Chuyên đề số phức

Chia sẻ: chiconden

Tham khảo sách 'chuyên đề số phức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề số phức

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498




(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)




Bỉm sơn. 05.04.2011


ebooktoan.com 1
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC .

1. Một số phức là một biểu thức có dạng a  bi , trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i 2  1 .
Ký hiệu số phức đó là z và viết z  a  bi (dạng đại số)
i được gọi là đơn vị ảo
a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re  z   a
b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi , ký hiệu Im  z   b
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
Chú ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
- Số phức z  a  bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z  a  bi và z’  a’  b’i .
a  a '
z  z’  
b  b '
3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z  a  bi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z  a  bi và z’  a’  b’i . Ta định nghĩa:
 z  z '  (a  a ')  (b  b ')i

 z  z '  (a  a ')  (b  b ')i
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z  a  bi và z’  a’  b’i . Ta định nghĩa:
zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z  a  bi . Số phức z  a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy z  a  bi  a  bi
Chú ý:
1) z  z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
2) z. z = a2 + b2
- Tính chất của số phức liên hợp:
(1): z  z
(2): z  z '  z  z '
(3): z.z '  z.z '
(4): z. z = a 2  b 2 ( z  a  bi )
7. Môđun của số phức.



ebooktoan.com 2
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Cho số phức z  a  bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định
như sau:


- Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z  a  bi , thì z  OM  a 2  b 2

- Nếu z  a  bi , thì z  z.z  a 2  b 2
8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z  a  bi  0 (tức là a 2  b 2  0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z 1 của số phức z ≠ 0 là số
1 1
z 1  2 z 2 z
2
a b z
z'
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
z
z' z '.z
 z . z 1  2
z z
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân
phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC.

1. Cho số phức z  0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi
góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z.
2. Dạng lượng giác của số phức.
Xét số phức z  a  bi  a, b  R , z  0 
Gọi r là môđun của z và  là một acgumen của z.
Ta có: a = rcos , b = rsin
z  r  cos   i sin   trong đó r  0 , được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0.
z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z.
r  a 2  b 2 là môđun của z.
a

cos  
 r
 là một acgumen của z thỏa 
b
sin  

 r
3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '  r  0, r’  0 
z r
thì: z.z '  r.r '  cos    '  i sin    '  và  cos    '  i sin    '  
  z' r'  
4. Công thức Moivre.
n
Với n  N * thì  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n 
 
5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.


ebooktoan.com 3
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 

Căn bậc hai của số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là r  cos  i sin  và
2 2

   
 
 
 r  cos  i sin   r  cos      isin     
2 2 2 2
  


A. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC THUỘC TÍNH

Dạng 1: Các phép tính về Số phức

Phương pháp:
- Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
Chú ý:
Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng
hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

31 3

 i . Tính các số phức sau: z ; z 2 ; z ; 1  z  z 2
Bài 1: Cho số phức z 
22
Giải:
31 31
a. Vì z   iz i
22 22
2
 3 1 3 12 3 1 3
2
b. Ta có z  
 2  2i  4  4i  2 i  2  2 i

 
2
 3 1 3 12 3 1 3
2

 z   2  2 i  4  4 i  2 i  2  2 i

 
1 3  3 1  31 3 3
3 2
 
z  z z   i   i i i
i
 2 2  2 2  4 2 4 4
  
3  3 1 3
31 1 3
Ta có: 1  z  z 2  1   i  i  i
22 22 2 2
Nhận xét:
3

Trong bài toán này, để tính z ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực.
1 3
i . Hãy tính : 1  z  z 2
Tương tự: Cho số phức z   
22
1 3  1 3
13 3
Ta có z 2    i . Do đó: 1  z  z 2  1    
 2 2   2 2 i  0
i    
44 2   
Bài 2:
a. Tính tổng sau: 1  i  i 2  i3    i 2009
b. Cho hai số phức z1 , z 2 thoả mãn z1  z2  1; z1  z2  3 . Tính z1  z2 .
Giải:


ebooktoan.com 4
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Ta có 1 – i 2010  1 – i  1  i  i 2  i 3    i 2009 
2
2 3 2009
Mà 1  i 2010  2 . Nên 1  i  i  i  ...  i   1 i
1 i
b. Đặt z1  a1  b1i; z2  a2  b2 i .
a12  b12  a2  b2  1
2 2

Từ giả thiết ta có  2 2
(a1  a2 )  (b1  b2 )  3

Suy ra 2(a1b1  a2 b2 )  1  (a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2  1  z1  z2  1

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
i 5  i 7  i 9  ...  i 2009
(i 2  1)
a. P  4 6 7 2010
i  i  i ...  i
b. M  1  (1  i) 2  (1  i )4  ...  (1  i )10
100
c. N  1  i 
Giải:
1003
1  i2 
a. Ta có i 5  i 7  i 9  ...  i 2009  i 5 1  i 2  i 4  ...  i 2004   i. i
1  i2
 1  i 2  i3  i 4  i 5  i 6 ...  i 2010   1  i 2  i3 
i 4  i5  i 6  ...  i 2010
1  i 2011 i 11
  (1  1  i )  i  1  P  i
1 i i 1 2 2
b. M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1  1 , công bội q  (1  i )2  2i
1  q10 1  (2i )10 1  210 1025(1  2i)
Ta có : M  u1 .  1.    205  410i
1 q 1  2i 1  2i 5
50
100
 1i  2  50 50 50 50
c. N  1  i   ( 2i )  ( 2) ( i )  2
 
Bài 4:
1 i
. Tính giá trị của z 2010 .
a. Cho số phức z 
1 i
2010 2008 2006
b. Chứng minh 3 1  i   4i 1  i   4 1  i 
Giải:
1  i (1  i )2
a. Ta có : z   i
1 i 2
 i 2010  i 4502  2  i 4502 .i 2  1.(1)  1
nên z 2010
2010 2008 2006 4 2 4
b. Tacó: 3 1  i   4i 1  i   4 1  i   3 1  i   4i 1  i   4  1  i   4
 4i 2  4  (đpcm).
Bài 5: Tính số phức sau:
16 8
1 i  1 i  15
b. z  1  i 
a. z     
1 i  1 i 


ebooktoan.com 5
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Giải:
1  i (1  i)(1  i ) 2i 1i
  i  i
a. Ta có:
1 i 1 i
2 2
16 8
1 i  1 i  8
16
  i   i   2
Vậy   
1 i  1 i 
b. Ta có:
2 14 7 7
1  i   1  2i – 1  2i  1  i    2i   128.i  128.i
15 14
z  1  i   1  i  1  i   128i 1  i   128  1  i   128 – 128i.

Bài 6: Tính: i105  i 23  i 20 – i 34
Giải:
Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:
Ta có: i 2  1; i 3  i; i 4  i 3 .i  1; i 5  i; i 6  1
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i 4 n  1; i 4 n 1  i; i 4 n  2  1; i 4 n 3  i; n  N *
Vậy i n  1;1; i; i , n  N .
n
1
1  n n
Nếu n nguyên âm, i   i       i  .
n

i
Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:
i105 i 23  i 20 – i 34  i 4.26 1  i 4.53  i 4.5 – i 4.8 2  i – i  1  1  2

Bài 7:
1
a. Tính :
1 3
 i
22
b. (TN – 2008) Tìm giá trị của biểu thức: P  (1  3i) 2  (1  3i) 2
Giải:
1 3 1 3
 
i i
1 1 3
2 2 2 2

a. Ta có:   i
1  1  1 2 2
1 3 3 3
 i i   i
22  2 2  2 2 
b. P  4

Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó

Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo
Phương pháp:
Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra phần thực là a, phần ảo là b

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau



ebooktoan.com 6
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
(1  i) 2010
b. z  (1  i)3  (2i)3
a. z  i   2  4i    3  2i  c. z 
1 i
Giải:
a. z   0  2  3  1  4  2  i  1  i.
Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1.
b. Kết quả: 2 + 10i
(1  i) 2010 (2i )1005 (1  i )
 21004 i (1  i)  21004  21004 i
c. z  
1 i 2
Bài 2:
a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức i   2 – 4i  –  3 – 2i 
b. (TN – 2010) Cho hai số phức: z1  1  2i, z2  2  3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1  2 z2 .
c. (TN – 2010) Cho hai số phức: z1  2  5i, z 2  3  4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 .z 2 .
 z 1

 i
d. Cho số phức z thỏa mãn  z   2 . Tìm số phức liên hợp của z
z


Giải:
a. Ta có: i   2 – 4i  –  3 – 2i    0  2   1  4  i   3  2i    2 – 3   3  2  i  1 – i
Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1.
b. Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
c. Phần thực 26 ; Phần ảo 7
1

2 2
a  b  1 ab 

d. Theo giả thiết  2 2
22 2
 a  b    2ab  1  41 a 2  b 2  1
 
 
2 2 2 2
z   z  
i i
2 2 2 2
...   
 
2 2 2 2
z    z   
i i
 
2 2 2 2

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức
3 3
 1  i    2i 
a.
2 3 20
b. z  1  1  i   1  i   1  i     1  i 
2009
c. 1  i 
Giải:
a. Ta có:
3 3 2
 1  i    1  3  1 i  3  1 i 2  i 3  2  2i
3
 23  i 3  8i
 2i 


ebooktoan.com 7
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
3 3
  1  i    2i   2  10i
Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.
(1  i) 21  1
20
b. Ta có P  1  (1  i )  ...  (1  i ) 
i
10
(1  i )21  (1  i) 2  .(1  i)  (2i )10 (1  i )  210 (1  i )
 
210 (1  i )  1
 
 210  210  1 i
P
i
Vậy: phần thực 210 , phần ảo: 210  1
1004
 
2009 2
(1  i )  (2i)1004 (1  i )  21004 (1  i )  21004  21004 i
c. Ta có 1  i   1  i 
Vậy phần thực của số phức trên là 21004 và ảo là 21004
2
  1  2i 
Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết z  2i
Giải:
2
  1  2i   1  2 2i  1  2i   1  2i  2 2i  4i 2  5  2i
Ta có: z  2 i
 z  5  2i
Phần ảo của số phức z bằng  2.
2
Bài 5: (CD – 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  2  3i  z   4  i  z   1  3i  . Tìm phần thực và phần
ảo của z.
Giải:
Gọi z  a  bi  a  R , b  R   z  a  bi
Đẳng thức đã cho trở thành
2
 2  3i  a  bi    4  1 a  bi    1  3i   6a  4b  2(a  b)i  8  6i (coi đây là một phươn trình bậc nhất
theo i)
Đồng nhất theo i hệ số hai vế ta được
 6a  4b  8 a  2
 
2a  2b  6 b  5
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2 , phần ảo là 5
2
Bài 5: (CD – A 2009) Cho số phức z thỏa mãn 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z . Tìm phần thực và phần ảo của
z.
Giải:
2
Ta có: 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z
2
 z 1  i   2  i   1  2i    8  i  z  2i  2  i   1  2i   8  i
 
 
8  i  8  i  1  2i  8  15i  2 10  15i
z     2  3i
2i  1 5 5 5
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3
n
Bài 8: Tìm phần thực của số phức z  1  i  , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình


ebooktoan.com 8
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
log 4  n – 3  log 4  n  9   3
Giải:
n  N
Điều kiện: 
n  3
Phương trình log 4  n – 3  log 4  n  9   3  log 4  n – 3   n  9   3
n  7 (thoả mãn)
 (n – 3)(n + 9) = 43  n2 + 6n – 91 = 0  
 n  13 (không thoả mãn)
Vậy n = 7.
3
n 7 2
Khi đó z  1  i   1  i   1  i  . 1  i    1  i  .(2i) 3  (1  i).(8i)  8  8i
 
Vậy phần thực của số phức z là 8.

Loại 2: Biếu diễn hình học của số phức
Phương pháp:
- Sử dụng điểm M  a; b  biếu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy
Chú ý:
Với câu hỏi ngược lại “ Xác định số phức được biểu diễn bởi điểm M  a; b  ” khi đó ta có z  a  bi
… đang cập nhật

Loại 3: Tính modun của số phức
Phương pháp:
Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra modun là z  a 2  b 2
Bài 1:
a. Tìm môđun của số phức z  1  4i  (1  i )3
(1  3i )2
b. (ĐH – A 2010) Cho số phức z thỏa mãn z  . Tìm môđun của số phức z  iz
1 i
11 8
1 i   2i 
c. Cho số phức z thỏa mãn i. z      . Tìm môđun của số phúc w  z  iz .
1 i  1 i 
3
d. Tính mô đun của số phức: Z  1  4i  1 – i 

Giải:
a. Vì (1  i)3  13  3i  3i 2  i 3  1  3i  3  i  2  2i .
Suy ra : z  1  4i  (1  i)3  1  2i  z  (1) 2  22  5
(1  3i)3
b. z  .
1 i
Cách 1: (dành cho ban cơ bản)
3 2
     
 13  3.12  3i  3.1.  3i  3 3i3  8
Ta có 1  3i




ebooktoan.com 9
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
8 8 1  i 
Do đó z    4  4i  z  4  4i
1 i 2
 z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i
Vậy z  iz  8 2.
Cách 2: (Dành cho ban nâng cao)
Biếu diễn dưới dạng lượng giác
Ta có
     
(1  3i )  2  cos     i sin      (1  3i )3  8 cos(  )  i sin(  )   8
  3  3 
8 8(1  i )
z    4  4i
1 i 2
 z  iz  4  4i  i(4  4i)  8(1  i)  z  iz  8 2
11 8
 1  i  2 
11 8
 2i 1  i  
1 i   2i 
c. Ta có i.z       i.z     
1 i  1 i  2 2
 
 
11 8
 i z   i   1  i   16  i  z  1  16i  z  1  16i
Do đó w  z  iz  1  16i  i  1  16i   17  17i
Vậy w  17 2  17 2  17 2
3
d. Z  1  4i  1 – i   1  4i  1  3i 3i 2  i 3  1  2i
2
 22  5
 1
Z
(1  i )(2  i)
Bài 2: Tìm mô đun của số phức z 
1  2i
Giải:
5i 1
Ta có : z   1 i
5 5
2
1 26
Vậy, mô đun của z bằng: z  1    
5 5

Loại 4: Tìm số đối của số phức z
Phương pháp:
Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra số đối z   a  bi
…đang cập nhật

Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z
Phương pháp:
Biến đổi số phức về dạng z  a  bi , suy ra số phức liên hợp là z  a  bi

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình z  z 2 , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z .


ebooktoan.com 10
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Giải:
Gọi z  a  bi , trong đó a,b là các số thực
Ta có : z  a  bi và z 2  (a 2  b 2 )  2abi
a 2  b 2  a
Khi đó : z  z 2  Tìm các số thực a,b sao cho : 
2ab  b
 1 3  1 3
Giải hệ trên ta được các nghiệm (0;0) , (1;0) ,   ; ,  ; .
 2 2  2 2
  
1
Bài 2: Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i)(3  2i) 
3i
Giải:
3i 3i
Ta có: z  5  i   5i 
(3  i)(3  i) 10
53 9
Suy ra số phức liên hợp của z là: z   i
10 10

Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z
Phương pháp:
1 1
Sử dụng công thức  2 z
zz
…đang cập nhật

Loại 7: Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số thực
Phương pháp:
Cho z  a  bi và z’  a’  b’i .
a  a '
z  z’  
b  b '
Bài 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thoả mãn z 3  18  26i .
Giải:
 x 3  3 xy 2  18

3
 18(3 x 2 y  y 3 )  26( x 3  3 xy 2 ) .
Ta có ( x  yi)  18  26i   2 3
3 x y  y  26

1
Giải phương trình bằng cách đặt y  tx ( x  0) ta được t   x  3, y  1.
3
Vậy z  3  i .
Bài 2: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn 1  3i   2 x  yi   1  i
Giải:
Ta có 1  3i   2 x  yi   1  i  2 x  3 y   y  6 x  i  1  i  
Coi   là phương trình bậc nhất theo i, đồng nhắt hệ số hai vế ta được kết quả




ebooktoan.com 11
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1

 x   10
2 x  3 y  1 
    
 y  6x  1 y  2
 5

Bài 3: Tìm hai số thực x, y thoả mãn: x(3  5i)  y (1  2i) 3  9  14i
Giải:
Ta có x(3  5i)  y (1  2i )3  x (3  5i )  y (11  2i)  (3 x  11y )  (5 x  2 y)i
3 x  11y  9
Do đó x, y thoả mãn hệ  .
5 x  2 y  14
172 3
Giải hệ ta được x  và y  
61 61
Bài 9: Giải phương trình nghiệm phức: z 2  z
Giải:
a 2  b 2  a
2 2
Đặt z  a  bi (a, b  R) , ta có: z  z  (a  bi)  a  bi  
2ab  b
1 3
Giải hệ trên ta tìm được (a; b)  (0;0); (1;0);   ;  .
2 2
 
1 3
Vậy z  0; z  1; z    i.
22
Dạng 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn
2
2
a.  2  3i  z  z  1 b. z  2 z.z  z  8 và z  z  2


Giải:
1 3i  1 1 3
a. Ta có: z (1  3i )  1  z     i
1  3i 10 10 10
2
2
b. z  2 z. z  z  8  4( x 2  y 2 )  8  ( x 2  y 2 )  2 (1)
z  z  2  2 x  2  x  1 (2)
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = 1
Vậy các số phức cần tìm là 1  i và 1  i
4
 z i
Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn :   1
 z i 
Giải:
4
 z  i  2   z  i  2 
 z i
  1     1    1  0
Ta có 
 z i  z  i    z  i  
  




ebooktoan.com 12
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2
 z i z i
 1  0   1  z  0
TH 1: 
 z i z i
2 2
 z i  z i  z  i    z  i  
2
TH 2:   1  0    i  0   z  i   i   z  i   i   0  z  1
 z i  z i     
Vậy có 3 số phức thỏa mãn
 z 1
 z  i  1 1

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn hệ 
 z  3i  1  2 
 zi

Giải:
Cách 1: (Phương pháp đại số)
z 1
Giả sử z  x  yi , khi đó  1  z  1  z  i  x  yi  1  x  yi  i
z i
2 2
  x  1  y 2  x 2   y  1  x  y.
z  3i 2 2
 1  z  3i  z  i  x  yi  3i  x  yi  i  x 2   y – 3   x 2   y  1 
Ta lại có:
zi
 y  1  x  1 . Vậy số phức phải t ìm là z  1  i
Cách 2: (Phương pháp hình học)
Nhận xét:
z
z
Với hai số phức z và z '  z '  0  ta luôn có 
z' z'
Từ (1) z  1  z  i . Gọi A và B là hai điểm biếu diễn các số 1 và i tức là A 1;0  , B  0;1
Từ đó z  1  z  i  MA  MB , ở đây M  M  z  là điểm biểu diễn số phức z
Vậy M nằm trên đường trung trực của AB tức là M nằm trên đường thẳng y  x
Tương tự  2   z  3i  z  i  MA'  MB ' hay M nằm trên trung trực của A' B ' tức là M nằm trên đường
thẳng y  1
Từ (1) và (2) ta có M nằm trên giao của hai đường thẳng trên tức là M 1;;1  z  1  i
Bài 4: (ĐH – D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z 2 là số thuần ảo.
Giải:
Gọi z = a + bi  a  R , b  R  , ta có: z  a 2  b 2 và z 2  a 2  b 2  2abi
a 2  b 2  2  a 2  1  a  1
 
 2 
Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi:  2 2
b  1 b  1
a  b  0
 
Vậy các số phức cần tìm là: 1  i; 1 – i;  1  i;  1 – i.
Bài 5: (ĐH –B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z   2  i   10 và z.z  25 .
Giải:
Gọi z = a + bi  a  R , b  R  ,


ebooktoan.com 13
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Ta có: z   2  i    a  2    b  1 i;
2 2
Từ giả thiết ta có: z   2  i   10   a  2    b  1  10 1
và z.z  25  a 2  b 2  25 2
a  3 a  5
Giải hệ (1) và (2) ta được  
b  4 b  0
Vậy các số phức cần tìm là: z  3  4i hoặc z  5
Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2  z  0
Giải:
Gọi z = x + yi  x, y  R  ,

 
2
Khi đó z 2  z  0   x  yi   x 2  y 2  0  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0

 x  0

 2
x2  y 2  x2  y2  0 2 2 2
 x  y  x  y  0
x  y  x  y  0
2 2 2 2
 

   x  0 
 y  0

2 xy  0 

y  0 2
  2 2 2
 x  y  x  y  0

 x  0
x  0

  y  0
x  0
x  0 

   x  0, y  0
 y  0
 1  y  0

 2 
 y 1  y   0
  y  y  0   y  1 x  0, y  1

 
 
   

  x  0, y  1
 y  0 y0
 y  0  
   y  0 
2 
 
 x 1  x   0
x  x  0 
 x  0  x  0, y  0


    x  0  do x  1  0 
 
  1  x  0

Vậy các số phức cần tìm là: z  0; z  i; z  i
Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn : z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Giải:
Gọi số phức z  a  bi
Theo bài ra ta có:
 a  2  2


2 2
 a  2   b  1 i  2   b  1  2
 a  2    b  1  4
 
 

 a  2 
b  a  3 b  a  2 2
  

 b  1  2

   
Vậy số phức cần tìm là: z  2  2  1  2 i ; z  2  2  1  2 i

Bài 8: Tìm số phức z thỏa mãn  z  1  z  2i  là số thực và z 1  5 .
Giải:



ebooktoan.com 14
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Đặt z  a  bi (a,b là số thực)
Ta có
 z  1  z  2i   a 2  b 2  a  2b   2a  b  2  i là số thực  2a  b  2  0 1
2
 a  1  b 2  5  2 
z 1  5 
Từ (1) và (2) ta có  a; b    0; 2  ;  2; 2 
Vậy z  2i; z  2  2i
Bài 9:
 
a. Tìm số phức z để cho: z. z  3 z  z  4  3i .
b. (ĐH – D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z –  3 – 4i   2 
Giải:
Gọi số phức z  x  yi ( x , y  R )
Ta có
 
z.z  3 z  z  4  3i
  x  yi  x  yi   3  x  yi    x  yi    4  3i
 
 x 2  y 2  3  2 yi   4  3i  x 2  y 2  6 yi  4  3i
1

y   2
2 2
x  y  4 
 
6 y  3  x   15

 2
15 1 15 1
Vậy: z   i; z   i
2 2 2 2
b. Giả sử M  a; b  biểu thị số phức z  x  yi ( x , y  R )
Theo giả thiết ta có z –  3 – 4i   x – 3   y  4  i
2 2
Vậy  z –  3 – 4i   2  ( x  3)2  ( y  4) 2  2   x – 3   y  4   4
Do đó tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I  3; 4  và bán kính R = 2.
 2 z  i  z  z  2i

Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn: 
2 2
 z  (z)  4

Giải:
Gọi số phức z  x  yi ( x , y  R )
2 x   y  1 i  2  y  1 i

2 x  ( y  1)i  (2 y  2)i

Hệ   
 4 xyi  4  4 xyi  4
 




ebooktoan.com 15
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
x2

y  4  0
x   3 4

2 x 2   y  1 2  2  y  1 2
  
1
  y   1

y  3
x
 xyi  1 
 4

 1
y 

x

1
Vậy số phức cần tìm là : z   3 4  3 i
4
Bài 11: (ĐH – B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, t ìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn z  i  1  i  z
Giải:
Giả sử z  a  bi  a, b  R  .
Suy ra : z  i  a  (b  1)i và 1  i  z  1  i   a  bi    a – b    a  b  i
Theo giả thiết
z  i  (1  i ) z  a   b  1 i   a  b    a  b  i  a 2  (b  1)2  (a  b)2  (a  b)2
2
 a 2   b 2 – 2b  1  2  a 2  b 2   a 2  b 2  2b – 1  0  a 2   b  1  2
Vậy tạp hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn I  0; 1 và bán kính R  2
3
Bài 12: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
2
Giải:
Giả sử z  x  yi , khi đó:
3 3 9
2 2
z – 2  3i    x  2    y  3 i    x  2    y  3  .
2 2 4
3
Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn  C  tâm I  2; 3 và bán kính R 
2
Môđun của z ( z ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn  C  và gần O nhất
 M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn  C  .
Ta có: OI  4  9  13
Kẻ M1H  Ox. Theo định lý Talet ta có:
3
13 
M 1 H OM1 2
 
3 OI 13
9 6 13  9
 13M 1 H  3 13  
2 2
6 13  9 78  9 13
 M1 H  
26
2 13




ebooktoan.com 16
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
3
13 
2  OH  26  3 13
OH
Lại có: 
2 13
13
26  3 13 78  9 13
Vậy số phức cần tìm là: z  
13 26
Bài 13: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  2 , tìm số phức z có modun nhỏ nhất.
Giải:
Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z
Ta có
2 2
z  1  2i  2   x  1   y  2  4
2 2
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (C) :  x  1   y  2   4 có tâm (1;2)
Đường thẳng OI có phương trình y  2x
Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu
diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của
đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ

2

x  1 5
 y  2x


Chọn  2 2
 x  1   y  2   4 2


x  1 5

 2  4
2 4
Với x  1   y  2 nên số phức z   1    2  i
5 5 5  5

Cách 2:
Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z
2 2
Ta có z  1  2i  2   x  1   y  2  4
2 2
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (C) :  x  1   y  2   4 có tâm I 1; 2  và R  2
 x  1  2 sin t
 M 1  2 sin t ; 2  2 cos t 
Chuyển đường tròn về dạng tham số đặt 
 2  2 cos t
y

Modun của số phức z chính là độ dài của OM
2 2 2
Ta có z  OM 2  1  2sin t    2  2cos t   9  4  sin t  2cos t 
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta có  sin t  2cos t   12  22   sin 2 t  cos 2 t   5

  5  sin t  2 cos t  5  9  4 5  z  9  4 5
1 2
Vậy z min  9  4 5  sin t  2cos t   5  sin t   , cos t  
5 5
 2  4
2 4
 x 1 ,y  2  z  1    2  i
5 5 5  5

Chú ý:
Nếu yêu cầu tìm


ebooktoan.com 17
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1 2
z max  9  4 5  sin t  2cos t  5  sin t  , cos t 
5 5
 2  4
2 4
 x 1 ,y  2  z  1    2  i
5 5 5  5

z  1  5i
2
Bài 14: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn:
z 3i
Giải:
Gọi z  a  bi (a,b thuộc R)  z  a  bi
z  1  5i a  bi  1  5i  a  1   b  5  i
Ta có  
a  bi  3  i  a  3   b  1 i
z 3i
Theo giả thiết
2 2
 a  1  b  5
z  1  5i
 2
z 3i 2 2
 a  3   b  1
2 2
 a  1  b  5
 2  a 2  b 2  10a  14b  6  0 *

2 2
 a  3   b  1
 * là phương trình của đường tròn trong mặt phẳng phức
Nên số phức có môđun nhỏ nhất phần thực và phần ảo là nghiệm của đường tròn  * và đường thẳng IO với
I  5; 7  là tâm của đường tròn
Gọi I là tâm của mặt cầu (S). I  d  I 1  3t; 1  t ; t  , R  IA  11t 2  2t  1
 34  2 370
t 
a  5t 37
 Phương trình 37t 2  74t  3  0  
IO : 
b  7t  37  2 370
t 
37

Khi đó ta được
34  2 370 34  2 370 37  2 370 37  2 370
 loai 
z  5 7 , z  5 7
37 37 37 37

34  2 370 34  2 370
Vậy số phức cần tìm là z  5 7
37 37
Bài 15: Trong số các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có modun nhỏ nhất
Giải:
Giả sử số phức z  x  yi ( x , y  R )
Theo giả thiết ta có
z  2  4i  z  2i   x  2    y  4  i  x   y  2 
2 2 2
  x  2   y  4   x2   y  2   x  y  4  0  y   x  4



ebooktoan.com 18
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Do đó tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường thẳng y   x  4
2 2
Mặt khác ta có z  x 2  y 2  x 2    x  4   2 x 2  8 x  16  2  x  2   8  2 2
z min  2 2  x  2  y  2  z  2  2i
Nhận xét:
Qua các bài ta thấy để tìm ta có thể dùng hình học, bất đẳng thức hoặc tam thức bậc hai như bài toán sau đây
1 m
m  R
Bài 16: Xét số phức z thỏa mãn z 
1  m  m  2i 
1
a. Tìm m để z. z 
2
1
b. Tìm m để z  i 
4
c. Tìm số phức z có modun lớn nhất
HD:
1 1
b.  m
a. m  1
15 15
m2  1 1
c. Ta có z    1  z max  1  m  0  z  i
m  1
2
m2  1


Dạng 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa m ãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Loại 1: Số phức z thỏa mãn về độ dài (modun), khi đó ta sử dụng công thức z  a 2  b 2
Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương). Khi đó ta sử dụng kết quả
a. Để z là số thực điều kiện là b  0
a  0
b. Để z là số thực âm điều kiện là 
b  0
a  0
c. Để z là số thực dương điều kiện là 
b  0
d. Để z là số ảo điều kiện là a  0

Bài 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức các số phức z thoả mãn:
z i
1
a. z  z  3  4i b.
zi
Giải:
2 2
x2  y 2   x  3  4  y
a. Đặt z  x  yi ( x, y  R) , ta có z  z  3  4i 
 x 2  y 2  ( x  3)2  (4  y ) 2  x 2  y 2  x 2  6 x  9  16  8 y  y 2  6 x  8 y  25
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng có phương trình 6 x  8 y  25 .




ebooktoan.com 19
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
z i
b. Đặt z  x  yi ( x, y  R) , ta có  1  z  i  z  i  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i
zi
 x 2  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2  y  0 .
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục thực Ox
Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức   (1  i 3) z  2 biết rằng số phức z
thoả mãn: z  1  2 .
Giải:
Đặt z  a  bi (a, b  R) và   x  yi ( x, y  R)
Ta có z  1  2  (a  1) 2  b 2  4 (1)
x  a  b 3  2 x  3  a 1 b 3
 
Từ   (1  i 3) z  2  x  yi  (1  i 3)(a  bi )  2   
 y  3a  b  y  3  3(a  1)  b
 
Từ đó ( x  3) 2  ( y  3)2  4 (a  1) 2  b 2   16 (do (1)).
 
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ( x  3) 2  ( y  3) 2  16 , tâm I (3; 3) , bán kính R  4.
Bài 3: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm
M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. z  1  i  2 b. 2  z  z  2 c. 1  z  1  i  2
Giải:
a. Cách 1:
Ta có M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và I 1; 1 là điểm biểu diễn số phức z  1  i .
Theo giả thiết ta có: MI  2 .
Vậy tập hợp những điểm M chính là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính là R  2 .
Cách 2:
Đặt z  x  yi suy ra z  1  i   x  1   y  1 i.
nên z  1  i  2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  2  ( x  1)2  ( y  1)2  4.
Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính
R2
b. Ta có: 2  z  z – 1 2 
Ta có M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A  2; 0  là điểm biểu diễn số phức z  2 ,
B  2; 0  là điểm biểu diễn số phức z = 2.
Dựa vào giải thiết ta có: MA  MB
 M (nằm bên phải) đường trung trực  x  0  của A và B. Hay x  0.
c. Ta có: z  1  i  z  (1  i)
Ta có M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A  1;1 là điểm biểu diễn số phức z  1  i.
Ta có:1  MA  2 .
Vậy M thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi 2 đường tròn tâm A  1;1 bán kính lần lượt là 1 và 2.
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn một trong các điều kiện sau.



ebooktoan.com 20
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2

z2  z 4
a. z  z  3  4 b.

Giải:
Đặt: z  a  bi
a. Ta có:
1

a  2
4 z  z  2a  3  z  z  3  2 a  3  4  
a   7

 2
1

x  2
Vậy M có thể nằm trên đường thẳng 
x  7

 2
b. Ta có:

 M  xy  1
2

z2  z  4abi  4 ab  4  
 M  xy  1
z
3
Bài 5: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện sau:
z i
Giải:
Gọi z  a  bi ta có:
a  bi  3 a  (b  1)i  a 2  b 2  9  a 2  b 2  2b  1  8a 2  8b 2  18b  9  0
2 2 2
9 81  9 9 9 9 3
  
 8a  8  b 2  b     0  8 a 2  8  b     a 2   b     
2

4 64  8 8 8 8 8
  
 9 3
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là đường tròn tâm I  0;  bán kính R 
 8 8
zi
Bài 6: Tìm tất cả những điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho: là số thực.
zi
Giải:
Gọi z  a  bi ta có:
a  0
a  (b  1)i  a  (b  1)i  a  (1  b)i   a  (1  b )    2abi 
2 2
ab  0 
 
  R    b  0
2 2 2 2
a  (1  b)i  0
a  (1  b)i a  (b  1) a  (b  1) (a; b)  (0;1)

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là những điểm nằm trên 2 trục tọa độ bỏ đi điểm (0;1)
Bài 7: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn
điều kiện sau: 2  z  i  z
Giải:
Cách 1:
2 2
2  x  yi  i  x  yi   x  2   y 2  x 2  1  y   4x  2y  3  0.



ebooktoan.com 21
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
Cách 2:
Gọi A   2; 0  , B  0;1 . Khi đó 2  z  i  z  z  (2)  z  i hay là M  z  A  M  z  B .
Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Bài 8: (ĐH – D 2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều
kiện z   3  4i   2 .
Giải:
Gọi z  x  yi  x  R, y  R  , ta có: z  3  4i   x  3   y  4  i
2 2 2 2
 x  3   y  4   2   x  3   y  4   4
Từ giả thiết ta có:
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I  3; 4  , bán kính R = 2.
Bài 9 : (ĐH – B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn: z  i  1  i  z
Giải:
Gọi z  x  yi  x  R, y  R  , ta có:
z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i
2 2 2 2
 x 2   y  1   x  y    x  y   x 2  y 2  2 y  1  0  x 2   y  1  2
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0;-1), bán kính R  2 .
Bài 10: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z  i  z  i  4
Giải:
Giả sử: z  x  yi (x, y R)
Suy ra M(x; y) biểu diễn số phức z.
x 2  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2  4 (*)
Ta có: z  i  z  i  4  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i  4 
Đặt: F1  0; 1 , F2  0;1
Thì (*)  MF2  MF1  4  F1 F2  2
Suy ra Tập hợp điểm M là elip (E) có 2 tiêu điểm là F1, F2.
Ta viết phương trình elip (E):
x2 y2
Phương trình chính tắc của (E) có dạng: 2  2  1  a  b  0; b 2  a 2  c 2 
a b
MF  MF2  2a  4 a  2
Ta có:  1  b2  a 2  c 2  3

 F1 F2  2c  2 c  1
x2 y2
Vậy  E  :   1.
4 3
Bài 11: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức
2 z 1  z  z  2
Giải:
Đặt z  x  yi  x, y    . Ta có



ebooktoan.com 22
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2 z  1  z  z  2  2 x  yi  1  x  yi  x  yi  2  2 x  1  yi  2  2 yi
x  0
2
 y 2  4  4 y 2  x2  2 x  0  
 x  1
2
x  2
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng
Bài 12: Trên mp phức t ìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:
1. z  1 2. z  2 3. z  z  1  2i  3.
Giải:
Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
Ta có: z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1 .
Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 1.
2. Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
Ta có: z    x 2  y 2  2  x 2  y 2  4 .
Vậy: Tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O(0;0) bán kính R = 2.
3. Biểu diễn số phức z  x  yi  x, y    bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
2 2
z  z  1  2i  3  1  2  y  1 i  3  12   2 y  2   3   y  1  2  y  1  2
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục hoành y  1  2 .
Bài 13: Trên mp phức t ìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z:
1. z  1  1 2. z  i  1
Giải:
Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
2 2
 y 2  1   x  1  y 2  1 .
Ta có: z  1  1  x  yi  1  1   x  1  yi  1   x  1
Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(1;0) bán kính R = 1.
Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
2 2
x 2   y  1  1  x 2   y  1  1 .
Ta có: z  i  1  x  yi  i  1  x   y  1 i  1 
Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R = 1.
Bài 14: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện:
2

1. z 2 là số ảo 2. z 2  z 3. 2 z  i  z  z  2i
Giải:
1. Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
2
z 2   x  yi   x 2  y 2  2 xyi
x  y  0  y  x
Do z 2 là số ảo  x 2  y 2  0   x  y  x  y   0  
 x  y  0  y  x
Vậy: Tập hợp điểm là hai đường phân giác: y  x, y   x.
2. Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.



ebooktoan.com 23
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
x  0
2

z2  z  x 2  y 2  2 xyi  x 2  y 2  2 xyi  4 xyi  0  x. y  0   .
y  0
Vậy: Tập hợp điểm là các trục tọa độ.
3. Đặt z  x  yi  x, y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
2 z  i  z  z  2i   x  yi  i  x  yi  x  yi  2i   x   y  1 i  2 yi  2i
2 2
x 2   y  1 
  x   y  1 i  2  y  1 i  x   y  1 i   y  1 i   y  1
x2
2 2
2
 x   y  1   y  1  y
4
x2
Vậy: Tập hợp các điểm M là parabol y  .
4
Dạng 5: Số phức với các bài toán chứng minh
Phương pháp:
- Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức.
- Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên
hợp, môđun của số phức đã được chứng minh.

Bài 1: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra:
1
hoặc z 2  1  1
z 1 
2
Giải:
1
và z 2  1  1 . Đặt z  a  bi (a, b   )
Giả sử ta có đồng thời z  1 
2
1
 2 2
2 2
(1  a )  b  2(a  b )  4a  1  0 (1)
 2
Ta có:  2 22 2 2
(1  a 2  b 2 ) 2  4a 2 b 2  1 (a  b )  2(a  b )  0 (2)


Cộng từng vế (1) với (2) ta được (a 2  b 2 )2  (2a  1)2  0 (vô lý). Suy ra đpcm.
1 1
Bài 2: Cho số phức z  0 thoả mãn z 3   2 . Chứng minh rằng: z   2 .
3
z z
Giải:
Dễ chứng minh được rằng với hai số phức z1 , z 2 ta có z1  z2  z1  z2
3 3
1 1 1 1 1 1 1
 
Từ  z    z 3  3  3  z   , suy ra z   z3  3  3 z   2  3 z 
z z z z z z z
 
1
Đặt a  z  ta được a3  3a  2  0  (a  2)( a  1) 2  0  a  2 (đpcm).
z
1 3
1
2 2 3
Bài 3: Chứng minh rằng z  z  1  0; z  z  ; z  1. với z    i
2 2
z
Giải:




ebooktoan.com 24
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1 3 1 3
1 3
Do z 2    z 2  z  1  (  i )  (  i)  1  0 ;
i
22 22
2 2
1 3
  i
1 1 1 3
2 2
    i.
Lại có
z 1 2 2
1 3
  i
2 2
1
2
. Hơn nữa ta có z 3  z 2 .z 1.
Suy ra z  z 
z
Bài 4: Cho z1 , z2  C. Chứng minh rằng : E  z1 z2  z1 .z2  
Giải:
Để giải bài toán này ta sử dụng một tính chất quan trọng của số phức liên hợp đó là: z  R  z = z
Thật vậy:
Giả sử z = x + yi  z = x – yi.
z = z  x + yi = x – yi  y = 0  z = x  R
Giải bài toán trên:
Ta có E = z1 z2  z1 .z2  z1 z2  z1 z 2 = E  E  R
Bài 5: Chứng minh rằng:
7 7
   2  i 5
1. E1 = 2  i 5 R
n n
 19  7i   20  5i 
   R
2. E2 = 
 9  i   7  6i 
Giải:
7 7 7 7 7 7
   2  i 5    2  i 5    2  i 5   2  i 5   2  i 5 
1. Ta có: E1 = 2  i 5  E1  E1R
n n
n n
 19  7i  (9  i )    20  5i  (7  6i) 
 19  7i   20  5i 
2. E2         
 9  i   7  6i  82 85
  
n n
 164  82i   170  85i  n n
  2  i   2  i
  
 82   85 
 E2  E2  E2  R
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương
trình z 2  6 z  18  0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.
Giải:
Phương trình : z 2  6 z  1 8  0 có  '  9  18  9  9i 2
nên có hai nghiệm t1  3  3i hoặc t2  3  3i
Trong mặt phẳng tọa độ số phức t1 có điểm biểu diễn là A(3 ;3)
số phức t2 có điểm biểu diễn là B(3 ;-3)
OAB có OA  OB  3 2 nên OAB cân tại O

 
  

O A ( 3; 3) , O B ( 3;  3)  O A .O B  0  O A  O B


ebooktoan.com 25
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Nên OAB vuông tại O. Vậy OAB vuông cân tại O

Bài tập tự giải tổng hợp:

Dạng 1: Các phép toán về số phức

Bài 1: Thực hiện phép tính:
 3  2i   4  3i   1  2i 
7  2i
4  3i 1  i  
b. B  c. C 
a. A  
8  6i 5  4i
1  i 4  3i
1 i 2 3  4i
4i
d. D   2  5i   e. E   2  3i 1  2i   f. F 
1  4i  2  3i 
3  2i
2i 3
1
g. G  1  i  5  3i  
3  2i
Đs:
11 39
b. B  i
15 25
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a. A  ( 3  2.i )2  ( 3  2.i )2 .
b. P  (1  2 i )2  (1  2 i ) 2  2
c. P  ( x  1  i )( x  1  i )( x  1  i)( x  1  i )
Đs:
c. P  x 4  4
Bài 3: Thực hiện các phép toán sau:
1 2 5

 2  3i   
a.  2  i     2i   i
b. 
3 3 4 

1  3 1 3 1   5 3   4

c.  3  i      2i   i   i      i    3  i 
d.
3  2 2 4 5   4 5   5

3 3
(2  i)  (2  i)
e. [(3  2i)  (3  2i)]2 f.
(2  i ) 3  (2  i) 3
2
 1  2i 
h. i 1  i 2  ...  i 10 i. i 1  i 2  ...  i 2008
g.  
 1 i 
Bài 4: Thực hiện phép tính:
ai a
m
1 i
3
a. b. c. d.
1  2i 1 i ai a
im
(1  2i)  (1  i) 2
2
3 i ai b
h. (2 – i)6
e. f. g.
(3  2i) 2  (2  i ) 2
(1  2i )(1  i ) ia
Đs:
a 1 2 a
36

c. i m
a.  i i
b.i d.
a 1 a 1
55



ebooktoan.com 26
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
b
43 21 9
i a
e.  i i
f. g. h. 117 – 44i
a
55 34 17
Bài 5: Phân tích ra thừa số (thực chất là phân tích thành tích các đa thức)
a. a2 + 1 b. 2a2 + 3 c. 4a4 + 9b2 d. 3a2 + 5b2
Đs:
a.  a – i   a  i  b. (a 2  i 3 )(a 2  i 3)
d. (a 3  ib 5 )(a 3  ib 3)
c. (2a – 3bi)(2a + 3bi)
Bài 6: Tính :
2 3 20
a. 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i  b. 1  i  i 2  i 3  ...  i 2011
z1
biết rằng: z1  3  i và z2  1  3i
c. Tính
z2
Đs:
z
c. 1  i
z2
Bài 7: Thực hiện phép tính
16 8
1 i  1 i 
10 8 3 3
a. 1  i  b. 1  i  c. 1  i  d. 1  i   
e.  
1 i  1 i 
Đs:
a. 32i b. 16 c. 2  2i d. 2  2i
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau đây
1
z2 
1  m 2  mi
z  z  0 (m là tham số thực)
a. b.
1 m  i 1  m2
z  1
z
11 1 1
2
   z1 , z2  0 

. 2 .
c. 2 2
z1  z 2  z1  z 2   z1  z2   z1 z2 
Đs:
z1  z 2
a. z  1 b. i c.
z12 z2
2


Bài 9: Cho đa thức P  z   z 3  2 z 2  3 z  1
Tính giá trị của P  z  khi z  1  i; z  2  i 3

 
Đs: P 1  i   4  3i; P 2  i 3  13  14i 3
Bài 10: Cho số phức z  x  yi; x, y  Z thỏa mãn z 3  18  26i .
2010 2010
Tính T   z  2   4  z
Bài 11: Rút gon biểu thức
a. A  z 4  iz 3  1  2i  z 2  3 z  1  3i với z  2  3i
1
 
b. B   z  z 2  2 z 3   2  z  z 2  với z  3i  1
2


ebooktoan.com 27
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Đs:
a. A  92  156i b. B  7

Dạng 2: Số phức và các thuộc tính của nó

Loại 1: Xác định phần thực và phần ảo của số phức

3
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z   2  i  .
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
3 i 2 i
b. (1  i )2  (1  i )2
a. x  
1 i i
2
1 i 3 
3 3
c.  2  i    3  i  d. z  
1 i 3 

 
Đs:
3 3 2 2 1 3
a. và b. 0 và 4
2 2
3
1
d. 
c. – 16 và 37 và
2
2
2  i 1 i
Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: x  
1  2i 3i
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau
2 3 20
1  1  i   1  i   1  i    1  i 
HD:
Áp dụng công thức tính tổng của CSN
Với u1  1; q  1  i  và n  21
Đs: phần thực 210, phần ảo 210  1.
Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: z 2  2  2 3 i
Bài 6: Cho số phức z  x  yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức:
zi
a. u  z 2 – 2 z  4i b. v 
iz  1
Đs:
y 2  x2  1
 2 xy
a. x 2 – y 2 – 2 x và 2  xy – y  2  b. và 2
x 2  ( y  1) 2 x  ( y  1) 2
n
 3  3i 
Bài 7: Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức   là số thực, là số ảo?
 3  3i 
 
Bài 8: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
2
1  7 1 1 i  1
10
  1  i   2  3i 2  3i  
 i  7 ;
c. d. 
1 i 
2.i  i i
Đs:


ebooktoan.com 28
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
a. 1 và 0

Loại 2: Viết số phức dưới dạng đại số

Bài 1: Viết các số phức dưới dạng đại số
3 3
1  2i   1  i  5i
a. z  b. z 
2 2
1  i  2  3i 
 3  2i    2  i 
b. z  2i10  i 3 d. z  i 2007  i 2008
Đs:
44 5 12 5
a. z   b. z  i
i
318 318 3 13
c. z  2  i d. z  1  i

Loại 3: Hãy biểu diễn số phức z

Bài 1: Cho số phức z  m   m  3 i, m  R
a. Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y   x ;
2
b. Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y   ;
x
c. Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
2  6i
4i
; (1  i )(1  2i); .
i 1 3i
a. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;
b. Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài 3: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức
Bài 4: Cho số phức z  a  bi . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để
a. Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x  2 và x  2
b. Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y  3i và y  3i
c. Điểm biểu diễn cúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2
Bài 5: Cho ABCD là hình bình hành với A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1  i , 2  3i , 3  i .
Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D.

Loại 4: Tìm môđun của số phức z

Bài 1: Tìm môđun và acgument của số phức
21
 5  3i 3 
z  1  2i 3 

 
Bài 2: Tính |z|, biết rằng:
 2  i
2
1  i  136
b. z  
a. z 
 2  i  1  i  2
2i i 5i




ebooktoan.com 29
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 2  i  1  2i   2  4i  d. z   2  i  1  2i   3  4i 
c. z 
2  3i
1  i tan  1 2  i
f. z 
e. z 
1  i tan  1 2  i
Đs:
45
47
a. 1 b. c. d. 25 e. 1 f. 1
10 13
Bài 3: Cho ba số phức x, y, z cùng có modun bằng 1. So sánh modun của các số x  y  z và xy  yz  zx
Đs: x  y  z  xy  yz  zx

Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z biết
a. z  3  4i b. z  3  2i
Đs:
13 4 132
a.  i b.   i
z 25 25 z 13 13

Loại 6: Sự bàng nhau của hai số phưc

Bài 1: Tìm hai số thực x, y thỏa mãn đẳng thức
x  yi
3
a. x  1  4i   y 1  2i   2  9i  3  2i
b.
1 i
c. 1  i  x   4  2i  y  1  3i d.  3  2i  x   5  7i  y  1  3i
Đs:
8 5


x   3
 x  11
x  5 
b.  c.  d. 
y  7 y  2
y 1
 
 11 3

Bài 2: Tìm hai số thực x, y sao cho z   2  3i  x  1  4i  y là
a. Là số thực b. Là số thuần ảo c. Bằng 0 d. Bằng i
Đs:
1

 x   11
a. 3 x  4 y  0 b. 2 x  y  0 c. x  y  0 d. 
y  2

 11
3
Bài 3: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z  x  iy thỏa mãn z  18  26i
Đáp số: z = 3 + i
Bài 4: Với điều kiện nào thì số phức z = a + bi thỏa mãn:
c. z   z
a. z  z b. z   z
Đs:


ebooktoan.com 30
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
a. b = 0 b. a = 0 c. a = b = 0

Dạng 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z
4 2 4 2 4 2 4 2
Đáp số: z max  2 2  1  z   i ; z min  2 2  1  z   i
2 2 2 2
z1
Bài 2: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3 ; z2  3 ; z1  z 2  37 . Tìm số phức z 
z2
20
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z   1  3i .
z
Bài 4: Với giá trị thực nào của x và y thì các số phức z1  9 y 2  4  10 xi5 và z2  8 y 2  20i11 là liên hợp của
nhau ?
n
 1  3i 
Bài 5: Tìm các số nguyên n để số phức z  
 1  3i  là một số thực

 
4 2 2
 z  1  2  z  1   z  4   1  0
Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn
 z  2  3i  2

Bài 7: Cho các số phức z,z' thỏa mãn điều kiện  . Tìm z,z' sao cho z  z ' nhỏ nhất
 z ' 1  1

1
Bài 8: Cho biết z   a .Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất
z
i i
Đáp số: Các số phức cần t ìm là : z  (a  a 2  4 ) và z  (a  a 2  4 )
2 2
Bài 9:
a. Trong các số z thoả mãn : 2 z  2  2i  1 hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất
b. Trong các số z thoả mãn : z  5i  3 hãy tìm số z có acgumen dương nhỏ nhất
Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn : z  2 z  1  8i
z  12 5 z4
 và  1.
Bài 11: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
z  8i 3 z 8
Đs: Có hai số phức thỏa mãn z  6  17i và z  6  8i
zz
Bài 12: Tìm số phức z thỏa mãn z  1 và   1
zz
Dạng 4: Các bài toán về tập hợp điểm

Bài 1: Hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:
b. | z  1| 1
a. z  2
c. z  1  i  1 d. 1  z  1  i  2
Đs:


ebooktoan.com 31
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
a. Tập hợp là là các điểm nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2
b. Tập hợp là hình tròn tâm I 1; 0  bán kính R = 1
c. Tập hợp là các điểm nằm trong đường tròn tâm I 1;1 và bán kính R  1
d. Tập hợp là các điểm là hình vành khăn tâm I  1;1 và có bán kính lớn bằng 2 và nhỏ bằng 1
Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i .

x2
Đs: Tập hợp là một Parabol y  .
4
Bài 3: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
z  2z  1  i  z  3
Bài 4: Tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau
a. z  2  i  z
b. z  4i  z  4i  10
Đs:
a. Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn AB : 4 x  2 y  3  0
x2 y2
b. Tập hợp điểm M là đường Elip  E  :  1
9 25
5 5 
Bài 5: Tìm tập hợp các điểm M  x; y  trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa z  4 z  
 3  2i  z

 
Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức   (1  i 3) z  2 biết rằng số phức z
thoả mãn: z  1  2 .
Bài 7: Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện
sau:

a. 2  z  i  z là số ảo tùy ý b. | 2 z  1|  | z  i  3 |
Đs:
Bài 8: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a. z  2i là số thực b. z  2  i là số thuần ảo
z  3i
 1 là số thực
c. z.z  9 d.
zi
e. (2  z )(i  z ) là số ảo tùy ý f.
Bài 9: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
c. | z  2 |  | z  2 | 10
a. z  3  1 b. z  i  z  2  3i
Bài 10: Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn mỗi điều kiện sau:
a. z  1  1 b. 1  z  i  2
d. 2iz  1  2 z  3
c. 2i  2 z  2 z  1
Bài 11: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a. z  z  3  4 b. z  z  1  i  2
Đs:


ebooktoan.com 32
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1 3
1 7
b. y 
a. x  và x  
2
2 2
Bài 12: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z
 k , (k là số thực dương cho trước).
zi
Bài 13:
a. Tìm số phức z, biết z  2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
b. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.
c. d) Tìm số phức z biết z  4 và z là số thuần ảo.
d. Trên mặt phẳng Oxy , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z  3
e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z  i  2 .
2

Bài 14: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z 2  z.z  4.
1 1
Đs: Tập hợp điểm là hypebol y  , y .
x x
Bài 15: Tìm số phức z sao cho A  ( z  2)( z  i ) là một số thực
z  7i
Bài 16: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z| = 5 và là số thực
z 1
Bài 17: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số z  1  2i biết số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  1

Dạng 5: Chứng minh tính chất của số phức

 
Bài 1: Các vectơ u , u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
   1
 
a. Chứng minh rằng tích vô hướng u . u '  z. z ' z.z ' ;
2
 
b. Chứng minh rằng u , u ' vuông góc khi và chỉ khi | z  z '|| z  z '| .
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z  w  z  w . Đẳng thức xảy ra khi nào?
HD:
Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta có z  OA, w  OB , z  w  OC .
Từ OC  OA + AC suy ra z  w  z  w .
Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O,  C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC. Khi O  A (hay z  0)
A,
 
điều đó có nghĩa là có số k  0 để AC  kOA tức là w = kz.
(Còn khi z = 0, rõ ràng z  w  z  w ).
Vậy z  w  z  w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z  0 thì tồn tại k  R để w  kz.
5
 
10
1  i  3 i
Bài 4: Chứng minh z  là một số thực
10
 
1  i 3



ebooktoan.com 33
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
n
2
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a  bi   c  di  thì a 2  b 2   c 2  d 2 
HD:
n n
a  bi   c  di  a  bi   c  di 
n2 n
2n
2
 a 2  b2   c2  d 2 
 a  bi   c  di    c  di 
Bài 6: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z12  z2  z1 z2 . Chứng minh rằng z1  z2  z1  z2
2


1 3 3

Bài 7: Cho z    i . Chứng minh rằng : z  1 .
22
2010 2008 2006
Bài 8: Chứng minh 3 1  i   4i 1  i   4 1  i 
z  0
Bài 9: Cho hai số phức z, w. chứng minh:  z.w  0  
w  0
xi
Bài 10: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dưới dạng với x là số thực mà ta
xi
phải xác định
Bài 11: Cho z và z' là hai số phức bất kì . Chứng minh rằng :
b.  z  z '   z  z '
a. ( z  z ')  z  z '
z z
c. z.z '  z.z ' d.    ( z '  0)
 z' z'
z |z|
e. z.z '  z . z '  , z' 0
f.
z ' | z '|
Bài 12: Các điểm A,B,C và A, , B, , C , trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
1  i , 2  3i , 3  i và 3i, 3  2i , 3  2i .
Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A, B,C , có cùng trọng tâm.

Dạng 6: Giải phương trình bậc nhất với số phức

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
2i  1  3i 1
z b. [(2  i ) z  3  i ](iz  )  0
a. c. z  2 z  2  4i
1 i 2i 2i
2
f. z 2  z  0
d. z 2  z  0 e. z 2  z  0
Đs:
22 4 1 2
i b. 1  i; c.  4i
a.
25 25 2 3
1 31 3
e. 0; i;  i f. bi (b  R)
d. 0; -1;  i,  i
2222
Bài 2: Giải phương trình
a. z  z  1  2i b. z  z  2  i
Đs:



ebooktoan.com 34
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2 3
a. a  ; b  2 b. a  ; b  1
3 4
Bài 3 : Giải các phương trình sau
a. 1  i  z   2  i  1  3i   2  3i b. 2 z  3i  7  8i
c. 1  3i  z   4  3i   7  5i d. 1  i  z  3  2i  4 z
z
 1  2i   5  6i
e.
2  3i

B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a.  5  12i b. 8  6i c. 33  56i d.  3  4i
Giải:
a. Gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 5  12i tức là
2
 5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i
 x  iy 
2 2
2
 x 2  y 2  5  x  y  5 x  4  x  2
  2  2 
2
 y  3
 2 xy  12  x  y  13 y  9
 
x  2  x  2
Do b  12  0  x, y cùng dấu do đó  hoặc 
y  3  y  3
Vậy 5  12i có 2 căn bậc hai là z1  2  3i và z2  2  3i.
b. Tương tự gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 8  6i tức là
2
 8  6i  x 2  y 2  2ixy  8  6i
 x  iy 
2 2
2
x2  y 2  8 x  y  8 x  9  x  3
  2  2 
2
 y  1
2 xy  6  x  y  10 y 1
 
x  3  x  3
Do b  6  0  x, y cùng dấu do đó  hoặc 
y  1  y  1
Vậy 8  6i có 2 căn bậc hai là 3  i và 3  i.
c. Gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 33  56i tức là
2
 33  56i  x 2  y 2  2ixy  33  56i
 x  iy 
2 2
2
 x 2  y 2  33  x  y  33  x  49  x  7
  2  2 
2
 y  4
2 xy  56  x  y  65  y  16
 
x  7  x  7
Do b  56  0  x, y trái dấu do đó  hoặc 
 y  4 y  4
Vậy 2 căn bậc hai của 33  56i là 7  4i và 7  i 4.
d. Gọi z  x  iy là một căn bậc hai của 3  4i tức là


ebooktoan.com 35
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2
 x  iy   3  4i  x 2  y 2  2ixy  3  4i
 x 2  y 2  3 x2  1
 x 2  y 2  3  x  1
 
  2  2 
2
 y  2
2 xy  4 x  y  5 y  4
 
x  1  x  1
Do b  4  0  x, y cùng dấu do đó  hoặc 
y  2  y  2
Vậy 2 căn bậc hai của 3  4i là 1  2i và 1  2i.
Bài 2: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
b. 1  2 6i
a. 4 + 6 5 i
Giải:
 x, y   
a. Giả sử z  x  iy là một căn bậc hai của w  4  6 5i
 35
y  (1)
x2  y 2  4
  x
2
Khi đó: z 2  w   x  yi   4  6 5i    
45
2 xy  6 5
  x2 
  4 (2)
 x2

(2)  x4 – 4x2 – 45 = 0  x2 = 9  x = ± 3.
x=3y= 5
x = -3  y = - 5
Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + 5 i và z2 = -3 - 5 i
b. Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 6 i
 6
y  (1)
2 2
 x  y  1 
 x
2
Khi đó: z 2  w   x  yi   1  2 6i   
 x 2  6  1 (2)
2 xy  2 6

 x2

(2)  x4 + x2 – 6 = 0  x2 = 2  x = ± 2 .
x= 2 y=- 3
x=- 2 y= 3
Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 2 - 3 i và z2 = - 2 + 3 i

Dạng 2: Phương trình bậc hai

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. x 2   3  4i  x  5i  1  0; (1) b. x 2  1  i  x  2  i  0; (2)
Giải:
2
a. Ta có    3  4i   4  5i  1  3  4i . Vậy  có hai căn bậc hai là 1+ 2i và −1 − 2i.
3  4i  1  2i 3  4i  1  2i
Do đó pt (1) có hai nghiệm là: x1   2  3i; x2  1 i
2 2
2
b. Ta có   1  i   4  i  2   8  6i . Vậy  có hai căn bậc hai là 3 + i và −3 − i.



ebooktoan.com 36
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1  i  3  i 1  i  3  i
Do đó pt (2) có hai nghiệm là: x1   1; x2   2i
2 2
Chú ý:
PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
b. x 2  x  1  0 (2) c. x 3  1  0 (3)
a. 3 x 2  x  2  0 1
Giải:
a. Ta có   23  23 i 2  0 nên ta có hai căn bậc hai của  là:
1  i 23
i 23 và i 23 . Từ đó nghiệm của pt (1) là: x1, 2 
6
1  i 3
b. Ta có   3  3i 2  0 nên (2) có các nghiệm là: x1, 2 
2
x 1  0
c. Ta có (3)   x  1  x 2  x  1  0   2
 x  x  1  0; (*)
1  i 3 1  i 3
Theo b. Pt (*) có hai nghiệm là x1, 2  . Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là: x  1 ; x1,2 
2 2
(Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1).
Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:   4  3i;   2  5i
HD:
Theo bài ra ta có:     2  8i; .  23  14i.
kết quả pt bậc hai cần lập là: x 2   2  8i  x  14i  23  0
Bài 4: Tìm m để phương trình: x 2  mx  3i  0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8.
Giải:
2
Theo bài ra ta có: x12  x2  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (1).
2


 x  x2   m
Theo Vi−et ta có  1
 x1 x2  3i
Thay vào (1) ta được m2  6i  8  m2  8  6i  m là một căn bậc hai của 8  6i.
Vậy: có 2 giá trị của m là: 3 + i và −3 − i.
Bài 5: Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng
4i .
Giải:
Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho và B  a  bi với a, b   .
Theo đề phương trình bậc hai z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i .
nên ta có : z12  z2  ( z1  z2 )2  2 z1 z 2  S 2  2 P  ( B ) 2  2i  4i hay B 2  2i hay
2


a 2  b 2  0
(a  bi ) 2  2i  a 2  b 2  2abi  2i Suy ra :  .
2ab  2
Hệ phương trình có nghiệm (a;b) là (1; 1),(1;1)
Vậy : B  1  i; B =  1  i



ebooktoan.com 37
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Bài 6: Cho z1 ; z 2 là 2 nghiệm pt 1  i 2  z 2   3  2i  z  1  i  0
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
z1 z2
a. A  z12  z2 ;
2
b. B  z12 z2  z1 z 2 ;
2
c. C  
z2 z1
Giải:
 3  2i 3 2 2 23 2
 z1  z2    i
3 3
 1 i 2
Theo Vi−et ta có: 
z z  1  i  1  2  1  2 i
 1 2 1 i 2 3 3

2
3 2 2 23 2   1  2 1  2  11  30 2 6  4 2
2
a. Ta có A   z1  z 2   2 z1 z2    i   2
 3  3 i   i
  
3 3 9 9
   
 3  2 2 2  3 2   1  2 1  2  5  2 2 1  10 2
b. B  z1 z 2  z1  z2      3  3 i  
i i
 
3 3 9 9
  

z12  z2 2
6  26 2 i
A
c. Ta có C    .
z1 z2 18
1 2 1 2
 i
3 3
Bài 7: Giải phương trình nghiệm phức trên tập số phức
a. z 2  8(1  i ) z  63  16i  0
b.  2  3i  z 2   4i  3 z  1  i  0
HD:
a. Ta có  '  16(1  i) 2  (63  16i)  63  16i  (1  8i) 2
Từ đó ta tìm ra hai nghiệm z1  5  12i ; z2  3  4i .
b. Ta có  2  3i    4i  3  1  i  0
1  5i
z1  1; z 2  
13
Bài 8: (CĐ – 2010) Giải phương trình z 2  1  i  z  6  3i  0 trên tập hợp các số phức.

Giải:
2 2
Phương trình có biệt thức   1  i   4  6  3i   24  10i  1  5i 

Phương trình có hai nghiệm là: z  1  2i và z  3i.
4 z  3  7i
Bài 9: (CĐ – 2009) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:  z  2i
zi
Giải:
Điều kiện: z  1



ebooktoan.com 38
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Phương trình đã cho tương đương với z 2   4  3i  z  1  7i  0
2 2
Phương trình có biệt thức    4  3i   4 1  7i   3  4i   2  i 

4  3i  2  i 4  3i  2  i
Phương trình có hai nghiệm là: z   1  2i và z   3  i.
2 2
25
Bài 10: Giải phương trình nghiệm phức : z   8  6i
z
Giải:
Giả sử z  a  bi với ; a,b  R và a,b không đồng thời bằng 0.
a  bi
1 1
Khi đó z  a  bi ;  2
z a  bi a  b 2
25(a  bi )
25
Khi đó phương trình z   8  6i  a  bi  2  8  6i
a  b2
z
 a (a 2  b 2  25)  8( a 2  b2 ) (1)

 2 .
2 2 2
b( a  b  25)  6(a  b ) (2)

3
Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b  a thế vào (1) ta được a = 0 hoặc a = 4
4
Với a = 0  b = 0 ( Loại)
Với a = 4  b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i.
Bài 11: Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm.
Giải:
Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 ( b, c  R), nên ta có :
b  c  0 b  2
2
1  i   b 1  i   c  0  b  c   2  b  i  0   
2  b  0 c  2
Bài 12: Giải các pt sau: z 2  z  0
Giải:
Giả sử z  x  yi, x,y  
x2  y2  x  0
Ta có z 2  z  0  x 2  y 2  2 xyi  x  yi  0   x 2  y 2  x    2 xy  y  i  0  0i  
2 xy  y  0




ebooktoan.com 39
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
x  0

 y  0
  x  0
  x  1
 
  x  1 

  x2  x  0  y  0

 y  0
  x2  y 2  x  0  

  y  0  x  1
x2  y2  x  0 y  0 

2 2
3
x  y  x  0 



  2
 x2  y2  x  0   y 2  3   y 
   y  0

2
y  2 x  1  0 


 2 x  1  0
 4  y  3
  

 
1 3 
1
x   y    2
x 
 2  
2


 2

 x  1
 1
 2
 x  

 2
 y   3

 2
1 3 1 3
Vậy: Có bốn số phức cần tìm là: z1  0, z 2  1, z3   i, z 3   i
22 22
Bài 13: Tìm m để pt z 2  mz  3i  0 có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa z12  z 2  8 .
2


Giải:
2
Ta có: z12  z2  8   z1  z 2   2 z1 .z2  8
2


b c
Với z1  z2     m, z1 .z 2   3i
a a
2 2 2
Suy ra: z1  z2  8   z1  z 2   2 z1 .z2  8   m   2.3i  8  m 2  8  6i   3  i   m    3  i  .
2 2




Bài 14: Cho số phức z thoả mãn z 2  2 z  3  0 . Gọi f  z  là số phức xác định bởi
f ( z )  z17  z15  6 z14  3 z 2  5 z  9 . Tính mô đun của f  z 
Giải:

Ta đặt z 2  2 z  3  0 (1)
z  1 i 2
(1) có   2  0 nên (1) có 2 nghiệm phức là  1 | z1 |  | z2 |  3
 z2  1  i 2

f ( z )  z17  z15  6 z14  3z 2  5 z  9  z15 ( z 2  2 z  3)  2 z14 ( z 2  2 z  3)  3( z 2  2 z  3)  z
nếu z  z1  f ( z1 )  z1 | f ( z1 ) || z1 | 3
nếu z  z2  f ( z 2 )  z 2 | f ( z2 ) || z2 | 3
Vậy | f ( z ) |  3

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai và phương trình bậc cao

Phương pháp 1: Phương pháp phân tích thành nhân tử:



ebooktoan.com 40
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Bài 1: Cho phương trình sau:
z 3   2 – 2i  z 2   5 – 4i  z – 10i  0 1
a. Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo.
b. Giải phương trình (1).
Giải:
a. Đặt z = yi với y  R
3 2
Phương trình (1) có dạng:  iy    2i  2  yi    5  4i  yi  – 10i  0
 iy 3 – 2 y 2  2iy 2  5iy  4 y – 10i  0  0  0i
đồng nhất hoá hai vế ta được:
2 y 2  4 y  0

giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2
3 2
 y  2 y  5 y  10  0

Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.
b. Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i
 vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:
z 3   2 – 2i  z 2   5 – 4i  z – 10i   z – 2i   z 2  az  b  (a, b  R)
đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.
 z  2i
 z  2i 
 1   z – 2i   z  2 z  5   0   2
2
  z  1  2i
z  2z  5  0  z  1  2i

Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.
Bài 2: Giải các phương trình:
1. z3 – 27 = 0
2. z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y  Z
Giải:
z  1
z  1

1. z – 27  0   z – 1  z  3z  9   0   2
3 2
 z  3  3 3i
 z  3z  9  0  2,3
 2
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

3
2. Ta có:  x  yi   x 3 – 3 xy 2   3x 2 y – y 3  i  18  26i
 x 3  3 xy 2  18

Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:  2 3
3 x y  y  26

Từ hệ trên, rõ ràng x  0 và y  0.
Đặt y = tx , hệ  18  3 x 2 y – y 3   26  x 3 – 3 xy 2 
 18  3t  t 3   26 1  3t 2   18t 3 – 78t 2 – 54t  26  0   3t  1  3t 2 – 12t – 13  0.
1
Vì x, y  Z  t  Q  t   x  3 và y  1  z  3  i.
3




ebooktoan.com 41
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Bài 3:
1. Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 +3z2 +3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b)
2. Giải phương trình: z3 +3z2 +3z – 63 = 0
3. Cho phương tr ình: z 3  5 z 2  16 z  30  0 (1), gọi z1 , z2 , z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình
(1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A  z12  z2  z3 .
2 2


Giải:
1. Giả thiết  z 3  3 z 2  3z – 63  z 3   a  3 z 2   b  3a  z – 3b
a  3  3
a  6

 b  3a  3  
b  21
3b  63

z  3

2. Áp dụng phần 1. ta có: z 3  3z 2  3 z – 63  0   z – 3  z 2  6 z  21  0   z  3  2 3i
 z  3  2 3i

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
3. z 3  5 z 2  16 z  30  0
có 3 nghiệm là: z1  3; z 2  1  3i; z3  1  3i
 A  z12  z 2  3  7
2 2


Bài 4: Giải phương trình: z 4 – 4 z 3  7 z 2 – 16 z  12  0 1
Giải:
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1.
1   z – 1  z 3 – 3z 2  4 z – 12   0   z – 1  z – 3  z 2  4   0
z  1
z  1 
z  3

 z  3 
 z  2i
z2  4  0 

 z  2i
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 5: Giải phương trình: z 4  4 z 3  7 z 2  16 z  12  0
Giải:
Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có:
z  1
z  4 z  7 z  16 z  12  0  ( z  1)( z  3)( z  4)  0   z  3
4 3 2 2

 z  2i

Bài 6: Giải phương trình 2 z 3  5 z 2  3 z  3   2 z  1 i  0 , biết rằng phương trình có nghiệm thực
Giải:
2 z 3  5 z 2  3 z  3 1 1
Phương trình có nghiệm thực   z   tức là phương trình có một nghiệm z  
2 2
2 z  1  0



ebooktoan.com 42
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Phương trình  2 z  1  z 2  3 z  3  i   0 giải phương trình này ta được
1
z   ; z  2  i; z  1  i
2
Bài 7: Giải phương trình z 3  1  2i  z 2  1  i  z  2i  0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Giải:
Giả sử phương trình có một nghiệm thuần ảo z  bi , thay vào phương trình ta được
3 2
 bi   1  2i  bi   1  i  bi   2i  0   b  b 2    b3  2b 2  b  2  i  0
b  b 2  0

 3  b 1 z  i
2
b  2b  b  2  0

Vậy phương trình tương đương với  z  i   z 2  1  i  z  2   0 ... giải phương trình này sẽ được nghiệm
 

Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

2
Bài 1: Giải phương trình:  z 2  z   4  z 2  z   12  0
Giải:
Đặt t  z 2  z , khi đó phương trình đã cho có dạng:
 1  23i
z 
2

2
z  z  6  0
 t  6  1  23i
 t 2  4t – 12  0    2  z 
t  2 z  z  2  0 2

z 1


 z  2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
2
Bài 2: Giải phương trình:  z 2  3z  6   2 z  z 2  3 z  6  – 3 z 2  0
Giải:
Đặt t  z 2  3z  6 phương trình đã cho có dang:
t  z
t 2  2 zt – 3z 2  0   t – z  t  3 z   0  
t  3 z
 z  1  5i
- Với t  z  z 2  3z  6 – z  0  z 2  2 z  6  0  
 z  1  5i

 z  3  3
- Với t  3z  z 2  3 z  6  3 z  0  z 2  6 z  6  0  
 z  3  3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.




ebooktoan.com 43
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Bài 3: Cho phương trình: z 4  2 z 3 – z 2 – 2 z  1  0 1
1
hãy đưa phương trình về dạng: y 2 – 2 y – 3  0.
a. Bằng cách đặt y  z 
z
b. Từ đó giải (1)
Giải:
Do z  0 không là nghiệm của (1)  chia hai vế của phương trình cho z2 ta được:
11
z 2 2 z – 1  2  2  0
zz
 y  1
1
Đặt y  z   phương trình có dạng: y 2 – 2 y – 3  0  
y  3
z
1  i 3
1
- Với y  1  z   1  z 
z 2
3 5
1
- Với y  3  z   3  z 
z 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

z2
Bài 4: Giải phương trình: z 4  z 3  1
 z 1  0
2
Giải:
Do z  0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên:
111
(1)  z 2  z    2  0
2zz
2
1  1 5

 z   z    0
z  z 2

1  3i

y

5
1 2
Đặt y  z   pt có dạng:  y 2 – y   0  2 y 2 – 2 y  5  0  
1  3i
2
z y 

 2
1  3i 1 1  3i
 2 z 2 – 1  3i  z – 2  0  2 
- Với y   z 
2 z 2
2 2
Ta có :   1  3i   16  8  6i   3  i 
11
 phương trình (2) có 2 nghiệm: z1  1  i và z2    i
22
1  3i 1 1  3i
 2 z 2 – 1  3i  z – 2  0  3
- Với y   z 
2 z 2
2 2
Ta có :   1  3i   16  8  6i   3  i 
11
 phương trình (3) có 2 nghiệm: z3  1  i và z4    i
22
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.



ebooktoan.com 44
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Bài 5: Giải phương trình: z 4  6 z 2  25  0 1
Giải:
Đặt z 2  t. Khi đó (1) có dạng: t 2 – 6t  25  0  2  .
Ta có: ’  16  16.i 2  0 nên pt (2) có hai nghiệm là t  3  4i.
Mặt khác 3  4i có hai căn bậc hai là: 2  i và 2  i còn
3  4i có hai căn bậc hai là: 2  i và 2  i
Vậy: pt (1) có 4 nghiệm là: z1  2  i; z2  2  i; z3  2  i; z4  2  i.
3
 zi
Bài 6: Giải phương trình (ẩn z) trên tập số phức:    1.
i z
Giải:
Điều kiện: z  i

zi
ta có phương trình: w 3  1  (w  1)(w 2  w  1)  0
Đặt w 
iz

w  1

w  1 1 i 3
 w 
 2  2
w  w  1  0 
w   1  i 3

 2
zi
- Với w  1  1 z  0
iz
1  i 3 z  i 1 i 3
- Với w     (1  i 3 ) z   3  3i  z   3
iz
2 2

1  i 3 z  i 1  i 3
- Với w     (1  i 3 ) z  3  3i  z  3
iz
2 2
Vậy pt có ba nghiệm z  0; z  3 và z   3 .
2
Bài 7: Giải phương trình:  z 2  3z  6   2 z  z 2  3 z  6   3z 2  0 (*)
Giải:
u  z
Đặt: z 2  3z  6  u  (*)  u 2  2 zu  3z 2  0  (u  z )(u  3 z )  0  
 u  3 z
  z1  1  i 5

 z 2  3z  6  z  z2  2z  6  0   z2  1  i 5

 2  2 
 z  3 z  6  3z  z  6z  6  0   z3  3  3

  z4  3  3

Bài 8: Giải phương trình: ( z 2  z )( z  3)( z  2)  10 z C

ebooktoan.com 45
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Giải:
PT  z ( z  2)( z  1)( z  3)  10  ( z 2  2 z )( z 2  2 z  3)  0
Đặt t  z 2  2 z . Khi đó phương trình trở thành t 2  3t  10  0
t  2  z  1  i
 
t  5  z  1  6
Vậy phương trình có các nghiệm: z  1  6 ; z  1  i
Bài 9: Giải phương trình tập số phức: z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0
Giải :
1 1 1 1
 
Phương trình z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0  z 2  ( z 2  2 )  2( z  )  1  0  ( z 2  2 )  2( z  )  1  0
z z z z
 
(z = 0 không là nghiệm của phương trình)
w  1
1
Đặt w  z  ; phương trình trên trở thành: w2 + 2w – 3 =0  
 w  3
z
 1  3i
1 2
z   1  z  z  1  0  z 
z 2

 3 5
1 2
 z   3  z  3 z  1  0  z 
 z 2
1  3i 3 5
Vậy phương trình có bốn nghiệm: z  ; z
2 2
Bài 10: Tìm các số thực a, b, c để có: z  2(1  i ) z  4(1  i ) z  8i  ( z  ai )( z 2  bz  c) .
3 2


Tìm môđun của các nghiệm đó.
HD:
Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4
Từ đó giải phương trình: z 3  2(1  i ) z 2  4(1  i) z  8i  0 trên tập số phức.
Phương trình  ( z  2i )( z 2  2 z  4)  0  z  2i; z  1  3i; z  1  3i  z  2 .

Dạng 3: Giải hệ phương trình:

 z12  z2  5  2i
2
(1)
Bài 1: Giải hệ phương trình: 
 z1  z2  4  i (2)
Giải:
Từ (2) ta có z12  z2  2 z1 z2  15  8i.
2


Kết hợp với (1) ta có z1 z2  5  5i
 z  z2  4  i
Vậy ta có hệ phương trình:  1
 z1 z2  5  5i
Do đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2   4  i  z  5  5i  0 . Ta có   5  12i
Nên  có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và −2 − 3i.



ebooktoan.com 46
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
4  i  2  3i

 z1   3i
 z1  1  2i
2
Vậy ta có  hoặc .

4  i  2  3i z2  3  i

z   1  2i
2
 2
z  w  i
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
iz  w  1
Giải:
Coi i như 1 tham số ta có:
D

 z  D  1
1 1
1 i 1 i
 x
 1  i ; Dz  và Dw 
D  i  1   2
 w  D  1  i
1 1
i 1 i 1
 Dy

 z  w  zw  8
Bài 3: Giải hệ phương trình:  2 2
 z  w  1
Giải:
 z  w  zw  8

Hệ   2
 z  w   2 zw  1

u  v  8 u  8  v
u  z  w
Đặt:   2  2
v  zw u  2v  1 u  2u  15  0
 u  5  5  3i 3 5  3i 3 
 X 2  5 X  13  0  ( z; w)   ;
 
 
 v  13 2 2
 

 u  3  X 2  3 X  5  0  ( z; w)   3  14 ; 3  14 
 
 v  5 2 2
  
3x  y

x  x2  y2  3

Bài 4: Giải hệ phương trình:  ( x, y  R )
 y  x  3y  0
x2  y 2


Giải:
(3 x  y )  ( x  3 y )i 3( x  yi ) i ( x  yi)
Từ hệ suy ra: x  yi   3  x  yi  2 2 3
2 2
x  y2 x  y2
x y
(3  i ) z (3  i )
Đặt z  x  yi ta được PT ẩn z  C : z  3 z 3
2 z
z
Giải PT bậc hai t ìm được z  2  i và z  1  i .
Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là ( x, y )  ( 2,1);(1, 1) .
Bài 5: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:




ebooktoan.com 47
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 z  w  3(1  i ) (1)
3 3
 z  w  9(1  i ) (2)
Giải:
3
Từ (2) ta có:  z  w  – 3 zw  z  w   9  1  i   3
3
Thay (1) vào (3) ta được: 27 1  i  – 9 zw 1  i   9  1  i 
5  5i
 3 1  3i  3i 2  i 3  – zw 1  i   1  i  zw   5i
1 i
 z  w  3(1  i )
Vậy ta có hệ phương trình: 
 z.w  5i
Theo định lý Viet  z, w là các nghiệm của phương trình: t 2  3 1  i   5i  0  4 
2
Ta có:   2i  1 – i 
t  2  i
 Phương trình (4) có hai nghiệm 
 t  1  2i
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (z;w) là  2  i;1  2i  và 1  2i; 2  i 
Bài 6: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:
 z1  z2  z3  1 (1)

 z1 z2  z2 z3  z3 z1  1 (2)
z z z  1 (3)
123
Giải:
Ta có z1 , z2 , z3 là các nghiệm của phương trình:  z – z1   z – z2   z  z3   0
 z 3 –  z1  z2  z3  z 2   z1 z2  z2 z3  z3 z1  z  z1 z2 z3  0
 z 3 – z 2  z – 1  0  z  1 và z  i
Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i)
6
2
a  a  a 2  a  5
Bài 7: Giải hệ phương trình sau trong tập số phức: 
a 2 b 2  ab 2  b  a 2  a   6  0

Giải:
Điều kiện: a 2  a  0
a 2  a  1
Từ (1)  (a 2  a ) 2  5(a 2  a)  6  0   2
a  a  6

 1  3i
a 
2
Khi a 2  a  1   thay vào (2)
 1  3i
a 
 2




ebooktoan.com 48
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 1  23.i
b 
2
 b 2  b  6  0  b 2  b  6  0  
 1  23.i
b 
 2
a  3
Khi a 2  a  6  
a  2
Thay vào (2)
 1  5
b 
2
 6b 2  6b  6  0  b 2  b  1  0  
 1  5
b 
 2
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:
  1  23i  1  3i    1  23i  1  3i    1  23i  1  3i    1  23i  1  3i 
 ,  ;  ,  ;
; ; ; ;
    
2 2 2 2 2 2 2 2
    
    
  3;  1  5 ,   3;  1  5 ,  2;  1  5 ,  2;  1  5 
    2
2  2  2 
 

Bài tập tự giải:

Bài 1: Giải phương trình bậc 2 sau trong tập hợp các số phức
z 2 – 2  2 – i  z  6 – 8i  0.
Bài 2: Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm một nghiệm.
Đs:
Vì z  1  i là một nghiệm của phương trình: z 2  bz  c  0 nên
b  c  0 b   2
(1  i) 2  b(1  i)  c  0  b  c  (2  b)i  0   
2  b  0 c  2
Bài 3: Cho các số phức w1  1  2i, w2  3 – 4i. Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thoả mãn các điều
w2
 1 , từ đó lập phương trình bậc hai có nghiệm là các số số phức đã tìm được?
kiện w1 .z là số thực và
z
Bài 4: Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: z 2  z  1  0 .
2 2 2 2
1  1  1  1

Rút gọn biểu thức P   z     z 2  2    z 3  3    z 4  4 
z  z  z  z

2
Bài 5: Giải phương trình trên tập số phức: x   5  i  x  8  i  0
Bài 6: Giải phương trình trên tập số phức: z 2  2 z  1  6i  0
Bài 7: (ĐH – A 2009) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức
2 2
A  z1  z 2 .
HD:



ebooktoan.com 49
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
  36  36i 2  z1, 2  1  3i. z1  z 2  10  A  20
Đs: A = 20
Bài 8: Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức
2 2
z1  z2
.
A 2
 z1  z2 
HD:
32 32
Giải pt đã cho ta được các nghiệm: z1  1  i , z2  1  i
2 2
2
3 2  22
2
Suy ra | z1 |  | z 2 |  1  
 2   2 ; z1  z2  2

 
2 2
z  z2 11
Do đó 1  ... 
( z1  z2 )2 4
Bài 9: Giải phương trình:
2
a. z 2  z  0 b.  z 2  3z  6   2 z  z 2  3 z  6   3z 2  0
Đs:
a. z{0;i;i} b. z  3  3; z  1  5i
Bài 10: Giải phương trình: z 2  z  0 .
1 3
Đs: z  0, z  1 , z   i
22
Bài 11: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:
a.  = 2  5i b.  =  2  i 3 c.  = 3 - i 2
2
Bài 12: Giải phương trình z   cos   i sin   z  isin .cos  0 ,   R trên tập số phức
Đs: z1  cos  ; z 2  i sin 
Bài 13: Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2  2 z  4  0. Tính giá trị của
2 2 3
A  z1  z 2  3 z1  z2
Bài 14: Chứng minh rằng nếu phương trình az 2  bz  c  0 (a, b, c  R) có nghiệm phức   R thì  cũng là
nghiệm của phương trình đó.
Bài 15: Giải phương trình sau trên tập số phức:
2
 4z  i  4z  i
2
a.  z  2i   2  z  2i   3  0  5 6 0
b. 
 z i  z i
Bài 16: Chứng minh rằng:
a. Nếu x  iy là căn bậc hai của hai số phức a  bi thì x  yi là căn bậc hai của số phức a  bi
xy a b
b. Nếu x  iy là căn bậc hai của số phức a  bi thì  i là căn bậc hia của số phức 2  2 i (k  0)
kk k k
Bài 17: Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a. z 2  mz  m  1  0 điều kiện: z12  z2  z1 z 2  1
2




ebooktoan.com 50
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
b. z 2  3mz  5i  0 điều kiện: z13  z2  18
3


Bài 18: Giải các phương trình sau trong C.
c. x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0
a. x 2  3.x  1  0 b. 3 2 .x 2  2 3. x  2  0
f. 3i.x2 – 2x – 4 + i = 0
d. 3 x 2  x  2  0 e. 3 x 2 2  2 x 3  2  0
Đs:
31 6
c. 2  i ;1 – 2i
i (1  i )
a. b.
22 6
1  i 23 6 6 2 10  2  1
1
 f.  2 10  2  i.
i
d. e.
6 6 6 3 3
2
Bài 19: Cho phương trình z   2  i  z  3  5i  0 . Không giải phương trình hãy tính
z12  z2 .z14  z2
2 4


Bài 20: Giải phương trình: z 2  (cos  i sin  ) z  icos sin   0
HD:
  (cos   i sin  ) 2  4i cos  sin   cos 2  i sin 2  2i sin 2
2
 cos 2  i sin 2  cos  2   i sin  2    cos     i sin    
1

 z  2 (cos  i sin  )   cos  -  +i sin  -     i sin 
 

 z  1 (cos  i sin  )   cos  -  +i sin  -     cos
2 


Bài 21: Giải các phuơng trình sau trên tập số phức
1. z 3  z 3. (1  i ) z 2  2  11i  0
2. z  z  3  4i

Phương trình bậc cao:

Bài 1: Tìm các số thực a, b, c để có z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i   z  ai   z 2  bz  c 
Từ đó giải phương trình z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i  0 trên tập số phức. Tìm modun của các nghiệm đó
Đáp số: a  2, b  2, c  4 và z  2
Bài 2: Cho phương trình: (z + i)(z2  2mz + m2  2m) = 0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho
phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm phức.
Bài 3: Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z 3  iz 2  2iz  2  0. b. z 3  (i  3) z 2  (4  4i ) z  7  4i  0.
Bài 4: Giải phương trình z 3  2 1  i  z 2  4 1  i  z  8i  0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Đáp số: Phương trình có ba nghiệm là z  2i; z  1  i 3
Bài 5: Tìm 3 số thực a, b, c thỏa mãn:
z 3 – 2 1  i  z 2  4 1  i  z – 8i   z  ai   z 2  bz  c 



ebooktoan.com 51
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Từ đó giải phương trình: z 3 – 2 1  i  z 2  4 1  i  z – 8i  0
Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức: z 4 – z 3  6 z 2 – 8 z – 16  0
 z  1
z  2
Đáp số:  ( z  1)( z  2)( z  8)  0  
2
 z  2 2i

 z  2 2i

Bài 7: Giải phương trình: z  z  z  z 2  z  1  0.
5 4 3

HD: Đặt thừa số chung
1 3 1 3
Đáp số: z  1, z   i, z    i
22 22
Bài 8: Giải các phương trình sau trên C :
z2 1
4 3
a. z  z   z  1  0 bằng cách đặt ẩn số phụ w  z  ;
2 z
   
2
b. z 2  3 z  6  2 z z 2  3 z  6  3 z 2  0
2 2
c.  z  1   z  3  0
2


Bài 9: Giải các phương trình sau trên C :
   
   2
a.  z  i  z 2  1 z 3  i  0 b. z 2  z  4 z 2  z  12  0.
Bài 10: Giải phương trình z 3  1  i  z 2   3  i  z  3i  0
Bài 11: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z 4 là 4 nghiệm của phương trình z 4  2 z 3  6 z 2  8 z  8  0 trên C
1 1 1 1
Tính tổng S  4  4  4  4
z1 z2 z3 z 4
Bài 12: Cho đa thức P  z   z 3   3  6i  z 2  10  18i  z  30i
a. Tính P  3i 
b. Giải phương trình P  z   0
Đs:
a. P  3i   0 b. z  3i, z  3  i
Bài 13: Giải các phương trình
2
z 1 

a. z   2   biết z  3  4i là một nghiệm của phương trình
z 7

b. z 6  z 5  13z 4  14 z 3  13z 2  z  1  0
3 2
 z i   z i   z i 
     1  0
c. 
 z i  z i  z i
Đs:
1   3i
a. z  9; z  3  4i b. z  ; z  2  3; z  2  3
2
c. z  1;0;1



ebooktoan.com 52
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Hệ phương trình

Bài 1: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :
 z1  z 2  4  i
2 2
 z1  z 2  5  2i
Bài 2: Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :
 z1 z 2  5  5i
2 2
 z1  z 2  5  2i
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
1 1 1 1
 i x  y  5  i
 x  2 y  1  2i
b.  x y 2 2
a.  c.  2 2
x  y  3  i  x  y  8  8i
 x 2  y 2  1  2i

x  y  5  i x  y  1
x  y  4
d.  e.  2 f.  3
2 3
 xy  7  4i  x  y  1  2i  x  y  2  3i
 x 2  y 2  6  x  y  3  2i


g.  1 1 2 h.  1 1 17 1
 x  y  26  26 i
x  y  5


Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
 z  12 5  z 1  z1  z2  z3  1
 z  8i  3  z i 1 
 
a.  b.  c.  z1  z2  z3  1
 z 4 1  z  3i  1  z .z . z  1
1 2 3
 z 8  z i
 
 z13  z 2  0
5
 z1. z 2  5  5i  z1  z2  4  i 
d.  2 e.  2 g.  2
2 2 4
 z1  z2  5  2i  z1  z2  5  2i  z1 .( z2 )  1

Bài 5: Giải các hệ phương trình:
 z1  z 2  4  i  z1 .z 2  5  5.i
a.  2 b. 2
2 2
 z1  z 2  5  2i  z1  z 2  5  2.i
 z  2i  z
u 2  v 2  4uv  0 
c.  d. 
 z  i  z 1
u  v  2i 
Đs:
a.  3 – i; 1  2.i  và ( (1  2.i; 3 – i )
b.  2 – i; 1 – 3.i  ,  1 – 3i; 2 – i  ,  2  i;1  3i  , 1  3i; 2  i 




ebooktoan.com 53
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
  1
 3x  1  2
x y
 
Bài 6: Giải hệ phương trình:  ( x, y  R ) .
 7 y 1  1   4 2
 
 x y


Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
1

 z1 z 2 
2

z  2z  3
1 2

 3 i 3 i  3 i 3 i
; 4;2
 và 
Đs: 
4 2 
   
Bài 8: Giải các hệ phương trình:
 x  iy  2 z  10
z3  2z 2  2z  1  0


a.  x  y  2iz  20 b.  2010
 z 2011  1  0
z

ix  3iy  (1  i) z  30

 z1  z 2  3  i
2 z  i  z  z  2i


c.  d.  1 1 3  i
2
z  z  5
2
z z 4
1
 2



Căn bậc hai của số phức

Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
1 2
b.  d. 11  4 3i
i
a. z  17  20 2i. c. 40  42i
42
Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. -1 + 4 3.i b. 4 + 6 5.i c. -1 - 2 6.i d. -5 + 12.i
Đs:
d.  (2 + 3i)
a.  ( 3  2.i ) b.  (3  5.i) c.  ( 2  3.i)
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a.  1  4 3i b. 4  6 5i c.  1  2 6i

C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 i 3
a. (1  i 3)(1  i ) b.
1 i
5
c. z  sin   i cos  d. z  tan i
8


ebooktoan.com 54
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Giải:
   
 
a. 1  i 3  2 cos( )  i sin( )  ; 1  i  2 cos  i sin  .
3 3 4 4
 
 

Do đó (1  i 3)(1  i)  2 2  cos( )  i sin( )  .
12 12 

b. Từ phần trên ta có ngay kết quả
  7   7  
1 i 3
 .
 2  cos     i sin  
1 i   12   12  
 
c. Ta có z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) .
2 2
5 5 5  7 7 
1  1
d. z  tan i    sin 8  i cos 8    cos 8  i sin 8 
5   cos 3 
8 
cos
8 8
Bài 2: Tuỳ theo góc  , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ).
Giải:
Xét số phức z  (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta có
     
z  (2 sin 2  i.2 sin cos )(2 cos 2  i.2 sin cos )
2 2 2 2 2 2
     
 4 sin cos (sin  i cos )(cos  i sin )
2 2 2 2 2 2
     
 2 sin  (sin cos  sin cos  i (cos 2  sin 2 ))
2 2 2 2 2 2
 2 sin  sin   i cos   hay z  2 sin  (sin   i cos  ) (*)
 

- Nếu sin  > 0, từ (*) có z  2sin cos(  )  i.sin(  ) 
2 2

- Nếu sin  < 0, từ (*) ta có z  2 sin  ( sin   i cos  )
 

 2sin   cos(  )  i.sin(  ) 
2 2

- Nếu sin  = 0  z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
1. cosa – isina, a  [0;2). 2. sina + i(1 + cosa), a  [0;2).
3. cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2)
Giải:
Ta có:
1. cos a  i sin a  cos(2  a )  i sin(2  a) khi a  [0;2)
a a a a a a
2. z2  sin a  i 1  cos a   2sin cos + 2icos2 = 2cos (sin + i cos )
2 2 2 2 2 2
a a
a a
- Nếu a  [0; )  cos > 0  z2 = 2cos (cos( - ) + i sin ( - )
2 2 22 22




ebooktoan.com 55
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
3 a 3 a
a a
- Nếu a  ( ;2 )  cos < 0  z2 = -2cos (cos( - ) + i sin ( -)
2 2 22 22
- Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0)
 
 
3. z3  cos a  sin a  i  sin a – cos a   2 (cos  a   + i sin  a  
4 4
 
Bài 4: : Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1 i 3 1
a. (1- i 3 )(1 + i) b. c.
1 i 2  2i
Giải:
     
1. Ta có: 1- i 3 = 2  cos     i sin    
  3  3 
 

(1+ i) = 2  cos  i sin 
4 4

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:
     
(1- i 3 )(1 + i) = 2 2  cos     i sin    
  12   12  
Tương tự
  7   7  
1 i 3
b. = 2  cos     i sin   
1 i   12   12  
      2     
1
1 1
= (1  i ) =
c. 2  cos     i sin     =  cos   4   i sin   4  
2  2i 4 4   4  4  2    
2
 
Bài 5: Viết số phức z  3  i dưới dạng lượng giác.
Giải:
Cách 1: Khai triển hằng đẳng thức rồi chuyển sang dạng lượng giác.
2 2 3  1 3
2
 
z  3  i  3  2 3i  i 2  2  2 3i  4   i  4 
 2 2 i
4 4 
   
      


 4  cos  i sin   4  cos     i sin    
3 3  3  3 
 
Cách 2: Viết dạng lượng giác trước rồi áp dụng công thức Moa – vrơ.
 3 1       


3  i  2 2  2 i   2  cos 6  i sin 6   2  cos   6   i sin   6  
      

 
2
    
      

2
 
3 i   2  cos     i sin       4  cos     i sin    
Suy ra:
 6  6    3  3 
 

Dạng 2: Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác

Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và  là 1 acgument của nó. Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:



ebooktoan.com 56
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 3
1
b. z 2  z (sin  0) c. z 2  z (cos
a.   0)
2 2
2z
Giải:
Số phức z có thể viết dưới dạng: z  cos   i sin 
1 1 1 1
   cos   i sin      cos    i sin    
a.  
2 
2  cos   i sin   2
2z
1
 cos      i sin       acgument    
2 
3  3 
2
b. z 2  z   cos   i sin     cos   i sin    2sin
sin  2 cos sin i
2 2 2 2
  3 3 
- Nếu sin  0  z 2  z  2sin   sin  i cos 
2 2 2 2
    3    3    3
 2 sin  sin     i cos      Acgument  
2  2 2  2 2   22
   3 3 
- Nếu sin  0  z 2  z  2sin  sin  i cos 
2 2 2 2
   3    3    3 
 2sin  sin  2  2   i cos  2  2    Acgument  2  2
2    
3  3 
2
c. z 2  z   cos  i sin     cos  i sin    2cos cos  2cos sin i
2 2 2 2
3 3   
 0  z 2  z  2cos  cos  i sin 
- Nếu cos
2 2 2 2

 Acgument 
2
3 3    

 0  z 2  z  2 cos  cos      i sin     
- Nếu cos
2 2 2 2
 

 Acgument   
2
5
 
10
1  i  3i
Bài 2: Tính: z  10
 1  i 3 
Giải:
10 5
7 7   
 5
10
  i sin  .2  cos  i sin 
2  cos
4 4 6 6
 
z 10
4 4 

210  cos  i sin
3
3
 




ebooktoan.com 57
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
35 35  5 5   55 55 

210  cos  i sin  i sin  i sin
 cos   cos 
2 2  6 6  3 3
  cos 5  i sin 5  1
 
40 40 40 40 
  
210  cos  i sin  i sin
 cos
 
3 3 3 3
  
Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: z  1  z  i 3 và i z có một acgument

là .
6
Giải:
    
 
i z  ri cos   r sin   r cos(   )  i sin(   )        
2 2 2 6 3
 
z  r (cos   i sin  )
2
2
1 3 r r3 r  3r
 r2  r 1
 r(  i )  i  iz  1    1 
2 2 2 2 2  4
2
r2  
r 
 3   1  r 2  3r  3  iz  1  z  i 3  r  1  z  cos  i sin
z i 3 
4 2  3 3
3
z
Bài 4: Viết dạng lượng giác của số phức z biết rằng z  2 và một acgumen của là 
1 i 4
Giải:
 z
Gọi  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z mà 1  i có một acgumen là nên
1 i
4

có một acgumen là   .
4
 3 
 k 2     l 2 (l  
Theo giả thiết ta có     )
4 4 2
 

Vậy dạng luợng giác của z là: z  2  cos  i sin  .
2 2


Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính toán

(1  i )10 ( 3  i)5
Bài 1: Tính giá trị A 
(1  i 3)10
Giải:
Biểu diễn lượng giác cho các số phức:
7 7    4 4 
  
1  i  2  cos  i sin  ; 3  i  2  cos  i sin  và 1  i 3  2  cos  i sin 
4 4 6 6 3 3
  
Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi A  cos 5  i sin 5  1 .
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau




ebooktoan.com 58
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
(1  i )10   1 1

b. B   cos  i sin  i 5 (1  3i) 7 c. z 2009 
a. A  . Biết z   1.
9 2009
  3 3 z
z

3i
Giải :
10
  
 5 5 

25  cos
 2  cos 4  i sin 4    i sin 
2 1 1
2
 
a. A     4 (cos   i sin  )  
9
3 3  2 16

  
 29  cos  i sin
 2  cos 6  i sin 6   
2 2

 
1
Vậy phần thực   và phần ảo = 0
16
7
 5           
 7
b.  cos  i sin  i (1  3i) =  cos     i sin     i  2  cos  i sin  
3 3   3  3    3 3 

       7 7 
 i  2 cos 2  i sin 2  i  2 i  128i
 27  cos     i sin      cos 7 7
 i sin
  3  3   3 3
Vậy phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 128.
  
1  3i
z   cos  i sin
1 2 3 3
c. Từ z   1  z 2  z  1  0  

z    
1  3i
z   cos     i sin   
2  3  3

 
Khi z  cos  i sin .
3 3
Ta có
2009
 
2009
 
 
1 1

z 2009    cos  i sin   
 cos   i sin 
z 2009 3 3
 
 
3 3
 
2009
2009
        2009 2009 
 
  cos  i sin   cos     i sin       cos  i sin 
3 3   3  3  3 3
 
2009 2009  2  2
 
  2 cos  669 
  cos  i sin   2 cos  1.
3 3 3 3
  
    1
Tương tự : z  cos     i sin     z 2009  2009  1
 3  3 z
Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z 2  2  2 3i .
Giải:
Ta chuyển 2  2 3i sang dạng lượng giác rồi từ dạng lượng giác ta chuyển về dạng đại số.
1 3 2 2 

2  2 3i  4   
 2 2 i   4  cos 3  i sin 3 
  
 
Suy ra:


ebooktoan.com 59
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2 2 
 
 z  4  cos 3.2  i sin 3.2 
2 2   


z 2  2  2 3i  z 2  4  cos  i sin

3 3 2 2 
 
 z   4  cos  i sin 
3.2 3.2 


 1 3
 
  z  2  i 1 i 3
 
z  2  cos  i sin 
 2 2
3 3 
 
 
  
  z  -2  1  3 i   1  i 3
 z  2  cos  i sin  
2 2  

3 3

  

Vậy: Phần thực và phần ảo của z là 1 và 3 hoặc -1 và  3 .

Ứng dụng của dạng lượng giác

Bài 1: Chứng minh rằng:
sin 5t  16sin 5 t – 20sin 3 t  5sin t
cos 5t  16cos5 t – 20cos3 t  5cos t
Giải:
5
Dùng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức  cos t  i sin t 
Ta được:
cos 5t  i sin 5t  cos5 t  5i cos 4 t sin t  10i 2 cos3 t sin 2 t  10i3 cos2 t.sin 3 t  5i 4 cos t. sin 4 t  i 5 sin 5 t
2 2
 cos 5t  i sin 5t  cos 5 t  10 cos3 t 1  cos 2 t   5cos t 1  sin 2 t   i 5 1  sin 2 t  sin t – 10 1  sin 2 t  sin 3 t  sin 5 t 
 
 
Đồng nhất hai vế ta được điều phải chứng minh.
Bài 2: Giải phương trình: z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0 1
Giải:
Ta có: 1  z 4  z  1  z 2  z  1   z  1  0
 z  1
  z  1  z 4  z 2  1  0   4 2
z  z 1  0
2 2 2
1 3
z    i  cos  i sin
1  3i 2 2 3 3

Xét phương trình: z 4  z 2  1  0  z 2 
2
2  2   2 
1 3
z    i  cos     i sin   
2 2  3  3

 

 z  cos 3  i sin 3
2 2
Từ z 2  cos  i sin 
 z   cos   i sin 
3 3
 3 3





ebooktoan.com 60
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
   

 z  cos   3   i sin   3 
 2   2      
Từ z 2  cos     i sin   
 3  3    
 z   cos     i sin   
 3  3

Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
1 3 1 3 1 3 1 3
z  1 ; z = z   i; z   i; z   i; z    i
22 22 22 22
Bài 3: Cho z1 và z2 là hai số phứ xác định bởi z1  1  i 3 và z2  1 – i
z
a. Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của 1
z2
7 7
b. Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos và sin
12 12
Giải:
z 1 i 3 1 3 1  3 
Ta có 1    i
2 
1 i
z2 2  
   
 
2 (cos    + isin    )
Ta có: z1 = 2(cos + isin ); z2 =
 4  4
3 3
7 7
z1
 = 2 (cos + isin )
12 12
z2
7 7 1  3
1 3
 cos = và sin =
2 2
12 12
2
Bài 4: Cho số phức z0 có môđun bằng 1 và argument bằng
5
A CMR z0 là nghiệm của phương trình z 5 – 1  0
b. Rút gọn biểu thức  z – 1 1  z  z 2  z 3  z 4 
1  1

c. Hãy suy ra rằng z0 là nghiệm của phương trình:  z 2  2    z   + 1 = 0
z  z

d. Giải phương trình ở câu c.
2 2
e.Từ đó suy ra giá trị của z0 và biểu thức giá trị của cos và sin
5 5
Giải:
2 2
a. Ta có: z0 = cos + i sin
5 5
2 2 5
Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos ) = cos2  + isin2 = 1  z0 là nghiệm của phương
+ i sin
5 5
trình z5 – 1 = 0.
b. Khai triển đẳng thức này ta được z 5 – 1  0
c. z 5 – 1  0   z – 1 1  z  z 2  z 3  z 4   0



ebooktoan.com 61
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1 1
mà z0  0  z0 là nghiệm của phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 = 0  z2 ( + + 1 + z + z2 ) (với z  0)
2
z z
1 1
+ + 1 + z + z2 = 0 (*)  đpcm.
 z0 là nghiệm của phương trình 2
z z
1  5
1
d. Đặt y = z +  phương trình (*) có dạng: y 2 – y  1  0  y1,2 
2
z
1 1
e) Từ các câu trên ta có: z0 là nghiệm của một trong hai phương trình sau: z + = y1 hoặc z + = y2
z z
1 5
1
- Xét phương trình: z + = y1  z2 – y1z + 1 = 0  z2 + z+1=0
2
z
 1  5 i 5  5
 z1 
2

2
 5 5 
1 5  5 5 4 2 2

 i 
  4  
2 
2 2

   z  1  5  i 5  5
 
2 4 2 2

1 5
1
= y2  z2 – y2z + 1 = 0  z2 +
- Xét phương trình: z + z+1=0
2
z
 1  5 i 5  5
 z1 
2

2
 5 5 
1 5 5 5 4 2 2

 i 
  4
2  
2 2

   z  1  5  i 5  5
 
2 4 2 2

2 2
đều dương  phần thực và phần ảo của z0 đều dương
Vì cos và sin
5 5
2 1  5 2 1 5  5
1  5 i 5  5
 cos 
 z0  z1   
và sin
5 2
4 2 2 5 2 2
n
 
Bài 5: Tìm n là số nguyên dương và n  1,10  sao cho số phức z  1  i 3 là số thực
Giải:
  n n 
 
Ta có: 1 + i 3 = 2  cos  i sin   z = 2n  cos  i sin 
3 3 3 3
 
n n
Để z  R  2n.sin = 0  sin = 0  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9]
3 3
Bài 6: Giải phương trình: z 6  64 1
Giải:
Giả sử z  x  yi  r (cos   i sin  )
Ta có: 64  64(cos   i sin  )
Z 6  64  r 6 (cos 6  i sin 6 )  64(cos   i sin  )  r 6  64  r  2
 
Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z)   =  2k
6 6


ebooktoan.com 62
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 

Với k = 0  z1 = 2  cos  isin  = 3 +i
6 6

    

Với k = -1  z1  2  cos  -   isin      3  i
 6  6 

 

Với k = 1  z1  2  cos  i sin   2i
2 2

    

Với k = -2  z1  2  cos     i sin      2i
 2  2 

 5   5
 
Với k = -3  z1  2  cos     i sin      3  i
 6 6 


3 i
Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  4 và một acgumen của bằng 
6
z
Giải:
Ta có z  4  z  4(cos   i sin  )  z  4(cos( )  i sin( )) và
   
3 i 1 
 
  cos      i sin     
3  i  2  cos  i sin  
6 6 2 6 6
z
  

  
      
Theo giả thiết
6 6 3

    

Vậy z  4  cos     i sin      2  2 3i
 3  3 

Bài 8: Tính tổng sau: S  (1  i )2008  (1  i) 2008
Giải:
 
1  i  2(cos  i sin )  (1  i )2008  21004 (cos 502  i sin 502 )
4 4
   
1  i  2(cos  i sin )  2(cos( )  i sin( ))
4 4 4 4
2008 1004
 2 (cos(502 )  i sin(502 )).
 (1  i)
Do đó S  2 cos(502 )  21005 .
1005


Bài 9: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều.
Giải:
Xét phương trình z 3  1 trên  , có nghiệm z  r (cos   i sin  ) Khi đó
r  1
z 3  1  r 3 (cos 3  i sin 3 )  1  
3  k 2 , k  .
Do đó phương trình có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là
- Với k = 0 ta có z 0  cos 0  i sin 0  1 ;




ebooktoan.com 63
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2 2 1 3
- Với k = 1 ta có z1  cos  i sin   i ;
3 3 2 2
4 4 1 3
- Với k = 2 ta có z2  cos  i sin   i .
3 3 2 2
Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt

 
  2  2
OA  OB  OC  1;  
là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z1 , z 2 . Khi đó ; BOC 
AOB
3 3
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.

Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta được nhiều kết quả hay và bất ngờ về tổ hợp.

Một số ứng dụng khác

0 2 4 2006 2008
Bài 1: Tính giá trị của S  C2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009
Giải:
Xét khai triển:
2009
.i k   C2009  C2009  C2009  ...  C2009    C2009  C2009  C2009  ...  C2009  i
(1  i )2009  k 0 2 4 2008 1 3 5 2009
C 2009
k 0

2009 2009 

Mặt khác (1  i )2009  ( 2) 2009 .  cos 1004 1004
 i sin   2  2 .i
4 4

1004
So sánh phần thực và phần ảo ta đợc S  2 .
Nhận xét.
Bằng việc xét khai triển (1  i) n ta có kết quả tổng quát sau:
n
0 2 4 n
Cn  Cn  Cn  ...  ( 2) .cos 4
(n   )
*

C 1  C 3  C 5  ...  ( 2)n .sin n
n n n
 4
0 2 4 2010
Bài 2: Tính tổng S = C2010  C2010  C2010  ...  C2010
Giải:
Ta có S = C2010  i 2C2010  i 4C2010  ...  i 2010 C2010 .
0 2 4 2010


Do đó có thể giải như sau:
(1  i )2010  (1  i) 2010
Cách 1: S =
2
2010 2010 2010
Cách 2: S là phần thực của số phức 1  i  (do 1  i  và 1  i  là hai số phức liên hợp)

Bài tập tự giải:

Viết dạng lượng giác của số phức

Bài 1:
a. Viết dạng lượng giác của số phức z2, biết z  1  i.


ebooktoan.com 64
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
b. Viết dưới dạng lượng giác của số phức z  2i ( 3  i ).
Bài 2: Viết số phức z dưới dạng đại số: z  ( 2  2  i 2  2 )8 .
Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
1 i 3
a. 1  i 3 c. (1  i 3 )(1  i )
b. 1 + i d.
1 i
1
g. z  sin   i.cos 
e. 2.i.( 3  i) f.
2  2i
Đs:
   
      
  
b. 2 . cos  i. sin  c. 2 2  cos( )  i.sin( ) 
a. 2  cos    i.sin   4 4 12 12 
3  3  


7 7   
  2

d. 2  cos( )  i.sin( )  cos( )  i sin(  ) 
e. 4(cos  i. sin ) f.
4
12 12  4 4
3 3
 
 
 
g. cos     i sin    
2 2
 
Bài 4: Cho số phức z  1  i 3 . Hãy viết dạng lượng giác của số phức z5 .
1 3
Bài 5: Viết dạng lượng giác số z   i .Suy ra căn bậc hai số phức z
22
Bài 6: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
1 3
b. z2    i
a. z1 = 6 + 6i 3
4 4
1 3
c. z3    i e. z5  4i
d. z3  9 – 9i 3
2 2
Đs:
  2 2  4 4
1

z1  12  cos  i sin  ; z2   cos  i sin  ; z3  cos  i sin
3 3 2 3 3 3 3

5 5  3 3 
 
z4  18  cos  i sin  ; z5  4  cos  i sin ;
3 3 2 2
 
Bài 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
   
 
a. 2  cos  i sin  b.  cos  i sin 
6 6 17 17 
 
 

d. 1 – cos a  i sin a, a  [0; 2 )
c.  sin  i cos 
 17 17 
Đs:
   
7 7
b. cos    + isin   
a. 2(cos +isin )
 17   17 
6 6
15 15
c. cos + isin
34 34
d.




ebooktoan.com 65
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
a a
a a
- Nếu a  (0;2 )  sin > 0  z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - ))
2 2 22 22
- Nếu a = 0  không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác.
Bài : Tìm một acgumen của các số phức sau:
 
a.  2  2 3.i d. cos  i. sin
b. 4 4i c. 1 - 3.i
4 4
 
e.  sin  i. cos f. (1  i. 3 )(1  i)
8 8
Đs:
2 3   5 
c.  d.  e.  f. 
a. b.
3 4 3 4 8 12


Dạng toán về tính toán:

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1  i 10 ;
 5 1 1
 
 7
c. z 2000 
a.  cos  i sin i 1  3i ; biết rằng z   1.
b.
  2000
9
3 3 z z
 3i
12
 3i
Bài 2: Chứng minh rằng: 
 1  i  là số thực

 
12
 3i
Đs: Sử dụng công thức Moavrơ :  1  i   64

 
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
(1  i)10   7

 
b.  cos  i sin  i 5 1  i 3 .
a. .
9
3 3
  
3 i
HD: Sử dụng công thức Moivre.
1
Đáp số: a. Phần thực  , phần ảo bằng 0
16
b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128
Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính
12
1 3
o7
2  cos 30  i sin 30 
o
o o5 16
a. (cos15  i sin15 ) c. (1  i ) d.   i
b. 
2 2
2 2
Bài 6: Hãy tính tổng S  1  z  z 2  z 3  ...z n 1 biết rằng z  cos  i sin
n n
Bài 7: Thực hiện các phép tính
a. 3  cos120o  i sin120o  (cos 45o  i sin 45o ) 2  cos18o  i sin18o  (cos 72o  i sin 72o )
b.
cos85  i sin 85
   
 i sin )3(cos  i sin )
c. 5(cos d.
cos 40  i sin 40
6 6 4 4




ebooktoan.com 66
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2 2
 i sin )
2(cos
2 (cos 45  i sin 45 )
3 3
e. f.
3(cos15  i sin15 )
 
2(cos  i sin )
2 2
 5 1 1
g. (cos  i sin )i .(1  3i )7 h. z 2008  biết z  1
2008
3 3 z z
   
i. (cos  i. sin ).3(cos  i. sin )
6 6 4 4
Đs:
5 5
32 32
 i.  i.sin )
a. b. 3(cos c.
2 2 12 12
6 2 6 2 2 6
 i.  i.  i.
d. e. f.
4 4 4 4 2 6
Bài 8: Tìm môđun của z và argument:
8
2  6
3  2i 1  i 
a. z   8
1  i  6 2 
3  2i
4
 1  i  1
b. z  
10 4
 3  i   2 3  2i 
n n
c. z  1  i 3   1  i 3 
Đs:
5
1
a. |z| = z  213  ; arg z 
13
6
2
1
; arg z = 
b. z 
29
5n
c. z  2n 1 cos ; arg z    {0;  }
3
Bài 9: Thực hiện phép tính:
2 (cos 45 0  i. sin 45 0 )
a. 3  cos 20o  i sin 20o   cos 25o  i sin 25o  b.
3 (cos15 0  i. sin 15 0 )
2 2
 i. sin
2 (cos )
   
3 3  i. sin ).3(cos  i. sin )
c. d. 5 (cos
  6 6 4 4
2(cos  i. sin )
2 2
Đs:
5 5
32 32 2 6 6 2
 i.  i.  i.  i. sin
a. b. c. d. 15(cos )
2 2 2 6 4 4 12 12
Bài 10: Tính:
7
a. (cos12o + isin12o)5 c. ( 3  i ) 6
b.  2(cos 300  i sin 300 ) 
 


ebooktoan.com 67
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
12 21
2008
1 3  5  3i 3 
 i  1
16
e.   i  g.  
d. (1 + i) f.  
2 2  1  2i 3 
i
   
Đs

1 3 1
h. 221
c. 26 d. 28
i b.  4 6  i.4 2
a. e. 1 f.
21004
2 2

Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
2 3
a.  2  2 3.i b. 4 – 4i
ĐS: ĐS:
3 4
   
ĐS:  d. cos  i. sin ĐS: 
c. 1 - 3.i
3 4 4 4
  5 
e.  sin  i. cos ĐS:  f. (1  i. 3 )(1  i) ĐS: 
8 8 8 12
Bài 12: Cho hai số phức z1  2  2i và z2  1  3i
a. Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.
z3
b. Tính môđun và argument của z13 và z22 và 1 2
z2
 
c. Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos và sin
12 12
Đs:
 
a. Ta có |z1| = 2; 1 = ; |z2| = 2; 2 =
4 3
2 z13
3 
b. |z13| = 8; 3 = ; |z2| = 4; 4 = ; 2 = 2; 5 =
4 3 z2 12
 
2 6 6 2
c.cos = và sin =
4 4
12 12
Bài 13: Tìm các căn bậc hai của số phức sau:
1 i
 

a. z  1  i b. c. 2 1  i 3 d. 7  24i
2 2
Đs:
 
 
 2k   2 k 

a. zk  4 2  cos 4  i sin 4  , k  {0;1}
2 2
 
 
 
 
 2k  2k
2 2
b. zk  cos  i sin , k  {0;1}
2 2
 
 2k  2k
4 4
c. zk  cos  isin , k  {0;1}
2 2


ebooktoan.com 68
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
4 4
 
 2k   2k 

d. zk  2  cos 3  isin 3  , k  {0;1}
2 2
 
 
 
Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau:
1 3
 
  3  3i  2 3  2i b. 1  i   2  2i  i
a.   i
2 2
 
c. 2i (4  4 3i)  3  3i  d. 3 1  i   5  5i 
Đs:
7 7
a. 12 2 (cos + isin ) b. 4(cos0 + isin0)
4 4
5 5  
c. 48 2 (cos + isin ) d. 30(cos + isin )
12 12 2 2

z  3i
 1 và z  1 có một acgumen là 
Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn
z i 6
Đs: z  2 3  1  2i
3
1 z
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho z  và một acgumen của là 
1 i
3 4
 
1
Đs: z   cos  i sin 
3 2 2

Bài tập tự giải phần ứng dụng:

Bài 1: Cho n nguyên dương.
2 n
a. Chứng minh rằng: C2 n  3C2 n  9C2n  27C2 n  ...  (3)n C2 n  22 n.cos
0 2 4 6 2n
3
b. Tính S = C20  3C20  32 C20  ...  310 C20
0 2 4 20




Bài 2: Cho số nguyên dương n.
a. Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n
b. Chứng minh rằng
2 2
1  C  C44n  C4 n  ...  C4 n    C4 n  C4 n  C4 n  C4 n  ...  C44n 1   16n
2 6 4n 1 3 5 7 n
4n

Bài 3:
a. Cho z  cos  i sin  (   R ). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  1 , ta có
1 1
z n  n  2 cos n ; z n  n  2i sin n .
z z
b. Từ câu a. chứng minh rằng




ebooktoan.com 69
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1
cos 4   cos 4  4 cos 2  3,
8
1
sin 5   sin 5  5 sin 3  10 sin  .
16
1 3
Bài 4: Cho các số thực a,b, c và số phức z    i. .
2 2
Chứng minh rằng:  a  bz  cz 2   a  bz 2  cz   0 .Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào?

LỜI KẾT:

Trong những năm gần đây, số phức xuất hiện rất nhiều trong các kì thi TN, CĐ, ĐH và trở thành
một phần không thể thiếu trong các đề thi, tuy nhiên còn có mặt hạn chế là kiến thức mới được đưa vào
chương trình PT chính vì thể mà các em còn cảm thấy lo lắng và sợ khi gặp các bài toán về số phức
Vì vậy tôi viết chuyên đề này hi vọng các em sẽ học tốt hơn, cũng như các bạn đồng nghiệp có
thêm tài liệu giảng dạy…xin chân thành cảm ơn

Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa


“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao… chào thân ái”




ebooktoan.com 70
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản