Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác

Chia sẻ: Hoàng Xuân Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

6
1.298
lượt xem
826
download

Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác

  1. LÖÔÏNG GIAÙC Chuyeân ñeà 7 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 1. Ñoä: . 180 o Goùc 10 = 1 goùc beït x O 180 y 2. Radian: (rad) 1800 = π rad 3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng: 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Ñoä π π π π 2π 3π 5π Radian 0 2π π 6 4 3 2 3 4 6 II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc: 1. Ñònh nghóa: y (tia ngọn) y (điểm ngọn) + + B α t α M t x α O x A (điểm gốc) (tia gốc) O (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) AB = α + k 2π 2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: AM = α + k2π y 2kπ → A B + π + 2kπ → B 2 π + 2kπ → x C C A O - π + 2kπ M → D 2 − D kπ → A, C π + kπ → B, D 2 27
  2. y t III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: u B u' 1 + 1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: R =1 1 −1 • A: ñieåm goác x C A O • x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) x' • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) − • t'At : truïc tang −1 D • u'Bu : truïc cotang t' y' 2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc: a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= α . Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B u + M cos α = OP T Q α α t sin α = OQ x x' O P tanα = AT A − cot α = BU Trục cosin −1 Trục tang t' y' b. Caùc tính chaát : Vôùi moïi α ta coù : • −1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1 π tanα xaùc ñinh ∀α ≠ + kπ • 2 cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ • c. Tính tuaàn hoaøn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α (k ∈ Z ) tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) = cot α 28
  3. IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät: Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät y t 3 -3 - 3 /3 3 /3 3 -1 1 B π /2 u u' 1 π/3 2π / 3 π/ 4 3 /2 3π / 4 2 /2 π /6 3 /3 5π /6 1/2 + x' π x 1 A (Ñieåm goác) 3 /2 1/2 2 /2 - 3 /2 - 2 /2 -1/2 -1 O − -1/2 - 3 /3 -π /6 - 2 /2 -π / 4 - 3 /2 -1 -1 -π / 3 -π/2 -3 y' t' 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Goùc π π π π 2π 3π 5π π 0 2π Hslg 6 4 3 2 3 4 6 sin α 0 1 0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 cos α 1 0 -1 1 1 1 3 2 2 3 − − − 2 2 2 2 2 2 tan α 0 1 kxñ -1 0 0 −3 3 3 3 − 3 3 cot α kxñ 1 0 -1 kxñ kxñ −3 3 3 3 − 3 3 29
  4. V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: Ñoù laø caùc cung : π π 1. Cung ñoái nhau : α vaø -α (toång baèng 0) (Vd: ,…) &− 6 6 π 5π 2. Cung buø nhau : α v aø π - α ( toång baèng π ) (Vd: ,…) & 6 6 π π π π 3. Cung phuï nhau : α vaø ( toång baèng ) (Vd: ,…) −α & 2 2 6 3 π π π 2π 4. Cung hôn keùm : α vaø (Vd: ,…) +α & 2 2 6 3 π 7π 5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α ,…) (Vd: & 6 6 1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau : cos(−α ) = co s α cos(π − α ) = − cos α sin(−α ) = − sin α sin(π − α ) = sin α Buø sin Ñoái cos tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α π 3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm 2 π π cos( − α ) = sin α cos( + α ) = − sin α 2 2 π Hôn keùm π π 2 sin( − α ) = cos α sin( + α ) = cos α Phuï cheùo 2 2 sin baèng cos π π cos baèng tröø sin tan( − α ) = cotα tan( + α ) = −cotα 2 2 π π cot( − α ) = tan α cot( + α ) = − tan α 2 2 5. Cung hôn keùm π : cos(π + α ) = − cos α sin(π + α ) = − sin α Hôn keùm π tang , cotang tan(π + α ) tanα = cot(π + α ) cot α = 30
  5. VI. Coâng thöùc löôïng giaùc: 1. Caùc heä thöùc cô baûn: 1 1 + tan2α = 2 2 cos α + sin α = 1 cos2α sinα 1 1 + cot 2α = tanα = sin 2 α cosα cosα tanα . cotα = 1 cotα = sinα Ví duï: Chöùng minh raèng: 1. cos4 x + sin 4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x Chứng minh 2 2 1) cos4 x + sin 4 x = (cos2 x ) + (sin2 x ) 2 = (cos2 x + sin2 x ) − 2 sin2 x cos2 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 3 3 2) cos6 x + sin6 x = (cos2 x ) + (sin2 x ) 3 = (cos2 x + sin2 x ) − 3 sin2 x cos2 x (cos2 x + sin2 x ) = 1 − 3 sin2 x cos2 x 2. Coâng thöùc coäng : cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α tanα +tanβ tan(α +β ) = 1 − tan α .tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1 + tan α .tan β Ví duï: Chöùng minh raèng: π 1.cos α + sin α = 2 cos(α − ) 4 π 2.cos α − sin α = 2 cos(α + ) 4 Chứng minh 31
  6. ⎛2 ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 1) cos α + sin α = 2 ⎜ cos α + sin α ⎟ ⎜2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ π π⎞ ⎛ ⎟ ⎜ = 2 ⎜cos α cos + sin α sin ⎟ ⎝ 4⎠ 4 π⎞ ⎛ = 2 cos ⎜α − ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 4⎠ ⎛2 ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 2) cos α − sin α = 2 ⎜ cos α − sin α ⎟ ⎟ ⎜2 2 ⎝ ⎠ π π⎞ ⎛ ⎟ ⎜ = 2 ⎜cos α cos − sin α sin ⎟ ⎝ 4⎠ 4 π⎞ ⎛ = 2 cos ⎜α + ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 4⎠ 3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 1 + cos 2α cos2 α = 2 cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 1 − cos 2α = 1 − 2 sin2 α sin2 α = 2 = cos4 α − sin 4 α sin 2α = 2 sin α .cos α 2 tan α 1 sin α cos α = sin 2α tan 2α = 1 − tan2 α 2 4 Coâng thöùc nhaân ba: cos 3α + 3 cos α cos 3 α = 4 cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α 3 sin α − sin 3α sin 3 α = 4 5. Coâng thöùc haï baäc: 1 + cos 2α 1 − cos 2α 1 − cos 2α cos2 α = sin2 α = tan2 α = ; ; 1 + cos 2α 2 2 α 6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α , tgα theo t = tan 2 1 − t2 2t 2t sin α = cos α = tan α = ; ; 1 + t2 1 + t2 1 − t2 32
  7. 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång : 1 [ cos(α + β ) + cos(α − β )] cosα .cos β = 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích : α +β α −β cos α + cos β = 2 cos .cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin .sin 2 2 α +β α −β sin α + sin β = 2 sin .cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β 9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc: π π 3 + cos 4α cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) cos4 α + sin 4 α = 4 4 4 π π 5 + 3 cos 4α cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) cos6 α + sin6 α = 4 4 8 33
  8. B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) Böôùc 4: Keát luaän I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) ⎡ u = v+k2π sinu=sinv ⇔⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π cosu=cosv ⇔ u = ± v + k2π ⇔⎢ ⎣ u = -v+k2π π tanu=tanv u = v+kπ (u;v ≠ + kπ ) ⇔ 2 cotu=cogv u = v+kπ (u;v ≠ kπ ) ⇔ ( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z ) Ví duï : Giaûi phöông trình: π π 3π 1. sin 3 x = sin( − 2 x ) 2. cos( x − ) = cos 4 4 4 1 4. sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) 3. cos 3x = sin 2 x 4 Bài giải π π k 2π ⎡ π ⎡ ⎡ ⎢3 x = 4 − 2 x + k 2π ⎢5 x = 4 + k 2π ⎢ x = 20 + 5 π 1) sin 3 x = sin( − 2 x ) ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢3 x = π − ⎛ π − 2 x ⎞ + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π 4 ⎜ ⎟ ⎢ ⎢ ⎢ ⎝4 4 4 ⎣ ⎣ ⎠ ⎣ ⎡ π 3π ⎡ x = π + k2π ⎢x − = + k2π ⎢ π 3π ⎢ 4 4 2)cos(x − ) = cos ⇔⎢ ⇔⎢ π ⎢ x − π = − 3π + k2π ⎢ x = − + k2π 4 4 ⎢⎣ 2 ⎢ 4 4 ⎣ π ⎡ π k2π ⎡ ⎢ 3x = − 2x + k2π ⎢x = + ⎛π ⎞ 2 ⇔ ⎢⎢ 10 5 3) cos 3x = sin 2x ⇔ cos 3x = cos ⎜ − 2x⎟ ⇔ ⎢⎢ ⎟ ⎜2 π π ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ 3x = − + 2x + k2π ⎢⎣ x = − 2 + k2π ⎢⎣ 2 34
  9. 1 3 + cos 4 x 3 − cos 6 x ⇔ cos 6 x = − cos 4 x ⇔ cos 6 x = cos (π − 4 x ) 4) sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) ⇔ = 4 4 4 π k 2π ⎡ ⎢ x = 10 + 5 ⎡6 x = π − 4 x + k 2π ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣6 x = −π + 4 x + k 2π ⎢ x = − π + kπ ⎢ 2 ⎣ II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù • ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù • ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) Ñaët m = tan γ thì • (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) Ñaët m = cot δ thì • (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ 35
  10. Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: y π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π B 2 + sinx = 0 ⇔ x = kπ π sin x = 1 ⇔ x=+ k 2π x 2 C A O cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π − π cosx = 0 ⇔ x= + kπ D 2 cos x = 1 ⇔ x = k 2π Ví duï: Giaûi caùc phöông trình : 1 2 π 1) sin 2 x = 2) cos( x − ) = − 2 4 2 3) sin 2 x + cos 2 x = 1 4) cos x + sin x = cos 2 x 4 4 Bài giải: 1 π 1) sin 2 x = ⇔ s in2x=sin 2 6 π ⎡ ⎢2 x = 6 + k 2π ⇔⎢ ⎢2 x = π − π k 2π ⎢ 6 ⎣ π ⎡ ⎢ x = 12 + kπ ⇔⎢ ⎢ x = 5π + kπ ⎢ 12 ⎣ 2 3π π π 2) cos( x − ) = − ⇔ cos( x − ) = cos 4 2 4 4 ⎡ π 3π ⎢ x − 4 = 4 + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k 2π ⎢ 4 4 ⎣ ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π 2 ⎣ 36
  11. π⎞ ⎛ 3) sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 cos ⎜2x − ⎟ = 1 ⎟ ⎜ ⎝ 4⎠ π⎞ ⎛ 2 ⇔ cos ⎜2x − ⎟ = ⎟ ⎜ ⎝ 4⎠ 2 π⎞ π ⎛ ⇔ cos ⎜2x − ⎟ = cos ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 4 4 ππ ⎡2x − = + k2π ⎢ 4 4 ⇔ ⎢⎢ π π ⎢2x − = − + k2π ⎢⎣ 4 4 ⎡ x = π + kπ ⎢ 4 ⇔⎢ ⎢ x = kπ ⎣⎢ 3 + cos 4x 4) cos4 x + sin 4 x = cos 2x ⇔ = cos 2x 4 ⇔ 3 + 2 cos2 2x − 1 = 4 cos 2x 2 ⇔ (cos 2x − 1) = 0 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ Ví duï: Giaûi caùc phöông trình: 1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x 3) 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4 x − 2 = 0 1 4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = 2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x 4 Bài giải 1) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ 2 x = k 2π ⇔ x = kπ Vậy nghiệm pt là x = kπ 5 + 3 cos 4 x 2) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x ⇔ = cos 4 x 8 ⇔ cos 4 x = 1 ⇔ 4 x = k 2π kπ ⇔x= 2 kπ Vậy nghiệm pt là x = 2 37
  12. 3) 4(sin 4 x + cos4 x) + sin 4x − 2 = 0 ⇔ 3 + cos 4x + s in4x − 2 = 0 π⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⇔ 2 cos ⎜4x − ⎟ = −1 ⎝ 4⎠ π⎞ 3π ⎛ ⎟ ⇔ cos ⎜4x − ⎟ = cos ⎜ ⎝ ⎠ 4 4 ⎡ π 3π ⎢4x − = + k2π ⇔ ⎢⎢ 4 4 ⎢4x − π = − 3π + k2π ⎢ 4 4 ⎣ ⎡4x = π + k2π ⎢ ⇔⎢ π ⎢4x = − + k2π ⎢⎣ 2 ⎡ π kπ ⎢x = + ⎢ 4 2 ⇔⎢ π kπ ⎢x = − + ⎢ 8 2 ⎣ ⎡ π kπ ⎢x = + ⎢ 4 2 Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢ 8 2 ⎣ 1 1 ( ) 4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = ⇔ − sin x cos x. cos2 x − sin2 x = 4 4 1 ⇔ − s in2x.cos2x = 2 ⇔ s in4x = −1 π ⇔ 4x = − + k 2π 2 π kπ ⇔x=− + 8 2 π kπ Vậy nghiệm pt là x = − + 82 2. Daïng 2: a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 ( a ≠ 0) a tan2 x + b tan x + c = 0 a cot 2 x + b cot x + c = 0 Caùch giaûi: 38
  13. Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù) Ví duï : 5 1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 2) cos 2 x − 4 cos x + =0 2 π 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x. cos x 3) 2(sin 4 x + cos 4 x) − cos( 4) − 2 x) = 0 =0 2 − 2 sin x 2 Bài giải ( ) 1) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 2 1 − sin 2 x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ 2 sin2 x − 5sin x + 2 = 0 ⎡sin x = 2 (VN) ⇔⎢ ⎢sin x = 1 2 ⎣ π ⎡ ⎢ x = 6 + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = 5π + k 2π ⎢ 6 ⎣ π ⎡ ⎢ x = 6 + k 2π Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = 5π + k 2π ⎢ 6 ⎣ 5 2) cos 2 x − 4 cos x + = 0 ⇔ 2(2 cos2 x − 1) − 8 cos x + 5 = 0 2 ⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0 3 ⎡ ⎢ cos x = (VN) 2 ⇔⎢ 1 ⎢ cos x = ⎢ 2 ⎣ π + k 2π ⇔x=± 3 π Vậy nghiệm pt là x = ± + k 2π 3 39
  14. π 3 + cos 4x 3) 2(sin 4 x + cos4 x) − cos( − 2x) = 0 ⇔ − s in2x = 0 2 2 ⇔ 3 + 1 − 2 sin2 2x − 2 s in2x = 0 ⇔ 2 sin2 2x + 2 s in2x − 4 = 0 ⎡s in2x = 1 ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣s in2x = −2 (VN) π ⇔ 2x = + k2π 2 π ⇔ x = + kπ 4 π Vậy nghiệm pt là x = + kπ 4 2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x =0 4) 2 − 2 sin x ⎡ x ≠ π + k2π ⎢ 2 4 ⇔ ⎢⎢ Điều kiện: sin x ≠ 3π 2 ⎢x ≠ + k2π ⎢⎣ 4 Khi đó: 2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x 5 + 3 cos 4x 1 =0⇔ − s in2x = 0 2 − 2 sin x 4 2 ⇔ 5 + 3 (1 − 2 s in 2x ) − 2 s in2x = 0 2 ⇔ 6 sin2 2x + 2 s in2x − 8 = 0 ⎡ s in2x = 1 ⎢ ⇔⎢ ⎢ s in2x = − 4 (VN) ⎢⎣ 3 π ⇔ 2x = + k2π 2 π ⇔ x = + kπ 4 5π So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x = + k2π . 4 40
  15. 3. Daïng 3: a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) Caùch giaûi: Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2 + b2 thì pt • a b c (1) ⇔ cos x + sin x = (2) a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 b a = sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì : Ñaët = cosα vaø • 2 2 a + b2 2 a +b c (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = a + b2 2 c ⇔ cos(x-α ) = (3) a + b2 2 Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x. Chuù yù : Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c 2 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : 2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 1) cos x + 3 sin x = −1 Bài giải 1 3 1 1) cos x + 3 sin x = −1 ⇔ cos x + sin x = − 2 2 2 2π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos 3⎠ 3 ⎝ ⎡ π 2π ⎢ x − 3 = 3 + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 2π + k 2π ⎢ 3 3 ⎣ ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π 3 ⎣ ⎡ x = π + k 2π Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = − π + k 2π 3 ⎣ 41
  16. 2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ cos 4 x + 3 s in4x = −1 1 3 1 cos 4 x + s in4x = − ⇔ 2 2 2 2π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ 4 x − ⎟ = cos 3⎠ 3 ⎝ π 2π ⎡ ⎢ 4 x − 3 = 3 + k 2π ⇔⎢ ⎢ 4 x − π = − 2π + k 2π ⎢ 3 3 ⎣ ⎡ 4 x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ 4 x = − π + k 2π 3 ⎣ π kπ ⎡ ⎢x = 4 + 2 ⇔⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢ 12 2 ⎣ π kπ ⎡ ⎢x = 4 + 2 Vậy nghiệm pt là ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢ 12 2 ⎣ d. Daïng 4: a sin2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1) Caùch giaûi 1: 1 − cos2 x 1 + cos 2 x Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin2 x = vaø cos2 x = 2 2 1 vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3 2 Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang ) Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt: a tan2 x + b tan x + c = 0 Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi. π Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x = + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 2 Ví duï : Giaûi phöông trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0 42
  17. d. Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 (1) Caùch giaûi : π Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2 • 4 t2 −1 2 Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= 2 • Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình : t2 − 1 + c = 0 (2) at + b 2 π Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: 2 cos( x − ) = t tìm x. • 4 Ví duï : Giaûi phöông trình : sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0 Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : a(cos x − sin x ) + b sin x .cos x + c = 0 Ví duï : Giaûi phöông trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng : a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng giaùc cô baûn ñaõ bieát Ví duï: Giaûi phöông trình: 3 1) sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x − =0 2 2) sin 3x − 3 cos 3x = 2 s in2x 1 3) tan x − 3 = cos x b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây: ⎡ A=0 ⎡ A=0 ⇔ ⎢ B=0 hoaëc A.B = 0 ⇔ ⎢ A.B.C = 0 ⎢ ⎣ B=0 ⎢C=0 ⎣ Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. sin2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2 b. 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0 43
  18. c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : * Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 * Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx 3 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x Ví duï : Giaûi phöông trình : 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau ⎛ 7π ⎞ 1 1 ⎟ ⎜ + = 4 sin ⎜ − x⎟ 1) ⎟ sin x sin ⎛x − 3π ⎞ ⎝4 ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ 2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x 3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x Bài giải: ⎛ 7π ⎞ 1 1 ⎟ ⎜ + = 4 sin ⎜ − x⎟ 1) ⎟ ⎛ ⎞ sin x sin ⎜x − 3π ⎟ ⎝4 ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ 44
  19. Bài giải: 2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x Bài giải: 3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x x ⎞2 ⎛x ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2 3) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2 Bài giải 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x Bài giải: 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x 45
  20. Bài giải: x ⎞2 ⎛ x 3) ⎜sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2 ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ 2 Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau 2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x =0 1) 2 − 2 sin x ⎛ x⎞ 2) cot x + sin x ⎜1 + tan x tan ⎟ = 4 ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ 3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 Bài giải: 2 (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x =0 1) 2 − 2 sin x Bài giải: ⎛ x⎞ 2) cot x + sin x ⎜1 + tan x tan ⎟ = 4 ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ 46

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản