Chuyên đề Phương pháp giải phương trình mũ

Chia sẻ: anhhao12a1

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.Công thức mũ: * Các đẳng thức cơ bản: 1) a α a β = a α + β GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2) aα a β = aα −β α 3) (a α ) β = a αβ Với

Nội dung Text: Chuyên đề Phương pháp giải phương trình mũ

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Công thức mũ:

* Các đẳng thức cơ bản:

1) a α a β = a α + β 2) = aα −β 3) (a α ) β = a αβ
β
a
α
α α α � � aα
a
4) (ab) = a b 5) � � = Với a, b > 0 , α , β là những số thực tuỳ ý.
� � bα
b
* Cho α , β là các số thực tuỳ ý , ta có:
1) Với a > 1 thì a α > a β � α > β 2) Với 0 < a < 1 thì a α > a β � α < β
Nhận xét: Với a > 0 thì a α = a β � α = β
* Cho 0 < a < b và số thực m , ta có:
1) a m < bm � m > 0 2) a m > bm � m < 0
Nhận xét : Với a, b > 0;a b thì a α = bα � α = 0 .
* Nếu n là số tự nhiên lẻ thì a n < bn � a < b , n a < n b � a < b với mọi a, b
Chú ý :
m
* Cho số thực a > 0 ; m , n là hai số nguyên, n > 0 : n .
an = am
* Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không.
* Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương.

2. Công thức Logarit

a. Định nghĩa: cho a > 0, a 1 ; b > 0. Ta có: log b = α � a α = b
a
Ví dụ : log2 8 = x � 8 = 2x � x = 3 � log2 8 = 3
Ta có kí hiệu: log10 a = lg a (lô ga thập phân của a) và loge a = ln a (loga tự nhiên của a ).
b. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
loga 1 = 0 loga a = 1 loga a x = x
c. Tính chất:
Cho x , y > 0; 0 < a 1 . Ta có:
x
loga (xy ) = loga x + loga y loga = loga x − loga y
y
x
Chú ý : Nếu xy > 0 thì loga (xy ) = loga | x | + loga | y | và loga = loga | x | − loga | y |
y
loga c
d. Công thức đổi cơ số: Cho 0 < a, b 1; c > 0 , ta có: logb c = .
loga b
Từ đó ta có các hệ quả sau:
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
1 1
�loga b. logb a = 1 � loga b = log α b = loga b, α 0
logb a a α
logb c = logb a . loga c a
logb c
=c
logb a

β 1
Nhận xét: Ta có: log bβ = loga b và loga n b = loga b
aα α n

3. Hàm số mũ:

a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng y = a x với a > 0; a 1
b. Tính chất: Hàm số mũ y = a x (0 < a 1) có các tính chất sau
• Tập xác định là ᄀ và tập giá trị là (0; + )
• Liên tục trên ᄀ .
• a >1 hàm đồng biến, tức là a x1 > a x 2 � x 1 > x 2 .

• 0 1 hàm đồng biến � loga x 1 > loga x 2 � x 1 > x 2 > 0
• 0 0. 2. a f (x ) = b � f (x ) = loga b ; a,b > 0.
3. a f (x ) = bg(x ) � f (x ) = g(x ) loga b ; a,b > 0.
Để giải phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên.
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
2
1) 2x + 3x − 4 = 4x −1 2) (2 + 3)3x = (2 − 3)5x + 8
x
3
3) 8 x +2 = 36.32 − x 4) 2x + 1 . 42x −1 .83 − x = 2 2.0, 125
2 2
6) 2x + x − 4.2x − x − 22x + 4 = 0
3
5) 2x . 4x .3x 0.125 = 4 3 2
7) 2x .3x −1.5x −2 = 12 . 8) 2 x.3x−1.5x−2 = 12
x 1 1
9) 2− x 10) =
8 x+ 2
= 36.3 3
2
x + 5 x −6 3 x+2


Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2x + 2x +1 + 2x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2 2) 32x 2 + x + 5 = 272x +1
x −1
3) 5x 2 − 5x + 6 = 2x − 3 4) x
2 .5 x = 10
2 − 5x + 4 x +5 x + 17
5) (x 2 + 3) x 2
= (x + 3) x +4 6) ( x=10).
32 x − 7 = 0, 25.128 x − 3
2x − 2
��
3 9 x 9
7) � � = . 8) 2x .x + 1 27x . 5x = 180 .
4
�� 16 16
2
9) 4x 2 − 3x + 2 + 4x 2 + 6x + 5 = 42x 2 + 3x + 7 + 1 . 10) 2x − x +8
= 41−3x
5
11) x 2 −6x − 12) 2x + 2x −1 + 2x −2 = 3x − 3x −1 + 3x −2
2 = 16 2 2
x x −1 x −2
13) 2 .3 .5 = 12 14) 5x + 5x +1 + 5x +2 = 3x + 3x +1 + 3x +2

2. Các phương pháp giải PT mũ thường gặp:

2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Tức là ta
thay thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ mà ta đặt và chuyển về
những phương trình – bất phương trình ma ta đã biết cách giải. Phương pháp đặt ẩn phụ rất phong
phú và đa dạng, để có được cách đặt ẩn phụ phù hợp thì ta phải nhận xét được quan hệ của các cơ
số có trong phương trình.

*Dạng 1: F (a f (x) ) = 0 .Với dạng này ta đặt t = a f (x ) , t > 0 (trong đkxđ của f(x)) và chuyển về
phương trình F (t ) = 0 , giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x.
Ta thường gặp dạng: m .a 2 f (x) + n .a f (x ) + p = 0 .
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
2 2 2
1) 2.16x − 15.4x − 8 = 0 2) 4cos 2x + 4cos x − 3 = 0 3) 9 x −2x −x − 7.3 x −2x −x −1 = 2
4 1 2 2
x+
4) 2 x − 21− x = 1 5) 2.3 x +4 x
+9 2 =9 x 6) 2x − x − 22 + x − x = 3
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
1 12
7) 32x − 8.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 = 0 8) 23x − 6.2x − + =1 .
23(x −1) 2x
*Dạng 2: m .a f (x ) + n .b f (x ) + p = 0 , trong đó: ab = 1 .
1
Với phương trình dạng này ta đặt t = a f (x ) , t > 0 � b f (x ) = .
t
Ví dụ 3: Giải các phương trình – bất phương trình sau
1) (5 + 24)x + (5 − 24)x = 10 2) (7 + 4 3)x − 3(2 − 3)x + 2 = 0 .

3) ( 7 + 48 )x + ( 7 − 48 )x = 14

*Dạng 3: m .a 2 f (x ) + n .(a .b) f (x ) + p.b2 f (x ) = 0 . Với dạng này ta giải như sau
a
Chia 2 vế phương trình cho b2 f (x ) và đặt t = ( ) f (x ) , t > 0 . Ta có PT: mt 2 + nt + p = 0 .
b
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
2 2 2
1) 6.9x − 13.6x + 6.4x = 0 2) 9−x + 2x + 1 − 34.152x − x + 252x − x +1 = 0
3) 125x + 50x = 23x +1 4) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0

Bài tập 2: Giải các PT sau
1) 5 x − 51− x + 4 = 0 2) 3x + 9.3− x − 10 = 0

2 3 x+3
3) 4) 52 x + 5 = 5 x +1
+5 x
8 −2 x x
+ 12 = 0
5
5) 22 x + 2−2 x + 2 x + 2− x = 20
16
( 24) + (5 − 24)
6) 5 +
x x
= 10

( x x
)
7) 3 + 5 + 16 3 − 5 = 2 x+3 ( ) 8) ( 7 + 4 3) − 3( 2 − 3 )
x x
+2=0
( ) +( ) ( ) ( )
x x x x
9) 7−4 3 7+4 3 = 14 10) 2− 3 + 2+ 3 =4
(
11) 5 + 2 6 + 5− 2 6 ) tanx
( ) tanx
= 10 12) 41/ x + 61/ x = 91/ x
13) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 10 14) 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x = 0
x x x
15) 3 4 − 15 + 3 4 + 15 = 8 3 16) 92 x − x
2 2 2
+1
− 34.152 x − x + 252 x − x +1
=0
x −1

( ) ( ) ( ) ( )
x −1 2 x − x2 2 x − x2 2
17) 5+2 = 5 −2 x +1 18) 3 + 5 + 3− 5 − 21+ 2 x − x = 0

(
19) 3 + 2 2 ) =(x
2 −1 + 3 ) x
20) 6.92 x
2
−x
− 13.62 x
2
−x
+ 6.42 x
2
−x
=0
21) 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0 22) 22x +6 + 2x +7 − 17 = 0
23) (2 + 3)x + (2 − 3)x − 4 = 0 24) 2.16x − 15.4x − 8 = 0
25) (3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x +3 26) (7 + 4 3)x − 3(2 − 3)x + 2 = 0
1 1 1
27) 3.16x + 2.8x = 5.36x 28)
2.4x + 6x = 9 x
Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
2 3x +3
29) x 30) 3x + 9.3− x − 10 = 0
8 −2 x
+ 12 = 0
31) 5.4 + 2.25x − 7.10x = 0
x 32) 52 x
+ 5= 5 x +1
+5 x

−4.3x 3
33) x +1 = 34) 25.2x − 10x + 5x = 25
3 − 1 1 − 3x
cosx−sin x− lg 7
2 sin x−2 cosx+1 1
35) 9 − 3 x x+2
=3 −9x 36) 2 −  + 52sin x−2 cosx+1 = 0
 10 
2.2. Phương pháp hàm số

Nếu hàm số y = f (x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D thì phương trình f (x ) = k
chỉ có nhiều nhất một nghiệm.
Nếu hai hàm số y = f (x ) và y = g(x ) có tính đơn điệu trái ngược nhau và cùng liên tục trên D thì
phương trình f (x ) = g(x ) chỉ có nhiều nhất một nghiệm.
Hµm sè y = a x ®ång biÕn khi a>1 vµ nghÞch biÕn khi 0 ./.
x 2x − 1
C. ĐỀ TUYỂN SINH ĐH & CĐ Đ ề 108(Đại học Dân lập Văn hiến-KD;Trang-
100) Giải PT: 4 x − 6.2 x +1 + 32 = 0
Đ ề 1:(Đại học KhA) Đ ề 109(Đại học Hùng vương-KD1;Trang-100)
3x+5x=6x+2 26 x
Giải PT: 9x − 3 + 17 = 0
Đ ề 4: 3
2
GPT: 2 x −1 − 2 x − x = ( x − 1) 2 Đ ề 114 :(CĐ SP-Đồng Nai ;Trang-105)
2
x −4 x+3
Đ ề 5: Giải PT: x −1 =1
Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất: Đ ề 4:(Trang-422)
x
2 + x = 1 − x2 + x2 + m x x
 1 + a2   1 − a2 
Đ ề 6: Giải: 
 2a  −  2a  = 1 Với 0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản