Chuyên đề thể tích

Chia sẻ: Nguyen Bach Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

0
226
lượt xem
131
download

Chuyên đề thể tích

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện ( thể tích khối chóp, khối lăng trụ). Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề thể tích

  1. http://laisac.page.tl  Chuyên Đề  T    T        THỂ TÍCH Lưu Tuấn H iệp  GV THPT Lai Vung 2 THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP – KHOÁI LAÊNG TRUÏ Phaàn I. Trong tröô øng phoå thoâng , Hình hoïc Khoâng gian laø m oät ba øi toa ùn raát kho ù ñoái v ôùi h oïc sinh, do ñoù h oïc sin h phaûi ñoïc tha ät k yõ ñe à baøi va ø töø ñoù x aùc ñònh g iaû thu yeát ba øi toa ùn , veõ hình roài tieán haønh giaûi ba øi toa ùn . Cả hai chương trình chuẩn v aø na âng cao  đều  đề cập  đ ến theå tích cuûa kho ái ña dieän ( theå tích kh oái choùp , khoái la êng truï). Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình choùp ñöôïc pha ân thaønh 2 daïng nhö sau: Cho hình choùp - Ta m g iaùc ñeàu Hình choùp coù ca ïnh beân vuoâng goùc vôùi maët - Hình vuoâng, ch öõ nhaät phaúng ña ùy S C  A  B  Ña giaùc ñaùy : - Tam gia ùc v uoâng - Tam gia ùc caân
  2. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Hình cho ùp ñe àu S  A  C  O B  - Hình ch oùp tam giaùc ñe àu - Hình cho ùp töù gia ùc ñeàu Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình laêng tru ï: C1  A 1  C1  A 1  V = B.h B1  B1  B: dieän tích ñaùy h : ñöô øn g cao A  C  A  C  G H  B  B  Laêng truï ñö ùng ABC.A1B1C1 Laêng truï xieân ABC.A1B1C1 A1A ^ (ABC) A1G ^ (ABC) HEÄ TH OÁNG KIEÁN TH ÖÙC CÔ BAÛN  A. Các Tính  Chấ t :  a .  Tam g iác : -  Diện tích  của tam giác  A  1  *  S DABC  =  . AB. AC. sin µ  A 2  h  1  *  S DABC  = .BC . AH 2  C  B  H  -  Các tam giác đặc b iệt  :  o  Tam g iác vuông  :  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1  Löu  Tuaán  Hieäp
  3. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay + Định lý pitago: BC 2 = AB 2 + AC 2  + Tỷ số lượng giác tro ng tam  giác vuông  A  b Ñoái µ sin B = = Huyeàn a b  c  c Ke à µ co s B = = Huyeàn a µ Ñoá i = b C  tan B = a  B  K e à c  + Diện tích tam giác vuông:  1  S DABC  = . AB.  AC 2  o  Tam g iác câ n:  A  +  Đườn g  cao   AH  cũng  là  đườn g  trung  tu yến  + Tính đ ường cao  và diện tích  µ AH =  BH . tan B  1  S DABC  = .BC. AH 2  C  B  H  o  Tam g iác đều  A + Đườn g cao  của  tam  giác đều 3 h = AM = AB.   2 3 ( đường  cao h  = cạnh  x )  2  G  3  + Diện tích :  S DABC  = ( AB ) 2 .  4  C  B  M Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 3  Löu Tuaán Hieäp 
  4. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay b. Tứ g iác -  Hình vuôn g  + Diện tích h ình vuông :  A  B  S ABCD  = ( AB)    2 ( Diện tích bằng  cạnh bình ph ương)  + Đườn g chéo h ình vuông O  AC = BD = AB. 2   2  )   ( đường chéo hình  vuông bằng cạnh  x D  C  + OA = OB = OC = OD -  Hình chữ nhật  + Diện tích h ình vuông :  A  B  S ABCD  =  AB.  D A (  Diện tích  bằng dài nhân rộng)  O  + Đườn g chéo h ình chữa nhật b ằn g nhau và  D  OA =  OB =  OC =  OD  C  B . Thể Tích Khối Chóp:  + Th ể tích  khố i chóp S  1 V = .B.h  h  3 C  A  H  Trong đó  : B là diện tích đa giác đá y  h : là đường cao của hình chóp  B  Các khố i chóp đặc b iệt : -  Khố i tứ d iện  đều:  + Tất cả các cạnh đ ều  bằng nhau  A  + Tất cả các m ặt đều  là các tam  giác đều  +  O là trọn g tâm  củ a tam  giác đ áy  Và  AO ^  (BCD)  D  O  B M  S C  -  Khố i chóp  tứ g iác đều  + Tất cả các cạnh b ên  bằng nhau  + Đa giác đ áy là hình vuôn g tâm O  A  B  + SO ^  (ABCD)  O  D  C  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 4  Löu Tuaán Hieäp 
  5. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay C. Góc:  Cách  xác định gó c -  Gó c giữa đường thẳ ng d và mặt p hẳng (P):  /  o  Tìm hình chiếu d  của  d lên  mặ t phẳng  (P)  o  Khi đó gó c giữa  d và (P)  là góc giữa d  và d   / Ví  dụ  1 :  Cho  h ình  chóp  S.ABCD  có  ABCD  là  hình  vuông,  SA  vu ông  góc  vớ i  (ABCD)  và  0  góc giữa SC với (ABCD) b ằn g 45  . Hãy xác định góc đó.  S  Giả i  Ta có : AC = hc( ABCD ) SC ··· Þ (SC , ( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o A  B  O  4 5  D  C  -  Gó c giữa  hai mặt phẳ ng (P) và (Q) :  o  Xác định g iao tuyến d của  (P) và  (Q)  o  Tìm trong  (P) đư ờng  thẳng a ^  (d ) , trong mặt phẳng  (Q) đường thẳng  b ^  (d)  o  Khi đó gó c giữa  (P) và (Q) là góc giữa hai đ ường  thẳng  a và b  Ví dụ  2:  Cho   hình chóp  tứ giác đều S.ABCD  có   ABCD là hình   vuông, và gó c giữa mặt  bên  0  với m ặt đáy bằng 60  . Hãy xác đ ịnh  gó c đó.  S  Giả i  Gọi M là trung điểm BC  Ta có : (SBC) Ç (ABCD) = BC (ABCD ) É AM ^ BC  (SBC) É SM ^  BC  A  ( vì  AM = hc SM ) B  60  ( ABCD )  ··· Þ (( SBC ), ( ABCD )) = ( SM , AM ) = SMA  = 60    o M  O  C Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 5  Löu Tuaán Hieäp 
  6. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 1.1:  Cho  hình  chóp  S. AB C  có  tam  giác  AB C  vuông  tại  B,  AB   =  a  2 ,  AC  =   a  3 ,  cạ nh  bên  SA  vuô ng  gó c  với  mặ t  phẳng  đáy  và  SB   =  a  3 .Tính  thể  tích  khối  chóp  S.AB C  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng -  Sử dụn g định lý p itago tro ng tam  giác vuông  §  Lời giải:  Ta có : AB = a  2 ,  S  AC  = a  3  SB =  a  3 .  * D  ABC vuông tại B n ên  BC = AC 2 - AB 2  = a a   . 2  2 1 1 BA.BC = .a 2 .  =  a Þ  SDABC  = 2  2 2 C  A  * D  SAB vuông tại A  có  SA = SB 2 - AB 2  = a * Th ể tích khối chóp S.ABC  B  1 a2 . 2 a   . 2  3 1 VS . ABC = .S ABC .SA = . a .  = 6  3 32 Baøi Toaùn 1.2:  Cho  hình  chóp  S.AB C  có  ta m  giá c  AB C  vuông  câ n  tại  B,  AC  =  a  2 ,  cạnh  bên  SA vuô ng góc với mặ t phẳng đáy và SB =  a  3 .Tính thể tích khối chóp  S.ABC  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đ ề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng -  Tam   giác  ABC  vuôn g  ,  cân  tại  B  nên  BA  =  BC  và  sử  dụng  đ ịnh  lý   p itago  tron g tam giác vuôn g  §  Lời giải:  Ta có : AC = a  2 ,  S SB =  a  3 .  * D  ABC vuông,  cân tại B n ên  AC 2  BA = BC = =a 2  C  A  a    2 1 1  Þ  SDABC  = BA.BC = .a.  =  a 2  2 2 B  * D  SAB vuông tại A  có  SA = SB 2 - AB 2  = a * Th ể tích khối chóp S.ABC  1  a 2 a    3 1 VS . ABC = .S ABC .SA = . .  =a 6  3 32 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 6  Löu Tuaán Hieäp
  7. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 1.3:  Cho hình chóp S.AB C có ta m g iác ABC đều cạnh 2a, cạ nh bên SA vuông góc với  mặt phẳng  đáy  và SB =  a  5 .Tính  thể tích khối chó p S.AB C  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng 0  -  Tam   giác  ABC  đều   có   ba  góc  bằng  60  và  sử  dụn g  định  lý   p itago  trong  tam  giác vuông SAB  §  Lời giải:  * D  ABC đ ều  cạnh  2a nên  S  AB  = AC  = BC = 2a 1 1 3  2  BA.BC. sin 600 = .2a.2 a. Þ  SDABC  = = a . 3  2  2 2 * D  SAB vuông tại A  có  SA = SB 2 - AB 2  = a C  A  * Th ể tích khối chóp S.ABC  a   . 3  3 1 1 B  VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.  = a 3  3 3 Baøi Toaùn 1.4:  · Cho  hình  chóp  S.AB C  có   tam  g iác  ABC  cân  tạ i  A,  BC  =  2a  3 ,  BAC = 1200 ,cạnh    bên  SA vuô ng góc với mặt phẳng  đáy và SA =2a.Tính  thể tích khối chó p S.AB C  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng 0  -  Tam  giác ABC cân tại A và Â = 120  §  Lời giải:  · * D  ABC cân  tại A,  BAC = 120  ,  BC = 2a  3  0  S  AB  = AC  = BC = 2a  0 Xét D  AM B  vuô ng  tại  M có BM = a  3 , Â = 60  BM a  3  Þ  AM =  C  =a = 0  tan 60  3  A 1 1  M  Þ  SDABC  = AM .BC = .a.2a 3 = a 2 . 3  2  2 B  * SA =  a  * Th ể tích khối chóp S.ABC  a 3 . 3  1 1 VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.a =   3  3 3 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 7  Löu Tuaán Hieäp
  8. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 1.5:  Cho  hình  chó p  S.ABCD  có   đáy  AB CD  là  hìn h  vuông  cạ nh  a  2 ,  cạnh  bên  SA  vuông góc với  mặt phẳng đáy và  SC =  a  5 .Tính thể  tích  khối  chó p S.AB CD  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ  đá y  là  h ình  vuôn g  (  vẽ  như  hình  bình  hành ),  cao  SA ^  (ABCD)  và  vẽ  thẳng đứn g -  ABCD là hình vuôn g ;   sử dụng định lý  pitago  tron g tam giác vuôn g  §  Lời giải:  Ta có : ABCD là hình vuông cạnh  a  2  S  SC =  a  5 .  *  Diện tích  ABCD 2  ( )  = 2 a 2  Þ SABCD  = a 2 * Ta có : AC = AB.  2 =  a 2 . 2 = 2 a D  SAC vuôn g tại A A  B  Þ  SA = SC 2 - AC 2  = a * Th ể tích khối chóp S.ABCD  D  C  2      a3 1 1 VS . ABCD = .S ABCD .SA = .2a 2 .  = a 3  3 3 Baøi Toaùn 1.6:  Cho  hình  chó p  S.ABCD  có  đáy  AB CD  là  hình  vuông,  cạnh  bên  SA  vuô ng  gó c  với mặt phẳ ng đáy và  SA = AC = a  2 . Tính thể tích khố i chóp S.AB CD  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ  đá y  là  h ình  vuôn g  (  vẽ  như  hình  bình  hành ),  cao  SA ^  (ABCD)  và  vẽ  thẳng đứn g -  Biết  AC  và  su y  ra  cạnh  của  hình  vuông  (Đường  chéo  hình  vuông  bằng   cạnh  nhân với  2 )  §  Lời giải:  S Ta có : SA = AC = a  2  *  ABCD là h ình vuông  AC  AC  = AB.  2 Þ  AB = = a 2  Diện tích ABCD :  S  BCD  = a 2  A * SA =  a  2  A  B  * Th ể tích khối chóp S.ABCD  a   . 2  3 1 1 D  VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a. 2  = C  3  3 3 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 8  Löu Tuaán Hieäp
  9. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 1.7:  Cho  hình  chóp  tam  giác  đều  S.ABC  có  cạnh  đáy  bằng   a  3 ,  cạ nh  bên  bằ ng  2a.Tính thể tích khối  chó p S.AB C  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Hình chóp tam giác đều  có đá y  là tam  giác đều tâm O  + Gọi M  là  trung điểm  BC  + O là trọng tâm của  tam ABC  + AM là đường cao trong D  ABC -  Đường cao của h ình  chóp  là SO (  SO ^  (ABC))  §  Lời giải:  *  S.ABC là hình chóp tam giác đều  S  Gọi M là trung điểm BC D  ABC đều cạnh  a  3 , tâm  O  SO ^  (ABC)  SA=SB=SC =  2a  * D  ABC đ ều  cạnh  a 3  A  C  a  3 3  Þ  AM =  a 3.  O = M  2  2 2 3a  2   B  Þ  AO= . AM = .  = a 3 2  3 3 3a 2 . 3  1 1 Þ  SDABC  = AB. AC. sin 600  = .a 3.a 3.  =  4  2 2 2 * D  SAO  vuông  tại A có  SO = SA2 - AO 2  = a. 3  * Th ể tích khối chóp S. ABC  1 3a 2 3 a   . 3  3 1 VS . ABC = .S ABC .SA = . a .  = 4  3 3 4 §  Nhận xét: học sinh  thường làm  sai bài toán trên -  Học sinh  vẽ “sai” h ình  chóp tam giác đều vì  + khôn g xác định được vị  trí điểm O  + khôn g h iểu  tính  ch ất củ a h ình  chóp đều là SO ^  (ABC)  + khôn g tính được AM và khôn g tính được AO -  Tính  toán sai kết quả thể tích  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 9  Löu Tuaán Hieäp
  10. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 1.8:  Cho  hình  chó p  tứ  giá c  đều  S.AB CD  có  cạ nh  đáy   bằng  2a,  cạnh  bên  bằng  a  3  .Tính thể tích khố i chóp S.ABCD  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đ ề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Hình chóp tứ  giác đều có  + đ a giác đá y là h ình  vuông ABCD tâm O  + S O ^  (ABCD)  + tất cả các cạnh  bên bằn g n hau -  Đường cao của h ình  chóp  là SO (  SO ^  (ABCD))  §  Lời giải:  S *  S.ABCD là hình chóp tứ giác đ ều  ABCD là hình vuôn g cạnh 2 a , tâm O  SO ^  (ABCD)  SA=SB=SC =SD =  a  3  * Diện tích hình  vuông  ABCD Þ  AC = 2 a.  2 A  B  AC 2 a  2  = a 2  Þ  AO= = 2  2 2  Þ SABCD  = ( 2a )  = 4  2  a O  D  C  * D  SAO  vuông  tại O có  SO = SA2 - AO 2  = a * Th ể tích khối chóp S.ABCD  4a     3 1 1 VS . ABCD = .S ABCD .SA = .4a 2 .  = a 3  3 3 §  Nhận xét: học sinh  thường làm  sai bài toán trên -  Học sinh  vẽ “sai” h ình  chóp tứ  giác đều  + khôn g xác định được tính chất đa giác đá y là  hình  vuông  + khôn g SO ^  (ABCD)  mà lại  vẽ SA D  (ABCD)  + khôn g tính được AC và không tính  đư ợc  AO -  Tính  toán sai kết quả thể tích  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 0  Löu Tu aán Hieäp
  11. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 1.9:  Tính thể tích của khối tứ  diện đều cạnh a  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ h ình: -  Tứ d iện  đều ABCD có  các tính chất  + tất cả các cạnh đ ều  bằng nhau  + tất cả các m ặt là các tam  giác đ ều  + gọ i O là trọng tâm của tam giác đá y -  Đường cao của h ình  chóp  là AO ( AO ^  (BCD))  §  Lời giải:  *  ABCD là tứ diện đều  cạnh a  A  Gọi M là trung điểm CD  Ta có : AB=AC= AD = AC=CD=BD = a D  BCD đều cạnh  a, tâm  O Þ  AO ^  (BCD)  D  * D  BCD đ ều  cạnh  a B  a3 O  Þ  BM =  M  2  2 a 3 a  3  2 C  Þ  BO= .BM = .  =  3 32 3 2  a  . 3  Þ  SDBCD  =    4 * D  AOB  vuôn g tại O có 2  æa 3ö a  6 2  2 2  AO = AB - BO = ( a )  - ç ç3÷= 3 ÷ ø  è * Th ể tích khối chóp S.ABC  1 a 2 3 a 6 a   . 2  3 1 VABCD = .S BCD . AO = . =  .  3 34 3 12 Baøi Toaùn 1.10 :  /  /  /  Cho  lăng   trụ  đứng  AB C.A B C  có  đáy  AB C  là   ta m  giác  vuông  tại  B,   AB =a,  /  AC=a 3 ,  cạnh A B  = 2a.  Tính thể tích khố i lăng trụ  Giả i  * Tam  giác ABC vuông tại B /  /  C  A  AC 2 - AB 2 = a 2 Þ  BC = /  B  a2 2 1 Þ S ABC = AB.BC =  2a  2 2 /  * Tam  giác A AB vuôn g tại A Þ A / A = A / B 2 - AB 2 = a 3 a  3  A  C  a3 6 a  * VABC . A B C = S ABC . A / A = / / / 2 B Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 1  Löu Tu aán Hieäp
  12. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Dạng 2. THEÅ TÍCH KHOÁI CH OÙP- KHỐ I LĂNG TRỤ LIEÂN QUAN ÑEÁN GOÙC Trong chöôn g trình Toa ùn ph oå thoân g , Hình ho ïc Khoân g gian ñö ôïc pha ân ph oái ho ïc ô û cuoái na êm lôùp 1 1 vaø ñaàu na êm lôùp 1 2, kieán thö ùc ve à goùc ( goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng ; goùc giöõa hai ma ët phaúng) ñ öôïc hoïc va øo cuoái na êm lôùp 11 vaø ñeán ña àu na êm lôùp 12 seõ ñöôïc vaän duøng vaøo baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp , khối  lăng  trụ. Ñoù la ø moät v aán ñeà raát khoù ñ oái vôùi hoïc sinh lôùp 12 khi vaän duïng vì ña soá ho ïc sinh que ân vaø khoâng bieát ca ùch vaän duïng, töø ñoù ña soá hoïc sinh ñeàu boû ho aëc laøm sa i baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp , khối lăng trụ tro ng caùc kyø thi hoïc kyø, thi To át ng hieäp THPT ÔÛ ñ aây, toâi heä thoáng laïi mo ät soá sa i laàm maø ho ïc sinh thöô øng g aëp kh i gia ûi baøi toaùn tính theå tích lieân quan ñeán giaû thuyeát ve à goùc Goùc Goùc giöõa ñöôøng th aúng v aø maët phaúng Goùc giöõa hai maët phaúng S  S C  A  A  C  O M  B  B  Xaùc ñònh Goùc giöõa SB vaø (ABC) Ta coù :  AB = hc SB  Xaùc ñ ònh goùc giöõa (SBC) va ø ( ABC )  ··· (ABC) Þ ( SB, ( ABC )) = ( SB , AB ) = SBA  Ta co ù : (SBC) Ç (ABC) = BC SM ^ BC AM ^ BC Þ · = ( SM , AM ) = SMA  (( SBC ), ( ABC )) · · Chuù yù : Xaùc ñònh hai ñöôøng thaúng naèm t rong hai m aët phaúng va ø cuøng vuoâng goùc vôùi giao tuyeán taïi moät ñieåm Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 2  Löu Tu aán Hieäp
  13. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 2.1:  Cho  hình  chó p  S.AB C  có  tam  g iác  AB C  vuông  tại  B ,  AB  =  a ,  · = 600 ,  cạnh  ACB   0  bên  SA  vuông  gó c  với  mặt  phẳng   đáy  và  SB  tạo   với  mặ t  đáy   một  gó c  bằ ng  45  .Tính  thể tích  khối chó p S. AB C  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng -  Xác  đ ịnh   góc  giữa  SB  và  (ABC)  là   góc  giữa  SB  với  hìn h  ch iếu   của  nó  lên  (ABC)  §  Lời giải:  *  Ta có  :  AB = a ,  AB = hc S B  ( ABC )  S  ··· Þ ( SB, ( ABC )) = ( SB , AB ) = SBA = 45o    * D  ABC vuông tại B có AB = a,  · = 60  0  ACB AB a a  3  Þ  BC = = = 0  tan 60 3  3  1 a 3 a   . 3  2 1 A  BA.BC = .a.  Þ  SDABC  = =  60  C  4 5  6  2 2 3 µ  = 45 0  * D  SAB vuông tại A  có  AB=  a,  B B  Þ  SA = AB. tan 45o  = a   * Th ể tích khối chóp S.ABC  1 a2. 3 a 3 . 3  1 VS . ABC = .S ABC .SA = . .a =   1 8  3 36 Baøi Toaùn 2.2:  Cho hình chóp S.ABCD có  đáy  ABCD là hình vuông  cạ nh a, cạnh bên SA  0  vuô ng  góc  với  mặt  phẳng  đá y  và   SC  tạo  với  mặt  đáy  mộ t  góc  bằng  60  .Tính  thể  tích  khố i chóp S.AB CD  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng -  Xác  định  gó c  giữa  SC  và  (ABCD)  là  gó c  giữa  SC  với  h ình  chiếu  AC  củ a  SC  lên (ABCD)  §  Lời giải:  *  Ta có  :  ABCD là hình  vuông cạnh a ,  S A C = h c S C  ( ABC D )  ··· Þ ( SC , ( ABCD )) = ( SC , AC ) = SCA  = 60    o *  Diện tích hình  vuông Þ  S  BCD  = a 2  A µ * D  SAC vuông tại A  có  AC=  a  2  ,  C  = 600    A  B  Þ  SA = AC . tan 60o  = a 6  * Th ể tích khối chóp S.ABCD  60  a   . 6  3 1 1 D  VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a 6  = C  3  3 3 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 3  Löu Tu aán Hieäp
  14. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 2.3:  Cho  hình  chóp  S.AB C  có  ta m  giác  AB C  vuông  tại  B,  AB   =  a  3  ,  B C  =  a,  cạnh  bên  SA vuô ng  góc  với  mặt  phẳng  đáy  ;  mặt  bên  (SBC)  tạo   với  mặt  đáy  (AB C)  một  gó c  0  bằng 60  .Tính  thể  tích khối  chó p S.AB C  Giả i  S  §  Sai lầm của học sinh: -  Gọi M là trung điểm BC -  Ta có AM ^  BC  SM ^  BC C  ··· Þ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA  = 60    o 6 0  A  M  B  (Hình  vẽ sai)  §  Lời giả i đúng:  *  Ta có  :  AB =  a  3  , (SBC) Ç (ABC) = BC S  AB ^ BC ( vì D ABC vu ông tại B)  SB ^  BC ( vì  AB = hc SB  ( ABC )  ··· Þ (( SBC ), ( ABC )) = ( SB , AB ) = SBA  = 60    o A * D  ABC vuông tại B có AB =  a  3  ,BC = a C  6 0  a 2 . 3  1 1 Þ  SDABC  = BA.BC = .a 3.a =    B  2  2 2 µ * D  SAB vuông tại A  có  AB=  a,  B  = 60  0  Þ  SA = AB. tan 60o  = 3a   * Th ể tích khối chóp S.ABC  1 a2. 3 a   . 3  3 1 VS . ABC = .S ABC .SA = . a .3  = 2  3 32 §  Nhậ n xét: o  -  Học sinh  không lý luận đ ể chỉ ra góc nào b ằn g 60  , do đó m ất 0.25 điểm -  Học  sinh   xác  định  góc  giữa  hai  mặt  ph ẳng  bị  sai  vì  đa  số  họ c  sinh   không  nắm  rõ  cách xác định góc và cứ  hiểu là góc SMA với M là trun g đ iểm  BC  o  Nếu  đ áy  là  tam  giác  vu ông  tại  B  (h oặc  C),  hình  vuông  và  SA  vuông  góc  với  đá y  th ì  gó c giữa mặt bên  và m ặt đáy  sẽ  là góc đượ c xác định  tại một  trong h ai  vị trí đầu mút của cạnh giao tu yến  o  Nếu  đ áy  là  một  tam  giác  cân  (đều)  và  SA  vuông  góc  với  đ áy  h oặc  là  h ình  chóp  đ ều   thì  gó c  giữa  m ặt  b ên  và  m ặt  đ áy  là  gó c  ở   tại  vị  trí  trung  đ iểm  củ a  cạnh  giao tu yến.  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 4  Löu Tu aán Hieäp
  15. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 2.4:  Cho  hình  chóp  S.AB C  có  đáy  ABC  là  tam  giác vuông   câ n  tại  A,  cạnh B C =  a  2  ,  cạnh  bên  SA  vuô ng  góc  với  mặ t  phẳng  đáy  ;  mặ t  bên  (SB C)  tạo  với  mặ t  đáy  (AB C)  0  mộ t góc bằ ng 45  .Tính thể tích khố i chóp S.AB C  Giả i  §  Sai lầm của học sinh: ·· Þ (( SBC ), ( ABC )) = SBA  = 45    o §  Lời giả i đúng:  *  Ta có  :  AB =  a  3  , (SBC) Ç (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC AM ^ BC ( vì D ABC cân  tại A)  S  SM ^  BC ( vì  AM = hc SM  ( ABC )  ··· Þ ((SBC ), ( ABC )) = (SM , AM ) = SMA  = 45o    * D  ABC vuông cân tại A có ,BC =  a 2  C  4 5  a2 A Þ  AB = BC = a và AM =  M  2  B  a 2  1 1  Þ  SDABC  = AB. AC = .a.a =    2  2 2 a   2 ¶  0  * D  SAM vuông tại A có  AM=  ,  M = 45  2  a  2  Þ  SA = AB. tan 45    =  o 2  * Th ể tích khối chóp S.ABC  1 a 2 a 2 a   . 2  3 1 VS . ABC = .S ABC .SA = . .  = 12  3 32 2 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 5  Löu Tu aán Hieäp
  16. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 2.5:  /  /  /  Cho  lăng   trụ  đứng  AB C.A B C  có   đáy  AB C  là  ta m  giác  vuông  tạ i  B ,  /  0  AB=a ,  B C  =  a  2  ,  mặt  bên  (A B C)  hợp  với  mặ t  đáy   (AB C)  một  góc  30  . Tính  thể  tích  khố i lăng trụ.  Giả i  /  /  C  A  /  * Ta có A A ^  (ABC) /  B  ( A/ BC ) Ç ( ABC ) = BC AB ^  BC  2a  /  Mà AB = hc( ABC ) A / B nên A B ^  BC · · ( ) Þ ( A / BC ), ( ABC ) = A / BA = 30 0 C  A  0  3 0  a  * Tam  giác ABC vuông tại B a  2  B  a2 2 1 Þ S ABC = AB.BC =  2 2 a3 /  * Tam  giác A AB vuôn g tại A Þ A / A = AB. tan 30 0 =  3 a3 6 * VABC . A B C = SABC . A / A = / / / 6 Baøi Toaùn 2.6:  /  /  /  Cho  lăng  trụ  AB C.A B C  có  đáy  ABC  là  tam  giá c  đều  cạnh  2a 3  ,  hình  /  chiếu  vuông  gó c  của  A  lên  mặt  phẳ ng  (ABC)  trùng  với  trọng  tâ m  của  tam  giác  ABC,  /  0  cạ nh A A hợp với mặt  đáy  (AB C) mộ t góc 30  . Tính thể  tích  khối  lăng trụ.  /  /  A  C  Giả i  * Gọi M là trun g đ iểm BC  /  B  G là trọn g tâm  củ a tam giác ABC  /  Ta có A G ^  (ABC)  GA = hc( ABC ) A / A 0  30  ( ·)) = · = 30 / / 0 A A, ( ABC A AG Þ A  C  G M  2a  3  B  3 2 ( ) = 3a 2 3 * Tam  giác ABC đều cạnh 2 a 3 Þ S ABC = 2 a 3 . 4 2 2 3 * Tam  giác A AG vu ông tại G có  µ = 300 , AG = /  A AM = .2a 3. = 2a 3 3 2 2a 3 .Vậ y VABC . A/ B/ C / = SABC . A / A = 6a3 Þ A / G = AG . tan 30 0 =  3 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 6  Löu Tu aán Hieäp
  17. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Dạng 3. TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc  tín h  thể  tích   của  một  khối  chóp  thường  học  sinh  giải  bị  nhiều   sai  só t,  Tu y  nh iên   trong  các  đ ề  th i  lại  yêu  cầu  học  sinh  tính  th ể  tích  của  một  khố i  chóp  “nhỏ”  củ a  khối  chóp đã cho. Khi đó học sinh  có th ể th ực hiện các cách sau:  +  Cách 1 :  o  Xác định đa giác đá y  o  Xác  định   đường  cao   (  phải  chứng  minh  đư ờng  cao  vuông  gới  với  m ặt  ph ẳng đá y)  o  Tính  thể tích khối chóp  theo côn g thức  +  Cách 2  o  Xác định đa giác đá y  o  Tình   các  tỷ  số  độ   dài  củ a  đ ườn g  cao  (n ếu   cùng  đ a  giác  đá y)  ho ặc  diện  tích  đá y  (nếu  cùng  đườn g  cao)  của  khố i  chóp  “nhỏ ”  và  kh ối  chóp   đ ã  cho và kết luận th ể tích kh ối cần  tìm bằng k lần th ể tích khối đ ã cho  +  Cách 3 : dùng tỷ số  thể tích  Hai  khối  chóp  S. MNK  và  S.ABC  có  chung  đỉnh  S  S  và gó c ở  đỉnh S  V  . MNK  SM SN SK  M K  S Ta có :  .  =  . n  VS . ABC  SA SB SC N  A  C  B  Cả  h ai  chương  trình  chu ẩn   và  nâng  cao  đều  có  đ ề  cập đến  tính  th ể  tích   củ a một  khối  chóp “nhỏ” liên quan đ ến  dữ  kiện của khối chóp lớn.Tu y nh iên  Chương Trình Nâng Cao  Chương Trình Chuẩn  ­  K hông  trình  bà y  kh ái  niệm  tỷ  số  thể  Có  trình b ày  kh ái n iệm  tỷ số   thể tích  của  tích  của 2 khối  chóp  2  khố i chóp  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 7  Löu Tu aán Hieäp
  18. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 3.1:  Cho hình chóp S.AB C có ta m g iác ABC đều cạnh 2a , cạnh bên  SA  vuông góc với  mặ t phẳng đáy và  SA =  a  3  .  Gọi  M, N lần lượt là trung  điểm của AB  và  AC. Tính  thể  tích khố i chóp S.AM N  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Hướng  dẫn  họ c  sinh   tính  th ể  th ể  tích  một  khối  chóp   “nhỏ”  dựa  trên   dữ  kiện  liên quan  đến khố i chóp  đã cho  §  Lời giải:  1  S Cách 1: (d ùng công thức thể tích  V =  .S .h )    3  *  Khố i chóp S.AMN có  ­Đáy là tam giác AMN  C  N  ­ Đường cao là SA  A  0  * D  AMN có Â = 60  , AM=AN = a M  B  3 a   . 3  2 1 1 AM . AN . sin 600  = .a.a.  =  Þ  SDAMN  = 4  2 2 2 * SA =  a  3  * Th ể tích khối chóp S.ABC  1 a 2 . 3  a 3  1 VS . AMN = .S AMN .SA = . .a. 3  =  4  3 34 Cách 2  : (  Dùng công thức tỷ số thể tích)  Khối chóp S.AM N và S.ABC  có  chung đỉnh A và góc ở đỉnh A  Do đó th eo công  thức tỷ số thể tích , ta có  V  . SMN  AS AM AN  1 1 1  A = . . = 1. .  = VA. SBC  AS AB AC 2 2 4  V  1  Þ  VS . AMN = VA.SMN = .  A. SBC  =  S . ABC  V 4  4 2  1 4 a  . 3  1 .a. 3  = a 3  Ta có : VS . ABC = .S ABC .SA = . 4  3 3 V  . ABC  a   3 Vậy  VS . AMN  = S = 4  4 §  Nhận xét: -  Học sinh  thư ờng lún g túng  khi  gặp th ể tích  của khối  chóp “nhỏ” hơn khối  chóp đ ã  cho  và kh i đó  xác định đa giác đá y và đườn g cao thường bị  sai. -  Trong một số bài to án  thì  việc dùng “tỷ số  thể tích “ có  nh iều  thu ận  lợi hơn.  Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 8  Löu Tu aán Hieäp
  19. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Baøi Toaùn 3.2:  Cho hình chóp S.AB C có ta m g iác ABC đều cạnh 2a , cạnh bên  SA  vuông góc với  mặ t  phẳng đáy  và   SA =  a  3  . Gọi M,  N lần  lượt  là  trung  điểm  của SB   và  SC. Tính  thể  tích khố i chóp S.AM N và A.B CNM  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Hướng  dẫn  họ c  sinh   tính  th ể  th ể  tích  một  khối  chóp   “nhỏ”  dựa  trên   dữ  kiện  liên quan  đến khố i chóp  đã cho  §  Lời giải:  ( Dùng công thức tỷ số thể tích)  S  Khối chóp S.AM N và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S  Do đó theo công thức tỷ  số  thể tích ,  ta có  V  . AMN  SA SM SN  1 1 1  S = . . = 1. .  = N  VS . ABC  SA SB SC 2 2 4  1  2  .a 3.a  3  a    3 V  Þ  VS . AMN  = S . ABC  = 3  = M  4  4 4 C  3  3a  3   Þ  VA.BCNM = .VS . ABC  = A  4  4 B  Baøi Toaùn 3.3:  Cho hình chóp  S.ABCD có đáy AB CD là  hình  vuông cạnh a, cạnh bên SA vuô ng  gó c  với  mặt  phẳng  đáy  và  SA  =  2a  .  Gọi  I  là   trung  điể m  SC.  Tính  thể  tích  khối  chóp  I.AB CD  Giả i  §  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: -  Hướng  dẫn  họ c  sinh   tính  th ể  th ể  tích  một  khối  chóp   “nhỏ”  dựa  trên   dữ  kiện  liên quan  đến khố i chóp đã cho  §  Lời giải:  Gọi O là giao đ iểm  AC và BD  S Ta có : IO // SA và SA ^  (ABCD) Þ  IO ^  (ABCD) 1  Þ  VI . ABCD =  .S ABCD .  O I 3  I  Mà :  S ABCD  = a 2  A  B  SA  IO = = a 2  a    3 1  O  D  Vậ y  VI . ABCD  = .a 2 .a =   C  3  3 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 9  Löu Tu aán Hieäp
  20. Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay Dạng 4. DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI T IẾP  KHỐI CHÓP  THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠ I TIẾP KHỐI C HÓP  Trong chươn g  trình to án  phổ  thông,  yêu cầu   xác  định   tâm , b án   kính  của  mặt  cầu  ngo ại tiếp  hình chóp và tín h d iện  tích của mặt cầu , th ể tích  củ a khối cầu đó. -  Xác định tâm I  và bán kính  của m ặt cầu n goại tiếp hinh  chóp -  Công thứ c tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu  4p R     3 S ( s )  = 4p R 2  V( s )  =   3  Baøi Toaùn 4.1:  Cho  hình  chóp  tứ  giác  đều  S.AB CD  có  cạnh  đáy   bằng  2a ,  cạ nh  bên  tạo   với  đáy  o  mộ t  góc  bằng  45  .Tính  thể  tích  khố i  chóp  S. AB CD  và  thể  tích  của  khố i  cầ u  ngoại  tiếp  khố i chóp  Giả i  §  Lời giải:  S *  S.ABCD là hình chóp tứ giác đ ều  ABCD là hình vuôn g cạnh 2 a , tâm O  SO ^  (ABCD)  OC = hc SC  ( ABC D )  ··· Þ ( SC , ( ABCD )) = ( SC , OC ) = SCO  = 45o    * Diện tích hình  vuông  ABCD A  B  Þ  AC = 2 a.  2 AC 2a  2  = a 2  Þ  OC=AO= = 45  O  D  2  2 C  2  Þ SABCD  = ( 2a )  = 4  2  a · * D  SOC  vuông tại O có  OC =  a  2 ,  SCO  = 45  o  Þ SO = OC =  a  2  * Th ể tích khối chóp S.ABCD  4a 3  2  1 1 VS . ABCD = .S ABCD .SO = .4 a 2 .a 2  =  3  3 3 * Th ể tích khối cầu  ngoại tiếp khối  chóp  Ta có OA=OB=OC= OD=OS=  a 2  Þ  m ặt  cầu (S) n go ại tiếp khố i chóp  S.ABCD có tâm  O và bán kính  R =  a  2  4p R 3 4p ( a 2 )3 8p a   . 2  3 Vậ y  V( s )  = = = 3  3 3 Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 0  Löu Tu aán Hieäp

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản