Chuyên đề tích phân

Chia sẻ: vananhnguyen1988

Tài liệu trình bày về các phương pháp tính tích phân trong phần toán lượng giác. Tài liệu ôn tập hay và bổ ích dành cho học sinh hệ THPT ôn thi tốt nghiệp và đại học - cao đẳng tham khảo ôn tập để củng cố kiến thức.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề tích phân

CHUYÊN ð TÍCH PHÂN

B ng công th c tích phân b t ñ nh :

∫ 0dx = C ∫ dx = x + C
x n +1 1
∫ x dx = ∫ x dx = ln x + C
+C n ≠ −1
n

n +1
ax
∫ e dx = e + C ∫ a dx =
x
x x
C
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C
1 1
∫ cos ∫ sin
dx = tan x + C dx = − cot x + C
2 2
x x
u′( x) x−a
1 1
∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
x2 a
∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C
2 2




Phương pháp bi n s ph :

Cho hàm s f ( x) liên t c trên ño n [a; b] có nguyên hàm là F ( x) .
Gi s u ( x) là hàm s có ñ o hàm và liên t c trên ño n [α , β ] và có mi n giá tr là [a; b]
thì ta có :
∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C
BÀI T P

Tính các tích phân sau :
1 1 e
1 + ln x dx
e x dx
xdx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫
x2 + 1 ex − 1 x
0 0 1




Bài làm :
dt
a) ð t t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
2
x = 0 → t = 1
ð ic n: 
x = 1 → t = 2
2
2 2
xdx 1 dt 1 1
V y : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2
1 x +1 21 t 2 2
1

b) ð t t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx


Trang 1
Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
x = 1 → t = e − 1
ð ic n: 
x = 2 → t = e − 1
2

e 2 −1
e2 −1
1
e x dx dt
V y : I2 = ∫ x = ∫ = ln t = ln(e + 1)
e −1 t
e −1 e−1
0

1
c) ð t t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx
x
x = 1 → t = 1
ð ic n: 
x = e → t = 2

32
1 + ln x dx
e 2
2 2
I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1)
x 313
1 1




Tích phân lư ng giác :
β
D ng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx
α

Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng .
β
D ng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx
α

Cách làm :
N u m, n ch n . ð t t = tan x
N u m ch n n l . ð t t = sin x (trư ng h p còn l i thì ngư c l i)
β
dx
D ng 3 : I = ∫
a. sin x + b. cos x + c
α

Cách làm :
 2t
sin x =

ð t : t = tan ⇒  1+ t2
x

cos x = 1 − t
2
2
 1+ t2

β
a. sin x + b. cos x
D ng 4 : I = ∫ .dx
c. sin x + d . cos x
α

Cách làm :
a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x)
= A+
ð t:
c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x
Sau ñó dùng ñ ng nh t th c .
β
a. sin x + b. cos x + m
D ng 5: I = ∫ .dx
c. sin x + d . cos x + n
α

Cách làm :


Trang 2
Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C
= A+ +
ð t:
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n
Sau ñó dùng ñ ng nh t th c.

BÀI T P

Tính tích phân :
π
π π
2
2 4
cos xdx
a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx
(sin x + 1) 4
0 0 0


Bài làm :

a) ð t : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 1
ð ic n:  π

x = 2 → t = 2

π
2
2
2
cos xdx dt 1 7
V y : I1 = ∫ =∫ 4 =− 3 =
0 (sin x + 1)
4
24
1t 3t 1

b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π

x = 2 → t = 1

π
1 1
( ) ( )
2
2
I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt
V y: 0 0 0
1
 t5 2 
1
8
= ∫ − t3 + t =
5 3 
 0 15
0

c) ð t : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π

x = 4 → t = 1

π
1 1
t 6 dt  1
4
I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 = ∫ t 4 − t 2 +1− 2
6
dt
0 t +1 t + 1
0
0
V y: π
1
13 π
 t5 t3  4
=  − + t  − ∫ du = −
5 3  15 4
 0 0




Trang 3
Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
Tính các tích phân sau :
π
π
3
2
sin x. cos x cos x
a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫
dx dx
2 + cos 2 x
a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x
0 0




Bài làm :
a) ð t : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx
x = 0 → t = a 2
ð ic n:  π

x = → t = b
2

 2
N u a≠b
π
b2
2
sin x. cos x 1 dt
I1 = ∫
)∫
dx =
(
2 b − a2
2
a 2 . sin x + b 2 . cos x t
V y: a2
0
b2
a−b
1 1
=2 = =
t
a+b
b − a2 b −a 2 2
a2

N u a=b
π π
2 2
sin x. cos x sin x. cos xdx
I1 = ∫ dx = ∫
a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x a
0 0
V y: π π
2 2
1 1 1

= sin 2 xdx = − cos 2 x =
2a 0 4a 2a
0

b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π
 3
x = → t =
 3 2
π 3 3
3 2 2
cos x dt 1 dt
V y : I2 = ∫ ∫ ∫
dx = =
2 + cos 2 x 3 − 2t 2 2 32
−t
0 0 0

2
3 3
ð t: t= cos u ⇒ dt = − sin udu
2 2
π

t = 0 → u = 2
ð ic n:  
t = 3 → u = π

 2 4



Trang 4
Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
3
π
3
sin udu
2 2
1 dt 1 2
∫ ∫
I2 = =
( )
2 32 2 3
π
−t 1 − cos 2 u
0
4
2 2
V y: π
π 2
π
4
1 1
∫ du =
= =
u
2π 2 42
π
4
4




Tính các tích phân sau :
π π

sin x + 7 cos x + 6
2 2
1
a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫
dx dx
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
0 0




Bài làm :
 x
x 2dt
a) ð t : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2
t +1
 2
2
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π 
x = 2 → t = 1

2
1 1
1+ t2 dt
I1 = ∫ dt = ∫
0 (t + 1)
1− t 2 2
2t
+3 +5
0
4
V y: 1+ t2 1+ t2
1
1 1
=− =
t+2 0 6

sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C
= A+ B +
b)ð t :
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: A = 1 , B = 1 , C = 1
π π

sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x
 
2 2
1
I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 
0
V y: 0
π
π
= (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln +
91
2 86


B n ñ c t làm :
π π π
3
2 2 2
cos x dx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫
dx
0 sin x + 2
sin 2x
π 0
6


Trang 5
Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
π π π

sin x − cos x + 1
4 sin 3 x
2 2 2
1
c) I 3 = ∫ d) I 5 = ∫ dx d) I 6 = ∫
dx dx
0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3




Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h u t

dx 1 1
+ C v i (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có :
D ng 1 : I = ∫ =− .
(x − a ) n − 1 ( x − a )n−1
n


dx
N u n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C
x−a
α , β , a, b, c ∈ R
αx + β
D ng 2 : I = ∫ 2 dx trong ñó : 
( )
n
∆ = b − 4ac < 0
2
ax + bx + c
* Giai ño n 1 : α ≠ 0 ,làm xu t hi n t th c ñ o hàm c a tam th c ax 2 + bx + c ,
sai khác m t s :
2 aβ
2ax + b + −b
α α α  2 aβ
2ax + b 
α dx
2a ∫ (ax 2a ∫ (ax
− b ∫
I= dx = dx + 
) )  (ax + bx + c )
2a  α
n n n
+ bx + c + bx + c
2 2 2


* Giai ño n 2 :
n
 4a  − ∆
dx dt
Tính I = ∫ ∫ +b 1 + t 2
n dx =  .
( ) ( )
 − ∆  2a 2 ax
n
ax + bx + c
2
t=
−∆

* Giai ño n 3 :
1
Tính I = ∫ dt có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t t = tan φ
(t ) n
+1
2


Pm ( x )
D ng 3 : I = ∫ dx
Qn ( x )
Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0
=
Ta có :
Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0
Pm ( x ) R (x )
N u : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta th c hi n phép chia = A(m − n ) ( x ) + r trong ñó
Qn ( x ) Qn ( x )
Rr ( x )
có deg(R ) < deg(Q )
phân s
Qn ( x )
N u : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui t c sau :
Pm ( x )
A1 An −1 An
=
+ ...... + +
*Qt 1:
(x − a ) (x − a ) (x − a ) (x − a )n
n −1
n


Pm ( x ) n
Ai
=∑
Vd 1a : n
(x − ai )i
∏ (x − ai ) i=1
i

i =1

Pm ( x ) A B C D
= + + +
Vd 1b :
x − a x − b x − c ( x − c )2
( x − a )( x − b)( x − c) 2



Trang 6
Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn
=
+ ...... + + v i ∆

Top Download

Xem thêm »

Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản