Công thức xác suất thông kê

Chia sẻ: daodangson01041991

Lí thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu xác suất. Các nhà toán học coi xác suất là các số trong khoảng [0,1], được gán tương ứng với một biến cố mà khả năng xảy ra hoặc không xảy ra là ngẫu nhiên. Kí hiệu xác suất P(E) được gán cho biến cố E theo tiên đề xác suất.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Công thức xác suất thông kê

i. Một số công thức phần xác suất

I. Xác suất của biến cố:
m ( )
A
* A =
P( )
n( )
A
P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc
* A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(B).P(C) nếu B và C là độc lập
• A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) =
P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập

* A 1A 2 .. n =A 1 +A 2 +.. A n
.A .+
* A 1 + A 2 + .. n = A 1 .A 2 ..A n
.A .
* P(A)+ P (A ) =1
Pn ( x) = C npx (1 − p)
x n −x
• Công thức Bernoulli: , x = 0,1,2,…,n
n
• Công thức Xác suất đầy đủ: P( )= ∑ H i) A / i)
A P( P( H
=
i 1
• Công thức Bayes:
P( i) H i/ )
H P( A P( i) H i/ )
H P( A
P( i/ )=
H A = n ∀ i= 1, .,
2,.n
P( )
A
∑P( i) H i/ )
H P( A
=
i1



II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất:

1. Các tham số đặc trưng:
n
∑ i i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
xp
=
i1
E(X) =
+∞
∫−∞
xf x)nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục
(
n

∑x
i=1
2
i p i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
2
E(X ) =
+∞

−∞
x 2 f ( x ) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục
( )
V(X)= E ( X − E ( X ) ) 2 = E X 2 − ( E ( X ) )
2


σ( X ) = V ( X )


Phạm Hương Huyền-TKT 1
2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng:
♦X∼ A(P) ⇒
X 0 1
P 1-p p

P ( X = x ) = p x (1 − p )
1− x
* x = 0;1
* E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p )
♦ X∼ B(n,p) ⇒
X 0 1 … x … n
P C 0 p 0 q n− 0 C 1 p1q n−1 … C x p x q n− x … C n p n q 0
n n n n

( q=1-p )
P( X = x ) = C nx p x ( 1 − p )
n− x
* x = 0,1,..., n
* E(X)=np ; V(X)=npq ; σ ( X ) = npq
x0 ∈ N
* Mốt của X∼ B(n,p): x0 =
np + p −1 ≤ x 0 ≤ np + p
♦ X∼ P(λ) ⇒
λx e − λ
P ( X = x ) = C p (1 − p )
n− x
* x
n
x
≈ ; x=0,1,2,…
x!
( n khá lớn, p khá nhỏ; λ=np )
* E(X)=V(X)=λ; σ( X ) = λ
* Mốt của X∼ P(λ): λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ ; x0∈N
(x− )2
μ
1 −
♦ X∼ N(µ ,σ 2) ⇒ f x) ( = (σ>0)
2
e 2σ
2∏
* E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ
 b −µ   a −µ 
* P ( a < X < b) = Φ   −Φ  
 σ   σ 
0 0


 µ + ,5
b− 
* P(Xa) ≈ 0,5 − 0 
Φ 
 σ 
ε 
(
* P X −µ U α ) =α , U∼ N(),1)
* Chú ý:
U 1− =− α
α U ; U 0 , 025 =1,96 ; U 0 , 05 =1,645
• Giá trị tới hạn Student:
* Định nghĩa: (
P T > Tα( n ) = α) , T∼ T(n)
* Chú ý: T1( n ) = − α n )
−α T( ; Tα n ) ≈ U α
(
với n ≥ 30
• Giá trị tới hạn Khi bình phương:
* Định nghĩa: (
P χ 2 > χ α2( n ) = α) , χ2∼χ 2(n)
• Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor:
(
( n ,n )
* Định nghĩa: P F > Fα 1 2 =α ) , F ∼ F(n1,n2)
1
* Chú ý: Fα1 , n2 ) = (n2 , n1 )
(n
F−
1 α




III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

X x1 x2 …. xi …. xn Tổng
Y
y1 P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1)
y2 P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2)
… …. …. … … … …. ….
yj P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj)
…. …. …. …. …. …. ….. ….
ym P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym)
Tổng P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1
( ) (
• P xi , y j = P X = xi , Y = yj )
∑(xi , y j ) P ( =y j ) = P (x )
m n

• P(X = i ) =
x P ; Y ∑ i , y j
j=
1 i=
1

(X =x i , Y = y j )
• P (( X =x i ) / (Y = y j )) = P
P (Y = y j )


µ XY = Cov( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) )( (Y − E (Y ) ) ) = ∑∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y )
n m


i =1 j =1

ρ =
µ XY
• XY
σX ) ( )
( σ Y

Phạm Hương Huyền-TKT 3
• V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y )

III. Một số quy luật số lớn:
• Bất đẳng thức Trêbưsép:
X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε >0
V (X )
P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 −
ε2
⇔ P ( X − (X
E ) ≥ )≤
ε V (X )
2
ε
• Định lý Trêbưsép:
X1, X2,…, Xn độc lập từng đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε >0
1 n 1 n 
Lim P  ∑i − ∑ X i ) <  1
X E( ε =
n→ ∞
n i = 1 n i= 1 
• Định lý Bernoulli:
f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli với 2 tham số n, p
ε > 0 , ta có Lim P ( f − < )=
n→

p 1 ε
B. Một số công thức trong phần Thống kê toán
I. Một số công thức trên mẫu:
1 k
x = ∑ i xi ;
n i =1
n 2 1 k
x = ∑ i xi2
n i =1
n ; Ms = x 2 − x () 2




n 1 k
s= Ms ; s *2
= ∑ i ( xi − µ) 2
n
n −1 n i =1
* Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu.

( ) µσ  ⇒
 2

Tổng thể : X∼ N µ , σ N ,
2
* ⇒ X ∼ 
 n  

( )
E X =µ , ( )
V X =
σ2
n
 pq 
* Tổng thể X∼ A(p) ⇒ f ∼ N p,  ⇒ E( f ) = p , V( f ) = pq
 n  n
( khi n đủ lớn).


II. Một số công thức về ước lượng:

1. Ước lượng giá trị tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 )
Phạm Hương Huyền-TKT 4
Trường hợp đã biết σ 2 Trường hợp chưa biết σ 2 (thường gặp)
Cô (ít gặp)
ng n ≤ 30 n>30
thức
σ σ s s s s
KTC x− Uα < µ < x + Uα x− Tα( n −1) < µ < x + Tα( n −1) x − Uα < µ < x + Uα
đối n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
xứng
KTC σ µ< x +
s
Tα −)
(n 1 s
ước µ< x+ Uα n µ < x+ Uα
n
lượng n
µ max
KTC σ s s
ước µ > x− Uα µ > x− Tα( n −1) µ > x− Uα
lượng n n n
µ min
Công
4σ 2 2 4s 2 *

4s 2 2
thức n *
≥ Uα / 2 n *
≥ (Tα( n −1) ) 2 n Uα / 2
xác I 02 2
I0
/2
I 02
định
kích
thước
I
ε
mẫu mới
(n*) sao
cho: Giữ Chú ý : =
nguyên độ 2
tin cậy
(1-α ) và
muốn độ
dài
khoảng
tin cậy
đối xứng
I ≤ I0

2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p)
f (1 − f ) f (1 − f )
KTC đối xứng f− Uα < p < f + Uα
n 2 n 2
KTC ước lượng p max
f (1 − f )
p< f + Uα
n
KTC ước lượng p min
f (1 − f )
p>f − Uα
n




Phạm Hương Huyền-TKT 5
Công thức xác định kích 4 f (1 − f )U2
thước mẫu mới (n*) sao cho: n* ≥ 2 α/ 2
Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) I0
và muốn độ dài khoảng tin
cậy đối xứng I ≤ I0 I
Chú ý : ε =
2
Chú ý:
M
Nếu P= thì có thể ước lượng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể
N
ước lượng N qua P là M (quan hệ N và P là ngược chiều).
3. Ước lượng giá trị tham số σ 2 trong quy luật N μ, 2 σ ( )
Công thức Trường hợp đã biết µ Trường hợp chưa biết µ
(ít gặp) (thường gặp)

σ ( n −1) s ( n −1) s 2
*2 *2 2
n s n s
< 2
< 2 (n ) µ 0 σ

 

H0: µ = µ 0 

Wα =  = U
x −µ ( 0 n )
; U U α / 2 
H1: µ ≠ µ0

 σ 

Trường hợp σ chưa biết (thường gặp)
2


Miền bác bỏ của giả thuyết H0
Phạm Hương Huyền-TKT 6
Cặp giả thuyết Trường hợp n ≤ 30 Trường hợp n>30
cần
kiểm định
H0: µ = µ 0 
 (
x − µ0 ) n 

H1: µ > µ 0 Wα = T =
 s
; T > Tα( n −1) 



Wα = U =
(
x − µ0 n ) 

; U > Uα 
 

 s 

H0: µ = µ 0 

Wα = T =
(
x − µ0 ) n 

; T < −Tα( n −1) 


Wα = U =
(
x − µ0 n ) 

;U < −U α 
H1: µ < µ 0

 s 
 
 s 

H0: µ = µ 0
H1: µ ≠ µ 0


Wα = T =
(
x − µ0 n ) 
 

; T > Tα( n −1)  Wα = U =
x − µ0 n ( )


; U > Uα / 2 
/2

 s 
 
 s 


b. Bài toán so sánh hai tham số µ1 với µ 2 của 2 quy luật phân phối chuẩn
Trường hợp σ 12 , σ 22 đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0
định
H0: µ1 = µ 2  
H1: µ1 > µ 2  
 x −x 
Wα =  =U 1 2
; U >U α 
 σ1 2
σ2 2

 + 
 n1 n2 
 
H0: µ1 = µ 2  
 x1 − x 2 
H1: µ1 < µ 2 Wα =  =U ; U U α / 2 
 σ1 2
σ 2

 + 2 
 n1 n2 
Trường hợp σ 1 , σ 2 chưa biết; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thường gặp)
2 2


Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0
định
 
H0: µ1 = µ 2  
 x1 − x 2 
H1: µ1 > µ 2 Wα = =
U ; U >U α 
2
 s1 s2 
 + 2 
 n1 n2 




Phạm Hương Huyền-TKT 7
 
H0: µ1 = µ 2  
 x1 − x 2 
H1: µ1 < µ 2 Wα =  =U ;U Uα / 2 
2
 s1 s2 
 + 2 
 n1 n2 
Trường hợp σ 12 , σ 22
chưa biết
Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0
định

H0: µ1 = µ 2  
H1: µ1 > µ 2  
 x1 −x 2 
Wα = =
T ; T > α )
T (k
2 2
 s1 s2 
 + 
 n1 n2 

H0: µ1 = µ 2  
H1: µ1 < µ 2  
 x1 − 2
x (k ) 
Wα = T =
 ; T < Tα 

2 2
 s1 s2 
 + 
 n1 n2 


H0: µ1 = µ 2  
H1: µ1 ≠ µ 2  
 x1 −x 2 ( ) 
Wα = =
T ; T >Tαk 2 
/
2 2
 s1 s2 
 + 
 n1 n2 


(n1 − )(n 2 − )
1 1 2
s1 / n1
k = ; c =
(n 2 − )c 2 +(n1 − )(1 −c )
1 1
2
(s 2
1 / n1 ) +(s 2 / n 2 )
2




2. Bài toán kiểm định về tham số σ 2 trong quy luật N ( µ , σ 2 ) :
a. Bài toán so sánh σ 2 với giá trị thực cho trước σ 0
2




Phạm Hương Huyền-TKT 8
Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0
định
H0: σ 2 = σ 02  2
Wα = χ =
( n −1) s 2 ; χ 2 > χ 2 ( n −1) 
H1: σ 2 > σ 02 α 
 σ0
2

H0: σ 2 = σ 02  2
Wα = χ =
( n −1) s 2 ; χ 2 < χ 2( n −1) 
H1: σ 2 < σ 02 1−α 
 σ02

 2 ( n − 1) s 2 
H0: σ = σ 2 2
0 Wα =  χ = ; χ 2 > χ α2 (/n−1) hay χ 2 < χ 12−(αn−1) 
2 /2
H1: σ 2 ≠ σ 02  σ 02 

b. Bài toán so sánh hai tham số σ 12 với σ 22 của 2 quy luật phân phối chuẩn
Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0
kiểm định
H0: σ 12 = σ 22  s12

H1: σ 12 > σ 22 Wα = F = 2 ; F >Fα 1 −, n2 − )

(n 1 1

 s2 
H0: σ 12 = σ 22  1 
2
s1
H1: σ 12 < σ 22 Wα = = 2 ; F F α /2 hay F < F 1− α / 2 
 s2 
3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p):
a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước:
Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0
kiểm định
H0: p = p0 
 ( f − p0 ) n 

Wα = =
U ; U >U α 
H1: p > p0 
 p 0 (1 − p 0 ) 

H0: p = p0 
 ( f − p0 ) n 

H1: p < p0 Wα = =
U ; U 

H1: p ≠ p0 Wα = = U U α/ 2 

 p0 (1 −p0 ) 

b. Bài toán so sánh hai tham số p1 với p 2 của 2 quy luật Không-Một


Phạm Hương Huyền-TKT 9
Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0
kiểm định
 
 
 f 1 −f 2 
H0: p1 = p 2 Wα = U =
 ; U > α
U
H1: p1 > p 2 
 (
f 1 −f 
1
n + )
1 


n2 


  1 

 
 
 f1 − f 2 
H0: p1 = p 2 Wα = =
U ; U α/ 2 
U
H1: p1 ≠ p 2 
 (
f 1 −f 
1
n )
+
1 


n2 


  1 



n f +2 f 2
n
Trong đó: f =1 1
n1 + 2
n

♦ Kiểm địnhphi tham số

• Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:
H0: X ∼ Quy luật A
H1: X ∼ Quy luật A
(Xét quy luật A là rời rạc)
* Miền bác bỏ của giả thuyết H0:
 2
 (ni − i′)2 
n
χ( r 1 
k
Wα = χ =
 ∑ n′ ; χ2
> αk − −) 
2


 i= 1 i 

Trong đó:
k
Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X(n); xi xuất hiện ni lần ; ∑n
i =1
i = n ; ni′ = np i ;

pi = P( X = xi ) ; r là số tham số trong quy luật A cần ước lượng, tham số của quy luật A được
ước lượng bằng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa;


Phạm Hương Huyền-TKT 10
• Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính:

* Cặp giả thuyết cần kiểm định:

H0: X , Y là độc lập
H1: X , Y là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H0:
 2
 h k 2
nij  

= χ = ∑
i = ∑i m j
Wα  n −
1

; χ 2
>χα
2 (( h − )( k − ))
1 1

  1 j= n  
 1

Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (xi,yj )xuất hiện nij lần;
h k h k h k

∑n
i=1
ij =m j , ∑n
j=1
ij =ni , ∑ n

i=1 j=1
ij =∑ i =∑ j =n .
n
i=1
m
j=1


• Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn:
H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn
+> H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn
  2
a3 ( 4 − 2
a 3) 
→ MBB của H0 : W α = JB =   n + ;JB > α 2)
χ2(
 6 24  
( a3 là hệ số bất đối xứng, a4 là hệ số nhọn)

-------------------------------------------------------------------------------------




Phạm Hương Huyền-TKT 11
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản