Chuyên đề: tích phân hàm lượng giác

Chia sẻ: LPT Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
1.016
lượt xem
349
download

Chuyên đề: tích phân hàm lượng giác

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này sẽ giới thiệu chuyên đề tích phân ôn thi Đại học 2011 của thầy giáo Nguyễn Thành Long - Bỉm Sơn, Thanh Hóa (email: loinguyen1310@gmail.com, gửi đăng trên mathvn.com). Chuyên đề Tích phân hàm lượng giác gồm 72 trang, trình bày các dạng Toán thường gặp, phương pháp giải, bài tập mẫu (có lời giải),... Học sinh 12 và giáo viên Toán THPT có thể dùng để luyện thi ĐH năm 2011.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: tích phân hàm lượng giác

  1. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x  .sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx  Bài tập giải mẫu:  2 2 Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0 Giải: Cách 1: Ta có:    2 2 2 2 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2cos x  cos 2 x  dx    cos x  2cos 2 x  cos 3 x  .sin xdx 0 0 0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx x  0 t  1  Đổi cận    t  0 x  2  Khi đó 0 1  t 2 2t 3 t 4  1 17 I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt     2 3 4  0 12 1 0 Cách 2:    2 2 2 2 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos 2 x  dx     cos x  2 cos 2 x  cos3 x  .d  cos x  0 0 0   cos 2 x 2 cos 3 x cos 4 x 17     2 2 3 4  0 12 Cách 3: sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) cos x  t  1 Cách 4: du   sin xdx u  cos x   3 Đặt   1  cos x  2 2 dv  sin x 1  cos x  dx   1  cos x  d 1  cos x  v      3 Khi đó www.MATHVN.com 1
  2. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498    12 2 12 1 3 3 3 I   cos x. 1  cos x  2   sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x  3 30 3 30 0  21 17 4   1  cos x  2  3 12 12 0  2 dx Bài 2: Tính tích phân sau I   sin x  3 Giải: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được    2 2 2 dx sin xdx sin xdx I  sin x    sin x  1  cos 2 x 2   3 3 3 Đặt t  cos x  dt   sin xdx   t  0 x  2   Đổi cận   1 x   t  2   3  Khi đó 1 1 1 1 0 2 2 2 2  dt dt 11 1 1 dt 1 dt I     dt   2  t  1  2  t  1 2 2 2 0 1 t 1 t  1 1 t 0 1 t 0 0 2 1 1 1    ln t  1  ln t  1  2  ln 3 2 2 0 Cách 2: x 1 x 2dt 1 1 2tdt 1 Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx  dx  2  dx   dt . 2t 1  t 2 t t 1 2 2 2 sin x 1 t2    x 3  3  t   Đổi cận   3 x   t  1    2 www.MATHVN.com 2
  3. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  1 1 2 1 1 31  t dt   ln t  Khi đó I   dx  3   ln  ln 3.  sin x 3 2 3 3 3 3 Cách 3: x       d  tan  2 2 2 2 dx dx dx x2 1 2  I  dx     ln tan  ln 3 x x x x x 2 2  sin x 2    2 sin cos 2 tan cos tan 2 2 2 23 2 3 3 3 3 Cách 4:     1 1  cos x   1  cos x  2 2 2 2 dx sin xdx sin xdx d  cos x  I  sin x      2 2 2  1  cos x  1  cos x  sin x  1  cos x   3 3 3 3    2 2 2 1 1 1 1 1 1 1    1  cos x  1  cos x  d  cos x    2  1  cos x d 1  cos x   2  1  cos x d 1  cos x   2  3 3 3   1 1 1   ln 1  cos x 2  ln 1  cos x 2  ln 3 2 2 2 3 3 Cách 5: u  sin x du  cos xdx  dx   Đặt  …. Bạn đọc tự giải nhé v   cot x dv  sin 2 x   2 sin 2 x  sin x Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   dx 1  3cos x 0 Giải: Cách 1: Ta có: sin 2 x  sin x  sin x  2 cos x  1 . 3 sin x sin x 2dt Đặt t  1  3cos x ta được dt  dx  dx   ; 3 2 1  3cos x 1  3cos x 2 2 t 1 2t  1 cos x   2 cos x  1  3 3 x  0 t  2  Đổi cận    t  1 x  2  Khi đó www.MATHVN.com 3
  4. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2  4t 2 2  2  2 34 4   dt   t 3  t   I   9 9  27 9  1 27 1 Cách 2: Đặt t  1  3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u  2 cos x  1 du  2 sin x   d 1  3cos x    Đặt  2 sin x dv  dx   v   3 1  3cos x  1  3cos x 3 1  3cos x  Khi đó    42 2 42 2 I    2 cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x  3 30 3 90 0  28 34 3 1  3cos x   2 3 27 27 0 Cách 4: Phân tích 2 1 1 3 1  3cos x   sin 2 x  sin x 1 2 cos x  1 3 d 1  3cos x   d 1  3cos x    . dx   . 3 1  3cos x 3 1  3cos x 1  3cos x 2 1   1  3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9 9 1  3cos x … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất   a. sin 2 x  b sin x a. sin 2 x  bcosx dx ta đặt c  d cos x  t . Tổng quát:  dx hoặc  c  d cos x c  d s inx    2 sin 2 x.cos x Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   dx 1  cos x 0 Giải: Cách 1:   sin x.cos 2 x 2 2 sin 2 x.cos x Ta có I   dx  2  dx 1  cos x 1  cos x 0 0 dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 www.MATHVN.com 4
  5. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2 x  0  Khi đó 2  t  1 1 2  t2 2 1  I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t   2 ln 2  1 t t 2 1 1 2 Cách 2:    1  cos 2 x   1 2 2 2 2 sin 2 x.cos x sin x.cos x dx  2    d cos x   I dx  2  1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0   cos 2 x 2   1    d  cos x    sin x   2  1  cos x   ln 1  cos x  2  2ln 2  1 1  cos x  2   0 0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x  a sin 2 x.cos x dx ta đặt t  b  c. cos x hoặc t  cos x Tổng quát: I   b  c.cos x   4sin 3 x 2 Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   dx 1  cos x 0 Giải: 4 sin 3 x 1  cos x  4 sin 3 x 1  cos x  4sin 3 x Ta có    4 sin x  4 sin x cos x  4 sin x  2 sin 2 x 1  cos x 1  cos x  1  cos x  sin 2 x Cách 1:    3 2 2 4sin x   4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4cos x  2  2 Khi đó I  I   dx  1  cos x 0 0 0 Cách 2:       3 2 2 4sin x 2  4sin x  4sin x cos x dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x   4cos x 2  2cos x 2  2 I dx   2 2 1  cos x 0 0 0 0 0 0 Cách 3:   4 1  cos 2 x  sin x 3 2 2 4sin x I dx   dx 1  cos x 1  cos x 0 0  dt  sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 www.MATHVN.com 5
  6. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2 x  0  2 1 4 1   t  1  2 2 Khi đó I      dt    4t  8  dt   2t 2  8t   2 1 t 2 1 Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:  dt dx   x 2t  Đặt t  tan  sin x  1 t2 2  1  t2  cos x   1 t2  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin 3 x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )   4sin x  2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám 1  cos x 1  cos x phá nhé!  4 cos3 x 2 Tương tự I   dx  2 1  sin x 0  12 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 4 xdx 0 Giải: Cách 1:   12 12 sin 4 x  tan 4 xdx   cos 4 x dx Ta có: 0 0 dt Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx   4 x  0 t  1   Đổi cận    1  x  12 t  2     1 1 1 12 12 2 sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1 Khi đó I   tan 4 xdx   dx       ln t 1  ln 2. cos 4 x 41 t 41 t 4 4 0 0 2 2 Cách 2: www.MATHVN.com 6
  7. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498     1 12 d  cos 4 x  12 12 sin 4 x 1 1 I  tan 4 xdx   dx      ln cos 4 x 12  ln 2 cos 4 x 4 0 cos 4 x 4 4 0 0 0  cos 3 x 2 Bài 6: Tính t ích phân sau I   dx  1  sin x 4 Giải:     1  sin x  cos xdx  2 3 2 2 2 2 2 cos x cos x  1  sin x  cos xdx I dx   cos xdx    1  sin x  1  sin x  1  sin x  4 4 4 4 Đến đây ta đặt t  1  sin x Hoặc     2 2 2 3 2 2 1 1   I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin 2 xdx   sin x  sin 2 x  2   2 4 4    4 4 4 4 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  2 3 3sin x  4 cos x Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   dx   ln 3 2 2 6 0 3sin x  4 cos x HD:   2 2 sin x cos x Tách làm hai tích phân I  3 dx  4  dx kết hợp với công thức 2 2 3sin x  4 cos 2 x 2 3sin x  4cos x 0 0 sin 2 x  cos2 x  1 ta sẽ được kết quả  2 3cos x  4sin x Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J   dx 2 2 0 3sin x  4 cos x  3 3 Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin 2 x.tan xdx  ln 2  8 0 HD: sin x Ta có sin 2 x. tan x  1  cos 2 x  và đặt t  cos x cos x  2 sin 3 x Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   dx  1  3ln 2 1  cos x 0 HD: www.MATHVN.com 7
  8. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498     dx và đặt t  1  cos x 2 sin x 4 cos 2 x  1 3sin x  4sin 3 x 2 2 sin 3 x Ta có I   dx   dx   1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0  sin 3 x 2  Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   dx   1 2 2 0 1  cos x HD: sin 3 x 1  cos2 x  sin x và đặt t  cos x Ta có 1  cos2 x 1  cos 2 x  2 sin x Bài 5: Tính tích phân sau I   dx  ln 2 x 2 2 0 sin x  2 cos x.cos 2 HD: x Ta có sin 2 x  2 cos x.cos 2  sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x và đặt t  1  cos x 2  2  cos 2 x Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I   dx   1 1  cos x 2 0  sin 3 x  sin 3 3 x 6 11 Bài 7: Tính tích phân: I   dx    ln 2 1  cos 3 x 63 0 HD: Phân tích sin 3x  sin 3 3x  sin 3x 1  sin 2 3 x   sin 3x.cos 3x và đặt t  1  cos 3 x  2 Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin 2 xdx  2 0 HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x  2 sin x cos x và đặt t  cos x  1 4 Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln 2  e 2 1 0 HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2  Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e  1 4 0 HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2 sin 2 x Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   dx 4  cos 2 x 0 www.MATHVN.com 8
  9. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  3 2sin 2 x  sin x Bài 12: Tính tích phân sau: I   dx 6 cos x  2 0 HD: Đặt t  6 cos x  2 hoặc t  6 cos x  2   1  cos2 x  sin x dx 3 4 4 4sin x Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   dx  4  4 1  cos 4 x 0 1  cos x 0 HD: Đặt t  cos x  2  cos x Bài 14: Tính tích phân sau: I   dx  4 1  cos 2 x 0 HD: Phân tích 1  cos 2 x  2  sin 2 x từ đó đặt t  sin x  2 sin 4 x 3 Bài 15: Tính tích phân sau I   dx  2  6 ln 2 4 0 1  cos x HD: sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x  và đặt t  3  cos 2 x hoặc t  cos 2 x Phân tích 2 1  cos 2 x 1  cos x 1 2 b  f sin x .cos xdx Dạng 2: Tính tích phân dạng I  đặt u  sin x  du  cos xdx a a. sin 2 x  b.sin x dx ta đổi biến bằng cách đặt t  c  d . cos x Để tính tích phân dạng  c  d .cos x Bài tập giải mẫu:  1  2sin 2 x 4 Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   dx 1  sin 2 x 0 Giải: Cách 1:   2 4 4 1  2sin x cos 2 x Ta có I   1  sin 2 x dx   1  sin 2 x dx 0 0 dt Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx  2 www.MATHVN.com 9
  10. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   t  2 x  Đổi cận  4  t  1 x  0  2 21 1 dt 1 Khi đó I    ln t  ln 2 12 21 t 2 Hoặc đặt sin 2 x  t Cách 2:     ' 1 1  sin 2 x  4 4 1 4 d (1  sin 2 x ) 1 cos 2x 1  ln 1  sin2 x  4  ln 2 I dx   dx   2 0 1  sin 2 x  1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 Cách 3: 2 Biến đối 1 – 2 sin 2 x   cos x  sin x   cos x – sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x      d  cos x  sin x  2 4 4 4 1  2sin x cos x  sin x 1 I dx   dx    ln cos x  sin x 4  ln 2 1  sin 2 x cos x  sin x cos x  sin x 2 0 0 0 0 Hoặc đặt t  sin x  cos x  3 cos x Bài 2: Tính tích phân sau I 2  dx  2  cos 2 x 0 Giải: Đặt t  sin x  dt  cos xdx t  0 x  0   Đổi cận    3 x t   3   2  3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt Khi đó I 2  dx      2 2  cos 2 x 2 32 3  2t 0 0 0 t 2 3 3 Đặt t  cos u  dt   sin udu 2 2   t  0 u  2   Đổi cận  3  u   t   2   4 Khi đó www.MATHVN.com 10
  11. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  3   3 2 sin udu 2 2 4  1 dt 1 1 1 2 I    du   u   2 32 2 3 2 2 42 1  cos2 u    0 t  4 4 2 2 4 Chú ý: 3 Ta có thể dùng một bước đặt là sin x  cos u thì bài toán sẽ nhanh hơn 2 cos 3 x Bài 3: Tính t ích phân sau I   dx sin x Giải:   4 cos x  3 4 1  sin 2 x   3 2 3 2 4 cos x  3cos x cos 3 x .d  sin x   I dx   dx   .cos xdx   sin x sin x sin x sin x 0 1 12  d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C    4 sin x  sin x  2  Hoặc đặt t  sin x  2 2 Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx 0 Giải: Đặt t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx x  0 t  0  Đổi cận    t  1 x  2   1 2 1 sin 2 x sin 2 xdx   et dt  et Khi đó I   e  e  1. 0 0 0    2 2 sin 2 x sin 2 x sin 2 x d  sin x   e 2 Hoặc I   e sin 2 xdx   e 2  e 1 0 0 0 Bài tập tự giải và có hướng dẫn  2 cos x Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I   dx 2  cos 2 x 0 HD: Ta có 2  cos 2 x  3  2sin 2 x và đặt t  sin x Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau www.MATHVN.com 11
  12. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  2 15 3 I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  4 0 HD: 3 3 Ta có sin 2 x 1  sin 2 x   2sin x 1  sin 2 x  cos x và đặt t  sin x  4 x  Bài 3: Tính tích phân sau I   1  tan x.tan  sin xdx 2 0 HD: x x x 2sin cos sin 2 .sin x  sin x .sin 2 x  1  cos x .sin x và đặt t  cos x x 2 2. Ta có tan x. tan .sin x  x 2 cos x cos x 2 cos x cos 2 21 Đs: I  1    ln 2 2 42  2  cos x Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   dx  4 1  cos 2 x 0 HD: Phân tích 1  cos2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x  2 Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  .dx  0 0 HD: 1 Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x 2  2 sin 2 x 4 Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   dx  ln 2 3 4  cos x 0  sin x cos 3 x 2 Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I   dx 2 0 1  cos x  6 cos xdx 10 Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I    ln 2 9 6  5sin x  sin x 0  2  cos x Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   dx  7  cos 2 x 62 0  2 cos xdx Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I   2 0 11  7sin x  cos x www.MATHVN.com 12
  13. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  2 12 Bài 9: Tính t ích phân I   6 1  cos3 x .sin x.cos 5 xdx  91 0 HD: t  6 1  cos3 x  cos3 x  1  t 6 . Hoặc t  1  cos3 x sin 2 x  sin 2 x  b  du  sin 2 xdx f   2  sin 2 xdx đặt u   2   Dạng 3: Tính tích phân dạng I   cos x  du  sin 2 xdx   cos x     a Bài tập giải mẫu:  2 sin 2 x Bài 1: Tính tích phân sau I   dx 2 0 1  cos x Giải: Đặt t  1  cos2 x  dt   sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt x  0 t  2  Đổi cận    t  1 x  2   1 2 2 2 sin 2 x dt dt Khi đó I   dx       ln t  ln 2. 2 t 1t 1 0 1  cos x 2 Hoặc    d 1  cos 2 x  2 2 sin 2 x 2 I dx      ln 1  cos x 2  ln 2 1  cos 2 x 1  cos 2 x 0 0 0  4 sin 4 x Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   dx 2 0 1  cos x Giải:   4 4 sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x dx   Ta có: dx  1  cos 2 1  cos 2 x x 0 0 2 Đặt t  1  cos x  dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx và cos 2 x  t  1  cos 2 x  2 cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3 x  0 t  2   Đổi cận    3 x  4 t  2   Khi đó www.MATHVN.com 13
  14. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 3 2 2  2t  3 dt 2 2 2 6 6 4      4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln I t t t 3 2 3 2 2 2 Cách khác:     2 1  cos x   3 2 2 4 4 4 4 2cos x  1 sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x d 1  cos 2 x   2  d 1  cos 2 x  I dx   dx  2  2 2 2 2 0 1  cos x 1  cos x 0 1  cos x 1  cos x 0 0    d 1  cos 2 x  4 4 4   2 2  8 sin xd  sin x   6   4sin x  6ln 1  cos x 4  2  6ln 2 3 1  cos x 0 0 0 sin 4 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x  4 và đặt t  3  cos 2 x Hoặc phân tích 2 1  cos 2 x 3  cos 2 x 1  cos x 1 2  2 3 Bài 3: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 0 Giải: Đặt t  1  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx x  0 t  1  Đổi cận    t  2 x  2   2 t4 2 2 1 15 3 Khi đó I   sin 2 x 1  sin x  dx   t dt  2 3  4  41 44 0 1 Cách khác:    4 1  sin x  2 2 2 15 3 3 I   sin 2 x 1  sin x  dx   1  sin x  d 1  sin x  2 2 2  2 4 4 0 0 0  2 sin 2 x Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   dx 2 2 cos x  4sin x 0 HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số   2 2 sin 2 x sin 2 x I dx   dx  2 2 2 1  sin x  4sin x 1  3sin x 0 0 dt Đặt t  1  3sin 2 x   sin 2 xdx 3 www.MATHVN.com 14
  15. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   t  4 x  Đổi cận  2  t  1 x  0  4 4 1 42 1 dt 1  2 2 Khi đó I     t dt  t 313 31 t 31 Hoặc đặt t  1  3sin 2 x Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos 2 x  4 sin 2 x hoặc t  cos 2 x  4sin 2 x Cách 2:    1 2 2 12 sin 2 x sin 2 x      dx   1  3sin 2 x d 1  3sin 2 x I dx    2 30 2 2 1  3sin 2 x 1  sin x  4 sin x 0 0  2 2   2  1  3sin x 2  3 3 0 Cách 3:   2 2 sin 2 x sin 2 x Ta có I  dx   dx  1  cos 2 x 1  cos 2 x 5  3cos 2 x 0 0 4 2 2 2 5  3cos 2 x 5  3cos 2 x Và đặt t  hoặc t  2 2  2 sin x cos xdx với a, b  0 Tổng quát: Để tính I =  a cos2 x  b 2 sin 2 x 2 0 a cos x  b 2 sin 2 x 2 2 Ta đặt: u =  2 sin x cos xdx Bài 5: Tính tích phân sau I   4cos 2 x  9sin 2 x 0 HD : Đặt u = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  u2 = 4cos 2 x  9 sin 2 x  udu  5sin x cos xdx Khi đó 3 1 udu 1 1 3 I   . u  2 5 u 5 5 2  2 sin x.cos x Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I  dx  b2 cos 2 x  c 2 sin 2 x 0 HD: www.MATHVN.com 15
  16. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  2 1 1 Nếu b 2  c 2  b  c thì I   sin 2 xdx  2 b ; 2b 0 c  b 2  sin x.cos x.dx 2 2 2 2 2 2 2 Nếu b  c  b  c thì đặt t  b cos x  c sin x . Khi đó dt  b 2 cos 2 x  c 2 sin 2 x 1 và tính được I  bc  2 sin x cos x Bài 7: Tính tích phân sau I   dx a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x 0 Giải: Cách 1:    2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x Ta có I   dx   dx   dx a 2 1  sin 2 x   b 2 sin 2 x  b2  a2  sin 2 x  a 2 a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x 0 0 0 2tdt  2  b 2  a 2  sin x cos xdx  Đặt t   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  t 2   b 2  a 2  sin 2 x  a 2   tdt sin x cos xdx  2 b  a2    t  b  x  Đổi cận  2  t  a x  0   b b ba tdt 1 1 Khi đó I   2 .t  2  a t b  a  2 2 2 2 b a ab a b a Cách 2: Đặt t  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  dt  2( b 2  a 2 ) sin x cos xdx x  0  t  a2  Đổi cận   2 x   t  b  2 Nếu a  b  b2 b2 2 ab sin x.cos x 1 dt 1 1 Khi đó I   dx  2   t  2 b2  a 2 2 2 2 ab t b a b a a 2 .sin x  b 2 .cos x a2 a2 0 Nếu a  b     2 2 2 2 sin x.cos x sin x.cos xdx 1 1 1 Khi đó I   dx     sin 2 xdx   4 a cos 2 x  2 a a 2a 0 2 2 2 2 a .sin x  b .cos x 0 0 0 Bài tập tự giải có hướng dẫn: www.MATHVN.com 16
  17. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  4 sin 4 x 4 Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I   dx  ln 2 6 6 3 0 sin x  cos x HD: sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 3 và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x  Phân tích 6 6 32 4 sin x  cos x 1  sin 2 x 4   14 1 32 1 32 4 Hoặc I   d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2 3 30 4 3 4 3 1  sin 2 2 x   0 4  e tan x 4 Bài 2: Tính tích phân sau: I   dx cos 2 x 0 HD: Đặt t  tan x 3 3 8 8 dx 1 1  Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I    dx  4  sin   cos 2 x cos 2 x 2 sin 2 x  x    8 8 3 8 dx Cách 2: Phân tích I  4  sin 2 2 x  8 x Cách 3: Đặt t  tan 2  1 1 dx  1  tan 2 x  dx Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x  dx đặt u  tan x  du  2 cos 2 x cos x   1   Hoặc: I   f  tan x  1  tan 2 x dx đặt u  tan x  du  dx cos 2 x  Bài tập giải mẫu:  4 dx Bài 1: Tính tích phân sau I   1  tan x 0 Giải: 1 dt dt dx  1  tan 2 x  dx  dx  Đặt t  tan x  dt   2 1  tan x 1  t 2 2 cos x www.MATHVN.com 17
  18. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 x  0 t  0  Đổi cận    t  1 x  4  1 t 1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt 1 dt 1  dt   Khi đó I       0 1  t  1  t  2 1  t 2   0  2 1  t  2 01 t 2 0 t2  1 2 0 t2 1 2            J1 J2 J3 1 1 ln 2 1 dt 1 Tính: J1   t  1  2 ln t  1 0  2 20 1 d  t  1 1 2 1 1 1 ln 2 1 tdt  ln t 2  1  Tính: J 2   2 2 2 0 t 1 4 0 t 1 4 0 4  1 4  1 dt 1 Tính: J 3   t 2  1  2  du  8 (với t  tan u ) 20 0 ln 2 ln 2   ln 2 Vậy I    2 4 88 4 Cách 2: 1  cos x  sin x    cos x  sin x  1 cos x  . Phân tích 1  tan x sin x  cos x 2 sin x  cos x    1 4 d  sin x  cos x  1 14 1   x  ln sin x  cos x  4   ln 2 Khi đó I   dx   2 0 sin x  cos x 20 2 84 0 Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng nhất hai vế tìm A và B  sin 2 x 4 Bài 2: Tính tích phân I  dx  cos x  tan x  2 tan x  5  4 2   4 Giải:   2 tan 2 x 4 4 sin x Phân tích I  dx  dx  cos x  tan   tan x  2 tan x  5  x  2 tan x  5  .cos 2 x 4 2 2     4 4 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x   x  4 t  1  Đổi cận   x    t  1   4 Khi đó www.MATHVN.com 18
  19. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  2t  2  1 1 1 1 t2 dt I 1 t 2  2t  5 dt  1 dt  1 t 2  2t  5dt  31  t  12  4  1   1  3 I  t  ln t 2  2t  5  2  5 ln 2  3I1 1 1 dt Tính I1    t  1 2 4 1 Đặt t  1  2 tan u  dt  2  tan 2 u  1 du 0 2  tan 2 u  1 0 10  1 Khi đó I1   du   du  u    4  tan u  1 2 2 2 8 4   4 4 3 Vậy I  2  5 ln 2  8  4 1 Bài 3: Tính tích phân sau I   dx cos 4 x 0 Giải: Cách 1:   4 4 1 1 1 Ta có I   dx   . dx 4 cos x cos 2 x 2 cos x 0 0 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x x  0 t  0  Đổi cận    t  1 x  4   1  t3  1 4 4 1 dx   1  t 2  dt   t    . Khi đó I   cos 4 x 30 3  0 0 Cách 2:     tan 3 x  4 4 4  1 1 4 dx   1  tan 2 x   1  tan x  d  tan x    tan x  x  4  3 2 I dx  4 cos 2 x 0 cos x  0 0 0 Cách 3: sin 2 x  cos 2 x sin 2 x tan 2 x 1 1 1      Phân tích 4 4 cos x cos x cos x cos2 x 4 2 2 cos x cos x … đến đây thì quá dễ rùi phải không Cách 4: www.MATHVN.com 19
  20. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1  u  cos 2 x  Đặt  … Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà dv  1 dx cos 2 x   Hoặc : Đặt t  tan x  4 Bài 4: Tính tích phân sau I   tan 6 xdx 0 Giải: Cách 1: dt Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx  dx  1 t2 x  0 t  0  Đổi cận    t  1 x  4  Khi đó   1 1 1 6 4 t 5 t 3 4  13  t dt 1  I   tan 6 xdx   2   t4  t2  1 2 dt     t    du    5 3 15 4 0 t 1 t 1 0 0 0 0 Cách 2: Phân tích tan 6 x   tan 6 x  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1  tan 4 x  tan 2 x  1  tan 2 x  tan 2 x  1   tan 2 x  1  1 1   tan 4 x  tan 2 x  1 1 cos 2 x Khi đó     tan 5 x tan 3 x 4 4  13  1 I    tan x  tan x  1 4 2 dx   dx     tan x  x  4   2 5 3  0 15 4 cos x 0 0  4 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 3 xdx 0 Giải: dt t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx  2 t 1 x  0 t  0  Đổi cận    t  1 x  4  Khi đó www.MATHVN.com 20
Đồng bộ tài khoản