Chuyên đề thể tích

Chia sẻ: missyou0411

Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện ( thể tích khối chóp, khối lăng trụ). Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề thể tích

http://laisac.page.tl 

Chuyên Đề 


T    T       
THỂ TÍCH
Lưu Tuấn H iệp 
GV THPT Lai Vung 2

THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP – KHOÁI LAÊNG TRUÏ
Phaàn I.

Trong tröô øng phoå thoâng , Hình hoïc Khoâng gian laø m oät ba øi toa ùn raát kho ù ñoái v ôùi h oïc
sinh, do ñoù h oïc sin h phaûi ñoïc tha ät k yõ ñe à baøi va ø töø ñoù x aùc ñònh g iaû thu yeát ba øi toa ùn , veõ
hình roài tieán haønh giaûi ba øi toa ùn .
Cả hai chương trình chuẩn v aø na âng cao  đều  đề cập  đ ến theå tích cuûa kho ái ña dieän (
theå tích kh oái choùp , khoái la êng truï).

Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình choùp ñöôïc pha ân thaønh 2 daïng nhö sau:
Cho hình choùp


- Ta m g iaùc ñeàu
Hình choùp coù ca ïnh beân vuoâng goùc vôùi maët
- Hình vuoâng, ch öõ nhaät
phaúng ña ùy

S












Ña giaùc ñaùy :
- Tam gia ùc v uoâng
- Tam gia ùc caân
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Hình cho ùp ñe àu







O





- Hình ch oùp tam giaùc ñe àu
- Hình cho ùp töù gia ùc ñeàu



Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình laêng tru ï:
C1 
A 1 
C1 
A 1 


V = B.h B1 
B1 

B: dieän tích ñaùy
h : ñöô øn g cao
A  C 

A  C 
G



Laêng truï ñö ùng ABC.A1B1C1 Laêng truï xieân ABC.A1B1C1
A1A ^ (ABC) A1G ^ (ABC)

HEÄ TH OÁNG KIEÁN TH ÖÙC CÔ BAÛN 
A. Các Tính  Chấ t : 
a .  Tam g iác :
-  Diện tích  của tam giác 


*  S DABC  =  . AB. AC. sin µ 
A



*  S DABC  = .BC . AH


B  H 

-  Các tam giác đặc b iệt  : 
o  Tam g iác vuông  : 



Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1  Löu  Tuaán 
Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

+ Định lý pitago: BC 2 = AB 2 + AC 2 
+ Tỷ số lượng giác tro ng tam  giác vuông 

b
Ñoái
µ
sin B = =
Huyeàn a


c
Ke à
µ
co s B = =
Huyeàn a
µ Ñoá i = b
C  tan B =


K e à c 
+ Diện tích tam giác vuông: 

S DABC  = . AB. 
AC

o  Tam g iác câ n: 

+  Đườn g  cao   AH  cũng  là  đườn g  trung 
tu yến 
+ Tính đ ường cao  và diện tích 
µ
AH =  BH . tan B 

S DABC  = .BC. AH


B  H 



o  Tam g iác đều 
A

+ Đườn g cao  của  tam  giác đều
3
h = AM = AB.
 
2
3
( đường  cao h  = cạnh  x ) 



+ Diện tích :  S DABC  = ( AB ) 2 . 



M




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 3  Löu Tuaán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

b. Tứ g iác
-  Hình vuôn g 
+ Diện tích h ình vuông : 
A  B 
S ABCD  = ( AB)   
2


( Diện tích bằng  cạnh bình ph ương) 

+ Đườn g chéo h ình vuông

AC = BD = AB. 2
 
2  )  
( đường chéo hình  vuông bằng cạnh  x
D  C  + OA = OB = OC = OD

-  Hình chữ nhật 
+ Diện tích h ình vuông : 
A  B 
S ABCD  =  AB.  D
A
(  Diện tích  bằng dài nhân rộng) 

+ Đườn g chéo h ình chữa nhật b ằn g nhau và 
D  OA =  OB =  OC =  OD 



B . Thể Tích Khối Chóp: 
+ Th ể tích  khố i chóp




1
V = .B.h 


3



Trong đó  : B là diện tích đa giác đá y 
h : là đường cao của hình chóp 

Các khố i chóp đặc b iệt :
-  Khố i tứ d iện  đều: 
+ Tất cả các cạnh đ ều  bằng nhau 


+ Tất cả các m ặt đều  là các tam  giác đều 

+  O là trọn g tâm  củ a tam  giác đ áy 
Và  AO ^  (BCD) 




B M 
S

-  Khố i chóp  tứ g iác đều 
+ Tất cả các cạnh b ên  bằng nhau 

+ Đa giác đ áy là hình vuôn g tâm O 
A  B 
+ SO ^  (ABCD) 








Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 4  Löu Tuaán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

C. Góc: 
Cách  xác định gó c
-  Gó c giữa đường thẳ ng d và mặt p hẳng (P): 

o  Tìm hình chiếu d  của  d lên  mặ t phẳng  (P) 

o  Khi đó gó c giữa  d và (P)  là góc giữa d  và d  
/



Ví  dụ  1 :  Cho  h ình  chóp  S.ABCD  có  ABCD  là  hình  vuông,  SA  vu ông  góc  vớ i  (ABCD)  và 

góc giữa SC với (ABCD) b ằn g 45  . Hãy xác định góc đó. 

Giả i 

Ta có : AC = hc( ABCD ) SC

···
Þ (SC , ( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o
A  B 



O  4 5 





-  Gó c giữa  hai mặt phẳ ng (P) và (Q) : 
o  Xác định g iao tuyến d của  (P) và  (Q) 

o  Tìm trong  (P) đư ờng  thẳng a ^  (d ) , trong mặt phẳng  (Q) đường thẳng  b ^  (d) 

o  Khi đó gó c giữa  (P) và (Q) là góc giữa hai đ ường  thẳng  a và b 



Ví dụ  2:  Cho   hình chóp  tứ giác đều S.ABCD  có   ABCD là hình   vuông, và gó c giữa mặt  bên 

với m ặt đáy bằng 60  . Hãy xác đ ịnh  gó c đó. 

Giả i 
Gọi M là trung điểm BC 
Ta có :
(SBC) Ç (ABCD) = BC
(ABCD ) É AM ^ BC 
(SBC) É SM ^  BC 
A  ( vì  AM = hc SM )

60 
( ABCD ) 

···
Þ (( SBC ), ( ABCD )) = ( SM , AM ) = SMA  = 60   
o



C




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 5  Löu Tuaán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 1.1: 
Cho  hình  chóp  S. AB C  có  tam  giác  AB C  vuông  tại  B,  AB   =  a  2 ,  AC  =   a  3 , 
cạ nh  bên  SA  vuô ng  gó c  với  mặ t  phẳng  đáy  và  SB   =  a  3 .Tính  thể  tích  khối  chóp 
S.AB C 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng
-  Sử dụn g định lý p itago tro ng tam  giác vuông 
§  Lời giải: 
Ta có : AB = a  2 , 

AC  = a  3 
SB =  a  3 . 
* D  ABC vuông tại B n ên  BC = AC 2 - AB 2  = a
a   . 2 
2
1 1
BA.BC = .a 2 .  = 
a
Þ  SDABC  =

2 2



* D  SAB vuông tại A  có  SA = SB 2 - AB 2  = a
* Th ể tích khối chóp S.ABC 

1 a2 . 2 a   . 2 
3
1
VS . ABC = .S ABC .SA = . a
.  =

3 32

Baøi Toaùn 1.2: 
Cho  hình  chóp  S.AB C  có  ta m  giá c  AB C  vuông  câ n  tại  B,  AC  =  a  2 ,  cạnh  bên 
SA vuô ng góc với mặ t phẳng đáy và SB =  a  3 .Tính thể tích khối chóp  S.ABC 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đ ề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng
-  Tam   giác  ABC  vuôn g  ,  cân  tại  B  nên  BA  =  BC  và  sử  dụng  đ ịnh  lý   p itago 
tron g tam giác vuôn g 
§  Lời giải: 
Ta có : AC = a  2 , 
S
SB =  a  3 . 
* D  ABC vuông,  cân tại B n ên 
AC 2 
BA = BC = =a


A  a   
2
1 1 
Þ  SDABC  = BA.BC = .a.  = 
a

2 2
B  * D  SAB vuông tại A  có  SA = SB 2 - AB 2  = a
* Th ể tích khối chóp S.ABC 
1  a 2 a   
3
1
VS . ABC = .S ABC .SA = . .  =a

3 32




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 6  Löu Tuaán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 1.3: 
Cho hình chóp S.AB C có ta m g iác ABC đều cạnh 2a, cạ nh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng  đáy  và SB =  a  5 .Tính  thể tích khối chó p S.AB C 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng

-  Tam   giác  ABC  đều   có   ba  góc  bằng  60  và  sử  dụn g  định  lý   p itago  trong  tam 
giác vuông SAB 
§  Lời giải: 

* D  ABC đ ều  cạnh  2a nên 

AB  = AC  = BC = 2a
1 1 3  2 
BA.BC. sin 600 = .2a.2 a.
Þ  SDABC  = = a . 3 

2 2

* D  SAB vuông tại A  có  SA = SB 2 - AB 2  = a



* Th ể tích khối chóp S.ABC 
a   . 3 
3
1 1

VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.  =
a

3 3

Baøi Toaùn 1.4: 
·
Cho  hình  chóp  S.AB C  có   tam  g iác  ABC  cân  tạ i  A,  BC  =  2a  3 ,  BAC = 1200 ,cạnh 
 
bên  SA vuô ng góc với mặt phẳng  đáy và SA =2a.Tính  thể tích khối chó p S.AB C 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng

-  Tam  giác ABC cân tại A và Â = 120 
§  Lời giải: 

·
* D  ABC cân  tại A,  BAC = 120  ,  BC = 2a  3 


AB  = AC  = BC = 2a 

0
Xét D  AM B  vuô ng  tại  M có BM = a  3 , Â = 60 
BM a  3 
Þ  AM = 
C  =a
=

tan 60  3 
A
1 1 

Þ  SDABC  = AM .BC = .a.2a 3 = a 2 . 3 

2

* SA =  a 

* Th ể tích khối chóp S.ABC 
a 3 . 3 
1 1
VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.a =
 

3 3




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 7  Löu Tuaán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 1.5: 
Cho  hình  chó p  S.ABCD  có   đáy  AB CD  là  hìn h  vuông  cạ nh  a  2 ,  cạnh  bên  SA 
vuông góc với  mặt phẳng đáy và  SC =  a  5 .Tính thể  tích  khối  chó p S.AB CD 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ  đá y  là  h ình  vuôn g  (  vẽ  như  hình  bình  hành ),  cao  SA ^  (ABCD)  và  vẽ 
thẳng đứn g
-  ABCD là hình vuôn g ;   sử dụng định lý  pitago  tron g tam giác vuôn g 
§  Lời giải: 
Ta có : ABCD là hình vuông cạnh  a  2 

SC =  a  5 . 
*  Diện tích  ABCD

( )  = 2 a 2 
Þ SABCD  = a 2
* Ta có : AC = AB.  2 =  a 2 . 2 = 2 a
D  SAC vuôn g tại A
A  B 
Þ  SA = SC 2 - AC 2  = a

* Th ể tích khối chóp S.ABCD 

C  2     
a3
1 1
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .2a 2 .  =
a

3 3

Baøi Toaùn 1.6: 
Cho  hình  chó p  S.ABCD  có  đáy  AB CD  là  hình  vuông,  cạnh  bên  SA  vuô ng  gó c 
với mặt phẳ ng đáy và  SA = AC = a  2 . Tính thể tích khố i chóp S.AB CD 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ  đá y  là  h ình  vuôn g  (  vẽ  như  hình  bình  hành ),  cao  SA ^  (ABCD)  và  vẽ 
thẳng đứn g
-  Biết  AC  và  su y  ra  cạnh  của  hình  vuông  (Đường  chéo  hình  vuông  bằng   cạnh 
nhân với  2 ) 
§  Lời giải: 
S
Ta có : SA = AC = a  2 
*  ABCD là h ình vuông 
AC 
AC  = AB.  2 Þ  AB = = a

Diện tích ABCD :  S  BCD  = a 2 
A

* SA =  a  2 
A  B 

* Th ể tích khối chóp S.ABCD 
a   . 2 
3
1 1

VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a. 2  =


3 3



Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 8  Löu Tuaán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 1.7: 
Cho  hình  chóp  tam  giác  đều  S.ABC  có  cạnh  đáy  bằng   a  3 ,  cạ nh  bên  bằ ng 
2a.Tính thể tích khối  chó p S.AB C 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Hình chóp tam giác đều  có đá y  là tam  giác đều tâm O 
+ Gọi M  là  trung điểm  BC 
+ O là trọng tâm của  tam ABC 
+ AM là đường cao trong D  ABC
-  Đường cao của h ình  chóp  là SO (  SO ^  (ABC)) 
§  Lời giải: 

*  S.ABC là hình chóp tam giác đều 

Gọi M là trung điểm BC
D  ABC đều cạnh  a  3 , tâm  O 
SO ^  (ABC) 
SA=SB=SC =  2a 

* D  ABC đ ều  cạnh  a 3 



3 3 
Þ  AM =  a 3. 
O =


2
2 3a 
2  

Þ  AO= . AM = .  = a
3 2 
3
3 3a 2 . 3 
1 1
Þ  SDABC  = AB. AC. sin 600  = .a 3.a 3.  = 

2 2 2

* D  SAO  vuông  tại A có  SO = SA2 - AO 2  = a. 3 

* Th ể tích khối chóp S. ABC 
1 3a 2 3 a   . 3 
3
1
VS . ABC = .S ABC .SA = . a
.  =

3 3 4

§  Nhận xét: học sinh  thường làm  sai bài toán trên
-  Học sinh  vẽ “sai” h ình  chóp tam giác đều vì 
+ khôn g xác định được vị  trí điểm O 
+ khôn g h iểu  tính  ch ất củ a h ình  chóp đều là SO ^  (ABC) 
+ khôn g tính được AM và khôn g tính được AO
-  Tính  toán sai kết quả thể tích 




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 9  Löu Tuaán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 1.8: 
Cho  hình  chó p  tứ  giá c  đều  S.AB CD  có  cạ nh  đáy   bằng  2a,  cạnh  bên  bằng  a  3 
.Tính thể tích khố i chóp S.ABCD 

Giả i 

§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đ ề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Hình chóp tứ  giác đều có 
+ đ a giác đá y là h ình  vuông ABCD tâm O 
+ S O ^  (ABCD) 
+ tất cả các cạnh  bên bằn g n hau
-  Đường cao của h ình  chóp  là SO (  SO ^  (ABCD)) 

§  Lời giải: 
S
*  S.ABCD là hình chóp tứ giác đ ều 
ABCD là hình vuôn g cạnh 2 a , tâm O 
SO ^  (ABCD) 
SA=SB=SC =SD =  a  3 

* Diện tích hình  vuông  ABCD
Þ  AC = 2 a.  2
A  B  AC 2 a  2 
= a 2 
Þ  AO= =

2

Þ SABCD  = ( 2a )  = 4  2 
a




* D  SAO  vuông  tại O có  SO = SA2 - AO 2  = a

* Th ể tích khối chóp S.ABCD 
4a   
 3
1 1
VS . ABCD = .S ABCD .SA = .4a 2 .  =
a

3 3

§  Nhận xét: học sinh  thường làm  sai bài toán trên
-  Học sinh  vẽ “sai” h ình  chóp tứ  giác đều 
+ khôn g xác định được tính chất đa giác đá y là  hình  vuông 
+ khôn g SO ^  (ABCD)  mà lại  vẽ SA D  (ABCD) 
+ khôn g tính được AC và không tính  đư ợc  AO
-  Tính  toán sai kết quả thể tích 




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 0  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 1.9:  Tính thể tích của khối tứ  diện đều cạnh a 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ h ình:
-  Tứ d iện  đều ABCD có  các tính chất 
+ tất cả các cạnh đ ều  bằng nhau 
+ tất cả các m ặt là các tam  giác đ ều 
+ gọ i O là trọng tâm của tam giác đá y
-  Đường cao của h ình  chóp  là AO ( AO ^  (BCD)) 
§  Lời giải: 

*  ABCD là tứ diện đều  cạnh a 

Gọi M là trung điểm CD 
Ta có : AB=AC= AD = AC=CD=BD = a
D  BCD đều cạnh  a, tâm  O
Þ  AO ^  (BCD) 


* D  BCD đ ều  cạnh  a

a3
O  Þ  BM = 


2 a 3 a  3 
2

Þ  BO= .BM = .  = 
3 32 3

a  . 3 
Þ  SDBCD  = 
 
4
* D  AOB  vuôn g tại O có


æa 3ö a  6 2 
2 2 
AO = AB - BO = ( a )  - ç
ç3÷= 3
÷
ø 
è
* Th ể tích khối chóp S.ABC 
1 a 2 3 a 6 a   . 2 
3
1
VABCD = .S BCD . AO = . = 

3 34 3 12
Baøi Toaùn 1.10 : 
/  /  / 
Cho  lăng   trụ  đứng  AB C.A B C  có  đáy  AB C  là   ta m  giác  vuông  tại  B,   AB =a, 

AC=a 3 ,  cạnh A B  = 2a.  Tính thể tích khố i lăng trụ 
Giả i 
* Tam  giác ABC vuông tại B

/  C 


AC 2 - AB 2 = a 2
Þ  BC =



a2 2
1
Þ S ABC = AB.BC = 
2a  2 2

* Tam  giác A AB vuôn g tại A

Þ A / A = A / B 2 - AB 2 = a 3
a  3 
A  C 

a3 6

* VABC . A B C = S ABC . A / A =
/ / /
2
B



Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 1  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Dạng 2. THEÅ TÍCH KHOÁI CH OÙP- KHỐ I LĂNG TRỤ

LIEÂN QUAN ÑEÁN GOÙC
Trong chöôn g trình Toa ùn ph oå thoân g , Hình ho ïc Khoân g gian ñö ôïc pha ân ph oái ho ïc ô û
cuoái na êm lôùp 1 1 vaø ñaàu na êm lôùp 1 2, kieán thö ùc ve à goùc ( goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët
phaúng ; goùc giöõa hai ma ët phaúng) ñ öôïc hoïc va øo cuoái na êm lôùp 11 vaø ñeán ña àu na êm lôùp 12
seõ ñöôïc vaän duøng vaøo baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp , khối  lăng  trụ. Ñoù la ø moät v aán
ñeà raát khoù ñ oái vôùi hoïc sinh lôùp 12 khi vaän duïng vì ña soá ho ïc sinh que ân vaø khoâng bieát
ca ùch vaän duïng, töø ñoù ña soá hoïc sinh ñeàu boû ho aëc laøm sa i baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái

choùp , khối lăng trụ tro ng caùc kyø thi hoïc kyø, thi To át ng hieäp THPT
ÔÛ ñ aây, toâi heä thoáng laïi mo ät soá sa i laàm maø ho ïc sinh thöô øng g aëp kh i gia ûi baøi toaùn
tính theå tích lieân quan ñeán giaû thuyeát ve à goùc
Goùc



Goùc giöõa ñöôøng th aúng v aø maët phaúng
Goùc giöõa hai maët phaúng

S





A  A 

O M 



Xaùc ñònh Goùc giöõa SB vaø (ABC)
Ta coù :  AB = hc SB  Xaùc ñ ònh goùc giöõa (SBC) va ø
( ABC ) 

··· (ABC)
Þ ( SB, ( ABC )) = ( SB , AB ) = SBA 
Ta co ù : (SBC) Ç (ABC) = BC
SM ^ BC
AM ^ BC
Þ
· = ( SM , AM ) = SMA 
(( SBC ), ( ABC )) · ·
Chuù yù : Xaùc ñònh hai ñöôøng thaúng
naèm t rong hai m aët phaúng va ø
cuøng vuoâng goùc vôùi giao
tuyeán taïi moät ñieåm


Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 2  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 2.1: 
Cho  hình  chó p  S.AB C  có  tam  g iác  AB C  vuông  tại  B ,  AB  =  a ,  · = 600 ,  cạnh 
ACB  

bên  SA  vuông  gó c  với  mặt  phẳng   đáy  và  SB  tạo   với  mặ t  đáy   một  gó c  bằ ng  45  .Tính 
thể tích  khối chó p S. AB C 
Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng
-  Xác  đ ịnh   góc  giữa  SB  và  (ABC)  là   góc  giữa  SB  với  hìn h  ch iếu   của  nó  lên 
(ABC) 
§  Lời giải: 
*  Ta có  :  AB = a , 
AB = hc S B 
( ABC ) 

···
Þ ( SB, ( ABC )) = ( SB , AB ) = SBA = 45o 
 
* D  ABC vuông tại B có AB = a,  · = 60  0 
ACB
AB a a  3 
Þ  BC = = =

tan 60 3 

1 a 3 a   . 3  2
1

BA.BC = .a. 
Þ  SDABC  = = 
60  C 
4 5  6 
2 2 3
µ  = 45 0 
* D  SAB vuông tại A  có  AB=  a,  B

Þ  SA = AB. tan 45o  = a
 
* Th ể tích khối chóp S.ABC 
1 a2. 3 a 3 . 3 
1
VS . ABC = .S ABC .SA = . .a =
 
1 8 
3 36
Baøi Toaùn 2.2: 
Cho hình chóp S.ABCD có  đáy  ABCD là hình vuông  cạ nh a, cạnh bên SA 

vuô ng  góc  với  mặt  phẳng  đá y  và   SC  tạo  với  mặt  đáy  mộ t  góc  bằng  60  .Tính  thể  tích 
khố i chóp S.AB CD 
Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Vẽ tam giác đ áy, vẽ đường cao  SA ^  (ABC) và vẽ thẳn g đứng
-  Xác  định  gó c  giữa  SC  và  (ABCD)  là  gó c  giữa  SC  với  h ình  chiếu  AC  củ a  SC 
lên (ABCD) 
§  Lời giải: 
*  Ta có  :  ABCD là hình  vuông cạnh a , 
S
A C = h c S C 
( ABC D ) 

···
Þ ( SC , ( ABCD )) = ( SC , AC ) = SCA  = 60   
o


*  Diện tích hình  vuông
Þ  S  BCD  = a 2 
A
µ
* D  SAC vuông tại A  có  AC=  a  2  ,  C  = 600 
 
A  B 
Þ  SA = AC . tan 60o  = a 6 
* Th ể tích khối chóp S.ABCD 
60 
a   . 6 
3
1 1

VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a 6  =


3 3




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 3  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 2.3: 
Cho  hình  chóp  S.AB C  có  ta m  giác  AB C  vuông  tại  B,  AB   =  a  3  ,  B C  =  a,  cạnh 
bên  SA vuô ng  góc  với  mặt  phẳng  đáy  ;  mặt  bên  (SBC)  tạo   với  mặt  đáy  (AB C)  một  gó c 

bằng 60  .Tính  thể  tích khối  chó p S.AB C 

Giả i  S 
§  Sai lầm của học sinh:
-  Gọi M là trung điểm BC
-  Ta có AM ^  BC 
SM ^  BC C 
···
Þ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA  = 60   
o
6 0 



(Hình  vẽ sai) 
§  Lời giả i đúng: 
*  Ta có  :  AB =  a  3  ,
(SBC) Ç (ABC) = BC

AB ^ BC ( vì D ABC vu ông tại B) 
SB ^  BC ( vì  AB = hc SB 
( ABC ) 

···
Þ (( SBC ), ( ABC )) = ( SB , AB ) = SBA  = 60   
o



A * D  ABC vuông tại B có AB =  a  3  ,BC = a

6 0 
a 2 . 3 
1 1
Þ  SDABC  = BA.BC = .a 3.a = 
 


2 2

µ
* D  SAB vuông tại A  có  AB=  a,  B  = 60 



Þ  SA = AB. tan 60o  = 3a
 

* Th ể tích khối chóp S.ABC 
1 a2. 3 a   . 3 
3
1
VS . ABC = .S ABC .SA = . a
.3  =

3 32
§  Nhậ n xét:

-  Học sinh  không lý luận đ ể chỉ ra góc nào b ằn g 60  , do đó m ất 0.25 điểm

-  Học  sinh   xác  định  góc  giữa  hai  mặt  ph ẳng  bị  sai  vì  đa  số  họ c  sinh   không  nắm  rõ 
cách xác định góc và cứ  hiểu là góc SMA với M là trun g đ iểm  BC 

o  Nếu  đ áy  là  tam  giác  vu ông  tại  B  (h oặc  C),  hình  vuông  và  SA  vuông  góc  với 
đá y  th ì  gó c giữa mặt bên  và m ặt đáy  sẽ  là góc đượ c xác định  tại một  trong h ai 
vị trí đầu mút của cạnh giao tu yến 

o  Nếu  đ áy  là  một  tam  giác  cân  (đều)  và  SA  vuông  góc  với  đ áy  h oặc  là  h ình 
chóp  đ ều   thì  gó c  giữa  m ặt  b ên  và  m ặt  đ áy  là  gó c  ở   tại  vị  trí  trung  đ iểm  củ a 
cạnh  giao tu yến. 




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 4  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 2.4: 
Cho  hình  chóp  S.AB C  có  đáy  ABC  là  tam  giác vuông   câ n  tại  A,  cạnh B C =  a  2 
,  cạnh  bên  SA  vuô ng  góc  với  mặ t  phẳng  đáy  ;  mặ t  bên  (SB C)  tạo  với  mặ t  đáy  (AB C) 

mộ t góc bằ ng 45  .Tính thể tích khố i chóp S.AB C 

Giả i 
§  Sai lầm của học sinh:

··
Þ (( SBC ), ( ABC )) = SBA  = 45   
o



§  Lời giả i đúng: 
*  Ta có  :  AB =  a  3  ,
(SBC) Ç (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM ^ BC ( vì D ABC cân  tại A) 
S  SM ^  BC ( vì  AM = hc SM 
( ABC ) 

···
Þ ((SBC ), ( ABC )) = (SM , AM ) = SMA  = 45o 
 

* D  ABC vuông cân tại A có ,BC =  a 2 

4 5 
a2
A
Þ  AB = BC = a và AM = 



a 2 
1 1 
Þ  SDABC  = AB. AC = .a.a = 
 

2 2

a   2 ¶  0 
* D  SAM vuông tại A có  AM=  ,  M = 45 

a  2 
Þ  SA = AB. tan 45    = 
o



* Th ể tích khối chóp S.ABC 
1 a 2 a 2 a   . 2 
3
1
VS . ABC = .S ABC .SA = . .  =
12 
3 32 2




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 5  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 2.5: 
/  /  / 
Cho  lăng   trụ  đứng  AB C.A B C  có   đáy  AB C  là  ta m  giác  vuông  tạ i  B , 
/  0 
AB=a ,  B C  =  a  2  ,  mặt  bên  (A B C)  hợp  với  mặ t  đáy   (AB C)  một  góc  30  . Tính  thể  tích 
khố i lăng trụ. 

Giả i 

/  C 
A  / 
* Ta có A A ^  (ABC)


( A/ BC ) Ç ( ABC ) = BC
AB ^  BC 
2a 

Mà AB = hc( ABC ) A / B nên A B ^  BC

· ·
( )
Þ ( A / BC ), ( ABC ) = A / BA = 30 0

A  0 
3 0 
a  * Tam  giác ABC vuông tại B
a  2 

a2 2
1
Þ S ABC = AB.BC = 
2 2

a3

* Tam  giác A AB vuôn g tại A Þ A / A = AB. tan 30 0 = 
3

a3 6
* VABC . A B C = SABC . A / A =
/ / /
6

Baøi Toaùn 2.6: 
/  /  / 
Cho  lăng  trụ  AB C.A B C  có  đáy  ABC  là  tam  giá c  đều  cạnh  2a 3  ,  hình 

chiếu  vuông  gó c  của  A  lên  mặt  phẳ ng  (ABC)  trùng  với  trọng  tâ m  của  tam  giác  ABC, 
/  0 
cạ nh A A hợp với mặt  đáy  (AB C) mộ t góc 30  . Tính thể  tích  khối  lăng trụ. 
/  / 
A  C 
Giả i 
* Gọi M là trun g đ iểm BC 



G là trọn g tâm  củ a tam giác ABC 

Ta có A G ^  (ABC) 
GA = hc( ABC ) A / A

30 

( ·)) = · = 30
/ / 0
A A, ( ABC A AG
Þ
A  C 
G M 
2a  3 

3
2

( ) = 3a 2 3
* Tam  giác ABC đều cạnh 2 a 3 Þ S ABC = 2 a 3 .
4

2 2 3
* Tam  giác A AG vu ông tại G có  µ = 300 , AG =

A AM = .2a 3. = 2a
3 3 2

2a 3
.Vậ y VABC . A/ B/ C / = SABC . A / A = 6a3
Þ A / G = AG . tan 30 0 = 
3



Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 6  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Dạng 3. TỶ SỐ THỂ TÍCH

- Việc  tín h  thể  tích   của  một  khối  chóp  thường  học  sinh  giải  bị  nhiều   sai  só t,  Tu y 
nh iên   trong  các  đ ề  th i  lại  yêu  cầu  học  sinh  tính  th ể  tích  của  một  khố i  chóp  “nhỏ”  củ a  khối 
chóp đã cho. Khi đó học sinh  có th ể th ực hiện các cách sau: 

+  Cách 1 : 
o  Xác định đa giác đá y 
o  Xác  định   đường  cao   (  phải  chứng  minh  đư ờng  cao  vuông  gới  với  m ặt 
ph ẳng đá y) 
o  Tính  thể tích khối chóp  theo côn g thức 

+  Cách 2 
o  Xác định đa giác đá y 
o  Tình   các  tỷ  số  độ   dài  củ a  đ ườn g  cao  (n ếu   cùng  đ a  giác  đá y)  ho ặc  diện 
tích  đá y  (nếu  cùng  đườn g  cao)  của  khố i  chóp  “nhỏ ”  và  kh ối  chóp   đ ã 
cho và kết luận th ể tích kh ối cần  tìm bằng k lần th ể tích khối đ ã cho 
+  Cách 3 : dùng tỷ số  thể tích 
Hai  khối  chóp  S. MNK  và  S.ABC  có  chung  đỉnh  S 


và gó c ở  đỉnh S 
V  . MNK  SM SN SK 
M K  S
Ta có :  . 
=  .

VS . ABC  SA SB SC








Cả  h ai  chương  trình  chu ẩn   và  nâng  cao  đều  có  đ ề  cập đến  tính  th ể  tích   củ a một  khối 
chóp “nhỏ” liên quan đ ến  dữ  kiện của khối chóp lớn.Tu y nh iên 
Chương Trình Nâng Cao 
Chương Trình Chuẩn 
­  K hông  trình  bà y  kh ái  niệm  tỷ  số  thể  Có  trình b ày  kh ái n iệm  tỷ số   thể tích  của 
tích  của 2 khối  chóp  2  khố i chóp 




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 7  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 3.1: 
Cho hình chóp S.AB C có ta m g iác ABC đều cạnh 2a , cạnh bên  SA  vuông góc với 
mặ t phẳng đáy và  SA =  a  3  .  Gọi  M, N lần lượt là trung  điểm của AB  và  AC. Tính  thể 
tích khố i chóp S.AM N 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Hướng  dẫn  họ c  sinh   tính  th ể  th ể  tích  một  khối  chóp   “nhỏ”  dựa  trên   dữ  kiện 
liên quan  đến khố i chóp  đã cho 

§  Lời giải: 


S
Cách 1: (d ùng công thức thể tích  V =  .S .h ) 
 


*  Khố i chóp S.AMN có 
­Đáy là tam giác AMN 

N  ­ Đường cao là SA 


* D  AMN có Â = 60  , AM=AN = a


3 a   . 3 
2
1 1
AM . AN . sin 600  = .a.a.  = 
Þ  SDAMN  =

2 2 2
* SA =  a  3 

* Th ể tích khối chóp S.ABC 
1 a 2 . 3  a 3 
1
VS . AMN = .S AMN .SA = . .a. 3  = 

3 34

Cách 2  : (  Dùng công thức tỷ số thể tích) 

Khối chóp S.AM N và S.ABC  có  chung đỉnh A và góc ở đỉnh A 
Do đó th eo công  thức tỷ số thể tích , ta có 
V  . SMN  AS AM AN  1 1 1 
A
= . . = 1. .  =
VA. SBC  AS AB AC 2 2 4 


Þ  VS . AMN = VA.SMN = .  A. SBC  =  S . ABC 
V

4

1 4 a  . 3 
1
.a. 3  = a 3 
Ta có : VS . ABC = .S ABC .SA = .

3 3
V  . ABC  a   3
Vậy  VS . AMN  = S =

4

§  Nhận xét:
-  Học sinh  thư ờng lún g túng  khi  gặp th ể tích  của khối  chóp “nhỏ” hơn khối  chóp đ ã 
cho  và kh i đó  xác định đa giác đá y và đườn g cao thường bị  sai.
-  Trong một số bài to án  thì  việc dùng “tỷ số  thể tích “ có  nh iều  thu ận  lợi hơn. 




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 8  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 3.2: 
Cho hình chóp S.AB C có ta m g iác ABC đều cạnh 2a , cạnh bên  SA  vuông góc với 
mặ t  phẳng đáy  và   SA =  a  3  . Gọi M,  N lần  lượt  là  trung  điểm  của SB   và  SC. Tính  thể 
tích khố i chóp S.AM N và A.B CNM 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Hướng  dẫn  họ c  sinh   tính  th ể  th ể  tích  một  khối  chóp   “nhỏ”  dựa  trên   dữ  kiện 
liên quan  đến khố i chóp  đã cho 

§  Lời giải: 
( Dùng công thức tỷ số thể tích) 

Khối chóp S.AM N và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S 
Do đó theo công thức tỷ  số  thể tích ,  ta có 
V  . AMN  SA SM SN  1 1 1 
S
= . . = 1. .  =

VS . ABC  SA SB SC 2 2 4 
1  2 
.a 3.a  3 
a   
3

Þ  VS . AMN  = S . ABC  = 3  =


4 4


3a 
3  
Þ  VA.BCNM = .VS . ABC  =


4







Baøi Toaùn 3.3: 
Cho hình chóp  S.ABCD có đáy AB CD là  hình  vuông cạnh a, cạnh bên SA vuô ng 
gó c  với  mặt  phẳng  đáy  và  SA  =  2a  .  Gọi  I  là   trung  điể m  SC.  Tính  thể  tích  khối  chóp 
I.AB CD 

Giả i 
§  Giáo  viên  phân tích cho học sinh  hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
-  Hướng  dẫn  họ c  sinh   tính  th ể  th ể  tích  một  khối  chóp   “nhỏ”  dựa  trên   dữ  kiện 
liên quan  đến khố i chóp đã cho 

§  Lời giải: 
Gọi O là giao đ iểm  AC và BD 
S
Ta có : IO // SA và SA ^  (ABCD)
Þ  IO ^  (ABCD)

Þ  VI . ABCD =  .S ABCD .  O
I


Mà :  S ABCD  = a 2 
A  B 
SA 
IO = = a

a   
3


D  Vậ y  VI . ABCD  = .a 2 .a =
 


3


Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 1 9  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Dạng 4. DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI T IẾP  KHỐI CHÓP 
THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠ I TIẾP KHỐI C HÓP 
Trong chươn g  trình to án  phổ  thông,  yêu cầu   xác  định   tâm , b án   kính  của  mặt  cầu  ngo ại tiếp 
hình chóp và tín h d iện  tích của mặt cầu , th ể tích  củ a khối cầu đó.
-  Xác định tâm I  và bán kính  của m ặt cầu n goại tiếp hinh  chóp
-  Công thứ c tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu 
4p R   
 3
S ( s )  = 4p R 2  V( s )  =
 


Baøi Toaùn 4.1: 
Cho  hình  chóp  tứ  giác  đều  S.AB CD  có  cạnh  đáy   bằng  2a ,  cạ nh  bên  tạo   với  đáy 

mộ t  góc  bằng  45  .Tính  thể  tích  khố i  chóp  S. AB CD  và  thể  tích  của  khố i  cầ u  ngoại  tiếp 
khố i chóp 
Giả i 

§  Lời giải: 
S
*  S.ABCD là hình chóp tứ giác đ ều 
ABCD là hình vuôn g cạnh 2 a , tâm O 
SO ^  (ABCD) 
OC = hc SC 
( ABC D ) 

···
Þ ( SC , ( ABCD )) = ( SC , OC ) = SCO  = 45o 
 

* Diện tích hình  vuông  ABCD
A  B 
Þ  AC = 2 a.  2
AC 2a  2 
= a 2 
Þ  OC=AO= =
45 

D  2 
2


Þ SABCD  = ( 2a )  = 4  2 
a

·
* D  SOC  vuông tại O có  OC =  a  2 ,  SCO  = 45 





Þ SO = OC =  a  2 

* Th ể tích khối chóp S.ABCD 
4a 3  2 
1 1
VS . ABCD = .S ABCD .SO = .4 a 2 .a 2  = 

3 3
* Th ể tích khối cầu  ngoại tiếp khối  chóp 
Ta có OA=OB=OC= OD=OS=  a 2 
Þ  m ặt  cầu (S) n go ại tiếp khố i chóp  S.ABCD có tâm  O và bán kính  R =  a  2 
4p R 3 4p ( a 2 )3 8p a   . 2 
3
Vậ y  V( s )  = = =

3 3




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 0  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Baøi Toaùn 4.2: 
Cho khối chó p tứ giác đều S.AB CD có cạnh đáy  bằng a, cạnh bên 2a. 
1)  Tính  thể tích của  khối  chó p. 
2)  Xác định  tâm và bán kính mặt cầ u ngoạ i tiếp khố i chóp trên. 
3)  Tính  diện tích mặt cầu và  thể  tích  khối  cầ u ngoại  tiếp khối chó p trên. 
Giải 
















A  D 


Gọ i O là  giao đ iểm  củ a AC và BD. 
Ta có : SO ^ (ABCD) 
0 ,25 

V =  .SO.dt ( ABCD) 

0 ,25 

dt(ABCD) =  a 
2a 2 a2 7a 2 
SO 2 = S C2  ­   = 4a 2  -    = 
4 2 2  0 ,25 
a 14 
Þ  S O = 

a 3  14 
Vậ y :  V  =  0 ,25 

Dựng trục đường  tròn  ngo ại tiếp hình vuôn g ABCD
Þ  SO ^  (ABCD) 
0 ,25 
Dựng trung trực của SA
Þ  d ^  SA  tại tru ng điểm M 
Xét (SAO) có  d cắt SO tại I, ta có : 
SI = IA 
0 ,25 
IA = IB = IC = ID
Þ IS = IA =  IB = IC = ID
Þ Mặt cầu ngo ại tiếp  hình chóp S. ABCD có  tâm là I và b án kính r =  SI. 
SI SM SM.SA 
DSIM :  DS AO  Þ    =    Þ  SI = 
S O 
SA SO

2a 14  2a 14 
. Vậ y :  r  = SI = 
Þ  SI =  0 ,25 

7
224p .a 2 

S  = 4p r  = 
49 
448p a 3  14 
4
V =  p r 3  = 
0 ,25
1029 
3




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 1  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Bài Tập  V ề Thể Tích Khối Đa D iện 
Bài  1.1  Cho  hình  chóp  S .  CD  có  đ áy  ABCD  là  hình  vuông  cạnh  a, SA ^ ( ABCD ) và 
AB
SA = a .Tính thể tích khối  chóp  S .BCD  theo a. 
 

Bài 1.2  Cho  h ình  chóp  tứ  giác  đều  S.ABCD  có  cạnh  đá y  là  a;  góc  giữa  cạnh  b ên   và 
0
đá y là 60  .  Tính thể tích khối  chóp theo a ? 

Bài 1.3  Cho khố i chóp  tam  giác đều S. ABC có AB = a  , góc giữa cạn h bên  và mặt đá y 

bằng 60  . Tính th ể tích khố i chóp theo  a. 

Cho   hình  chóp   tứ  giác  đều  S.ABCD  có  đ áy  ABCD   là  h ình   vuông  cạnh  a 2 , 
Bài  1.4 
các cạnh bên b ằn g  a  3 . Tính thể tích kh ối chóp S.ABCD theo a. 

Bài  1.5  Ch o  hình  chóp   S.ABCD  có  đáy  ABCD   là  h ình  chữ  nhật  với  AB = a, AD = 2  ;
a
SA ^ ( ABCD ) . Cạnh bên SB b ằn g  a  3 . Tính thể tích  khối chóp S. ABCD theo a. 

Bài 1.6  Cho  h ình  chóp  S.ABC  có  ABC  vuông  cân  tại  B,  AC  =  2a,  SA ^ ( ABC ) ,  gó c 

giữ a SB  và mặt đá y bằng 60  . Tính  thể tích khối chóp S.ABC. 

Cho  h ình   chóp  S.ABC  có  SA  vuô ng  góc  với  m ặt  phẳng  (ABC),  đá y  ABC    là 
Bài 1.7 
tam  giác vuông tại  B,  AB = a 3, AC = 2a ,  góc  giữa  cạnh bên  SB  và  mặt đá y  (ABC) 
bằng  60   . Tính thể tích khối chóp S.ABC 
0




Bài 1.8  Cho hình   chóp  S.ABC có đ áy  ABC  là  tam giác  vuông  cân  tại C,  AB  =  2 a,  SA 

vuông  gó c  vớ i  mặt  ph ẳn g  (ABC),  cạnh  SB  tạo  với  đá y  m ột  góc  30  .  Gọi  M   là  tru ng 
điểm  SB. Tính th ể tích khố i chóp M.ABC 

Bài 1.9  Cho  khố i  chóp  SABC  có  đá y  ABC  là  tam   giác  vuông  cân  tại  A  với  BC  =  2a  , 

biết SA ^ (ABC) và  mặt  (SBC)  hợp  với  đá y  mộ t  góc  60  .  Tính  thể  tích   khố i  chóp 
SABC. 

Bài 1.10  Cho  h ình   chóp  tam  giác  đều  S.ABC,  gọ i  M,  N,  K  lần  lượ t  là  trung  đ iểm  củ a 
AB, BC, CA.  Tính  tỷ số  thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC. 
·
Cho  h ình  chóp  S.ABC  có  SB  = a  2 , AB= AC  =  a,  BAC = 60 0 ,  Hai  m ặt  bên 
Bài 1.11 
(SAB) và (SAC)  cùn g vuôn g góc vớ i (ABC). Tính thể tích kh ối chóp S. ABC. 
Cho  h ình   chóp  S. ABC  có  đá y  ABC  là  tam  giác  vuông  cân  tại  B,  AC  =  a 2  , 
Bài 1.12 
cạnh   b ên   SA  vu ông  góc  với  mặt  phẳng  (ABC).  M ặt  bên  (SBC)  hợp  với  m ặt  đá y 

(ABC) m ột góc 60  . Tính thể tích khố i chóp S.ABC 

Bài 1.13  Cho hình  chóp S.ABCD có đáy  ABCD là hình vuông  cạnh  a,  cạnh bên SA 
vuông gó c với m ặt đá y và S A=  b. Cắt kh ối chóp b ằn g m ặt phẳng (SBD) ta được hai 
khối chóp đ ỉnh S. 
a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó. 
b) Tính d iện tích xun g quanh và diện tích toàn  ph ần  củ a h ình chóp S.ABCD. 
c) Tính  thể tích của hai khối chóp S.ABC và S .ABCD.

Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 2  Löu Tu aán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Bài 1.14  Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh b ằn g a . 
a). Chứn g m inh rằn g SABCD là khối chóp  tứ giác đều . 
b). Tính thể tích của khối chóp SABCD . 
c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngo ại tiếp  SABCD . 

Bài 1.15  Cho hình chóp S.ABC , có đ áy ABC là tam  giác đ ều  cạnh 3a , tâm  O.Các cạnh 

bên SA=SB= SC và cạnh  bên SA tạo  với mặt đá y  một góc 45  . 
a). Tính thể tích của khối chóp SABC 
b). Xác định  tâm và b án  kính của mặt cầu  ngoại tiếp h ình chóp S.ABC 

Bài 1.16  Cho hình chóp S.ABC có đá y  AB C là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh b ên 
SA  vuông góc vớ i mặt phẳng đáy và S A =  2a. 

a). Tính  thể tích của khối chóp S.ABC th eo a. 
b). Xác định  tâm I và tính bán kính R của m ặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S.ABC 

Bài 1 .17  Ch o h ình chóp S.ABCD có  đá y  ABCD là hình  ch ữ nhật tâm  O, SA=SB=SC=SD 
·
. Biết AB = 3a, BC = 4a và  SAO = 450 .  Tính  thể tích khối chóp  S.ABCD th eo  a. 


Cho h ình chóp S.ABC có  đ áy  ABC là tam giác vuôn g tại B, AB = a, AC = a 3 , 
Bài 1 .18 
hai  mặt  bên  (SAB)  và  (SAC)  cùng  vuô ng  góc  với  mặt  ph ẳn g  đá y  (ABC)  và  SA  = 

a 2  . 
a). Tính  thể tích của khối chóp S.ABC 
b). Tính diện tích và  thể tích của mặt cầu  và khối  cầu n goại tiếp khố i chóp S.ABC 

Cho  lăn g trụ ABC.A B/ C  có đ áy ABC là tam giác vuôn g tại A, A A= A B= A C , 

  /  /  /  / 
Bài 1.19 
/  0 
AB = a, AC  = a  3 , cạnh A A tạo với m ặt đáy gó c 30  . Tính thể tích khối lăn g trụ. 

Bài 1 .20  Cho  tứ diện đều ABCD cạn h a.Xác định tâm  và bán kính   mặt cầu  ngoại tiếp tứ 
diện. Tính diện tích mặt cầu và Tính  thể tích khố i cầu tương ứn g. 

Bài 1.21  Cho hình chóp tứ  giác đ ều có  cạnh  a, cạnh  bên hợp  đá y góc 60  .  Xác địn h tâm 
và bán kính  m ặt cầu n goại tiếp h ình  chóp. Tính  diện tích mặt cầu  và Tính th ể tích 
khối cầu  tương ứng. 

Bài  1.22  Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có  đá y  ABC là tam  giác cân với AB=AC=a và 
·
BAC = 1200 , cạnh AA’= a. Gọi I là tru ng điểm của CC’. 
a)  Chứng m inh  rằng Tam giác AB’I  vuông  tại A.
b)  Tính  thể tích khối  lăn g trụ  ABC.A’B’C’. 

Bài  1.23  Cho  h ình  chóp  S.ABC  có  đáy  ABC  vuôn g  tại  B;  AB   =  a,  BC  =  2 a.Cạnh 
SA ^ (ABC)  và  SA  =  2a.  Gọi  M  là  trung  đ iểm   của  SC.Tính  thể  tích  khối  chóp 
S.AMB, và kho ảng cách từ S đ ến mặt ph ẳn g (AMB).



Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 3  Löu Tu aán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

MẶT TRÒN XOAY 
Phaàn II.

H ÌNH  TRỤ HÌNH  NÓN
B  S 

R l  = h2 + R 2
2

l=h l 
l  h


A B 
B'  O 
O' 
A' 



* Diện tích  xun g quanh * Diện  tích xung quanh
Sxq = 2p Rl Sxq = p Rl

* Diện tích  toàn phần * Diện  tích toàn phần
Stp = 2p Rl + 2p R 2 Stp = p Rl + p R 2

* Th ể Tích Khối trụ * Thể Tích Khối trụ
p R2h
V(T ) = p R 2 h
V( N ) =
3

Ví d ụ 2.1 : 
Cho  hình  trụ  có  bá n  kính  R  =  a,  mặt  phẳng  qua  trục  và  cắ t  hình  trụ  theo  một 

thiết  diện  có  diện  tích  bằng  6a  .  Tính  diện  tích  xung  quanh  của  hình  trụ  và  thể  tích 
của khối trụ. 
Giả i 
* Mặt p hẳng qua trục và cắt hình trụ  theo một hình  chữ nhật
6a2
Þ  S  = l.2 R = 6 a 2 Þ l  = = 3a
2R

* Diện tích xun g quanh : Sxq = 2p Rl = 2p .a.3a = 6p a2

* Th ể tích khối trụ  : V(T ) = p R 2 h = p .a2 .3a = 3p a3

Ví d ụ 2.2: 
Cho  hình  nón,mặt  phẳng   qua  trục  và  cắt  hình  nó n  tạo  ra  thiết  diện  là   ta m  giác 
đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nó n và thể tích của khối nó n. 
Giả i 
* Mặt p hẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra tam  giác đều cạnh  2a
Þ h = l  - R 2 = (2 a)2 - a2 = a 3
2
Þ l = 2 R = 2a

* Diện tích xun g quanh : Sxq = p Rl = p .a.2 a = 2p a 2

p R2h p .a 2 .a 3 p a3 3
* Th ể tích khối trụ  : V(T ) = = =
3 3 3



Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 4  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay
·
Ví d ụ 2.3:  Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a , gọi O  là tâ m của đáy, SAO = 60 0 . 
1 .Tính thể tích khối chóp S.AB CD theo a . 
2 .Tính  diện  tích  xung  quanh  của  hình  nó n  đỉnh  S,  đáy   là  đường  tròn  ngoạ i  tiếp 
hình vuông  ABCD 
Giả i 
0.25 
1 ). Vì S.ABCD đều nên  SO ^ ( ABCD ) 

Ta có : S ABCD  = a ; 
0.25 
·  = a 2 tan 600  = a 2 3 =  a  6 
DSOA vuông tại O có : SO = AO tan SAO
 

2 2 0.25 

1 1 2  a 6 a 6 
Þ VS.ABCD = SABCD .SO = a  =  (đvtt)  0.25 
3 3 2 6





A                                                               D 


B                                                                  C 
2 .Gọi l, r lần lượ t là đường  sin h,b án  kính đ áy củ a h ình nón . 
a  2
Ta có :  r = OA =  ;  0.25 

2 2 
3  2 a 2 
æa 6ö æa 2ö 0.25 
a
2 2 
l = SA = SO + AO = ç = a 2 
÷ +ç ÷= +
ç2÷ ç2÷ 2 
2
è øè ø 
a 2  0.5
a 2 = pa 2  (đvd t) 
Þ Sxq  = prl = p  
2


V í dụ 2.4:  Cho hình chóp  đều  S.ABCD có cạnh đáy  bằng a, gó c SAC bằ ng 45  . 
a )  Tính thể tích khối chóp . 
b)  Tính diện  tích xung  qua nh của mặt nón ngoạ i tiếp hình chó p S. AB CD 
Giả i 

a) Gọi O là tâm  củ a h ình vuông ABCD Þ SO ^  (ABCD).
1 2
V = B.h, B = a 2 ; h = SO = OA. tan 450 = a .
3 2
a3 2
Þ V =  (đvtt) 
6
b) Ta có R =OA, l =SA=  a. 
a2 2
a2
Vậ y S xq = p . a =p
2 2

Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 5  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Ví d ụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giá c đều ABC.A’B’C’ có tất cả cá c cạnh đều bằ ng a . 
a )  Tính thể tích khối lă ng trụ AB C.A’B ’C’. 
b )  Tính diện  tích của mặt  trụ tròn xoay ngoạ i tiếp hình trụ 

a) Ta có V = B.h , 
trong đó  B là diện tích  đáy của lăn g trụ, h là chiều  cao lăng trụ . 
a2 3
Vì tam  giác  ABC đều, có cạnh  bằng a nên B = S ABC = . 
4
a3 3
h = AA’ = a Þ V = (đ vtt) 
4
b)  Diện tích xung quanh  mặt trụ được tính theo công thứ c S xq = 2p . R.l 
R  là bán kính  đường  tròn ngo ại tiếp DABC
2a3 a3
, l =AA’ =a 
Þ R = . =
32 3
a2 3
a3
Vậ y diện tích  cần tìm là S xq = 2p . (đ vd t)
.a = 2p
3 3

Ví d ụ 2.6:  Một hình nó n có đường sinh bằng 2a và  thiết diện qua trục là tam giá c vuông. 
a )  Tính diện  tích  xung  qua nh và diện tích toàn phần của hình nón 
b)  Tính thể tích của khối nón 
Giải 
Ù  Ù  S 
0
a) Thiết d iện qu a trụ c là tam giác SAB vuông cân tại S n ên A = B = 45 
l
=a 2
Þ  SO = OA = h=R=
2
l =2 a
Þ  Sxq  = pRl = p.a 2 .2a = 2 2pa



Þ  Stp  =  Sxq  + Sđáy  = 2 2p a2 + 2p a2 = (2 2 + 2)p a2

45 
2 2  a3 
1 1 p A  B 
b) V =  pR 2 h = .p2a 2 .a 2  = O 
3 3 3
Ví d ụ 2.7:  Cho hình chóp  S.ABCD có đáy ABCD là hình vuô ng cạnh a, SA = a và SA 
vuô ng góc với đáy. Gọi I là  trung điểm  SC 
a)  Tính  thể  tích  khối  chó p I.AB CD 
b)  Tính  thể  tích  khối  nón  ngoại tiếp khối chóp I. AB CD ( khối nón  có đỉnh I và đáy 
là  hình tròn ngoạ i tiếp h ình  vuông  ABCD) 
SA a
S
a ). Ta có  IO ^  (ABCD) và IO = = 
2 2
a 3 

Th ể tích  V I . AB C D = S A BC D .  O  = 
I
3 6


b). Ta có  khối n ón có h =  IO =
A  B 
2
AC a 2
Bán kính  hình tròn đ áy R = OA = = 

2 2


2 3
1 a a pa
1
= p R 2 h = .p . . =
Vậ y V( N )
3 3 2 2 12

Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 6  Löu Tu aán Hieäp
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

Bài Tập  V ề Mặt Tròn Xoay 

Bài  2.1  Một  hình  trụ  có  khoảng  cách   hai  đáy  bằng  7a  .Cắt  khối  trụ   bởi  một 
mặt  ph ẳn g  son g  son g  vớ i  trục  và  cách   trục  một  đo ạn  d   =  3a    th eo  một 

thiết  d iện   có  diện  tích  S=56a  .Tính diện  tích   xun g  quanh  của  hình  trụ 
và thể tích  củ a khối  trụ. 

Bài  2.2  Thiết  d iện  qua  trục  củ a  một  hình  nón  là  mộ t  tam   giác  vuông  cân  có   cạnh  hu yền 
bằng a. Tính  thể tích khối nón và d iện tích xung qu anh  của hình nón đă  cho. 

Bài  2.3  Cho   h ình   nón   tròn  xoay  có  đường  cao   h=a,  bán  kính  đ áy  r= 1,5a.  Tính  diện  tích 
xung quanh  củ a hình nó n và thể tích khối nón đã cho th eo a. 

Bài  2.4 Cho  tam  giác  ABC  vu ông  cân  tại  A,có   BC= 20  2  (cm).   Hình  nón  tṛòn  xo ay  khi 
qu ay  đ ườn g  gấp  khú c  CBA  xung  quanh  trục  là  đ ường  thẳng  chứa  cạnh  AB.  Tính 
Diện  tích xung quanh của hình nón  và Thể tích của khối nón. 

Bài 2.5  Cho hình lập phư ơng  ABCD. A' B'C ' D '  có cạnh a . Gọ i O là tâm  hình vuôn g ABCD 
a). Tính  thể tích của hình chóp  O. A' B 'C ' 
b).  Tính  d iện  tích  xun g  qu anh  và  thể  tích  khối  nón  có  đ ỉnh  là  O  và  đáy  là  h ình  tṛòn 
nội tiếp hình vuông  A' B'C ' D ' 

Bài  2.6.  Ch o hình  chóp  tứ  giác  S.ABCD  có  đ áy  ABCD  là  h ình  vuôn g  cạnh  a  có   SA  vuông 
gó c với đ áy và SA = AC. 
a). Tính  thể tích khối chóp  S.ABCD. 
b).  Kh i qu ay tam giác SAB quanh  trục SA tạo ra hình nón.  Tính  diện tích xun g quanh 
và thể tích  của khối nón. 

Bài  2.7.  Ch o hình  chóp  tứ  giác  S.ABCD  có  đ áy  ABCD  là  h ình  vuôn g  cạnh  a  có   SA  vuông 
gó c với đ áy cạnh  SB = a 3 . 
a). Tính  thể tích khối chóp  S.ABCD. 
b). Xác định  tâm và b án  kính của mặt cầu ngoại tiếp h ình chóp  S.ABCD. 

Bài 2.8.  Cho h ình  chóp tam  giác đ ều  S.ABC có  cạnh  đá y b ằng a, cạnh  bên b ằn g 2a. Gọi  I là 
trun g đ iểm  của  BC. 
a). Tính  thể tích khối chóp  S.ABC  và S.ABI theo a. 
b). Một h ình  nón có đ ỉnh trùng vớ i đỉn h của hình chóp và đ áy là hình tròn ngoại tiếp 
đ a giác đ áy củ a hình  chóp. Tính diện  tích xung  quanh củ a hình  nón và th ể tích 
khố i nón. 

Bài 2.9  Cho hình   chóp   S.ABC  có  đáy  là  tam   giác  vuông  tại  B, SA  vuông  góc  vớ i đá y. 
Biết AB=a,  BC = a 3 , SA=3 a. 
a). Tính  thể tích khối chóp  S.ABC. 
b). Xác định  tâm và b án  kính của mặt cầu  ngoại tiếp khối chóp S.ABC. 

Bài 2.10  Cho hình  chóp S.ABC có đá y là tam  giác vuông tại B,  SA vuông góc vớ i đá y. 
Biết SA= AB=BC=a. 
a). Tính  thể tích khối chóp  S.ABC. 
b). Xác định  tâm và b án  kính của mặt cầu  ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 7  Löu Tu aán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay


MỘT SỐ ĐỀ THI LIÊN Q UAN ĐẾN TH Ể TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 

1. Đề Thi Họ c Kỳ 1­ Nă m học 2008­2009 (1,0  điểm) 
Cho khối chóp tam giác đều S. AB C có cạnh đáy  bằng 2a, góc giữa  mặt bên  và 

S
Gọi O là tâm của đáy và M là tru ng điểm của BC 

Do S.ABC là hình chóp  tam giác đều  nên:
0,25 
ï SO ^ ( ABC )
ì
í · 0
ï  ( (SBC ); ( ABC )) = SMO = 60
îg


2 a 


6 0 
O  2a 

2 a 
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2 a nên:
0,25 
( 2 a )2 3 3 a 3 B 
= a2 3 và OM = 2 a
SDABC = = 
4 6 3
0,25 
a3
Xét tam giác vuô ng SMO: SO = OM . t an60 0 = . 3 = a
3
0,25 
a3 3
1 1
Vậ y V = SDABC .SO = a 2 3 .a = 
3 3 3

mặt đáy bằng 60 0 . Tính  thể tích của  khố i chóp S.AB C theo a . 

2. Đề Thi Họ c Kỳ 1­ Nă m học 2009­2010 (2,0  điểm) 




3a 3 2a 3
Đá p số : V = , R = 
4 3




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 8  Löu Tu aán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay


3. Đề Thi Diễn Tậ p TN 2009. (1,0 điểm) 

Cho  hình  chóp  S. AB C  có  SA  vuô ng  góc  với  mặ t  phẳng  (AB C),  đáy  AB C    là 
ta m  giá c  vuô ng  tại  B ,  AB = a 3, AC = 2a ,  góc  g iữa  mặt  bên  (SB C)  và  mặt  đáy 

(AB C)  bằng  60  .  Gọi  M   là   trung  điể m  của  AC.  Tính  thể  tích  khối  chó p  S.B CM   và 
khoả ng cách từ điểm M  đến mặ t phẳ ng (SBC). 

Giả i 
Tính thể tích khố i chó p S.BCM và kho ảng cách từ đ iểm M đến mặt phẳng (SBC). 1.0

ìS A ^ (ABC) 
ï
Do ï Þ BC ^ SB Þ S BA = éë·ùû = 60  
· (S B C ) ; ( A B C ) 0
í 0.25
ïBC ^ A B
ï 
ï
î S 




Xét tam giác vuô ng SAB và SBC ta có : 
ì
ï
ï
ï
ïS A = A B. t an600  = a 3 . 3 = 3a 
ï
ï
ï A 
ïS B = S A 2 + AB2  = 2a 3  C 
ï M
ï
ï
ï
ïBC = A C2 - A B2  = a 
í
ï
ï
ï B 

ï
ïd t(DMB C) = 1 dt(DABC) = 1 AB.BC = a 3 
ï 0.25
ï 2 4 4 
ï
ï
ï
ïd t(DS BC) = 1 S B.BC = a 2  3 
ï
ï 2
î
Suy ra:
1 a2 3 a 3  3 
1
VS.BCM  = dt(DMBC).SA = . .3a = 0.25
3 34 4 

a 3 

3VS.BCM  3a 
= 2  4  =
d(M, (SBC)) = 0.25 
dt(DSBC) a3 4

4. Đề Thi Diễn Tậ p TN 2010. (1,0 điểm) 




a3 3
Đáp số  : V =
36




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 2 9  Löu Tu aán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

5. Đề thi TN 2009 
Ch o  hình  chóp   S.ABC  có  m ặt  b ên   SBC  là  tam  giác  đều  cạnh  a,  cạnh  b ên   SA  vuông 
·
góc với mặt ph ẳn g đ áy. Biết  BAC = 120 0 , tính th ể tích củ a khố i chóp  S.ABC theo a. 




6. Đề thi TN 2010 
Cho h ình  chóp  S.ABCD có đ áy ABCD là hình vuôn g cạnh a, cạnh bên SA  vuông 

góc với mặt ph ẳn g đá y, góc  giữa m ặt phẳng  (SBD)  và  mặt phẳng đá y b ằn g 60  .  Tính  th ể 
tích khố i chóp S.ABCD theo a




Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 3 0  Löu Tu aán Hieäp 
Toaùn 12  Theå Tích Kho ái Ña Dieän – Maët Troø n Xo ay

PH Ụ LỤC ĐÁP SỐ
9a 3
Phần I Ph ần  II 
1.15. , R = OA = a 3
4
a3 Sxq = 70p a 2 , V = 175p a 3
2.1.
1.1.
a3 . 3
3
1.16. a). V= p .  3 
a
6 2.2.  V=  ; 
3
a 6 24 
1.2.
6 2a 3
b). R = p .   2 .  2 
a
3 S xq = 
a3 3 4 
1.3. 1.17. 10a 3
12
3p a 2 13 p 3 
3  a 
2.3.  S xq  = , V = 
3
a a5
2a 3 2 4 
4
1.18. V= ,R=
1.4. 3 2
3
3a 3
2a3 2 1.19. V = 8000 
1.5. S = 400 2p ,V= 
2.4.  p 
2
3 3
3p .  2 
a  6   a
a3 6 p a 2  5  p a 3 
1.20.  R=  ,S=  . 
1.6. 2.5.  S  q =  ,V N ) = 
4  2  x (
3 4  12 

p . 
a 6  3 
a3 3
1.7. a  2 
V=  2.6.  V  = 
8  3
3
2a 3
1.8. 8p .  2 
 a
a 6  3 
a  2 
1.21. R=  ,S=  2.7. 
9 V  = 

3  3
a3 3 a    11 
3
1.9. 8p .  3  6  1
 a 2.8.  VS . ABI = VS . ABC  = 
V= 
3 24 
2
27 
1 3 
a  3  a  13 
1.10. a 3  3  2.9.  , R = 
VS . AB C  = 
1.22.  V= 
4 2  2

a3 3 a   
3
2.10.  VS . ABC  =
a 3 
1.11. a
1.23.  V=  , h =  6 
12
3  2 
a3 3
1.12.
6

( ) 
1.13. S xq  = a  b + a 2  + b 2 

( a  + b  ) 
2  2 
S tq  = a  a + b +

V . ABC  =  a 2 b 
S


V . ABCD  = a 2 b 
S

a3 2
1.14. b).V =
6

AC a 2
c). R =
2 2


Taøi lie äu lö u h aønh noäi bo ä 3 1  Löu Tu aán Hieäp 
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản