Chuyên đề phương trình , bất phương trình và hệ phương trình

Chia sẻ: quangyd1

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về phương trình , bất phương trình và hệ phương trình

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề phương trình , bất phương trình và hệ phương trình

 

  1. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT Ax = B B • A ≠ 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = A • A = 0 vaø B ≠ 0 : phöông trình voâ nghieäm • A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm Ax > B B • A>0: x> A B • A<0: x< A • A = 0 vaø B ≥ 0 : voâ nghieäm • A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm NHÔÙ 2 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT HAI AÅN SOÁ ax + by = c 1/. Daïng :  / a x + b y = c / / a b 2/. Caùch giaûi : D= / / = ab / − a / b ab c b Dx = = cb / − c / b / / cb a c Dy = / / = ac / − a / c ac  Dx x = D  ∗ D ≠ 0 : heä coù nghieäm duy nhaát   y = Dy   D ∗ D = 0 vaø Dx ≠ 0 Heä voâ nghieäm D = 0 vaø Dy ≠ 0 ∗ D = Dx = Dy = 0 : Heä voâ soá nghieäm hay voâ nghieäm tuøy thuoäc a, b, c, a/, b/, c/ Sô ñoà: a c b a’ c’ b' D Dy Dx NHÔÙ 3 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 1
  2. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 ∗ ∆ = b2 – 4ac ∆>0 −b+ ∆ −b− ∆ x1 = , x2 = 2a 2a ∆=0 b Nghieäm keùp x1 = x 2 = − 2a ∆<0 Voâ nghieäm / /2 ∗ ∆ = b – ac / ∆ >0 − b / + ∆/ − b / − ∆/ x1 = , x2 = a a / ∆ =0 b/ Nghieäm keùp x1 = x 2 = − a / ∆ <0 Voâ nghieäm c Chuù yù: a+b+c=0: nghieäm x1 = 1, x2 = a c a–b+c=0: nghieäm x1 = –1, x2 = − a NHÔÙ 4 : DAÁU NHÒ THÖÙC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x b –∞ − +∞ a f(x) Traùi daáu a 0 cuøng daáu a NHÔÙ 5 : DAÁU TAM THÖÙC f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG) Neáu Thì ∆ < 0 f(x) > 0, ∀x  a > 0 ∆ < 0  f(x) < 0, ∀x a < 0 ∆ = 0 f(x) > 0, ∀x ≠ − b  a > 0 2a ∆ = 0  b a < 0 f(x) < 0, ∀x ≠ − 2a ∆>0 x –∞ x1 x2 +∞ f(x) cuøng 0 true 0 cuøng daáu a NHÔÙ 6 : SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 2
  3. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) vaø α, β laø hai soá thöïc 1/. Muoán coù x1 < α < x2 ta phaûi coù af(x) < 0  ∆ > 0  2/. Muoán coù x2 > x1 > α ta phaûi coù af (α ) > 0 S  −α > 0 2  ∆ > 0  3/. Muoán coù x1 < x2 < α ta phaûi coù af (α ) > 0 S  −α < 0 2 af (α ) < 0 4/. Muoán coù x1< α < β < x2 ta phaûi coù  af ( β ) < 0 af (α ) < 0 5/. Muoán coù x1< α < x2 <β ta phaûi coù  af ( β ) > 0  x1 < α < x 2 < β 6/. Muoán coù α < x < β < x ta phaûi coù f (α ) f ( β ) < 0  1 2 ∆ > 0 af (α ) > 0   7/. Muoán coù α < x1 < x2 <β ta phaûi coù af ( β ) > 0  α < S < β   2 Chuù yù: 1/. Muoán coù x1 < 0 < x2 ta phaûi coù P<0 ∆ > 0  2/. Muoán coù x2 > x1 > 0 ta phaûi coù P > 0 S > 0  ∆ > 0  3/. Muoán coù x1 < x2 < α ta phaûi coù P > 0 S < 0  NHÔÙ 7 : PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN B ≥ 0 1/. 2 K A = B ⇔  A = B 2K A = B 2/. 2 K A = 2 K B ⇔   A ≥ 0(hayB ≥ 0) NHÔÙ 8 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 3
  4. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 A ≥ 0  1/. 2K A < B ⇔ B > 0  A < B 2K  B < 0  A ≥ 0 2/. 2K A>B⇔  B ≥ 0   A > B 2 K  3/. 2 K +1 A < B ⇔ A < B 2 K +1 NHÔÙ 9 : PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI  A = B  B ≥ 0 1/. A = B ⇔   A = − B   B ≥ 0  A = B 2/. A = B ⇔   A = −B  f ( x) = g ( x)  x ≥ 0 Chuù yù: f ( x ) = g ( x) ⇔    f ( − x) = g ( x )   x ≤ 0  NHÔÙ 10 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI − B < A < B 1/. A < B ⇔  B > 0   B < 0  A > B 2/. A > B ⇔  3/. A > B ⇔ A 2 > B 2  B ≥ 0   A < − B  B ≥ 0  NHÔÙ 11 : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 1/. Ñònh nghóa : Daïng : A > B, A ≥ B A < B, A ≤ B 2/. Tính chaát : a) a > b ⇔ b < a a > b b)  ⇒a>c b > c http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 4
  5. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 c) a > b ⇔ a + c > b + c ac > bc, c > 0 d) a > b ⇔  ac < bc, c < 0 a > b e)  ⇒ a+c >b+d c > d a > b > 0 f)  ⇒ ac > bd c > d > 0 1 1  a < b ; khi ab> 0 g) a > b ⇒   1 > 1 ; khi ab< 0 a b  3/. BÑT Coâ Si : Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an a 1 + a 2 + a 3 + ....... + a n ≥ n a 1 a 2 a 3 ....... a n n n  a1 + a 2 + a 3 + ....... + a n  hay a1 a 2 a3 .......a n ≤    n  Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ......... = an 4/. BÑT Bunhia Coâp ski : Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn laø nhöõng soá töïc khi ñoù: (a1b1 + a 2 b2 + ..... + a n bn ) 2 ≤ (a1 + a 2 + .... + a n )(b1 + b2 + .... + bn ) 2 2 2 2 2 2 Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n 5/. BÑT BecnuLi : Cho : a > –1, n ∈ N Ta coù : (1 + a)n ≥ 1 + na a = 0 Ñaúng thöùc xaûy ra ⇔  n = 1 6/. BÑT tam giaùc : A+ B ≤ A + B Ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ AB ≥ 0 NHÔÙ 12 : COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC A. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc ) 1/. Sin 2 x + Cos 2 x = 1 Sinx 2/. Tanx = Cosx Cosx 3/. Cotx = Sinx 4/. Tanx.Cotx = 1 1 5/. 1 + Tan 2 x = Cos 2 x http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 5
  6. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 1 6/. 1 + Cot 2 x = Sin 2 x Ñieàu kieän toàn taïi : • Tanx laø x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z • Cotx laø x ≠ kπ ,k∈Z • Sinx laø – 1 ≤ Sinx ≤ 1 • Cosx laø – 1 ≤ Cosx ≤ 1 Chuù yù : • a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab • a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc ) 7/. Cos (a + b) = CosaCosb − SinaSinb 8/. Cos (a − b) = CosaCosb + SinaSinb 9/. Sin(a + b) = SinaCosb + CosaSinb 10/. Sin(a − b) = SinaCosb − CosaSinb Tana + Tanb 11/. Tan (a + b) = 1 − TanaTanb Tana − Tanb 12/. Tan (a − b) = 1 + TanaTanb CotaCotb − 1 13/. Cot (a + b) = Cota + Cotb CotaCotb + 1 14/. Cot (a − b) = Cota − Cotb C. COÂNG THÖÙC NHAÂN I. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) 15/. Sin 2a = 2 SinaCosa 16/. Cos 2a = 2Cos 2 a − 1 = 1 − 2 Sin 2 a = Cos 2 a − Sin 2 a 2Tana 17/. Tan 2a = 1 − Tan 2 a II. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc) 18/. Cos 3a = 4Cos 3 a − 3Cosa 19/. Sin3a = 3Sina − 4 Sin 3 a 3Tana − Tan 3 a 20/. Tan3a = 1 − 3Tan 2 a III. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc) 1 − Cos 2a 21/. Sin 2 a = ⇒ 1 − Cos 2a = 2 Sin 2 a 2 1 + Cos 2a 22/. Cos 2 a = ⇒ 1 + Cos 2a = 2Cos 2 a 2 3Sina − Sin3a 23/. Sin 3 a = 4 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 6
  7. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 3Cosa + Cos 3a 24/. Cos 3 a = 4 IV. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) 2t 25/. Sinx = 1+ t2 1− t2 x 26/. Cosx = , vôùi t = Tan 1+ t 2 2 2t 27/. Tanx = 1− t2 D. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc) a+b a−b 28/. Cosa + Cosb = 2Cos Cos 2 2 a+b a−b 29/. Cosa − Cosb = −2 Sin Sin 2 2 a+b a−b 30/. Sina + Sinb = 2 Sin Cos 2 2 a+b a −b 31/. Sina − Sinb = 2Cos Sin 2 2 Sin(a + b) 32/. Tana + Tanb = CosaCosb Sin (a − b) 33/. Tana −Tanb = CosaCosb Sin (a + b) 34/. Cota + Cotb = SinaSinb − Sin (a − b) 35/. Cota − Cotb = SinaSinb E. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc) 1 36/. CosaCosb = [Cos (a − b ) + Cos (a + b)] 2 1 37/. SinaSinb = [Cos (a − b) − Cos (a + b)] 2 1 38/. SinaCosb = [Sin (a − b) + Sin(a + b)] 2 F. CUNG LIEÂN KEÁT : Cos ñoái Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα Sin buø Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα Phuï cheùo Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα Khaùc π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα Sai keùm π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα NHÔÙ 13 : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 7
  8. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 A. CÔ BAÛN : u = v + k 2π Sinu = Sinv ⇔ k∈Z u = π − v + k 2π Cosu = Cosv ⇔ u = ± v + k 2π Tanu = Tanv ⇔ u = v + kπ Cotu = Cotv ⇔ u = v + kπ Sinu = 0 ⇔ u = kπ Sinu = 1 ⇔ u = π / 2 + k 2π Sinu = –1 ⇔ u = −π / 2 + k 2π Cosu = 0 ⇔ u = π / 2 + kπ Cosu = 1 ⇔ u = k 2π Cosu = – 1 ⇔ u = π + k 2π B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos Daïng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 ) Phöông phaùp : Caùch 1: Chia hai veá cho a 2 + b 2 a b Ñaët : = Cosα ; = Sinα a2 + b2 a2 + b2 c Ta coù Sin( x + α ) = (*) a2 + b2 c (*) Coù nghieäm khi ≤1 a2 + b2 ⇔ a2 + b2 ≥ c2 (*) Voâ nghieäm khi ⇔ a2 + b2 < c2 Caùch 2: • Kieåm chöùng x = (2k + 1)π coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng? x • Xeùt x ≠ (2k + 1)π Ñaët : t = Tan 2 2t 1− t 2 Theá Sinx = ; Cosx = 1+ t2 1+ t2 Vaøo phöông trình ⇒t? ⇒x? C. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI: 1/. Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: Giaû söû a≠ 0 aSin 2 x + bSinx + c = 0 ( ñaët t = Sinx , t ≤ 1 ) aCos 2 x + bCosx + c = 0 (ñaët t = Cosx , t ≤ 1 ) π aTan 2 x + bTanx + c = 0 ( ñaët t = Tanx , x ≠ + kπ ) 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 8
  9. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 aCot 2 x + bCotx + c = 0 ( ñaët t = Cotx , x ≠ kπ ) 2/. Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx Daïng: aSin 2 x + bSinxCosx + cCos 2 x = 0 (1) aSin 3 x + bSin 2 xCosx + cSinxCos 2 x + dCos 3 x = 0 (2) Phöông phaùp : Caùch 1: ∗ Kieåm x = π/ 2 + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ? ∗ Chia hai veá cho Cos2x ( daïng 1), chia Cos3x ( daïng 2) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx. Caùch 2: Sin 2 x Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø SinxCosx = theá vaøo 2 3/. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx: Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) π Phöông phaùp: Ñaët : t = Sinx + Cosx = 2 Sin ( x + ), t ≤ 2 4 t 2 −1 (*) ⇔ at + b +c =0 2 ⇒ t ( neáu coù) ⇒x Chuù yù: Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï : π Ñaët : t = Sinx − Cosx = 2 Sin( x − ), t ≤ 2 4 1− t2 (*) ⇔ at + b +c =0 ⇒ t ? ( neáu coù) ⇒x? 2 D. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT : 1/. Toång bình phöông : • A2 + B2 + ........+ Z2 = 0 ⇔ A = B = ......= Z = 0 • A ≥ 0, B ≥ 0,......, Z ≥ 0 Ta coù : A + B + .... + Z = 0 ⇔ A = B = .....= Z = 0 2/. Ñoái laäp : Giaû söû giaûi phöông trình A = B (*) A ≤ K Neáu ta chöùng minh  B ≥ K A = K (*) ⇔  B = K A ≤ l  A = l 3/.  B ≤ k ⇔ A + B = l + k B = k  4/. A ≤ 1, B ≤ 1 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 9
  10. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 A = 1  A = −1 AB = 1 ⇔  hay  B = 1  B = −1 NHÔÙ 14: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù) • a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA Haøm soá Cosin b2 + c2 − a2 • CosA = 2bc a b c • = = = 2R SinA SinB SinC Haøm soá Sin a • a = 2 RSinA, SinA = 2R A−B Tan • 2 = a−b Haøm soá Tan A+ B a+b Tan 2 Caùc chieáu • a = bCosC + cCosB 2(b 2 + c 2 ) − a 2 Trung tuyeán 2 • ma = 4 A 2bc.Cos Phaân giaùc • la = 2 b+c 1 1 1 • S= aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 Dieän tích • S= bcSinA = acSinB = abSinC 2 2 2 • S= pr Dieän tích abc • S= 4R • S= p ( p − a )( p − b)( p − c) Chuù yù: S A B C • r= = ( p − a )Tan = ( p − b)Tan = ( p − c)Tan p 2 2 2 abc a b c • R= = = = 4S 2 SinA 2 SinB 2 SinC • a, b, c : caïnh tam giaùc • A, B, C: goùc tam giaùc • ha : Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a • ma : Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A • R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc. a+b+c • p= Nöõa chu vi tam giaùc. 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 10
  11. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng: AH 2 = BH .CH • A AH .BC = AB. AC 1 1 1 2 = 2 + B C AH AB AC 2 H • AB 2 = BH .BC • AC 2 = CH .CB • BC 2 = AB 2 + AC 2 NHÔÙ 15: MOÄT SOÁ BAØI TOÙAN CAÀN NHÔÙ Cho tam giaùc ABC : A B C 1/. SinA + SinB + SinC = 4Cos Cos Cos 2 2 2 A B C 2/. CosA + CosB + CosC = 1 + 4 Sin Sin Sin 2 2 2 3/. TanA + TanB + TanC = TanA.TanB.TanC ( tam giaùc ABC khoâng vuoâng) A B C A B C 4/. Cot + Cot + Cot = Cot .Cot .Cot 2 2 2 2 2 2 A B B C C A 5/. Tan .Tan + Tan .Tan + Tan .Tan = 1 2 2 2 2 2 2 6/. Sin A + Sin B + Sin C = 2 + 2 CosA .CosB .CosC 2 2 2 7/. Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2 C = 1 − 2CosA.CosB.CosC 8/. Sin( A + B ) = SinC A+ B C Cos ( A + B ) = −CosC ; Sin = Cos 2 2 A+ B C A+ B C Cos = Sin ; Tan = Cot 2 2 2 2 3 3 9/. SinA.SinB.SinC ≤ 8 1 10/. CosA.CosB.CosC ≤ 8 A B C 3 3 11/. Cos .Cos .Cos ≤ 2 2 2 8 A B C 1 12/. Sin .Sin .Sin ≤ 2 2 2 8 3 13/. Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2 C ≥ 4 4 14/. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2 C ≤ 9 15/. Tan A + Tan B + Tan C ≥ 9 2 2 2 3 A B C 16/. ≤ Sin 2 + Sin 2 + Sin 2 < 1 4 2 2 2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 11
  12. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 A B C 9 17/. 2 < Cos 2 + Cos 2 + Cos 2 ≤ 2 2 2 4 A B C 18/. Tan 2 + Tan 2 + Tan 2 ≥ 1 2 2 2 A B C 19/. Cot 2 + Cot 2 + Cot 2 ≥ 9 2 2 2 3 3 20/. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2C ≤ 2 3 21/. Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2C ≥ − 2 NHÔÙ 16 : HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC Ñònh nghóa 1: Haøm soá y = f ( x) goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu : 1/. f ( x) xaùc ñònh taïi ñieåm x = a 2/. lim f ( x) = f (a ) x→a Ñònh nghóa 2: f (x) lieân tuïc taïi ñieåm x = a ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (a ) x→a x→a Ñònh lyù : Neáu f (x) lieân tuïc treân [a, b] vaø f (a ). f (b) < 0 thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0 NHÔÙ 17 : HAØM SOÁ MUÕ 1/. Ñònh nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( coá ñònh). Haøm soá muõ laø haøm soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : y = ax ( x ∈ R) 2/. Tính chaát : a) Haøm soá muõ lieân tuïc treân R b) y = ax > 0 moïi x ∈ R c) a > 1 : Haøm soá ñoàng bieán a < a ⇔ x1 < x 2 x1 x2 d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán a < a ⇔ x1 > x 2 x1 x2 Chuù yù : a x1 < a x2 ⇔ x1 = x 2 (0 < a ≠ 1) 3/. Ñoà thò : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 0 x 0 x NHÔÙ 18 : HAØM SOÁ LOGARIT 1/. Ñònh nghóa : a) Cho a > 0, a ≠ 1, N >0 Logarit cô soá a cuûa N laø soá muõ M sao cho : aM = N http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 12
  13. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 Kyù hieäu : logaN = M b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a ≠ 1 ) cuûa ñoái soá x laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: y = logax ( vôùi x > 0, a > 0, a ≠ 1) 2/. Tính chaát vaø ñònh lyù cô baûn veà logarit : Giaû söû logarit coù ñieàu kieän ñaõ thoûa maõn TC1 : logaN = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , a log a M = M TC3 : loga 1 = 0, loga a = 1 TC4 : loga (MN) = loga M + loga N M TC5 : log a = log a M − log a N N TC6 : Ñoåi cô soá log c N 1 log a N = ; log a b = log c a log b a 3/. Ñoà thò : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 0 x 0 x 4/. Phöông trình Logarit : log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 ) 5/. Baát phöông trình Logarit : log a f ( x) < log a g ( x) (*) a >1  f ( x) > 0 (*) ←→   f ( x) < g ( x)  g ( x) > 0 (*) ← <1→ 0< a   f ( x) > g ( x) NHÔÙ 19 : ÑAÏO HAØM I/. Ñònh nghóa ñaïo haøm : Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0 ∈ ( a, b). Ta noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 neáu giôùi ∆y haïn khi ∆x → 0 toàn taïi. ∆x ∆y f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f ' ( x 0 ) = lim = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆y ∗ Ñaïo haøm beân traùi : ( toàn taïi ) − f ' ( x 0 ) = lim− ∆ x → 0 ∆x ∆y ∗ Ñaïo haøm beân phaûi : ( toàn taïi ) + f ' ( x 0 ) = lim+ ∆ x → 0 ∆x Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b) y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘(x0+) = f ’(x0–) http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 13
  14. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 II/. Qui taéc tính ñaïo haøm : 1/. (a + b + ..... + c) ' = a ' + b ' + ....... + c ' 2/. (ab) ' = a ' .b + a.b ' (abc) ' = a ' .b.c + a.b ' .c + a.b.c ' '  a  a b − ab ' ' 3/.   = ( b ≠ 0) b b2 (cu ) ' = c.u ' (c ∈ R ) ' 1 u'   =− 2 u u III/. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn : TT Haøm soá Ñaïo haøm 1 y=c y’ = 0 2 y=x y’ = 1 y = xα y ' = α .x α −1 3 y = uα y ' = α .u α −1 .u ' 1 1 y= y' = − 2 x x y= x y' = 1 4 2 x y= u u' y' = 2 u y = Sinx y = Cosx ' 5 y = Sinu y ' = u ' .Cosu y = Cosx y ' = − Sinx 6 y = Cosu y ' = −u ' .Sinu 1 y' = y = Tanx Cos 2 x 7 u' y' = y = Tanu Cos 2 u 1 y' = − y = Cotx Sin 2 x 8 u' y' = − y = Cotu Sin 2 u 1 9 y = arcSinx y' = 1− x2 1 10 y = arcCosx y' = − 1− x2 1 11 y = arcTanx y' = 1+ x2 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 14
  15. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 1 12 y = arcCotx y' = − 1+ x2 y = ax y ' = a x Lna 13 y = au y ' = u ' .a u .Lna y = eu y' = ex 14 y = eu y ' = u 'eu y = Lnx 1 y' = x 15 u' y' = y = Lnu u y = Ln x y' = 1 x 16 y = Ln u u' y' = u 1 17 y = log a x y' = xLna NHÔÙ 20 : ÑÒNH LYÙ LAGRAÊNG Neáu f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm x = c , c ∈ (a, b) f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHÔÙ 21 : BAÛNG TÍCH PHAÂN 1/. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz : b ∫ f ( x)dx = [F ( x)] b a = F (b) − F (a ) a vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a, b} 2/. Tích phaân töøng phaàn : b b ∫ udv = [u.v] − ∫ vdu b a a a vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b] 3/. Ñoåi cô soá : b β ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )].ϕ ' (t )dt a α vôùi x = ϕ(t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ϕ’(t) lieân tuïc treân [a, b] , α ≤ t ≤ β a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [α,β ] 4/. Tính chaát : b a a) ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b a b) ∫ f ( x)dx = 0 a http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 15
  16. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 b c b c) ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a a c b b b d) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a a b b e) ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx ,K ∈R a a f) Neáu m ≤ f(x) ≤ M thì b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a 5/. Baûng tích phaân : TT Coâng thöùc α +1 x 1 ∫ x α dx = + c (α ≠ −1) α +1 1 (ax + b) α +1 2 ∫ (ax + b)α dx = . +c a α +1 1 1 3 ∫ α dx = − + c (α ≠ 1) x (α − 1) x α −1 dx 1 4 ∫ α =− +c (α ≠ 1) (ax + b) a (α − 1)(ax + b) α −1 dx 5 ∫ = Ln x + c x dx 1 6 ∫ = Ln ax + b + c ax + b a 7 ∫ Kdx = Kx + c ,K ∈R 8 ∫e dx = e x + c x 1 ax + b ∫e ax + b 9 dx = e +c a ax 10 ∫ a dx = Lna + c x 11 ∫ Sinxdx = −Cosx + c 1 12 ∫ Sin(ax + b)dx = − a Cos(ax + b) + c 13 ∫ Cosxdx = Sinx + c 1 14 ∫ Cos(ax + b)dx = a Sin(ax + b) + c http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 16
  17. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 dx 15 ∫ Cos 2 x = Tanx + c dx 16 ∫ Sin 2 x = −Cotx + c dx 17 ∫x 2 +1 = arcTanx + c dx 1 x 18 ∫ 2 = arcTan + c x +a 2 a a dx 1 x−a 19 ∫ 2 = Ln +c x −a 2 2a x+a dx 1 a+x 20 ∫ 2 = Ln +c a − x 2 2a a−x dx x 21 ∫ = arcSin + c ( a > 0) a2 − x2 a dx 22 ∫ 2 = Ln x + x 2 + h + c x +h x a2 x 23 ∫ a 2 − x 2 dx = a2 − x2 + arcSin + c ( a > 0) 2 2 a x h 24 ∫ x + h dx = x 2 + h + Ln x + x 2 + h + c 2 2 2 NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP 1/. Hoaùn vò : Pn = n! n! 2/. Toå hôïp : C nK = K !(n − K )! n−K Cn = Cn K Cn = Cn = 1 n 0 C nK−1 + C nK−−1 = C nK 1 C n + C n + ...... + C n = 2 n 0 1 n n! 3/. Chænh hôïp : AnK = (0 ≤ K ≤ n ) (n − K )! NHÔÙ 23 : SOÁ PHÖÙC 1/. Pheùp tính : ∗ Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i ∗ z = r.(Cosα + i.Sinα) z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ 0 z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)] z r = [Cos (α − β ) + iSin (α − β )] z' r ' http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 17
  18. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 2/. MoaVrô : [r (Cosα + iSinα )]n = r n (Cosnα + iSinnα ) 3/. Caên baäc n cuûa soá phöùc z = r.( Cosα + i.Sinα) : α + K 2π α + K 2π Z K = n r (Cos + i.Sin ) n n vôùi K = 0, 1, 2,......, n – 1 NHÔÙ 24 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG A. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ : → → → • M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2 • Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ) → 1). AB = ( x B − x A , y B − y A ) 2). AB = ( x B − x A , y B − y A ) 2  x A + xB x =  2 3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :   y = y A + yB   2  x A − k .x B x = 1 − k  4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 :   y = y A − k. y B   1− k → • Pheùp toaùn : Cho a = (a1 , a 2 ) → b = (b1 , b2 ) → → a = b1 1). a = b ⇔  1  a 2 = b2 → → 2). a ± b = (a1 ± b1 , a 2 ± b2 ) → 3). m. a = (ma1 , ma 2 ) →→ 4). a b = a1b1 + a 2 b2 → 5). a = a1 + a 2 2 2 → → 6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 18
  19. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 → → a1b1 + a 2 b2 7). Cos a , b  =   a1 + a 2 . b1 + b2 2 2 2 2 B. ÑÖÔØNG THAÚNG  x = x0 + a1t 1/. Phöông trình tham soá :   y = y0 + a2t → Vectô chæ phöông a = (a1 , a 2 ) 2/. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) → • Phaùp vectô n = ( A, B ) y → → • Vectô chæ phöông a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) ) A • Heä soá goùc K =− ( B ≠ 0) 0 x B 3/. Phöông trình phaùp daïng : A B C x+ y+ =0 A +B 2 2 A +B 2 2 A + B2 2 4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc K : y − y0 = K ( x − x0 ) 5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) x − xA y − yA hay = xB − x A y B − y A 6/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén) x y + =1 a b x − x0 y − y 0  →  7/. Phöông trình chính taéc : =  M ( x0 , y 0 ), a = (a, b)  a b   x − x0 y − y 0 * Quy öôùc : = ⇔ x − x0 = 0 0 b x − x0 y − y0 = ⇔ y − y0 = 0 a 0 8/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b) ( ñoaïn chaén ) : x y + =1 a b 9/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán Ax + By + C = 0 : Ax0 + By 0 + C A2 + B 2 10/. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x + B1y + C1 = 0 d2: A2x + B2y + C2 = 0 http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 19
  20. GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2 A1 B1 D= A2 B2 − C1 B1 Dx = − C 2 B2 A1 − C1 Dy = A2 − C 2 * d1 caét d2 ⇔ D ≠ 0 D = 0 D = 0 * d 1 // d 2 ⇔  hay  Dx ≠ 0 D y ≠ 0 * d1 ≡ d 2 ⇔ D = Dx = D y = 0 Chuù yù : A2, B2, C2 ≠ 0 A B d1 caét d2 ⇔ 1 ≠ 1 A2 B2 A B C d 1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1 A2 B2 C 2 A B C d1 ≡ d 2 ⇔ 1 = 1 = 1 A2 B2 C 2 11/. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 : A1 A2 + B1 B2 Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : Cosϕ = A12 + B12 A2 + B2 2 2 12/. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 : A1 x + B1 y + C1 A x + B2 y + C 2 =± 2 A12 + B12 A2 + B2 2 2 * Chuù yù : → → Phöông trình ñöôøng phaân Phöông trình ñöôøng phaân Daáu cuûa n1 n 2 giaùc goùc nhoïn taïo bôûi d1, d2 giaùc goùc tuø taïo bôûi d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 C. ÑÖÔØNG TROØN : 1/. Ñònh nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R 2/. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I( a, b) baùn kính R : Daïng 1 : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 Daïng 2 : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 Vôùi R 2 = a 2 + b 2 − c ≥ 0 3/. Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi M( x0, y0) (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Daïng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Daïng 2) D. ELIP http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 20
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản