Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Chia sẻ: Trần Văn Luân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

0
59
lượt xem
19
download

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

- Tài liệu để ôn thi đại học và cao đẳng - Tài liệu chỉ dùng cho HS học theo chương trình chuẩn - Tài liệu gồm 79 bài tập được chọn lọc kĩ và giải chi tiết

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

  1. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU - Tài liệu để ôn thi đại học và cao đẳng - Tài liệu chỉ dùng cho HS học theo chương trình chuẩn - Tài liệu gồm 79 bài tập được chọn lọc kĩ và giải chi tiết BT1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A (1;0 ) , B ( −2;4 ) , C ( −1;4 ) , D ( 3;5 ) và đường thẳng d : 3x − y − 5 = 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau. Giải M thuộc d thì M ( a;3a − 5 ) AB = ( −3;4 ) ⇒ AB = 5 Mặt khác : x −1 y AB : = ⇔ 4x + 3y − 4 = 0 −3 4 CD = ( 4;1) ⇒ CD = 17 x +1 y − 4 CD : = ⇔ x − 4 y − 17 = 0 4 1 4a + 3 ( 3a − 5 ) − 4 13a − 19 a − 4 ( 3a − 5 ) − 17 3 − 11a Tính : h1 = ( M , AB ) = = , h2 = = 5 5 17 17 Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :  11 1 1 5. 13a − 19 17. 3 − 11a 13a − 19 = 3 − 11a  a = 12 AB.h1 = CD.h2 ⇔ = ⇔ ⇔ 2 2 5 17 13a − 19 = 11a − 3  a = 8  11 27  Vậy trên d có 2 điểm : M 1  ; −  , M 2 ( 8;19 )  12 12  BT2. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A (1;0 ) , B ( 0; 2 ) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d : y = x . Tìm toạ độ đỉnh C Giải Nếu C nằm trên d : y = x thì A ( a;a ) do đó suy ra C ( 2a − 1;2a ) 0−2 Ta có : d ( B, d ) = = 2. 2 1 4 Theo giả thiết : S = AC.d ( B, d ) = 2 ⇒ AC = = ( 2a − 2 ) + ( 2a − 0 ) 2 2 2 2  1− 3 a = 2 ⇔ 8 = 8a 2 − 8a + 4 ⇔ 2a 2 − 2a − 1 = 0 ⇔   1+ 3 a =  2 1− 3 1− 3  1+ 3 1+ 3  Vậy ta có 2 điểm C : C1  ;  , C2  ;   2 2   2 2  BT3. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi A (1;1) , B ( −2;5 ) và ®Ønh C n»m trªn Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 1 - www.MATHVN.com
  2. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ®−êng th¼ng x − 4 = 0 , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 x − 3 y + 6 = 0 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Giải  AB = 5 Tọa độ C có dạng : C ( 4;a ) , AB = ( −3; 4 ) ⇒  ( AB ) : x − 1 = y − 1 ⇔ 4 x + 3 y − 7 = 0  −3 4  x + xB + xC  1− 2 + 4  xG = A  xG = =1  3  3 Theo tính chất trọng tâm ;  ⇔ y = y A + yB + yC  y = 1+ 5 + a = a + 6   G 3  G  3 3 a+6 Do G nằm trên 2 x − 3 y + 6 = 0 , cho nên : ⇒ 2.1 − 3   + 6 = 0 ⇔ a = 2.  3  4.4 + 3.2 − 7 1 1 15 Vậy M ( 4; 2 ) và d ( C , AB ) = = 3 ⇒ S ABC = AB.d ( C , AB ) = 5.3 = (đvdt) 16 + 9 2 2 2 BT4. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;−1) , B(1;− 2) , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng d : x + y − 2 = 0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC 27 b»ng . 2 Giải. A d M C B 3 1 Ta có : M là trung điểm của AB thì M  ; −  . Gọi C ( a; b ) , theo tính chất trọng tam tam giác 2 2  a+3  xG = 3  : y = b −3  G  3 a+3 b−3 Do G nằm trên d : + − 2 = 0 ⇔ a + b = 6 (1) 3 3 x − 2 y −1 3a − b − 5 Ta có : AB = (1;3) ⇒ ( AB ) : = ⇔ 3x − y − 5 = 0 ⇔ h ( C , AB ) = 1 3 10 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 2 -www.MATHVN.com
  3. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1 1 2a − b − 5 2a − b − 5 27 Từ giả thiết : S ABC = AB.h ( C , AB ) = 10. = = 2 2 10 2 2  2a − b − 5 = 27  2a − b = 32 ⇔ 2a − b − 5 = 27 ⇔  ⇔  2a − b − 5 = −27  2a − b = −22 Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :  20 a + b = 6  a + b = 6  b = − 3      2a − b = 32 3a = 38  38  38 20  ⇔ ⇔ ⇔  a = ⇒ C1  ; −  , C2 ( −6;12 ) a + b = 6  a + b = 6  3  3 3       2a − b = −22   3a = −18   b = 12    a = −6 BT5. Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ( 2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3 y − 7 = 0 . Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0 . Xác định tọa độ B và C. Tính diện tích ∆ABC . Giải B M C A Đường thẳng AC qua A ( 2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ chỉ phương x = 2 + t n = (1; −3) ⇒ ( AC ) :  (t ∈ R )  y = 1 − 3t x = 2 + t  Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : ⇒  y = 1 − 3t  x + y +1 = 0 Giải ta được : t = 2 và C ( 4; −5 ) . Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B ( 3a + 7; a ) .  3a + 9 a + 1  M là trung điểm của AB ⇒ M  ; .  2 2  3a + 9 a + 1 + + 1 = 0 ⇔ a = −3 Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C : 2 2 ⇒ B (1; −2 ) Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 3 - www.MATHVN.com
  4. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN AB = ( −1; −3) ⇒ AB = 10 x − 2 y −1 Ta có : ( AB ) : = ⇔ 3x − y − 5 = 0 1 3 12 h ( C ; AB ) = 10 1 1 12 Vậy : S ABC = AB.h ( C , AB ) = 10. = 6 (đvdt). 2 2 10 BT6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A ( 5;2 ) . Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Giải A x+y-6=0 M B N C  a+5 b+2 Gọi B ( a; b ) suy ra M  ;  . M nằm trên trung tuyến nên : 2a − b + 14 = 0 (1).  2 2  x = a + t B, B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên ( BC ) :  (t ∈ R ) .  y =b+t  6−a −b t = 2 x = a + t    3a − b − 6 Từ đó suy ra tọa độ N :  y = b + t ⇒ x = x + y − 6 = 0  2   6+b−a  y=  2  3a − b − 6 6 + b − a  ⇔ N ;  . Cho nên ta có tọa độ C ( 2a − b − 6;6 − a )  2 2  Do C nằm trên đường trung tuyến 5a − 2b − 9 = 0 (2) 2a − b + 14 = 0 a = 37 Từ (1) và (2) : ⇒  ⇔ ⇒ B ( 37;88 ) , C ( −20; −31) 5a − 2b − 9 = 0 b = 88 BT7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + 3 y + 8 = 0 , ∆ ' :3x − 4 y + 10 = 0 và điểm A ( −2;1) . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’. Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 4 -www.MATHVN.com
  5. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Giải  x = −2 + 3t Gọi tâm đường tròn là I, do I thuộc ∆ :  ⇒ I ( −2 + 3t ; −2 − t )  y = −2 − t A thuộc đường tròn ⇒ IA = ( 3t ) + ( 3 + t ) = R (1) 2 2 3 ( −2 + 3t ) − 4 ( −t − 2 ) + 10 13t + 12 Đường tròn tiếp xúc với ∆ ' ⇒ =R⇔ = R . (2) 5 5 13t + 12 ( 3t ) + ( 3 + t ) = ⇔ 25 ( 3t ) + ( 3 + t )  = (13t + 12 ) 2 2 2 2 2 Từ (1) và (2) : 5   BT8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0 cùng đi qua M (1;0 ) . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB . Giải * Cách 1.  x = 1 + at Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương u = ( a; b ) ⇒ d :   y = bt Đường tròn ( C1 ) : I1 (1;1) , R1 = 1. ( C2 ) : I 2 ( −2;0 ) , R2 = 3 , suy ra : ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, ( C2 ) : ( x + 2 ) + y 2 = 9 2 2 2 t = 0 → M  2b 2  Nếu d cắt ( C1 ) tại A : ⇒ ( a + b ) t − 2bt = 0 ⇔  2ab 2 2 2 ⇒ A 1 + 2 ; 2 2  t = 2 2b 2  a +b a +b  2  a +b t = 0 → M  6ab  Nếu d cắt ( C2 ) tại B : ⇒ ( a + b ) t + 6at = 0 ⇔  6a 2 6a ⇒ B  1 − 2 ;− 2 2 2 2 t = − 2   a +b a + b2  2  a +b 2 Theo giả thiết : MA = 2MB ⇔ MA = 4 MB (*) . 2 2 2  2ab   2b  2 2  6a 2  2  6ab  2  Ta có :  2 2  + 2 2  = 4  2 2  + 2 2  .  a +b   a +b   a + b   a + b     4b 2 36a 2 b = −6a → d : 6 x + y − 6 = 0 ⇔ 2 = 4. 2 ⇔ b 2 = 36a 2 ⇔  a + b2 a + b2 b = 6 a → d : 6 x − y − 6 = 0 * Cách 2. 1 - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k = − . (Học sinh tự làm) 2 BT9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1;0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K ( 0; 2 ) , trung điểm cạnh AB là M ( 3; 1) . Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 5 - www.MATHVN.com
  6. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN B K H M A C Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K ( 0;2 ) có véc tơ pháp tuyến KH = (1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 4 = 0 . B nằm trên (BH) qua H (1;0 ) và có véc tơ chỉ phương KH = (1; −2 ) ⇒ B (1 + t ; −2t ) . M ( 3;1) là trung điểm của AB cho nên A ( 5 − t; 2 + 2t ) . Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5 − t − 2 ( 2 + 2t ) + 4 = 0 , suy ra t = 1 . Do đó A ( 4; 4 ) , B ( 2; −2 ) Vì C thuộc (AC) suy ra C ( 2t; 2 + t ) , BC = ( 2t − 2; 4 + t ) , HA = ( 3; 4 ) . Theo tính chất đường cao kẻ từ A: ⇒ HA.BC = 0 ⇒ 3 ( 2t − 2 ) + 4 ( 4 + t ) = 0 → t = −1 . Vậy: C ( −2;1) . x−4 y−4 (AB) qua A ( 4;4 ) có véc tơ chỉ phương BA = ( 2;6 ) u = (1;3) ⇒ ( AB ) : = 1 3 ⇔ 3x − y − 8 = 0 (BC) qua B ( 2; −2 ) có véc tơ pháp tuyến HA = ( 3; 4 ) ⇒ ( BC ) : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y + 2 = 0 . BT10. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 8 y + 16 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) . Giải ( C1 ) : x 2 + ( y − 2 ) = 9 ⇒ I1 ( 0; 2 ) , R1 = 3, 2 Ta có: ( C2 ) : ( x − 3) + ( y + 4 ) = 9 ⇒ I 2 ( 3; −4 ) , R2 = 3 2 2 Nhận xét : I1I 2 = 9 + 4 = 13 < 3 + 3 = 6 ⇒ ( C1 ) không cắt ( C2 ) Gọi d : ax + by + c = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) là tiếp tuyến chung, thế thì : d ( I1 , d ) = R1; d ( I 2 , d ) = R2  2b + c  2 = 3 (1)  a + b2 2b + c 3a − 4b + c ⇔ ⇒ =  3a − 4b + c = 3 ( 2 ) a2 + b2 a2 + b2  a2 + b2  3a − 4b + c = 2b + c ⇔ 2b + c = 3a − 4b + c ⇔  3a − 4b + c = −2b − c Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 6 -www.MATHVN.com
  7. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN  a = 2b ⇔ . Mặt khác từ (1) : ( 2b + c ) = 9 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 2 3a − 2b + 2c = 0 Trường hợp : a = 2b thay vào (1) :  2b − 3 5c b = ( 2b + c ) = 9 ( 4b 2 + b 2 ) ⇔ 41b 2 − 4bc − c 2 = 0.∆ 'b = 4c 2 + 41c 2 = 45c 2 ⇔  2 4 ( b = ) 2+3 5 c   4 Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm : (2 − 3 5 ) x + (2 − 3 5 ) y +1 = 0 ⇔ 2 2 − 3 5 x + 2 − 3 5 y + 4 = 0 . d1 : 2 4 ( ) ( ) (2 + 3 5 ) x + (2 + 3 5 ) y +1 = 0 ⇔ 2 2 + 3 5 x + 2 + 3 5 y + 4 = 0 . d : 1 2 4 ( ) ( ) 2b − 3a 2b + 2b − 3a 2 Trường hợp : c = , thay vào (1) : = 3 ⇔ 2b − a = a 2 + b 2 2 a +b 2 2  a b = 0 → c = − 2 b = 0, a = −2c ⇔ ( 2b − a ) = a + b ⇔ 3b − 4ab = 0 ⇔  ⇒ 2 2 2 2 b = 4 a → c = − a b = 4a , a = −6c   3  3 6 Vậy có 2 đường thẳng : d3 : 2 x − 1 = 0 , d 4 : 6 x + 8 y − 1 = 0 . BT11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x – 2 y + 1 = 0 , phương trình đường thẳng BD : x – 7 y + 14 = 0 , đường thẳng AC đi qua M ( 2;1) . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải A B I M D C Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ: x − 2 y +1 = 0  21 13   ⇒ B ;   x − 7 y + 14 = 0  5 5 Đường thẳng (BC) qua B ( 7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương: Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 7 - www.MATHVN.com
  8. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN  21  x = +t  u = (1; −2 ) ⇒ ( BC ) :  5  y = 13 − 2t   5 Ta có : ( AC , BD ) = BIC = 2 ABD = 2ϕ = 2( AB, BD ) n1.n2 1 + 14 15 3 (AB) có n1 = (1; −2 ) , (BD) có n2 = (1; −7 ) ⇒ cos ϕ = = = = n1 n2 5 50 5 10 10 a − 7b  9 4 Gọi (AC) có n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC , BD ) = cos 2ϕ = = 2cos 2 ϕ − 1 = 2   − 1 = 50 a 2 + b 2  10  5 Do đó : 5 a − 7b = 4 50 a 2 + b 2 ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 31a 2 + 14ab − 17b 2 = 0 . 2  17 17 a = − b ⇒ ( AC ) : − ( x − 2 ) + ( y − 1) = 0 ⇔ 17 x − 31y − 3 = 0 Suy ra :  31 31   a = b ⇒ ( AC ) : x − 2 + y − 1 = 0 ⇔ x + y − 3 = 0   21 x = 5 + t   13 7  14 5  (AC) cắt (BC) tại C ⇒  y = − 2t ⇔ t = ⇒ C  ;   5 15  3 3 x − y − 3 = 0   x − 2 y +1 = 0 x = 7 (AC) cắt (AB) tại A :  ⇔ ⇔ A ( 7; 4 ) . x − y − 3 = 0 y = 4 x = 7 + t (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A ( 7;4 ) suy ra (AD) :   y = 4 − 2t x = 7 + t  7  98 46  (AD) cắt (BD) tại D :  y = 4 − 2t ⇒ t = ⇒ D ;   x − 7 y + 14 = 0 15  15 15   Trường hợp AC :17 x − 31 y − 3 = 0 các em làm tương tự. BT12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A ( 2;3) , trọng tâm G ( 2;0 ) . Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0 và d 2 : x + 2 y – 7 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 8 -www.MATHVN.com
  9. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A d1 G d2 C B M x = t  x = 7 − 2m B thuộc d suy ra B :  , C thuộc d' cho nên C:  .  y = −5 − t y = m Theo tính chất trọng tâm : ⇒ xG = ( t − 2m + 9 ) = 2, y = m − t − 2 = 0 G 3 3 m − t = 2 m = 1 Ta có hệ :  ⇔ t − 2m = −3 t = −1 Vậy : B ( −1; −4 ) và C ( 5;1) . Đường thẳng (BG) qua G ( 2;0 ) có véc tơ chỉ phương u = ( 3; 4 ) , x−2 y 20 − 15 − 8 13 cho nên BG : = ⇔ 4 x − 3 y − 8 = 0 ⇒ d ( C ; BG ) = = =R 3 4 5 5 13 169 Vậy đường tròn có tâm C ( 5;1) và có bán kính R = ⇒ ( C ) : ( x − 5 ) + ( y − 1) = 2 2 5 25 BT13. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng 2 x – 5 y + 1 = 0 , cạnh bên AB nằm trên đường thẳng 12 x – y – 23 = 0 . Viết phương trình AC biết rằng nó đi qua điểm M ( 3;1) Giải M A C B H 2 x − 5 y + 1 = 0 Đường (AB) cắt (BC) tại B  12 x − y − 23 = 0 2 Suy ra : B ( 2; −1) . (AB) có hệ số góc k = 12 , đường thẳng (BC) có hệ số góc k ' = , do đó ta có 5 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 9 - www.MATHVN.com
  10. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 2 2 12 − −m 5 = 2 . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có : tan C = 5 2 − 5m tan B = = . Vì tam 1 + 12. 2 1+ 2m 5 + 2m 5 5 giác ABC cân tại A cho nên tan B = tan C , hay ta có :  8 2 − 5m  2 − 5m = 4m + 10 m = − 9 = 2 ⇔ 2 − 5m = 2 2 m + 5 ⇔  ⇔ 5 + 2m  2 − 5m = −4m − 10   m = 12 9 9 Trường hợp : m = − ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 3) + 1 ⇔ 9 x + 8 y − 35 = 0 8 8 Trường hợp : m = 12 suy ra ( AC ) : y = 12 ( x − 3) + 1 hay ( AC ) : 12 x − y − 25 = 0 (loại vì nó //AB ). Vậy ( AC ) : 9 x + 8 y − 35 = 0 . BT14. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : ( C1 ) : ( x − 5) + ( y + 12 ) = 225 và ( C2 ) : ( x – 1) + ( y – 2 ) = 25 2 2 2 2 Giải : . Ta có (C) với tâm I ( 5; −12 ) , R = 15 . (C') có J (1;2 ) và R ' = 5 . Gọi d là tiếp tuyến chung có phương trình : ax + by + c = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 ). 5a − 12b + c a + 2b + c Khi đó ta có : h ( I , d ) = = 15 (1) , h ( J , d ) = = 5 ( 2) a2 + b2 a 2 + b2 5a − 12b + c = 3a + 6b + 3c Từ (1) và (2) suy ra : 5a − 12b + c = 3 a + 2b + c ⇔  5a − 12b + c = −3a − 6b − 3c  a − 9b = c ⇔ 3 . Thay vào (1) : a + 2b + c = 5 a 2 + b 2 ta có hai trường hợp :  −2a + b = c  2 Trường hợp : c = a − 9b thay vào (1) : ( 2a − 7b ) = 25 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 21a 2 + 28ab − 24b 2 = 0 2  14 − 10 7  14 − 10 7  175 + 10 7 a = → d : x+ y− =0  21  21  21 Suy ra :   a = 14 + 10 7 → d :  14 + 10 7  x + y − 175 − 10 7 = 0     21  21  21 Trường hợp : c = −2a + b ⇒ (1) : ( 7b − 2a ) = 100 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 96a 2 + 28ab + 51b 2 = 0 . Vô 3 2 2 nghiệm. (Phù hợp vì : IJ = 16 + 196 = 212 < R + R ' = 5 + 15 = 20 = 400 . Hai đường tròn cắt nhau). BT15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2 x − 8 y − 8 = 0 . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x + y − 2 = 0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. Giải Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 10www.MATHVN.com -
  11. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A H B I Đường thẳng d' song song với d : 3 x + y + m = 0 −3 + 4 + m m +1 IH là khoảng cách từ I đến d' : IH = = 5 5  AB  2 Xét tam giác vuông IHB : IH 2 = IB 2 −   = 25 − 9 = 16  4  ( m + 1)  m = 19 → d ' : 3 x + y + 19 = 0 2 ⇔ = 16 ⇔ m + 1 = 20 ⇒  25  m = −21 → d ' : 3x + y − 21 = 0 BT16. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B ( 2; −1) , đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là ( d1 ) : 3 x – 4 y + 27 = 0 và ( d 2 ) : x + 2 y – 5 = 0 Giải A K B C H  x = 2 + 3t Đường thẳng (BC) qua B ( 2; −1) và vuông góc với (AH) suy ra BC:  , hay :  y = −1 − 4t x − 2 y +1 ⇔ = ⇔ 4 x + 3 y − 7 = 0 ⊥ n = ( 4;3) 3 −4  x = 2 + 3t  (BC) cắt (CK) tại C : ⇒  y = −1 − 4t → t = −1 ⇔ C ( −1;3) x + 2 y − 5 = 0  (AC) qua C ( −1;3) có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b ) Suy ra ( AC ) : a ( x + 1) + b ( y − 3) = 0 (*). 4+6 10 2 Gọi ϕ = KCB = KCA ⇒ cos ϕ = = = 5 16 + 9 5 5 5 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 11 - www.MATHVN.com
  12. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN a + 2b a + 2b ⇔ ( a + 2b ) = 4 ( a 2 + b 2 ) 2 Tương tự : cos ϕ = = 2 ⇒ 5 a 2 + b2 5 a2 + b2 5  a = 0 ⇒ b ( y − 3) = 0 ↔ y − 3 = 0 ⇔ 3a − 4ab = 0 ⇔  2  a = 4b ⇒ 4 ( x + 1) + ( y − 3) = 0 ↔ 4 x + 3 y − 5 = 0   3 3  y = 3  y − 3 = 0     x = −5 3 x − 4 y + 27 = 0   31 582  (AC) cắt (AH) tại A :  ⇔   x = − 31 ⇔ A1 ( −5;3) , A2  − ;  4 x + 3 y − 5 = 0    25 25    25  3 x − 4 y + 27 = 0   582  y =  25 Lập (AB) qua B ( 2; −1) và 2 điểm A tìm được ở trên. (học sinh tự lập ). BT17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : 3.x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Giải Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y = 0 suy ra x = 1 , B (1;0 ) . Gọi A ( a;0 ) thuộc Ox là đỉnh của góc vuông (a khác 1). Đường thẳng x = a cắt (BC) tại C : a; 3 ( a − 1) . ( ) Độ dài các cạnh AB = a − 1 , AC = 3 a − 1 ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ BC = 2 a − 1 (3 + 3 ) a − 1 ( Chu vi tam giác : 2 p = a − 1 + 3 a − 1 + 2 a − 1 = 3 + 3 a − 1 ⇔ p = ) 2 S 1 1 3 Ta có : S = pr suy ra P = .(*) Nhưng S = AB. AC = a − 1 3 a − 1 = ( a − 1) . Cho nên 2 r 2 2 2 a = 3 + 2 3 (*) trở thành : 1 2 3 ( ) 3 +1 a −1 = 4 3 ( a − 1) ⇒ a − 1 = 2 3 + 1 ⇔  2 ( )  a = −1 − 2 3  Trọng tâm G :  xG = 2a + 1   xG = ( = ) 2 3 + 2 3 +1 7 + 4 3   3  7+4 3 2 3+6 3 3 ⇔ ⇒ ⇔ G1  ;  y =  G 3 ( a − 1)   yG = 3 2+2 3 = (2 3+6 )  3 3   3  3 3  xG = 2a + 1   xG = ( 2 −1 − 2 3 + 1 =− 1+ 4 3 )   3   1+ 4 3 2 3 + 6  3 3 ⇔ ⇔ ⇒ G2  − ;−   y = 3 ( a − 1)  G   yG = 3 −2 − 2 3 ( =− 2 3+6 ) 3 3   3  3 3 BT18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 1 = 0 và đường thẳng d : x + y + 1 = 0 . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 12www.MATHVN.com -
  13. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 900 . Giải A d I M B M thuộc d suy ra M ( t; −1 − t ) . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông (A, B là 2 tiếp điểm). Do đó AB = MI = IA 2 = R 2 = 6 2 = 2 3 . Ta có : MI = (2 − t ) + (2 + t ) = 2t 2 + 8 = 2 3 2 2 t = − 2 → M 1 − 2; 2 − 1  ( ) Do đó : 2t + 8 = 12 ⇔ t = 2 ⇔ 2 2 . t = 2 → M   2 ( 2; − 2 − 1 ) * Chú ý : Ta còn cách khác Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình: y = k ( x − t ) − t − 1 , hay : kx − y − kt − t − 1 = 0 (1). 2k − kt − t − 2 Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d ( I ; d ') = R ⇒ = 6 1+ k 2 ⇔ ( 2 − t ) k − t − 2  = 6 (1 + k 2 ) ⇔ ( t 2 − 4t − 2 ) k 2 + 2 ( t + 2 )( 2 − t ) k + ( t 2 + 4t − 2 ) = 0 2    t 2 − 4t − 2 ≠ 0   Từ giả thiết ta có điều kiện : ⇔ ∆ ' = ( 4 − t 2 ) − ( t 2 − 2 − 4t )( t 2 − 2 + 4t ) > 0  2  t + 4t − 2 = −1  t 2 − 4t − 2  t ≠ 2 ± 6   1   k1 + k2 = ± ⇔ ∆ ' = t (19 − t ) > 0 ⇒ t = ± 2 ⇒  2 2 2 ⇒ k1 ; k2 ⇔ M 2  k k = −1 t = 2  1 2  BT19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1;1) và đường thẳng ∆ : 2 x + 3 y + 4 = 0 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450. Giải Gọi d là đường thẳng qua A (1;1) có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b ) thì d có phương trình dạng a ( x − 1) + b ( y − 1) = 0 (*). Ta có n∆ = ( 2;3) . Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 13 - www.MATHVN.com
  14. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 2a + 3b ⇒ 2 ( 2a + 3b ) = 13 ( a 2 + b 2 ) 1 Theo giả thiết : cos ( d , ∆ ) = = cos 450 = 2 13 a 2 + b 2 2  1 1 ⇔ 5a − 24ab − 5b = 0 ⇔ 2 2  a = − 5 b → d : − 5 ( x − 1) + ( y − 1) = 0 ↔ x − 5 y + 4 = 0   a = 5b → d : 5 ( x − 1) + ( y − 1) = 0 ↔ 5 x + y − 6 = 0  Vậy B là giao của d với ∆ cho nên : x − 5 y + 4 = 0  32 4  5 x + y − 6 = 0  22 32  ⇒ B1  ⇔ B1  − ;  , B2 :  ⇒ B2  ; −  2 x + 3 y + 4 = 0  13 13  2 x + 3 y + 4 = 0  13 13  BT20. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0 . d 2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P ( 2; −1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Giải Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :  3x + 6 y − 7 2x − y + 5  3 5 =− 5 9 x + 3 y + 8 = 0 ⇔ ⇔  3x + 6 y − 7 2 x − y + 5 3 x − 9 y + 22 = 0  3 5 =  5 Lập đường thẳng ∆1 qua P ( 2; −1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x + 3y + 8 = 0 . x − 2 y +1 ⇒ ∆1 : = ⇔ x − 3y − 5 = 0 9 3 x − 2 y +1 Lập ∆ 2 qua P ( 2; −1) và vuông góc với : 3x − 9y + 22 = 0 ⇔ ∆ 2 : = ⇔ 3x + y − 5 = 0 3 −9 BT21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0 Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. Giải vuong Hide Luoi y A 1 I -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 14www.MATHVN.com -
  15. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ( ) (C) có I −2 3;0 , R = 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm : J ( a; b ) ⇒ ( C ' ) : ( x − a ) + ( y − b ) = 4 2 2 Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ = R + R ' (a + 2 3) 2 ⇒ + b 2 = 4 + 2 = 6 ⇔ a 2 + 4 3a + b 2 = 28 Vì A ( 0; 2 ) là tiếp điểm cho nên : ( 0 − a ) + ( 2 − b ) = 4 ( 2 ) 2 2  ( ) 2  a + 2 3 + b = 36  2 a + 4 3a + b = 24 2 2 Do đó ta có hệ :  ⇔ 2 a − 4b + b = 0 a + ( 2 − b ) = 4 2  2 2  Giải hệ tìm được : b = 3 và a = 3 ⇒ ( C ') : x − 3 ( ) + ( y − 3) = 4 . 2 2 Chú ý: Ta có cách giải khác . Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b IA IO OA 4 2 3 2 Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra : = = ⇔ = = IJ IH HJ 6 a+2 3 b Từ tỷ số trên ta tìm được : b = 3 và a = 3 . BT22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 2 y − 1 = 0 , đường chéo BD : x − 7 y + 14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M ( 2;1) . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải A D M B C Hình vẽ : (Như bài 12). x − 2 y −1 = 0 Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :  ⇒ B ( 7;3) .  x − 7 y + 14 = 0 x = 7 + t Đường thẳng (BC) qua B ( 7;3) và ⊥ ( AB ) ⇒ uBC = (1; −2 ) ⇔ ( BC ) :   y = 3 − 2t 1 1 − 1 1 1 1 ⇔ 2 x + y − 17 = 0 → k BC = − . Mặt khác : k BD = , k AB = ⇒ tan ϕ = 7 2 = 2 7 2 11 3 1+ 72 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 15 - www.MATHVN.com
  16. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1 2 k− Gọi (AC) có hệ số góc là k ⇒ tan 2ϕ = 7 = 7 k − 1 = 2 tan ϕ = 3 = 3 1+ k 7 + k 1 − tan 2 ϕ 1 − 1 4 7 9  17  28k − 4 = −3k − 21  k = − Do đó : 4 7 k − 1 = 3 k + 7 ⇔  ⇔ 31  28k − 4 = 3k + 21  k = 1 Trường hợp : k = 1 suy ra ( AC ) : y = ( x − 2 ) + 1, hay : x − y − 1 = 0 . x = 7 + t  C là giao của (BC) với (AC) : ⇔  y = 3 − 2t → t = −1, C ( 6;5 ) x − y −1 = 0  x = 7 + t  A là giao của (AC) với (AB) : ⇔  y = 3 − 2t → t = 0, A (1;0 ) x − 2 y −1 = 0  (AD) || (BC) suy ra (AD) có dạng : 2 x + y + m = 0 (*) , do qua A (1;0 ) : m = −2 . Cho nên (AD) có phương trình : 2 x + y − 2 = 0 . 2 x + y − 2 = 0 D là giao của (AD) với (BD) :  ⇒ D ( 0; 2 )  x − 7 y + 14 = 0 17 Trường hợp : k = − cách giải tương tự (Học sinh tự làm). 31 BT23. Trong mp (Oxy) cho đườ ng thẳ ng ( ∆) có phươ ng trình: x – 2 y – 2 = 0 và hai điể m A ( −1; 2 ) ; B ( 3; 4 ) . Tìm đ iể m M ∈ ∆ sao cho 2 MA2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhấ t Giải M thuộc ∆ suy ra M ( 2t + 2; t ) Ta có : MA2 = ( 2t + 3) + ( t − 2 ) = 5t 2 + 8t + 13 ⇒ 2MA2 = 10t 2 + 16t + 26 2 2 Tương tự : MB 2 = ( 2t − 1) + ( t − 4 ) = 5t 2 − 12t + 17 2 2 2 Do dó : f ( t ) = 15t 2 + 4t + 43 ⇒ f ' ( t ) = 30t + 4 = 0 → t = − . 15 641 2  26 2  Lập bảng biến thiên suy ra min f ( t ) = đạt được tại t = − ⇒ M  ; −  15 15  15 15  Cho đường tròn ( C ) : x + y – 2 x – 6 y + 6 = 0 và điểm M ( 2; 4 ) 2 2 BT24. Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB Giải Đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y − 3) = 4 ⇒ I (1;3) , R = 2, PM /(C ) = 1 + 1 − 4 = −2 < 0 ⇒ M nằm 2 2 trong hình tròn (C) .  x = 2 + at Gọi d là đường thẳng qua M ( 2; 4 ) có véc tơ chỉ phương u = ( a; b ) ⇒ d :   y = 4 + bt Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 16www.MATHVN.com -
  17. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Nếu d cắt (C) tại A,B thì : ( at + 1) + ( bt + 1) = 4 ⇔ ( a 2 + b 2 ) t 2 + 2 ( a + b ) t − 2 = 0 (1) ( có 2 2 2 nghiệm t ) . Vì vậy điều kiện : ∆ ' = ( a + b ) + 2 ( a 2 + b 2 ) = 3a 2 + 2ab + 3b 2 > 0 (*) 2 Gọi A ( 2 + at1 ;4 + bt1 ) , B ( 2 + at2 ;4 + bt2 ) ⇒ M là trung điểm AB thì ta có hệ : 4 + a ( t1 + t2 ) = 4  a ( t1 + t2 ) = 0  ⇔ ⇔ ⇔ t1 + t2 = 0 . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được : 8 + b ( t1 + t2 ) = 8  b ( t1 + t2 ) = 0  2(a + b) x−2 y−4 ⇔ t1 + t2 = − 2 = 0 ⇔ a + b = 0 ⇔ a = −b ⇒ d : = ⇔ d : x+ y −6 = 0 a +b 2 −1 1 BT25. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2my + m 2 − 24 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆ : mx + 4 y = 0 . Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. Giải (C) : ( x − 1) + ( y − m ) = 25 ⇒ I (1; m), R = 5 . 2 2  m y = − 4 x  Nếu d : mx + 4 y = 0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì  2  m + 16  x 2 − 2  4 + m  x + m 2 − 24 = 0 (1) 2      16    4   m   m  Điều kiện : ∆ ' = m 2 + 25 > 0 ⇔ m ∈ R . Khi đó gọi A  x1 ; − x1  , B  x2 ; − x2   4   4  m2 m 2 + 16 m 2 + 25 ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = x2 − x1 =8 2 2 16 4 m 2 + 16 m + 4m 5m Khoảng cách từ I đến d = = m 2 + 16 m 2 + 16 1 1 m 2 + 25 5m m 2 + 25 Từ giả thiết : S = AB.d = .8 . = 4 5m = 12 2 2 m 2 + 16 m 2 + 16 m 2 + 16 m 2 + 25 = 3 ⇔ 25m 2 ( m 2 + 25 ) = 9 ( m 2 + 16 ) 2 ⇔ 5m m + 16 2 Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp . BT26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x − y − 2 = 0 , phương trình cạnh AC : x + 2 y − 5 = 0 . Biết trọng tâm của tam giác G ( 3; 2 ) . Viết phương trình cạnh BC Giải x − y − 2 = 0 (AB) cắt (AC) tại A : ⇒  ⇔ A ( 3;1) x + 2 y − 5 = 0 B nằm trên (AB) suy ra B ( t ; t − 2 ) , C nằm trên (AC) suy ra C ( 5 − 2m; m )  t − 2m + 8  xG =  3 =3 t − 2m = 1 m = 2 → C (1; 2 )  Theo tính chất trọng tâm :  ⇔ ⇔  y = t + m −1 = 2 t + m = 7 t = 5 → B ( 5;3)    G 3 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 17 - www.MATHVN.com
  18. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN BT27. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A ( 2;5 ) , B ( 4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0 . Giải Gọi M là trung điểm AB suy ra M ( 3;3) . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1( x − 3) − 2 ( y − 3) = 0 , hay : x − 2 y + 3 = 0 . Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I ( 2t − 3; t ) (*) 3 ( 2t − 3) − t + 9 5t 10 Nếu (C) tiếp xúc với d thì h ( I , d ) = R ⇔ = = t = R . (1) 10 10 2 Mặt khác : R = IA = ( 5 − 2t ) + ( 5 − t ) 2 2 . (2) . t ⇔ 4 ( 5t 2 − 30t + 50 ) = 10t 2 10 ( 5 − 2t ) + ( 5 − t ) = 2 2 Thay (2) vào (1) : 2 t = 6 − 34 ⇔ t 2 − 12t + 2 = 0 ⇒  . Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và t = 6 + 34  bán kính R của (C) . Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ( có 3 ẩn a,b,c) Cho qua A, B ta tạo ra 2 phương trình. Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d : khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R . BT28. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 – 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C') tâm M ( 5;1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 . Giải A I H M B Đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 3 ⇒ I (1; −2 ) , R = 3 . 2 2 Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C') tâm M có bán kính R ' = MA . 3. 3 3 Nếu AB = 3 = IA = R , thì tam giác IAB là tam giác đều , cho nên IH = = (đường 2 2 3 7 cao tam giác đều) . Mặt khác : IM = 5 suy ra HM = 5 − = . 2 2 2 AB 49 3 Trong tam giác vuông HAM ta có MA2 = IH 2 + = + = 13 = R '2 4 4 4 Vậy (C') : ( x − 5 ) + ( y − 1) = 13 . 2 2 BT29. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 vµ ®−êng th¼ng d : x + y + m = 0 . T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy 2 2 Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 18www.MATHVN.com -
  19. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. Giải B d I A C (C) có I (1; −2 ) và bán kính R = 3 . Nếu tam giác ABC vuông góc tại A (có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau) khi đó ABIC là hình vuông. Theo tính chất hình vuông ta có IA = IB = 2 (1) . Nếu A nằm trên d thì A ( t ; −m − t ) suy ra : IA = ( t − 1) + ( t − 2 + m ) 2 2 . Thay vào (1) : ( t − 1) + ( t − 2 + m ) = 3 2 2 2 ⇒ ⇔ 2t 2 − 2 ( m − 1) t + m 2 − 4m − 13 = 0 (2). Để trên d có đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều kiện : ∆ = − ( m 2 + 10m + 25 ) = 0 ⇔ − ( m + 5 ) = 0 ⇒ m = −5 . Khi đó (2) có nghiệm kép là : 2 m − 1 −5 − 1 t1 = t2 = t0 = = = −3 ⇒ A ( −3;8 ) 2 2 BT30. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng ( d1 ) : 4 x − 3 y − 12 = 0 và ( d2 ) : 4 x + 3 y − 12 = 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. Giải  4 x − 3 y − 12 = 0 Gọi A là giao của d1 , d 2 ⇒ A :  ⇔ A ( 3;0 ) ∈ Ox  4 x + 3 y − 12 = 0 Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của d1 với Oy : cho x = 0 suy ra y = −4 , B ( 0; −4 ) và C là giao của d 2 với Oy : C ( 0; 4 ) . Chứng tỏ B, C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I ( a;0 ) . IA AC 5 IA + IO 5 + 4 OA 9 = Theo tính chất phân giác trong : = ⇒ = ⇔ = IO AO 4 IO 4 IO 4 4OA 4.3 4 4  ⇒ IO = = = . Có nghĩa là I  ;0  9 9 3 3  Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 19 - www.MATHVN.com
  20. www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1 1 15 1 ( AB + BC + CA) 1 ( 5 + 8 + 5 ) 18 6 Tính r bằng cách : S =BC.OA = .5.3 = = = ⇒r= = . 2 2 2 2 r 2 r 15 5 BT31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm C ( 2; −5 ) và đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y + 4 = 0 . Tìm  5 trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I  2;  sao cho diện tích tam giác ABC bằng15  2 Giải Nhận xét I thuộc ∆ , suy ra A thuộc ∆ ⇒ A ( 4t ;1 + 3t ) . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có tọa độ B ( 4 − 4t; 4 + 3t ) ⇒ AB = 16 (1 − 2t ) + 9 (1 − 2t ) = 5 1 − 2t 2 2 6 + 20 + 4 Khoảng cách từ C ( 2; −5 ) đến ∆ bằng chiều cao của tam giác ABC : = =6 5 1 1 t = 0 → A ( 0;1) , B ( 4;4 ) Từ giả thiết : S = AB.h = 5. 1 − 2t .6 = 15 ⇔ 1 − 2t = 1 ⇔  2 2 t = 1 → A ( 4; 4 ) , B ( 0;1)  3 BT32. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) , cã diÖn tÝch b»ng 2 vµ träng t©m thuéc ®−êng th¼ng ∆ : 3 x – y – 8 = 0 . T×m täa ®é ®Ønh C. Giải Do G thuộc ∆ suy ra G ( t;3t − 8 ) . (AB) qua A ( 2; −3) có véc tơ chỉ phương u = AB = (1;1) , cho x−2 y +3 5 5 nên (AB) : = ⇔ x − y − 5 = 0 . Gọi M là trung điểm của AB : M  ; −  . 1 1 2 2 5 5  5 11  Ta có : GM =  − t ; − − 3t + 8  =  − t ; − 3t  . Giả sử C ( x0 ; y0 ) , theo tính chất trọng tâm 2 2  2 2   5   x0 − t = −2  2 − t   x0 = −5 + 2t    ta có : GC = −2GM ⇔  ⇔ ⇒ C ( 2t − 5;9t − 19 )(1)  y − 3t + 8 = −2  11   y0 = 9t − 19  0  − 3t   2  3 ( 2t − 5 ) − ( 9t − 19 ) − 8 4 − 3t Ngoài ra ta còn có AB = 2 , h ( C , ∆ ) = = 10 10 1 1 4 − 3t 3 Theo giả thiết : S = AB.h ( C , ∆ ) = 2 = ⇔ 2 4 − 3t = 3 10 2 2 10 2  4−3 5  7+6 5  t = ⇒ C− ; −7 − 9 5   3  3  ⇔ 2 ( 4 − 3t ) = 90 ⇔ 9t 2 − 24t − 29 = 0 ⇔  2 t = 4 + 3 5 ⇒ C =  6 5 − 7 ;9 5 − 7      3  3  1  BT33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  . Đường thẳng 2  AB có phương trình: x – 2 y + 2 = 0, AB = 2 AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 20www.MATHVN.com -
Đồng bộ tài khoản