Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Chuyên đề tự chọn - Toán học " So sánh hai lũy thừa "

Chia sẻ: | Ngày: doc 14 p | 285

0
825
views

Tài liệu chuyên đề tự chọn môn toán học gồm 5 chuyên đề: So sánh hai lũy thừa, chữ số tận cùng của một tích - một lũy thừa, nguyên lí Điricle và bài toán chia hết, so sánh hai pjha6n số, tổng các phân số viết theo quy luật

Chuyên đề tự chọn - Toán học " So sánh hai lũy thừa "
Nội dung Text

  1. CHUYÊN ĐỀ 1 SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A. Mục tiêu. - Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài tập mà các em thường gặp là so sánh hai luỹ thừa. - Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa. - Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập. B. Nội dung chuyền đạt. I. Kiến thức cơ bản. 1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m>n thì am>an (a>1). + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu a>b thì an>bn ( n>0). 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân. (a<b thì a.c<b.c với c>0). Ví dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn. Hướng dẫn: Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 3210 và 1615 về luỹ thừa cùng cơ số 2. 3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260 Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615. II. Áp dụng làm bài tập. Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn? a) 2711 và 818. b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n ∈ N* ) Hướng dẫn: a) Đưa về cùng cơ số 3. b) Đưa về cùng cơ số 5. c) Đưa về cùng số mũ 12. d) Đưa về cùng số mũ n Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn? a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498 Hướng dẫn: a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
  2. b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213. c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3. Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn. a) 19920 và 200315. b) 339 và 1121. Hướng dẫn : a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540. 200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121. Bài4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn? 72 45-7244và 72 44-7243. Hướng dẫn: 7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 7244-7244=7244(72-1)=7244.71. Bài5:Tìm x ∈ N biết: a, 16x<1284. b, 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100...0:218. Hướng dẫn: a, Đưa 2vế về cùng cơ số 2. ⇒ luỹ thừa nhỏ hơn ⇒ số mũ nhỏ hơn. Từ đó tìm x. b, Đưa 2vế về cùng cơ số 5 ⇒ x. Bài6:Cho S=1+2+22+23+.....+29. Hãy so sánh S với 5.28. Hướng dẫn: 2S=2+22+23+24+....+210. ⇒ 2S-S=210-1(210=22.28=4.28<5.28). Bài7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với 10.98. Hướng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu. Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu.... ⇒ m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99. Mà 99 = 9.98 < 10.98. Vậy: m < 10.98. Bài8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện mỗi chữ số dùng 1 lần và chỉ1 lần. Hướng dẫn:Viết tất cả được bao nhiêu: +Trường hợp không có luỹ thừa. +Có dùng luỹ thừa. +Xét luỹ thừa có:1chữ số. 2chữ số. Hãy so sánh các số đó. Số lớn nhất là 321. 1 1 Bài9: So sánh a) 3131 và 1739. b) và 2 21 5 35 Hướng dẫn: a) 3131<3231=2155; 1739>1639 = 2156. b) So sánh 221 với 535
  3. CHUYÊN ĐỀ 2: CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH,MỘT LUỸ THỪA. I.Đặt vấn đề. - Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn, khi so số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi xét một số có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25;125 hay không ta chỉ cần xét 1,2,3 chữ số tận cùng của số đó. - Trang bị cho học sinh những kiến thức tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa. - Học sinh nắm vững kiến thức này để áp dụng giải bài tập có liên quan. II. Nội dung cần truyền đạt. I.Kiến thức cơ bản. 1.Tìm chữ số tận cùng của tích. - Tích các số lẻ là một số lẻ. Đặc biệt tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5. - Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng là 0. 2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa:chú ý đến những số đặc biệt. a,Tìm một chữ số tận cùng. -Các số có tận cùng là 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) cũng tận cung bằng .0 ; 1 ; 5 ; 6. - Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được có số tận cùng bằng 6. - Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1. b. Tìm hai chữ số tận cùng . - Các số có tận cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng bằng 01 ; 25 ; 76 . c. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên. - Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ; 376 ; 625. - Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 0625. 3. Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8. II. áp dụng làm bài tập . Bài1 : Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10. a) 175 + 244 - 1321 . b) 51n + 47102 . Hướng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0. Bài2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : a) 74n - 1 chia hết cho 5. b) 34n+1 + 2 chia hết cho 5.
  4. c) 24n+1 + 3 chia hết cho 5. d) 24n+2 + 1 chia hết cho 5. e) 92n+1 + 1 chia hết cho 10. Hướng dẫn : Chứng tỏ tổng a) , b) , c), d) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Chứng tỏ tổng e) có chữ số tận cùng là 0. Baì4: Tìm chữ số tận cùng của các sô sau: 7 5 6 7 5 6 a) 234 b) 579 Hướng dẫn: 7 5 là một số lẻ đều có dạng 2n + 1 6 (n ∈ N*) 5 6 là một số chẵn có dạng 2n 7 ( n ∈ N*) Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của . 99 51 99 a) 51 b) 99 c) 6666 d) 14101 . 16101 Hướng dẫn : đưa về dạng (an)m , trong đó an có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc 76 . Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số ? * Hướng dẫn : Dùng P2 để loại trừ. - Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích nhỏ hơn 5. - Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 hoặc tận cùng bằng 9 , trái đề bài. - Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề bài. Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số ví dụ: (...9 ). ( ...1 ). (...3 ) = 7. Bài 7: Tích A = 2.22. 23. ... . 210x 52 . 54 . 56. ... .5 14 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0. Hướng dẫn: Tích của 1 thừa số 2 và 1 thừa số 5 có tận cùng là 1 chữ số 0. Bài 8: Cho S = 1 + 31 +32+ 33 +...+ 330. Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương. Hướng dẫn: 2S = 3S - S =331 -1 =328. 33 -1. = ( 34 )7 . 27 -1 = ...1. 27 -1 = ...6. ⇒ 2S = ...6 ⇒ S = ...3. Số chính phương không có tận cùng là 3 ⇒ đpcm. Bài 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng bằng 1 mà viết được dưới dạng 8m +5n (m,n ∈ N*)? Hướng dẫn: 5n có tận là 5 với n ∈ N*. ⇒ 8m có tận cùng là 6 ⇒ m = 4k (k ∈ N*). Vì 85 > 10 000 ⇒ m = 4. ⇒ các số phải đếm có dạng 84 + 5n với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.
  5. Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn: n2 = 20072007... 2007không? Hướng dẫn: n2 = 20072007... 2006. n2 là số chính phương có tận cùng là 6  2. ⇒ n2  4. Mà 20072007... 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06 không chia hết cho 4). Vậy không có số tự nhiên nào Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: A = 51994. Hướngdẫn: 54 = 0625 tận cùng là 0625 55 = 3125 tận cùng là 3125 56 tận cùng là 5625 5 7 tận cùng là 8125 5 8 tận cùng là 0625 5 9 tận cùng là 3125 5 10 tận cùng là 5625 5 11 tận cùng là 8125 5 12 tận cùng là 0625 ................................................ Chu kì của hiện tượng lặp lại là 4 Suy ra 54m tận cùng là 0625 ⇒ 54m+2 tận cùnglà 5625 Mà 1994 có dạng 4m+2 ⇒ 51994 tận cùng là 5625 Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là như nhau. Hướng dẫn: Cách 1: Xét chữ số tận cùng của n ⇒ chữ số tận cùng tương ứng của n5. Cách2: Đưa về chứng minh ( n5 - n )  10 Biến đổi n5 - n = n.(n-1).(n +1).(n2+1). Bài tập giải tương tự các bài tập trên: Bài 13:Tìm chữ số cuối cùng của số: 9 9 a) A = 9 4 b) B = 23 Bài14: Tìm hai chữ tận cùng của số : a) M = 2999 b) N = 3999 Bài 15: Cho số tự nhiên n .Chứng minh rằng : a) Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn thì n và 6n có chữ số tận cùng như nhau b) Nếu n tận cùng bằng chữ số lẻ khác 5 thì n4 tận cùng bằng 1. Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn khác 0 thì n4 tận cùng bằng 6.
  6. CHUYÊN ĐỄ 3 NGUYÊN LÍ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT. A. Đặt vấn đề: Sau khi học xong về phép chia ngoài việc rèn luyện các kĩ năng tính toán thành thạo phép chia giáo viên cần phải mở rộng kiến thức liên quan đến phép chia như phép đồng dư, mối liên hệ nguyên lí điriclê và bài toán chia hết... giúp học sinh rèn khả năng tư duy sáng tạo để làm được những bài tập nâng cao. B.Nội dung cần truyền đạt. B. Kiến thức cơ bản. Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên. * Chú ý cho học sinh: Khi giải bài toán vận dụng nguyên lí điriclê cần suy nghĩ để làm xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhưng khi trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường. Ví dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có thể chọn ra 2 số mà hiệu của chúng chia hết cho 8. Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ. Chín con thỏ này được nhốt trong mấy lồng ? Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 . Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo nguyên lí điriclê thì cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số dư . Hiệu 2 số này chia hết cho 8. Trình bày lời giải: Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số dư r chỉ có thể lấy một trong 8 giá trị là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mà có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng có 2 số chia cho 8 có cùng số dư.Hiệu 2 số này chia hết cho 8. Đưa cho học sinh nhận xét trong n + 1 số tự nhiên , bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho n ( n ∈ N* ). C.Bài tập áp dụng: Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ số tận cùng giống nhau. Hướng dẫn: Cách 1: Xét trong phép chia cho 10. Có 11 số chia cho 10 có ít nhất hai số có cùng số dư ⇒ hiệu hai số này chia hết cho 10. Hay hiệu hai số có chữ số tận cùng là 0 ⇒ hai số này có chữ số tận cùng giống nhau. Cách 2: Có 11 số mà một số tự nhiên bất kì chỉ có chữ số tận cùng là một trong 10 số đó là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. ⇒ đpcm. Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2. Hướng dẫn: Xét dãy số gồm 14 số hạng: 22............2 2 ; 22 ; 222 ; 2222 ;...;     
  7. 14 chữ số 2. Có 14 số xét , trong phép chia cho 13 → có hiệu hai số chia hết cho 13. Mà hiệu hai số ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng: 22 ... 2000 ... 0 = 22 ... 2 . 10n. ⇒ 22 ... 2 . 10n 13 mà ( 10n , 13 ) =1. ⇒ 22 ... 2  13 ( đpcm ). Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 102 ; 103 ; ... ;1020. Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1. Hướng dẫn: Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19 ⇒ có ít nhất hai số có cùng số dư ⇒ hiệu hai số chia hết cho 19. Mà hiệu hai số có dạng: 10m -10n = 10n ( 10m-n -1 ). ⇒ 10n (10m-n -1 ) 19 mà (10n, 19 ) =1. ⇒ 10m-n -1 19. Hay 10k chia 19 dư 1( 0 < k < 20 ). Bài 4: cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8. Hướng dẫn: Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 3 ; 5 ; 7. Ta chia 4 số dư này làm 2 nhóm ( hai lồng ). Nhóm 1 dư 1 hoặc dư 7. Nhóm 2 dư 3 hoặc dư 5. Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số dư ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai số cùng thuộc một nhóm ⇒ đpcm. Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12. Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 5 ; 7 ; 11 chia thành 2 nhóm: nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5 hoặc dư 7. ⇒ đpcm. Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được hai số có tổng chia hết cho 2. Hướng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ. Và có ba thỏ là ba số. Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta luôn chọn được 4 số có tổng chia hết cho 4. Hướng dẫn: Gọi 7 số đó là a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 . Theo bài tập trên ta chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng hạn a 1 + a 2 = 2k 1 .Còn 5 số lại chọn được hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a 3 + a 4 = 2k 2 . Còn ba số , lại chọn được 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3. Xét ba số k1, k2,k3 ta lịa chọn được 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn k1+k2=2m như vậy: 2k1+2k2 = 4m. Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hết cho 4
  8. Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được ba số có tổng chia hết cho 3 Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1, 3k+2 ( k∈N) Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia hết cho 3. Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3. Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng luôn chọn được 4 số có tổng chia hết cho 4. Hướng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3. Tức là số lẻ chỉ có một trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+2. Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4. Nếu không như vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này và 2 số ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4. Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cúng tìm được 1 hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5. Hướng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5. Xét 5 tổng: S1= a1. S2= a1+a2 S3=a1+a2+a3. S4=a1+a2+a3+a4. S4=a1+a2+a3+a4+a5. - Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải song. - Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng s ố dư khi chia cho 5⇒ hiệu hai tổng này chia hết cho 5. Gọi 2 tổng là S ivà Sj (1≤ i < J≤ 5) thì Sj -Si chia hết 5 hay (a1+a2+.....+aJ) - (a1+a2+...+aJ) = ai+1+ai+2+...+aJ chia hết cho 5 Bài 11. Có tồn tại hay không số có dạng 20072007....200700...0 chia hết cho 2005. Hướng dẫn: Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007,..., 20072007...2007     2006 so 2007   trong phép chia cho 2005..... có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 . Hiệu hai số này ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007...200700...0. Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho 25x -1  17 Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau : 25 ; 252 ; 253 ;........; 2517 Chia số hạng của dãy (1) cho 17 Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 ∀ n∈ N và n ≥ 1 .
  9. Xét trong phép chia cho 17 ....dãy số trên có ít nhất hai số chia cho 17 có cùng số dư . Gọi 2 số đó là 25m và 25n với m , n ∈ N và 1 ≤ m <n ≤ 17 ⇒ 25n - 25m 17 ⇔ 25m ( 25n - m -1 ) 17 vì ( 25m , 17 ) = 1 ⇒ đpcm. CHUYÊN ĐỀ 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ A. Đặt vấn đề: Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trường hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng m ột s ố phương pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng. B. Nội dung cần truyền đạt. I. Kiến thức cơ bản. 1. Dùng số 1 làm trung gian. a c a c a) Nếu > 1 và < 1 thì > b d b d a c b) Nếu = 1 + M ; = 1 +N b d a c mà M>N thì > b d M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho. * Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân s ố nào có "phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ: 199 1 200 1 =1+ ; =1+ 198 198 199 199 1 1 199 200 Vì > nên > 198 199 198 199 a c a c c) Nếu = 1- M ; = 1 + N nếu M > N thì < b d b d M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân số đã cho. * Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn. Ví dụ: 2005 1 2006 1 =1- ; =1+ 2006 2006 2007 2007 1 1 2005 2006 Vì > nên < 2006 2007 2006 2007 2. Dùng một số phân số làm trung gian. 18 15 Ví dụ : So sánh và 31 37 18 Giải: Xét phân số trung gian ( Phân số này có tử là tử của phân số 37 thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy:
  10. 18 18 18 15 18 15 > và > suy ra > ( tính chất bắc cầu) 31 37 37 31 31 37 15 (Ta cũng có thể lấy phân số làm phân số trung gian). 31 12 19 b) Ví dụ : So sánh và 47 17 12 19 1 1 Giải: cả hai phân số và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm 47 77 4 4 trung gian. 12 12 1 Ta có: > = 47 48 4 19 19 1 < = 77 76 4 12 19 Suy ra > 47 77 II. Bài tập áp dụng: Bài 1: So sánh 64 73 n +1 n a) và b) và ( n∈ N*) 85 81 n+2 n+3 64 73 Hướng dẫn: b) Dùng phân số (hoặc ) làm phân số trung gian. 81 85 n +1 n b) dùng phân số (hoặc ) làm phân số trung gian. n+3 n+2 Bài 2: So sánh 67 73 456 123 2003.2004 − 1 2004.2005 − 1 a) và b) và c) và 77 83 461 128 2003.2004 2004.2005 Hướng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị . Bài 3: So sánh: 11 16 58 36 a) và b) và 12 49 89 53 11 16 1 1 Hướng dẫn: a) Hai phân số và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số 32 49 3 3 làm trung gian . 58 36 2 2 b) Hai phân số và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số 89 53 3 3 làm phân số trung gian . Baì 4: So sánh các phân số . 2535.232323 3535 2323 A= ; B= ; C= 353535.2323 3534 2322 Hướng dẫn : Rút gọn A = .......= 1 1 B =1 + 3534 1 C = 1 + 2322 Từ đó suy ra : A < B < C. Bài 5: So sánh :
  11. 5.(11.13 − 22.26) 138 2 − 690 A = và B = 22.26 − 44.52 137 2 − 548 5 1 Hướng dẫn : Rút gọn A = ......= =1+ 4 4 138 1 B = ......= =1+ 137 137 1 1 Vì > nên A > B 4 137 Bài 6: So sánh . 53 531 25 25251 a) và ; b) và 57 571 26 26261 Hướng dẫn : 53 530 40 531 40 a) = =1- ; = 1- 57 570 570 571 571 25 1 1010 25251 1010 b) =1 + =1 + ; =1+ 26 26 26260 26261 26261 Bài 7: Cho a , b , m ∈ N* a+m a Hãy so sánh với . b+m b a a a Hướng dẫn : Ta xét ba trường hợp =1 ; <1; > 1. b b b a a+m a a) Trường hợp : = 1 ⇔ a = b thì = =1 b b+m b a b) Trường hợp : < 1 ⇔ a < b ⇔ a + m = b + m b a+m b−a a b−a =1 - ; = 1- b+m b+m b b a c) Trường hợp : > 1 ⇔ a > b ⇔ a+m > b + m ⇒ ...... b 1011 − 1 1010 + 1 Bài 8: Cho A = 12 ; B = 11 . 10 − 1 10 + 1 Hãy so sánh A với B. a a+m a Hướng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu < 1 thì > b b+m b với m>o. Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu. 54.107 − 53 135.269 − 133 A= . B= . 53.107 + 54 134.269 + 135 Hướng dẫn: Tử của phân số A 54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =... Tử của phân số B 135.269-133= (134+1).269 - 133=... Bài 10: So sánh: 1 7 1 6 3 5 3 a, ( ) với ( ). b, ( )5 với ( ). 80 243 8 243 Hướng dẫn:
  12. 1 7 1 1 a =( ) > ( ) 7 = 28 80 81 3 1 6 1 ( ) = 30 . 243 3 3 5 243 b, ( ) = 15 8 2 5 3 243 ( ) = 15 . 243 3 243 Chọn phân số 15 làm phân số trung gian để so sánh. 3 1 1 1 1 1 5 Bài 11: Chứng tỏ rằng: + + + ... + + > . 15 16 17 43 44 6 Hướng dẫn: 5 3 2 15 15 Từ = + = + . 6 6 6 30 45 1 1 1 1 = ( + .... + ) + ( + ... + ) . 30 30 45 45 Từ đó ta thấy: 1 1 1 1 1 1 + + ... + > + + ... + ( Có 15 phân số). 15 16 29 30 30 30 1 1 1 1 1 1 + + ... + > + + ... + (Có 15 phân số). 30 31 44 45 45 45 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
  13. CHUYÊN ĐỀ 5 TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT. A.Đặt vấn đề: Khi học phép cộng phân số một dạng bài tập mà các em đã gặp là bài toán tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. Loại bài tập này có thể coi là khó so với học sinh đại trà vì phải tìm ra quy luật của nó từ đó tìm ra cách giải. - Vì vậy giáo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức để phát hiện quy luật từ đó đưa ra cách giải. B. Nội dung cần truyền đạt: I. Kiến thức cơ bản: m 1 1 Cho học sinh chứng minh hai công thức: b(b + m) = b − b + m . 2m 1 1 = − . b(b + m)(b + 2m) b(b + m) (b + m)(b + 2m) Hướng dẫn: Biến đổi vế phải về bằng vế trái. II. áp dụng làm bài tập: Bài 1: Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất: 1 1 1 1 a, A= + + + ... + ; 1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 2 2 b, B= + + + ... + . 3.5 5.7 7.9 37.39 3 3 3 3 c, C= + + + ... + . 4.7 7.10 10.13 73.76 Hướng dẫn: áp dụng công thức 1. Bài 2: Tính các tổng sau: 7 7 7 7 a, C= + + + ... + . 10.11 11.12 12.13 69.70 6 6 6 6 b, D = + + + ... + . 15.18 18.21 21.24 87.90 32 32 32 32 c, E = + + + ... + . 8.11 11.14 14.17 197.200 Hướng dẫn: áp dụng công thức 1. Bài 3: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 a, F = + + + ... + . 25.27 27.29 29.31 73.75 15 15 15 15 b, G = + + + ... + . 90.94 94.98 98.102 146.150 10 10 10 10 c, H = + + + ... + . 56 140 260 1400 Hướng dẫn: áp dụng công thức 1. Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ta luôn có: 1 1 1 1 n +1 + + + ... + = . 1.6 6.11 11.16 (5n + 1)(5n + 6) 5n + 6 Hướng dẫn: Biến đổi vế trái về bằng vế phải.
  14. 1 5 5 5 5 Vế trái = 5 .(1.6 + 6.11 + 11.16 + ... + (5n + 1).(5n + 6) ) ( áp dụng công thức 1 để tính trong ngoặc ). Bài 5:Tìm x ∈ N biết: 20 20 20 20 3 x- _ − − ... − = . 11.13 13.15 15.17 53.55 11 Hướng dẫn: Bài 6: Tìm x ∈ N biết: 1 1 1 2 2 + + + ... + = . 21 28 36 x( x + 1) 9 Hướng dẫn: Bài 7: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 a, A = + + + ... + < . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 4 36 36 36 36 b, B = + + + ... + <3. 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 Hướng dẫn: áp dụng công thức 2. Bài 8: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a, M= 2 + 2 + 2 + ... + 2 <1 ( n ∈ N; n ≥ 2). 2 3 4 n 1 1 1 1 1 b, N= 4 2 + 6 2 + 8 2 + ... + (2n) 2 < 4 (n∈ N;n ≥ 2). 2! 2! 2! 2! c, P= + + + ... + < 1 ( n∈ N;n ≥ 3). 3! 4! 5! n! 1 1 1 1 Hướng dẫn: a, M< 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n − 1).n . 1 1 1 1 1 b, N = 2 .( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) (áp dụng phần a làm tiếp). 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 c, P = 2!. 3! + 4! + 5! + ... + n! ≤ 2.( 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + (n − 1).n .) Bài 9: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = 1 − + − + ... + − . 26 27 28 50 2 3 4 49 50 Hướng dẫn: 1 1 1 1 + + + ... + 26 27 28 50 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + ... + − (1 + + + ... + ) 2 3 50 2 3 25 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + ... + − 2( + + + ... + ) 2 3 50 2 4 6 50 ⇒ đpcm.
Đồng bộ tài khoản