CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Chia sẻ: cudenhieu

Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhân chính là  thường không biết sử dụng phép biến đổi vi phân. Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn luyện  theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm nguyên hàm và tích phân thật là không đáng  ngại. 

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

www.laisac.page.tl 
Chuyên Đề: 
NG  YÊ   H  M VÀ T    H PH  N 
  U    N HÀ    TÍC     
GÊ H
TS. Lê Thống Nhất


A. MỘT SỐ BÍ QUYẾT TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 
Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhân chính là 
thường không biết sử dụng phép biến đổi vi phân. Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn luyện 
theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm nguyên hàm và tích phân thật là không đáng 
ngại. 
Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là biểu thức f’(x). d(x). Nếu ký hiệu dy hay d[f(x)] là vi 
phân của y hay f(x) thì dy = f’(x) .dx hay d[f(x)] =  f’(x) . dx. 
Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) và viết thêm dx, sẽ có f’(x) dx. 
Thực ra không phải là “viết thêm” mà là “nhân với”, nghĩa là f’(x) nhân với d(x), viết f’(x) . dx. 
Các vi phân cơ bản: 
1) d ( u a +1 ) = ( a + 1) u a .du
. 2) d (sin u) =  cos u . du 

du 
3) d (cos u) = ­ sin u du  4) d (tg u) = 
cos 2  u 
du 
6) d (e   ) = e    . du 
u u
5) d (cotg u) =  - 
si n 2  u
du  du 
8) d ( au + bv ) = adu + b  v
7) d (ln u  ) =  d
;  d(ln u) =  . 
u  u 
9) d ( u + c) = du   với c là hằng số. 
Các phép biến đổi vi phân cơ bản: 

æ u a+1  ö
a
1)  u .du = d ç 2) cos u .du = d(sin u) 
÷
è a + 1 ø 
du 
= d ( tgu ) 
3) sin u . du = d (­cos u)  4) 
cos 2  u
du 
6) e    .du = d(e   ) 
u u
= d (-cotgu ) 
 
5) 
sin 2  u
du 
= d (ln | u |) 
7) 
u
Các thí dụ luyện phép biến đổi vi phân. 
Thí dụ 1: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào? 

2. (x + 2)    . dx 
5
3. cosx . sin   x . dx 
4
1.  x dx 
Giải: 
æ 1 +1  ö
æ 2x 3 ö æ 2 x 3   ö
ç x 2  ÷
1  2 2
ç ÷ = dç + C ÷
1.  x dx = x .dx = d ç =d

1  ÷ ç3 ÷ ç 3  ÷
ç + 1 ÷ è ø è ø
è2 ø 
é ( x + 2 )6 ù é ( x + 2 )   
6
ù
2. (x + 2)    . dx = ( x + 2)    .d(x +2) = d ê
5 5
ú =dê + C 
ú
6ú 6
ê ê ú 
ë û ë û
é si n 5 x ù é sin 5  x  ù
4  4 
3. cosx . sin  x . dx = sin  x . d(sin x) =  d ê ú = d ê 5 + C  ú
ë5û ë û 
Thí dụ 2: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào? 
æ x + 1 ö
2. (2x + 1) (x    + x + 1) . dx 
2
÷ .dx 
1.  ç
x ø 
è
x dx 
æ cosx ­ sinx  ö
÷ .dx 
3.  ç 4. 
x 2  + 1
è sinx + cosx ø 
Giải: 

æ1 1 
æ x + 1 ö 1  ö
æ -ö
.dx  =  ç x + .dx = ç x 2 + x 2  ÷ .dx 
1.  ç ÷ ÷
è x ø  x ø 
è è ø
æ 3   ö
1 1 1 
ç 2 x  ÷ + d æ 2 x 2  ö
2
-
=  x dx + x .dx = d
2 2
ç ÷
ç3÷ è ø
è ø 
æ 3   ö

ç 2 x  + 2 x 2  + C ÷
2
=  d
ç3 ÷
è ø 
2. (2x + 1) (x    + x + 1) . dx 
2
= (x    + x + 1).d (x    + x + 1) 
2 2


é ( x 2  + x + 1      ù
2

= d ê
2
ê ú 
ë û
é ( x 2  + x + 1     
2
) + C ù
= dê ú
2
ê ú 
ë û
Lưu ý: d (x    + x + 1) = (2x +1) . dx
2
x.dx 1 d ( x + 1    1
) = d éln( x 2 + 1) ù = d é 1 ln( x 2  + 1) + C ù


=
3. 2
2ë û ê2 ú 
x + 1 2 x 2  + 1 ë û

Lưu ý: d(x    + 1) = 2x . dx hay x . dx =  d(x    + 1) 
2 2


Thí dụ 3: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào? 
dx  dx 
x.dx 
1.  2.  3. 

( x + 1)3  x - 3x + 2 x.ln x 
Giải: 
( x + 1 - 1) d ( x + 1 
)
x.dx 
1.  = 3 
( x + 1)3  ( x + 1) 
= (x + 1) 2  . d(x + 1) – (x + 1) 3  . d(x + 1) 
­ ­


é ( x + 1) -1 ù é ( x + 1    2  ù
-
)
= dê ú - d ê ú
-1 ú ê -2 ú 
ê
ë û ë û
é ù
1 1 
= dê - + C ú

ê 2 ( x + 1)  x + 1  ú 
ë û
dx  æ1 1  ö
- ÷ dx 
2.  =  ç
x 2  - 3x + 2 è x - 2 x - 1 ø 
dx dx 
-

x - 2 x - 1
2( x - 2) 2( x - 1) 
-

x-2 x - 1
= d [ ln | x - 2 | - ln | x - 1 |] 

é x - 2  ù
=  d ê ln + C 
ú
x -1
ë û 
d ( ln x )
dx 
= d [ ln(ln x ) + C   
]
=
3.
x.ln x ln x
Thí dụ 4: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào? 
2. sin   x .dx 
5
1. cos x . cos3x . dx 
Giải: 

( cos4x+cos2x ) .dx 
1.  cos x . cos3x . dx =
2

[cos4x.dx + cos2x.dx ] 
=

1 é1 1  ù
=  ê cos4x.d(4x) + cos2x.d(2x) 
ú 
2 ë4 2 û
1 é1 1  ù
=  ê (sin4x) + d (sin 2 x ) 
ú 
2 ë4 2 û
é1 1  ù
=  d ê sin 4x + sin 2 x + C 
ú
ë8 4 û 
Lưu ý: Các công thức biến đổi tích thành tổng khi gặp tích các hàm số lượng giác. 
2. sin  x . dx  = sin   x . sin x . dx = ­ sin   x . d(cosx) 
5  4 4


= ­(1 – cos   x)    . d(cosx) 
22


= [ ­1 + 2cos   x – cos   x] .d(cosx) 
2 4


= ­d (cosx) + 2cos   x .d(cosx) – cos   x . d(cosx) 
2 4


2 1 
é ù
=  d ê -cosx + cos3 x­ cos 5 x + C 
ú
3 5
ë û 
Thí dụ dưới đây sẽ sử dụng nhiều sau này: 
Thí dụ 5:  Tính. 
é x - a  ù
1.  d é ln x 2  + k + x ù 2.  d ê ln 
x - b ú 
ë û  ë û
Giải: 

( ) 
x 2  + k + x 
d
1.  d é ln x + k + xù

=
ë û  x 2  + k + x
1 é x  ù
. ê 2  + 1ú .dx 

2
x + k + x ë x + k û 
dx 

x 2  + k
dx 
=  d é ln | x 2  + k + x |ù
Lưu ý: 
ë û 
x 2  + k
æ x - a ö
d ç ÷
é x-a ù è x - b ø = x - b . a - b .dx = (a - b).dx 
2.  d ê ln ú = x - a  x - a ( x - b ) 2 
ë x-b û ( x - a )( x - b) 
x-b
dx 1 é x - a  ù
Lưu ý: Nếu  a ¹ b thì  = d êln 
( x - a )(x - b) a - b ë x - b ú û
Thí dụ 6: Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào? 
dx  dx 
1.  2. 

x - 2 x - 3 x 2  + 2 x + 3
Giải. 
dx  dx 
1.  = 

x - 2 x - 3 ( x + 1)( x - 3)
1æ 1 1  ö
- ÷ .dx 
=  ç
4 è x - 3 x + 1 ø 

1 é d ( x - 3    2( x + 1) ù
)
ê x - 3 - x +1 ú
=
4ë û 
1é x - 3 ù
=  d ê ln 
x +1 ú
4 ë û 
é1 x - 3  ù
=  d ê ln + C 
ú
ë4 x +1 û 
dx 
dx 
2.  =
x 2  + 2 x + 3 2 
( x + 1)  + 2

d ( x + 2 ) 
=
( x + 1)2  + 2

= d é ln ( x + 1)  + 2 + ( x + 1) + C ù


ê ú
ë û 
Bài tập tự luyện. 
Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào? 
ln x.dx 
1. (2x + 1)(x    + x + 5)    dx  2. sin x . cos   x . dx 
2 7 7
3. 

4. sin  x . cos   x . dx 
3  2
6. tg   x . dx 
2
5. tgx . dx 

8. sin   x . dx 
2
9. cos   x . dx 
3
7. tg  x . dx 
æ x 2  - x + 1 ö x 2 .dx 
dx 
÷ .dx 
10.  ç 11.  12. 2 
(x + 1) 

x ø  x . x + 1
è
dx 
x dx  dx 
13.  14.  15. 
sin 2 x. cos 2  x 
x 2  + 1 x 2  + 4 x




dx  dx  dx 
16.  17.  18. 

x - 4 sin 2 x  sin x 
dx  dx  dx 
19.  20. (1 + tgx).  21. 
cos 2  x  cos 4  x 
sin x + cos x
e x .dx  e x .dx  x 3 .dx 
dx 
22.  23.  x  24.  25.  4 
sin 4  x  e + 1 x + 1
e 2 x  + 1


B.TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 
Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm cơ bản trong 
SGK. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. 
1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 
Nếu  f1 ( x ) ,  f 2 (x ) , ...,  f n (x )  là các hàm có nguyên hàm cơ bản thì 
f ( x ) = a1f1( x ) + a2 f 2 ( x ) + ... + a  f n ( x ) có nguyên hàm tìm được nhờ tính chất : 
n

ò f (x)dx = a1 ò f1(x )dx + a2 ò f2 (x)dx + ... + an ò fn (x)dx.

1  -a k  a = a k 
Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết :  ; 
= a 
aa
Thí dụ 1 : Tìm các nguyên hàm 
x 2  + 1 
dx  ; 2.  3  x ( x + 1)2 dx
ò 
ò 
1. 
x
Giải : 
æ3 1 5 1 

x 2  + 1 2  2 2 
ç2 ÷
dx = è x + x 2 ø dx = x 2x + C 
ò ò 
1. 

x
1 æ7 4 1ö 10 7 4 
3 ( x 2  + 2 x + 1) dx = ç x 3 + 2x 3 + x 3 ÷dx = 3 x 3 + 6 x 3 + 3 x 3  + C 
2

ò ò ò 
2.  x (x + 1) = x è ø
10 7 4
2.Sử dụng vi phân để tìm nguyên hàm 
Bảng nguyên hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu nào khác. Kết 
hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được nguyên hàm của các lớp hàm phong phú hơn. 
x 2 dx 
ò x 2 - 1 . 
Thí dụ 2 : Tìm nguyên hàm : 

x 2 dx
1ö é 1æ 1 1 öù 1 x - 1 
æ
ò ò ò 
Giải :  = ç1 + ÷dx = ê1 + ç - ÷ údx = x + ln + C 
x2 -1 è x 2  - 1 ø ë 2 è x - 1 x + 1 øû 2 x + 1 
é1 1 1 öù 1 1 1 1 
Chú ý :  ê æ
ò ò ò 
- ÷ údx = d ( x - 1) - d ( x + 1) 
ç
ë 2 è x - 1 x + 1 øû 2 x -1 2 x +1
1 1 1 x - 1 
= ln x - 1 - ln x + 1 = ln + C 
2 2 2 x + 1
Thí dụ 3 : Tìm nguyên hàm :
x 2 dx  10 
ò x 6 - 1 ; 2.  ò x (x + 2)
1.  dx

Giải : 
x 2dx d (x 3 ) 1 x 3 - 1 
1 1 1æ 1 1ö
d ( x 3 ) = ln
ò x6 -1 ò ò 
1.  = = - + C 
3 ( x 3 )2 - 1 3 2 ç x 3 - 1 x 3 + 1 ÷ 6  x 3  + 1
è ø
2.  x (x + 2)10 dx = [(x + 2) - 2](x + 2)10 .d( x + 2) = 
ò ò 
1 2 
= [(x + 2)11 - 2( x + 2)10 ]d (x + 2) = ( x + 2)12 - ( x + 2)11 + C 
ò  12 11
Thí dụ 4 : Tìm nguyên hàm 
sin 2xdx  dx 
ò 1 + cos2 x ; 2.  ò sin 2x
1. 
Giải : 
d (1 + cos 2  x ) 
s in 2 x d x 2 
ò 1 + cos2 x = - ò  1 + cos2 x = - ln(1 + cos x) + C 
1. 
dx 1 dx 1 dx 1 d (tgx ) 1 
ò sin 2x 2 ò sin x.cos x 2 ò tgx. cos2 x 2 ò  tgx = 2 ln | tgx | + C 
2.  = = =

( x 2  - 1)dx 
ò 
Thí dụ 5 : Tìm nguyên hàm  . 
x 4  + 1
1  ö
æ
ç 1 - 2  ÷ dx 

( x - 1)dx 
= è x  ø . 
ò ò 
Giải :  4  1 
x 2  +
x + 1 
x 2 

æ 1  ö

Đặt  u = x + Þ du =  ç 1 - 2  ÷ dx  và  x 2 + 2  = u 2  - 2.  Do đó : 
x x
è x ø 
( x 2  - 1)dx du 1 æ1 1ö 1 u - 2 
ò ò u 2  - 2 ò 
= = - ÷ du = ln + C 
ç
x4 +1 2 2 èu- 2 u+ 2 ø 2 2 u + 2 

x+
- 2 
1 x 2  - 2 x + 1 
1 x 
= ln + C = ln + C 
2  x 2  + 2 x + 1 
2 2   x + 1   +  2  
x
3. Phương pháp nguyên hàm từng phần 

ò ò  ò 
Các bạn sử dụng công thức  udv = uv - vdu. Như vậy để tìm  f ( x )dx thì phải nhìn f(x)dx là 
udv. Giả sử f(x)dx =  f1 (x ).f 2 ( x )dx  với  f1 ( x )  là đa thức thì việc lựa chọn u, dv, hoàn toàn phụ 
thuộc vào  f 2 (x ) . Nếu  f 2 (x )  là các hàm lượng giác ngược, hàm logarit, hàm vô tỉ thì đặt  u = f 2 ( x ) . 
Nếu  f 2 (x )  là các hàm lượng giác, hàm mũ thì đặt u =  f1 ( x ) . Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính, 
trong từng bài cụ thể và những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều 
cách để chọn cách thích hợp. 
Thí dụ 6 : Tìm nguyên hàm : 

ò  x2 -1dx 2.  ò x(ln x)2 dx
1. 
Giải :
xdx 
1. Đặt  u = x 2  - 1 Þ  du = ; dv = dx Ü v = x (chú ý chiều mũi tên này, hiện nay đang bị 
x 2  - 1
viết ngược rất nhiều !). Ta có : 
x 2 dx dx 
2 2
= x x2 -1 - x 2  - 1dx -
ò  x2 - 1
ò ò ò
I =  x - 1dx = x x - 1 -
x2 -1
d ( x 2  - 1 + x ) 
æ ö
Lưu ý : d ( - 1 + x ) = ç
x  dx

+ 1 ÷ dx  Þ  , ta có 
x =
ç ÷

x2 -1 x 2  - 1 + x
è x -1 ø
d ( x 2  - 1 + x )
1 1 1 1 
x x2 -1 - x x 2 - 1 - ln x 2   - 1 + x + C 
ò 
I= =
2 2 2 2 

x -1 + x
2 ln xdx  1 
2. Đặt  u = (ln x )2  Þ  du =  ; dv = xdx Ü  v =  x 2 . Khi đó : 
x 2

I = x (ln x ) 2 dx = ( x ln x ) 2  - x ln xdx. 
ò ò 
2
dx  1 
Lại đặt u = lnx Þ  du =  ; dv = xdx Ü  v =  x 2 , ta có : 
x 2
1 1 1 1 
x ln xdx = x 2 ln x - x d x = x 2 ln x - x 2   + C 
ò ò 
2 2 2 4
1 12 1  2 
Vậy  I = ( x ln x ) 2 - x ln x + x - C . 
2 2 4
Bài tập tương tự 
Tìm các nguyên hàm của các hàm số : 
x   
5
1.  f ( x ) = ; 
x 6  + 1
x 2  + 1 
2.  f ( x ) = ; 
x 4 - 2 x 3 - x 2  + 2 x + 1
sin x cos x 
3.  f ( x ) =
a sin 2 x - b cos2  x
4. f(x) =  sin( x ) ; 
x   
3
5.  f ( x ) = . 
x 2  - 4 x + 3
x1999 
 
6.  f ( x ) = ; 
x 2000 - 2 x1000  - 3

7.  f ( x ) =  . 
cos4  x

C.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây. 
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton ­ Leibnitz) 
Ÿ  Định  lý  :  Nếu  hàm  số  y  =  f(x)  liên  tục  trên  [a  ;  b]  và  F(x)  là  một  n guyên  hàm  của  f(x) 
thì


ò f ( x )dx = F( x ) a  = F( b) - F(a )

Ÿ Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định 
lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết : 
3p
 
3p
 

dx  4 
ò cos2 x = tgx 0  = -1  (?) 
I=

1  p 3  ù
p
é
Lưu ý :  f ( x ) =  không xác định tại  x = Î ê0;  ú nên I không tồn tại. 
2  2 ë 4 û 
cos x


( x + 1) dx 
ò 3 3x + 1 (Đề ĐH Ngoại ngữ HN ­ 1999) 
Thí dụ 1 : Tính  I =

Giải : 
7 7 
2 1 
3 3 
-
1 [(3x + 1) + 2]dx 1 
[(3 x + 1) 3 + 2(3x + 1) 3 ]d (3x + 1) 
ò ò 
I= =
3 3x + 1
3 9 
0 0 

5 2 ù
é
1 ê3 3  46 
(3x + 1) 3 + 3(3x + 1) 3 ú =
=
ú  0   1 5
ê5
9ë û

dx 
ò (x 2 + 3x + 2)2  (Đề ĐH Ngoại thương HN ­ 1999) 
Thí dụ 2 : Tính  I =

Giải : 
1 1 1 1 
é1 1ù dx dx é1 1  ù
ò ò (x + 1) ò ò 
I= ê x + 1 - x + 2 ú dx = + -2 ê - dx 
ë x + 1 x + 2 ú
2 2 
ë û û
( x + 2)
0 0 0 0 
é x + 1 ù 1  2 3 
= ê -( x + 1)-1 - (x + 2)-1 - 2 ln ú 0  = 3 + 2 ln 4 . 
x + 2 û 
ë
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị 
tuyệt đối. 


ò x x
Thí dụ 3 : Tính  I = - 2 x .dx
-1 
3 0 2 3 
2 2
- 2 x .dx + x x - 2 x .dx + x x 2  - 2 x .dx
2
òxx òx x ò ò
Giải :  I = - 2 x .dx =
-1 -1 0 2 
0 2 3 

ò x (x ) ò( ) ò  ( ) 
2
- 2 x .dx + x - x 2 + 2 x .dx + x x 2  - 2 x .dx 
=
-1 0 2 
æ x 4 2 x 3 ö 0 æ x 4 2 x 3 ö 2 æ x 4 2 x    ö 3 
3
=ç - ÷ +ç- + ÷ +ç - ÷ = 4 
ç4 3 ÷ -1 ç 4 3 ÷0 ç 4 3 ÷ 2 
è ø è ø è ø
2. Phương pháp biến đổi số :
u ( b ) 


ò ò  f (t)dt
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì  f [u(x)].u'(x)dx =
a u ( a ) 

dx 
ò x (Đề Học viện KTQS ­ 1999) 
Thí dụ 4 : Tính  I =

x +9

dt 
1  1 
Giải : Đặt  t  = Û  x  = Þ  dx = -  2  . 
x t t
1  1 
Đổi cận :  x = 7 Þ  t =  ; x = 4 Þ  t  =  . 
4
7
Do đó : 





- dt 1 d(3t ) 1 7  1 7 1 7 
= ln é (3t )2  + 1 + 3t ù
ò ò  
I= = û 1  = 3 ln 2 = 6 ln 4 
ë
3 (3t )2  + 1 3
9t 2 + 1
1 1




x 4 dx 
ò 1 + 2x  (Đề Học viện BCVT ­ 1999) 
Thí dụ 5 : Tính  I =
-1 
Giải : Đặt t = -x Û x = -t Þ dx = -dt. 
Đổi cận : x = -1 Þ t = 1 ; x = 1 Þ t = -1 ta có : 
-1 1 1 1  4 
( - t ) 4 .(- dt ) 2 t .t 4 dt t dt 1 5  1  2  1 
4
ò ò 1 + 2t = ò t dt - ò 1 + 2t  = 5 t - I = - I  Þ  I =  . 
I= = -1 
4 5

1+ 2
1 -1 -1 -1 


ò 
Chú ý : ­ Để tính  f ( x )dx không nhất thiết phải tìm nguyên hàm F(x) của f(x). 

a
g ( x ) dx 
ò  a x  + 1
­ Cách tích phân dạng  với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên. 
-a

2 - x 
ò 
Thí dụ 6 : Tính  ln dx 
2+ x
-1 
Giải : Đặt t = ­ x thì dx = ­ dt. Với x = ­1 thì t = 1, với x = 1 thì t = ­1.Do đó : 
1 -1 1 
2- x 2+t 2 + t 
ò ò ò
I= ln dx = ln (-dt ) = ln dt 
2+x 2-t 2 - t 
-1 1 -1 
1 1 
-1 
æ 2-t ö æ 2 - t ö
ò ò 
= ln ç ÷ dt = - ln ç 2 + t ÷dt = - I. 
è 2+ t ø è ø
-1 -1 
Suy ra : I = 0. 
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ luôn bằng 0. 
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
b b b 

ò f (x)dx = ò f (u)du = ò f (t )dt = ... 
a a a 
p

ò 1 + s inx dx 
Thí dụ 7 : Tính 

Giải : Đổi biến số u =  p - x Û x = p - u . Ta có :  x = 0 Þ u = p; x = p Þ u = 0.
Mặt khác : dx = ­du.
p 0 
x 1 
ò (p - u )
ò
I= dx = (-du ) 
1 + sin ( p - u ) 
1 + s inx
0  p
p p
p u 
ò 1 + s inu du -ò 1 + s inu du 
=
0 0 
p
1 æ u ö
òæ
= 2p d -I 
2  ç ÷
u ö è 2 ø
u
0   ç s in + cos  ÷
2 2 ø
è
p
1 æ u  p ö
ò cos 2 æ u - p ö d çè 2 - 4 ÷ø -I 
=p
ç ÷

è2 4ø
u  p p
Do đó : I =  = ptg æ - ö = 2  . 
p
ç ÷
4 ø  0 
è2


ò 
Chú ý : Nếu gặp tích phân  f ( x )dx mà tính mãi không được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến 

số u = a + b ­ x. Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng. 
Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta 
có : 
a +T T 

ò ò 
f ( x ) dx = f ( x ) dx
a 0 
a +T T a + T 

ò ò ò  f (x)dx (*) 
Giải : Ta có  f ( x ) dx = f ( x ) dx +
a a T 
a + T 

ò  f (x)dx , đặt u = x ­ T Û x = u + T Þ dx = du. 
Xét  J =

Đổi cận : x = T Þ u = 0 ; x = a + T Þ u = a, do đó : 
a a a 

ò ò ò 
J = f ( u + T ) . du = f ( u ) du = f ( x ) dx . 
0 0 0 
Thay vào (*) ta có đpcm. 
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hoàn.
2007 p

ò  s inx dx
Thí dụ 9 : Tính 

Giải :  Chứng minh dễ dàng hàm số y =  s inx  là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là p .Do đó : 
2007 p p 2p 2007 
p

ò ò s inx dx + ò s inx dx +... + ò
s inx dx = s inx dx 
0 0 p 2006 
p
p p
p
ò ò 
= 2007 s inx dx = 2007 s inx.dx = - 2007cosx = 5014 
0
0 0 
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần : 
b b 

ò ò vdu
Ta có :  udv = u.v a  -
a a 
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ 
lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến : 
p 2 

ò sin x dx (Đề ĐH Đà Lạt ­ 1999) 
Thí dụ 10 : Tính  I =

Giải : Đặt  t = x Û  x = t 2  Þ dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 Þ t = 0 ;  x = p2  Þ t = p nên : 
p p p
é ù p
p
I = 2 t sin tdt = -2 t.d(cos t ) = -2 ê t cos t 0  - cos tdt ú =  -2 é - p - sin t 0 ù = 2 p . 
ò ò ò  ë û
ê ú
ê ú
ë û
0 0 0 

Thí dụ 11 : Tính  I =  x 5 .e x .dx
ò 


Giải : Xét  I n  = x n .e x .dx . Đặt  u = x n Þ du = nu n -1; dv = e x dx Ü v = e x . 
ò 

Theo công thức tích phân từng phần ta có : 
1 1 1 

In  = x n .e x .dx = udv = uv - vdu 
ò ò ò

0 0 0 


= x n .e x - n x n -1e x dx = e - nI  -1 
ò  n
0

với mọi n nguyên và n >1. 
1 1 
x1 1 
x
- e x dx = e -e x  = 1 . 
ò ò 
Ta có :  I1  = x.e .dx = xe
0 0
0 0 
I2 = e - 2I1 = e - 2; I3 = e - 3I2  = e - 3(e - 2) = 6 - 2e; 
I4 = e - 4I3 = e - 4(6 - 2e) = 9e - 24; I = I5 = e - 5I4  = e - 5(9e - 24) = 120 - 44e
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng quát 
rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5. 
Bài tập : 

(1 + x 2 )dx 
ò x 2 - 4x + 3
1. 
-1 
p

sin x sin 2 x cos 5 x dx 
òp 
2. 
e x  + 1
-



3.  ( 2x - 1)1999 .e x - x  .dx 
ò 


(x 2 + 1)dx 
ò x 4 + x 2 + 1 ; 
4. 

p

(cos x + sin x )dx 
ò 
5.  ; 
3 + sin 2x
p


dx 
ò x
6.  ; 

( x + 1)

2008 
p
2007 
ò  sin
7*.  x.dx


8.  ln 3 æ x 2  + 1 - x ö .dx
ò  ç ÷
è ø
-1 


ò ex  + 1 .dx 
9. 
-1 




Bài này laisac sưu tầm trên nguồn Internet và tổng hợp lại
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản