CƠ SỞ TOÁN HỌC

Chia sẻ: ngoisaotrongdem

Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại tóm tắt một số kiến thức toán học, là cơ sở cho Lý thuyết mật mã được sử dụng xuyên suốt tài liệu này. Các kết quả quan trọng của Lý thuyết số cũng sẽ được trình bầy và có ví dụ cụ thể.Cơ sở toán học bản đồ bao gồm những vấn đề: Tỷ lệ bản đồ, bố cục bản đồ, sai số, các phép chiếu bản đồ tỷ lệ nhỏ; các phép chiếu bản đồ tỷ lệ lớn....

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: CƠ SỞ TOÁN HỌC

CƠ SỞ TOÁN HỌC





Chương

CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại tóm tắt một số kiến thức toán học, là cơ
sở cho Lý thuyết mật mã được sử dụng xuyên suốt tài liệu này. Các kết quả
quan trọng của Lý thuyết số cũng sẽ được trình bầy và có ví dụ cụ thể.




Nội dung chính

I. Lý thuyết thông tin............................................................................. 2

II. Lý thuyết về độ phức tạp................................................................... 5

III. Lý thuyết số....................................................................................... 17
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin


I. Lý thuyết thông tin
1. Entropy

X là một biến ngẫu nhiên trong một tập các giá trị xác định x1, x2,…, xn
n
với xác suất P(X=xi) = pi , 0 ≤ pi ≤ 1, 1≤i ≤n, ∑ pi = 1
i =1


Cũng như vậy, Y và Z cũng là các biến ngẫu nhiên.

Entropy của X là một phép đo toán học khối lượng thông tin được cung
cấp bởi một sự quan sát X. Tương đương, nó là một sự không chắc chắn
về kết quả trước một sự quan sát của X. Entropy cũng hữu dụng cho
xấp xỉ số bit trung bình được yêu cầu để mã hóa yếu tố X.

1.1. Định nghĩa

Entropy hoặc sự không chắc chắn của X được định nghĩa bởi:

n n ⎛ 1⎞
H ( X ) = −∑ pi .lg pi = ∑ pi .lg ⎜ ⎟ mà pilg pi = pilg(1/pi) = 0 nếu
i =1 i =1 ⎝ pi ⎠

pi=0

1.2. Tính chất của Entropy

X là một biến ngẫu nhiên

(i) 0 ≤ H(X) ≤ lgn

(ii) H(X) = 0 ⇔ pi = 1 và pj = 0 ∀j ≠ i

(iii) H(X) = lgn ⇔ pi = 1/n và 1 ≤ i ≤ n

1.3. Định nghĩa

Entropy kết hợp của X và Y được định nghĩa:

H(X,Y) =−∑P(X = x, Y = y).lg(P( X = x, Y = y))
x, y


Định nghĩa trên có thể được mở rộng tới bất kỳ số lượng biến ngẫu
nhiên nào.

Lê Thụy 2
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

1.4. Định lý

Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên thì: H(X, Y) ≤ H(X) + H(Y). Dấu
“=” xảy ra nếu X và Y là độc lập.

1.5. Định nghĩa

Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên thì Entropy điều kiện của X được
cho bởi Y = y là:

H( X | Y = y) =−∑P( X = x | Y = y).lg(P( X = x | Y = y))
x


Entropy điều kiện của X được cho bởi Y cũng được gọi là sự lập lờ của Y
về X

H ( X | Y ) = ∑ P(Y = y ).H ( X | Y = y )
y




1.6. Tính chất của Entropy điều kiện

X và Y là các biến ngẫu nhiên

(i) Số lượng H(X|Y) đo khối lượng sự không chắc chắn duy trì về
phía X sau khi Y được quan sát.

(ii) H(X|Y) ≥ 0 và H(X|X) = 0

(iii) H(X|Y) = H(X) + H(Y|X) = H(Y) + H(X|Y)

(iv) H(X|Y) ≤ H(X) . Dấu “=” xảy ra nếu X và Y là độc lập.

2. Thông tin qua lại (mutual information)

2.1. Định nghĩa thông tin qua lại hoặc thông tin (transinformation) của
các biến ngẫu nhiên X và Y là :

I(X; Y) = H(X) – H(X|Y).

Tương tự, thông tin của X và cặp Y, Z được định nghĩa bởi:

I(X; Y, Z) = H(X) – H(X|Y, Z)



Lê Thụy 3
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

2.2. Tính chất của thông tin qua lại

(i) Số lượng I(X; Y) có thể được nghĩ như là khối lượng tin mà Y
bộc lộ về X. Tương tự, số lượng I(X; Y, Z) có thể được nghĩ như
là khối lượng tin mà Y và Z đồng thời bộc lộ về X

(ii) I(X; Y) ≥ 0

(iii) I(X; Y) = 0 nếu X và Y là độc lập (Y không đóng góp thông tin về
X)

(iv) I(X; Y) = I(Y; X)

2.3. Định nghĩa

Thông tin có điều kiện của cặp X, Y được cho bởi Z được định nghĩa:

IZ(X; Y) = H(X|Z) – H(X|Y, Z)

2.4. Tính chất của thông tin có điều kiện

(i) Số lượng IZ(X; Y) có thể được thể hiện như khối lượng tin mà Y
cung cấp về X, khi Z được quan sát.

(ii) I(X; Y, Z) = I(X; Y) + IY(X; Z)

(iii) IZ(X; Y) = IZ(Y; X)




Lê Thụy 4
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng


II. Lý thuyết về độ phức tạp (complexity theory)


Ý chính của thuyết phức tạp là cung cấp kĩ thuật phân loại các bài toán
tính toán tùy theo các tài nguyên cần dùng để giải chúng. Việc phân
loại không nên phụ thuộc vào một mô hình tính toán cụ thể mà nên tính
toán từng độ khó của mỗi loại bài toán. Các tài nguyên được đo lường
có thể bao gồm thời gian, không gian lưu trữ, các bit ngẫu nhiên, số
tiến trình… Nhưng việc tập trung chính là vào thời gian, đôi khi là
không gian.



1. Định nghĩa cơ bản

Độ phức tạp tính toán (về không gian hay thời gian) của một tiến trình
tính toán là số ô nhớ được dùng hay số các phép toán sơ cấp được thực
hiện trong quá trình tính toán đó. Dữ liệu đầu vào đối với một thuật
toán thường được biểu diễn thông qua các từ trong một bảng kí tự nào
đó. Độ dài của một từ là số kí tự trong từ đó



1.1. Định nghĩa

Một thuật toán là một qui trình tính toán hoàn toàn xác định mà dùng
một biến dữ liệu đầu vào và dừng lại với một kết quả ở đầu ra.

Thuật ngữ “qui trình tính toán hoàn toàn xác định” không đơn thuần
là toán học. Nó có thể được tạo ra bằng cách sử dụng các mô hình tính
toán như: máy Turing, máy truy cập ngẫu nhiên, hoặc các mạch
logic…Hơn thế nữa, nó còn liên quan đến độ phức tạp về kĩ thuật của
các mô hình này. Vì vậy, đơn giản hơn, một thuật toán như là một
chương trình máy tính, được viết bằng một ngôn ngữ lập trình cụ thể
cho mỗi máy tính cụ thể, dùng một biến dữ liệu đầu vào và dừng lại với
một kết quả ở đầu ra.

Lê Thụy 5
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

Vấn đề thường được quan tâm là tìm ra được thuật toán hiệu quả nhất
để giải một bài toán tính toán được đưa ra. Thời gian thực hiện giải
thuật phụ thuộc vào từng trường hợp của bài toán. Do đó, cần đưa ra
chính xác đơn vị của thời gian, đặc biệt là khi so sánh sự thực thi của 2
thuật toán.

1.2. Định nghĩa

Kích cỡ của đầu vào (input) là tổng số bit cần thiết để mô tả nó trong
cách kí hiệu nhị phân thông thường, bằng việc dùng một lược đồ mã
hóa phù hợp. Thông thường, cỡ của đầu vào sẽ là số của mục chọn
trong dữ liệu đầu vào.

Ví dụ: (về kích cỡ của một vài đối tượng)

(i) Số các bit trong mô tả nhị phân của 1 số nguyên dương n là 1 +
⎣ln(n)⎦. Để đơn giản, cỡ của n sẽ ≈ lg(n)

(ii) Nếu f là 1 đa thức bậc k, mỗi hệ số là 1 số nguyên không âm n
thì cỡ của f là (k+1)lg(n) bit

(iii) Nếu A là 1 ma trận với r hàng, s cột, và với các mục nhập n
nguyên không âm thì cỡ của A là r.s.lgn bit

1.3. Định nghĩa

Thời gian chạy thực (running time) của một thuật toán với một đầu vào
cụ thể là số các thao tác nguyên thủy hoặc các bước thực hiện. Thường
một bước cần đến 1 bít thao tác. Nhưng đối với một vài giải thuật, sẽ
thuận tiện hơn khi trải qua các bước như: so sánh, chỉ dẫn cơ khí, một
chu kì đồng hồ cơ khí, một phép nhân module…

1.4. Định nghĩa

Trường hợp chậm nhất (worst-case) của thời gian chạy thực của một
thuật toán là một cận trên (upper bound) thời gian chạy thực đối với bất
kỳ đầu vào nào, được diễn tả như là một hàm của dữ liệu đầu vào.

Lê Thụy 6
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

1.5. Định nghĩa

Trường hợp trung bình (average-case) của thời gian chạy thực của 1
thuật toán là mức trung bình của thời gian trên tất cả các đầu vào của
các cỡ cố định, được diễn tả như là một hàm của dữ liệu đầu vào.



2. Ký hiệu tiệm cận (asymptotic notation)

Thường rất khó để nhận biết được thời gian chạy thực của một thuật
toán. Trong trường hợp như vậy, một hàm xấp xỉ sẽ được dùng thay
thế, nhưng chỉ thu được gần sát với thời gian chạy thực. Chính vì vậy,
sẽ tìm hiểu cách mà thời gian chạy thực của một thuật toán tăng như cỡ
của bộ dữ liệu đầu vào tăng mà không cần có sự ràng buộc nào.

Với những gì dưới đây, các hàm được định nghĩa trên các số nguyên
dương và các giá trị thực dương, f và g là hai hàm như vậy.

2.1. Định nghĩa (order notation –sắp xếp kí hiệu )

(i) Cận trên tiệm cận (asymptotic upper bound) :
f(n) = O(g(n)) nếu tồn tại một hằng số dương c và 1 số nguyên
dương n0 để 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) với n ≥ n0.

(ii) Cận dưới tiệm cận (asymptotic lower bound) :
f(n) = Ω(g(n)) nếu tồn tại một hằng số dương c và 1 số nguyên
dương n0 để 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) với n ≥ n0.

(iii) Cận sát theo tiệm cận (asymptotic tight bound) :
f(n) = (g(n)) nếu tồn tại hằng số dương c1 và c2 và 1 số
nguyên dương n0 để c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n) với n ≥ n0.

(iv) Kí hiệu o (o- notation):
f(n) = o(g(n)) nếu đối với bất kỳ hằng số c > 0 nào đều tồn
tại một hằng n0 > 0 để 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) với n ≥ n0.




Lê Thụy 7
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

2.2. Tính chất của sắp xếp kí hiệu

Đối với các hàm bất kì: f(n), g(n), h(n), l(n) thì các điều sau là đúng:

* f(n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f(n))

* f(n) = (g(n)) ⇔ f(n) = O(g(n)) và f(n) = Ω(g(n))

* Nếu f(n) = O(h(n)) và g(n) = O(h(n)) thì (f + g)(n) =
O(h(n))

* Nếu f(n) = O(h(n)) và g(n) = O(l(n)) thì (f.g)(n) =
O(h(n)l(n))

* f(n) = O(f(n))

* Nếu f(n) = O(g(n)) và g(n) = O(h(n)) thì f(n) = O(h(n))

2.3. Định lý (sự xấp xỉ của 1 vài hàm phổ biến)

(i) Hàm đa thức (polynomial function): Nếu f(n) là một đa thức
bậc k với các số hạng dương thì f(n) = (nk).

(ii) Với mọi hằng số c > 0 thì logc(n) = (lgn)

(iii) Công thức Stirling: Với mọi số nguyên n ≥ 1 thì:

n n 1
n n +( 12 n )
2πn ( ) ≤ n! ≤ 2πn ( )
e e

n 1
Do đó: n! = 2πn ( )n ( 1 + θ ( )) , n! = o(nn) và n! =
e n
Ω(2n)

(iv) Ta có: lg(n!) = (nlgn)

Ví dụ: (so sánh tỉ lệ tăng của 1 vài hàm)

ε và c là các hằng số tùy ý với 0 < ε < 1 < c. Các hàm sau được liệt
kê theo thứ tự tăng dần của tỉ lệ tăng tiệm cận:

ln n ln ln n ) < n ε < nc < nln n < cn < nn < c c
n
1< ln ln n < lnn < exp (



Lê Thụy 8
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

3. Lớp phức tạp

3.1. Định nghĩa:

Một thuật toán thời gian đa thức là một thuật toán mà hàm thời gian
chạy thử trường hợp tồi nhất (worst-case running time function) của nó
có dạng O(nk), trong đó n là cỡ dữ liệu đầu vào (input) và k là hằng số.
Với bất kì thuật toán nào mà thời gian chạy thực của nó không thể bị
giới hạn (bound) được gọi là một thuật toán thời gian theo số mũ
(exponential- time algorithm)

Nói một cách tổng quát, thuật toán thời gian đa thức có thể ngang bằng
với các thuật toán tốt hoặc hiệu quả, trong khi thuật toán thời gian theo
số mũ lại bị xem là không hiệu quả. Tuy nhiên, đối với một vài tình
huống thực tế thì nét riêng biệt này lại không phù hợp.

Khi xem xét độ phức tạp của thời gian đa thức (polynomial- time), bậc
của đa thức rất quan trọng, thậm chí dù một thuật toán với một thời
gian chạy thực của O(nln ln n), n là cỡ của dữ liệu đầu vào (input), thì
chậm hơn so với thuật toán có thời gian chạy thực của O(n100). Thuật
toán trước có thể nhanh hơn trong thực tế đối với các giá trị n nhỏ hơn,
đặc biệt nếu các hằng số bị ẩn bởi kí hiệu O-lớn là nhỏ hơn.

Hơn thế nữa, trong mật mã học, độ phức tạp trung bình thì quan trọng
hơn nhiều độ phức tạp trong trường hợp tồi nhất (worst-case) - một
điều kiện cần thiết cho một lược đồ mã hóa (encryption scheme) để
được coi như là an toàn. Mà bài toán giải mã tương ứng thì khó trên
trung bình (hoặc chính xác hơn là luôn luôn khó), và không chỉ đối với
một vài trường hợp riêng biệt.

3.2. Định nghĩa

Một thuật toán thời gian chạy thử số mũ con (subexponential- time
algorithm) là một thuật toán mà hàm thời gian chạy thử tồi nhất có
dạng eO(n), trong đó n là cỡ của của bộ dữ liệu đầu vào.

Lê Thụy 9
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

Ví dụ: (về thời gian chạy thử số mũ con)

A là một thuật toán mà dữ liệu đầu vào hoặc là các phần tử của một
trường xác định Fq hoặc là 1 số nguyên q. Nếu thời gian chạy thử được
mong chờ của A có dạng:

Lq[α, c] = O(exp((c + o(1)(lnq)α(ln ln q)1-α))

trong đó:

c là hằng số dương, α = 1 là hằng số thỏa mãn 0 < α < 1 thì A là một
thuật toán thời gian chạy thử số mũ con.

Quan sát thấy rằng khi α = 0 thì Lq[0, c] là một đa thức trong lnq,
trong khi α =1 thì Lq[1, c] là một đa thức trong q. Do đó nên đầy đủ
lũy thừa trong lnq.

Để đơn giản, lý thuyết độ phức tạp tính toán hạn chế sự chú ý của nó
tới các bài toán quyết định (decision problems), ví dụ: Các bài toán mà
có câu trả lời YES hoặc NO. Điều này không quá hạn chế trong thực
tiễn, vì tất cả các bài toán tính toán sẽ bị bắt gặp (encounter) ở đây có
thể là cụm từ như các bài toán quyết định theo một cách như vậy, mà
một thuật toán hiệu quả đối với các bài toán quyết định mang lại một
thuật toán hiệu quả cho bài toán tính toán và ngược lại.



3.3. Định nghĩa

Lớp phức tạp P là tập của tất cả các bài toán quyết định mà có thể giải
được trong thời gian đa thức.

3.4. Định nghĩa

Lớp phức tạp NP là tập của tất cả các bài toán quyết định cho một câu
trả lời YES, có thể được xác minh trong thời gian đa thức bằng cách
đưa ra một vài thông tin thêm, gọi là một chứng nhận.



Lê Thụy 10
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

3.5. Định nghĩa

Lớp phức tạp co-NP là tập của tất cả các bài toán quyết định cho một
câu trả lời NO, có thể được xác minh trong thời gian đa thức bằng cách
sử dụng một chứng nhận phù hợp.

Phải nhấn mạnh rằng nếu một bài toán quyết định trong NP, nó có thể
không thuộc trường hợp mà chứng nhận của một câu trả lời YES có thể
dễ dàng đạt được. Cái được xác nhận là cái mà giống như một chứng
nhận tồn tại và nếu được biết, thì có thể được dùng để xác nhận 1 cách
hiệu quả câu trả lời YES. Điều tương tự cũng đúng đối với câu trả lời
NO của các bài toán trong co-NP

Ví dụ: (bài toán trong NP ).

Xem xét một bài toán quyết định sau:

Giả thiết: Cho một số nguyên dương n

Câu hỏi: n có phải là hợp tử hay không? Nghĩa là, có hai số nguyên
a,b >1 để n = a.b không?

Hợp tử (composite) thuộc NP bởi vì nếu một số nguyên n là hợp tử thì
sự kiện này có thể được kiểm chứng trong thời gian đa thức nếu a là số
chia của n, khi 1< a < n (việc chứng nhận trong trường hợp này bao
gồm cả số chia a). Điều này cũng đúng trong trường hợp mà hợp tử
thuộc về co-NP, nhưng cũng vẫn chưa xác định được là hợp tử có thuộc
P hay không?

3.6. Định lý P ⊆ NP và P ⊆ co-NP

Dưới đây là các câu hỏi chưa được giải quyết xung quanh vấn đề lý
thuyết độ phức tạp:

1. P = NP ?

2. P = co-Np ?

3. P = NP ∩ co-NP ?

Lê Thụy 11
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

Hầu hết các chuyên gia đều có ý kiến rằng câu trả lời cho 3 câu hỏi trên
là không, mặc dù không có gì chứng minh. Ý kiến về sự qui về được là
hữu ích khi so sánh mối tương quan về độ khó của các bài toán.

3.7. Định nghĩa

Cho L1 và L2 là 2 bài toán quyết định. L1 là ‘polytime reduce’ đối với L2
và được viết : L1 ≤ p.L2 nếu có một thuật toán giải L1 mà dùng một
thuật toán để giải L2 như một thường trình con, và chạy trong thời gian
đa thức nếu thuật toán cho L2 được dùng.

Nếu L1 ≤ p.L2 thì L2 ít nhất cũng khó như L1 hoặc tương đương. L1
không khó hơn L2



3.10. Định nghĩa

L1 và L2 là 2 bài toán quyết định. Nếu L1 ≤ pL2 và L2 ≤ pL1 thì L1 và L2
được coi là tương đương nhau về mặt tính toán (computationally
equivalent).

3.11. Tính chất

L1 , L2 , L3 là 3 bài toán quyết định

(i) Nếu L1 ≤ pL2 và L2 ≤ pL3 thì L1 ≤ pL3

(ii) Nếu L1 ≤ pL2 và L2 ∈ P thì L1 ∈ P

3.12. Định nghĩa

Một bài toán quyết định L được nói là NP- trọn vẹn (NP- complete)
nếu:

(i) L ∈ NP và

(ii) L1 ≤ pL với mọi L1 ∈ NP

Lớp của tất cả các bài toán NP- trọn vẹn được kí hiệu là NPC,


Lê Thụy 12
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

(iii) Các bài toán NP- trọn vẹn là các bài toán khó nhất trong NP, ít
nhất thì cũng khó như bất kì bài toán nào trong NP. Có hàng
nghìn bài toán đa dạng như: kết hợp, lý thuyết số, logic,…
được biết đến như là NP- trọn vẹn.

Ví dụ: ( bài toán tổng tập con - subset sum problem )

Cho một tập các số nguyên dương {a1, a2 , …, an} và một số nguyên
dương s, thì liệu rằng có một tập con của ai là tổng của s hay không ?
Bài toán này là NP- trọn vẹn.

3.13. Hệ quả

L1 và L2 là 2 bài toán quyết định

(i) Nếu L1 là NP- trọn vẹn và L1 ∈ P thì P = NP

(ii) Nếu L1 ∈ NP, L2 là NP- trọn vẹn và L2 ≤ pL1

thì L1 cũng là NP- trọn vẹn

(iii) Nếu L1 là NP- trọn vẹn và L1 ∈ co-NP thì NP = co-NP

Theo (1): Nếu một thuật toán thời gian đa thức được áp dụng cho bất kì
bài toán NP- trọn vẹn đơn lẻ nào thì đó là trường hợp mà P= NP, một
kết quả cực kì đáng ngạc nhiên. Hình 2 sẽ chứng minh mối quan hệ
giữa các lớp phức tạp P, NP, co-NP, NPC.

Theo (2): Chỉ ra rằng tiến trình dưới đây chứng minh bài toán quyết
định L1 là NP- trọn vẹn.




(hình 2 – Phỏng đoán mối quan hệ giữa các lớp phức tạp P, NP, co-NP, NPC)
Lê Thụy 13
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

3.14. Định nghĩa

Một bài toán là NP- khó (hard) nếu tồn tại một vài bài toán NP- trọn
vẹn mà polytime rút gọn (reduce) tới nó.

Chú ý rằng việc phân loại NP- khó thì không hạn chế tới các bài toán
quyết định. Quan sát thấy rằng một bài toán NP- trọn vẹn cũng là NP-
khó.

Ví dụ: (bài toán NP- khó)

Cho các số nguyên dương a1, a2 , …, an và một số nguyên dương s.
Phiên bản của bài toán tổng tập con sẽ yêu cầu tìm ra một tập con của ai
mà tính tổng bằng s, được cho như một tập con tồn tại. Bài toán này là
NP- khó.



4. Thuật toán ngẫu nhiên (Randomized algorithm)

Thuật toán được nghiên cứu trong phần này đã được tiền định trước
(deterministic), như các giải thuật có cùng số chuỗi thao tác, số bước
thực hiện với cùng dữ liệu đầu vào.

Tuy vậy, một giải thuật ngẫu nhiên tạo ra các quyết định ngẫu nhiên tại
mỗi thời điểm trong lúc thực thi. Hơn nữa, chuỗi thao tác thực thi của
chúng có thể khác so với mỗi thời điểm mà chúng làm việc với cùng dữ
liệu đầu vào. Các quyết định ngẫu nhiên được dựa trên các kết quả của
số phần tử sinh (generator) ngẫu nhiên. Có nhiều bài toán dành cho các
thuật toán ngẫu nhiên mà chúng được biết đến hiệu quả hơn, cả về thời
gian và không gian, hơn là các thuật toán tiền định.

Thuật toán ngẫu nhiên dành cho các bài toán quyết định có thể được
phân lớp theo xác suất mà chúng quay trở lại câu trả đúng.




Lê Thụy 14
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

4.1. Định nghĩa

A là một thuật toán ngẫu nhiên dành cho bài toán quyết định L

A có 0- sided error nếu P(A xuất YES | Câu trả lời của I là YES) = 1

Và P(A xuất YES | Câu trả lời của I là NO) = 0.

1
A có 1- sided error nếu P(A xuất YES | Câu trả lời của I là YES) ≥
2

Và P(A xuất YES | Câu trả lời của I là NO) = 0

2
A có 2- sided error nếu P(A xuất YES | Câu trả lời của I là YES) ≥
3

1
Và P(A xuất YES | Câu trả lời của I là NO) ≤
3

1
Số trong định nghĩa 1- sided error là một cái gì đó bất kì và có thể
2
2 1
được thay thế bởi bất kì hằng số dương nào. Tương tự, số và
3 3
trong định nghĩa. 2-sided error có thể được thay thế lần lượt bằng
1 1 1
+ ε và − ε với bất kì hằng số ε sao cho 0 < ε
1. Thực hiện phép
chía a cho b ta sẽ được hai số q (phần nguyên) và r (phần dư) như sau :
a = b.q + r, 0≤r
ln(n)

Với n > 1
n
π(n) < 1.25506
ln(n)

Lê Thụy 18
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

1.23. Định lý Mọi số nguyên n ≥ 2 đều có thể phân tích thành tích các luỹ
thừa cơ số nguyên tố như sau:

n = p1e p2 ... pke ,
e1 2 k




trong đó pi là các số nguyên tố, ei là các số nguyên dương. Nếu không
kể thứ tự các thừa số nguyên tố thì dạng biểu diễn đó là duy nhất, ta gọi
đó là dạng khai triển chính tắc của n. Ví dụ, dạng khai triển chính tắc
của 1800 = 233252

1.24. Hệ quả Nếu a = p1e p2 ... pke , b = p1f p2f ... pkf , ei ≥ 0, fi ≥ 0 thì
e 1 2 k 1 2 k




gcd(a, b) = p1min( e , f ) p2min( e , f ) ... pkmin( e , f
1 1 2 2 k k )



lcm(a, b) = p1max ( e , f ) p2max ( e , f ) ... pkmax ( e , f
1 1 2 2 k k )




Ví dụ: a = 4864 = 28.19, b = 3458 = 2.7.13.19 khi đó ta có
gcd(4864, 3458) = 2.19 = 38 và lcm(4864, 3458) = 28.7.13.19 =
442624.
1.25. Định nghĩa Với n ≥ 1, đặt φ(n) là số các số nguyên trong khoảng [1, n]
và nguyên tố cùng nhau với n. Hàm φ như thế được gọi là hàm phi-
Euler.
1.26. Tính chất
(i) Nếu p là số nguyên tố, thì φ(p) = p – 1

(ii) Nếu gcd(n, m) = 1, thì φ(n.m) = φ(n).φ(m)

(iii) Nếu n = p1e p2 ... pke , dạng khai triển chính tắc của n, thì
e1 2 k




⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
φ(n) = n ⎜ 1 − ⎟⎜ 1 − ⎟ ...⎜ 1 − ⎟
⎝ p1 ⎠⎝ p2 ⎠ ⎝ pk ⎠



1.27. Định lý Nếu b ≥ 0 và b|a thì gcd(a, b) = b
Nếu a = b.q + r thì gcd(a, b) = gcd(b, r)

Thuật toán Thuật toán Euclide, tính ước số chung lớn nhất của hai số.

INPUT: Hai số nguyên không âm a và b sao cho a ≥ b.
OUTPUT: Ước số chung lớn nhất của a và b.


Lê Thụy 19
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

1. Trong khi b ≠ 0, thực hiện

1.1 Đặt r ← a mod b, a ← b, b ← r.
2. Kết_quả(a)


Ví dụ (Euclidean algorithm) Tính gcd(4864, 3458) = 38:
4864 = 1.3458 + 1406
3458 = 2.1406 + 646
1406 = 2.646 + 114
646 = 5.114 + 76
114 = 1.76 + 38
76 = 2.38 + 0.




Thuật toán Euclidean có thể được mở rộng để không chỉ tính được ước
số chung d của hai số nguyên a và b, mà còn có thể tính được hai số
nguyên x, y thoả mãn ax + by = d

Thuật toán Euclidean mở rộng:

INPUT: Hai số nguyên không âm a và b với a ≥ b.
OUTPUT: d = gcd(a, b) và hai số x, y thoả mãn ax + by = d.
1. Nếu b = 0, đặt d←a , x←1, y←0, Kết_quả(d, x, y).

2. Đặt x2←1, x1←0 , y2 ←0 , y1←1.
3. Trong khi còn b > 0, thực hiện:
3.1 q←⎣a/b⎦, r←a–q.b, x←x2–q.x1, y←y2–q.y1

3.2 a←b, b←r, x2←x1, x1←x, y2←y1, y1←y

4. Đặt d←a, x←x2 , y←y2 , Kết_quả(d, x, y).




Lê Thụy 20
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

Ví dụ Bảng dưới đây mô tả các bước thực hiện của thuật toán
Euclidean mở rộng với đầu vào là a =4864, b = 3458, và nhận được kết
quả: gcd(4864, 3458) = 38 và (4864)(32) + (3458)(−45) = 38.

q r x y a b x2 x1 y2 y1
− − − − 4864 3458 1 0 0 1
1 1406 1 −1 3458 1406 0 1 1 −1
2 646 −2 3 1406 646 1 −2 −1 3
2 114 5 −7 646 114 −2 5 3 −7
5 76 −27 38 114 76 5 −27 −7 38
1 38 32 −45 76 38 −27 32 38 −45
2 0 −91 128 38 0 32 −91 −45 128



2. Số nguyên Modulo n

Cho n là một số nguyên dương.
2.1 Định nghĩa Nếu a và b là hai số nguyên, khi đó a được gọi là đồng dư
với b theo modulo n, được viết a ≡ b (mod n) nếu n chia hết (a – b), và
n được gọi là modulus của đồng dư.


Ví dụ:
(i) 24 ≡ 9 (mod 5) vì 24 − 9 = 3.5.
(ii) −11 ≡ 17 (mod 7) vì −11 − 17 = −4.7.
2.2. Tính chất (một số tính chất của đồng dư)
(i) a ≡ b (mod n), nếu và chỉ nếu a và b đều trả số dư như nhau
khi đem chia chúng cho n.
(ii) a ≡ a (mod n) (tính phản xạ)
(iii) Nếu a ≡ b (mod n) thì b ≡ a (mod n) (tính đối xứng)
(iv) Nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ c (mod n) thì a ≡ c (mod n) (tính
bắc cầu)
(v) Nếu a ≡ a1 (mod n) và b ≡ b1 (mod n)
thì a + b ≡ a1 + b1 (mod n) và a.b ≡ a1.b1 (mod n)
Giờ đây ta có khái niệm lớp tương đương của một sô nguyên a là tập
các số nguyên đồng dư với a theo modulo n. Theo các tính chât (ii),


Lê Thụy 21
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

(iii), (iv) trên, có thể thấy với mỗi n, quan hệ đồng dư modulo n chia
tập thành các lớp tương đương (phân hoạch).
2.3. Định nghĩa Những số nguyên theo modulo n, được ký hiệu là n là
tập (lớp tương đương của) các số nguyên {0, 1, 2,..., n-1}. Tập n có
thể được coi là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo modulo n. trên
tập n xác định các phép cộng, trừ, nhân theo modulo n.
Ví dụ: 25 = {0, 1, 2, …, 24}. Trong 25, 13 + 16 = 4, vì 13 + 16 =

29 ≡ 4 (mod 25). Tương tự, 13.16 = 8 trong 25.
2.4. Định nghĩa Cho a ∈ n, số nghịch đảo của a theo modulo n là một số
nguyên x ∈ n, nếu a.x ≡ 1 (mod n). Nếu tồn tại x như vậy, thì nó là
duy nhất và a được gọi là khả nghịch, nghịch đảo của a được ký hiệu là
a-1.
2.5. Định nghĩa Cho a, b ∈ n, a/b (mod n) = a.b-1 (mod n) được xác định
chỉ khi b là khả nghịch theo modulo n.
2.6. Tính chất a ∈ n, a là khả nghịch khi và chỉ khi gcd(a, n) = 1.
Ví dụ: Các phần tử khả nghịch trong 9 là 1, 2, 4, 5, 7, và 8. cho ví
dụ, 4−1 = 7 vì 4.7 ≡ 1 (mod 9).
2.7. Hệ quả Cho d = gcd(a, n). Khi đó phương trình đồng dư có dạng a.x ≡
b (mod n) sẽ có nghiệm x khi và chỉ khi d chia hết cho b.

Thuật toán Tính phần tử nghịch đảo trên n


INPUT: a ∈ n

OUTPUT: a-1 mod n, nếu tồn tại.
1. Sử dụng thuật toán Euclidean mở rộng, tìm x và y để ax
+ ny = d, trong đó d = gcd(a, n).
2. Nếu d > 1, thì a-1 mod n không tồn tại, Ngược lại
Kết_quả(x)


2.8. Định nghĩa Nhóm nhân (phép nhân) của tập n là tập *
n = {a ∈ n
*
| gcd(a, n) = 1}, điều đặc biệt là nếu n là một sô nguyên tố thì tập n

= {a | 1 ≤ a ≤ n−1}.

Lê Thụy 22
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

*
Tập n lập thành một nhóm con đối với phép nhân của n vì trong
*
n phép chia theo modulo n bao giờ cũng thực hiện được.
* *
2.9. Định nghĩa Cấp của n được định nghĩa là số phần tử trong n ,
(| *
n |). Theo định nghĩa hàm phi-Euler ta có | *
n | = φ(n).

2.10. Định lý (Euler) n ≥ 2, a ∈ *
n thì aφ(n) ≡ 1 (mod n)

2.11. Định lý (Fermat) p nguyên tố, gcd(a, p) = 1 thì ap-1 ≡ 1 (mod p)

2.12. Định nghĩa Cho a ∈ *
n , khi đó cấp của a, ký hiệu ord(a) là số
nguyên dương t nhỏ nhất sao cho at ≡ 1 (mod n) trong *
n .


*
Ví dụ: Cho n = 21, 21 = {1 ,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}.
*
a∈ 21 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20
Cấp của a 1 6 3 6 2 6 6 2 3 6 6 2



2.13. Định nghĩa Cho α ∈ *
n , nếu cấp của α là φ(n), khi đó α được gọi là
* *
phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của n , Và nếu n có một phần
*
tử sinh, thì n được gọi là nhóm cyclic. (chú ý nếu n là số nguyên tố
thì φ(n) = n–1)
*
2.14. Tính chất (phần tử sinh của n )
*
(i) Nếu α là phần tử sinh của n ,
thì *
n = {αi mod n | 0 ≤ i ≤ φ(n) –1}

(ii) Giả sử α một là phần tử sinh của *
n , khi đó b = αi mod n
cũng là một phần tử sinh của *
n khi và chỉ khi gcd(i, φ(n))
*
= 1. Và sau đó nếu n là nhóm cyclic thì số phần tử sinh sẽ
là φ(φ(n)).

(iii) α∈ *
n là phần tử sinh của *
n khi và chỉ khi αφ(n)/p !≡ 1
(mod n) với mỗi số chia nguyên tố của φ(n).



Lê Thụy 23
Lý thuyết Mật mã và An toàn thông tin

(iv) *
n có phần tử sinh khi và chỉ khi n = 2, 4, pk hay 2pk khi p
là số nguyên tố lẻ và k ≥ 1. Còn nếu p là số nguyên tố thì
*
chắc chắn n có phần tử sinh.
* *
Ví dụ: 21 không phải là nhóm cyclic vì không phần tử nào của 21

có cấp là φ(21) = 12 (xem ví dụ trên), chú ý là 21 không thoả mãn bất
cứ một điều kiện nào theo tính chất của phần tử sinh trên. Trong khi đó
*
13
là nhóm cyclic và có phần tử sinh α = 2.

Thật vậy:
20 mod 13 = 1 21 mod 13 = 2 22 mod 13 = 4
23 mod 13 = 8 24 mod 13 = 3 25 mod 13 = 6
26 mod 13 = 12 27 mod 13 = 11 28 mod 13 = 9
29 mod 13 = 5 210 mod 13 = 10 211 mod 13 = 7
phần tử 2i là sinh khi và chỉ khi gcd(i, 12) = 1 nghĩa là khi và chỉ khi i
*
= 1, 5, 7 hoặc 11. Vậy các phần sinh của 13 là 2, 6, 7 và 11.

2.15. Định nghĩa Cho a ∈ *
n , a được gọi là thặng dư bậc hai theo modulo
n, nếu tồn tại một x ∈ *
n , sao cho x2 ≡ a (mod n), và nếu không tồn tại
x như vậy thì a được gọi là bất thặng dư bậc hai theo modulo n. Tập
các thăng dư bậc hai ký hiệu là Qn và tập các bất thặng dư bậc hai ký
hiệu là Qn .

2.16. Tính chất Cho p là số nguyên tố lẻ và α là phần tử sinh của *
p
, thì a
∈ *
p
là thặng dư bậc hai modulo p khi và chỉ khi a = αi mod p.

Thuật toán Tính luỹ thừa theo modulo n trong n


INPUT: a ∈ n, số nguyên 0 ≤ k ≤ n trong đó k biểu diễn dạng nhị
t
phân. k = ∑k 2
i= 0
i
i




OUTPUT: ak mod n.
1. Đặt b ← 1, nếu k = 0 thì Kết_quả(b).

2. Đặt A ← a.

3. Nếu k0 = 1, thì đặt b ← a.
Lê Thụy 24
Trường Đại học Dân lập Hải Phòng

4. Với mỗi i từ 1 đến t, thực hiện như sau:
4.1 Đặt A ← A2 mod n.

4.2 Nếu ki = 1, thì b ← A.b mod n.
5. Kết_quả(b).


Ví dụ: Bảng dưới đây mô tả các bước thực hiện để tính luỹ thừa theo
modulo 1234. của phép tính 5596 mod 1234 = 1013.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ki 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
A 5 25 625 681 1011 369 421 779 947 925
b 1 1 625 625 67 67 1059 1059 1059 1013



Phép toán Độ phức tạp

Phép cộng modulo (a + b) mod n O(ln n)
Phép trừ modulo (a – b) mod n O(ln n)
Phép nhân modulo (a.b) mod n O((ln n)2)
Phép lấy nghịch đảo a-1 mod n O((ln n)2)
Phép tính lũy thừa modulo ak mod n, k
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản