Chuyên đề vectơ

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

0
379
lượt xem
87
download

Chuyên đề vectơ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề vectơ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề vectơ

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ---------------- BÀI BÁO CÁO MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG NHÓM 03 CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ GVHD: Lại Thị Cẩm Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042 2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109 3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126 4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127 5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142 6. Lý Sel MSSV: 1070157 7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163 Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009
  2. TOÙM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I. Các định nghĩa: r r uuu uuu r r • Vectô laø ñoaïn thaúng coù đònh höôùng Kyù hieäu : AB ; CD hoaëc a ;r b • Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái. Kyù hieäu 0 . • Giaù của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. • Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng nhau. • Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng. • Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi. II. Tổng và hiệu của hai vectơ: r uuur uuu r r uuur r r • Ñònh nghóa: Cho AB = a ; BC = b . Khi ñoù AC = a + b r r r r • Tính chaát : * Giao hoaùr : ar+ b r b + a r r n = r * Keát hôïp ( a + b ) + c = a + (b + c ) r r r * Tính chaát vectô –khoâng a + 0 = a • Quy taéc 3 ñieåm : uuu uuu r r uuu r Cho A, B ,C tuøy yù. Ta coù : AB + BC = AC • Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì uuu uuur uuur r AB + AD = AC • Quy taéc veà hieäu vectô : Cho BC , với điểm O tuøy yù ta coù : OB − OC = CB . • Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0 . • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0 . • Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AB + AC = 2 AM . III. Tích của vectơ với một số: • Cho k∈R , k a laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh: * Neáu k ≥ 0 thì k a cuøng höôùng vôùi a ; k < 0 thì k a ngöôïc höôùng vôùi a * Ñoä daøi vectô k a baèng k .⎢ a ⎢ • Tính chaát : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a
  3. c) k( a + b ) = k a + k b r r d) k a = 0 ⇔ k = 0 hoaëc a = 0 r r r r r r • b cuøng phöông a ( a ≠ 0 ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa b =k a . • Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho uuur uuur AB =k AC . r r r r r r • Cho b khoâng cuøngphöông a , ∀ x luoân ñöôïc bieåu dieãn x = m a + n b ( m, n duy nhaát ). IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ: r • Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô i coù ñoä daøi baèng 1. r Kyù hieäu truïc (O; i )rhoaéc x’Ox r • A,B naèm treân truïc (O; i ) thì AB = AB i . Khi ñoù AB goïi laø ñoä daøi ñaïi soá cuûa AB . r • Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox ⊥ Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc r (O; i ; j ). r r r r r • Ñoái vôùi heä truïc (O; i ; j ), neáu a =x i +y j thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa r r a . Kyù hieäu ar = (x;y). r • Cho a = (x;y) ; rb = (x’;y’) ta coù : r a r b = (x ± x’;y ± y’) ± k r a =(kx ; ky) ; ∀ kr∈ R r r b cuøng phöông a ( a ≠ 0 ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky. • Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù: x + xN y + yN P laø trung ñieåm MN thì xp = M vaø yP = M 2 2 uuuu r MN = (xM – xN ; yM – yN). • Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì x + xB + xC y + yB + yC xG = A vaø yG = A . 3 2 ☺ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VECTƠ 1. Chứng minh đẳng thức vectơ:
  4. • Phương pháp chung: r r r - Quy tắc 3 điểm: Ar = Ar + Cr B C B AB − AC = CB - Quy rtắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn r r có: AD + AB = AC -rQuy r trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB luôn có: tắc r 2 MI = MA + MB . - Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ để thực hiện biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta lựa chọn một trong các biến đổi sau: + Biến đổi một vế thành vế còn lại Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức. Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng. + Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh. + Tạo dựng các hình phụ. Ví dụ 1: r r r r Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB Giải: Ta có thể trình bày theo các cách sau: r Cách 1: Thực r r r hiện r phéprbiến rđổI VT, tarcó: r r r r AB + C D = AD + DB + C B + BD = AD + C B + ( DB + BD ) = AD + C B Nhận xét: Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện r r của các vectơ AD và CB . Do đó: r r trong lời giải ta xen điểm D vào AB còn điểm B vào vectơ CD Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2 Cách 2: Thực hiện phép r r r r r r biến đổi VP. ta có: r r r r r r A D + C B = A B + BD + C D + D B = A B + C D + ( B D + D B ) = A B + C D Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là luôn đúng r r r r r r r r r r AB + CD = AD + CB ⇔ AB − AD = CB − CD ⇔ DB = DB Ví dụ 2: Gọi M, N lần lượt là trung r điểm các đoạn r AB, CD . Chứng minh rằng: r r r 2MN = AC + BD = AD + BC Giải: Cách 1: Ta có M r trung điểm của AB , với N bất kì thì là r r r NA + NB = 2 NM = −2MN (1) N là trung điểm củarCD, với M bất kì thì r r MC + MD = 2MN (2)
  5. Lấy (2)-(1) ta được: r r r r r 4 MN = MC + MD − ( NA + NB) r r r r r r r r = MA + AC + MB + BD − ( NC + CA) − ( ND + DB) r r r r r r r r = MA + MB + AC + BD − ( NC + ND) + AC + BD r r r r = 0 + 2( AC + BD ) + 0 r r r ⇒ 4 MN = 2( AC + BD) r r r ⇒ 2 MN = ( AC + BD) r r Chứng minh tương tự: VT = AD + BC Cách 2: Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có: r r r 2OM = OA + OB (1) r r r 2ON = OC + OD (2) r r r r r r Lấy (2)-(1) ta được: 2(ON − OM ) = (OC + OD) − (OA + OB ) r r r r r 2 MN = (OC − OA) + (OD − OB ) r r r r 2rMN = ACr+ BD (1) r Ta cần chứng minh: AC + BD = AD + BC r r r r VT= AD + DC + BC + CD r r = AD + BC = VP r(2) r r r r Từ (1) và (2) ta suy ra: 2MN = AC + BD = AD + BC Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC.Gọi I làrtâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR: r r r a.IA + b.IB + c.IC = 0 ( a,b,c ∈ R + ) Giải: Dựng hình bình hành AB2 IC 2 có AB2 // CC1 , AC2 // BB1 . Ta được: r r r IA = IB2 + IC 2 (1) Đặt: IB2 = b, IC2 = c A và IC = IB = IA = a. IB2 C1 A b = = r b r IB C1 B a ⇒ IB2 = − IB B2 C2 r r a IB2 ↑↓ IB I ( 2) B1 C1 IC 2 B1 A c = = r c r IC B1C a ⇒ IC 2 = − IC (3) C B r r a IC 2 ↑↓ IC
  6. Thay (2),(3) vào (1) r b r c r ⇒ IA = − IB − IC a a r r r r ⇒ a.IA + b.IB + c.IC = 0 Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ Phương pháp chung r r r -Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho OM = v , trong đó điểm O và v đã biết -Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v. Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M Ví dụ : Cho tam giácABC. r r r a) Tìm điểm I sao cho: IA + 2 IB =r0 (1)r r b) Tìm điểm K sao cho: KA + 2 KB = CB (2) Giải: r r r a) Theo quy tắc 3 điểm, ta có: IA = IB + BA r r r r r r r 1 r (1) ⇒ 3IB + BA = 0 ⇒ 3IB = − BA = AB ⇒ IB = AB 3 ⇒ 3 điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB và thoả điều kiện: r 1 r IB = AB 3 b)Từ kết quả câu a ta suy ra:AI=2IB r r ⇒ AI = 2 IB r r ⇒ IA = −2 IB r r r r r r VT(2)= KA + 2 KB = ( KI + IA) + 2( KI + IB ) r r r = 3 K I + ( IA + 2 IB ) r r r r r IA = −2 IB ⇒ IA + 2 IB = 0 Vậy: r r r KA + 2 KB = 3KI r r r 1 r r 1 r Theo giả thiết ta được: 3KI = CB ⇒ KI = CB ⇒ IK = BC 3 3 r r Kết quả này cho ta 2 vectơ IK và BC là 2 vectơ cùng phương và vì I ∉ BC nên IK//BC.
  7. Vậy K là điểm thuộc miền trong tam giác, nằm trên đường thẳng qua I song r 1 r song với BC sao cho : IK = BC 3 Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp chung: Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh: AB = k . AC ;(k∈R) (1) Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai hướng - Hướng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết - Hướng 2: Xác định AB, AC thông qua một tổ hợp trung gian. Ví dụ: Cho Δ ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ΔABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng. A O H G B C E A1 Giải Chọn tổ hợp 3 vectơ OA, OB, OC Khi đó: OG = 1 3 (OA + OB + OC ) (1) Chọn E là trung điểm của BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được: BH // CA1 cùng vuông góc với AC. CH // BA1 cùng vuông góc với AB. ⇒ Tứ giác A1BHC là hình bình hành. ⇒ A1, E, H thẳng hàng . ⇒ HB + HC = HA1
  8. ( ) ( ) 2OE = OB + OC = OA + AH + HB + OA + AH + HC = 2OA + 2 AH + HB + HC = = A1 A + 2 AH + HA1 = HA + 2 HA = AH ⇒ AH = 2OE Ta có: OH = OA + AH = OA + 2OE = OA + OB + OC (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1 OG = OH ⇔ O, G , H thẳng hàng. 3 Dạng 4: Biểu diễn vectơ : Định lý: Cho trước hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phương .Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm được một cặp số thực α , β duy nhất ,sao cho: c = α a+β b Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm tới phương pháp thực hiện được miêu tả trong bài toán sau: Bài toán: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ. PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Ta lựa chọn một trong hai hướng : Hướng1: Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biễu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Hướng 2: Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng ,rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Chú ý: Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian. Ví dụ: Cho Δ ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn vectơ CB1 theo AB và AC Giải:
  9. Từ giả thiết suy ra AB1CG là hình bình hành. 2 2 1 1 Ta được: CB1 = GA = - AG = − AM = − . ( AB + AC )= - ( AB + AC ) 3 3 2 3 Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Chứng minh A1 A2 = 0 Hướng 2: Chứng minh OA1 = OA2 với O là điểm tùy ý . Ví dụ 1: Cho ΔABC .Lấy các điểm A1 ∈ BC , B1 ∈ AC , C1 ∈ AB sao cho B AA1 + BB1 + CC1 = 0 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm. B Giải Gọi G,G1 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 ta có : B 0 = AA1 + BB1 + CC1 = ( AG + GG1 + G1 A1 ) + ( BG + GG1 + G1 B1 ) + (CG + GG1 + G1C1 ) = − (GA + GB + GC ) + (G1 A1 + G1 B1 + G1C1 ) + 3GG1 = 3GG1 ⇔ GG1 = 0 ⇔ G ≡ G1 Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải :
  10. Gọi G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý. Ta có: ⎧OA + ON + OP = 3OG1 ⎪ ⎨ ⎪OC + OM + OQ = 3OG2 ⎩ OG1 = 1/3 ( OA + ON + OP ) (1) và OG2 =1/3 ( OC + OM + OQ ) (2): Do N là trung điểm của BC : ON = 1/2 ( OB + OC ) Và P là trung điểm của CD: OP = 1/2 ( OC + OD ) (1) => OG 1 = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD ( * ) Mặt khác ta lại có: M là trung điểm của AB : => OM = 1/2 ( OA + OB ) Q là trung điểm của DA : => OQ = 1/2 ( OD + OA ) ( 2) => OG 2 = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD (**) Từ ( * ) và ( ** ) : OG1 = OG2 G1 Trùng G2 . Dạng 6: Quỹ tích điểm. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng: 1. Nếu MA = MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. 2. MC = k AB với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB 3. Nếu MA = k .BC ,với A,B,C cho trước thì Với k ∈ R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.
  11. Với k ∈ R + điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC Với k ∈ R − điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC Ví dụ: Cho ΔABC tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn: MA + k MB − k MC = 0 (1) Giải Ta biến đổi (1) về dạng: MA = k ( MC − MB) ⇔ MA = k BC ⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC. PHẦN BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh 1 đẳng thức vectơ Bài tập 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR: AC + DE − DC − CE + CB = AB Giải: Cách 1: AC + DE − DC − CE + CB = AC + CE − CE + CB = Ta có: = AC + CB = AB.(dpcm) Cách 2: Ta có: CA + ED − CD − EC + BC = CA − CD + ED − EC + BC = DA + CD + BC = DA + BD = BA ⇒ AC + DE − DC − CE + CB = AB Bài tập 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR: a) AB − CD = AC + DB b) AD + BE + CF = AE + BF + CD Giải:
  12. AB − CD = AC + CB − CD = AC + DB a)Cách 1: Ta có: Ngoài ra: Ta cũng có thể chèn điẻm B vào CD . Nếu xuất phát từ vế phải ta có thể chèn diểm B vào AC hoặc C vào DB . Cách 2: CB = AB − AC = DB − DC ⇒ AB − CD = DB + AC b) AD + DC + BE + EA + CF + FB = AC + BA + CB = 0 ⇒ AD + BE + CF = AE + BF + CD Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng quy tắc chèn điểm để chứng minh. Bài tập 3:Cho Δ ABC . Gọi M là một điểm trên đoạn BC sao cho MB=2MC. 1 2 CMR: AM = AB + AC 3 3 Giải: A Cách 1:Ta có: 2 AM = AB + BM = AB − 2CM = AB − CB = 3 2 ( 1 ) = AB − CA+ AB = AB + AC 3 3 2 3 Cách 2: Ta có: BC = AC − AB 2 B M C N Mặt khác: MB=2MC ⇒ BM = BC 3 2 AM = AB + MB = AB + CB = 3 = AB + 2 3 ( 1 ) AC − AB = AB + AC 3 2 3 Cách 3: Chọn N thỏa NC=2NB. Khi đó: BN=NM=MC ⇒ ΔNAC có: 2 AM = AC + AN ΔBAM có: 2 AN = AB + AM 1 1 ⇒ AN = AB + AM 2 2
  13. 1 1 ⇒ 2 AM = AC + AB + AM 2 2 1 2 AM = AB + AC 3 3 Bài tập 4: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: 1 a) EF = ( AC + BD ) 2 b) OA + OB + OC + OD = 0 c) MA + MB + MC + MD = 4MO Giải: E B A O D C F 2 OE = OA + OB (1 ) a) Cách 1: Ta có: 2 ÒF = OC = OD ( 2 ) ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ( ⇒ 2⎛ ÒF − OE ⎞ = OC − OA + OD − OB ) ( ) ( ⇔ ÈF = 1 / 2 AC + BD ) 1 1 Cách 2: Ta có: EF = EB + BD + DF = AB + BD + DC = 2 2 = 1 2 ( AC + CB ) + BD + 1 2 ( DB + BC ) = 1 2 ( AC + BD )
  14. b) Cách 1: Sử dụng kết quả câu a: (1) + (2) ⇒ OA + OB + OC + OD = 0 Cách 2: OA + OB + OC + OD = = OE + EA + OE + EB + OF + FC + OF + FD = ( ) ( ) ( = 2 OE + OF + EA + EB + FC + FD = 0 ) c) Cách 1 : Sử dung kết quả câu b: OA + OB + OC + OD = 0 ⇔ OM + MA + OM + MB + OM + MC OM + MD = 0 MA + MB + MC + MD = 4MO ⇔ Cách2: MA + MB + MC + MD = MO + OA + MO + OB + MO + OD = 4MO + OA + OB + OC + OD = 4 MO . Bài tập 5: Cho ΔABC . Chứng minh rằng: a) G là trọng tâm ΔABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 b) G là trọng tâm ΔABC khi và chỉ khi MA + MB + MC = 3MG ( Với M là điểm bất kỳ ). Giải: A a) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Ta có: GA + GB + GC = − 2 / 3( AA ' + BB ' + CC ') C’ B’ ( tính chất đường trung tuyến) G Mà: AA' + BB ' + CC ' = AB + BA' + BA + AB ' + CA + AC ' = B C A’ = BA' + CB ' + AC ' 1 1 1 = BC + CA + AB 2 2 2 =0 Do đó: GA + GB + GC = 0 . b) 3MG = MA + AG + MB + BG + MC + CG = MA + MB + MC
  15. Bài tập 6: Cho ΔABC và ΔA B C có trọng tâm lần lượt là G và G .Chứng ' ' ' ' minh rằng: AA + BB' + CC' = 3GG' . Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để ' hai tam giác có cùng trọng tâm. Giải: Ta có: AA' + BB' + CC' = AG + GG' + G' A' + BG + GG' + G' B' + CG + GG' + G' C' = 3GG' Vì: AG + BG + CG = 0 A' G ' + B' G ' + C ' G ' = 0 - ĐK cần và đủ để 2 tam giác ΔABC và ΔA B C có cùng trọng tâm là: ' ' ' AA ' + BB ' + CC ' = 0 Bài tập 7: Cho lục giác ABCDEFGH. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,DE, EF, FA. Chứng minh rằng: Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Giải: A M B N S C F P R D Cách 1: E Q Ta có: MN + PQ + RS = 1 / 2( AC + CE + EA) = 0 Do đó: theo bài tập 6 ΔMPR và ΔNQS có cùng trọng tâm. Cách 2: Gọi G là trọng tâm ΔMPR . Khi đó: GM + GP + GR = 0 ⇒ MG + PG + RG = 0 (1) Lấy bất kỳ trong mặt phẳng, ta có: OG = OM + MG OG = OP + PG OG = OR + RG
  16. ⇒ 3OG = OM + OP + OR + MG + PG + RG (2) 1 Kết hợp (2) và (1) ta suy ra: OG = 3 ( OM + OP + OR ) Trong ΔOAB : Có M là trung điểm của AB. ⇒ 2OM = OA + OB Tương tự, xét ΔOCD và ΔOEF ta được: 2OF = OD + OC 2 OR = OE + OF 1 ( Thay vào (2) ta có: OG = OA + OB + OC + OD + OE + OF 6 ) Gọi G ' là trọng tâm ΔNQS . Tương tự như trên: 1 ( OG ' = ON + OQ + OS 3 ) 1 ( = OA + OB + OC + OD + OE + OF 6 ) Vậy OG = OG ' ⇒ G ≡ G ' Dạng 2: Xác định một điểm thỏa mãn hệ thức vectơ Bài tập 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M, biết: 2 MA − 3MB = 0 (1). Giải: Ta có: 2 MA − 3MB = 0 ( ) ⇒ 2MA − 3 MA + AB = 0 ⇔ − MA − 3 AB = 0 ⇔ AM = 3 AB Vậy điểm M hoàn toàn xác định được. Bài tập 2: Cho 2 điểm A, B và một vectơ v . Xác định điểm M biết: MA + MB = v Giải: Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó: MA + MB = 2MO −1 Do đó: (1) ⇔ MO = v. 2 Vậy điểm M hoàn toàn xác định được.
  17. Bài tập 3: Cho ΔABC . Gọi M là trung điểm của AB. N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2 NA . a) Xác định điểm K sao cho: 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0 b) Xác định điểm D sao cho: 3 AB + 4 AC − 12 KD = 0 Giải: ⎧ AB = 2 AM a) Ta thấy: ⎨ ⇔ AB = 2 AM ⎩ AB ↑↑ AM ⎧ AC = 3 AN ⎨ ⇔ AC = 3 AN ⎩ AC = 3 AN Suy ra 6 AM + 6 AN − 12 AK = 0 ⇔ AK = 1 2 ( AM + AN ) ⇔ K là trung điểm MN. b) Ta có: KD = AD − AK = AD − ⎛ AB + AC ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ ⎝4 6 ⎠ ⎡ ⎤ Suy ra: 3 AB + 4 AC − 12⎢ AD − ⎛ AB + AC ⎞⎥ = 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎣ ⎝4 6 ⎠ ⎦ ⇔ AD = 1 2 ( AB + AC ) ⇔ D là trung điểm BC. Bài tập 4: Cho ΔABC . Dựng các điểm I, J, L thỏa các đẳng thức: a) 2 IB + IC = 0 b) 3LA − LB + 2 LC = 0 c) 2 JA + JC − JB = CA Giải: a) Ta có: 2 IB + IC = 0 ⇔ 3IB + IC − IB = 0 ⇔ CB = 3IB . Nên điểm I hoàn toàn xác định được. ( b) Có: BA + 2 LA + LC = 0 ) ⇒ BA = 4 LM với M là trung điểm AC. Vậy L xác định được. c) Ta có JA − JB + JA + JC = CA ⇔ BA + JC = CA − JA ⇔ BA = 2CJ Vậy điểm J hoàn toàn xác định được. Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với mỗi điểm M. a) 2MA + MB = k MI (1)
  18. b) MA + MB + 2MC = k MJ (2) c) MA + MB + MC + 3MD = k MK (3) Giải: a) Vì (1) thỏa mãn , do đó đúng với ∀M ≡ I . Khi đó: 2 IA + IB = k II = 0 Vậy điểm I luôn xác định được. Mặt khác: 2MA + MB = 2 MI + 2 IA + MI + IB = 3MI = k MI ⇔ k = 3 b) Vì (2) thỏa mãn ∀M , do đó đúng với ∀M ≡ J , tức là: JA + JB + 2 JC = k JJ = 0 . Khi đó: 2 JE + 2 JC = 0 ( Với E là trung điểm của AB ) ⇔ J là trung điểm CE. Ta xác định được J. Tương tự như câu a: MA + MB + 2MC = 4MJ = k MJ ⇔ k = 4. c) Vì (3) thỏa mãn ∀M , do đó đúng ∀M ≡ K . Khi đó: KA + KB + KC + 3KD = 3KK = 0 Gọi G là trọng tâm ΔABC ⇒ 3KG + 3KD = 0 ⇒ K là trung điểm GD. Ta xác định được K. Mặt khác: MA + MB + MC + 3MD = 6MK = k MK ⇔ k = 6 DẠNG 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Bài tập 1: Cho tam giác ABC a. Gọi P,Q là hai điểm lần lượt thỏa 2 PB + PC = 0 (1) và 5QA + 2QB + QC = 0 (2) CMR:P, Q, A thẳng hàng. b. Gọi I là điểm đối xừng với B qua C, J là trung điểm của A, C, K là điểm trên AB sao cho AB = 3AK . CMR:I,J,K thẳng hàng. Giải: a. ta cò: 2PQ + 2QB + PQ + QC = 0 3PQ + 2QB + QC = 0 Mà (2) 2QB + QC = −5QA => 3PQ − 5QA = 0 5 PQ = QA 3 Vậy P,Q,A thẳng hàng..
  19. A b. K J B I C Ta có: 2 JC = JB + JI = JK + KB + JI = JK + 2 AK + JI = JK + 2 ( AJ + JK ) + JI ⇔ 2( JC − AJ ) = 3 JK + JI 0 = 3 JK + JI JI = − 3 JK Vậy 3 điểm I,J,K thẳng hàng. Bài tập 2: Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa: IA − 2 IB = 0(1)và3JA + 2 JC = 0(2) CMR: IJ đi qua trọng tâm cua tam giác ABC. Giải: (1 ) ⇔ IG + GA − 2 IG − 2 GB = 0 ⇔ − IG + GA − 2 GB = 0 (1 ' ) ( 2 ) ⇔ 3 JG + 3 GA + 2 JG + 2 GC = 0 ⇔ 5 JG + 3 GA + 2 GC = 0 ( 2 ' ) 5 JG + IG + 2(GA + GB + GC ) = 0 (2)-(1) ⇔ ⇔ −5 JG = IG Vậy I, J,G thẳng hàng. Bài tập 3: cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2 IA + 3IC = 0(1)và 2 JA + 5 JB + 3JC = 0(2) a) CMR: M,N,J thẳng hàng, với M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. b) CMR: J là trung điểm của BI
  20. GIẢI a) Ta có JM, JN lần lượt là trung tuyến của tam giác AJB, BJC Nên A 2 JM = JA + JB 2 JN = JB + JC M I Mà: J 2 JA + 5 JB + 3 JC = 0 B ⇔ 2 JA + 2 JB + 3 JB + 3 JC = 0 C N ⇔ 4 JM + 6 JN = 0 3 ⇔ JM = − JN 2 Vậy M, N, J thẳng hàng b) (1) ⇔ 2 IJ + 2 JA + 3 IJ + 3 JC = 0 Mà2 JA + 5 JB + 3 JC = 0 ⇒ 5 IJ = 5 JB ⇔ IJ = JB vậy J là trung điểm BI Bài tập 4: cho hình bình hành ABCD tâm O. lấy các điểm I, J sao cho : 3IA + 2 IC − 2 ID = 0(1) JA − 2 JB + 2 JC = 0( 2) CMR: I, J, O thẳng hàng. GIẢI: (1) ⇔ 3IO + 3OA + 2 IO + 2OC − 2 IO − 2OD = 0 ⇔ 3IO + OA − 2OD = 0(1' ) (2) ⇔ JO + OA − 2 JO − 2OB + 2 JO + 2OC = 0 ⇔ JO + OC − 2OB = 0(2' ) (1' ) + (2' ) ⇔ 3IO + OA − 2OD + JO + OC − 2OB = 0 ⇔ 3IO + JO − 2(OD + OB) = 0 ⇔ −3IO = JO Vậy I, J, O thẳng hang.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản