Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác

Chia sẻ: nghe_thuat

Tham khảo sách 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác

LÖÔÏNG GIAÙC
Chuyeân ñeà 7
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Ñôn vò ño goùc vaø cung:
1. Ñoä:
.
180 o
Goùc 10 = 1 goùc beït x
O
180 y
2. Radian: (rad)
1800 = π rad

3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng:

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Ñoä
π π π π 2π 3π 5π
Radian 0 2π
π
6 4 3 2 3 4 6

II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc:
1. Ñònh nghóa: y
(tia ngọn)
y

(điểm ngọn) +
+ B
α t
α M
t
x
α O
x A (điểm gốc)
(tia gốc)
O
(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)
AB = α + k 2π
2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:

Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: AM = α + k2π
y
2kπ

A B +
π + 2kπ

B
2
π + 2kπ
→ x
C C A
O
- π + 2kπ
M

D
2 −
D


A, C
π + kπ

B, D
2
27
y t
III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: u
B
u' 1
+
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
R =1 1
−1
• A: ñieåm goác x
C A
O
• x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) x'
• y'Oy : truïc sin ( truïc tung )

• t'At : truïc tang −1 D
• u'Bu : truïc cotang
t'
y'
2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc:
a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= α .
Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy
T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu
Ta ñònh nghóa: t
y t
Trục sin
Trục cotang
u' U
B u
+
M
cos α = OP
T
Q
α
α
t
sin α = OQ
x
x' O P
tanα = AT
A

cot α = BU
Trục cosin −1
Trục tang
t'
y'
b. Caùc tính chaát :

Vôùi moïi α ta coù :

−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1
π
tanα xaùc ñinh ∀α ≠ + kπ

2
cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ


c. Tính tuaàn hoaøn


sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cos α
(k ∈ Z )
tan(α + kπ ) = tan α
cot(α + kπ ) = cot α


28
IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät:
Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät

y
t


3




-3 - 3 /3 3 /3 3
-1 1
B π /2
u
u' 1 π/3
2π / 3
π/ 4
3 /2
3π / 4
2 /2 π /6
3 /3
5π /6 1/2
+

x' π x
1 A (Ñieåm goác)
3 /2
1/2 2 /2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2

-1 O



-1/2
- 3 /3
-π /6
- 2 /2
-π / 4
- 3 /2
-1 -1
-π / 3
-π/2




-3
y' t'




00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Goùc
π π π π 2π 3π 5π π
0 2π
Hslg 6 4 3 2 3 4 6
sin α 0 1 0 0
1 1
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
cos α 1 0 -1 1
1 1
3 2 2 3
− − −
2 2
2 2 2 2
tan α 0 1 kxñ -1 0 0
−3
3
3 3

3 3
cot α kxñ 1 0 -1 kxñ kxñ
−3
3 3 3

3 3




29
V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät:
Ñoù laø caùc cung :
π π
1. Cung ñoái nhau : α vaø -α (toång baèng 0) (Vd: ,…)
&−
6 6
π 5π
2. Cung buø nhau : α v aø π - α ( toång baèng π ) (Vd: ,…)
&
6 6

π π π π
3. Cung phuï nhau : α vaø ( toång baèng ) (Vd: ,…)
−α &
2 2 6 3

π π π 2π
4. Cung hôn keùm : α vaø (Vd: ,…)
+α &
2 2 6 3

π 7π
5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α ,…)
(Vd: &
6 6

1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau :

cos(−α ) = co s α cos(π − α ) = − cos α
sin(−α ) = − sin α sin(π − α ) = sin α
Buø sin
Ñoái cos
tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α
cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α



π
3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm
2

π π
cos( − α ) = sin α cos( + α ) = − sin α
2 2
π
Hôn keùm
π π
2
sin( − α ) = cos α sin( + α ) = cos α
Phuï cheùo
2 2
sin baèng cos
π π
cos baèng tröø sin
tan( − α ) = cotα tan( + α ) = −cotα
2 2
π π
cot( − α ) = tan α cot( + α ) = − tan α
2 2

5. Cung hôn keùm π :

cos(π + α ) = − cos α
sin(π + α ) = − sin α Hôn keùm π
tang , cotang
tan(π + α ) tanα
=
cot(π + α ) cot α
=

30
VI. Coâng thöùc löôïng giaùc:
1. Caùc heä thöùc cô baûn:
1
1 + tan2α =
2 2
cos α + sin α = 1 cos2α
sinα 1
1 + cot 2α =
tanα =
sin 2 α
cosα
cosα tanα . cotα = 1
cotα =
sinα

Ví duï: Chöùng minh raèng:
1. cos4 x + sin 4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x
2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x
Chứng minh
2 2
1) cos4 x + sin 4 x = (cos2 x ) + (sin2 x )
2
= (cos2 x + sin2 x ) − 2 sin2 x cos2 x
= 1 − 2 sin2 x cos2 x
3 3
2) cos6 x + sin6 x = (cos2 x ) + (sin2 x )
3
= (cos2 x + sin2 x ) − 3 sin2 x cos2 x (cos2 x + sin2 x )
= 1 − 3 sin2 x cos2 x
2. Coâng thöùc coäng :

cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α
tanα +tanβ
tan(α +β ) =
1 − tan α .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β

Ví duï: Chöùng minh raèng:
π
1.cos α + sin α = 2 cos(α − )
4
π
2.cos α − sin α = 2 cos(α + )
4
Chứng minh




31
⎛2 ⎞
2 ⎟
⎜ ⎟
1) cos α + sin α = 2 ⎜ cos α + sin α ⎟
⎜2 ⎟
2
⎝ ⎠
π π⎞
⎛ ⎟

= 2 ⎜cos α cos + sin α sin ⎟
⎝ 4⎠
4
π⎞

= 2 cos ⎜α − ⎟ ⎟

⎝ 4⎠
⎛2 ⎞
2 ⎟
⎜ ⎟
2) cos α − sin α = 2 ⎜ cos α − sin α ⎟

⎜2 2
⎝ ⎠
π π⎞
⎛ ⎟

= 2 ⎜cos α cos − sin α sin ⎟
⎝ 4⎠
4
π⎞

= 2 cos ⎜α + ⎟ ⎟

⎝ 4⎠

3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 1 + cos 2α
cos2 α =
2
cos 2α = cos2 α − sin 2 α
= 2 cos2 α − 1
1 − cos 2α
= 1 − 2 sin2 α sin2 α =
2
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2 sin α .cos α
2 tan α 1
sin α cos α = sin 2α
tan 2α =
1 − tan2 α 2



4 Coâng thöùc nhaân ba:
cos 3α + 3 cos α
cos 3 α =
4
cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
3 sin α − sin 3α
sin 3 α =
4
5. Coâng thöùc haï baäc:

1 + cos 2α 1 − cos 2α 1 − cos 2α
cos2 α = sin2 α = tan2 α =
; ;
1 + cos 2α
2 2

α
6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α , tgα theo t = tan
2

1 − t2
2t 2t
sin α = cos α = tan α =
; ;
1 + t2 1 + t2 1 − t2



32
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :

1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
cosα .cos β =
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2


8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :

α +β α −β
cos α + cos β = 2 cos .cos
2 2
α +β α −β
cos α − cos β = −2 sin .sin
2 2
α +β α −β
sin α + sin β = 2 sin .cos
2 2
α +β α −β
sin α − sin β = 2 cos .sin
2 2
sin(α + β )
tan α + tan β =
cos α cos β
sin(α − β )
tan α − tan β =
cos α cos β




9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:

π π 3 + cos 4α
cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) cos4 α + sin 4 α =
4 4 4
π π 5 + 3 cos 4α
cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) cos6 α + sin6 α =
4 4 8




33
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)
Böôùc 4: Keát luaän
I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng )

⎡ u = v+k2π
sinu=sinv ⇔⎢
⎣ u = π -v+k2π
⎡ u = v+k2π
cosu=cosv ⇔ u = ± v + k2π
⇔⎢
⎣ u = -v+k2π
π
tanu=tanv u = v+kπ (u;v ≠ + kπ )

2
cotu=cogv u = v+kπ (u;v ≠ kπ )


( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z )



Ví duï : Giaûi phöông trình:
π π 3π
1. sin 3 x = sin( − 2 x ) 2. cos( x − ) = cos
4 4 4
1
4. sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x )
3. cos 3x = sin 2 x
4


Bài giải
π π k 2π
⎡ π ⎡

⎢3 x = 4 − 2 x + k 2π ⎢5 x = 4 + k 2π ⎢ x = 20 + 5
π
1) sin 3 x = sin( − 2 x ) ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⇔⎢
⎢3 x = π − ⎛ π − 2 x ⎞ + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π
4
⎜ ⎟
⎢ ⎢

⎝4 4 4
⎣ ⎣


⎡ π 3π
⎡ x = π + k2π
⎢x − = + k2π

π 3π ⎢ 4 4
2)cos(x − ) = cos ⇔⎢ ⇔⎢ π
⎢ x − π = − 3π + k2π ⎢ x = − + k2π
4 4
⎢⎣ 2
⎢ 4 4

π ⎡ π k2π

⎢ 3x = − 2x + k2π ⎢x = +
⎛π ⎞ 2 ⇔ ⎢⎢ 10 5
3) cos 3x = sin 2x ⇔ cos 3x = cos ⎜ − 2x⎟ ⇔ ⎢⎢ ⎟
⎜2 π π
⎝ ⎠ ⎢
⎢ 3x = − + 2x + k2π
⎢⎣ x = − 2 + k2π
⎢⎣ 2




34
1 3 + cos 4 x 3 − cos 6 x
⇔ cos 6 x = − cos 4 x ⇔ cos 6 x = cos (π − 4 x )
4) sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) ⇔ =
4 4 4
π k 2π

⎢ x = 10 + 5
⎡6 x = π − 4 x + k 2π
⇔⎢ ⇔⎢
⎣6 x = −π + 4 x + k 2π ⎢ x = − π + kπ
⎢ 2

II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn:
1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R )

* Gpt : sinx = m (1)

Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm

Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù

⎡ x = α +k2π
(1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢
⎣ x = (π -α )+k2π
* Gpt : cosx = m (2)

Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm

Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù

⎡ x = β +k2π
(2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢
⎣ x = − β +k2π
* Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R )

Ñaët m = tan γ thì

(3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ

* Gpt: cotx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R )

Ñaët m = cot δ thì

(4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ




35
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
y
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π B
2 +
sinx = 0 ⇔ x = kπ
π
sin x = 1 ⇔ x=+ k 2π x
2 C A
O
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π

π
cosx = 0 ⇔ x= + kπ D
2
cos x = 1 ⇔ x = k 2π


Ví duï:

Giaûi caùc phöông trình :
1 2
π
1) sin 2 x = 2) cos( x − ) = −
2 4 2
3) sin 2 x + cos 2 x = 1 4) cos x + sin x = cos 2 x
4 4




Bài giải:
1 π
1) sin 2 x = ⇔ s in2x=sin
2 6
π

⎢2 x = 6 + k 2π
⇔⎢
⎢2 x = π − π k 2π
⎢ 6

π

⎢ x = 12 + kπ
⇔⎢
⎢ x = 5π + kπ
⎢ 12

2 3π
π π
2) cos( x − ) = − ⇔ cos( x − ) = cos
4 2 4 4
⎡ π 3π
⎢ x − 4 = 4 + k 2π
⇔⎢
⎢ x − π = − 3π + k 2π
⎢ 4 4

⎡ x = π + k 2π
⇔⎢
⎢ x = − π + k 2π
2



36
π⎞

3) sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 cos ⎜2x − ⎟ = 1


⎝ 4⎠
π⎞
⎛ 2
⇔ cos ⎜2x − ⎟ = ⎟

⎝ 4⎠ 2
π⎞ π

⇔ cos ⎜2x − ⎟ = cos


⎝ ⎠
4 4
ππ
⎡2x − = + k2π

4 4
⇔ ⎢⎢ π π
⎢2x − = − + k2π
⎢⎣ 4 4
⎡ x = π + kπ

4
⇔⎢
⎢ x = kπ
⎣⎢
3 + cos 4x
4) cos4 x + sin 4 x = cos 2x ⇔ = cos 2x
4
⇔ 3 + 2 cos2 2x − 1 = 4 cos 2x
2
⇔ (cos 2x − 1) = 0
⇔ cos 2x = 1
⇔ 2x = k2π
⇔ x = kπ


Ví duï:
Giaûi caùc phöông trình:
1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x 3) 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4 x − 2 = 0
1
4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x =
2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x
4


Bài giải
1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x ⇔ cos 2 x = 1
⇔ 2 x = k 2π
⇔ x = kπ
Vậy nghiệm pt là x = kπ
5 + 3 cos 4 x
2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x ⇔ = cos 4 x
8
⇔ cos 4 x = 1
⇔ 4 x = k 2π

⇔x=
2

Vậy nghiệm pt là x =
2
37
3) 4(sin 4 x + cos4 x) + sin 4x − 2 = 0 ⇔ 3 + cos 4x + s in4x − 2 = 0
π⎞
⎛ ⎟

⇔ 2 cos ⎜4x − ⎟ = −1
⎝ 4⎠
π⎞ 3π
⎛ ⎟
⇔ cos ⎜4x − ⎟ = cos

⎝ ⎠
4 4
⎡ π 3π
⎢4x − = + k2π
⇔ ⎢⎢ 4 4
⎢4x − π = − 3π + k2π
⎢ 4 4

⎡4x = π + k2π

⇔⎢ π
⎢4x = − + k2π
⎢⎣ 2
⎡ π kπ
⎢x = +
⎢ 4 2
⇔⎢
π kπ
⎢x = − +
⎢ 8 2

⎡ π kπ
⎢x = +
⎢ 4 2
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢ 8 2

1 1
( )
4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = ⇔ − sin x cos x. cos2 x − sin2 x =
4 4
1
⇔ − s in2x.cos2x =
2
⇔ s in4x = −1
π
⇔ 4x = − + k 2π
2
π kπ
⇔x=− +
8 2
π kπ
Vậy nghiệm pt là x = − +
82




2. Daïng 2:
a sin 2 x + b sin x + c = 0
a cos2 x + b cos x + c = 0
( a ≠ 0)
a tan2 x + b tan x + c = 0
a cot 2 x + b cot x + c = 0
Caùch giaûi:
38
Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1)
Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x
Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù)




Ví duï :
5
1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 2) cos 2 x − 4 cos x + =0
2
π 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x. cos x
3) 2(sin 4 x + cos 4 x) − cos( 4)
− 2 x) = 0 =0
2 − 2 sin x
2


Bài giải
( )
1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 2 1 − sin 2 x + 5sin x − 4 = 0

⇔ 2 sin2 x − 5sin x + 2 = 0
⎡sin x = 2 (VN)
⇔⎢
⎢sin x = 1
2

π

⎢ x = 6 + k 2π
⇔⎢
⎢ x = 5π + k 2π
⎢ 6

π

⎢ x = 6 + k 2π
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = 5π + k 2π
⎢ 6

5
2) cos 2 x − 4 cos x + = 0 ⇔ 2(2 cos2 x − 1) − 8 cos x + 5 = 0
2
⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0
3

⎢ cos x = (VN)
2
⇔⎢
1
⎢ cos x =
⎢ 2

π
+ k 2π
⇔x=±
3
π
Vậy nghiệm pt là x = ± + k 2π
3


39
π 3 + cos 4x
3) 2(sin 4 x + cos4 x) − cos( − 2x) = 0 ⇔ − s in2x = 0
2 2
⇔ 3 + 1 − 2 sin2 2x − 2 s in2x = 0
⇔ 2 sin2 2x + 2 s in2x − 4 = 0
⎡s in2x = 1
⇔ ⎢⎢
⎢⎣s in2x = −2 (VN)
π
⇔ 2x = + k2π
2
π
⇔ x = + kπ
4
π
Vậy nghiệm pt là x = + kπ
4
2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x
=0
4)
2 − 2 sin x
⎡ x ≠ π + k2π

2 4
⇔ ⎢⎢
Điều kiện: sin x ≠

2 ⎢x ≠ + k2π
⎢⎣ 4
Khi đó:
2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x 5 + 3 cos 4x 1
=0⇔ − s in2x = 0
2 − 2 sin x 4 2
⇔ 5 + 3 (1 − 2 s in 2x ) − 2 s in2x = 0
2


⇔ 6 sin2 2x + 2 s in2x − 8 = 0
⎡ s in2x = 1

⇔⎢
⎢ s in2x = − 4 (VN)
⎢⎣ 3
π
⇔ 2x = + k2π
2
π
⇔ x = + kπ
4

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x = + k2π .
4




40
3. Daïng 3:
a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0)
Caùch giaûi:

Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2 + b2 thì pt

a b c
(1) ⇔ cos x + sin x = (2)
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

b
a
= sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì :
Ñaët = cosα vaø

2 2
a + b2
2
a +b
c
(2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα =
a + b2
2

c
⇔ cos(x-α ) = (3)
a + b2
2

Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x.




Chuù yù :
Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c 2



Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2
1) cos x + 3 sin x = −1


Bài giải
1 3 1
1) cos x + 3 sin x = −1 ⇔ cos x + sin x = −
2 2 2

π⎞

⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos
3⎠ 3

⎡ π 2π
⎢ x − 3 = 3 + k 2π
⇔⎢
⎢ x − π = − 2π + k 2π
⎢ 3 3

⎡ x = π + k 2π
⇔⎢
⎢ x = − π + k 2π
3

⎡ x = π + k 2π
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = − π + k 2π
3

41
2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ cos 4 x + 3 s in4x = −1
1 3 1
cos 4 x + s in4x = −

2 2 2

π⎞

⇔ cos ⎜ 4 x − ⎟ = cos
3⎠ 3

π 2π

⎢ 4 x − 3 = 3 + k 2π
⇔⎢
⎢ 4 x − π = − 2π + k 2π
⎢ 3 3

⎡ 4 x = π + k 2π
⇔⎢
⎢ 4 x = − π + k 2π
3

π kπ

⎢x = 4 + 2
⇔⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢ 12 2

π kπ

⎢x = 4 + 2
Vậy nghiệm pt là ⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢ 12 2

d. Daïng 4:
a sin2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1)

Caùch giaûi 1:

1 − cos2 x 1 + cos 2 x
Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin2 x = vaø cos2 x =
2 2
1
vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3
2

Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang )

Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt:
a tan2 x + b tan x + c = 0
Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi.

π
Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x = + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng?
2
Ví duï : Giaûi phöông trình:
3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0


42
d. Daïng 5:
a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 (1)

Caùch giaûi :
π
Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2

4
t2 −1
2
Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx=
2
• Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình :
t2 − 1
+ c = 0 (2)
at + b
2
π
Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: 2 cos( x − ) = t tìm x.

4

Ví duï : Giaûi phöông trình :
sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0

Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : a(cos x − sin x ) + b sin x .cos x + c = 0

Ví duï : Giaûi phöông trình :

sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4
4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng :
a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng
giaùc cô baûn ñaõ bieát
Ví duï: Giaûi phöông trình:
3
1) sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x −
=0
2
2) sin 3x − 3 cos 3x = 2 s in2x
1
3) tan x − 3 =
cos x
b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây:

⎡ A=0
⎡ A=0
⇔ ⎢ B=0
hoaëc
A.B = 0 ⇔ ⎢ A.B.C = 0 ⎢
⎣ B=0 ⎢C=0


Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a. sin2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2
b. 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0

43
c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï
Moät soá daáu hieäu nhaän bieát :
* Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa)
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0
* Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx
3
1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x
Ví duï : Giaûi phöông trình :
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
⎛ 7π ⎞
1 1 ⎟

+ = 4 sin ⎜ − x⎟
1) ⎟
sin x sin ⎛x − 3π ⎞ ⎝4 ⎠

⎜ ⎟

⎝ 2⎠
2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x
3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x


Bài giải:
⎛ 7π ⎞
1 1 ⎟

+ = 4 sin ⎜ − x⎟
1) ⎟
⎛ ⎞
sin x sin ⎜x − 3π ⎟ ⎝4 ⎠


⎝ 2⎠




44
Bài giải:
2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x




Bài giải:
3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x




Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau
1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x
2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
x ⎞2
⎛x
⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2
3) ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2

Bài giải
1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x




Bài giải:
2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x




45
Bài giải:
x ⎞2
⎛ x
3) ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2


⎝ 2⎠
2




Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x
=0
1)
2 − 2 sin x
⎛ x⎞
2) cot x + sin x ⎜1 + tan x tan ⎟ = 4


⎝ 2⎠
3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0

Bài giải:
2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x
=0
1)
2 − 2 sin x




Bài giải:
⎛ x⎞
2) cot x + sin x ⎜1 + tan x tan ⎟ = 4


⎝ 2⎠




46
Bài giải:
3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0




Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau
1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0
2) 1 + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0
π⎞ π⎞ 3
⎛ ⎛
3) cos 4 x + sin 4 x + sin ⎜3x − ⎟ cos ⎜x − ⎟ − = 0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2

Bài giải:
1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0




Bài giải:

47
2) 1 + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0




Bài giải:
π⎞ π⎞ 3
⎛ ⎛
3) cos4 x + sin 4 x + sin ⎜3x − ⎟ cos ⎜x − ⎟ − = 0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ 4⎠ 2
4




Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau
cos 2x 1
+ sin2 x − s in2x
1) cot x − 1 =
1 + tan x 2
2
2) 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan x
3) (2cosx − 1)(2 sin x + cos x ) = s in2x − sin x

Bài giải:
cos 2x 1
+ sin2 x − s in2x
1) cot x − 1 =
1 + tan x 2




48
Bài giải:
2) 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan2 x




Bài giải:
3) (2cosx − 1)(2 sin x + cos x ) = s in2x − sin x




------------------------------------Hết----------------------------------




49
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản