Chuyên đề tiếp tuyến: Câu hỏi bài tập và hướng dẫn giải

Chia sẻ: haiduong007007

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề tiếp tuyến: câu hỏi bài tập và hướng dẫn giải', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Chuyên đề tiếp tuyến: Câu hỏi bài tập và hướng dẫn giải

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

(m − 1)x + m
Cho (Cm) : y = . Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm treân (Cm) coù hoaønh ñoä x0 = 4 thì
x−m
song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù 2 cuûa goùc heä truïc.

| −m 2
y = f (x) =
|
m
(x − m)2
Ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm vôùi ñöôøng phaân giaùc (Δ 2 ) : y = − x , ta phaûi coù:
−m 2
fm = −1 ⇔
|
= −1 ⇔ m 2 = (4 − m)2 ⇔ m = 2
(4 − m) 2




(3m + 1)x − m 2 + m
Cho (C) : y = , m ≠ 0. Tìm m ñeå tieáp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm vôùi truïc hoaønh
x+m
song song y = x. Vieát phöông trình tieáp tuyeán.

Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh
m2 − m ⎧ 1 ⎫
x0 = , m ∉ ⎨0, − ,1⎬
3m + 1 ⎩ 3 ⎭
4m 2
y| =
(x + m)2
Tieáp tuyeán taïi ñieåm (C) coù hoaønh ñoä // y = x
4m 2
= 1 ⇔ 4m 2 = (x 0 + m)2 ⇔ x 0 = m ∨ x 0 = −3m
(x 0 + m) 2


⎡ m2 − m
⎢ m= ⎡ m = −1
⇔⎢ 3m + 1 ⇔ ⎢
⎢ m2 − m ⎢m = − 1
⎢ −3m = 3m + 1

⎣ 5

• m = −1 tieáp tuyeán taïi (-1,0) coù pt : y = x + 1
1 ⎛3 ⎞ 3
• m = − tieáp tuyeán taïi ⎜ , 0 ⎟ coù pt : y = x −
5 ⎝5 ⎠ 5
m
Cho (C) : y = x − 1 + .Tìm m ñeå coù ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vuoâng goùc nhau
x +1

Goïi M 0 (x 0 , y 0 ) laø ñieåm caàn tìm ⇒ y = k(x − x 0 ) + y 0 laø ñöôøng thaúng (d) qua M0
⎧ m
⎪x − 1 + x + 1 = k(x − x 0 ) + y 0 = kx + k − k − kx 0 + y 0

(d) laø t2 ⇔ ⎨
⎪1 − 1
=k
⎪ (x 0 + 1)2

⎧ m
⎪x − 1 + x + 1 = k(x + 1) − (1 + x 0 )k + y 0

⇔⎨
⎪x + 1 − 1 = k(x + 1)

⎩ x +1
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧ m 1
⎪x − 1 + x + 1 = x + 1 − x + 1 − (1 − x 0 )k + y 0

⇔⎨
⎪ 1 = 1− k
⎩ (x + 1)
2

⎧ m +1 ⎧ y0 + 2
⎪ = y 0 + 2 − (x 0 + 1)k
⎪ x +1 ⎪k ≠ x + 1
⇔⎨ 2 ⇔⎨ 0
⎪⎛ m + 1 ⎞ = (1 − k)(m + 1)2 ⎪ y + 2 − (x + 1)k 2 = (1 − k)(m + 1)2
⎪⎜ x + 1 ⎟
⎩⎝ ⎠ ⎩[ 0 0 ]
⎧ y0 + 2
⎪k ≠
⇔⎨ x0 + 1
⎪(x + 1)2 k 2 + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = 0 (*)
⎩ 0 0 0 0 0 0

y0 + 2
Töø M0 keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau ⇔ pt (*) coù 2 nghieäm thoûa k1k2 = -1 vaø khaùc
x0 + 1
⎧ y0 + 2
⎪k ≠
⇔⎨ x0 + 1 ⇒m>0
⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m
⎩ 0 0



x +1
Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò y = vôùi truïc hoaønh , bieát raèng tieáp tuyeán ñoù
x −3
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006

4
y| = − , ∀x ≠ 3
(x − 3)2
Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 , khi ñoù (T) coù heä soá goùc laø KT = -1
4 ⎡x = 5
. Goïi (x0,y0) laø tieáp ñieåm cuûa (d) vaø (C) , ta coù K T = y| ⇔ −1 = − ⇒⎢ 0
(x 0 − 3) ⎣ x0 = 1
2


• x 0 = 1 ⇒ y 0 = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x
• x 0 = 5 ⇒ y 0 = 3 ⇒ (T2 ) : y = −x + 8
(T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)}

x+2
Cho haøm soá y = f(x) = ; goïi ñoà thò haøm soá laø (C) , vaø A(0,a).Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp
x −1
tuyeán ñeán (C) sao cho 2 tieáp tuyeán töông öùng naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc Ox


Phöông trình tieáp tuyeán (T) vôùi (C) taïi M 0 (x 0 , y 0 ) : y − y 0 = f(x0 ) (x − x 0 )
|


⎛x +2⎞ 3 ⎛x +2⎞ 3
⇔ y −⎜ 0 ⎟=− (x − x 0 ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ 0 ⎟=− (− x 0 )
⎝ x0 − 1 ⎠ (x 0 − 1) ⎝ x0 − 1 ⎠ (x 0 − 1)2
2



⎧x − 1 ≠ 0 ⎪x 0 ≠ 1

⇔⎨ 0 ⇔⎨
g(x ) = (a − 1)x 2 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0
⎩(a − 1)x 0 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0
2
⎪ 0
⎩ 0
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán khi g(x ) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 1
0

⎧a − 1 ≠ 0

vaø ⎨Δ|g = (a + 2)2 − (a + 2)(a − 1) > 0 ⇔ −2 < a ≠ 1

⎩g(1) = (a − 1)1 − 2(a + 2)1 + a + 2 ≠ 0
2


Khi ñoù goïi M1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) laø 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía Ox
⎛ x + 2 ⎞⎛ x 2 + 2 ⎞ x1x 2 + 2(x1 + x 2 ) + 4
⇔ y1y 2 < 0 ⇔ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ 0 ⎪a < − ∨ a > 2
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3
⎩f ( −1) ≠ 0 ⎩ 2 + 3a + 2 + 3a + 2 ≠ 0 ⎪ a ≠ −1

2
Vaäy ñieåm caàn tìm laø A(a,2) ; a < − ∨ a > 2 ∧ a ≠ −1
3

Cho haøm soá y = −x 4 + 2x 2 − 1 , ñoà thò (C). Tìm taát caû caùc ñieåm thuoäc truïc tung sao cho töø ñoù coù theå keû
ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)

Goïi A(0,a) ∈ Oy , (d) laø ñöôøng thaúng qua A daïng : y = kx + a
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä :
⎧−x 4 + 2x 2 − 1 = kx + a
⎨ ⇔ 3x 4 − 2x 2 − 1 − a = 0 (1)
⎩ −4x 3 + 4x = k
Töø A coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi (1) phaûi coù 3 nghieäm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
⇔ −1 − a = 0 ⇔ a = −1 . Khi ñoù 3x 4 − 2x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±
3
Vaäy toaï ñoä ñieåm caàn tìm laø A(0,-1)




Cho haøm soá y = x 3 − 3x 2 + 2 ; ñoà thò (C)
1.Qua A(1,0) coù theå keû ñöôïc maáy tieáp tuyeán vôùi (C) . Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán qua A cuûa (C) noùi treân

1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1,0) coù heä soá goùc k daïng y = k(x − 1) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − 1)
⎨ 2 coù nghieäm ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ k = −3
⎩3x − 6x = k
Vaäy coù 1 tieáp tuyeán (d) : y = −3x + 3 keû ñeán (C)
2.Goïi (T) laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song tieáp tuyeán taïi A daïng y = −3x + b
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä :
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = −3x + b ⎧ b = x 3 − 3x 2 + 2
⎨ 2 ⇔⎨ ⇒ b = 3 ⇒ (T) : y = −3x + 3
⎩3x − 6 = −3 ⎩x = 1
(T) ≡ (d) vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A

x4 5
Cho haøm soá y = − 3x 2 + , coù ñoà thò (C)
2 2
1.Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x M = a .CMR hoaønh ñoä caùc giao ñieåm cuûa
tieáp tuyeán (d) vôùi ñoà thò laø nghieäm cuûa phöông trình (x − a)2 (x 2 + 2ax + 3a2 − 6) = 0
2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå tieáp tuyeán (d) caét ñoà thò taïi 2 ñieåm P,Q khaùc nhau vaø khaùc M.Tìm
quõy tích trung ñieåm K cuûa ñoaïn thaúng PQ

⎛ a4 5⎞ a4 5
1.Goïi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3)
2

⎝ 2 2⎠ 2 2
3 5
Tieáp tuyeán taïi M coù phöông trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 +
2 2
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) laø :
x4 5 3 5
− 3x 2 + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 +
2 2 2 2
⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 0
2 2 2


2.Quõy tích trung ñieåm K
Theo treân ñeå (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät P vaø Q vaø khaùc M thì phöông trình : x 2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 coù
⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > 0 ⎧a < 3

2 nghieäm khaùc a ⎨ 2 ⇔⎨
⎩ a + 2a + 3a − 6 ≠ 0 ⎪ a ≠1
2 2

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ 1

Khi ñoù K ⎨ 7 4 5
⎪ y K = − x K + 9x K +
2

⎩ 2 2
7 5
Vaäy quyõ tích trung ñieåm K laø ñöôøng cong y = − x 4 + 9x 2 + vaø giôùi haïn bôûi 1 ≠ x ≤ 3
2 2

Cho haøm soá y = −x 4 + 2mx 2 − 2m +1 coù ñoø thò laø (Cm).Ñònh m ñeå caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (Cm) taïi A vaø
B ñieåm coá ñònh vuoâng goùc nhau

Ñieåm coá ñònh A(-1,0) B(1,0) vaø y| = −4x 3 + 4mx
⇒ y|A = 4 − 4m ; y|B = −4 + 4m
Tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc nhau ⇔ y |A .y|B = −1
3 5
⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m =
4 4
x +1
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc tung maø töø moãi ñieåm aáy chæ coù theå keû
x −1
ñöôïc ñuùng 1 tieáp tuyeán ñeán (C)

Goïi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A coù phöông trình y = kx + a
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä
⎧x +1
⎪ x − 1 = kx + a x + 1
⎪ −2x
⎨ ⇒ = + a ⇔ (a − 1)x 2 − 2(a + 1)x + a + 1 = 0 (1)
⎪ −2 x − 1 (x − 1) 2
=k
⎩ (x − 1)
2

Töø A coù theå keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán ñeán (C) ⇔ (1) coù 1 ngheäm
(1) 1
Xeùt a − 1 = 0 ⇔ a = 1 ⎯⎯→ −4x + 2 = 0 ⇒ x = ⇒ A(0,1)
2
⎧a − 1 ≠ 0 ⎧a ≠ 1
⎨ ⇔⎨ ⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1)
⎩Δ ' = 0 ⎩2a + 2 = 0

x −1
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C)
x +1
Tìm treân ñöôøng thaúng y = x nhöõng ñieåm sao cho coù theå keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vaø goùc giöõa 2
π
tieáp tuyeán ñoù baèng
4

Goïi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x 0 , x 0 ) ⇒ tieáp tuyeán taïi M tieáp xuùc (C) daïng y = k(x − x 0 ) + x 0 (d)
x −1
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) kx − kx 0 + x 0 = (1)
x +1
Theo ycbt thì (1) coù nghieäm keùp ⇔ kx 2 + (k − kx 0 + x 0 − 1)x + x 0 − kx 0 + 1 = 0
⎧k ≠ 0
coù nghieäm keùp ⇔ ⎨
⎩Δ = (1 + x 0 ) k − 2(x 0 + 3)k + (x 0 − 1) = 0 (2)
2 2 2 2
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

π
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) taïo thaønh goùc
4
2
k − k2 π ⎛ k − k2 ⎞
⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa 1 = tan = 1 ⇔ ⎜ 1 ⎟ =1
1 + k1 .k 2 4 ⎝ 1 + k1 .k 2 ⎠
⎧x 0 + 1 ≠ 0 ⎧x 0 ≠ 1
⎪ ⎪ 2 2
⇔ ⎨Δ k = 8(x 2 + 1) > 0
0 ⇔ ⎨ ⎡ 2(x 2 + 3) ⎤ ⎡ x0 − 1⎤
⎥ −5⎢ ⎥ −1 = 0
0
⎪(k + k ) − 5k .k − 1 = 0 ⎪⎢
⎩ 1 2 1 2 ⎩ ⎣ (1 + x 0 ) ⎦ ⎣ x0 + 1⎦
⎧x 0 ≠ −1 ⎧M(− 7, − 7)

⇔⎨ 2 ⇔ x0 = ± 7 ⇒ ⎨
⎩x 0 + 1 = 8 ⎪M( 7, 7)


Cho Parabol (P) : y = 2x 2 + x − 3 . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc Oy sao cho töø ñoù ta coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (P) vaø 2 tieáp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau 1 goùc 450

Goïi M(0,m) ∈ Oy . Phöông trình qua M coù heä soá goùc k laø y = kx + m (d)
Phöông trình hoaøng ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø :
2x 2 + x − 3 = kx + m ⇔ 2x 2 + (1 − k)x − m − 3 = 0 (1)
(d) laø tieáp tuyeán cuûa (P) khi (1) coù nghieäm keùp ⇔ Δ = 0
⇔ k 2 − 2k + 8m + 25 = 0 (2)
Coù k1 + k 2 = 2 ; k1 .k 2 = 8m + 25
k 2 − k1
Hai tieáp tuyeán hôïp nhau 1 goùc 450 khi tan 450 = 1 =
1 + k1 .k 2
⇔ (k1 + k 2 )2 − 4k1 k 2 = (1 + k1 k 2 )2 (3)
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán taïo nhau goùc 450 khi (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa (3)
⎧Δ| = 1 − 8m − 25 = 0 ⎧m < −3
⇔⎨ k ⇔⎨
⎩16m + 112m + 193 = 0
2
⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26)
2


3 + 14 3 − 14
⇔m=− ∨m=
4 4
⎛ 3 + 14 ⎞ ⎛ 3 − 14 ⎞
Vaäy M1 ⎜ 0, − ⎟ , M 2 ⎜ 0, ⎟
⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x2
Cho haøm soá y = goïi ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå
x −1
keû tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp nhau goùc 450

Goïi A(a,4) laø ñöôøng thaúng tuyø yù treân y = 4
⎧Qua A(a, 4)
Goïi (T) laø ñöôøng thaúng ⎨ coù daïng: y = k(x − a) + 4
⎩Coù heä soá goùc laø k
Vaø moïi ñöôøng thaúng (T1) vaø (T2) ñi qua A coù heä soá goùc k ñeàu coù daïng :
y = k1 (x − a) + 4 vaø y = k 2 (x − a) + 4
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

k1 − k 2
Do (T1) vaø (T2) taïo nhau 1 goùc 450 khi tan 450 =
1 + k1 .k 2
⇔ (1 + k1k 2 )2 = (k1 − k 2 )2 ⇔ (1 + k1k 2 )2 − (k1 + k 2 )2 + 4k1k 2 = 0 (1)
x2
Do (T) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) ⇔ = k(x − a) + 4 coù nghieäm keùp
x −1
⇔ (1 − k)x 2 − (4 − ka − k)x + 4 − ka = 0 coù nghieäm keùp khaùc
⎧1 − k ≠ 0
⎪ ⎪k ≠ 1

1⇔ ⎨ ⇔⎨
⎪ k ⎡(a − 1) − 4(a − 2) ⎤ = 0 (2)
2
⎪Δ = (a − 1) k − 4(a − 2)k = 0
2 2
⎩ ⎩ ⎣ ⎦
Qua A keû ñöôïc tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goù 450 khi phöông trình (2) coù 2 nghieäm k1,k2 (k ≠ 1)
⎧k = 0

vaø thoûa maõn heä thöùc (1) ⎨ 4(a − 2) thoûa maõn (1) khi
⎪ k = (a − 1)2

⎧ 4(a − 2)
⎪ k = (a − 1)2 ≠ 1 ⎧a ≠ 3
⎪ ⎪
⎨ 2 ⇔ ⎨a ≠ 1

⎪ k = 0.(1 + 0) − 0 + 4(a − 2) ⎤ ⎪a2 + 2a − 7 = 0
2
⎢ + 4.0 = 0 ⎩

⎩ ⎣ (a − 1)2 ⎥

⎡ a = −1 − 2 2
⇔⎢
⎢a = −1 + 2 2

Vaäy A1 (−1 − 2 2, 4) , A 2 (−1 + 2 2, 4)

x2 + x + 2
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm treân (C) caùc ñieåm A ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi A vuoâng
x −1
goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò

⎛ 4 ⎞
Giaû söû A ⎜ x 0 , x 0 + 2 + ⎟ laø ñieåm baát kyø treân (C) vaø I(1,3) laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieám caän
⎝ x0 − 1 ⎠
uur ⎛ 4 ⎞
⇒ AI = ⎜ 1 − x 0 ,1 − x 0 − ⎟
⎝ x0 − 1 ⎠
uur
Nhö vaäy AI laø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AI
Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa (C) tieáp xuùc vôùi (C) taïi A , coù heä soá goùc
4 r ⎛ 4 ⎞ r uur
k = y|(x ) = 1 − ⇒ a = ⎜ 1,1 − ⎟ laø vectô chæ phöông cuûa (d) ; do ñoù (d) ⊥ (AI) ⇔ a.AI = 0
0 (x 0 − 1)2 ⎝ (x 0 − 1)2 ⎠
⇒ x0 = 1 ± 4 8
⎛ 4 − 34 8 + 8 ⎞ ⎛ 4 4 + 34 8 + 8 ⎞
Vaäy coù 2 ñieåm A1 ⎜ 1 − 4 8, ⎟ , A 2 ⎜ 1 + 8, ⎟
⎜ 4
8 ⎟ ⎜ 4
8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

x 2 − 3x + 2
Cho haøm soá y = .Tìm treân ñöôøng thaúng x = 1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc 2 tieáp
x
tuyeán ñeán (C) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc nhau

Goïi M(1,m) ∈ x = 1 .Ñöôøng thaúng (T) qua M coù heä soá goùc k daïng : y = k(x − 1) + m
Töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau tôùi (C) khi heä
⎧ x 2 − 3x + 2
⎪ = k(x − 1) + m
⎪ x ⎧ (x , k )
⎨ 2 ( I ) coù 2 nghieäm ⎨ 1 1 thoûa maõn k1 .k 2 = −1
⎪x − 2 = k ⎩(x 2 , k 2 )
⎪ x
⎩ 2


Töø ( I ) ⇒ (m + 2)x 2 − 4x + 2 = 0 (*) , x ≠ 0

⎪ ⎧m ≠ −2
⎪m + 2 ≠ 0
⎪ ⎪

Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = 4 − 2(m + 2) > 0 ⇔ ⎨m < 0
⎪ (x 2 − 2) (x 2 − 2) ⎪
⎪(x1x 2 ) − 2 ⎣(x1 + x 2 ) − 2x1x 2 ⎦ + 4 = −(x1x 2 )
2 2
⎪ 1 ⎡ ⎤
. 2 2 = −1 ⎩
⎪ x1

2
x2
⎧−2 ≠ m < 0

⇔ ⎨⎛ 2 ⎞2 ⎡⎛ 4 ⎞ 2 4 ⎤ ⎛ 2 ⎞
2

⎪⎜ m + 2 ⎟ − 2 ⎢⎜ m + 2 ⎟ − m + 2 ⎥ + 4 = − ⎜ m + 2 ⎟
⎩⎝ ⎠ ⎢⎝
⎣ ⎠ ⎥
⎦ ⎝ ⎠
⎧ −2 ≠ m < 0 ⎪ −2 ≠ m < 0

⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ m = −3 ± 7
⎩m + 6m + 2 = 0 ⎪ m = −3 ± 7

Vaäy M1 (1, −3 − 7) , M 2 (1, −3 + 7)

Cho haøm soá y = x 3 + 3x 2 .Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng 3 tieáp tuyeán cuûa ñoà
thò (C) , trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.

Goïi M(m,0) laø ñieåm baát kyø treân truïc hoaønh
Ñöôøng thaúng (d) ñi qua M coù heä soá goùc laø k daïng : y = k(x − m)
⎧x 3 + 3x 2 = k(x − m)
(d) laø tieáp tuyeán (C) khi ⎨ 2 (I)
⎩3x + 6x = k
Qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau khi ( I ) coù 3 giaù trò k
sao cho 2 trong 3 giaù trò ñoù tích baèng -1
Khi ñoù ( I ) ⇔ x 3 + 3x 2 = (3x 2 + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡2x 2 + 3(1 − m)x − 6m ⎤ = 0
⎣ ⎦
⎡x = 0
⇔⎢ 2
⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = 0 (*)
⎡ m < −3
⎧Δ = 3m 2 + 10m + > 0
Theo ycbt (*) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 ⇔ ⎨ ⇔⎢ 1
⎩ m≠0 ⎢− < m ≠ 0
⎣ 3
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧ 2
⎪x1 + x 2 = (m − 1)
Khi ñoù pt (*) coù 2 nghieäm vaø ⎨ 3
⎪x1x 2 = −3m

Khi qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) thì k1 = 3x1 + 6x1 , k 2 = 3x 2 + 6x 2 , k 3 = 0
2 2


Theo baøi toaùn : k1k 2 = −1 ⇔ (3x1 + 6x1 )(3x 2 + 6x 2 ) = −1
2
2

1 1
⇒m= thoûa m < −3 hoaëc − < m ≠ 0
27 3
⎛ 1 ⎞
Vaäy M ⎜ , 0 ⎟
⎝ 27 ⎠

2x 2 − x + 1
Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C) . Tìm treân truïc hoaønh 4 ñieåm töø ñoù döïng ñöôïc tieáp tuyeán hôïp
x −1
vôùi Ox goùc 450 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñoù

Tieáp tuyeán hôïp vôùi Ox goùc 450 laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = ± 1
2
TH1: k = y| = 1 ⇔ 2 − = 1 ⇒ x = 1± 2
(x − 1)2
⎡x = 1 − 2 ⎡y = 3 − 3 2 ⎡ (T ) : y = x + 2 − 2 2
⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 1
⎢x = 1 + 2
⎣ ⎢y = 3 + 3 2
⎣ ⎢(T2 ) : y = x + 2 + 2 2

2 2
TH2: k = y| = −1 ⇔ 2 − = −1 ⇔ x = 1 ±
(x − 1) 2
3
⎡ 2 ⎡ 2
⎢x = 1 − ⎢y = 3 − 5 ⎡ (T ) : y = − x − 4 − 2 6
3 3
⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ 3
⎢ 2 ⎢ 2 ⎢(T4 ) : y = −x + 4 + 2 6
⎢x = 1 + ⎢y = 3 + 5 ⎣
⎣ 3 ⎣ 3

Cho haøm soá y = x 3 − 3x 2 + 2 coù ñoà thò (C)
⎛ 23 ⎞
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù qua A ⎜ , −2 ⎟
⎝ 9 ⎠
2.Tìm treân ñöôøng thaúng y = -2 caùc ñieåm töø ñoù coù theå keû ñeán ñoà thò (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc

⎛ 23 ⎞
1.Tieáp tuyeán (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − 2
⎝ 9 ⎠
⎧ 3 ⎛ 23 ⎞
⎪x − 3x + 2 = k ⎜ x − ⎟ − 2
2

Ta coù : ⎨ ⎝ 9 ⎠ ⇒ (x − 2)(3x 2 − 10x + 3) = 0
⎪3x 2 − 6x = k

⎡ ⎡
⎢ x = 2, k = 0 ⎢(d) : y = −2
⎢ ⎢
⇔ ⎢ x = 3, k = 9 ⇒ tieáp tuyeán ⎢(d) : y = 9x − 25
⎢ 1 5 ⎢ 5 61
⎢x = , k = − ⎢(d) : y = − x +
⎣ 3 3 ⎣ 3 27
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2.Goïi A(a,-2) ∈ y = −2
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc laø k , coù phöông trình y = k(x − a) − 2
Ñieàu kieän (T) vaø (C) tieáp xuùc nhau laø:
⎧x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − a) − 2
⎨ 2 ⇒ (x − 2) ⎣ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎦ = 0
⎡ ⎤
⎩ 3x − 6x = k
⎡ x = 2 ; k = 0 ⇒ y = −2
⇔⎢
⎢g(x) = 2x 2 − (3a − 1)x + 2 = 0 coù x1 + x 2 = 3a − 1 ; x1 .x 2 = 1
⎣ 2
Ñeå töø A döïng 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1
⎧ 5
⎧Δ g > 0 ⎧(3a − 1) − 16 > 0
2 ⎪a < −1 ∨ a > 3
⎪ ⎪ 2 ⎪
⇔ ⎨ k1 .k 2 = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x 2 − 6x 2 ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55
2
⎪g ≠ 0 ⎪a ≠ 2 ⎪a ≠ 2
⎩ (2) ⎩ ⎪

55 ⎛ 55 ⎞
⇔a= ⇒ A ⎜ , −2 ⎟
27 ⎝ 27 ⎠

Cho haøm soá y = −x 3 + 3x 2 − 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 töø ñoù döïng ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán
ñoà thò

Goïi A(a,2) ∈ y = 2
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = k(x − a) + 2 laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä :
⎧−x 3 + 3x 2 − 2 = k(x − a) + 2
⎨ coù nghieäm
⎩−3x + 6x = k
2


⇒ (x − 2) ⎡ 2x 2 − (3a − 1)x + 2 ⎤ = 0 ⇔ ⎡ x − 2 = 0
⎣ ⎦
⎢2x 2 − (3a − 1)x + 2 = g(x) = 0

Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 thoûa :
⎧ Δg > 0 ⎧ 5
⎪ ⎧3(a + 1)(3a − 5) > 0 ⎪ a < −1 ∨ a >
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 3
⎪g(2) ≠ 0
⎩ ⎩a ≠ 2 ⎪a ≠ 2

5
Vaäy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ 2
3

(m − 1)x + m
Cho hoï ñöôøng cong (Cm) : y = , m ≠ 0 .Chöùng minh raèng (Cm) tieáp xuùc 1 ñöôøng thaúng coá
x−m
ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh khi m: thay ñoåi

(m − 1)x 0 + m
Goïi (x0,y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua khi y 0 =
x0 − m
⇔ (x 0 + y 0 − 1)m − x 0 (y 0 + 1) = 0 : coù nghieäm ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧x + y 0 − 1 = 0 ⎧x = 0
⎪ ⎧x = 2
⇔⎨ 0 ⇔⎨ 0 ∨ ⎨ 0
⎩ x 0 (y 0 + 1) = 0 ⎪ y0 = 1
⎩ ⎩ y 0 = −1
Ñieàu kieän ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m neân A(0,1) thoûa baøi toaùn
Vaäy A(0,1) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua
−m 2 −m 2
Ta laïi coù y| = ⇒ y| (0) = = −1 ; ∀m ≠ 0
(x − m)2 (0 − m)2
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi A laø y − y A = y| (0)(x − x A )
⇔ y = x +1

Cho haøm soá y = x 3 − 12x + 12 ,ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng thaúng y = -4 nhöõng ñieåm A maø töø ñoù coù theå
keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)

Goïi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − 4
⎧x 3 − 12x + 12 = k(x − a) − 4
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä ⎨ 2
⎩3x − 12 = k
⎡x = 2
⇔⎢
⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + 8 − 6a = 0
2


Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán phaân bieät ⇔ g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2
⎧Δ > 0 ⎧ 4
⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a >
⇔⎨ ⇒⎨ 3
⎪g(2) ≠ 0 ⎩a ≠ 2


4
Vaäy nhöõng ñieåm A(a, −4);a < −4 ∨ a > ∧ a ≠ 2 thoûa baøi toaùn
3

Cho haøm soá y = x 4 − 4x 3 + 3 , coù ñoà thò laø (C)
1.Chöùng minh raèng toàn taïi moät tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät
2.Vieát phöông trình tieáp tuyeán thöù 2 vôùi ñoà thò song song vôùi tieáp tuyeán vöøa keå . Cho bieát hoaønh
ñoä tieáp ñieåm
3.Döïa vaøo caùc keát quaû treân , tuyø theo tham soá m , suy ra soá nghieäm phöông trình :
x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0

1.Tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm cuûa (C) daïng y = ax + b (d)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) laø: x 4 − 4x 3 + 3 = ax + b
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = 0 (1)
Ñeå (d) tieáp xuùc (C) thì phaûi coù ñoàng thôøi 2 nghieäm keùp
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = (x − α )2 (x − β)2
⇔ x 4 − 4x 3 − ax + 3 − b = x 4 − 2(α + β)x 3 + (α 2 + β2 + 4αβ)x 2 − 2αβ(α + β)x
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧α + β = 2 ⎧α + β = 2
⎪α 2 + β2 + 4αβ = 0 ⎪αβ = −2
⎪ ⎪
Ñoàng nhaát thöùc 2 veá ⎨ ⇔⎨
⎪2αβ(α + β) = a ⎪ a = −8
⎪α β = 3 − b

2 2 ⎪ b = −1

⎧ tieáp tuyeán : y = −8x − 1 (d1 )

⇒⎨
⎪ hoaønh ñoä tieáp ñieåm : α = 1 − 3 ; β = 1 + 3

2.Tieáp tuyeán song song y = −8x −1
Ta coù y| = −8 ⇔ 4x 3 − 12x 2 = −8 ⇔ ⎡ x = 1 ⇒ y = 0

⎢x = 1 − 3
⎢x = 1 + 3

Vaäy tieáp tuyeán thöù 2 coù phöông trình y = −8x + 8 (d 2 )
3. x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3
Laø phöong trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa ⎧(C) : y = x 4 − 4x 3 + 3

⎩(d) : 8x − m + 3
(d1 ) ∩ Oy = {0, −1} , (d) ∩ Oy = {0,3 − m}
(d 2 ) ∩ Oy = {0,8}
-m + 3 m Nghieäm phöông trình
+∞ m < -5 2 nghieäm
8 m = -5 3 nghieäm (coù 1 nghieäm keùp x = 1)
-5 < m < 4 4 nghieäm phaân bieät
-1 m=4 2 nghieäm keùp x = 1 ± 3
−∞ m>4 Voâ nghieäm


(3m + 1)x − m 2 + m
Cho haøm soá y = , m ≠ 0 coù ñoà thò laø (Cm)
x+m
1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh , tieáp tuyeán seõ song song vôùi
ñöôøng thaúng y = x – 20 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR : (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh
3.Treân ñöôøng thaúng x = 1 , chæ ra taát caû caùc ñieåm maø khoâng coù ñöôøng naøo cuûa (Cm) ñi qua

m2 − m 1
1. (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x 0 − m 2 + m = 0 ⇔ x 0 = ; m ≠ 0; m ≠ −
3m + 1 3
4m 2 (3m + 1)2
Ta coù : y| = ⇒ y|0 =
(x + m)2 4m 2
(3m + 1)2
Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 10 ⇔ y|0 = 1 ⇔ =1
4m 2
⎡ m = −1 , x 0 = −1 , y 0 = 0 ⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + 1
⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎛3 ⎞
1 3
⎢m = − , x0 = , y0 = 0 ⎢ B , 0 , (T2 ) : y = x − 3
⎣ 5 5 ⎢ ⎜
⎣ ⎝5 ⎠
⎟ 5
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2.Goïi ñöôøng thaúng coá ñònh laø y = ax + b
(3m + 1)x − m 2 + m
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : = ax + b
x+m
⇔ ax 2 + [(a − 3)m + b − 1] x + m 2 + (b − 1)m = 0
⎧a ≠ 0 ⎧a ≠ 0
ÑKTX : ⎨ ∀m ⇔ ⎨ 2
⎩(a − 10a + 9)m + 2 [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = 0
2 2
⎩Δ = 0
⎧⎡ a = 1
⎪⎢ ⎧(T ) : y = x + 1
⇔ ⎨ ⎣a = 9 ⇔ ⎨ 1
⎪ b =1 ⎩(T2 ) : y = 9x + 1

3.Goïi A(1,a) ∈ x = 1
3m + 1 − m 2 + m
Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a = voâ nghieäm m
1+ m
⇔ m 2 + (a − 4)m + a − 1 = 0 voâ nghieäm m khi Δm < 0
⇔ a2 − 12a + 20 < 0 ⇔ 2 < a < 10
Nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng qua laø A(1,a) ; 2 < a < 10

Cho ñöôøng cong y = 3x − 4x 3 ; ñoà thò (C)
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(1,3)
2.Tìm treân ñöôøng cong y = -9x + 8 nhöõng ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø chuùng
vuoâng goùc nhau

1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua M(1,3) vaø coù heä soá goùc laø k coù pt : y = k (x – 1) vaø coù x0 laø hoaønh ñoä tieáp
ñieåm , khi ñoù ta coù : ⎧3x 0 − 4x 3 = k(x 0 − 1) + 3 ⇔ ⎧ x 0 = 0 ; k = 3 ; y = 3x
0
⎨ ⎪
⎩ 3 − 12x 2 = k ⎨ 3
⎪x 0 = 2 ; k = −24 ; y = −24x + 27
0

2.Goïi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + 8 . Moïi ñöôøng thaúng qua A coù heä soá goùc laø k ñeàu coù phöông trình :
y = k(x − a) − 9a + 8 vaø x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm khi heä
⎧3x 0 − 4x 3 = k(x − a) − 9a + 8

0
coù nghieäm
⎩3 − 12x 2 = k
0

⇔ (x 0 − 1) ⎡2x 2 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a ⎤ = 0
⎣ 0 ⎦
⎡x = 1 ; k = 9
⇔⎢ 0
⎣ f ( x 0 ) = 2x 0 − (2 − 3a)x 0 + 2 − 3a = 0
2


Theo baøi toaùn ta coù f ( x 0 ) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
2
⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > 0 ⇔ a > ∨ a < −2 (*)
3
f ( x 0 ) = 0 thoûa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t1 )(3 − 12t 2 ) = −1
2
2

⇔ 9 − 36 ⎡(t1 + t 2 )2 − 2t1t1 ⎤ + 144t1 t 2 = −1 Vôùi t1 t 2 laø 2 nghieäm cuûa f(x 0 ) = 0
⎣ ⎦
2
2
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

x 2 + (1 − 2m)x − m
Goïi (Cm) laø ñoà thò y = f (x) = . Haõy xaùc ñònh giaù trò m ñeå (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm vaø 2
x −1
tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi
Giaûi



x 2 + 2x + m m
y ' = f '(x) = ; y = x − 2m + ;(m ≠ 0)
(x + 1) 2
x +1
(Cm) caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ phöông trình : x 2 + (1 − 2m)x − m = 0 (1) coù hai nghieäm
⎧Δ = (1 − 2m) 2 − 4(− m) > 0

phaân bieät khaùc -1 ⇔ ⎨
⎪(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ 0
2

⎧4m 2 + 1 > 0
⇔ ⎨ ñuùng.
⎩ m≠0
Vaäy vôùi m ≠ 0 thì (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) vôùi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa
phöông trình (1). Khi ñoù ta coù : x1 + x 2 = 2m − 1 vaø x1x 2 = −m
Tieáp tuyeán taïi M, N vuoâng goùc nhau ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1
⎛ x 2 + 2x + m ⎞⎛ x 2 + 2x + m ⎞
⇔⎜ 1 1
⎟⎜ 2 2
⎟ = −1
⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟
⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠
⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 2 + 2x 2 + m) = − ( x1 + 1) ( x 2 + 1)
2 2



⇔ (x1x 2 )2 + 2x1x 2 (x1 + x 2 ) + m(x12 + x 2 2 ) + 2m(x1 + x 2 ) + m 2 + 4x1x 2 = −(x1x 2 + x1 + x 2 + 1)2
⇔ 4m 2 + m(2m − 1)2 − 4m = −m 2
⇔ m(4m 2 + m − 3) = 0
3
⇔ m = 0 (loaïi) V m = −1 V m =
4
Vaäy 3
m = −1 V m =
4

Nhaän xeùt :
1) Neáu ko ñaët ñieàu kieän m ≠ 0 ñeå toàn taïi (Cm) laø haøm höõu tæ hoaëc khoâng noùi roõ (Cm) caét Ox coù hai
nghieäm khaùc maãu soá (nghóa laø m ≠ 0 ) thì aét haún ta nhaän m=0 laøm nghieäm thì keát quaû sai.
2) Thoâng thöôøng caùc em quen duøng Viet cho y' . Nhöng yeâu caàu baøi toaùn khoâng ñeà caäp y' ñeå
f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 trong Viet cuûa phöông trình baäc hai.

1/ Cho haøm soá y = x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 5 coù ñoà thò (C) .Tìm phöông trình tieáp tuyeán tieáp xuùc (C) taïi hai ñieåm
phaân bieät , tính toaï ñoä tieáp ñieåm.
2/ Chöùng minh raèng coù 1 tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc (C) : y = x 4 + 4 x3 − 2 x 2 + 7 x + 6 taïi hai ñieåm phaân
bieät . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm.
3/ Xaùc ñònh a, b ñeå (d) : y= ax+b tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong (C) : y = x 4 − 6 x3 + x 2 + 26 x + 3 taïi hai ñieåm
phaân bieät. Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt




1/ Goïi (d) : y = ax + b.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) : x ≠ 3 x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = ax + b
⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = 0
Phöông trình (1) phaûi coù 2 nghieäm keùp x1 , x2 phaân bieät.
(1) vieát laïi ⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = ( x − x1 ) 2 ( x − x2 ) 2 = 0
⇔ x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 + 5 − ax − b = x 4 − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 x2 ⎤ x 2 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 2 = 0
⎣ ⎦
Ñoàng nhaát thöùc hai veá ta ñöôïc:
⎧2( x1 + x2 ) = 2 ⎧ x1 + x2 = 1
⎪ ⎪ x x = −2
⎪( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = −3
2

⎨ ⇔⎨ 1 2
⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a ⎪a = −4
⎪x x = 5 − b
2 2 ⎪b = 1

⎩ 1 2
⇒ tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai ñieåm phaân bieät (d): y= -4x+1. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm phöông trình
: x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x= -1 V x= 2
Vaäy 2 tieáp ñieåm laø ; A (-1,5) ; B (2,-7)

2/ Töông töï y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Töông töï y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)

(m − 1) x 2 − (5m + 2) x + 2m − 14
Cho (C) : y = vaø (d) : y = 2mx + 2 .
x−3
1. Xaùc ñònh m ñeå (C) vaø (d) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B.
2. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (d) vaø truïc Oy. Tính theo m toaï ñoä cuûa ñieåm N treân (d) thoaû maõn heä thöùc
uuu
r uuur
NA MA
uuu = − uuur .
r
NB MB
3. Tìm quyõ tích ñieåm N khi m thay ñoåi.

(m − 1)x 2 − (5m + 2)x + 2m − 14
1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d): =2mx+2; x ≠ 3
x −3
⇔ (m + 1) x 2 + (4 − m) x + 8 − 2m = 0 (1).
(d) caét (C) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧ 4
⎧m + 1 ≠ 0 ⎪m < − V m > 4
⎨ ⇔⎨ 9
⎩Δ = 9m − 32m − 16 > 0
2
⎪ m ≠ -1

uuu
r uuur
NA MA x −x ⎛x −x ⎞
2. uuu = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟
r
NB MB xB − x N ⎝ xB − xM ⎠
⇔ ( x A + x B ) x N = 2 x A xB ⇔ x N = 4
yN = 2mxN + 2 = 2 − 8m ⇒ N (-4,2-8m).
⎧2 − y
⎧ m ≠ −1 ⎪ 8 ≠ −1 ⎧ y ≠ 10
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎡ 4 ⎪⎡ 2 − y 9 ⎪ ⎡ y < −30
3. xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giôùi haïn bôûi: ⎨ ⎢ m < − ⇔ ⎨⎢ < − ⇔ ⎨⎢
⎪⎢ 9 ⎪⎢ 8 4 ⎪ ⎢ y > 50
⎪⎣m > 4
⎩ ⎪⎢ 2 − y ⎪⎣
⎩ 9
⎪⎢ 8 > 4
⎩⎣
50
Quyõ tích ñieåm N laø phaàn ñöôøng x = -4 , öùng y< -30 V y > vôùi y ≠ 10
9

Cho haøm soá : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) .Tìm caùc ñieåm thuoäc ñoà thò (C) maø qua ñoù keû ñöôïc moät vaø chæ moät
tieáp tuyeán tôùi ñoà thò (C).


Goïi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3 x0 − 2 . Phöông trình ñöôøng thaúng (t) qua M coù heä soá goùc laø k coù daïng
2


y = k ( x − x0 ) + y0
⎧− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0

(t) tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm : ⎨ vôùi y0 = − x03 + 3 x0 − 2
2

⎪−3 x + 6 x = k
2

⇔ ( x − x0 ) ⎡ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤ = 0

2

⎡ x − x0 = 0
⇔⎢
⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3)
2


⎡ x = x0
⇔⎢
⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ 1
2


⎡ x = x0
⇔⎢
⎢ x = x0 Vx = 3 − x0
⎣ 2
⎡ x = x0 ⎡ k = −3 x0 2 + 6 x0

⇔⎢ 3 − x0 ⇒ ⎢ ⎛ 3 − x0 ⎞
2
⎛ 3 − x0 ⎞
⎢x =
⎣ 2 ⎢ k = −3 ⎜ 2 ⎟ + 6 ⎜ 2 ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 − x0
Vaäy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) coù 2 tieáp tuyeán vôùi tieáp ñieåm x = x0 , x = . Muoán coù 1 vaø chæ 1 tieáp tuyeán
2
3 − x0
vôùi (C) , ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø 2 tieáp ñieåm phaûi truøng nhau ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = 0 . Khi ñoù heä soá
2
goùc cuûa tieáp tuyeán laø k = 3.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Keát luaän : Vaäy coù tieáp tuyeán duy nhaát cuûa (C) laø : y=3(x -1) vôùi tieáp ñieåm M 0 (1, 0)

Cho ñöôøng cong y = − x3 + 3x + 2 tìm caùc ñieåm treân truïc hoaønh sao cho töø ñoù veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi
ñöôøng cong




Goïi M ( x0 , 0) ∈Ox : Ñöôøng thaúng qua M coù daïng y = k ( x − x0 ) ;(t)
(t) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm:
⎧ 3
⎪ − x + 3 x − 2 = k ( x − x0 )
2

⎨ ⎡ ⎤
⇔ ( x + 1) ⎣ 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2 ⎦ = 0;(1)
⎪ −3 x + 6 x = k
2

Qua M ( x0 , 0) veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong khi : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät
⎧Δ = (3x0 + 2) 2 − 8(3x0 + 2) > 0

⇔⎨ ; f ( x) = 2 x 2 − (3 x0 + 2) x + 3 x0 + 2
⎪ f ( −1) = 6 x0 + 6 > 0

2
⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > 2
3
Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa y = x 2 − 2 x ; y = x3 + 2 x − 4
Goïi y= ax+b laø tieáp tuyeán chung vaø giaû söû x1 , x2 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm. Vôùi y = x 2 − 2 x vaø
y = x3 + 2 x − 4 . Khi heä sau coù nghieäm

⎧ x12 − 2 x1 = ax1 + b;(1) ⎪b = x12 − 2 x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12
⎪ ⎪
⎪2 x1 − 2 = a;(2) ⎪ 3x 2 + 4
⎨ 3 ⇒ ⎨ x1 − 2 = 3x2 2 + 2 ⇒ x1 = 2
⎪ x2 + 2 x2 − 4 = ax2 + b;(3) ⎪ 2
⎪3 x 2 + 2 = a;(4) ⎪ 3 (3 x2 + 4) 2
⎩ 2 ⎪ x2 + 2 x2 − 4 = x2 (3x2 2 + 2) −
⎩ 4
⎧9 x2 − 8 x2 + 24 x2 = 0
4 3


⎪a = 3 x2 + 2
2
⎧ x2 = 0
⎪ ⎪
⇔⎨ 3 x2 2 + 4 ⇒ ⎨a = 2 ⇒ y = 2 x − 4
⎪ x1 = ⎪b = −4
⎪ 2 ⎩
⎪b = − x1

2




x+2
Cho haøm soá y = .Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñi qua A (-6,5)
x−2

Phöông trình ñöôøng thaúng qua A (-6,5) coù heä soá goùc laø k : y = k ( x + 6) + 5 , (d)
(d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⎧ 4 ⎧ 4
⎪1 + x − 2 = k ( x + 6) + 5 ⎪1 + x − 2 = k ( x − 2) + 8k + 5
⎪ ⎪
⎨ ⇔⎨
⎪− 4 ⎪− 4 2 = k
=k
⎪ ( x − 2)

2
⎪ ( x − 2)

⎧ 4 4
⎪1 + x − 2 = − x − 2 + 8k + 5 ⎪ 2 = 2k + 1


⇔⎨ ⇔ ⎨x−2
⎪− 4 ⎪
=k ⎩−(2k + 1) = k
2
⎪ ( x − 2)

2


⎡ k = −1
1 1 7
⇔⎢ 1 vôùi k = -1 :y= -x -1 vôùi k = − : y = − x +
⎢k = − 4 4 2
⎣ 4

4 + mx − 3x 2
Cho haøm soá y = .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0
4x + m
vuoâng goùc vôùi tieäm caän.

• Tieäm caän ñöùng : 4 x + m = 0 .
3 7
• Tieäm caän xieân : y = − x + m.
4 16
12 x − 6mx + m − 16
2 2
• y' =
(4 x + m)2
m 2 − 16
Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi x0 = 0 laø y '(0) = =k
m2
m 2 − 16
tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi TCÑ thì k = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = ±4
m2
3
TCX ⇔ − k = −1 voâ nghieäm.
4
⇒ tieáp tuyeán taïi x = 0 chæ vuoâng goùc TCÑ khi m = ±4

mx − 3
Cho haøm soá ( Hm) : y =
x+m−4
1/ Ñònh m nguyeân ñeå haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh
2/ Vôùi m= 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân (H) maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (H) laäp vôùi Ox 1 goùc döông 1350 . Vieát
phöông trình tieáp tuyeán.


m 2 − 4m + 3
1/ y ' = . Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh ⇔ y ' < 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 < 0
( x + m − 4) 2


1< m < 3 ⎫
⇔ ⎬⇒ m= 2
gt : m ∈ Ζ ⎭
2x − 3
2/ m=2 ⇒ y = .
x−2
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2 x0 − 3
Goïi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 =
x0 − 2
1 ⎫
y '0 = − ⎪ 1
( x0 − 2) 2⎬⇒ =1
⎪ ( x0 − 2)
2

k = y '0 = tan135 = −1⎭
0


⎡ x0 = 3; y0 = 3 ⎡ M 1 (1,1)
⇒⎢ →⎢
⎣ x0 = 1; y0 = 1 ⎣ M 2 (3,3)
M : y = −x + 2
phöông trình tieáp tuyeán taïi 1
M 2 : y = −x + 6

2 x2 − x + 1
Cho haøm soá y =
x −1
1/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 3 ñieåm M keû ñöôïc ñeán (C) chæ 1 tieáp tuyeán // Ox
2/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 4 ñieåm sao töø ñieåm ñoù coù theå keû ñeán (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi
nhau 1 goùc 450
ÑS: 1/ M 1 (1, 7), M 2 (2, 7), M 3 (3, 7)
2/ M1 (−3 ± 2 6); M 2 (5 ± 2 2)

x 2 + mx + m
Cho haøm soá y = ; ñoà thò (Cm) ; m tham soá .Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai
x+2
ñieåm phaân bieät vaø tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.

x 2 + mx + m
Ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät khi phöông trình : = 0 coù hai nghieäm phaân
x+2
⎧ Δ = x 2 − 4m > 0
bieät khi x 2 + mx + m =0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ≠ −2 ⇔ ⎨
⎩ 4 − 2m + m ≠ 0
⎡m < 0
⇔⎢ . Vaäy vôùi m< 0 V m > 4 thì ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh
⎣m > 4
ñoä xA , xB laø nghieäm cuûa phöông trình : x 2 + mx + m = 0.
Hai tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . ⇔ y '( A) y '( B ) = −1
⎛ x 2 + 4 x A + m ⎞ ⎛ xB 2 + 4 xB + m ⎞
⇔⎜ A ⎟⎜ ⎟ = −1
⎝ ( x A + 2) ⎠ ⎝ ( xB + 2)
2 2

⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1)
2


⎧ x A xB = m
Vôùi ⎨ thì (1) ⇔ (4 − m) 2 m + (4 − m 2 ) = 0
⎩ x A + xB = − m
⎡ m= 4 (loai) vì m >4
⎢ m= -1 ( nhân) vì m< 0 ⇔ m = −1


Cho haøm soá y = x3 + mx 2 + 1 coù ñoà thò laø (Cm). Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) : y= -x+1 caét (Cm) taïi 3 ñieåm
phaân bieät A (0,1) , B,C sao cho caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (Cm) vuoâng goùc
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt



⎡x = 0
Ta coù : x3 + mx 2 + 1 = − x + 1 ⇔ ⎢ . Ñeå (d) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät thì f(x) = 0
⎢ f ( x ) = x + mx + 1 = 0
2

buoäc coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 ⇔ Δ ' f = m2 − 4 > 0 ⇔ m< -2 V m > 2
⎧ x1 + x2 = m
vaø x1 , x2 laø hoaønh ñoä cuûa B vaø C thoaû : ⎨ (I )
⎩ x1 x2 = 1
Ta coù heä soá goùc tieáp tuyeán taïi B laø : k1 = y '( x1 ) = (3x12 + 2mx1 )
heä soá goùc tieáp tuyeán tai C laø : k2 = y '( x2 ) = (3x2 2 + 2mx2 )
Ñeå 2 tieáp tuyeán taïi B vaø C vuoâng goùc thì: k1k2 = −1
⇔ x1 x2 ⎡9 x1 x2 + 6m( x1 + x2 ) + 4m 2 ⎤ = −1; ( II )
⎣ ⎦
Töø (I) vaø (II) ⇒ m 2 = 5 ⇒ m = ± 5 thoaû m< -2 Vm> 2.
Vaäy m = ± 5 thoaû baøi toaùn.

Cho ñöôøng cong (Cm) : y = − x3 + mx 2 − m vaø ñöôøng thaúng (d k ) : y= k(x+1)+1 . Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m
ñeå (d k ) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät . Tìm k ñeå (d k ) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.

(d k ) : y=k(x+ 1)+1 luoân qua A(-1,1) neân (d k ) coù ñieåm chung (Cm) laø A. Phöông trình hoaønh ñoä giao
ñieåm cuûa (d k ) vaø (Cm) : − x 3 + mx 2 − m = k(x+1)+1
⇔ ( x + 1) ⎡ x 2 − (1 + m) x + m + k + 1⎤ = 0
⎣ ⎦
⎡x = 1
⇔⎢
⎣ g ( x) = x − (1 + m) x + m + k + 1 = 0
2


Ñeå (d k ) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät khi g(x)= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc -1

⎧Δ g > 0 ⎧ 1 2
⎪ ⎪k < (m − 2m − 3)
⇔⎨ ⇔⎨ 4
⎪ g ( −1) ≠ 0
⎩ ⎪k ≠ −2m − 3

Do (d k ) qua A (-1,1) ∈ (Cm) neân (d k ) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau thì (d k ) qua ñieåm uoán
⎛m 2 ⎞ 2 ⎛m ⎞
I ⎜ , − m + m3 ⎟ cuûa (Cm) khi ñoù toaï ñoä I thoaû (d k ) : − m + m3 = k ⎜ + 1⎟
⎝3 27 ⎠ 27 ⎝3 ⎠
4m 3
2(m + 1)
⇒k = −
27(m + 1) m+2

x 2 + 3x + a
Xeùt haøm soá y = , a laø tham soá .
x +1
1/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi : a= 3 ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= 5 hoaëc S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 .
2/ Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa tham soá a thì ñoà thò cuûa haøm soá treân coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng
phaân giaùc thöù nhaát cuûa heä truïc toaï ñoä ? CMR khi ñoù ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu .
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

x2 + 2x + 3 − a
y' = ; x ≠ 1 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc , goùc phaàn tö thöù nhaát y=x laø ñöôøng
( x + 1)2
thaúng coù phöông trình : y= -x +m. (t). vôùi (t) laø tieáp tuyeán cuûa(C) khi heä sau coùnghieäm
⎧ x 2 + 3x + a
⎪ x + 1 = − x + m, (1)

⎨ 2
⎪ x + 2 x + 3 − a = −1, (2)
⎪ ( x + 1) 2

(1) coù nghieäm x ≠ 1 ⇔ x 2 + 3x + a = (− x + m)( x +1) coù nghieäm x ≠ −1
⎧(4 − m) 2 − 4.2( x − m) ≥ 0

⇔⎨
⎪ g ( −1) = 2(−1) + (4 + m)(−1) + a − m ≠ 0
2

⎧m 2 ≥ 8a + 16
⇔⎨
⎩a ≠ 2
(2) coù nghieäm x ≠ −1 ⇔ x 2 + 2 x + 3 − a = −( x + 1) 2 . Coù nghieäm x ≠ −1 .
⇔ 2( x + 1) 2 = a − 2 coù nghieäm x ≠ −1
⎧a − 2 ≥ 0
⎪ ⎧a ≥ 2
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔a>2
⎪h( −1) = 2(−1 + 1) ≠ a − 2 ⎩a ≠ 2
2

⎧c 2 ≥ 8a − 16
Ñieàu kieän chung cuûa heä (1),(2) ñeå coù nghieäm x ≠ −1 laø : ⎨
⎩a > 2
x2 + 2 x + 3 − a
Vôùi a > 2 , y'= 0 ⇔ =0
( x + 1) 2
⎧ x 2 + 2 x + 3 − a = 0; Δ ' = a − 2
⇔⎨
⎩ x ≠ −1
y'= 0 coù Δ ' = a − 2 > 0 , do ñoù coù 2 nghieäm phaân bieät , neân ñoåi daáu 2 laàn qua nghieäm . Haøm soá coù cöïc ñaïi ,
cöïc tieåu.
Coù theå kieåm nghieäm vôùi a = 3 ⇒ C 2 ≥ 8 choïn C 2 = 9 ⇒ C = ±3 . Khi ñoù coù 2 tieáp tuyeán :
⎛ 5 4⎞ ⎛ 1 10 ⎞
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Laàn löôït tieáp xuùc vôùi (C) taïi M 1 ⎜ − , − ⎟ ; M 2 ⎜ − , ⎟
⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠


4
Cho haøm soá : y = x + 1+ ; coù ñoà thò laø (C)
x −1
Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm trong maët phaúng töø ñoù döïng ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) vaø 2 tieáp tuyeán naøy
vuoâng goùc vôùi nhau .

Goïi M(x0 , y0) laø ñieåm baát kì thuoäc maët phaúng ; x0 ≠ 1
Ñöôøng thaúng qua M, coù heä soá goùc la k daïng : y = k( x – x0) + y0 ; (d)
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) laø:

4
k(x- x0) + y0 = x + 1 + (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – 3 = 0 (*)
x −1
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Ñeå (d) tieáp xuùc (C) khi (*) coù nghieäm keùp

⎧k − 1 ≠ 0 ⎧k ≠ 1
⎨ ⎨
⎩Δ = 0 ⎩ g (k ) = ( x0 − 1) k + ( x0 + 2 y0 + 5)k + ( y0 − 2) − 16 = 0
2 2 2




Ñeå töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc thì g(k) = 0 phaûi coù 2 nghieäm phaân bieät k1, k2 sao cho k1k2 = -1
vaø k ≠ 1

⎧ ( y0 − 2) 2 − 16
⎪ = −1
⎪ ( x0 − 1)
2

⎪ ⎧( x0 − 1) 2 + ( y0 − 2) 2 = 16

⎨ g (1) ≠ 0 ⎨
⎪( x − 1) 2 ≠ 0 ⎪ x0 ≠ 1 => y0 ≠ 6 ∨ y0 ≠ −2

⎪ 0



Vaäy quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc ñeán ñoà thò (C) laø ñöôøng troøn taâm I(1,2)
, baùn kính R = 4 coù phöông trình : (x -1)2 + (y – 2)2 = 16 tröø ñi 2 ñieåm : (1,-2) vaø (1, 6)


Cho haøm soá y = x3 +3x2 +mx +1 ; coù ñoà thò laø (Cm)
1. Chöùng minh raèng vôùi moïi m thì (Cm) luoân caét ñoà thò (C) : y = x3 + 2x2 + 7 taïi hai ñieåm phaân bieät
A vaø B . Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa AB
2. Xaùc ñònh m ñeå (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi 3 ñieåm phaân bieät C(0,1); D vaø E . Tìm m ñeå caùc
tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D vaø E vuoâng goùc vôùi nhau
3. Tìm a ñeå moïi x : f(x) = (x -2)2 + 2 x − a ≥ 3

1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (C) laø :
x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +7 f(x) = x2 +mx – 6 = 0
f(x) = 0 luoân coù 2nghieäm phaân bieät (Vì Δ f = m2 + 24 > 0) A,B thoûa
A(x1, x13 + 2 x12 + 7 ) ; B( x2 , x2 + 2 x2 + 7 ) ; vôùi x1, x2 laø nghieämsoá cuûaf(x) = 0 coù x1 + x2 = -m
3 2


Goïi I laø toïa ñoä trung ñieåm cuûa AB thì :
⎧ x1 + x2 −m
⎪ xI = 2 = 2

I⎨
⎪ y = y1 + y2 = x1 + x2 + ( x 2 + x 2 ) + 7 = −m − 18m + m2 + 19
3 3

⎪ I
⎩ 2 2
1 2
2
⎧ m = −2 x I

⎨ −(−2 xI )3 − 18(−2 xI ) =>yI = 4 xI3 + 4 xI2 + 18 xI + 19
⎪ yI = + (−2 xI ) + 19
2

⎩ 2
Vaäy quyõ tích trung ñieåm I laø ñöôøng cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9
2. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø y = 1 laø :
x3 + 3x2 +mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0
⎡x = 0

⎣ g ( x) = x + 3x + m = 0(2)
2
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Ñeå (Cm) caét y = 1 taïi 3 ñieåm C(0,1) ; D vaø E khi (2) coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0
⎧9 − 4m > 0 9
⎨ 0 ≠ m
min g(x) = -2a >0 a ≤ 0
*Neáu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2 - 2 x − a − 3 ; g’(x) = 2x – 6
g’(x) =0 x = 3

x −∞ 3 a +∞
g’(x) - 0 +
g(x)
2a – 8


x ≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 ≥ 0 => a ≥ 4

Vaäy a ≤ 0 ∨ a ≥ 4
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản