Chuyên đề phương trình mũ và logarit cơ bản

Chia sẻ: trungtrancbspkt

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Lý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · a f ( x) = a g ( x) Û f ( x ) = g ( x ) · a f ( x ) = c Û f ( x ) = log a c , với a 0, a ¹ 1, c 0 Một số Phương pháp giải...

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề phương trình mũ và logarit cơ bản

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Lý thuyết:
Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng
· a f ( x) = a g ( x) Û f ( x ) = g ( x )
· a f ( x ) = c Û f ( x ) = log a c , với a > 0, a ¹ 1, c > 0
Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:
1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số
Dạng 1.1: Biến đổi về dạng a f ( x ) = a g ( x )
ax
Lưu ý các công thức a x .a y = a x + y ; ( a x ) = ( a y ) = a xy ;
y x 1
y
= a x- y ; a - x = x .
a a
· Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
x -3 x
x 2 - 7 x +12 æ1ö æ 1 ö
a) 2 =1 x
b) 5 . ç ÷ =ç ÷
è5ø è 125 ø

( )
1 4
c) 2 x.5 x -1 = 0, 2.102 - x d) 2 x - 6.3x - 6 = 5 6 x -1
2 2


6
x x-1
æ9ö æ 8 ö lg 9
e) ç ÷ .ç ÷ = f) 5 x -1 = 10 x.2- x.5 x +1
è4ø è 27 ø lg 27
2 1 x +5 x +17
x- +
g) 5 x 2 =5 5 h) 32 x -7 = 0, 25.128 x - 3
x
( x -4) 4 x-2
i) 5 x + 2.
( 0, 2 ) x +2 = 125.( 0,04 ) x - 4 j) 4 x.5 x +1 = 5.202 - x
1
k) 2 x
4 . ( 0,125 )
x
x = 43 2 l) 43+ 2 cos 2 x - 7.41+ cos 2 x - 41/ 2 = 0

Dạng 1.2: Biến đổi về dạng a f ( x ) = c
· Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
x+4
x +1 2x -3 2( x +1)
a) 5.4 +2 - 16 2 =3 b) 2 - 3.2 x -1 = 7
2x
3 x +1 x -1 2 x -3 x -1
c) 2 .3 - 2
3x x
.3 = 192 d) 3 -9 + 27 3 = 675
Dạng 1.3: Biến đổi về dạng m.a f ( x ) = n.b f ( x ) . (m, n là các số thực)
f ( x)
a () n æaö
f x
n
Sau đó đưa về dạng f ( x ) = Û ç ÷ = (Có Dạng 1.2).
b m èbø m
Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số
bằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làm
tiếp như trên.
· Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a) 3x + 4 - 5 x + 3 = 3x - 5 x + 2 b) 7.3x +1 - 5 x + 2 = 3x + 4 - 5 x + 3



Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 1/8
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


1 1
c) 22 lg 4 x -1 - 7lg 4 x = 7lg 4 x -1 - 3.4lg 4 x d) 3.4 x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 - .9 x +1
3 4
e) 2 x -1 - 3x = 3x -1 - 2 x + 2 f) 9 x - 2 x + 0,5 = 2 x + 3,5 - 32 x -1
2 2 2 2



Dạng 1.4: Biến đổi về phương trình tích
· Bài tập : Giải các phương trình sau:
a) 52 x = 32 x + 2.5 x + 2.3x b) x 2 .2 x + 8 = 2 x 2 + 2 x + 2
c) x 2 .6- x + 6 x + 2 = x 2 .6 x + 62 - x d) 8 - x.2 x + 23- x - x = 0
Hướng dẫn: a) 52 x - 32 x = 5 x - 3x ( )(5x + 3x )
2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc
hai, bậc 3 theo ẩn số phụ)
Dạng 2.1: Biến đổi về dạng m.a 2 f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0 . (1)
Phương pháp:
Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1).
( )
2
Bước 1: Đặt t = a f ( x ) , t > 0 . Ta có t 2 = a f ( x ) 2 f ( x)
=a .
ìm.t 2 + n.t + p = 0 (*)
PT đã cho trở thành í .
ît > 0
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 .
Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a f ( x ) = t để tìm x.
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)).
· Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a) 32 x + 5 = 3x + 2 + 2 b) 9 x -1 - 36.3x -3 + 3 = 0
2 2


x x
c) 3.2 2 - 7.2 4 = 20 d) 27 x - 13.9 x + 13.3x+1 - 27 = 0
1 3 2 3x +3
3+
e) 64 x -2 x + 12 = 0 f) 8x -2 x + 12 = 0
( ) + (10 3 )
x x-10
g) 5 3 = 84 h) 34 x +8 - 4.32 x + 5 + 28 = 2log 2 2

i) 32 x +1 = 3x + 2 + 1 - 6.3x + 3 ( )
2 x +1
k)
1
Dạng 2.2: Biến đổi về dạng m.a f ( x ) + n.a - f ( x ) + p = 0 hay m.a f ( x ) + n. f ( x)
+ p = 0 (2)
a
Phương pháp:
Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (2).
1 1
Bước 1: Đặt t = a f ( x ) , t > 0 . Ta có a - f ( x ) = f ( x ) = .
a t
n ìm.t 2 + p.t + n = 0 (*)
PT đã cho trở thành mt + + p = 0, ( t > 0 ) Û í .
t ît > 0
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 .
Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a f ( x ) = t để tìm x.
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)).



Trang 2/8 Biên soạn: Đỗ Cao Long
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


· Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a) 3x +1 + 18.3- x = 29 b) 22 + x - 22 - x = 15
c) 5 x -1 + 5.0, 2 x - 2 = 26
2 2
d) 2sin x + 4.2cos x = 6

( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
e) 5 + 24 + 5 - 24 = 10 f) 7 + 48 + 7 - 48 = 14

2 x + 10 9
h) 101+ x - 101- x = 99
2 2
g) = x- 2
4 2

( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
i) 3 + 5 + 16 3 - 5 = 2 x+3 j) 5 -1 +6 5 +1 = 2 x+ 2

k) ( 5 - 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) ( ) ( )
x x x x
= 2 x+3 l) 7 - 4 3 -3 2- 3 +2=0
f ( x)
Dạng 2.3: Biến đổi về dạng m.a 2 f ( x ) + n. ( a.b ) 2 f ( x)
+ p.b = 0 . (m, n, p là các số thực) (3)
Phương pháp:
Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (3).
Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho b 2 f ( x ) , (hoặc a 2 f ( x ) ), ta được:
2 f ( x)
a 2 f ( x) a f ( x ) .b f ( x ) b2 f ( x) æaö a ()
f x
m. 2 f ( x ) + n. 2 f ( x ) + p. 2 f ( x ) = 0 Û m. ç ÷ + n. + p=0
èbø b ()
f x
b b b
2 f ( x) f ( x)
æaö æaö
Û mç ÷ + nç ÷ + p = 0.
èbø èbø
Phương trình này có Dạng 2.1, đã biết cách giải.
æ æ a ö f ( x ) ö æ a ö2 f ( x)
2
f ( x)
æaö
Bước 2: Đặt t = ç ÷ , t > 0 . Ta có t = ç ç ÷ ÷ = ç ÷ . 2

èbø çè b ø ÷ è b ø
è ø
ìm.t 2 + n.t + p = 0 (*)
PT đã cho trở thành í .
ît > 0
Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 .
f ( x)
æaö
Bước 4: Với t tìm được, giải phương trình ç ÷ = t để tìm x.
èbø
Bước 5: Kết luận (nghiệm của (3)).
· Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
1 1 1
- - -
2x+4 2x+2
a) 3 + 45.6 - 9.2 x
=0 b) 4 x +6 x =9 x
x2 x2 x2
c) 7.4 - 9.14 + 2.49 =0 d) 9 + 6 = 22 x+1
x x
2 1 1
f) 32 x - 6 x + 9 + 4.15 x + 3 x - 5 = 3.52 x - 6 x + 9
2 2 2
e) 10 x + 25 x = 4, 25.50 x

3. Phương pháp lôgarit hóa
Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng a ( ) .b ( ) .c ( ) = d .
f x g x h x

Nói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau.
Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế.



Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 3/8
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”



(
Ta được log a a ( ) .b ( ) .c ( ) = log a d
f x g x h x
)
Û log a a ( ) + log a b ( ) + log a c ( ) = log a d
f x g x h x

Û f ( x ) + g ( x ) log a b + h ( x ) log a c = log a d .
Biết log a b;log a c;log a d là các số thực. Giải phương trình thu được theo ẩn x.
· Bài tập: Giải các phương trình sau:
2 x x
a) 2 x = 3x-1 b) 57 = 75
x
c) 3 x
.8 x+ 2 =6 d)
4. Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
(Phương pháp đánh giá hai vế).
· Dạng “sử dụng tính đơn điệu”
- Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng f ( x ) = g ( x ) , hay f ( x ) = c
Với phương trình f ( x ) = g ( x ) , chúng ta thường gặp trường hợp x = a là nghiệm của phương
trình, còn với mọi x ¹ a thì f ( x ) > b và g ( x ) < b . Nghĩa là mọi x ¹ a không phải là nghiệm
của phương trình f ( x ) = g ( x ) .
Việc chứng minh f ( x ) > b và g ( x ) < b ta sử dụng tính đơn điệu của hàm y = f ( x ) và hàm
y = g ( x) .
Ví dụ: Giải phương trình
x
x2 - 2 x + 2 æ1ö
a) 3 = 2 + 2x - x 2
b) ç ÷ = x + 4
è3ø
a) Nhận xét:
Thông thường để đánh giá các tam thức bậc hai chúng ta thường biến đổi nó về dạng tổng
(
của các bình phương. Ở đây ta biến đổi x 2 - 2x + 2 = x 2 - 2x + 1 + 1 = ( x - 1) + 1 . ) 2


Lời giải:
Vì ( x - 1) ³ 0 nên x 2 - 2 x + 2 = ( x - 1) + 1 ³ 1 . Suy ra 3x - 2x + 2
2 2 2
³ 31 = 3 . (1)

( )
Còn vế phải 2 + 2 x - x 2 = 3 - x 2 - 2x + 1 = 3 - ( x - 1) £ 3 .
2
(2)
ì3x 2 -2 x+ 2 = 3
ï
Û ( x - 1) = 0 Û x = 1
2
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đã cho Û í
ï2 + 2 x - x 2 = 3
î
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 .
x
æ1ö
b) Nhận xét: Hàm số y = ç ÷ nghịch biến trên ¡ , còn hàm số y = x + 4 đồng biển trên ¡ .
è 3ø
Nếu dùng đồ thị chúng ta co thể nhận thấy hai đồ thị này chỉ cắt nhau tại nhiều nhất 1 điểm nên
phương trình đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm.
Lời giải:
Dễ nhận thấy x = -1 là một nghiệm của phương trình, ta sẽ chứng minh nghiệm này duy
nhất.




Trang 4/8 Biên soạn: Đỗ Cao Long
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


x -1 x
æ1ö æ1ö æ1ö
Với mọi x > -1 ta có : ç ÷ < ç ÷ = 3 (1) (do hàm số y = ç ÷ nghịch biến trên ¡ )
è 3ø è 3ø è 3ø
x + 4 > -1 + 4 = 3 (2)
So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi x > -1 không thỏa mãn phương trình đã cho. Nghĩa là
mọi x > -1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Tương tự ta chứng minh được, mọi x < -1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy, x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
· Bài tập: Giải các phương trình sau:
x
æ3ö 2
a) ç ÷ = -2 x 2 + 6 x - 9 b) 3cos x
= 3 + x2
è4ø
1
c) 22x - x = x + 16 - x 2 = 2 x + 2- x
2
4
d)
x
·© Một số bài toán có cách giải khác
Bài toán đưa được về dạng f ( u ) = f ( v ) Û u = v , trong đó f là hàm luôn đồng biến hoặc
nghịch biến trên tập xác định của nó.
· Bài tập: Giải các phương trình sau
a) 2 x -1 - 2 x -x
= ( x - 1) +x
- 21- x = ( x + 1)
2 2 2 2 2
b) 4 x

+ 21- x = 2(
x +1)
( ) +( )
2 x x
2
+x 2
c) 4 x +1 d) 5- 3 5- 3 = 4x




Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 5/8
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Lý thuyết:
Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng
ì f ( x ) > 0, ( hoÆc g ( x ) > 0 )
ï
· log a f ( x ) = log a g ( x ) Û í
ï f ( x) = g ( x)
î
· log a f ( x ) = c Û f ( x ) = a c , với a > 0, a ¹ 1 .
Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng đúng các công thức biến đổi lôgarit.
Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản:
1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số
Dạng 1.1: Biến đổi về dạng log a f ( x ) = log a g ( x )
Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình log a f ( x ) = log a g ( x )
ì f ( x) > 0
ï
thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) í .
ï
î g ( x) > 0
ì f ( x ) > 0, ( hoÆc g ( x ) > 0 )
ï
Còn nếu giải theo phép biến đổi log a f ( x ) = log a g ( x ) Û í thì
ï
î f ( x) = g ( x)
không cần nêu hệ điều kiện xác định ở trên.
Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên đổi, do vậy khuyên
các em nên nêu ra hệ điều kiện xác định của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều
phương trình chứa nhiều lôgarit.
· Bài tập 1: Giải các phương trình sau
(
a) log 2 x 2 - 4 x + 7 = 2 ) b) 2log 2 x + log 2
x + log 1 x = 9
2
c) log 3 x + log 3
x + log 1 x = 6 d) log 3 ( x - 2 ) + log1/3 2 x - 1 = 0
3
1
e) 2log x 2 - 36 + log ( x + 1) = log ( x + 6 ) + 2 log 3 + log 2
3
3
x-3 x -3
f)
1
2
( log x + lg 2 ) + log ( )
2 x + 1 = log 6 g) 2log 3
x-7
+ 1 = log 3
x -1
h) log 1 + x + 3log 1 - x = log 1 - x 2 - 2
( )
i) log 3 2 x 2 - 54 + log 1 ( x + 3) = 2log 9 ( x - 4 )
3

( )
j) log 3 x + 12 x + 19 - log ( 3 x + 4 ) = 1
2
k) log 3 ( x - 5 ) - log 3 2 - log 3 3x - 20 = 0
log ( 2 x - 19 ) - log ( 3x - 20 )
m) = -1
log x
1
( ) (
n) log x 2 - 10 x + 25 + log x 2 - 6 x + 3 = 2log ( x - 5 ) + log 3
2
)


Trang 6/8 Biên soạn: Đỗ Cao Long
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc
hai, bậc 3 theo ẩn số phụ)
Lưu ý: Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức log a f ( x ) có nghĩa là f ( x ) > 0 , chúng ta cần
chú ý đến đặc điểm của phương trình đang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải đặt
điều kiện cho phương trình có nghĩa.
Các phép biến đổi cần chú ý: log a x 2 n = 2n log a x với điều kiện x ¹ 0 .

· Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a) 4 - log x = 3 log x b) log 2 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2
2
log 2 x - log 2 x - 2 log ( 6 - x ) 1
c) 2
=1 d) =
log 2 x + 1 2 3log ( 6 - x ) - 1
( )
e) log 3 3x - 1 .log3 3x+1 - 3 = 6 ( ) f) 1 + log 2 x + 4log 4 x - 2 = 4
1 + log ( x - 1) 2 æ 4 ö
g) + =2 h) log 3 ( log 2 x - 9 ) = 2 + log3 ç 1 - ÷
1 + log 2
( x - 1) 1 + log ( x - 1) è log 4 x ø
i) log 2 x - log x 6 = log 2 3 - 9 j) log (10 x ) .log ( 0,1x ) = log x3 - 3
1
k) 4log 2 ( - x ) + 2 log 4 x 2 + 1 = 0
4 l) log 2 (100 x ) + log 2 (10 x ) = 14 + log
x

(
m) log 2 x 2 + 7 = 5 + log 2 x -) æ
6

log 2 ç x + ÷
è xø
æ 2ö x
n) ç log 2 x + 2log 0,5 ÷ ( 3log8 x - 1) = 2log 2 x .log 2
2
2
è 4 ø 2
p) 2log 9 x = log 3 x.log3
2
( 2x + 1 -1 )
3. Phương pháp mũ hóa
· Bài tập 3 : Giải các phương trình sau:
a) log 2 x + log 3 x = 1 b) log 3 x + log5 x = lg15
c) log 3 ( x + 1) + log5 ( 2 x + 1) = 2 d) log 2 x = log5 ( x + 3)
Gợi ý: a) Đặt x = 2t , ta có log 3 x = log 3 2t = t log 3 2
Phương trình đã cho trở thành log 2 2t + log3 2t = 1
1 1
Û t + t log3 2 = 1 Û t (1 + log 3 2 ) = 1 Û t = = = log 6 3 .
1 + log 3 2 log3 6
Vậy phương trình a) có nghiệm x = 2log 6 3 .




Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 7/8
Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”


4. Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng)
Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất log a f ( x ) = c Û f ( x ) = a c
· Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a) log ( log ( log x ) ) = 0 ( (
b) log 3 log 4 log3 ( x - 3)
2
)) = 0
( (
c) log 4 2log3 1 + log 2 (1 + 3log3 x ) )) = 1
2
d) log 3 æ log 2 x - 3log 1 x + 5 ö = 2
ç
è
1
2
÷
2 ø
e) ( 2
log 3 log 2 ( x - 4)) = 0 f) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2

5. Phương pháp biến đổi về phương trình tích
· Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a) 3x.log 3 x + 6 = 6 x + log 27 x b) 2 x.log 2 x 2 + 2 = 4 x + 4log 4 x
æ 1ö 2æ 1ö
c) log 2 ( 4 - x ) + log ( 4 - x ) .log ç x + ÷ = 2log ç x + ÷
è 2ø è 2ø
( )
d) x 2 log 6 5 x 2 - 2 x - 3 - x log1/6 5 x 2 - 2 x - 3 = x 2 + 2 x

6. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Chú ý dạng: log a u - u = log a v - v , có dạng f ( u ) = f ( v ) Û u = v trong trường hợp f là
hàm số đồng biến (hoặc nghịc biến) trên tập xác định của nó. Và phương pháp đánh giá hai vế
của phương trình.
· Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a) log 2 x = 3 - x ( )
b) x + log x 2 - x - 6 = 4 + log ( x + 2 )

x2 + x + 3
c) log 1 x = x - 4 d) log 3 = x2 + 3x + 2
3 2x + 4x + 5
2


( )
e) log x 2 - x - 12 + x = log ( x + 3) + 5 ( )
f) log 3 x 2 + x + 1 - log3 x = 2x - x 2
Gợi ý:
a) Điều kiện xác định: x > 0 .
Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình a). Ta chứng minh nghiệm này duy nhất.
Thật vậy, với mọi x > 2 , ta có :
· log 2 x > log 2 2 = 1 (do hàm số y = log 2 x đồng biến trên khoảng ( 0;+¥ ) ) (1)
· 3- x < 3- 2 =1 (2)
So sánh (1) và (2) suy ra mọi x > 2 đều không thỏa mãn phương trình a), nên không phải là
nghiệm của phương trình.
Làm tương tự ta chứng minh được mọi 0 < x < 2 cũng không phải là nghiệm của phương
trình.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .

© Chuyên đề và các dạng toán Ôn thi đại học, cao đẳng sẽ biên soạn sau. Hẹn các em
vào dịp tới. Chúc các em học và ôn tập tốt !




Trang 8/8 Biên soạn: Đỗ Cao Long
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản