intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề số học phần 1

Chia sẻ: Nguyễn Thị Phương Thuỳ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST
Báo xấu
211
lượt xem 85
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Số học là 1 phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi thì bài số học thường xuyên xuất hiện và luôn là 1 thách thức lớn đối với học sinh. Chuyên đề gồm 3 chương: Các bài toán chia hết, Cái bài toán đồng dư, các bài toán khác

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề số học phần 1

  1. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I L i nói ñ u S h c là m t ph n r t quan tr ng trong chương trình Toán ph thông. Trong h u h t các ñ thi h c sinh gi i thì bài S h c thư ng xuyên xu t hi n và luôn là m t thách th c l n ñ i v i h c sinh. Hi n nay, không còn h chuyên c p Trung h c cơ s nên các em h c sinh chuyên Toán cũng không ñư c h c nhi u v ph n này nên thư ng g p r t nhi u khó khăn khi gi i các bài toán ñó. Vì v y, tôi biên so n tài li u này nh m gi i quy t ph n nào nh ng khó khăn ñó cho các em h c sinh chuyên Toán. Chuyên ñ g m ba chương: -Chương I. Các bài toán chia h t -Chương II. Các bài toán ñ ng dư -Chương III. Các bài toán khác. m i bài ñ u ñư c trình bày ba ph n: H th ng lí thuy t; h th ng các ví d và cu i cùng là h th ng các bài t p t gi i. Các ví d và bài t p luôn ñư c s p x p v i ñ khó tăng d n - theo quan ñi m c a tác gi . Tuy nhiên, do trình ñ có h n nên không th tránh kh i nhi u thi u sót, r t mong ñư c các th y cô ñóng góp ñ hoàn thi n hơn. Xin chân thành c m ơn! NGUY N VĂN TH O 1
  2. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I Chương I CÁC BÀI TOÁN V CHIA H T I.1 Chia h t I.1.1 Lí thuy t I.1.1.1 ð nh nghĩa Cho m và n là hai s nguyên , n ≠ 0. Ta nói r ng m chia h t cho n (hay n chia h t m) n u t n t i m t s nguyên k sao cho m = kn. m ⋮ n, (ñ c là m chia h t cho n) hay n | m, (ñ c là n chia h t m). Kí hi u: I.1.1.2 Các tính ch t cơ b n Cho các s nguyên x, y, z. Ta có: a) x ⋮ x, x ≠ 0. b) N u x ⋮ y và x ≠ 0 thì |x| ≥ |y|. c) N u x ⋮ z, y ⋮ z thì ax + by ⋮ z v i m i s nguyên a, b. d) N u x ⋮ z và x ∓ y ⋮ z thì y ⋮ z e) N u x ⋮ y và y ⋮ x thì |x| = |y|. f) N u x ⋮ y và y ⋮ z thì x ⋮ z. y g) N u x | y và y ≠ 0 thì | y. x Ch ng minh a) x = 1.x nên x ⋮ x v i m i x ≠ 0. b) N u x ⋮ y , x ≠ 0 thì t n t i k ∈ Z sao cho x = ky, k ≠ 0 ⇒ |x| = |k||y| ≥ |y| do |k| ≥ 1. Các ph n còn l i cũng khá ñơn gi n, vi c ch ng minh xin như ng l i cho b n ñ c. I.1.2 Các ví d Ví d 1. Cho n là m t s t nhiên l n hơn 1. Ch ng minh r ng a) 2n là t ng c a hai s l liên ti p. b) 3n là t ng c a ba s t nhiên liên ti p. L i gi i a) Ta có 2n = (2n-1 - 1) + (2n-1 +1) suy ra ñpcm. b) Ta có 3n = (3n-1 - 1) + (3n-1) + (3n-1 + 1) suy ra ñpcm. Ví d 2. Ch ng minh r ng: 2
  3. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I a) n u m – n chia h t mp + nq thì m – n cũng chia h t mq + np. b) n u m – n chia h t mp thì m – n cũng chia h t np. L i gi i Nh n xét: Hai bi u th c (mp + nq) và (mq + np) là hai bi u th c có hình th c gi ng như “ñ i x ng lo i hai” vì v y khi xét các bi u th c lo i này thư ng ngư i ta ki m tra hi u c a chúng. a) Ta có (mp + nq) – (mq + np) = (m - n)(p - q) ⋮ (m - n) Nên n u (mp + nq) ⋮ (m - n) thì hi n nhiên (mq + np) ⋮ (m - n). b) Ch ng minh tương t . Ví d 3. Ch ng minh r ng n u a3 + b3 + c3 chia h t cho 9 thì m t trong ba s a, b, c ph i chia h t cho 3. L i gi i Nh n xét: V i nh ng bài toán ch ng minh a chia h t cho m t s c th luôn khá ñơn gi n! Ta có th xét h t các trư ng h p x y ra c a s dư khi a chia cho s ñó. ( Công viêc ñó chính là xét v h th ng dư ñ y ñ - ñây là t p h u h n nên có th th tr c ti p) Gi s không có s nào trong ba s a, b, c chia h t cho 3. Khi ñó a = 3m ± 1; b = 3n ± 1; c = 3p ± 1 Do ñó a3 + b3 + c3 = (3m ± 1)3 + (3n ± 1)3 + (3p ± 1)3 9 A + 3 9 a + 1 = không th chia h t cho 9. 9 a − 3  9 A − 1 T ñó suy ra ñpcm. Ví d 4. Ch ng minh r ng n u a2 + b2 chia h t cho 3 thì c a và b ñ u chia h t cho 3. L i gi i TH1: có 1 s không chia h t cho 3, gi s là a Khi ñó a = 3k ± 1; b = 3q suy ra a2 + b2 = (3k ± 1)2 + (3q)2 = 3(3k2 ± 2k + 3q2) + 1 không chia h t cho 3. TH2: c hai s không chia h t cho 3. Khi ñó a = 3k ± 1; b = 3q ± 1 suy ra a2 + b2 = 3A +2 Do ñó c a và b ph i chia h t cho 3. Ví d 5. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên ch n n và m i s t nhiên l k thì 3
  4. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I S = 1k + 2k + … + nk luôn chia h t cho n + 1. L i gi i Ta có 2S = (1k + nk) + (2k + (n - 1)k) + … ⋮ n + 1 Mà n ch n nên n + 1 l nên (2, n+ 1) = 1 Do ñó S ⋮ n + 1. 22 p −1 Ví d 6. Cho p là s nguyên t , p > 3 v à n = .Ch ng minh r ng 3 2n − 2 ⋮ n . L i gi i Vì p là s nguyên t và p>3 ⇒ 2 p −1 ≡ 1(mod 3) M t khác (2, p) = 1 nên theo ñ nh lí Fermat ta có 2 p −1 ≡ 1(mod p) Do ñó 2 p −1 − 1⋮3 p Ta có 4 p − 4 4(2 p −1 + 1)(2 p −1 − 1) 22 p − 1 n −1 = −1 = = 3 3 3 suy ra n - 1⋮ 2p ⇒ 2 − 1 ⋮ 2 − 1 n -1 2p 2 2p − 1 Vi n = ⇒ 2 2p − 1⋮ n ⇒ 2 n -1 − 1⋮ n ⇒ 2 n − 2 ⋮ n. 3 T ñó suy ra ñi u ph i ch ng minh. Ví d 7. Cho x, y là hai s nguyên khác -1 sao cho x3 + 1 y3 + 1 + là m t s nguyên y +1 x +1 Ch ng minh r ng x 2004 − 1 chia h t cho y+1. L i gi i x3 + 1 a y3 + 1 c = = Trư c h t ta ñ t ; y +1 b x +1 d v i a, b, c, d nguyên và b > 0, d > 0, (a,b) = 1, (c,d) = 1. Ta có a c ad + bc += nguyên bd bd Do ñó 4
  5. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I ad + bc ⋮ bd ⇒ ad + bc ⋮ b ⇒ ad ⋮ b ⇒ d ⋮ b vì (a,b)=1 (1) M t khác a c x3 + 1 y3 + 1 .= = ( x 2 − x + 1)( y 2 − y + 1) ∈ Z . y +1 x +1 bd ⇒ ac ⋮ bd ⇒ ac ⋮ d ⇒ a ⋮ d (2) Vì (c,d)=1 nên t (1) và (2) suy ra a⋮ b suy ra b = 1 vì (a,b) = 1 Vì x3 + 1 a = ⇒ x 3 + 1 = a( y + 1) ⇒ x 3 + 1 ⋮ y + 1 (3) y +1 b Mà x 2004 − 1 = (x 3 ) 664 - 1⋮ x 3 + 1 K t h p v i (3) suy ra ñi u ph i ch ng minh. Ví d 8. Cho n ≥ 5 là s t nhiên .Ch ng minh r ng  (n − 1)!  n  ⋮ n-1 .   L i gi i a) Trư ng h p 1. n là s nguyên t Theo ñ nh lý Winson (n-1)! ≡ -1(mod n) suy ra ((n-1)!+1 ⋮ n Ta có  (n − 1)!  (n − 1)!+1 1  (n − 1)!+1 1 − 1 (vì 0 < < 1 )  n = − =   n n n n (n − 1)!−(n − 1) ⋮ (n - 1) = vì (n, n - 1) = 1 n b) Trư ng h p 2. n là h p s +) n không là bình phương c a m t s nguyên t . Khi ñó n = rs v i 1< r < s < n. Do (n,n-1)=1 suy ra s < n-1 ⇒ (n-1)! = kn(n-1) suy ra  (n − 1)!  n  = k (n − 1) ⋮ (n − 1) .   +) n = p 2 v i p là m t s nguyên t . 5
  6. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I Do p 2 = n, n ≥ 5 suy ra p ≥ 3 ⇒ p 2 ≥ 3 p > 2 p + 1 ⇒ 2 p < p2 −1 hay 2p < n-1. Nên 1 < p < 2p < n-1 Suy ra (n-1)! ⋮ p.2p.(n-1) = 2n(n-1).  (n − 1)! T ño suy ra  n  ⋮ (n - 1) .   V y ta có ñi u ph i ch ng minh. Ví d 9 T n t i hay không m t s nguyên x sao cho x 2 + x + 1⋮ 2003 ? L i gi i Ta có 2003 là s nguyên t có d ng 3k + 2. Gi s t n t i x nguyên th a mãn x2 + x + 1 ⋮ 2003 T ñó suy ra t n t i a ∈ { ,2,....,2002} th a mãn a 2 + a + 1 ⋮ 2003 (∗ ) 1 Ta có a 3 − 1 = (a − 1)(a 2 + a + 1) ⋮ 2003 ⇒ a 2001 − 1 ⋮ 2003 hay a 2001 ≡ 1 ( mod 2003 ) ⇒ a 2002 ≡ a ( mod 2003 ) (1) Theo ñ nh lí Fermat ta có a 2002 ≡ 1 (mod 2003) (2) T (1) và (2) ta có a ≡ 1 (mod 2003) suy ra a = 1 (vô lí) V y không t n t i x nguyên sao th a mãn ñ u bài. Ví d 10. (30 - 4 - 2006) Ch ng minh r ng v i m i m, t ng t i m t s nguyên n sao cho n3 - 11n2 - 87n + m Chia h t cho 191. L i gi i ð t P(x) = x3 - 11x2 - 87x + m. Ta ch ng, t n t i a, b nguyên ñ P(x) ≡ (x +a)3 + b (mod 191) ⇔ x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 + b ≡ x3 - 11x2 - 87x + m (mod 191) Ch n a nguyên sao cho 3a ≡ -11 (mod 191) ⇔ 3a ≡ 180 (mod 191) ⇔ a ≡ 60 (mod 191), do (3, 191) = 1, 6
  7. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I ⇒ 3a2 ≡ 3.602 (mod 191) ≡ -87 (mod 191) V y v i m i m, ch c n chon b ≡ m - a3 (mod 191) là ñư c P(x) ≡ (x + a)3 + b (mod 191). Ta có, v i m i i, j nguyên thì P(i) ≡ P(j) (mod 191) ⇔ (i + a)3 ≡ (j + a)3 (mod 191) ⇒ (i + a)3.63(j + a)2 ≡ (j + a)3.63 + 2 (mod 191) ≡ (j + a) (mod 191) ⇒ (j + a)2 ≡ (i + a)189(j + a)3 (mod 191) ≡ (i + a)192 (mod 191) ≡ (i + a)2 (mod 191) ⇒ (i + a)3.63(j + a)2 ≡ (i + a)189.(i + a)2 (mod 191) ≡ i + a (mod 191) T ñó suy ra P(i) ≡ P(j) (mod 191) ⇔ i = j (mod 191) T ñó suy ra t p {P(1), P(2), ..., P(191)} có 191 s dư khác nhau khi chia cho 191 Do ñó ph i t n t i m t s nguyên n ∈ {1, 2, ..., n} sao cho P(n) ⋮ 191 V y ta có ñi u ph i ch ng minh. 7
  8. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I I.1.3 Bài t p Bài 1. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên m, n ta có: 1) n3 + 11n ⋮ 6 2) m n(m 2 – n2 ) ⋮ 3 3) n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6. 4) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ⋮ 9. 5) n2(n2 - 12) ⋮ 12 6) mn(m4 – n4) ⋮ 30 7) n5 – n ⋮ 30 8) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n ⋮ 24 9) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ⋮ 384 ( n ch n và n > 4) 10) n2 + 4n + 3 ⋮ 8 11) n3 + 3n2 – n – 3 ⋮ 48 12) n 12 – n8 – n4 + 1 ⋮ 512 13) n8 – n 6 – n4 + n2 ⋮ 1152. 14) n3 – 4n ⋮ 48 ( n ch n) 15) n2 – 3n + 5 không chia h t cho 121. 16) (n + 1)(n + 2)…(2n) ⋮ 2n 17) n6 – n4 – n2 + 1 ⋮ 128 ( n l ) Bài 2. Ch ng minh r ng tích c a n s nguyên lien ti p luôn chia h t cho n! Bài 3. Cho p là s nguyên t l . Ch ng minh r ng v i m i k ∈ N, ta luôn có S = 12k + 1 + 22k + 1 + … + (p - 1)2k + 1 chia h t cho p. Bài 4. Ch ng minh r ng n u a3 + b3 + c3 chia h t cho 9 thì m t trong ba s a, b, c ph i chia h t cho 9. Bài 5. Cho a, b nguyên. Ch ng minh r ng n u an ⋮ bn thì a ⋮ b. Bài 6. Tìm s nguyên dương n sao cho n chia h t cho m i s nguyên dương không vư t quá n . Bài 7. Ch ng minh r ng a2 + b2 + c2 không th ñ ng dư v i 7 modulo 8. Bài 8. T ng n s nguyên liên ti p có chia h t cho n hay không? t i sao? Bài 9. Ch ng minh r ng không t n t i c p s nguyên (x, y) nào th a mãn m t trong nh ng ñ ng th c sau: a) x2 +1 = 3y 8
  9. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I b) x2 + 2 = 5y. Bài 10. Ch ng minh r ng v i n ≥ 1 thì (n + 1)(n + 2) ... (n + n) chia h t cho 2n. n Bài 11. Tìm ch s t n cùng c a s Fermat Fn = 2 2 + 1 , n ≥ 2. Bài 12. Tìm các s nguyên dương p, q, r sao cho pqr - 1 ⋮ (p - 1)(q - 1)(r - 1). Bài 13. Ch ng minh r ng t n t i m t s t nhiên có 1997 ch s g m toàn ch s 1 và 2 sao cho s ñó chia h t cho 21997. Bài 14. Cho a là m t s nguyên dương và a > 2. Ch ng minh r ng t n t i vô s s nguyên dương n th a mãn an - 1 ⋮ n. Bài 15. Ch ng minh r ng t n t i vô s s nguyên dương n sao cho 2n + 1 ⋮ n. Bài 16. Ch ng minh r ng trong 12 s nguyên t phân bi t b t kì luôn chon ra ñư c 6 s a1, a2, ..., a6 sao cho (a1 - a2)(a3 - a4)(a5 + a6) ⋮ 1800. Bài 17. Cho a, b, c, d nguyên b t kì. Ch ng minh r ng (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) ⋮ 12. Bài 18. Tìm s t nhiên n sao cho 2n - 1 chia h t cho 7. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n thì 2n + 1 không th chia h t cho 7. Bài 19. Tìm s t nhiên n sao cho n5 - n chia h t cho 120. Bai 20. Tìm t t c các c p s nguyên x > 1, y > 1 sao cho 3 x + 1 ⋮ y  3 y + 1 ⋮ x. Bài 21. Cho x1, x2 là hai nghi m c a phương trình x2 - mx + 1 = 0 v i m là s nguyên l n hơn 3. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n thì Sn = x1n + x 2 là m t s nguyên và n không chia h t cho m - 1. Bài 22. Tìm t t c các c p s nguyên dương a, b sao cho a2 − 2 ab + 2 là m t s nguyên. Bài 23. (30.4.2003) Tìm ba s nguyên dương ñôi m t phân bi t sao cho tích c a hai s b t kì ñ u chia h t cho s th 3. 9
  10. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I B ài 24. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n thì gi a n2 và (n + 1)2 luôn t n t i ba s t nhiên phân bi t a, b, c sao cho a2 + b2 ⋮ c2. Bài 25. Cho s t nhiên An = 19981998...1998 (g m n s 1998 vi t li n nhau) a) Ch ng minh r ng t n t i s nguyên dương n < 1998 sao cho An ⋮ 1999. b) G i k là s nguyên dương nh nh t sao cho Ak ⋮ 1999. Ch ng minh r ng 1998 ⋮ 2k. Bài 26. Cho hai s nguyên dương m và n sao cho n + 2 ⋮ m. Hãy tính s các b ba s nguyên dương (x, y, z) sao cho x + y + z ⋮ m trong ñó m i s x, y, z ñ u không l n hơn n. Bài 27. (APMO 98) Tìm s nguyên dương n l n nh t sao cho n chia h t cho m i s nguyên dương nh hơn 3 n . Bài 28. Tìm t t c các s nguyên dương m, n sao cho n3 + 1 chia h t cho mn - 1. Bài 29. Tìm t t c các c p s nguyên dương a, b sao cho a2 + b ab 2 − 1 là m t s nguyên. Bài 30. Tìm t t c các c p s nguyên dương sao cho a 2b + a + b ab 2 + b + 7 là m t s nguyên. Bài 31. Cho n là s nguyên dương l n hơn 1. p là m t ư c nguyên t c a s Fermat Fn. Ch ng minh r ng p - 1 chia h t cho 2n+2. Bài 32. Cho x, y , p là các s nguyên và p > 1 sao cho x2002 và y2002 ñ u chia h t cho p. Ch ng minh r ng 1 + x + y không chia h t cho p. Bài 33. (USA - 98) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n ≥ 2, t n t i m t t p h p n s nguyên sao cho v i hai s a, b b t kì (a ≠ b) thu c t p ñó thì (a - b)2 chia h t ab. Bài 34. Gi s t p S = {1, 2, 3, ..., 1998} ñư c phân thành các c p r i nhau {ai, bi| 1 ≤ i ≤ 1998} sao cho |ai - bi| b ng 1 ho c b ng 6. Ch ng minh r ng 999 ∑| a − bi | = 10k + 9. i i =1 Bài 35. Tìm t t c các c p s nguyên dương a, b sao cho a2 − 2 ab + 2 là m t s nguyên. Bài 36. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ N* luôn t n t i s t nhiên a sao cho 10
  11. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I 64a2 + 21a + 7 ⋮ 2n. Bài 37. (Nga - 1999) Cho t p A là t p con c a t p các s t nhiên n sao cho trong 1999 s t nhiên liên ti p b t kì luôn có ít nh t m t s thu c A. Ch ng minh r ng t n t i hai s m, n thu c A sao cho m ⋮ n. Bài 38. Tìm x, y, z nguyên dương và x < y < z sao cho 2x + 2y + 2z = 2336. Bài 39. Cho x, y, z là các s nguyên dương th a mãn (x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z. Ch ng minh r ng x + y + z chia h t cho 27. n2 Bài 40. Cho m, n là các s nguyên dương sao cho m ≤ và m i ư c s nguyên t c a m 4 ñ u nh hơn ho c b ng n. Ch ng minh r ng n! ⋮ m . Bài 41. Tìm t t c các c p s nguyên dương a, b sao cho a2 + b b2 + a ; b2 − a a2 − b là các s nguyên. Bài 42. Cho x, y là hai s nguyên dương sao cho x2 + y2 + 1 chia h t cho xy. Ch ng minh r ng x2 + y2 +1 = 3. xy Bài 43. Cho hàm s f(x) = x3 + 17. Ch ng minh r ng m i s nguyên dương n luôn t n t i m t s nguyên dương x sao cho f(x) chia h t cho 3n nhưng không chia h t cho 3n + 1. Bài 44. Cho p là s nguyên t l n hơn 2 và p - 2 chia h t cho 3. Ch ng minh r ng trong t p h p các s có d ng x3 - y2 + 1, v i x, y là các s nguyên không âm nh hơn p có nhi u nh t p - 1 s chia h t cho p. Bài 45. Ch ng minh r ng v i m i n nguyên dương luôn t n t i m t s t nhiên có n ch s chia h t cho 2n và s này ch g m các ch s 1 và 2. Bài 46. Cho s nguyên dương n > 1, th a mãn 3n - 1 chia h t cho n. Ch ng minh r ng n là s ch n. 11
  12. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I I.2 Ư c s chung l n nh t - B i s chung nh nh t I.2.1. Lí thuy t I.2.1.1. Ư c s chung l n nh t I.2.1.1.1 ð nh nghĩa 1 Cho a, b là hai s nguyên. S nguyên dương d l n nh t chia h t c a và b ñư c g i là ư c chung l n nh t c a a và b. Kí hi u: d = (a, b) ho c d = gcd(a, b) N u d = 1 thì ta nói a và b là hai s nguyên t cùng nhau. I.2.1.1.2. Các tính ch t c a ư c chung l n nh t a) N u p là m t s nguyên t thì (p,m) = p ho c (p, m) = 1. b) N u (a, b) = d thì a = dm, b = dn và (m, n) = 1. c) N u (a, b) = d, a = d’m, b = d’n và (m, n) = 1 thì d = d’. d) N u m là m t ư c chung c a a và b thì m | (a,b). e) N u px || m và py || n thì pmin(x,y) || (m, n). f) N u a = bq + r thì (a, b) = (r, b). g) N u c | ab và (a,c) = 1 thì c | b. h) N u (a, c) = 1 thì (ab, c) = (b, c). I.2.1.2 B i s chung nh nh t. I.2.1.2.1 ð nh nghĩa. Cho a, b là hai s nguyên. S nguyên dương nh nh t chia h t cho c a và b ñư c g i là b i s chung nh nh t c a a và b. Kí hi u: [a,b] hay lcm(a,b). I.2.1.2.2. Các tính ch t c a b i chung nh nh t. a) N u [a, b] = m và m = a.a’ = b.b’ thì (a’, b’) = 1. b) N u m’ = a.a’ = b.b’ và (a’, b’) = 1 thì [a, b] = m. c) N u m = [a, b] và m’ là m t b i chung c a a và b thì m | m’. d) N u a | m và b | m thì [a, b] | m. e) Cho n là m t s nguyên dương, ta luôn có n[a, b] = [na, nb]. f) N u a = p1n1 . p2 2 ... pk k ; b = p1m1 . p2 2 ... pk k n n m m 12
  13. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I k ∏p min( ni , mi ) Thì [a, b] = . i i =1 I.2.1.3 ð nh lí Bézout Phương trình mx + ny = (m,n) luôn có vô s nghi m nguyên. Nh n xét: Phương trình ax + by = c có nghi m nguyên khi và ch khi c là b i c a (a, b). Phương trình ax + by = 1 có nghi m nguyên khi và ch khi (a, b) = 1. I.2.1.4 M i quan h gi a ư c s chung l n nh t và b i s chung nh nh t Cho a và b là các s nguyên khác 0, ta có ab [a,b] = ( a, b) I.2.2 Các ví d Ví d 1. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên a, b ta luôn có (3a + 5b, 8a + 13b) = (a, b). L i gi i Ta có (3a + 5b, 8a + 13b) = (3a + 5b, 8a + 13b – 2(3a + 5b)) = (3a + 5b, 2a + 3b) = (a + 2b, 2a + 3b) = (a + 2b, b) = (a, b). ðpcm. Ví d 2. N u (a, b) = d thì (a +b, a - b) có th nh n nhũng giá tr nào? L i gi i Ta có m = (a + b, a - b) = (a + b, 2a) = (a + b, 2b). Do ñó m là ư c chung c a 2a và 2b và a + b. N u a + b l thì (a + b, a - b) = d N u a + b ch n thì (a + b, a - b) = 2d. Ví d 3. Ch ng minh r ng phân s sau t i gi n 21n + 4 14n + 3 L i gi i Ta có (21n + 4, 14n + 3) = (7n + 1, 14n + 3) 13
  14. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I = (7n + 1, 14n + 3 – 2(7n + 1)) = (7n +1, 1) = 1 T ñó suy ra ñi u ph i ch ng minh. Ví d 4. Cho a, b là các s nguyên dương phân bi t sao cho ab(a + b) chia h t cho a2 + ab + b2. Ch ng minh r ng | a − b |> 3 ab L ig i ð t g = (a, b) ⇒ a = xg và b = yg v i (x, y) = 1. Khi ñó ab(a + b) gxy ( x + y ) =2 a + ab + b x + xy + y 2 2 2 là m t s nguyên. Ta có (x2 + xy + y2, x) = (y2, x) = 1 (x2 + xy + y2, y) = 1. Vì (x + y, y) = 1 nên ta có (x 2 + x y + y 2 , x + y ) = (y 2 , x + y ) = 1 Do ñó x2 + xy + y2 | g Suy ra g ≥ x2 + xy + y2 M t khác |a - b|3 = g3|x - y|3 = g2|x - y|3g ≥ g2.1. (x2 + xy + y2) = ab. T ñó ta có ñi u ph i ch ng minh. Ví d 5. Cho n là m t s nguyên dương, d = (2n + 3, n + 7). Tìm giá tr l n nh t c a d. L i gi i Ta có (2n + 3, n + 7) = (2(n + 7) – 2n -3, n + 7) = (11, n + 7) ≤ 11. M t khác khi n = 11k + 4 thì n + 7 = 11(k + 1) ⇒ (11, n + 4) = 11. Do ñó giá tr l n nh t c a d là 11. 14
  15. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I Ví d 6. (India 1998) Tìm t t c các b (x, y, n) nguyên dương sao cho (x, n+1) = 1 (1) và xn + 1 = yn+1. (2) L i gi i T (2) ta có xn = yn+1 – 1 = (y - 1)(yn + yn-1 + …+ 1) (*) ð t m = yn + yn-1 + … + 1 Suy ra xn ⋮ m Mà (x, n+1) = 1 nên ta ph i có (m, n +1) = 1 Ta l i có m = yn – yn-1 + 2(yn-1 – yn-2) + …+ n(y - 1) +n + 1 = (y – 1)(yn-1 + 2yn-2 + … + n) + n + 1 ⇒ n + 1 ⋮ (m, y - 1) Mà (m, n + 1) = 1 ⇒ (m, y - 1) = 1 (**) T (*) và (**) suy ra m ph i là lu th a n c a m t s nguyên dương. T c là m = qn v i q là m t s nguyên dương nào ñó Vì y > 0 nên ta có yn < yn + yn-1 + … + 1 < yn + Cn y n−1 + ... + Cnn v i m i n > 1 1 hay yn < qn < (y + 1)n v i m i n > 1 (vô lí) V y n = 1 ⇒ x = y2 – 1 Vì (x, n +1) = (x, 2) = 1 nên x = 2k + 1 ⇒ y ch n Do ñó (x, y, n ) = (4a2- 1, 2a, 1) v i a nguyên dương. Ví d 7. Ch ng minh r ng n u m t s nguyên dương có s ư c s là l thì ñó ph i là s chính phương. L i gi i G i n là s t nhiên như v y. n Nh n th y, n u d là m t ư c s c a n thì cũng là m t ư c s c a n. d n Do v y n u v i m i d mà d ≠ thì s ư c c a n ph i là ch n. d n ⇔ n = d2 (ñpcm). Nên t n t i d là ư c c a n sao cho d = d 15
  16. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I Ví d 8. (APMO - 1999) Tìm s nguyên dương n l n nh t sao cho n chia h t cho m i s t nhiên nh hơn 3 n . L i gi i Câu tr l i là 420. Th t v y, ta có 420 < 8. 3 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] = 420. 7 < n > 7 ⇒ n ⋮ 420. Gi s n > 420 và th a mãn ñi u ki n ñ u bài ⇒ 3 n ≥ 9. Do ñó n ≥ 2.420 = 480 ⇒ 3 Ta có n > 13 . [1, 2, ..., 9] = 2520 ⇒ n ⋮ 2520 ⇒ 3 n ⇒ n ≥ 13 và m3 < n ≤ (m +1)3. 3 G i m là s nguyên dương l n nh t nh hơn Do n ⋮ [1, 2, ..., m] ⇒ n ⋮ [m - 3, m - 2, m - 1, m] M t khác m(m − 1)(m − 2)(m − 3) [m − 3, m − 2, m − 1, m] ≥ 6 nên m(m − 1)(m − 2)(m − 3) ≤ n ≤ (m + 1) 3 6 suy ra 6(m + 1) 3 m≤ (m − 1)(m − 2)(m − 3) 2 3 4 ⇔ m ≤ 6(1 + )(1 + )(1 + ) m −1 m−2 m−3 2 3 4 ⇔ f (m) = m − 6(1 + )(1 + )(1 + )≤ 0 m −1 m−2 m−3 M r ng t p xác ñ nh c a m trên t p s th c ta d dàng ch ng minh ñư c f(m) là hàm s ñ ng bi n trên t p [13; +∞) Do ñó v i m i m ≥ 13 thì f(m) ≥ f(13) > 0 (vô li) nên ñi u gi s là sai.T ñó suy ra ñi u ph i ch ng minh. 16
  17. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I I.2.3 Bài t p Bài 1. Cho m, n là hai s nguyên dương phân bi t và (m, n) = d. Tính (2006m + 1, 2006n + 1). Bài 2. Ch ng minh r ng n u các s a, b, c ñôi m t nguyên t cùng nhau thì (ab + bc + ca, abc) = 1. Bài 3. Tìm a) (21n + 4, 14n + 3) b) (m3 + 2m, m4 + 3m2 + 1) c) [2n - 1, 2n + 1]. Bài 4. Ch ng minh r ng (2p - 1, 2q - 1) = 2(p, q) - 1. Bài 5. Cho a, m, n là các s nguyên dương, a > 1 và (m, n) = 1. Ch ng minh r ng (a - 1)(amn - 1) ⋮ (am - 1)(an - 1). Bài 6. Ch ng minh r ng [1, 2, ..., 2n] = (n +1, n + 2, ..., 2n) Bài 6. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương m >n ta có 2mn [m, n] + [m + 1, n + 1] > . m−n Bài 7. Ch ng minh r ng dãy 1, 11, 111, ... ch a vô h n c p (xn, xm) nguyên t cùng nhau. Bài 8. Cho n là m t s nguyên dương, a và b nguyên dương và nguyên t cùng nhau. an − bn , a − b) b ng 1 ho c n. Ch ng minh r ng ( a −b Bài 9. Cho m, n là các s nguyên dương, a là m t s nguyên dương l n hơn 1. Ch ng minh r ng (a m − 1, a n − 1) = a ( m ,n ) − 1. Bài 10. (Hàn Qu c 1998) Tìm t t c các s nguyên dương l, m, n ñôi m t nguyên t cùng nhau sao cho 111 (l + m + n)( + + ) lmn là m t s nguyên. Bài 11. (Canada - 97)Tìm s các c p s nguyên a, b (a ≤ b) tho mãn 17
  18. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I (a, b) = 5!  [a, b] = 50! Bài 12. (Hungari - 1998) Tìm n nguyên dương sao cho t n t i các c p s nguyên a, b th a mãn (a, b) = 1998 và [a, b] = n! Bài 13. (Nga - 2000) Cho 100 s nguyên dương nguyên t cùng nhau x p trên m t vòng tròn. Xét phép bi n ñ i như sau: V i m i s nguyên trên vòng tròn ta có th c ng thêm ư c chung l n nh t c a hai s k bên nó. Ch ng minh r ng sau m t s h u h n phép bi n ñ i ñó, ta có th thu ñư c các s m i ñôi m t nguyên t cùng nhau. Bài 14. (Hungari - 1997) Cho t p A g m 1997 s nguyên phân bi t sao cho b t kì 10 s nào trong A cũng có b i chung nh nh t như nhau. Tìm s l n nh t các s ñôi m t nguyên t cùng nhau có th có trong A. Bài 15. Cho s và t là các s nguyên dương khác 0. V i c p (x, y) b t kì, g i T là phép bi n ñ i (x, y) thành c p (x - t, y - s). C p (x, y) ñư c g i là “T t” n u sau h u h n phép bi n ñ i T ta thu ñư c c p m i nguyên t cùng nhau. a) Tìm (s, t) sao cho (s, t) là m t c p “Tôt” b) Ch ng minh r ng v i m i s, t thì luôn t n t i c p (x, y) không “Tôt”. Bài 16. T n t i hay không các c p s nguyên dương a, b sao cho (30a + b)(30b + a) = 42001? 18
  19. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I I.3. S nguyên T I.3.1. Lí thuy t I.3.1.1 ð nh nghĩa M t s nguyên dương p ñư c g i là s nguyên t , n u nó ch có hai ư c s dương là 1 và chính nó. N u p không ph i s nguyên t thì p ñư c g i là h p s . Nh n xét: 2 là s nguyên t ch n duy nh t. I.3.1.2 ð nh lý 1 ( ð nh lý cơ b n c a s h c) M i s t nhiên l n hơn 1 ñ u có th phân tích m t cách duy nh t thành tích các th a s nguyên t . I.3.1.3. ð nh lý 2 T p h p các s nguyên t là vô h n. I.3.1.3. ð nh lý 3 Cho p là m t s nguyên t . N u p | ab thì p | a ho c p | b. (Vi c ch ng minh các ñ nh lý trên khá ñơn gi n và ta có th tìm ñư c trong b t kì m t quy n sách s h c nào, vì v y s không ñư c trình bày t i ñây) 19
  20. Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c - Ph n I I.3.2 Các ví d Ví d 1. Tìm t t c các s nguyên dương n sao cho các s 3n – 4, 4n – 5, 5n – 3 ñ u là các s nguyên t . L i gi i Ta có (3n - 4) + (5n - 3) = 8n – 7 là s l Do ñó trong hai s trên ph i có m t s ch n và m t s l . N u 3n – 4 ch n thì 3n – 4 = 2 ⇔ n = 2 ⇒ 4n – 5 = 3 và 5n – 3 = 7 ñ u là các s nguyên t. N u 5n – 4 ch n thì 5n – 3 = 2 ⇔ n = 1 ⇒ 3n – 4 = -1 (lo i) V y n = 2. Ví d 2. Tìm s nguyên t p sao cho 8p2 + 1 và 8p2 – 1 cũng là nh ng s nguyên t . L i gi i N u p = 2 thì 8p2 + 1 = 33 ⋮ 3 nên không th a mãn. N u p = 3 thì 8p2 + 1 = 73 và 8p2 – 1 = 71 ñ u là s nguyên t nên p = 3 th a mãn N u p > 3 và p nguyên t nên p không chia h t cho 3. Do ñó p = 3k + 1 ho c p = 3k – 1 +) p = 3k + 1 ⇒ 8p2 + 1 = 8(3k + 1)2 + 1 = 72k 2 + 48k + 9 ⋮ 3 Và hi n nhiên 8p2 + 1 > 3 nên 8p2 + 1 là h p s . +) p = 3k – 1 ⇒ 8p2 + 1 ⋮ 3 và 8p2 – 1 > 3 nên không th a mãn. V y p = 3. Ví d 3. Cho p ≥ 5 th a mãn p và 2p + 1là s nguyên t . Ch ng minh r ng 4p + 1 là h p s. L i gi i. +) p = 3k + 2 ⇒ 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 ⋮ 53⇒ 4p + 1 là h p s . + p = 3k + 1 ⇒ 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 ⋮ 3 (vô lí vì 2p + 1 là s nguyên t l n hơn 11.) Ví d 4. Tìm s nguyên t p sao cho 2p + 1 là l p phương c a m t s t nhiên. L i gi i Ta có 2p + 1 = n3 ⇔ 2p = n3 – 1 = (n - 1)(n2 + n + 1) (*) Do v i m i s t nhiên n thì n2 + n + 1 > n – 1 và m i s nguyên t p thì p ≥ 2 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
914 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2