Chuyên đề: tích phân hàm lượng giác

Chia sẻ: anhkhoa_lpt

Bài viết này sẽ giới thiệu chuyên đề tích phân ôn thi Đại học 2011 của thầy giáo Nguyễn Thành Long - Bỉm Sơn, Thanh Hóa (email: loinguyen1310@gmail.com, gửi đăng trên mathvn.com). Chuyên đề Tích phân hàm lượng giác gồm 72 trang, trình bày các dạng Toán thường gặp, phương pháp giải, bài tập mẫu (có lời giải),... Học sinh 12 và giáo viên Toán THPT có thể dùng để luyện thi ĐH năm 2011.

Nội dung Text: Chuyên đề: tích phân hàm lượng giác

www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC


Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x  .sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx




Bài tập giải mẫu:


2
2
Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx
0

Giải:
Cách 1: Ta có:
  
2 2 2
2
I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2cos x  cos 2 x  dx    cos x  2cos 2 x  cos 3 x  .sin xdx
0 0 0

Đặt t  cos x  dt   sin xdx
x  0
t  1

Đổi cận   
t  0
x  2

Khi đó
0 1
 t 2 2t 3 t 4  1 17
I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt    
2 3 4  0 12
1 0

Cách 2:
  
2 2 2
2
I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos 2 x  dx     cos x  2 cos 2 x  cos3 x  .d  cos x 
0 0 0


 cos 2 x 2 cos 3 x cos 4 x 17
    2
2 3 4  0 12
Cách 3:
sin xdx   dt
Đặt t  1  cos x   … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất)
cos x  t  1
Cách 4:
du   sin xdx
u  cos x
  3
Đặt   1  cos x 
2 2
dv  sin x 1  cos x  dx   1  cos x  d 1  cos x  v  


 3
Khi đó


www.MATHVN.com 1
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 

12 2 12
1 3 3 3
I   cos x. 1  cos x  2   sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x 
3 30 3 30
0

21 17
4
  1  cos x  2 
3 12 12
0

2
dx
Bài 2: Tính tích phân sau I  
sin x

3

Giải:
Cách 1:
Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được
  
2 2 2
dx sin xdx sin xdx
I  sin x   
sin x  1  cos 2 x
2
 
3 3 3

Đặt t  cos x  dt   sin xdx


t  0
x  2
 
Đổi cận   1
x   t  2

 3

Khi đó
1 1 1 1
0 2 2 2 2
 dt dt 11 1 1 dt 1 dt
I     dt   2  t  1  2  t  1
2 2
2 0 1 t 1 t 
1 1 t 0 1 t 0 0
2

1
1 1
   ln t  1  ln t  1  2  ln 3
2 2
0
Cách 2:
x 1 x 2dt 1 1 2tdt 1
Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx  dx  2  dx   dt
.
2t 1  t 2 t
t 1
2 2 2 sin x
1 t2

 
x 3
 3  t 

Đổi cận   3
x   t  1


 2




www.MATHVN.com 2
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

1
1
2
1 1 31
 t dt   ln t 
Khi đó I   dx  3   ln  ln 3.
 sin x 3 2
3
3
3 3
Cách 3:
x 

   
d  tan 
2 2 2 2
dx dx dx x2 1
2

I  dx     ln tan  ln 3
x
x x x x 2 2
 sin x 2
  
2 sin cos 2 tan cos tan
2 2 2 23 2
3 3 3
3
Cách 4:
   

1 1  cos x   1  cos x 
2 2 2 2
dx sin xdx sin xdx
d  cos x 
I  sin x     
2 2
2  1  cos x  1  cos x 
sin x  1  cos x
 
3 3 3 3
  
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1

  1  cos x  1  cos x  d  cos x    2  1  cos x d 1  cos x   2  1  cos x d 1  cos x 

2 
3 3 3

 
1 1 1
  ln 1  cos x 2  ln 1  cos x 2  ln 3
2 2
2
3 3
Cách 5:
u  sin x
du  cos xdx

dx  
Đặt  …. Bạn đọc tự giải nhé
v   cot x
dv  sin 2 x


2
sin 2 x  sin x
Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   dx
1  3cos x
0

Giải:
Cách 1:
Ta có: sin 2 x  sin x  sin x  2 cos x  1 .
3 sin x sin x 2dt
Đặt t  1  3cos x ta được dt  dx  dx   ;
3
2 1  3cos x 1  3cos x
2 2
t 1 2t  1
cos x   2 cos x  1 
3 3
x  0
t  2

Đổi cận   
t  1
x  2

Khi đó




www.MATHVN.com 3
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2
 4t 2 2  2  2 34
4
  dt   t 3  t  
I  
9 9  27 9  1 27
1

Cách 2: Đặt t  1  3cos x … bạn đọc tự giải
Cách 3:
u  2 cos x  1 du  2 sin x
 
d 1  3cos x   
Đặt  2
sin x
dv  dx   v   3 1  3cos x

1  3cos x 3 1  3cos x

Khi đó
 

42 2 42
2
I    2 cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x 
3 30 3 90
0

28 34
3
1  3cos x 
 2
3 27 27
0
Cách 4:
Phân tích
2 1
1 3
1  3cos x  
sin 2 x  sin x 1 2 cos x  1 3 d 1  3cos x  
d 1  3cos x    .
dx   .
3 1  3cos x 3
1  3cos x 1  3cos x
2 1
  1  3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x 
9 9 1  3cos x
… Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé
Chú ý:
Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta
lựa chọn cách nào là phù hợp nhất
 
a. sin 2 x  b sin x a. sin 2 x  bcosx
dx ta đặt c  d cos x  t .
Tổng quát:  dx hoặc 
c  d cos x c  d s inx



2
sin 2 x.cos x
Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   dx
1  cos x
0

Giải:
Cách 1:
 

sin x.cos 2 x
2 2
sin 2 x.cos x
Ta có I   dx  2  dx
1  cos x 1  cos x
0 0

dt   sin xdx
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1




www.MATHVN.com 4
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


t  1
x 
Đổi cận  2 
t  2
x  0

Khi đó
2
 t  1
1 2
 t2 2
1

I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t   2 ln 2  1
t t 2 1
1
2

Cách 2:
  
1  cos 2 x   1
2
2 2 2
sin 2 x.cos x sin x.cos x
dx  2    d cos x
 
I dx  2 
1  cos x 1  cos x 1  cos x
0 0 0


cos 2 x
2
 
1
 
 d  cos x    sin x 
 2  1  cos x   ln 1  cos x  2  2ln 2  1
1  cos x  2
  0
0


Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x

a sin 2 x.cos x
dx ta đặt t  b  c. cos x hoặc t  cos x
Tổng quát: I  
b  c.cos x



4sin 3 x
2
Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   dx
1  cos x
0

Giải:
4 sin 3 x 1  cos x  4 sin 3 x 1  cos x 
4sin 3 x
Ta có    4 sin x  4 sin x cos x  4 sin x  2 sin 2 x
1  cos x 1  cos x  1  cos x  sin 2 x
Cách 1:
 

3
2 2
4sin x
  4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4cos x  2  2
Khi đó I  I   dx 
1  cos x
0
0 0

Cách 2:
 
 
 
3 2 2
4sin x 2
 4sin x  4sin x cos x dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x   4cos x 2  2cos x 2  2
I dx  
2 2
1  cos x
0 0
0 0
0 0

Cách 3:
 
4 1  cos 2 x  sin x
3
2 2
4sin x
I dx   dx
1  cos x 1  cos x
0 0

 dt  sin xdx
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1




www.MATHVN.com 5
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


t  1
x 
Đổi cận  2 
t  2
x  0

2
1 4 1   t  1  2
2
Khi đó I     
dt    4t  8  dt   2t 2  8t   2
1
t
2 1
Chú ý: Có thể đặt t  cos x
Cách 4:
 dt
dx 

x 2t

Đặt t  tan  sin x 
1 t2
2 
1  t2

cos x 

1 t2

Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau
4sin 3 x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )
  4sin x  2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám
1  cos x 1  cos x
phá nhé!


4 cos3 x
2
Tương tự I   dx  2
1  sin x
0

12
Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 4 xdx
0

Giải:
Cách 1:
 
12 12
sin 4 x
 tan 4 xdx   cos 4 x dx
Ta có:
0 0

dt
Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx  
4
x  0 t  1
 
Đổi cận    1
 x  12 t  2
 
  1
1
1
12 12 2
sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1
Khi đó I   tan 4 xdx   dx       ln t 1  ln 2.
cos 4 x 41 t 41 t 4 4
0 0
2
2

Cách 2:




www.MATHVN.com 6
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
  

1 12 d  cos 4 x 
12 12
sin 4 x 1 1
I  tan 4 xdx   dx      ln cos 4 x 12  ln 2
cos 4 x 4 0 cos 4 x 4 4
0
0 0



cos 3 x
2
Bài 6: Tính t ích phân sau I   dx
 1  sin x
4

Giải:
   
1  sin x  cos xdx 
2
3 2
2 2 2 2
cos x cos x
 1  sin x  cos xdx
I dx   cos xdx  
 1  sin x  1  sin x  1  sin x 
4 4 4 4

Đến đây ta đặt t  1  sin x
Hoặc

  
2 2 2
3 2 2
1 1
 
I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin 2 xdx   sin x  sin 2 x  2 

2 4 4

 
4 4 4
4

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2
3
3sin x  4 cos x
Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   dx   ln 3
2 2
6
0 3sin x  4 cos x

HD:
 
2 2
sin x cos x
Tách làm hai tích phân I  3 dx  4  dx kết hợp với công thức
2 2
3sin x  4 cos 2 x
2
3sin x  4cos x
0 0

sin 2 x  cos2 x  1 ta sẽ được kết quả

2
3cos x  4sin x
Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J   dx
2 2
0 3sin x  4 cos x

3
3
Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin 2 x.tan xdx  ln 2 
8
0

HD:
sin x
Ta có sin 2 x. tan x  1  cos 2 x  và đặt t  cos x
cos x

2
sin 3 x
Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   dx  1  3ln 2
1  cos x
0

HD:




www.MATHVN.com 7
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
  
 dx và đặt t  1  cos x
2 sin x 4 cos 2 x  1
3sin x  4sin 3 x
2 2
sin 3 x
Ta có I   dx   dx  
1  cos x 1  cos x 1  cos x
0 0 0


sin 3 x
2

Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   dx   1
2
2
0 1  cos x

HD:
sin 3 x 1  cos2 x
 sin x và đặt t  cos x
Ta có
1  cos2 x 1  cos 2 x

2
sin x
Bài 5: Tính tích phân sau I   dx  ln 2
x
2 2
0 sin x  2 cos x.cos
2
HD:
x
Ta có sin 2 x  2 cos x.cos 2  sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x và đặt t  1  cos x
2

2

cos 2 x
Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I   dx   1
1  cos x 2
0


sin 3 x  sin 3 3 x
6
11
Bài 7: Tính tích phân: I   dx    ln 2
1  cos 3 x 63
0

HD:
Phân tích sin 3x  sin 3 3x  sin 3x 1  sin 2 3 x   sin 3x.cos 3x và đặt t  1  cos 3 x

2
Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin 2 xdx  2
0

HD:
Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x  2 sin x cos x và đặt t  cos x

1
4
Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln 2  e 2
1
0

HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

2

Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e  1
4
0

HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

2
sin 2 x
Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   dx
4  cos 2 x
0




www.MATHVN.com 8
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

3
2sin 2 x  sin x
Bài 12: Tính tích phân sau: I   dx
6 cos x  2
0

HD:
Đặt t  6 cos x  2 hoặc t  6 cos x  2
 
1  cos2 x  sin x dx
3
4 4
4sin x
Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   dx  4 
4
1  cos 4 x
0 1  cos x 0

HD: Đặt t  cos x

2

cos x
Bài 14: Tính tích phân sau: I   dx 
4
1  cos 2 x
0

HD:
Phân tích 1  cos 2 x  2  sin 2 x từ đó đặt t  sin x

2
sin 4 x 3
Bài 15: Tính tích phân sau I   dx  2  6 ln
2
4
0 1  cos x

HD:
sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x
 và đặt t  3  cos 2 x hoặc t  cos 2 x
Phân tích 2
1  cos 2 x
1  cos x
1
2
b

 f sin x .cos xdx
Dạng 2: Tính tích phân dạng I  đặt u  sin x  du  cos xdx
a

a. sin 2 x  b.sin x
dx ta đổi biến bằng cách đặt t  c  d . cos x
Để tính tích phân dạng  c  d .cos x

Bài tập giải mẫu:



1  2sin 2 x 4
Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   dx
1  sin 2 x
0

Giải:
Cách 1:
 
2
4 4
1  2sin x cos 2 x
Ta có I   1  sin 2 x dx   1  sin 2 x dx
0 0

dt
Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx 
2




www.MATHVN.com 9
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


t  2
x 
Đổi cận  4 
t  1
x  0

2
21
1 dt 1
Khi đó I    ln t  ln 2
12
21 t 2
Hoặc đặt sin 2 x  t
Cách 2:
  

'
1 1  sin 2 x 
4 4
1 4 d (1  sin 2 x ) 1
cos 2x 1
 ln 1  sin2 x  4  ln 2
I dx   dx  
2 0 1  sin 2 x 
1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 2
0
0


Cách 3:
2
Biến đối 1 – 2 sin 2 x   cos x  sin x   cos x – sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x 
  

d  cos x  sin x 
2
4 4 4
1  2sin x cos x  sin x 1
I dx   dx    ln cos x  sin x 4  ln 2
1  sin 2 x cos x  sin x cos x  sin x 2
0
0 0 0


Hoặc đặt t  sin x  cos x

3
cos x
Bài 2: Tính tích phân sau I 2  dx
 2  cos 2 x
0

Giải:
Đặt t  sin x  dt  cos xdx
t  0
x  0
 
Đổi cận    3
x t 
 3
  2
 3 3
3 2 2
cos x dt 1 dt
Khi đó I 2  dx  
  
2
2  cos 2 x 2 32
3  2t
0 0 0
t
2
3 3
Đặt t  cos u  dt   sin udu
2 2


t  0 u  2
 
Đổi cận  3 
u  
t 
 2 
 4
Khi đó




www.MATHVN.com 10
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

3
 
3 2
sin udu
2 2 4

1 dt 1 1 1
2
I    du  
u
 
2 32 2 3 2 2 42
1  cos2 u 
 
0
t 
4 4
2 2 4
Chú ý:
3
Ta có thể dùng một bước đặt là sin x  cos u thì bài toán sẽ nhanh hơn
2
cos 3 x
Bài 3: Tính t ích phân sau I   dx
sin x
Giải:

 4 cos x  3 4 1  sin 2 x   3
2
3 2
4 cos x  3cos x
cos 3 x
.d  sin x  
I dx   dx   .cos xdx  
sin x sin x sin x sin x
0

1 12

d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C
   4 sin x 
sin x  2

Hoặc đặt t  sin x

2
2
Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx
0

Giải:
Đặt t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx
x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  2


1
2
1
sin 2 x
sin 2 xdx   et dt  et
Khi đó I   e  e  1.
0
0 0
 

2 2
sin 2 x sin 2 x sin 2 x
d  sin x   e
2
Hoặc I   e sin 2 xdx   e 2  e 1
0
0 0



Bài tập tự giải và có hướng dẫn

2
cos x
Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I   dx
2  cos 2 x
0

HD:
Ta có 2  cos 2 x  3  2sin 2 x và đặt t  sin x
Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau




www.MATHVN.com 11
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

2
15
3
I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 
4
0

HD:
3 3
Ta có sin 2 x 1  sin 2 x   2sin x 1  sin 2 x  cos x và đặt t  sin x

4
x

Bài 3: Tính tích phân sau I   1  tan x.tan  sin xdx
2
0

HD:
x x x
2sin cos sin
2 .sin x  sin x .sin 2 x  1  cos x .sin x và đặt t  cos x
x 2 2.
Ta có tan x. tan .sin x 
x
2 cos x cos x 2 cos x
cos
2
21
Đs: I  1    ln 2
2 42

2

cos x
Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   dx 
4
1  cos 2 x
0

HD:
Phân tích 1  cos2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x

2
Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  .dx  0
0

HD:
1
Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x
2

2
sin 2 x 4
Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   dx  ln
2
3
4  cos x
0


sin x cos 3 x
2
Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I   dx
2
0 1  cos x

6
cos xdx 10
Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I    ln
2
9
6  5sin x  sin x
0

2

cos x
Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   dx 
7  cos 2 x 62
0

2
cos xdx
Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I   2
0 11  7sin x  cos x




www.MATHVN.com 12
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

2
12
Bài 9: Tính t ích phân I   6 1  cos3 x .sin x.cos 5 xdx 
91
0

HD:
t  6 1  cos3 x  cos3 x  1  t 6 . Hoặc t  1  cos3 x


sin 2 x
 sin 2 x 
b
 du  sin 2 xdx
f   2  sin 2 xdx đặt u   2  
Dạng 3: Tính tích phân dạng I  
cos x  du  sin 2 xdx
  cos x  
 
a



Bài tập giải mẫu:


2
sin 2 x
Bài 1: Tính tích phân sau I   dx
2
0 1  cos x

Giải:
Đặt t  1  cos2 x  dt   sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt
x  0
t  2

Đổi cận   
t  1
x  2


1 2
2
2
sin 2 x dt dt
Khi đó I   dx       ln t  ln 2.
2
t 1t 1
0 1  cos x 2

Hoặc
 

d 1  cos 2 x 
2 2
sin 2 x 2
I dx      ln 1  cos x 2  ln 2
1  cos 2 x 1  cos 2 x
0
0 0


4
sin 4 x
Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   dx
2
0 1  cos x

Giải:
 
4 4
sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x
dx  
Ta có: dx
 1  cos 2
1  cos 2 x
x
0 0
2
Đặt t  1  cos x  dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx và
cos 2 x  t  1  cos 2 x  2 cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3
x  0 t  2
 
Đổi cận    3
x  4 t  2
 
Khi đó


www.MATHVN.com 13
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
3 3
2
2  2t  3 dt 2
2 2
6 6 4
 
   4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln
I
t t t 3
2 3
2
2
2

Cách khác:
   
2 1  cos x   3 2
2
4 4 4 4
2cos x  1
sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x
d 1  cos 2 x   2  d 1  cos 2 x 
I dx   dx  2 
2 2 2 2
0 1  cos x 1  cos x 0 1  cos x 1  cos x
0 0
 

d 1  cos 2 x 
4 4
4
 
2 2
 8 sin xd  sin x   6   4sin x  6ln 1  cos x 4  2  6ln
2
3
1  cos x
0
0 0


sin 4 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x
 4 và đặt t  3  cos 2 x
Hoặc phân tích 2
1  cos 2 x 3  cos 2 x
1  cos x
1
2

2
3
Bài 3: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx
0

Giải:
Đặt t  1  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx
x  0
t  1

Đổi cận   
t  2
x  2


2
t4 2
2
1 15
3
Khi đó I   sin 2 x 1  sin x  dx   t dt  2 3
 4 
41 44
0 1

Cách khác:
 

4
1  sin x 
2
2 2
15
3 3
I   sin 2 x 1  sin x  dx   1  sin x  d 1  sin x 
2 2 2
 2
4 4
0
0 0


2
sin 2 x
Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   dx
2 2
cos x  4sin x
0

HD:
Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số
 
2 2
sin 2 x sin 2 x
I dx   dx
 2 2 2
1  sin x  4sin x 1  3sin x
0 0

dt
Đặt t  1  3sin 2 x   sin 2 xdx
3




www.MATHVN.com 14
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


t  4
x 
Đổi cận  2 
t  1
x  0

4 4 1
42
1 dt 1  2 2
Khi đó I     t dt  t
313
31 t 31
Hoặc đặt t  1  3sin 2 x
Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos 2 x  4 sin 2 x hoặc t  cos 2 x  4sin 2 x
Cách 2:
  
1
2 2
12
sin 2 x sin 2 x 
   
dx   1  3sin 2 x d 1  3sin 2 x
I dx 
  2
30
2 2
1  3sin 2 x
1  sin x  4 sin x
0 0


2 2
 
2
 1  3sin x 2 
3 3
0
Cách 3:
 
2 2
sin 2 x sin 2 x
Ta có I  dx   dx

1  cos 2 x 1  cos 2 x 5  3cos 2 x
0 0
4
2 2 2
5  3cos 2 x 5  3cos 2 x
Và đặt t  hoặc t 
2 2

2
sin x cos xdx
với a, b  0
Tổng quát: Để tính I =  a cos2 x  b 2 sin 2 x
2
0

a cos x  b 2 sin 2 x
2 2
Ta đặt: u =

2
sin x cos xdx
Bài 5: Tính tích phân sau I  
4cos 2 x  9sin 2 x
0


HD :

Đặt u = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  u2 = 4cos 2 x  9 sin 2 x  udu  5sin x cos xdx
Khi đó
3
1 udu 1 1
3
I  
. u
 2
5 u 5 5
2

2
sin x.cos x
Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I  dx
 b2 cos 2 x  c 2 sin 2 x
0

HD:



www.MATHVN.com 15
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

2
1 1
Nếu b 2  c 2  b  c thì I   sin 2 xdx  2 b ;
2b 0

c  b 2  sin x.cos x.dx
2
2 2 2 2 2 2
Nếu b  c  b  c thì đặt t  b cos x  c sin x . Khi đó dt 
b 2 cos 2 x  c 2 sin 2 x
1
và tính được I 
bc

2
sin x cos x
Bài 7: Tính tích phân sau I   dx
a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x
0

Giải:
Cách 1:
  
2 2 2
sin x cos x sin x cos x sin x cos x
Ta có I   dx   dx   dx
a 2 1  sin 2 x   b 2 sin 2 x  b2  a2  sin 2 x  a 2
a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x
0 0 0


2tdt  2  b 2  a 2  sin x cos xdx

Đặt t   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  t 2   b 2  a 2  sin 2 x  a 2   tdt
sin x cos xdx  2
b  a2



t  b

x 
Đổi cận  2 
t  a
x  0 

b
b ba
tdt 1 1
Khi đó I   2 .t  2 
a t b  a 
2
2
2
2
b a ab
a b a
Cách 2:
Đặt t  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  dt  2( b 2  a 2 ) sin x cos xdx
x  0  t  a2

Đổi cận   2
x   t  b
 2
Nếu a  b

b2
b2
2
ab
sin x.cos x 1 dt 1 1
Khi đó I   dx  2  
t

2 b2  a 2
2 2 2
ab
t b a b a
a 2 .sin x  b 2 .cos x a2
a2
0

Nếu a  b
   
2 2 2 2
sin x.cos x sin x.cos xdx 1 1 1
Khi đó I   dx     sin 2 xdx   4 a cos 2 x  2 a
a 2a 0
2 2 2 2
a .sin x  b .cos x
0 0 0



Bài tập tự giải có hướng dẫn:


www.MATHVN.com 16
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

4
sin 4 x 4
Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I   dx  ln 2
6 6
3
0 sin x  cos x

HD:
sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 3
và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x

Phân tích 6 6
32 4
sin x  cos x
1  sin 2 x
4


14 1 32 1 32 4
Hoặc I   d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2
3
30 4 3 4 3
1  sin 2 2 x   0
4


e tan x
4
Bài 2: Tính tích phân sau: I   dx
cos 2 x
0

HD: Đặt t  tan x
3 3
8 8
dx 1 1

Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I    dx  4
 sin   cos
2
x cos 2 x 2
sin 2 x 
x

 
8 8
3
8
dx
Cách 2: Phân tích I  4 
sin 2 2 x

8

x
Cách 3: Đặt t  tan
2


1 1
dx  1  tan 2 x  dx
Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x  dx đặt u  tan x  du 
2
cos 2 x
cos x


1
 
Hoặc: I   f  tan x  1  tan 2 x dx đặt u  tan x  du  dx
cos 2 x




Bài tập giải mẫu:


4
dx
Bài 1: Tính tích phân sau I  
1  tan x
0

Giải:
1 dt dt
dx  1  tan 2 x  dx  dx 
Đặt t  tan x  dt  
2
1  tan x 1  t 2
2
cos x




www.MATHVN.com 17
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  4

1
t 1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt
1
dt 1
 dt  
Khi đó I      
0 1  t  1  t  2 1  t 2  
0  2 1  t  2 01 t 2 0 t2  1 2 0 t2 1
2
      
   
J1 J2 J3
1
1 ln 2
1 dt 1
Tính: J1   t  1  2 ln t  1 0  2
20

1 d  t  1 1
2
1 1
1 ln 2
1 tdt
 ln t 2  1 
Tính: J 2   2 2
2 0 t 1 4 0 t 1 4 0 4

1 4

1 dt 1
Tính: J 3   t 2  1  2  du  8 (với t  tan u )
20 0

ln 2 ln 2   ln 2
Vậy I   
2 4 88 4
Cách 2:
1  cos x  sin x    cos x  sin x 
1 cos x
 .
Phân tích
1  tan x sin x  cos x 2 sin x  cos x
 

1 4 d  sin x  cos x  1
14 1
  x  ln sin x  cos x  4   ln 2
Khi đó I   dx  
2 0 sin x  cos x
20 2 84
0
Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng nhất hai vế tìm A và B



sin 2 x
4
Bài 2: Tính tích phân I  dx
 cos x  tan x  2 tan x  5 
4 2


4

Giải:
 
2
tan 2 x
4 4
sin x
Phân tích I  dx  dx
 cos x  tan   tan
x  2 tan x  5  x  2 tan x  5  .cos 2 x
4 2 2
 
 
4 4

1
Đặt t  tan x  dt  dx
cos 2 x


x  4 t  1

Đổi cận  
x    t  1

 4
Khi đó



www.MATHVN.com 18
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

 2t  2 
1 1 1 1
t2 dt
I 1 t 2  2t  5 dt  1 dt  1 t 2  2t  5dt  31  t  12  4


1
  1  3 I
 t  ln t 2  2t  5  2  5 ln 2  3I1
1

1
dt
Tính I1    t  1 2
4
1

Đặt t  1  2 tan u  dt  2  tan 2 u  1 du
0
2  tan 2 u  1
0
10 
1
Khi đó I1   du   du  u  
 4  tan u  1
2
2 2 8
4
 
4 4

3
Vậy I  2  5 ln 2 
8

4
1
Bài 3: Tính tích phân sau I   dx
cos 4 x
0

Giải:
Cách 1:
 
4 4
1 1 1
Ta có I   dx   . dx
4
cos x cos 2 x
2
cos x
0 0

1
Đặt t  tan x  dt  dx
cos 2 x
x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  4


1
 t3  1 4
4
1
dx   1  t 2  dt   t    .
Khi đó I  
cos 4 x 30 3

0 0

Cách 2:
  

tan 3 x 
4 4 4

1 1 4
dx   1  tan 2 x   1  tan x  d  tan x    tan x  x  4  3
2
I dx 
4
cos 2 x
0 cos x  0
0 0

Cách 3:
sin 2 x  cos 2 x sin 2 x tan 2 x
1 1 1
    
Phân tích 4 4
cos x cos x cos x cos2 x
4 2 2
cos x cos x
… đến đây thì quá dễ rùi phải không
Cách 4:




www.MATHVN.com 19
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

1

u  cos 2 x

Đặt  … Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà
dv  1 dx
cos 2 x


Hoặc : Đặt t  tan x

4
Bài 4: Tính tích phân sau I   tan 6 xdx
0

Giải:
Cách 1:
dt
Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx  dx 
1 t2
x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  4

Khi đó
 
1
1 1
6
4 t 5 t 3
4
 13 
t dt 1

I   tan 6 xdx   2   t4  t2  1 2 dt     t    du  

5 3 15 4
0 t 1 t 1
0 0 0
0

Cách 2:
Phân tích
tan 6 x   tan 6 x  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1
 tan 4 x  tan 2 x  1  tan 2 x  tan 2 x  1   tan 2 x  1  1
1
  tan 4 x  tan 2 x  1 1
cos 2 x
Khi đó
 

 tan 5 x tan 3 x
4 4
 13 
1
I    tan x  tan x  1
4 2
dx   dx     tan x  x  4  
2
5 3  0 15 4
cos x
0 0


4
Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 3 xdx
0

Giải:
dt
t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx  2
t 1
x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  4

Khi đó



www.MATHVN.com 20
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


t 2 1 1 d  t  1
2
1 1 1 1 1
t3
4
t 1 2t

3
I   tan xdx   2 dt    t  2  dt   tdt   2 dt  
2 0 2  t2  1
t 1 t 1 2 0 t 1
0
0 0 0 0

111
11 1
 ln  t 2  1   ln 2  1  ln 2  .

022
22 2
1
Hoặc phân tích tan 3 x   tan 3 x  tan x   tan x  tan x.  tan x …bạn đọc tự giải
cos 2 x
 /4
dx
Bài 6: Tính tích phân sau I   sin 2
x  2sin x.cos x  cos 2 x
0

Giải:
Chia cả tử và mẫu cho cos2 x ta được
dx
d  tan x 
 /4  /4
cos 2 x
I  
2 2
0 tan x  2 tan x  1 0 tan x  2 tan x  1

1
Đặt t  tan x  dt  dx
cos 2 x


t  1
x 
Đổi cận  4 
t  0
x  0

Khi đó
1 1
t 1 2 1
dt dt 1
I   ln
2 2
t 1 2 0
0 t  2t  1  2
2
22
0  t  1 


Cách khác:
dt

dx  t 2  1

Đặt x  tan t   … bạn đọc tự giải
2 sin x cos x  2t
t2  1



Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2
 tan x  1
4
7
Bài 1: Tính tích phân sau I   dx 
2
3
cos x
0

HD: Đặt t  tan x  1


sin 3 x
4
Bài 2: Tính t ích phân sau I   dx
2
 tan 2 x  1 cos5 x
0

HD:




www.MATHVN.com 21
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

sin 3 x tan 3 x 1
và đặt t  tan x
Phân tích  .
2 2
cos 2 x
 tan x  1 cos5 x  tan x  1
2 2




tan 4 x
6
1 10
 
Bài 3: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau I   dx  ln 2  3 
cos 2 x 2 93
0

HD:
Biến đổi cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos 2 x và đặt t  tan x
1  tan 2 x
Hoặc sử dụng công thức cos 2 x 
1  tan 2 x


tan 3 x 6
Bài 4: (ĐHKTQD – 2001) Tính tích phân sau I   dx
cos 2 x
0

HD:
Biến đổi cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos 2 x và đặt t  tan x
1  tan 2 x
Hoặc sử dụng công thức cos 2 x 
1  tan 2 x

3
tan x
Bài 5: Tính tích phân sau I   dx  5  3
cos x. 1  cos 2 x

4

HD:
1 
Phân tích cos x 1  cos 2 x  cos x cos 2 x   1  cos 2 x tan 2 x  2 và đặt t  tan 2 x  2
2
 cos x 
Hoặc đặt t  tan x

2
dx
Bài 6: (ĐHCĐ – 1999) Tính tích phân sau I   1
1  sin 2 x
0

HD:
2
Phân tích 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x   sin x  cos x   cos 2 x  tan x  1 và đặt t  tan x  1
Cách khác:


  
dx 
2 2 2
dx dx 4
 
I 

2
0 1  sin 2 x 0  sin x  cos x  0 2cos 2 x 
4

4
1
Bài 7: (ĐHSP TPHCM – 2001) Tính tích phân: I   dx
2
0  sin x  2 cos x 

HD:
2
Phân tích  sin x  2cos x   cos 2 x  tan x  2  và đặt t  tan x  2



www.MATHVN.com 22
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
4
3
dx
Bài 8: (ĐH Y HN – 1999) Tính tích phân sau I   ln 3
 x
sin

2
HD:
x

d  tan 
dx dx 1 dx 4
2 
 
x x x2 x x x
tan .cos 2
sin 2sin .cos tan
2 4 4 4 4 4

2
dx
Bài 9: (HVQY – 1999) Tính tích phân sau I   1
1  cos x
0

HD:
dx dx x

  d  tan 
x
1  cos x 2

2 cos 2
2

4
cos 2 x
Bài 10: (ĐHTS – 2001) Tính tích phân sau I   dx
sin 2 x  cos 2 x
0

HD:
1 2  cos 2 x  sin 2 x   2  cos 2 x  sin 2 x 
cos 2 x

Phân tích
sin 2 x  cos 2 x 4 sin 2 x  cos 2 x

4
76
Bài 11: Tính tích phân sau I   1  tan 8 x  dx 
105
0

HD:
Phân tích 1  tan 8 x    tan 8 x  tan 6 x    tan 6  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1 
 


1 1
Dạng 5: Tính tích phân I   f  cot x  dx đặt u  cot x  du   2 dx
2
sin x sin x


1
Hoặc: I   f  cot x  1  cot 2 x  dx đặt u  cot x  du   dx
sin 2 x




Bài tập giải mẫu:



sin 3 x  sin x
2
Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I   cot xdx
sin 3 x

3

Giải:



www.MATHVN.com 23
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Cách 1:
 
23 3 2
sin x  sin x 1 cot x
I cot xdx   3 1  2 . 2 dx
3
sin x sin x sin x
 
3 3

1
Đặt t  cot x  dt   dx
sin 2 x

 t  0
x  2
 
Đổi cận   1
t  3
x  

 3

80
5
0 0
33 1
3 2 3
Khi đó I    t .tdt   t dt  t 1   3
8 83
1 1
3
3 3

Cách 2:
 
23
sin 3 x  sin x 23
sin 3 x  sin x cot x
I cot xdx   dx
sin 3 x sin 2 x
sin x
 
3 3


  
5 8
2 2 2
1 3 1
2
  3 1  2 .cot xd  cot x    3  cot 2 x .cot xd  cot x     cot xd  cot x    cot x   3
3 3

8
sin x 83
  
3 3 3
3
Cách 3:
 
23
sin 3 x  sin x cos x 3 sin 3 x  sin x
2
I cot xdx   dx
sin 3 x sin 4 x
 
3 3

Đặt t  sin x  dt  cos xdx

 t  1
x

 2 
Đổi cận   3
x   t 
 2
 3

1
1
3
13 1
3
t 2 dt
t t
Khi đó I  dt 
 
t4 3
t
3 3
2 2

1 1 3 dt
 u 3  1  2  u 2 du  3
Đặt u  3 1  2
2
t t t




www.MATHVN.com 24
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

t  1 u  0
 
Đổi cận  3  u   1
t   3
3
 
2
0
0
3 u4
3 1
3
Khi đó I   u du  1  3
2 4 3
21 83
3
3
3

2
1
Bài 2: (ĐHY TB – 2000) Tính tích phân sau I   dx
2  cos 2 x
0

Giải:

 
1
4 4
dx dx 1 dt
Ta có I   2 sin 2 x  cos 2 x   cos2 x 2 tan 2 x  1  2 
  2
1
0 0 0 2
t  
 2

1 1 dt
, (với tan   2)
Đặt t  tan u  I 
2 2
2 1
0
u2   
 2
2
(với tan   2 )
Khi đó I 
2

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2
dx 4
Bài 1: Tính tích phân sau I  
 4
3
 sin x
4
HD:
1 1 1 1
1  cot 2 x  và đặt t  cot x
 .2
Phân tích 4 2 2
sin x sin x sin x sin x

2
3cot x  1
Bài 2: Tính tích phân sau I   dx
sin 2 x

4

HD: Đặt t  3 cot x  1 hoặc t  3 cot x  1

4
1
Bài 3: Tính tích phân sau: I   dx
2
sin x cot x

6

HD: Đặt t  cot x




www.MATHVN.com 25
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

3
1
Bài 6: Tính tích phân sau: I  dx
 sin 2
x  9 cos 2 x


3

HD:
Phân tích sin 2 x  9cos 2 x   9cot 2 x  1 sin 2 x và đặt t  cot x


ecot x
2
dx  e  1 đặt t  cot x
Bài 7: Tính tích phân sau: I  
sin 2 x

4


Dạng 6: Tính tích phân dạng I   f  sin x  cos x  .  sin x  cos x  dx đặt


u  sin x  cos x  du    sin x  cos x  dx

Hoặc I   f  sin x  cos x  .  sin x  cos x  dx đặt u  sin x  cos x  du   sin x  cos x  dx




Bài tập giải mẫu:


4
cos 2 x
Bài 1: Tính tích phân sau: I   dx
3
 sin x  cos x  2 
0

Giải:
 

 cos x  sin x   cos x  sin x 
4 4
cos 2 x
dx  
Ta có dx
  sin x  cos x  2  3 3
 sin x  cos x  2 
0 0

Đặt t  cos x  sin x  2  dt   cos x  sin x  dx
x  0
t  2


Đổi cận   
x  4 t  2  2


 t  2  2 2  1 2 
2 2
 1 1  2 2 4 2 5
Khi đó I   dt    2  3  dt    2  
 
t3 0 t t  t t 0 18 2  1
0


4
cos 2 x
Bài 2: Tính tích phân sau I   dx
sin x  cos x  2
0

Giải:
 

 cos x  sin x   cos x  sin x 
4 4
cos 2 x
dx  
Ta có: dx
 sin x  cos x  2 sin x  cos x  2
0 0




www.MATHVN.com 26
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Đặt t  cos x  sin x  2  dt   cos x  sin x  dx
x  0
t  2


Đổi cận   
x  4 t  2  2


 t  2  2 2  2 
2 2
3
2 2
dt   1   dt   t  2ln t 
Khi đó I    2  1  2ln
t t 0
0 2 2
0

2
sin x  cos x
Bài 3: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân sau I   dx
sin x  cos x

4

HD:
Cách 1:
Đặt t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx
Cách 2:

 
 d  sin x  cos x 
2 2
 sin x  cos x 
   ln sin x  cos x  2  ln 2
I   dx   
sin x  cos x  sin x  cos x
 
4 4
4
Cách 3:
 

 

 
d cos  x   
2 sin  x  
2 2
4   
 1
4 
 dx     dx   ln cos  x    2  ln 2
I
  4   2
  
 
2 cos  x   cos  x  
4 4
4 4 4
 

2
dx
Bài 4: Tính tích phân sau I  
 1  sin 2 x
4

Giải:

   
2 2 2 2
 2 1
dx dx dx 1 dx 1 
I     tan    
x
2 2
 2 4 2
 1  sin 2 x   sin x  cos x  2  
 
  cos 2  x  
2 cos  x   
4
4 4 4
4 4

4 



Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2
sin x  cos x
Bài 1: Tính tích phân sau I   dx
3
sin x  cos x

3

HD:
Đặt t  3 sin x  cos x hoặc t  sin x  cos x hoặc biến đổi vi phân



www.MATHVN.com 27
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

3
cos x  sin x 3 1
Bài 2: (ĐHTCKT – 1999) Tính tích phân sau I   dx  arcsin
4
3  sin 2 x

4

HD:
2
Phân tích 3  sin 2 x  4   sin x  cos x  và đặt t  sin x  cos x

2
sin x  cos x 1
Bài 3: Tính tích phân sau I   dx  ln 2
2
1  sin 2 x

4

HD:
2
Phân tích 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  cos x
và đặt t  sin x  cos x

2
1  sin 2 x  cos 2 x
Bài 4: (ĐHNN І – A 1998) Tính tích phân sau I   dx  1
sin x  cos x

6
HD: Phân tích

2
 sin x  cos x   cos x  sin x   cos x  sin x 
1  sin 2 x  cos 2 x 1  sin 2 x cos 2 x
   
sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x
 sin x  cos x   cos x  sin x 
Hoặc 1  sin 2 x  cos 2 x  1  2 sin x cos x  2 cos 2 x  1  2 cos x  sin x  cos x 



sin  x  
4
43 2
4

Bài 5: (ĐH – B 2008) Tính tích phân sau I   dx 
sin 2 x  2 1  sin x  cos x  4
0

HD:
 1

 cos x  sin x  và
Phân tích sin  x    
4
 2
sin 2 x  2 1  sin x  cos x    sin 2 x  1  2  sin x  cos x   1
2 2
  sin x  cos x   2  sin x  cos x   1   sin x  cos x  1
Đặt t  sin x  cos x

2
cos 2 x 1
Bài 6: Tính tích phân sau I   dx 
3
32
 sin x  cos x  3
0

HD: Đặt t  sin x  cos x  3

2
sin x  cos x
Bài 7: Tính tích phân sau I   dx  ln 2
1  sin 2 x

4




www.MATHVN.com 28
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
HD:
2
 sin x  cos x 
1  sin 2 x   sin x  cos x

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ
NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC

Một số dạng thường gặp

Pn  x 
Dạng 1: Tính tích phân: I   dx
2
 cos  ax  b 

u  Pn  x 

Đặt:  1
dv  cos 2  ax  b  dx


Pn  x 
Dạng 2: Tính tích phân: I   dx
2
 ax  b 
 sin

u  Pn  x 

Đặt:  1
dv  sin 2  ax  b  dx



 I   sin  ln x  dx
Dạng 3: Tính tích phân:  
 
 I   cos  ln x  dx

 

sin  ln x 

u  
 cos  ln x 
Đặt  

dv  dx
sin  ax  b  

Dạng 4: Tính tích phân: I   Pn  x    dx
cos  ax  b  
 


u  Pn  x 


sin  ax  b  
Đặt: 
dv    dx
 cos  ax  b  
  

 eax b 
 sin  ax  b  

 axb
Dạng 5: Tính tích phân: I    c  dx

 cos  ax  b  
 

 ln  ax  b  




www.MATHVN.com 29
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

 e ax b
 
  ax b 
u   c 
  ln  ax  b  
Đặt   

dv  sin  ax  b  
 

 cos  ax  b  
 

1
 ln  ax  b    2 
 cos  ax  b  

 
 dx
Dạng 6: Tính tích phân: I    eax b
 
1
  ax  b 
c   sin  ax  b  
2
 
l n  ax  b 

  ax b
u   e
  c ax b
 

Đặt  1
 
  cos 2  ax  b  
   dx
dv   
1
 2 
 sin  ax  b  



 dx
I n

sin x
Dạng 7: Tính tích phân:  
 
 I   dx n
 cos x


 1 
  sin n  2 x 
u   
1

  cos n 2 x 

 
Đặt 
 dx 

 sin 2 x 

dv    dx

 dx 

 cos 2 x 
  


Bài tập giải mẫu:

1
Bài 1: Tính tích phân sau I   sin xdx
0

Giải:
Đặt t  x  dx  2td


www.MATHVN.com 30
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

x  1 t  1
Đổi cận  
 x  0 t  0
1
Khi đó I  2  t sin tdt
0

u  t du  dt
Đặt  
dv  sin tdt v   cos x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
1
1 1 1
I  2  t cos t   2  cos tdt  2  t cos t   2  sin t   2  sin1  cos1
0 0 0
0
1
x  sin x
Bài 2: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau I   dx
cos 2 x
0

Giải:
  
3 3 3
x  sin x xdx sin x
Ta có: I   dx    dx
2
cos x 0 cos 2 x
2
cos x
   
 
0 0
I1 I2

3
xdx
Tính I1   2
0 cos x

u  x
du  dx

Đặt  
1
v  tan x
dv  cos 2 x dx

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
   
3 
 3 3 d  cos x   3
3 3
3
xdx sin x
  ln cos x  3 
I1    x tan x 3   tan xdx   dx   
2
3 cos x 3 cos x 3
0 cos x 0 0
0 0 0


3 1
  ln
3 2
 

d  cos x 
3 3
sin x 1
Tính I 2   dx    3  2 1  1
2
cos 2 x cos x
0 cos x 0
0


3
Khi đó I   ln 2  1
3
e
Bài 6: Tính tích phân sau I 3   cosln x dx
1

Giải:




www.MATHVN.com 31
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

1

u  cos  ln x  du   sin  ln x  dx


Đặt  x
dv  dx
 v  x

e e
e
Vậy: I 3   cosln x dx  x. cosln x  1   sin ln x dx   e  1  J
1 1

1

u  sin  ln x  du  cos  ln x  dx


Đặt:  x
dv  dx
 v  x

e e
e
Vậy: I 3   sin ln x dx  x. sin ln x  1   cosln x dx  0  I 3
1 1

e  1
Thế vào (1) ta được : 2 I 3    e  1  I 3  
2

2
Bài 10: Tính tích phân sau I   x.sin x cos 2 xdx
0

Giải:
 
2 2
1
x.  sin 3 x  sin x  dx
Ta có I   x.sin x cos 2 xdx 
2
0 0

1

x
 du  2 dx
u
 
Đặt:  
2 .
1
dv   sin 3x  sin x  dx v    cos 3x  cos x 
  3



1 2 1
x  1  
Khi đó I   cos 3 x  cos x  2     cos 3 x  cos x dx
2 3  0 2 0 3 
 
x  1 1 1 1 5
 
  cos 3 x  cos x  2   sin 3 x  sin x  2   .
2 3  0 2  18 2 9
0
e
Bài 11: Tính tích phân sau I   sin(ln x)dx .
1

Giải:
Cách 1:
Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt
Đổi cận: x  1  t  0, x  e  t  1
1
 sin t  cos t  et
1
(sin1  cos1)e  1
t
 I   e sin tdt   .
2 2
0 0




www.MATHVN.com 32
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
(sin1  cos1)e  1
Khi đó I  .
2
Cách 2:
1

u  sin  ln x  du  cos  ln x  dx


Đặt  x
dv  dx
 v  x

2
4
Bài 12: Tính tích phân sau I   cos xdx .
0

HD:
Đặt t  x  x  t 2  dx  2tdt
2 
Đổi cận x  0  t  0, x  t 
4 2
Khi đó

2 
I  2  t cos tdt  2  t sin t  cos t  0    2 .
2

0

2
Bài 13: Tính tích phân sau I   ( x  1) sin 2 xdx
0

HD:
du  dx
u  x  1 
Đặt   cos2 x
dv  sin 2 xdx v   2



12 
cos 2 x
 x  1 2   cos 2 xdx   1
Khi đó I  
2 20 4
0

Bài tập tự giải có hướng dẫn:


3 2 1
4
2
Bài 1: (CĐSP Vĩnh Phúc – 2007) Tính tích phân sau I    x sin x  dx   
384 32 4
1
2

2
4
Bài 2: (CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005) Tính tích phân sau I  x sin xdx  4
 2
0

4

x 2
Bài 3: (CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006) Tính tích phân sau I   dx   ln
2
4 2
cos x
0




www.MATHVN.com 33
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


2
2
Bài 4: (ĐHDB – D 2007) Tính tích phân sau I   x 2 cos x dx  2
4
0
 3
2
3.e 2  5
Bài 5: (CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005) Tính tích phân sau I   e3 x sin 5 xdx 
34
0

2  e  1
1
Bài 6: (ĐHQG HCM – 2000) Tính tích phân sau I   e x sin 2   x  dx 
1  4 2
0

HD:
Hạ bậc và sử dụng tích phân từng phần

4
 2
Bài 7: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau: I   x  2cos 2 x  1 dx 
8
0


3  2e
2
Bài 8: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân sau: I   e 2 x sin 3 x.dx 
13
0

Bài 9: Tính các tích phân sau:
1
1
a. (HVKTMM – 2000) I   x tan 2 xdx  tan1  ln  cos1 
2
0


2  1
2
b. (ĐHBKHN – 1994) I   x cos 2 xdx  
16 4 2
0


2  1
2
Bài 10: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau: I    2 x  1 cos 2 xdx  
842
0

4
1
x
Bài 11: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   dx   ln 2
1  cos 2 x 84
0

Bài 12: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau: I   x 2 sin 2 xdx   2  4
0

3
4 2 3
x sin x
Bài 13: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau: I  dx   ln
 cos 2
x 3 2 3


3


e x (sin x  cos x  1)
4

Bài 14: (BCVT – 1998) Tính tích phân sau: I   dx
(1  cos x) 2
0

HD:
  

e x (sin x  cos x  1) ex e x sin xdx
4 4 4

I dx   dx    I1  I 2
(1  cos x)2 2
1  cos x 0 (1  cos x)
0 0




www.MATHVN.com 34
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

u  e x du  e x dx

x
4

e sin xdx 
sin xdx  
Với I 2   đặt  1
dv 
2
0 (1  cos x ) v 
 2
1  cos x  1  cos x




sin 2 x
3
ln  tan x  dx
Bài 15: Tính tích phân sau: I  
cos 4 x

4

HD:
 
2
tan 2 x
3 3
sin x
ln  tan x  dx   ln  tan x  dx
I
cos 4 x 2
 cos x

4 4

Đặt tan x  t sau đó sử dụng tích phân từng phần
 
tan x
e tan x .tan x
4 4
e
sin x
Bài 16: Tính tích phân sau: I   dx   dx
cos3 x cos 2 x
0 0

Đặt tan x  t sau đó sử dụng tích phân từng phần

 3  2e 

2
2x
Bài 17: (NN I – B 1998) Tính tích phân sau: I   e sin 3 xdx 
13
0

2
Bài 18: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau: I    x 2  1 sin xdx
0

4
Bài 19: (ĐHSPII – 1997) Tính tích phân sau: I   5e x sin 2 xdx
0

2
e2
2
Bài 20: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: I   esin x .sin x.cos 3 xdx 
2
0

HD:
Đặt t  sin 2 xdt  2 cos x sin xdx
1 1 1
1 1 1
 I   et 1  t  dt   et dt   t.et dt .
20 20 20
1
u  t
Tính I1   t.et dt . Đặt  t
dv  e dt
0


x sin 2 x
3
 3
Bài 21: Tính tích phân sau I   dx  
2
3 4
0 sin 2 x.cos x

HD:




www.MATHVN.com 35
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 
u  x
x sin 2 x
3
1 3 x sin x 
Ta có I   dx   và đặt sin x

2
2 0 cos 3 x dv  cos 3 x
0 sin 2 x.cos x



2
1  sin x x
.e dx  e 2
Bài 22: Tính tích phân sau I  
1  cos x
0


1  2 
2

2
Bài 23: Tính tích phân sau I    2 x  1 cos xdx     1
2 4 2 
0

4
2
Bài 24: Tính tích phân sau I    x  1 cos x dx  1
8
0

Bài 25: Tính tích phân sau

 4
 sinx
 sin x 

 x 2 sin 3 x  dx
b. I    4
a. I     cos x tan(sin x)  dx
2 3
0  1  cos x 0  cos x 


2

Bài 26: (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau I   cos x.ln 1  cos x  dx  1
2
0



PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC


sin 6 x
2
Bài 1: (ĐHH – 2000) Tính tích phân sau I   dx
6 6
0 sin x  cos x

Giải:

Đặt x   t  dx   dt
2
 t  0

x  
Đổi cận  2  
t  2
x  0
 
Khi đó
   
sin 6   t 
0 6
cos 6 x
2 2
cos t
2 
I   dt   dt   dx
6 6 6 6
6  6  0 cos t  sin t 0 cos x  sin x
 

sin   t   cos   t 
2
2 2 

 

sin 6 x  cos 6 x
2 2
 
Vậy I  I  2 I   6 dx   dx  x 2   I 
6
0 sin x  cos x 2 4
0
0




www.MATHVN.com 36
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


sin 3 x
2
Bài 2: Tính t ích phân sau I   3 dx
3
0 sin x  cos x

Giải:

Đặt x   t  dx   dt
2
 t  0

x  
Đổi cận  2  
t  2
x  0
 
   
sin 3   t 
0 3
cos 3 x
2 2
cos t
2 
Khi đó I    dt   dt   dx
3 3 3 3
3  3  0 cos t  sin t 0 cos x  sin x
 

sin   t   cos   t 
2
2 2
 
 

sin 3 x  cos3 x
2 2
 
Vậy I  I  2 I   3 dx   dx  x 2   I 
3
0 sin x  cos x 2 4
0
0


2
sin x
Bài 3: Tính t ích phân sau I  dx
 sin x  cos x
0

Giải:

Đặt x   t  dx   dt
2
 t  0

x  
Đổi cận  2  
t  2
x  0
 
   
sin   t 
0 2 2
2  cos t cos x
Khi đó I    dt   dt   dx
cos t  sin t cos x  sin x
 
 
 0 0
sin   t   cos   t 
2
2  2 
 

2 2
 
sin x  cos x
Vậy I  I  2 I   dx   dx  x 2   I 
2 4
sin x  cos x 0
0 0

Tổng quát:


sin n x
2

dx  với n  R 
CMR I   n n
0 sin x  cos x 4


cos 4 x
2

Tương tự: (ĐHGTVT HCM 1999) Tính tích phân sau I   sin 4 x  cos 4 x dx  4
0




www.MATHVN.com 37
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

2
1  s inx
Bài 4: Tính t ích phân sau I   ln dx
1+cosx
0

Giải:

Đặt x   t  dx   dt
2
 t  0

x  
Đổi cận  2  
t  2
x  0
 
   
1  sin   t 
0 2 2
 dt  ln 1  cos t dt  ln 1  cos x dx
2
Khi đó I    ln  1  sin t  1  sin x
 
 0 0
1  cos   t 
2
2 
Vậy
 
2 2
 1  cosx 1  s inx   1  cosx 1  s inx 
I  I  2 I    ln  dx    ln
 ln .  dx
 1  s inx 1  co s x   1  s inx 1  co s x 
0 0
 
2 2
   ln1 dx   0dx  0  I  0
0 0
2

 sin  sin x  nx  dx
Bài 5: (ĐHTN – 2000) Tính t ích phân sau I 
0

Giải:
Đặt t    t  dt  dx
 x  2 t  
Đổi cận  
t  
x  0
Khi đó
 
I    sin  sin    t   n   t   dt   sin  sin t  n  nt  dt
 
 

 sin  sin t  nt  cos  n  dt   sin  sin t  nt  s in  n  dt

 

(do sin  n   0 )
 sin  sin t  nt  cos  n  dt
I 


Đặt y  t  dy  dt
t   y  
Đổi cận  :

t    y  
Khi đó:




www.MATHVN.com 38
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 
I    sin sin   y   ny  cos  n  dy   sin   sin y  ny  cos  n  dy 
 
 
 
   sin  sin y  ny  cos  n  dy    sin  sin t  nt  cos  n  dy   I
 



 I  I  I  0

PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài 1: (ĐHTL – 1997) Tính tích phân sau I   1  cos 2 xdx
0

Giải:

   
2
2
I   1  cos 2 xdx   1  2 cos x  1dx  2  cos x dx  2  cos xdx  2  cos xdx

0 0
2

 
  2 sin x 2  2 sin x   2 2
0 2

Bài 2: Tính tích phân sau I   1  sin 2 xdx
0

Giải:
  
I   1  sin 2 xdx   sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 xdx   sin x  cos x dx
0 0 0

 

4
   cos x  sin x  dx    sin x  cos x  dx    sin x  cos x  4    cos x  sin x    2 2

0
0
4
4

3
3
Bài 3: (ĐHMĐC – 2000) Tính các tích phân sau I   tan 2 x  cot 2 x  2dx  2 ln
2

6

Giải:
   
3 3 3 3
2 cos 2 x
2
I   tan 2 x  cot 2 x  2dx    cot x  tan x  dx   cot x  tan x dx   dx
sin 2 x
   
6 6 6 6

  2          
Vì 2 x   ;   x   ;   sin 2 x  0 và x   ;   cos 2 x  0; x   ;   cos 2 x  0
3 3  6 3 6 4 4 3
Khi đó



www.MATHVN.com 39
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

 


4 3
2 cos 2 x 2 cos 2 x 3  2 ln 3
dx  ln  sin 2 x  4  ln  sin 2 x 
I dx  
 
 sin 2 x  sin 2 x 2
6 4
6 4
2
Tương tự: (ĐHNTHN – 1994) Tính tích phân sau I  1  sin xdx  4 2

0

HD:
x    x  
x x
1  sin xdx  sin  cos dx  2. sin    dx  2 2d  cos    
2 2 2 4   2 4 

MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

b
Dạng 1: Tính tích phân  sin m x cos n xdx
a

Trường hợp 1:
Nếu m hoặc n là là các số nguyên dương lẻ thì tương ứng ta đặt t  cos x hoặc t  sin x
Cụ thể:
a. m lẻ (mũ sin lẻ), đặt t  cos x
b. n lẻ (mũ cos lẻ), đặt t  sin x
 m  n  u  sin x
c. Nếu m và n lẻ 
 m  n  u  cos x
Trường hợp 2: Nếu m, n đều là các số nguyên dương chẵn, dùng các công thức hạ bậc năng cung hoặc góc
nhân đôi
Trường hợp 3:
- Nếu  m  n  là các số nguyên chẵn thì ta đặt t  tan x hoặc t  cot x
- Nếu m, n chẵn & âm, đặt t  tan x.
Các trường hợp đặc biệt.
+ R   sin x, cos x    R  sin x, cos x  tức là R lẻ đối với sinx ta đặt t  cos x
+ R  sin x,  cos x    R  sin x, cos x  tức là R lẻ đối với cosx ta đặt t  sin x
+ R   sin x,  cos x   R  sin x, cos x  tức là R lẻ đối với sinx và cosx ta đặt t  tan x.

Bài tập giải mẫu:


2
Bài 1: Tính tích phân I   cos 4 x sin 2 xdx .
0

Giải:
Nhận xét: n  2, m  4 là các số nguyên chẵn nên ta dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi
Ta có



www.MATHVN.com 40
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
   
2
12 12 12
I   cos 4 x sin 2 xdx   cos 2 x sin 2 2 xdx   1  cos 4 x  dx   cos 2 x sin 2 2 xdx
40 16 0 40
0
  
sin 3 2 x  2 
2 2
x
1 1 1
  1  cos 4 x  dx   sin 2 2 xd  sin 2 x     sin 4 x   .
16 0 80  16 64 24  0 32
Cách khác:
Sử dụng nguyên công thức hạ bậc
  
2
2 2 2
 1  cos 2 x   1  cos 2 x  1
 dx  8  1  2cos 2 x  cos 2 x  1  cos 2 x  dx
I   cos 4 x sin 2 xdx    2

2 2
0  
0 0

2
Bài 2: Tính tích phân I   cos5 xdx
0

Giải:
Nhận xét: Bậc của cos là n  5 lẻ nên
Đặt t  sin x  dt  cos xdx


t  1
x 
Đổi cận  2 
t  0
x  0

 
1
1
 2t 3 t 5 
2 2
8
2 22
I   cos xdx   1  sin x  cos xdx   1  t 
5 2
dt   t    .
3 5  0 15

0 0 0

2
Bài 3: Tính tích phân I   cos 2 x sin 3 xdx .
0

Giải:
Nhận xét: Bậc của sin là m  3 lẻ
Đặt t  cos x  dt   sin xdx


t  1
x 
Đổi cận  2 
t  0
x  0


1
0 1
 t3 t 5 
2
2
I   cos x 1  cos x  sin xdx    t 1  t  dt    t  t  dt      .
2 2 2 2 2 4

 3 5  0 15
0 1 0


cos 3 x
2
Bài 4: Tính tích phân sau I   dx
sin 2 x

6

Giải:




www.MATHVN.com 41
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

cos3 x
Nhận xét: R  sin x, cos x   lẻ vì bậc của cos là m  3 lẻ nên
sin 2 x
Đặt t  sin x  dt  cos xdx


1
x  6 t 

Đổi cận   2

x  t  1


 2
 
1
1 1
3
(1  sin 2 x ) 1  t2
2 2
cos x 1 1  1

Khi đó I   dx   cos xdx   2 dt    2  1 dt     t  1  .
2 2
t 2
 sin x sin x t 1t  
 1
2
6 6 2 2

2
Bài 5: Tính tích phân sau I   sin 3 x cos3 xdx
0

Giải:
Nhận xét: Bậc của sin và cos đều là m  n  3 nên ta đặt t  sin x hoặc t  cos x đều được
Đặt t  sin x  dt  cos xdx
x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  2

 
1 1
 t4 t6  1 1
2 2
Khi đó I   sin 3 x cos 3 xdx   sin 3 x 1  sin 2 x  cos xdx   t 3 1  t 2  dt    t 3  t 5  dt      .
 4 6  0 12
0 0 0 0

2
Bài 6: Tính tích phân sau: I   sin 5 x cos xdx
0

Giải:
Nhận xét: Bậc của sin là m  5 lẻ và bậc của cos là n  1 ( m  n ta chọn hướng ưu tiên đặt t  sin x )
Đặt t  sin x  dt  cos xdx
x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  2


1
2
1
Khi đó I   sin 5 x cos xdx   t 5 dt 
6
0 0


sin 2 x
3
Bài 7: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân sau I   dx
cos 6 x

6

Giải:
Nhận xét: Bậc của sin và cos là m  2, n  6 và m  n  4 ( m  n ta chọn hướng ưu tiên đặt t  tan x )



www.MATHVN.com 42
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

sin 2 x 1 1 1
 tan 2 x 1  tan 2 x  .
 tan 2 x. .
Phân tích 6 2 2
cos2 x
cos x cos x cos x
Khi đó
 
2
3 3
sin x 1
dx   tan 2 x 1  tan 2 x  .
I dx
6
cos 2 x
cos x
 
6 6

1
Đặt t  tan x  dt  dx
cos 2 x

 t  3
x  3
 
Đổi cận   1
x   t 
3

 6


3
3 3
sin 2 x  t3 t5 
3
42 3  8
 t 1  t  dt    t  t  dt   3  5  1  15
2 2 2 4
Khi đó I   dx 
6
 cos x  
1 1
3
6 3 3



cos 3 x
2
Bài 8: Tính tích phân sau I   dx
sin x

6

Giải:
1
Nhận xét: Bậc của cos là n  3 và bậc của sin là m  
2
Đặt t  sin x  dt  cos xdx


t  1
x  2
 
Đổi cận   1
x   t  2

 6

1 1 3
8 19


2
 t 2 )dt =
Khi đó I   (t
5 10 2
1
2

2
8
Bài 9: (ĐH – A 2009) Tính tích phân sau: I    cos 3 x  1 cos 2 xdx  
15 4
0

Giải:
 
2 2
Cách 1: I   cos5 xdx   cos 2 xdx
   
  0 
0
I1 I2




www.MATHVN.com 43
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Đặt t  sin x  dt  cos xdx


t  1
x 
0 
Đổi cận 
t  0
x  0

Khi đó
 
1
2 2
2 2
I1   cos5 xdx   1  sin 2 x  cos xdx   1  t 2  dt
0 0 0
1
4 1 8
2
  1  2t 2  t 4  dt   t  t 3  t 5  
5  0 15
3
0
   

2 2
12 12 
1  cos 2 x 1 1 
2
I 2   cos xdx   dx   dx   cos 2 xdx   x  sin 2 x  2 
2 20 20 2 2 4
0
0 0

8
Vậy I  I1  I 2  
15 4
Chú ý:
Có thể tính I1 như sau
  
2 2 2
2 2
I1   cos5 xdx   1  sin 2 x  cos xdx   1  sin 2 x  d  sin x  
0 0 0


1
2 4 8
 
  1  2 sin x  sin x  d  sin x    sin x  sin 3 x  sin 5
2 4
x 2 
3 5  0 15

0


2
 cos 3 x  3cos x  1  cos 2 x 
Cách 2: I     1  dx
4 2
0  
0
sin 2 x
Bài 10: Tính tích phân sau I  dx.
 2  sin x  2

2


Giải:
Nhận xét:
2sin x(  cos x)
sin 2 x 2sin x cos x
R (sin x, cos x)      R (sin x,  cos x)
2 2 2
 2  sin x   2  sin x   2  sin x 
Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi.
Đặt t  sin x , khi đó dt  cos xdx.




www.MATHVN.com 44
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x   2

Khi đó
0
0
2
2  t  2
0 0
tdt 1 2

 d  2  t   2  ln  2  t  
I  2  2 dt  2      2ln 2  2.
2 2 2
2  t 2  t   2  t  1
2  t 2  t  
1  
1 1



2
Bài 11: Tính tích phân sau I   cos3 xdx

6

HD:
   
2 2 2 2
I   cos3 xdx   cos2 x.cos xdx   1  sin 2 x  cos xdx   1  sin 2 x  d  sin x 
   
6 6 6 6


3
 sin x  2 111 5
  sin x     1   
3 3 2 24 24

6

2
Bài 12: Tính tích phân sau I   sin 3 xdx
0

HD:
  

cos 3 x 
2 2 2
 12
I   sin xdx   sin x sin xdx    1  cos x d  cos x     cos x 
3 2 2
 2  1 
3 33
 0
0 0 0


1
Bài 13: (ĐH TCKT HN – 1996) Tìm nguyên hàm I   dx
4
sin x.cos 5 x
3


Giải:
3 5
Nhận xét: Ta có bậc của sin là m   , bậc của cos là n   và m  n  2 nên ta
4 4
1 1
Biến đổi I   dx   dx
4 3 5
cos x 4 tan 3 x
2
sin x.cos x
1
Đặt t  tan x  dt  dx
cos 2 x
Khi đó



www.MATHVN.com 45
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1
dt
 4t  C  4 4 tan x  C
4
I 3
4
t
1
Bài 14: Tìm nguyên hàm sau I   dx
3
sin11 x.cos x
Giải:
11 1
Nhận xét: Ta có bậc của sin là m   , bậc của cos là n   và m  n  4 nên ta
3 3
1 dt
dx  1  tan 2 x  dx  dx 
Đặt t  tan x  dt  2
1  t2
cos x
Khi đó
22
1  t  11
1 1 
dt   1  t 2  .t 3
I dx   dx   dt
11
3 11 4 3 11
sin x.cos x cos x tan x
1  t  t
2 3


 11  5  8 3 8 3
3 3 3  2 3 3 3 
   t  t  dt   t  t  C   tan x  tan 2 x  C
3 3
8 2 8 2
 
dx
Bài 15: Tìm nguyên hàm I  
sin x cos 3 x
Giải:
dx dx
Ta biến đổi I   
3
tan x cos 4 x
sin x cos x
1
Đặt t  tan x  dt  dx
cos 2 x
t2  1 dt 1 1
dt   tdt    t 2  ln t  C  tan x 2  ln tan x  C
I
t t 2 2
cos x  sin x cos x
Bài 16: Tìm nguyên hàm I   dx
2  sin x
Giải:
cos x  sin x cos x cos x (1  sin x )
Ta biến đổi I   dx   dx
2  sin x 2  sin x
Đặt t  sin x  dt  cos xdx
Khi đó
1 t t  2 1 dt
I dt   dt   dt    t  ln t  2  C  sin x  ln sin x  2  C
2t t2 t2

4
2
Bài 16: Tính tích phân sau I   dx
sin x.cos 4 x
2

6




www.MATHVN.com 46
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
HD:
1
Nhận xét. R  sin x, cos x   là chẵn đối với sinx và cosx, nên ta đặt t = tanx và thực hiện phép
sin xcos 4 x
2

đổi cận ta có
1

2
  dt …
1 1  t2
1
4
2 2
1 t
I 2 dx   t 2  1 2 dt   t 2
4
 sin x.cos x 3 3
 
6
1  t2  1 t2 
3 3


2
Bài 17: Tính tích phân sau I   sin 5 x.cos 2 xdx
0

HD:
Nhận xét. R  sin x; cos x   sin 5 x.cos 2 x là lẻ đối với sin, ta đặt t = cosx và thực hiện đổi cận ta có tích phân
  
0
2 2 2
2 2
 1  cos x  .cos x.sin xdx    1  t 2  .t 2 dt …
5 2 4 2 2 2
I   sin x.cos xdx   sin x.cos x.sin xdx 
0 0 0 1


dx
Bài 18: Tìm nguyên hàm I  
sin x.cos5 x
3


Giải:
dx dx
I  8 3
3 3 2
sin 2 x.cos 2 x
sin x.cos x.cos x
dx 2t
Đặt t  tan x  dt  ;sin 2 x  .
2
1 t2
cos x
Khi đó
(t 2  1)3 t 6  3t 4  3t 2  1
dt 3
dt   (t 3  3t   t 3 )dt
I  8  dt  
3 3 3
t t t
2
 2
1 t 
1 3 1
 tan 4 x  tan 2 x  3ln tan x  C
2 tan 2 x
4 2
Bài tập tự giải có hướng dẫn:

3
dx
Bài 1: (HVKTMM – 1999) Tính tích phân sau I   4
sin x.cos x

6

HD:
Nhân cả tử và mẫu cho cos x và đặt t  sin x
14 26
 
Đs: I    ln 2  3  ln 3
3 93



www.MATHVN.com 47
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


sin 3 x
4
Bài 2: (ĐHQGHN – B 1998) Tính tích phân sau I   dx
cos 2 x
0

HD:
Bậc của sin là m  3 nên ta đặt t  cos x
3
Đs: I  2
2
 
2
4 4
3  8
 1  cos 2 x 
Bài 3: (ĐHQG HCM – 2000) Tính tích phân sau I   sin 4 xdx     dx  32
2
0 
0
2
 
3
 1  cos 2 x 
4
Bài 4: (ĐHSP HCM – 2000) Tính tích phân sau I   cos xdx     dx  8
2
0 
0

2
2
Bài 5: (ĐHQGHCM – 1998) Tính tích phân sau I   cos3 x sin 2 xdx 
15
0



b b
Dạng 2: Tính tích phân dạng I   f  x  dx   R  sin x, cos x  dx
a a

- Sử dụng các công thức lượng giác
2dt

dx  1  t 2

x 2t

- Sử dụng phép biến đổi đặt t  tan  sin x  đưa về tích phân hàm hữu tỷ
1 t2
2 
1  t2

cos x 
1 t2


Bài tập giải mẫu :


2
dx
Bài 1: (ĐHLN – 2000) Tính tích phân sau I   .
cos x  sin x  1
0

Giải:
x 1 x 2dt
 dt   tan 2  1 dx  dx  2
Đặt t  tan
t 1
2 2 2


t  1
x 
Đổi cận  2 
t  0
x  0





www.MATHVN.com 48
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1 1
1 2dt dt 1
Khi đó I     ln t  1 0  ln 2 .
.
1 t2 2
t 1
1 t
2t
0 0
 1
2
1 t2
1 t

2
1
Bài 2: Tính các tích phân I   dx
4sin x  3cos x  5
0



Giải:
x x 2dt

 dt   tan 2  1 dx  dx  2
Đặt t  tan
t 1
2 2

x  0
t  0

Đổi cận   
t  1
x  2

2
1
1 1
dt 1 1
1 t2
Khi đó I   dt    
2 2
t20 6
1 t 0  t  1
2t
0
3 5
4 2 2
1 t 1 t
 /2
sin xdx
Bài 3: Tính tích phân sau I 6   1  sin x
0


Giải:
u2  1
x
Đặt u  tan  du  dx
2 2
 1 du 1
1 1 1 1
du 
1 1
2u 2du du 1 du 1
1
 2  
I6    2   2  2
  2. *  .2
. 2
2 0
2
2 2 2 2
 0 1  u 0 (1  u ) 
(1  u ) 1  u 1  u (1  u )  1 u 1 u 1 u 2
0
0 0 0

Đặt u  tan t
 /4
  2
2 2
 I=2  dt  2  2  4  0   2  2
 
0



Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2
sin x  7 cos x  6
Bài 1: (ĐHTCKT – 1999) Tính tích phân: I   dx
4sin x  3cos x  5
0

HD:
sin x  7 cos x  6 4 cos x  3sin x 1
1 
Phân tích
4 sin x  3cos x  5 4sin x  3cos x  5 4 sin x  3cos x  5




www.MATHVN.com 49
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
 91
Đs: I   ln 
2 86

2
1 1
Bài 2: (ĐHLN – 2000) Tính t ích phân sau I   dx 
1  cos x  sin x 6
0



sin ax.cos bx 

cos ax.sin bx 
Dạng 3: Tính tích phân I    dx
sin ax.sin bx 

 
 cos ax.cos bx 
Phương pháp:
- Sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng
1 1
a. cos x.cos y  cos  x  y   cos  x  y   b. sin x.sin y  cos  x  y   cos  x  y  
  2 
2
1 1
c. sin x.cos y  sin  x  y   sin  x  y   d. cos x.sin y  sin  x  y   sin  x  y  
  2 
2

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHBKHN – 1999) Tìm nguyên hàm sau I   sin x.sin 2 x.cos 5 xdx
Giải:
1 1 1 1 1 
(ĐHBKHN – 1999) I   sin x.sin 2 x.cos 5 x.dx    sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  sin 8 x   C
4 2 4 6 8 
HD:
1 1
 cos x  cos 3 x  cos 5 x   cos 6 x  cos 4 x  cos8 x  cos 2 x 
Phân tích sin x.sin 2 x.cos 5 x 
2 4
Tương tự:
2
 khi p  q
Bài 1: (ĐHQG TPHCM – 1999) Tính tích phân I   cos px.cos qxdx khi 
khi p  q
0
2
 khi p  q
HD: I   cos px.cos qxdx  
0 khi p  q
0

2
2
Bài 2: Tính tích phân I   sin x sin 2 xdx 
3
0

Dạng 4: Tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác và các phép
biến đổi lượng giác
- Phép biến đổi tích thành tổng
1 1
a. cos x.cos y  cos  x  y   cos  x  y   b. sin x.sin y  cos  x  y   cos  x  y  
  2 
2



www.MATHVN.com 50
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

1 1
sin  x  y   sin  x  y   d. cos x.sin y  sin  x  y   sin  x  y  
c. sin x.cos y    2 
2
- Công thức nhân đôi
a. sin 2 x  2 sin x cos x
b. cos 2 x  1  2sin 2 x  2cos 2 x  1  cos 2 x  sin 2 x
- Công thức hạ bậc
1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  cos 2 x
a. sin 2 x  b. cos 2 x   tan 2 x 
1  cos 2 x
2 2
3sin x  sin 3x 3cos x  cos 3x
c. sin 3 x  d. cos3 x 
4 4
Chú ý: Một số công thức
1 11 31
a. sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x   cos 2 2 x   cos 4 x
2 22 44
32 3 5
b. sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 x  cos 4 x 
4 8 8
1 1
e. sin 2 x  cos2 x  1
 1  tan 2 x  1  cot 2 x
c. d.
cos 2 x sin 2 x

Bài tập giải mẫu:

sin 3x sin 4 x
Bài 1: (ĐHNT – 1997) Tìm nguyên hàm sau I   dx
tan x  cot 2 x
Giải:
Ta biến đổi:
sin x cos 2 x sin 2 x sin x  cos 2 x cos x cos x 1
tan x  cot 2 x     
cos x sin 2 x sin 2 x cos x sin 2 x cos x sin 2 x
sin 4 x sin 3x 1
 sin 4 x sin 3x sin 2 x   cos x  cos 7 x  sin 2 x

tan x  cot 2 x 2
1 1 1
 sin 2 x cos x  sin 2 x cos 7 x   sin 3 x  sin x  sin 9 x  sin 5 x 
2 2 4
Khi đó
1 1 1 1 1
I    sin 3x  sin x  sin 9 x  sin 5 x dx   cos 3 x  cos x  cos 9 x  cos 5 x  C
4 12 4 36 20
sin 3 x
Bài 2: (ĐHSPHN П – 1999) Tìm các nguyên hàm sau I   dx
3sin 4 x  sin 6 x  3sin 2 x
Giải:
Phân tích
3sin 4 x  sin 6 x  3sin 2 x  3  sin 4 x  sin 2 x   sin 6 x  6 cos 3 x sin x  2sin 3 x cos 3 x
 2 cos 3x  3sin x  sin 3 x   2 cos 3 x.4 sin 3 x
sin 3 x 1
 
3sin 4 x  sin 6 x  3sin 2 x 8cos 3 x


www.MATHVN.com 51
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

1 d  sin 3 x  sin 3 x  1
1 1 1
Khi đó I   cos 3x dx  8  1  sin 2 3x    48 ln sin 3x  1  C
8

Bài 3: (HVQHQT – 1997) Tìm nguyên hàm sau I    sin 4 x  cos 4 x   sin 6 x  cos6 x  dx
Giải:
Ta có
1 11 31
sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x   cos 2 2 x   cos 4 x và
2 22 44
3 3 5
sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 2 x  cos 4 x 
4 8 8
Ta có

 sin 4 x  cos4 x   sin 6 x  cos6 x   15  32 cos 2 4 x   32  32  cos 4 x  15  64 1  cos8 x   16 cos 4 x
3 5 9 3 7
 
32 32
 
33 7 3
  cos 4 x  cos8 x
64 16 64
Khi đó
 33 7 3 33 7 3

I     cos 4 x  cos 8 x dx  x  sin 4 x  sin 8 x  C
 64 16 64 64 64 512


Bài tập có hướng dẫn giải:
Bài 1: (ĐHAN 1997) Tìm nguyên hàm:
11 1 
I   cos 3 x.cos 5 x.dx   sin 8 x  sin 2 x   C
28 2 
Bài 2: (ĐHHH – 1999) Tìm nguyên hàm:
1 cos x  1 
1 2
I dx    ln C
cos x  1 
sin 2 x  2 sin x 8  1  cos x 
HD:
 sin x
1 1
và đặt t  cos x
 
sin 2 x  2sin x 2 sin x  cos x  1 2  cos x  1  cos x  1
2


Bài 3: (ĐHNT CSП – D 1998 ) Tìm các nguyên hàm:
1 3 3 1 
a. I   cos 3 cos 3 x.dx   x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x   C
8 2 4 6 
HD:
1
cos3 cos 3 x   3cos x  cos 3x  cos 3 x
4
1 1 1
b. I   cos 2 x cos 2 x.dx  x  sin 2 x  sin 4 x  C
4 4 16
HD:
1
cos 2 x cos 2 x  1  cos 2 x  cos 2 x
2



www.MATHVN.com 52
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Bài 4: (ĐHHĐ – A 2000) Tìm nguyên hàm: I   cos3 x cos 5 x.dx
HD:
1
cos3 x cos 5 x   3cos x  cos 3 x  cos 5 x
4
Bài 5: (HVQHQT – 1998) Tìm các nguyên hàm:
1
a. I   sin 3 x.sin 3x.dx   3cos 2 x  3cos 4 x  6 cos x  1  C
8
HD:
1
sin 3 x.sin 3 x   3sin x  sin 3 x  sin 3x
4
3
b. I    sin 3 x.cos 3x  cos3 x.sin 3 x  dx   cos 4 x  C
16
HD:
sin 3 x.cos 3 x  cos 3 x.sin 3 x  sin 3 x  4 cos3 x  3cos x   cos 3 x  3sin x  4 sin 3 x 
3 3
 3sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x   sin 2 x.cos 2 x  sin 4 x
2 4
Bài 6: (ĐHNT TPHCM – 1999) Tìm các nguyên hàm:
sin x  cos x
a. I   dx   ln sin x  cos x  C
sin x  cos x
C1: đặt u  sin x  cos x
d  sin x  cos x 
C2: I   
sin x  cos x
 sin x  cos x   sin x  cos x  cos 2 x
C3: I   dx   dx
2
1  sin 2 x
 sin x  cos x 
cos 2 x
b. I   dx  sin x  cos x  C
sin x  cos x
Bài 7: (ĐHNT TPHCM – 1997) Tìm nguyên hàm:
cos x  sin x.cos x
I dx  sin x  ln 2  sin x  C
2  sin x
Bài 8: (ĐHNT CS П – 2000) Tìm các nguyên hàm:
16 20
a. I   cos 5 x.tan x.dx   cos5 x  cos 3 x  5 cos x  C
5 3
HD:
Phân tích
cos 5 x  cos  3 x  2 x   cos3 x cos 2 x  sin 3 x sin x
 cos x  4cos 2 x  3   2 cos 2 x  1  2sin 2 x  3  4sin 2 x  cos x  cos x 16 cos 4 x  20 cos 2 x  5 
Và đặt t  sin x
4
b. I   cos 3 x.tan x.dx   cos3 x  3cos x  C
3
HD:



www.MATHVN.com 53
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Phân tích cos 3x  cos x  4 cos2 x  3 và đặt t  sin x
Bài 9: Tìm nguyên hàm:
1 3 
I    sin10 x  cos10 x   sin 6 x  cos 6 x  dx   33x  7sin 4 x  sin 8 x   C
64  8 


Bài 10: ( ĐHNN І – 19997 ) Tính tích phân: I    2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  dx 
2
0

2
15
Bài 11: (ĐHSPHN 2 – 2000) Tính tích phân I    cos10 x  sin10 x  cos 4 x.sin 4 x .dx 
64
0

11 1 1 
Bài 12: (ĐHBK – 1999) Tìm nguyên hàm I   sin x.sin 2 x.sin 5 xdx   sin 2 x  sin 4 x  sin 8 x   C
4 2 4 8 

MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

dx
Dạng 1: Tìm nguyên hàm I  
sin  x  a  sin  x  b 
Phương pháp:
Bước 1: Đồng nhất thức:
sin(a  b) sin  ( x  a)  ( x  b) 1
sin(a  x) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x)
1  
sin(a  b) sin(a  b) sin( a  b)
Bước 2: Biến đổi đưa về kết quả
Chú ý:
1
Tương tự: Tìm nguyên hàm I   dx
cos( x  a ) cos( x  b)
Ta sử dụng đồng nhất thức:
sin(a  b) sin  ( x  a)  ( x  b) 1
sin(a  x) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x)
1  
sin(a  b) sin(a  b) sin( a  b)
1
Hoặc: I   dx
sin( x  a) cos( x  b)
Ta sử dụng:
cos( a  b) cos ( x  a )  ( x  b ) 1
cos(a  x) cos(b  x)  sin(a  x)sin(b  x) 
1  
cos( a  b) cos(a  b) cos(a  b)

Bài tập giải mẫu:



1 sin x
Bài 1: Tìm nguyên hàm I   dx  2 ln C
 
 
sin x.sin  x   cos  x  
4 4
 



www.MATHVN.com 54
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
Giải:
Cách 1: Ta có
 cos  x     x 
 
cos
4    2 cos  x     x   2  cos  x    cos x  sin  x    sin x 

4
1      
4  
 4 4
  
2  
cos
4 2
 
 
 cos x sin  x   
1 4

 2
 
  
 sin x
 
sin x cos  x   cos  x   

4 4
 

 
 
d  cos  x   
4  
d (sin x) sin x
 
 2 
Khi đó I  2   2 ln sin x  2 ln cos  x    2 ln C
 
sin x 4
 

cos  x   cos  x  
4 4
 
Cách 2: Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có :
d (cot x  1)
dx dx
I  2  2 2  2   2 ln cot x  1  C
sin x (cos x  sin x ) sin x (cot x  1) cot x  1

Bài tập tự giải có hướng dẫn :

1 cos x
Bài 1: (ĐHQGHHN – D 2000) Tìm nguyên hàm sau I   dx  2 ln C
 
 
cos x.cos  x   cos  x  
4 4
 

3
dx 2
Bài 2: (CĐSPHN D – 2006) Tính tích phân sau I    ln 2

 3

sin x.sin  x  
6
3


dx
Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I  
sin x  sin 
Phương pháp:
x x 
- Sử dụng công thức: sin x  sin   2 sin cos
2 2
- Đưa về dạng 1 để giải
Chú ý:
dx

 I   sin x  m ; ( m  1)
Dạng: 
dx dx
I 
 cos x  cos  ; I   cos x  m ; ( m  1)





www.MATHVN.com 55
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Làm tương tự

Bài tập giải mẫu:

dx
Bài 1: Tìm nguyên hàm I  
2 sin x  1
Giải:
1 1 1 1
  
Ta có:
6x   6x  

1
2sin x  1  
2  sin x   2  sin x  sin  4 sin cos
12 12
2 6
 
Sử dụng đồng nhất thức:

cos
6  2 cos  6 x      6 x      2  cos  6 x    cos  6 x     sin  6 x    sin  6 x   
1  12   12         
 3   12   12   12   12
3    
cos
6
Khi đó
 6x     6x   
cos  sin 
 
1  12  dx  1  12  dx
I   6x    2 3   6x   
23
sin  cos 
 
 12   12 
  6x      6x    

d  sin  d  cos 
 
  12    1  12   1  6x     6x   
1 1

    C
ln sin  ln cos 
 
 6x     6x     12   12 
3 3 3 3
sin  cos 
 
 12   12 
dx
Bài 2: Tìm nguyên hàm I  
2 cos x  1
Giải:
Ta có:
1 1 1 1
  
 3x   3x   
1
2 cos x  1   
2  cos x   2  cos x  cos  4  cos cos 
2 3 6 6
  

sin
3  2 sin   2 sin  3x    3x     2 sin 3x   cos 3x    cos 3 x   sin 3x   
1 6 6 3 6

Do: 3 6 6 6
3 3    
sin
3

 3x    3x   
1 1 1

  
cot  tan  
2cos x 2 3 6 6
 23
Khi đó




www.MATHVN.com 56
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

 3x     3x  
1 1 1 
I dx   cot  6 dx  2 3  tan  6 dx
2 cos x  1 23    
3x  
sin
3x   3x  
1 1 1 6
  C  C
ln sin ln cos ln
3 cos 3x  
6 6
3 3
6

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
x 
1 1
a. (ĐHBKHN – A 2000) I   dx   cot     C
2 8
2  sin x  cos x 2
HD:
 x 

2  sin x  cos x  2  2 cos  x    2 2 sin 2   
Phân tích
4 2 8

Hoặc đặt t  tan x
6x  
sin
1 1 12  C
b. I   dx  ln
6x  
2 sin x  1 2 3 cos
12
 I   tan x.tan  x   dx

Dạng 3: Tìm nguyên hàm dạng  I   tan( x   ) cot( x   ) dx

 I  cot( x   ) cot( x   ) dx


Phương pháp:
Ta biến đổi:
sin x sin( x   ) cos x cos( x   )  sin x sin( x   )
tan x tan( x   )   1
cos x cos( x   ) cos x cos( x   )
Đưa về dạng 1

Bài tập giải mẫu :



Bài 1: Tìm nguyên hàm I   tan x tan  x   dx
4

Giải:
Cách 1:
Ta có:




www.MATHVN.com 57
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

    
  
sin x sin  x   cos x cos  x    sin x sin  x   cos   
 4 4 4  4
   
tan x tan  x     1  1
  
4   
 cos x cos  x   cos x cos  x   cos x cos  x  
4 4 4
  
2 1
 1

2 
cos x cos  x  
4

dx
Khi đó xét: J  


cos x cos  x  
4

Sử dụng đồng nhất thức:

sin
4  2 sin  x     x   2 sin  x    cos x  cos  x    sin x 
1      
4  
 4 4
  
 
sin
4

1
  2 tan( x  )  2 tan x
 4
cos x cos( x  )
4
 
 
J  2  tan  x   dx  2  tan xdx   2 ln cos  x    2 ln cos x  C
4 4
 

cos x
 I  2 ln  xC


cos  x  
4

Cách 2:
dx dx dx
J  2  2 2
 cos x (cos x  sin x ) cos x (1  tan x)

cos x cos  x  
4

d (1  tan x )
  2   2 ln 1  tan x  C  I   2 ln 1  tan x  x  C
1  tan x
Tương tự:

Bài 1: (ĐHQGHN – D 2001) Tìm nguyên hàm:
   1  3 tan x
1

I   tan  x   cot  x   dx  x  C
ln
3  6
 3 1  3 tan x

dx
Dạng 4: Tìm nguyên hàm: I  
a sin x  b cos x
Phương pháp:


www.MATHVN.com 58
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

 x    x  
Sử dụng công thức: a sin x  b cos x  a 2  b 2 sin( x   )  2 a 2  b 2 sin   cos  
2 2
Khi đó
  x   
d  tan  
  2 
1 dx 1
I 
 
2 a 2  b 2 tan  x    cos 2  x    2 a 2  b 2  x  
tan 
    
2 2 2
 x  
1
  C
ln tan 
2
2 2
2 a b
Cách 2: Ta có
sin( x   ) dx d (cos( x   ))
1 dx 1 1
I  
2  sin( x   )   cos
2 2
sin ( x   ) ( x   ) 1
2
2 a  b2
2
2 a 2  b2
2 a b
cos( x   )  1
1
 C
ln
cos( x   )  1
2 a 2  b2
Cách 3:
x
Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt: t  tan
2

Bài tập giải mẫu :

dx
Bài 1: Tìm nguyên hàm I  
3 sin x  cos x
Giải :
 
 
 x 6   x 6 

Ta có: 3 sin x  cos x  2 sin( x  )  4sin   cos  
6 2 2

   


x 6 
d tan  
2
 
  ln tan  x     C
1 dx 
I    12 12 
  
2     
x  x  x 
 6 cos 2  
6 6
tan  tg 
   
2 2 2
     
     
a1 sin x  b1 cos x
Dạng 5: Tìm nguyên hàm: I   dx
2
 a2 sin x  b2 cos x 
Phương pháp:



www.MATHVN.com 59
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Sử dụng đồng nhất thức: a1 sin x  b1 cos x  A  a2 sin x  b2 cos x   B  a2 cos x  b2 sin x 
Để ý: a2 sin x  b2 cos x  a2  b22 sin( x   )
2


Kết hợp dạng 3-4 để giải.

Bài tập giải mẫu:

8 cos x
Bài 1: Tìm nguyên hàm sau I   dx
2  3 sin 2 x  cos 2 x
Giải:
Biến đổi:
8cos x 8 cos x 8 cos x
 
2  3 sin 2 x  cos 2 x 1  3 sin 2 x  (1  cos 2 x ) 3sin x  2 3 sin x cos x  cos 2 x
2


8 cos x
 2
 
3 sin x  cos x
Phân tích:
8 cos x  A( 3 sin x  cos x)  B ( 3 cos x  sin x)  ( A 3  B) sin x  ( A  B 3) cos x
Đồng nhất đẳng thức:
A 3  B  0 A  2



 A  B 3  8 B  2 3


2 3( 3 cos x  sin x)
8 cos x 2
  
2 2
   
3 sin x  cos x
3 sin x  cos x 3 sin x  cos x

x  
d ( 3 sin x  cos x ) 1
2dx 23
I  2 3  ln tg     C
2
2  2 12 
3 sin x  cos x ( 3 sin x  cos x) 3 sin x  cos x
sin x
Bài 2: (ĐHQGHN – A 2000) Tìm nguyên hàm I   dx
1  sin 2 x
Giải:
sin x sin x

Ta có:
1  sin 2 x  sin x  cos x  2
Đồng nhất thức: sin x  A  sin x  cos x   B  cos x  sin x    A  B  sin x   A  B  cos x
1

A  2
A B 1 
 
 A  B  0 B   1

 2




www.MATHVN.com 60
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1 1
 sin x  (sin x  cos x)  (cos x  sin x)
2 2
1 cos x  sin x
sin x 1
  
2 2
 sin x  cos x  2(sin x  cos x) 2  sin x  cos x 
1 d (sin x  cos x )
sin x 1 1
I dx   (sin x  cos x) dx  2   sin x  cos x 2
2
2
 sin x  cos x 


dx 
x  1
1 4 1 1 1 1

I      2 sin x  cos x  2 2 ln tan  2  8   2 sin x  cos x  C
22  
sin  x  
4

Tương tự
7 sin x  5 cos x
Tìm nguyên hàm I   2
 3sin x  4 cos x 
a sin x  b cos x
Dạng 6: Tìm nguyên hàm I   dx
c sin x  d cos x
Phương pháp:
a sin x  b cos x B (c cos x  d sin x)
- Đặt:  A
c sin x  d cos x c.sin x  d cos x
- Sau đó dùng đồng nhất thức

Bài tạp giải mẫu :

Bài 1: Chứng minh rằng
a. sin x  b.cos x
 a.sin x  b.cos xdx  Ax  ln | a.sin x  b.cos x | C ( A, B, C là các hằng số)
Giải:
Ta phân tích:
a.sin x  b.cos x  A  a '.sin x  b '.cos x   B  a '.cosx  b '.sin x  , tìm ra các hệ số A và B. Khi đó
a. sin x  b.cos x a '.cosx  b '.sin x
 a '.sin x  b '.cos xdx  Ax  B  a '.sin x  b '.cos xdx
 Ax  B ln | a '.sin x  b '.cos x | C
2.sin x  3.cos x
Bài 2: Tìm nguyên hàm I   dx
sin x  2 cos x
Giải:
Ta có




www.MATHVN.com 61
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2.sin x  3.cos x  A(sin x  2 cos x )  B(cos x  2sin x)
8

A  5 8 1

  2.sin x  3.cos x  (sin x  2 cos x)  (cos x  2sin x)
B   1 5 5

 5
8 1
 I  x  ln | cos x  2sin x | C
5 5
Tương tự:
1. Chứng minh rằng:
a.sin x  b.cos x 1 B
 (a '.sin x  b '.cos x)2 dx  A a '.sin x  b '.cos x dx  a '.sin x  b '.cos x , với A, B là các hằng số
Ta phân tích a.sin x  b.cos x  A  a '.sin x  b '.cos x   B  a '.cosx  b '.sin x  , tìm ra các hệ số A và B. Khi
a.sin x  b.cos x 1 B
đó  dx  A dx  .
2
a '.sin x  b '.cos x a '.sin x  b '.cos x
 a '.sin x  b '.cos x 
a.sin x  b.cos x
2. Hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được tích phân dạng  dx
3
 a '.sin x  b '.cos x 
sin x  2 cos x
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm I   dx
2
 
3 sin x  cos x

  
sin x  2 cos x  A 3 sin x  cos x  B 3cosx  sin x

 2 3
A  2 3 2 3
 4
   
  sin x  2.cos x  3 sin x  cos x  3cosx  sin x
4 4
B   2  3

 4
2 3 2 3
1 1
I  3 sin x  cos x dx  4 3 sin x  cos x  C
4
1
dx là dạng tích phân mà chúng ta đã biết cách tính .
Tích phân 
3 sin x  cos x
sin x  2 cos x
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm I   dx
3
 
3 sin x  cos x

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Tìm nguyên hàm:
4 sin x  3cos x
I dx  2 x  ln sin x  2 cos x  C
sin x  2 cos x
Bài 4: (HVNHHN – 1999) Tìm nguyên hàm:
cos 2 x 2  1 x 
1 
I dx   cos  x    ln tan     C
2 3 8 2 6
sin x  3 cos x 


www.MATHVN.com 62
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
HD:
 

Phân tích sin x  3 cos x  sin  x   và đặt t  x 
3 3


dx
Dạng 7: Tìm nguyên hàm I  
a sin x  b cos x  c
Phương pháp:
2t

sin x  1  t 2
x 
Đặt: t  tan   2
2 cos x  1  t
 1 t2



x 
2dx
Bài 1: Tìm nguyên hàm I    ln tan     C
2 sin x  cos x  1 2 4

a1 sin x  b1 cos x  c1
Dạng 8: Tìm nguyên hàm I   dx
a2 sin x  b2 cos x  c2
Cách giải:
Biến đổi: a1 sin x  b1 cos x  c1  A  a2 sin x  b2 cos x  c2   B  a2 cos x  b2 sin x   c
Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải.
a sin x  b cos x  m
Hoặc: I   dx
c sin x  d cos x  n
a sin x  b cos x  m B (c cos x  d .sin x ) C
Đặt:  A 
c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n
Sau đó dùng đồng nhất thức

Bài tập giải mẫu:

5 sin x
Bài 1: Tìm nguyên hàm I   dx
2 sin x  cos x  1
Giải:
Ta phân tích:
5sin x  A  2 sin x  cos x  1  B  2 cos x  sin x   C   2 A  B  sin x   2 B  A  cos x  A  C
2 A  B  5  A  2
 
 2b  A  0   B  1
A C  0 C  2
 




www.MATHVN.com 63
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
2 cos x  sin x
5 sin x 2
 2 
2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1
d (2sin x  cos x  1) dx
 I  2 dx    2  2 x  ln 2sin x  cos x  1  2 J
2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1
dx
Tính: J  
2 sin x  cos x  1

1 t2
dt 2t
x
 dx  2 ;sin x  ; cos x 
Đặt: t  tan
1 t2 1 t2 1 t2
2
x
tan
d (t  1)
dt t 2
 2 J  2  2  ln  C  ln C
2 2
x
t  2t t2
 t  1  1 tan  2
2
x
tan
2
Khi đó I  2 x  ln 2 sin x  cos x  1  ln C
x
tan  2
2

2
sin x  7 cos x  6
Bài 2: Tìm nguyên hàm I   dx
4sin x  3cos x  5
0



Giải:

sin x  7 cos x  6 4 cos x  3 sin x C
Đặt:  A B 
4 sin x  3 cos x  5 4 sin x  3 cos x  5 4 sin x  3 cos x  5
Dùng đồng nhất thức ta được: A  1 , B  1 , C  1
Khi đó
 
2 2
sin x  7 cos x  6 4 cos x  3sin x 1
 
I dx    1   dx
4 sin x  3cos x  5 4sin x  3cos x  5 4 sin x  3cos x  5 
0
0

 91
  x  ln 4 sin x  3cos x  5  2  I1   ln 
2 86
0

Tương tự:
Bài 1: Tìm nguyên hàm:
x 
5 sin x
I dx  2 x  ln 2 sin x  cos x  1  ln tan     C
2 sin x  cos x  1 2 4

a 1 sin 2 x  b1 sin x cos x  c1 cos 2 x
Dạng 9: Tìm nguyên hàm I   dx
a2 sin x  b2 cos x
HD:
Biến đổi:


www.MATHVN.com 64
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

a1 sin 2 x  b1 cos x sin x  c1 cos2 x   A sin x  B cos x   a2 sin x  b2 cos x   c  sin x  cos2 x 
2


Đưa về dạng quen thuộc để giải.

Bài tập giải mẫu:

4sin 2 x  1
Bài 1: Tìm nguyên hàm I   dx
3 sin x  cos x
Giải:
Ta phân tích: 4sin 2 x  1  5sin 2 x  cos 2 x
 ( A sin x  B cos x )( 3 sin x  cos x )  C (sin 2 x  cos 2 x ) 
 ( A 3  C ) sin 2 x  ( A  B 3) sin x cos x  ( B  C ) cos 2 x
A 3  C  5 A  3
 

  A  B 3  0   B  1
B  C  1 C  2



4sin 2 x 2
 3 sin x  cos x   I   3 cos x  sin x  J
3 sin x  cos x 3 sin x  cos x
2 1 dx
J dx  
 
2  
3 sin x  cos x
 x 6   x 6 
sin   cos  
2 2
   
   
 
 
 x  6 

d  tan  
 2  

   x 6 

1 dx  
 
  ln tan   C
  
2 2
  
 x 6  2 x 6  x 6   
 
tan  cos  tan 
  
2 2 2
     
     


 
 x 6 
I   3 cos x  sin x  ln tan   C
2 
 
 
cos 2 x
Bài 2: Tìm nguyên hàm I   dx
sin x  3 cos x
Giải:



www.MATHVN.com 65
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Ta phân tích: cos2 x   A sin x  B cos x  (sin x  cos x)  C  sin 2 x  cos 2 x 
1

A   4
 3B  C  1 
 3
 
 ( 3B  C ) cos 2 x  ( B  3 A) sin x cos x   A  C  sin 2 x   B  3 A  0   B 
4
A C  0 
1
 

C  4

cos 2 x 1 3 1
   sin x  cos x 
4 4
sin x  3 cos x 4(sin x  3 cos x )
1 3 1 dx
I cos x  sin x  
4 4 4 sin x  3 cos x
dx
Tính: J  
sin x  3 cos x
x  x 
1 dx 1 1 3 1
J   ln tan     C  I  cos x  sin x  ln tan     C
 2
2 2 6 4 4 8 2 6

sin  x  
3

Tương tự:
4 sin 2 x  1 x  
1
Bài 1: Tìm nguyên hàm: I   dx  ln tan     C
2  2 12 
3 sin x  cos x


dx
Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I  
a sin x  b sin x cos x  c cos 2 x
Phương pháp:
Biến đổi:
dx
I 2 2
cos x (a tan x  b tan x  c )
1
Đặt: t  tan x  dt  dx
cos 2 x
dt
I  2
at  bt  c
Dạng quen thuộc giải được

Bài tập giải mẫu:

dx
Bài 1: Tìm nguyên hàm I  
3sin x  2 sin x cos x  cos 2 x
2

Giải:



www.MATHVN.com 66
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

Ta có: 3sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  cos 2 x  3 tan 2 x  2 tan x  1
dx
I 2 2
cos x (3tan x  2 tan x  1)
1 1 1
Đặt: t  tan x  dt  dx  I   2 dt   dt
2
1
3t  2t  1
cos x 3(t  1)(t  )
3
 1  
 t  3   (t  1) 
1 1  1 1 1 1


Ta phân tích:
 1 4  1 4 (t  1) 4  1 
3(t  1)  t   (t  1)  t   t  3 
 3  3  

t 1
1 dt 1 dt 1 1 1 1
 t  1  4  1  4 ln t  1  4 ln t  3  C  4 ln 1  C
I
4 t t
3 3
1 3 tan x  3
Khi đó I  ln C
4 3tan x  1
Tương tự :
sin x  cos x
dx 1
Bài 1: Tìm nguyên hàm: I    ln C
2 2
3sin x  2sin x cos x  cos x 4 3sin x  cos x
sin x.cos x
Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I   dx

a sin x  b cos x 
2 2 2 2


Cách giải:
Để ý rằng:
1
d (a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x)
sin x cos xdx  2 2
2(a  b )
TH 1:   1
d (a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x)
1 1
ln a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  C
I 
2
2 2 2 2 2 2 2
2(a  b ) a sin x  b cos x 2(a  b )
TH 2:   1
d (a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x)
1 1 1
 
a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x
2
I  C

2
2( a  b 2 )(1   )
2
2(a  b ) a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x
 
Bài tập giải mẫu:

sin x cos x
Bài 1: Tìm nguyên hàm I   dx
2 sin 2 x  cos 2 x
Giải:




www.MATHVN.com 67
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
1
 
d 2sin 2 x  cos 2 x
Ta phân tích: sin x cos xdx 
2
 
2 2
1 d 2 sin x  cos x 1 2 2
I  2sin 2 x  cos 2 x  2 ln 2 sin x  cos x  C
2
sin x cos x
Bài 2: Tìm nguyên hàm I   dx
2 sin 2 x  3cos 2 x
Giải:
1
 
Ta phân tích: sin x cos xdx   d 2 sin 2 x  3cos 2 x
2
 
2 2
1 d 2sin x  3cos x 1 1
I    C
4 2sin x  3cos2 x 2
2 2
2sin x  3cos x  
2 2



dx
Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I  
a sin x  b cos x
Phương pháp:
TH 1: c  a 2  b 2
Ta biến đổi:
1 1 1 1
 
a sin x  b cos x c 1  cos  x     2c  x  
 cos 2  
2
 x  
d 
 2   1 tan  x     C
1 dx 1
I 
2c  2
 x   c  x   c  
cos 2  cos 2 
 
2 2
TH 2: c   a 2  b 2
Ta biến đổi :
1 1 1 1
 
a sin x  b cos x c 1  cos  x     2c  x  
  sin 2  
2
 x  
d 
 x  
1 dx 1 1
2
 
I  2  x    c 2  x     c cotg  2   C
2c  
sin  sin 
 
2 2
 
2 2 2
TH 3: c  a  b
x
Ta thực hiện phép đặt : t  tan
2
1 t2
dt 2t
 dx  2 ;sin x  ; cos x 
1 t2 1 t2 1 t2
Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số



www.MATHVN.com 68
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498


Bài tập giải mẫu :

2dx
Bài 1: Tìm nguyên hàm I  
2 sin x  cos x  1
Giải:
Ta thấy: c 2  a 2  b 2 (vì: 12  2 2  12 )
x
Đặt: t  tan
2
1 t2
dt 2t
 dx  2 ;sin x  ; cos x 
1 t2 1 t2 1 t2
x
tg
d (t  1)
dt t 2 C
 I  2 2  2  ln  C  ln
2
x
 t  1  1
t  2t t2 tg  2
2
dx
Bài 2: Tìm nguyên hàm I  
sin x  cos x  2
Giải:
Ta thấy: c  a 2  b 2 (vì : 2  12  12 )
Ta biến đổi :
1 1 1
 

2x
 

sin x  cos x  2 
2 1  cos  x    2 2 sin   
2 8
4 


x 
d  
x 
1 dx 1 1
2 8
I  2  x    2  2  x     2 cot  2  8   C
 
2 2 sin
 sin   
2 8 2 8
Tương tự :
dx
Tìm nguyên hàm: I  
sin x  cos x  2
HD: Tương tự VD2

Bài tập tổng hợp :

3
dx
Bài 1: (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân sau I  



sin x sin  x  
6
6

Giải:




www.MATHVN.com 69
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498
  
3 3 3
dx dx 2dx
I   
  2
 3   3 sin x  sin x cos x
1

sin x sin  x   6  sin x  
 2 sin x  2 cos x  6

6
6
  
  
2d  tan x  d  tan x 
3 3 3
2 dx
   2 3 
   tan x      
 cos2 x  3 tan 2 x  tan x 3 tan x  1 3 tan x  1
3 tan x
  
6 6 6

3
 
1 1
d  tan x  
 2 3  
3 tan x  1 
  3 tan x
6

 
 
   2 ln tan x
3 tan x  1
d
d  tan x 
3 3
3 3
 
    2 ln 3 tan x  1
 2  2

tan x 3 tan x  1
 
6 6
6 6
 1 3
  2  ln 4  ln 2   2 ln
 2  ln 3  ln
2
3


4
1
Bài 2: Tính t ích phân sau I  dx
  sin x  cos x  2


12

Giải:

 
4 4
 4
1 1 1 1 3

I  dx   dx   cot  x   
2
 4 
2 2 2
  sin x  cos x  2 
 sin  x  


12 12
4 12

sin 3 x
Bài 3: Tính t ích phân sau I   dx
sin x
Giải:
3sin x  4 sin 3 x
sin 3 x 1
dx    3  4 sin 2 x dx  3 x  2  1  cos 2 x dx  3 x  2 x  2. sin 2 x  c
I dx  
sin x sin x 2
 x  sin 2 x  C
sin x  2 cos x
Bài 4: Tính nguyên hàm I   dx
2
 
3 sin x  cos x




www.MATHVN.com 70
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498

  
sin x  2 cos x  A 3 sin x  cos x  B 3 cos x  sin x

 2 3
A  2 3 2 3
 4
   
  sin x  2.cos x  3 sin x  cos x  3 cos x  sin x
4 4
B   2  3

 4
2 3 2 3
1 1
I  3 sin x  cos xdx  4 3 sin x  cos x  C
4


2
sin x.dx
Bài 5: Tính t ích phân sau I   sin x  cos x
0
Giải:
 
2 2
1 (sin x  cos x)  (sin x  cos x).dx
sin x.dx
I  sin x  cos x  2  sin x  cos x
0 0


 1 d  sin x  cos x   1
2

  ln  sin x  cos x  2 

4 2 0 sin x  cos x 42 4
0
Bài 6: (ĐHXD – 1997) Cho hàm số f  x   4 cos x  3sin x và g  x   cos x  2sin x
a. Tìm A, B để g  x   Af  x   Bf '  x 

g  x
4
b. Tính I   dx
f  x
0

2
 
A  5 g  x
4
1 7

b. I   dx   ln
Đs: a. 
f  x
B   1 10 5 4 2
0
 5


4

sin x  2cos x 1
Bài 7: (CĐSPHN – 2000) Tính tích phân I   dx   ln  
3sin x  cos x 2 4
0



Lời kết:

Do thời gian có hạn và tuổi đời còn trẻ nên đôi khi không thể tránh được những thiếu sót và sai lầm
nên rất mong các bạn học sinh, quý thầy cô góp ý kiến và bổ sung thêm, xin chân thành cảm ơn. Mỗi
bài toán có thể còn những cách khác hay hơn nhưng có thể tôi không biết hoặc không viết hết ra được,
mong bạn đọc trao đổi

Góp ý theo địa chỉ Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa


www.MATHVN.com 71
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com
DĐ: 01694 013 498




MỤC LỤC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: …………………………………………………………....................................Trang 1 → trang 9
Dạng 2: …………………………………………………………………………………Trang 9 → trang 12
Dạng 3: …………………………………………………………………………………Trang 12 → trang 17
Dạng 4: …………………………………………………………………………………Trang 17 → trang 22
Dạng 5: …………………………………………………………………………………Trang 22 → trang 25
Dạng 6: …………………………………………………………………………………Trang 25 → trang 27
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM
LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC
……………………………………………………………………………………………Trang 28 → trang 35
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC
………………………………………………………………………. …………………...Trang 36 → trang 38
PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
……………………………………………………………………….. …………………..Trang 38 → trang 39
MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: ………………………………………………………….......................................Trang 39 → trang 47
Dạng 2: …………………………………………………………………………………...Trang 47 → trang 49
Dạng 3: …………………………………………………………………………………...Trang 49
Dạng 4: …………………………………………………………………………………...Trang 49 → trang 53
MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
…………………………………………………………………………………………….Trang 53 → trang 71




www.MATHVN.com 72
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản