ≥2 a 2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a 2
  8. Bài giải: a 2 + b2 a+b Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 2 2 ≥ a + ab + b 3 Suy ra: a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 a+b b+c c+a 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ + + = (a + b + c) ≥ 3. 3 abc = 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài toán tương tự: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: x 9 + y9 y 9 + z9 z9 + x 9 + 6 + 6 ≥2 x 6 + x 3 y 3 + y9 y + y 3 z 3 + z6 z + z3 x 3 + x 6 Bài 5: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 + + ≥3 3 ab bc ca Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab 1 + a 3 + b3 3 Suy ra: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab ⇒ ≥ ab ab Chứng minh tương tự ta cũng được: 1 + b3 + c3 3 ≥ bc bc 1 + c3 + a 3 3 ≥ ca ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 3 3 3 3 3 3 + + ≥ + + ≥ 33 . . =3 3 ab bc ca ab bc ca ab bc ca Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 2 a 2 b 2 c 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ 2 + 2 + 2 a +b b +c c +a a b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b 2 a 1 Suy ra: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b ⇒ 3 2 ≤ a +b ab Chứng minh tương tự ta cũng được:
  9. 2 b 1 3 2 ≤ b +c bc 2 c 1 3 2 ≤ c +a ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 a 2 b 2 c 1 1 1 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ + + ≤ 2 + 2 + 2 a +b b +c c +a ab bc ca a b c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009. -------------------Hết------------------
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản