Công thức xác suất thông kê

Chia sẻ: daodangson01041991

Lí thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu xác suất. Các nhà toán học coi xác suất là các số trong khoảng [0,1], được gán tương ứng với một biến cố mà khả năng xảy ra hoặc không xảy ra là ngẫu nhiên. Kí hiệu xác suất P(E) được gán cho biến cố E theo tiên đề xác suất.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Công thức xác suất thông kê

 

  1. i. Một số công thức phần xác suất I. Xác suất của biến cố: m ( ) A * A = P( ) n( ) A P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc * A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc P(B).P(C) nếu B và C là độc lập • A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập * A 1A 2 .. n =A 1 +A 2 +.. A n .A .+ * A 1 + A 2 + .. n = A 1 .A 2 ..A n .A . * P(A)+ P (A ) =1 Pn ( x) = C npx (1 − p) x n −x • Công thức Bernoulli: , x = 0,1,2,…,n n • Công thức Xác suất đầy đủ: P( )= ∑ H i) A / i) A P( P( H = i 1 • Công thức Bayes: P( i) H i/ ) H P( A P( i) H i/ ) H P( A P( i/ )= H A = n ∀ i= 1, ., 2,.n P( ) A ∑P( i) H i/ ) H P( A = i1 II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất: 1. Các tham số đặc trưng: n ∑ i i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc xp = i1 E(X) = +∞ ∫−∞ xf x)nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục ( n ∑x i=1 2 i p i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc 2 E(X ) = +∞ ∫ −∞ x 2 f ( x ) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục ( ) V(X)= E ( X − E ( X ) ) 2 = E X 2 − ( E ( X ) ) 2 σ( X ) = V ( X ) Phạm Hương Huyền-TKT 1
  2. 2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: ♦X∼ A(P) ⇒ X 0 1 P 1-p p P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x * x = 0;1 * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p ) ♦ X∼ B(n,p) ⇒ X 0 1 … x … n P C 0 p 0 q n− 0 C 1 p1q n−1 … C x p x q n− x … C n p n q 0 n n n n ( q=1-p ) P( X = x ) = C nx p x ( 1 − p ) n− x * x = 0,1,..., n * E(X)=np ; V(X)=npq ; σ ( X ) = npq x0 ∈ N * Mốt của X∼ B(n,p): x0 = np + p −1 ≤ x 0 ≤ np + p ♦ X∼ P(λ) ⇒ λx e − λ P ( X = x ) = C p (1 − p ) n− x * x n x ≈ ; x=0,1,2,… x! ( n khá lớn, p khá nhỏ; λ=np ) * E(X)=V(X)=λ; σ( X ) = λ * Mốt của X∼ P(λ): λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ ; x0∈N (x− )2 μ 1 − ♦ X∼ N(µ ,σ 2) ⇒ f x) ( = (σ>0) 2 e 2σ 2∏ * E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ  b −µ   a −µ  * P ( a < X < b) = Φ   −Φ    σ   σ  0 0  µ + ,5 b−  * P(X<b) ≈ Φ  0  σ  0 µ a −  * P(X>a) ≈ 0,5 − 0  Φ   σ  ε  ( * P X −µ <ε = 2Φ  )  σ  0 Phạm Hương Huyền-TKT 2
  3. • Giá trị tới hạn chuẩn: * Định nghĩa: P (U >U α ) =α , U∼ N(),1) * Chú ý: U 1− =− α α U ; U 0 , 025 =1,96 ; U 0 , 05 =1,645 • Giá trị tới hạn Student: * Định nghĩa: ( P T > Tα( n ) = α) , T∼ T(n) * Chú ý: T1( n ) = − α n ) −α T( ; Tα n ) ≈ U α ( với n ≥ 30 • Giá trị tới hạn Khi bình phương: * Định nghĩa: ( P χ 2 > χ α2( n ) = α) , χ2∼χ 2(n) • Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor: ( ( n ,n ) * Định nghĩa: P F > Fα 1 2 =α ) , F ∼ F(n1,n2) 1 * Chú ý: Fα1 , n2 ) = (n2 , n1 ) (n F− 1 α III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc X x1 x2 …. xi …. xn Tổng Y y1 P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1) y2 P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2) … …. …. … … … …. …. yj P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj) …. …. …. …. …. …. ….. …. ym P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym) Tổng P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1 ( ) ( • P xi , y j = P X = xi , Y = yj ) ∑(xi , y j ) P ( =y j ) = P (x ) m n • P(X = i ) = x P ; Y ∑ i , y j j= 1 i= 1 (X =x i , Y = y j ) • P (( X =x i ) / (Y = y j )) = P P (Y = y j ) • µ XY = Cov( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) )( (Y − E (Y ) ) ) = ∑∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n m i =1 j =1 ρ = µ XY • XY σX ) ( ) ( σ Y Phạm Hương Huyền-TKT 3
  4. • V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y ) III. Một số quy luật số lớn: • Bất đẳng thức Trêbưsép: X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε >0 V (X ) P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 − ε2 ⇔ P ( X − (X E ) ≥ )≤ ε V (X ) 2 ε • Định lý Trêbưsép: X1, X2,…, Xn độc lập từng đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε >0 1 n 1 n  Lim P  ∑i − ∑ X i ) <  1 X E( ε = n→ ∞ n i = 1 n i= 1  • Định lý Bernoulli: f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli với 2 tham số n, p ε > 0 , ta có Lim P ( f − < )= n→ ∞ p 1 ε B. Một số công thức trong phần Thống kê toán I. Một số công thức trên mẫu: 1 k x = ∑ i xi ; n i =1 n 2 1 k x = ∑ i xi2 n i =1 n ; Ms = x 2 − x () 2 n 1 k s= Ms ; s *2 = ∑ i ( xi − µ) 2 n n −1 n i =1 * Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu. ( ) µσ  ⇒  2  Tổng thể : X∼ N µ , σ N , 2 * ⇒ X ∼   n   ( ) E X =µ , ( ) V X = σ2 n  pq  * Tổng thể X∼ A(p) ⇒ f ∼ N p,  ⇒ E( f ) = p , V( f ) = pq  n  n ( khi n đủ lớn). II. Một số công thức về ước lượng: 1. Ước lượng giá trị tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 ) Phạm Hương Huyền-TKT 4
  5. Trường hợp đã biết σ 2 Trường hợp chưa biết σ 2 (thường gặp) Cô (ít gặp) ng n ≤ 30 n>30 thức σ σ s s s s KTC x− Uα < µ < x + Uα x− Tα( n −1) < µ < x + Tα( n −1) x − Uα < µ < x + Uα đối n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 xứng KTC σ µ< x + s Tα −) (n 1 s ước µ< x+ Uα n µ < x+ Uα n lượng n µ max KTC σ s s ước µ > x− Uα µ > x− Tα( n −1) µ > x− Uα lượng n n n µ min Công 4σ 2 2 4s 2 * ≥ 4s 2 2 thức n * ≥ Uα / 2 n * ≥ (Tα( n −1) ) 2 n Uα / 2 xác I 02 2 I0 /2 I 02 định kích thước I ε mẫu mới (n*) sao cho: Giữ Chú ý : = nguyên độ 2 tin cậy (1-α ) và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p) f (1 − f ) f (1 − f ) KTC đối xứng f− Uα < p < f + Uα n 2 n 2 KTC ước lượng p max f (1 − f ) p< f + Uα n KTC ước lượng p min f (1 − f ) p>f − Uα n Phạm Hương Huyền-TKT 5
  6. Công thức xác định kích 4 f (1 − f )U2 thước mẫu mới (n*) sao cho: n* ≥ 2 α/ 2 Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) I0 và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 I Chú ý : ε = 2 Chú ý: M Nếu P= thì có thể ước lượng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể N ước lượng N qua P là M (quan hệ N và P là ngược chiều). 3. Ước lượng giá trị tham số σ 2 trong quy luật N μ, 2 σ ( ) Công thức Trường hợp đã biết µ Trường hợp chưa biết µ (ít gặp) (thường gặp) σ ( n −1) s ( n −1) s 2 *2 *2 2 n s n s < 2 < 2 (n ) <σ < 2 KTC hai phía χ 2( n) α2 / χ 1− α χα(/n2−1) 2 χ2 (α−1) 1− n 2 2 KTC ước lượng σ 2 max σ< ns χ α 2 *2 2( ) n σ2 < (n − ) s 1 2 (n −) 1 χ− 2 1− 1 α KTC ước (n − ) s 2 ns *2 σ 1 σ > > 2 2 lượng σ 2 min χ 2(n ) 2(n− ) 1 χα α III. Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê ♦Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc 1. Bài toán kiểm định về tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 ) : a. Bài toán so sánh µ với giá trị thực cho trước µ 0 Trường hợp σ 2 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ = µ 0 Wα = =   U x −µ ( 0 n ) ; U >U α    H1: µ > µ 0 σ     H0: µ = µ 0   Wα =  = U x −µ ( 0 n ) ; U <− α  U   H1: µ < µ 0  σ    H0: µ = µ 0   Wα =  =U ( x − µ0 n )   ; U >U α / 2  H1: µ ≠ µ0   σ   Trường hợp σ chưa biết (thường gặp) 2 Miền bác bỏ của giả thuyết H0 Phạm Hương Huyền-TKT 6
  7. Cặp giả thuyết Trường hợp n ≤ 30 Trường hợp n>30 cần kiểm định H0: µ = µ 0   ( x − µ0 ) n   H1: µ > µ 0 Wα = T =  s ; T > Tα( n −1)     Wα = U = ( x − µ0 n )   ; U > Uα      s   H0: µ = µ 0   Wα = T = ( x − µ0 ) n   ; T < −Tα( n −1)    Wα = U = ( x − µ0 n )   ;U < −U α  H1: µ < µ 0   s     s   H0: µ = µ 0 H1: µ ≠ µ 0   Wα = T = ( x − µ0 n )     ; T > Tα( n −1)  Wα = U = x − µ0 n ( )   ; U > Uα / 2  /2   s     s   b. Bài toán so sánh hai tham số µ1 với µ 2 của 2 quy luật phân phối chuẩn Trường hợp σ 12 , σ 22 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 > µ 2    x −x  Wα =  =U 1 2 ; U >U α   σ1 2 σ2 2   +   n1 n2    H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 < µ 2 Wα =  =U ; U <− α U  σ1 2 σ 2   + 2   n1 n2    H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 ≠ µ 2 Wα =  =U ; U >U α / 2   σ1 2 σ 2   + 2   n1 n2  Trường hợp σ 1 , σ 2 chưa biết; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thường gặp) 2 2 Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định   H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 > µ 2 Wα = = U ; U >U α  2  s1 s2   + 2   n1 n2  Phạm Hương Huyền-TKT 7
  8.   H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 < µ 2 Wα =  =U ;U <− α U 2  s1 s2   + 2   n1 n2    H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 ≠ µ 2 Wα =  = U ; U >Uα / 2  2  s1 s2   + 2   n1 n2  Trường hợp σ 12 , σ 22 chưa biết Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 > µ 2    x1 −x 2  Wα = = T ; T > α ) T (k 2 2  s1 s2   +   n1 n2  H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 < µ 2    x1 − 2 x (k )  Wα = T =  ; T < Tα  − 2 2  s1 s2   +   n1 n2  H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 ≠ µ 2    x1 −x 2 ( )  Wα = = T ; T >Tαk 2  / 2 2  s1 s2   +   n1 n2  (n1 − )(n 2 − ) 1 1 2 s1 / n1 k = ; c = (n 2 − )c 2 +(n1 − )(1 −c ) 1 1 2 (s 2 1 / n1 ) +(s 2 / n 2 ) 2 2. Bài toán kiểm định về tham số σ 2 trong quy luật N ( µ , σ 2 ) : a. Bài toán so sánh σ 2 với giá trị thực cho trước σ 0 2 Phạm Hương Huyền-TKT 8
  9. Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: σ 2 = σ 02  2 Wα = χ = ( n −1) s 2 ; χ 2 > χ 2 ( n −1)  H1: σ 2 > σ 02 α   σ0 2  H0: σ 2 = σ 02  2 Wα = χ = ( n −1) s 2 ; χ 2 < χ 2( n −1)  H1: σ 2 < σ 02 1−α   σ02   2 ( n − 1) s 2  H0: σ = σ 2 2 0 Wα =  χ = ; χ 2 > χ α2 (/n−1) hay χ 2 < χ 12−(αn−1)  2 /2 H1: σ 2 ≠ σ 02  σ 02  b. Bài toán so sánh hai tham số σ 12 với σ 22 của 2 quy luật phân phối chuẩn Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định H0: σ 12 = σ 22  s12  H1: σ 12 > σ 22 Wα = F = 2 ; F >Fα 1 −, n2 − )  (n 1 1   s2  H0: σ 12 = σ 22  1  2 s1 H1: σ 12 < σ 22 Wα = = 2 ; F <F1( n1 − , n2 − )  F − α 1  s2  H0: σ 12 = σ 2 2   s12 ( n1 − 1, n 2 − 1) ( n1 − 1, n 2 − 1) H1: σ ≠ σ 2 1 2 2 Wα =  F = 2 ; F>F α /2 hay F < F 1− α / 2   s2  3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p): a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước: Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định H0: p = p0   ( f − p0 ) n   Wα = = U ; U >U α  H1: p > p0   p 0 (1 − p 0 )   H0: p = p0   ( f − p0 ) n   H1: p < p0 Wα = = U ; U <− α  U   p 0 (1 − p 0 )   H0: p = p0   ( f −p0 ) n ; U >   H1: p ≠ p0 Wα = = U U α/ 2    p0 (1 −p0 )   b. Bài toán so sánh hai tham số p1 với p 2 của 2 quy luật Không-Một Phạm Hương Huyền-TKT 9
  10. Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định      f 1 −f 2  H0: p1 = p 2 Wα = U =  ; U > α U H1: p1 > p 2   ( f 1 −f  1 n + ) 1    n2      1       f1 − f 2  H0: p1 = p 2 Wα = = U ; U <− α  U H1: p1 < p 2   ( f 1−f  1 n )+ 1    n2      1       f1 − f 2  H0: p1 = p 2 Wα = = U ; U > α/ 2  U H1: p1 ≠ p 2   ( f 1 −f  1 n ) + 1    n2      1  n f +2 f 2 n Trong đó: f =1 1 n1 + 2 n ♦ Kiểm địnhphi tham số • Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X ∼ Quy luật A H1: X ∼ Quy luật A (Xét quy luật A là rời rạc) * Miền bác bỏ của giả thuyết H0:  2  (ni − i′)2  n χ( r 1  k Wα = χ =  ∑ n′ ; χ2 > αk − −)  2   i= 1 i   Trong đó: k Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X(n); xi xuất hiện ni lần ; ∑n i =1 i = n ; ni′ = np i ; pi = P( X = xi ) ; r là số tham số trong quy luật A cần ước lượng, tham số của quy luật A được ước lượng bằng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa; Phạm Hương Huyền-TKT 10
  11. • Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X , Y là độc lập H1: X , Y là phụ thuộc * Miền bác bỏ của giả thuyết H0:  2  h k 2 nij    = χ = ∑ i = ∑i m j Wα  n − 1  ; χ 2 >χα 2 (( h − )( k − )) 1 1    1 j= n    1  Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (xi,yj )xuất hiện nij lần; h k h k h k ∑n i=1 ij =m j , ∑n j=1 ij =ni , ∑ n ∑ i=1 j=1 ij =∑ i =∑ j =n . n i=1 m j=1 • Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn: H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn +> H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn   2 a3 ( 4 − 2 a 3)  → MBB của H0 : W α = JB =   n + ;JB > α 2) χ2(  6 24   ( a3 là hệ số bất đối xứng, a4 là hệ số nhọn) ------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Hương Huyền-TKT 11
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản