CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010

Chia sẻ: Hoàng Ngọc Quang Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

28
9.692
lượt xem
3.256
download

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình lượng giác chắc chắn là một dạng bài tập không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh đại học. Tài liệu này đã lựa chọn khá kĩ những dạng toán lượng giác nhằm giúp học sinh vừa ôn lại các phép biến đổi lượng giác, vừa nắm được cách giải các dạng bài về phương trình lượng giác. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em ôn thi tốt trong mùa thi này.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010

  1. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC I. KI N TH C CƠ B N: 1. Vòng tròn lư ng giác 2. M i liên h gi a các góc có liên quan c bi t 3 Các công th c lư ng giác - Các h ng ng th c lư ng giác - Công th c c ng - Công th c nhân ôi, nhân ba - Công th c h b c - Công th c bi n i t ng thành tích, tích thành t ng x - Công th c bi n i theo t = tan 2 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC: 1. Phương trình lư ng giác cơ b n: Ví d 1: ( thi i h c kh i D năm 2002) Tìm x ∈ [ 0;14] nghi m úng phương trình cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 (1) Gi i. (1) ⇔ (4 cos3 x − 3cos x) − 4(2 cos 2 x − 1) + 3cos x − 4 = 0 π ⇔ 4 cos 2 x(cos x − 2) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ ») 2 π 1 14 1 Vì x ∈ [ 0;14] nên 0 ≤ + kπ ≤ 14 ⇔ −0, 5 = − ≤ k ≤ − ≈ 3,9 ,mà k ∈ » nên k ∈ {0;1; 2;3} 2 2 π 2  π 3π 5π 7π  V y nghi m c a phương trình là: x ∈  ; ; ;  2 2 2 2  Ví d 2: ( thi tuy n sinh i h c kh i D, năm 2004) Gi i phương trình (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − s inx (2) Gi i. (2) ⇔ (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = s inx(2 cos x − 1) ⇔ (2 cos x − 1)(s inx + cos x) = 0  π  π  1  cos x = cos 3  x = ± 3 + k 2π cos x = ⇔ 2 ⇔ ⇔ (k , l ∈ »)   t anx = −1 = tan  − π   x = − π + lπ  s inx = − cos x       4  4 Ví d 3: Gi i phương trình sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x (3) Gi i. 1 − cos2 x 1 − cos6x 1 + cos4x 1 + cos8x (3) ⇔ + = + ⇔ −(cos2 x + cos6 x) = cos4 x + cos8 x 2 2 2 2 ⇔ −2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos 6 x cos 2 x ⇔ 2cos2 x(cos6 x + cos4 x)  π kπ x = 4 + 2 cos2 x = 0  ⇔ 4 cos 2 x.cos 5 x.cos x = 0 ⇔  cos5 x = 0 ⇔  x = π + k π (k ∈ »)  10 5 cos x = 0    x = π + kπ   2 Chú ý: • Khi gi i phương trình lư ng giác có ch a tanu, cotu, có n m u, có ch a căn b c ch n... thì ph i t i u ki n phương trình xác nh. GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 1
  2. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC • Ta có th dùng các cách sau ki m tra i u ki n xem có nh n hay không + Th nghi m tìm ư c xem có th a mãn i u ki n hay không. + Dùng ư ng tròn lư ng giác + So i u ki n trong quá trình gi i Ví d 4: Gi i phương trình tan 2 x − t anx.tan 3 x = 2 (4) Gi i. cos x ≠ 0 π π i u ki n  3 ⇔ cos 3x ≠ 0 ⇔ x ≠ + l (l ∈ ») cos 3 x = 4 cos x − 3cos x ≠ 0 6 3 s inx  s inx s in3x  Ta có (4) ⇔ t anx(t anx − tan 3 x) = 2 ⇔ . − =2 cos x  cos x cos 3 x  ⇔ sin x(s inx.cos 3 x − cos x.sin 3 x) = 2 cos 2 x.cos3 x ⇔ s inx.sin( −2 x) = 2 cos 2 x.cos3x ⇔ −2sin 2 x.cos x = 2 cos 2 x.cos3 x ⇔ − sin 2 x = cos x.cos3 x (do cosx ≠ 0) 1 − cos2 x 1 π π ⇔− = (cos4 x + cos2 x ) ⇔ cos4 x = −1 ⇔ 4 x = π + k 2π ⇔ x = + k ( k ∈ ») 2 2 4 2 π π K t h p v i i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là: x = +k ( k ∈ ») 4 2 Ví d 5: ( thi tuy n sinh i h c kh i D, năm 2003) x π x Gi i phương trình sin 2  −  .tan 2 x − cos = 0 (5) 2 4 2 Gi i. i u ki n cos x ≠ 0 ⇔ s inx ≠ ±1 1  π   sin 2 x 1 Khi ó (1) ⇔ 1 − cos  x −   . − [1 + cos x ] = 0 2  2   cos 2 x 2 (1 − s inx)(1 − cos 2 x) ⇔ − (1 + cos x) = 0 1 − sin 2 x 1 − cos 2 x ⇔ − (1 + cos x) = 0 1 + s inx 1 − cos x  ⇔ (1 + cos x)  −1 = 0  1 + sin x   ⇔ (1 + cos x)( − cos x − s inx) = 0  x = π + k 2π cos x = −1  ⇔ ⇔ π (k ∈ »)  t anx = −1  x = − + kπ  4 π K t h p i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là: x = π + k 2π ; x = − + kπ (k ∈ ») 4 sin 4 x + cos 4 x 1 Ví d 6: Gi i phương trình = (t anx + cot 2 x) (6) sin 2 x 2 Gi i. i u ki n sin2x ≠ 0 1 Ta có: * sin 4 x + cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x)2 − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x 2 s inx cos2 x 1 * tan x + cot 2 x = + = cos x sin 2 x sin 2 x GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 2
  3. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1 1 − sin 2 2 x 2 1 V y (6) ⇔ = sin 2 x 2sin 2 x 1 ⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 2 x = 1 2 ⇔ cos 2 2 x = 0 ⇔ cos2 x = 0 π π π ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = +k (k ∈ ») 2 4 2 π π K t h p i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là x = +k (k ∈ ») 4 2 2. Phương trình b c hai i v i m t hàm s lư ng giác - Có d ng: a sin 2 u + b sin u + c = 0 (a ≠ 0) aco s 2 u + bco s u + c = 0 (a ≠ 0) atan 2u + b tan u + c = 0 (a ≠ 0) acot 2u + b cot u + c = 0 (a ≠ 0) - Cách gi i: t t = sinu hay t = cosu v i t ≤ 1 π t = tanu + kπ , k ∈ » ) ( i u ki n u ≠ 2 t = cotu ( i u ki n u ≠ kπ , k ∈ » ) Các phương trình trên tr thành at 2 + bt + c = 0 Gi i phương trình trên tìm ư c t, so v i i u ki n nh n nghi m t. T ó gi i phương trình lư ng giác cơ b n tìm nghi m c a phương trình Ví d 7: ( thi tuy n sinh i h c kh i A, năm 2002)  cos3x+sin3x  Tìm các nghi m trên ( 0; 2π ) c a phương trình 5  s inx +  = 3 + cos 2 x (7)  1 + 2sin 2 x  Gi i. 1 i u ki n sin 2 x ≠ − 2 Ta có sin 3 x + cos3 x = (3sin x − 4sin 3 x) + (4cos3 x − 3cos x ) = −3(cos x − s inx) + 4(cos3 x − sin 3 x) = (cos x − s inx)  −3 + 4(cos 2 x + cos x sin x + sin 2 x )  = (cos x − s inx)(1 + 2sin 2 x)   Do v y: (7) ⇔ 5 [s inx + (cos x − s inx)] = 3 + (2 cos 2 x − 1)  1 2 ⇔ 2 cos x − 5cos x + 2 = 0 ⇔  cos x = 2   cosx = 2(loai ) π ⇔ x=± + k 2π (k ∈ ») (th a mãn i u ki n) 3 π 5π Vì x ∈ ( 0; 2π ) nên x = ∨x= 3 3 Ví d 8: ( thi tuy n sinh i h c kh i A, năm 2005) Gi i phương trình cos 2 3 x.cos2 x − cos 2 x = 0 (8) Gi i. 1 + cos6 x 1 + cos2 x (8) ⇔ .cos2 x − = 0 ⇔ cos6 x.cos2 x = 0 (8.1) 2 2 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 3
  4. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC Cách 1: (8.1) ⇔ (4 cos3 2 x − 3cos 2 x)cos2 x − 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 2 x − 3cos 2 2 x − 1 = 0 cos 2 2 x = 1 ⇔ 2 cos 2 x = − 1 (vô nghiêm)   4 π ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x = k (k ∈ ») 2 1 Cách 2: (8.1) ⇔ ( cos8 x + cos4x ) − 1 = 0 ⇔ 2cos2 4 x + cos4 x − 3 = 0 2 cos4 x = 1 π ⇔ ⇔ 4 x = k 2π ⇔ x = k (k ∈ ») cos4 x = − 3 (loai) 2  2 Cách 3: Phương trình lư ng giác không m u m c cos6 x = cos2 x = 1 (8.1) ⇔  cos6 x = cos2 x = −1 1 Cách 4: (8.1) ⇔ ( cos8 x + cos4x ) − 1 = 0 ⇔ cos8 x + cos4 x − 2 = 0 ⇔ cos8 x = cos4 x = 2 2 π ⇔ cos4 x = 1 ⇔ x = k (k ∈ ») 2 Ví d 9: ( thi tuy n sinh i h c kh i D, năm 2005)  π  π 3 Gi i phương trình cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  sin  3 x −  − = 0 (9)  4  4 2 Gi i. 1  3 ( 9 ) ⇔ sin 2 x + cos 2 x − 2sin 2 xcos 2 x + sin  4 x −  + sin 2 x  − = 0 2 π ( ) 2   2  2 1 1 3 ⇔ 1 − sin 2 2 x + [ −cos4x+sin2x ] − = 0 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ − sin 2 2 x − 1 − 2sin 2 2x  + sin 2 x − = 0   2 2 2 2 sin 2 x = 1 ⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0 ⇔  sin 2 x = −2 (loai) π π 2x = + k 2π ⇔ x = + kπ (k ∈ ») 2 4 Ví d 10: ( thi tuy n sinh i h c kh i B, năm 2004) Gi i phương trình 5sin x − 2 = 3(1 − s inx)tan 2 x (10) Gi i. i u ki n cos x ≠ 0 ⇔ s inx ≠ ±1 sin 2 x 3sin 2 x Khi ó: (10) ⇔ 5sin x − 2 = 3(1 − s inx) ⇔ 5sin x − 2 = 1 − sin 2 x 1 + sin x  1 s inx = (nhân do sinx ≠ ±1) ⇔ 2 sin 2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔  2   s inx = −2 (vô nghiêm)  π π  x = 6 + k 2π s inx = sin ⇔  ( k ∈ ») 6  x = 5π + k 2π   6 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 4
  5. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC Ví d 11: (kh i A năm 2006) 2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x Gi i phương trình =0 (11) 2 − 2sin x Gi i. 2 i u ki n s inx ≠ 2 Phương trình ã cho tương ương v i  3  1 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) − sin x cos x = 0 ⇔ 2  1 − sin 2 2 x  − sin 2 x = 0  4  2 2 ⇔ 3sin 2 x + sin 2 x − 4 = 0 ⇔ sin 2 x = 1 π ⇔ 2x = + k 2π , k ∈ » 2 π ⇔ x= + kπ , k ∈ » 4 5π Do i u ki n, nghi m c a phương trình là: x = + m2π , m ∈ » 4 Ví d 12: Gi i phương trình 3cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2) cos x (12) Gi i. i u ki n s inx ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1 cos 2 x cos x Chia c hai v c a phương trình cho sin 2 x ta ư c: 3 4 + 2 2 = (2 + 3 2) 2 (12.1) sin x sin x cos x t = 2 tt= 2 ta ư c phương trình 3t 2 − (2 + 3 2)t + 2 2 = 0 ⇔  sin x t = 2 / 3 cos x • V i t = 2 ta có = 2 ⇔ cos x = 2(1 − cos 2 x) ⇔ 2cos 2 x + cos x − 2 = 0 sin 2 x cosx = − 2 (loai)  π ⇔ 2 ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ») 4 cos x = 2  2 cos x 2 • V it= ta có 2 = ⇔ 3cos x = 2(1 − cos 2 x) ⇔ 2cos 2 x + 3cos x − 2 = 0 3 sin x 3 cosx = −2 (loai) π ⇔ 1 ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ») cos x = 3  2 K t lu n: K t h p /k ư c nghi m c a phương trình là π π x=± + k 2π ; x = ± + k 2π (k ∈ ») 3 4  π Ví d 13: Gi i phương trình tan 3  x −  = t anx − 1 (13)  4 Gi i. π π t t = x− ⇔x= +t . 4 4 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 5
  6. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC π  1 + tan t Khi ó (13) tr thành: tan 3 t = tan  + t  − 1 = − 1 v i cost ≠ 0 và tan t ≠ 1 4  1 − tan t 2 tan t ⇔ tan 3 t = ⇔ tan t (tan t + 1)(tan 2 t − 2 tan t + 2) = 0 1 − tan t ⇔ tan t = 0 ∨ tan t = −1 (nh n so i u ki n) π ⇔ t = kπ ∨ t = − + kπ , (k ∈ ») 4 π V y nghi m c a phương trình (13) là: x = + kπ ; x = kπ (k ∈ ») 4 3. Phương trình b c nh t i v i sinx và cosx - Có d ng: a sin u + b cos u = c (*) - Cách gi i: /k phương trình có nghi m: a 2 + b 2 ≥ c 2 Cách 1: a b Chia c hai v c a phương trình cho a 2 + b2 ≠ 0 . t cos α = và sin α = 2 2 a +b a + b2 2 c c v i α ∈ [ 0; 2π ] thì (*) ⇔ cosα .s inu + sin α .cos u = ⇔ s in(u + α ) = a2 + b2 a2 + b2 Cách 2: + N u u = π + k 2π là nghi m c a phương trình (*) thì a sin π + b cos π = c ⇔ −b = c u 2t 1− t2 + N u u ≠ π + k 2π t t = tan thì (*) tr thành: a. + b. =c 2 1+ t2 1+ t2 ⇔ (b + c)t 2 − 2at + c − b = 0 u Gi i phương trình trên tìm ư c nghi m t. T t = tan ta tìm ư c ư c u 2  2π 6π  Ví d 15: Tìm x ∈  ;  th a mãn phương trình cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2 (15)  5 7  Gi i. 1 3 2 Chia c hai v phương trình (12) cho 2 ta ư c cos 7 x − sin 7 x = − 2 2 2 π π 2 ⇔ sin cos 7 x − cos sin 7 x = − 6 6 2 π   π ⇔ sin  − 7 x  = sin  −  6   4  54π 2π  x = 84 + k 7 ⇔ (k , h ∈ »)  x = 11π + h 2π   84 7  2π 6π  2π 54π 2π 6π 2π 11π 2π 6π Do x ∈  ;  nên ta ph i có: ≤ +k ≤ hay ≤ +h ≤ (k,h ∈ »)  5 7  5 84 7 7 5 84 7 7 ⇒ k = 2, h = 1, h = 2  53π 35π 59π  V y x∈ ; ;   84 84 84  Ví d 16: Gi i phương trình 3sin 3x − 3cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x (16) Gi i. GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 6
  7. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC ( ) (13) ⇔ 3sin 3 x − 4sin 3 3 x − 3cos9 x = 1 ⇔ sin 9 x − 3cos9 x = 1 1 3 1  π π ⇔ sin 9 x − cos9 x = ⇔ sin  9 x −  = sin 2 2 2  3 6  π π  π 2π 9 x − 3 = 6 + k 2π  x = 18 + k 9 ⇔ ⇔ (k ∈ » ) 9 x − π = π − π + k 2π  x = 7π + k 2π   3 6   54 9 Ví d 17: Gi i phương trình tan x − 3cot x = 4(s inx + 3 cos x) (17) Gi i. s inx ≠ 0 i u ki n  ⇔ sin 2 x ≠ 0 cosx ≠ 0 s inx cosx Khi ó: (17 ) ⇔ −3 = 4(s inx + 3 cos x) ⇔ sin 2 x − 3cos 2 x = 4sin x cos x(s inx + 3 cos x) cos x sin x s inx = − 3 cos x  ⇔ (s inx + 3 cos x)(s inx − 3 cos x − 2sin 2 x) = 0 ⇔  1 3  2 s inx − 2 cos x = sin 2 x   π   π  x = − 3 + kπ  tanx = − 3 = tan  − 3     π ⇔  ⇔  x = − − k 2π (k ∈ »)   π  3 sin  x −  = sin 2 x    3 x = 4π 2π +k   9 3 π 4π 2π K t h p i u ki n ư c nghi m c a phương trình là: x = − + kπ ; x = +k (k ∈ ») 3 9 3  π 1 Ví d 18: Gi i phương trình cos 4 x + sin 4  x +  = (18)  4 4 Gi i. 2 1 1  π  1 (18) ⇔ (1 + cos2 x)2 + 1 − cos  2 x +   = ⇔⇔ (1 + cos2 x) 2 + (1 + sin 2 x)2 = 1 4 4  2  4  π 1 3π ⇔ cos2 x + sin 2 x = −1 ⇔ cos  2 x −  = − = cos  4 2 4  π π 3π  x = 2 + kπ ⇔ 2x − = ± + k 2π ⇔  ( k ∈ ») 4 4  x = − π + kπ   4 3. Phương trình i x ng i v i sinu và cosu - Có d ng: a (s inu + cos u ) + b sin u cos u = c (*)  π - Cách gi i: t t = s inu + cos u = 2cos  u −  v i i u ki n t ≤ 2  4 2 t −1 ⇒ sin u cos u = 2 Thay vào PT (*) ta ư c phương trình: bt 2 + 2at − (b + 2c) = 0 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 7
  8. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC Gi i phương trình trên tìm ư c t, r i so v i i u ki n t ≤ 2  π Gi i phương trình cơ b n 2cos  u −  = t ta tìm ư c nghi m c a phương trình.  4 Chú ý: N u phương trình có d ng: a (s inu + cos u ) + b sin u cos u = c (**)  π Thì t t = s inu- cos u = 2 sin  u −  v i i u ki n t ≤ 2  4 2 t +1 ⇒ sin u cos u = 2 Ví d 19: Gi i phương trình s inx + sin 2 x + cos3 x = 0 (19) Gi i. (19 ) ⇔ sin x (1 + s inx ) + cos x (1 − sin 2 x ) = 0 ⇔ (1 + sin x )( s inx + cos x − sin x cos x ) = 0 s inx = −1 (1) ⇔ s inx + cos x − sin x cos x = 0 (2) π • (1) ⇔ x = − + k 2π (k ∈ ») 2 2  π t −1 • Xét (2): t t = s inx + cos x = 2cos  x −  , i u ki n t ≤ 2 , thì sin x cos x =  4 2 Khi ó (2) tr thành: t 2 −1 t = 1 − 2 t− = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔  2 t = 1 + 2 ( loaïi )  Do ó:  π  π 2  2  (2) ⇔ 2cos  x −  = 1 − 2 ⇔ cos  x −  = − 1 = cosϕ  cosϕ =  − 1   4  4 2  2  π ⇔x= ± ϕ + h 2π , h ∈ » ( 0 < ϕ < 2π ) 4 3 (1 + s inx ) π x Ví d 20: Gi i phương trình 3 tan 3 x − t anx+ 2 = 8cos 2  −  (20) cos x  4 2 Gi i. • i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ s inx ≠ ±1   π  • Khi ó: ( 20 ) ⇔ t anx ( 3 tan 2 x − 1) + 3 (1 + s inx ) (1 + tan 2 x ) = 4 1 + cos  − x   = 4 (1 + s inx )  2  ( ⇔ tan x ( 3 tan x − 1) + (1 + s inx ) 3 (1 + tan x ) − 4 = 0 2 2 ) ⇔ ( 3 tan 2 x − 1) ( t anx + 1 − s inx ) = 0 ⇔ ( 3 tan 2 x − 1) ( s inx + cos x + sin x cos x ) = 0 3 tan 2 x = 1 (1) ⇔ s inx + cos x + sin x cos x = 0 (2) 1 1 π • (1) ⇔ tan 2 x = ⇔ t anx = ± ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » 3 3 6 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 8
  9. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC  π • Gi i (2): t t = s inx + cos x = 2 sin  x +  , /k t ≤ 2 và t ≠ ±1  4 Khi ó (2) có d ng t 2 −1 t = −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2 ( ) t+ = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔  2 t = −1 + 2   π  π 2  x = ϕ − 4 + k 2π V y sin  x +  = 1 − = sin ϕ ⇔  (k ∈ »)  4 2  x = 3π − ϕ + k 2π   4 Ví d 21: Gi i phương trình cos3 x + sin 3 x = cos2 x (21) Gi i. ( 21) ⇔ ( s inx + cos x )(1 − sin x cos x ) = cos 2 x − sin 2 x ⇔ ( s inx + cos x )(1 − sin x cos x + s inx − cos x ) = 0 s inx + cos x = 0 (1) ⇔ 1 − sin x cos x + s inx − cos x = 0  ( 2) π • (1) ⇔ t anx = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ » 4  π 1− t2 • Gi i (2): t t = s inx − cos x = 2 sin  x −  , /k t ≤ 2 khi ó sin x cos x =  4 2 Phương trình (2) có d ng: t 2 −1 1− + t = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1 2  x = k 2π , k ∈ »  π 1  π V y (2) ⇔ sin  x −  = − = sin  −  ⇔   4 2  4  x = 3π + k 2π , k ∈ »  2 Chú ý: Phương trình lư ng giác có d ng: a (t anx ± cot x) + b(tan 2 x + cot 2 x) + c = 0 (***) Ta t: t = t anx ± cot x ⇒ t 2 = tan 2 x + cot 2 x ± 2 2 ( t = t anx + cot x = , i u ki n t ≥ 2 do sin 2 x ≤ 1 ) sin 2 x Ví d 22: Gi i phương trình 3 tan 2 x + 4 tan x + 4 cot x + 4 cot 2 x + 2 = 0 (22) Gi i. 2 t t = t anx + cot x = , v i i u ki n t ≥ 2 , ta có tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 sin 2 x Khi ó phương trình (22) tr thành:  2 t = ( loai ) 3 ( t − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t + 4t − 4 = 0 ⇔  3 2 2   t = −2 Ta có 2 t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2 x = −1 2sin x π ⇔ 2x = − + k 2π , k ∈ » 2 π ⇔ x=− + kπ , k ∈ » 4 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 9
  10. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 5. Phương trình ng c p - Có d ng: a sin 2 u + b sin u cos u + ccos 2u = d - Cách gi i: π * Ki m tra xem cosu = o có th a mãn phương trinh hay không (n u th a mãn thì u = + kπ , k ∈ » 2 là nghi m) * Chia c hai v c a phương trình cho cos 2u ≠ 0 , ta ư c phương trình a tan 2 u + b tan u + c = d (1 + tan 2 u ) t t = tanu ta có phương trình: ( a − d )t 2 + bt + c − d = 0 Gi i phương trình trên tìm ư c t = tanu. Ví d 23: Gi i phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x (23) Gi i. Vì cos x = 0 không là nghi m nên chia c hai v c a (23) cho cos 2 x ≠ 0 , ta ư c (23) ⇔ 1 − 2 3 t anx = (1 + tan 2 x ) + tan 2 x t = 0 t t = t anx ta có phương trình: 2t 2 + 2 3t = 0 ⇔  t = − 3  t anx = 0  x = kπ , k ∈ » V y (23) ⇔  ⇔  t anx = − 3  x = − π + kπ , k ∈ »  3 Ví d 24: Gi i phương trình cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x sin 2 x + s inx = 0 (24) Gi i. π Khi x = + kπ , k ∈ » thì cos x = 0 và s inx = ±1 thì phương trình (23) vô nghi m 2 Do cos x = 0 không là nghi m nên chia hai v c a (23) cho cos3 x ta có: (23) ⇔ 1 − 4 tan 4 x − 3 tan 2 x + tan x (1 + tan 2 x ) = 0 ⇔ 3tan 3 x + 3 tan 2 x − t anx − 1 = 0 ⇔ ( t anx + 1) ( 3 tan 2 x − 1) = 0  t anx = −1 ⇔  t anx = ± 3   3  π  x = − 4 + kπ ⇔ (k ∈ »)  x = ± π + kπ   6 Ví d 25: Cho phương trình ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) s inx + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 (25) a) Gi i phương trình khi m = 2  π b) Tìm m phương trình (23) có duy nh t nghi m trên 0;   4 Gi i. GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 10
  11. LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC π Khi x = + kπ , k ∈ » thì cos x = 0 và s inx = ±1 nên phương trình (23) thành 2 ± ( 4 − 6m ) ± 3 ( 2m − 1) = 0 ⇔ 1 = 0 vô nghi m Chia cà hai v c a phương trình cho cos3 x ≠ 0 thì ( 4 − 6m ) tan 3 x + 3 ( 2m − 1) t anx (1 + tan 2 x ) + 2 ( m − 2 ) tan 2 x − ( 4m − 3) (1 + tan 2 x ) = 0 t t = t anx ta ư c phương trình: t 3 − ( 2m + 1) t 2 + 3 ( 2m − 1) t − 4m + 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 (*) a) Khi m = 2 thì (* tr thành ( t − 1) ( t 2 − 4t + 5 ) = 0 ⇔ t = 1 π ⇒ tan x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ » 4  π b) Ta có x ∈ 0;  thì t anx = t ∈ [ 0;1] . Xét phương trình t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 (*)  4 t2 − 3 ⇔ = 2m (do t = 2 không là nghi m) t−2 t2 − 2 t y = f (t ) = (C) và (d): y = 2m t−2 t 2 − 4t + 3 Ta có y ' = f '(t ) = 2 (t − 2) t -∞ 0 1 2 3 +∞ y' + + - - + 2 y 3 2 Do (*) luôn có nghi m trong t = 1 ∈ [ 0;1] nên yêu c u bài toán (d ) : y = 2m khoâng coù ñieåm chung vôùi (C) ⇔ (d ) caét (C) taïi moät ñieåm duy nhaát t = 1  3  3  2m < 2 ⇔  m < 4    2m ≥ 2 m ≥ 1 GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 11
Đồng bộ tài khoản