Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 3

Chia sẻ: Nguyen Duc Hoa | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

247
lượt xem 129
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo việc xây dựng Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 3: " Tính toán thấm và ổn định thấm đập vật liệu địa phương".

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 3

3 TÍNH TOÁN THẤM & ỔN ĐỊNH THẤM ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG ____________________________ 1 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG I. 1. Đặt vấn đề .........................................................................................3 1.2. Sơ lược lịch sử phát triển của lý thuyết thấm .....................................4 1.3 Tình hình nghiên cứu thấm ở nước ngoài và ở Việt Nam .....................6 CHƯƠNG II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THẤM TRONG CÔNG TRÌNH 2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp phần tử hữu hạn ...............................9 2.2 Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn .............................................10 2.3. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán thấm .....12 2.3.1 Phát biểu bài toán biến phân .................................................................12 2.3.2 Bài toán biến phân hai chiều theo PP PTHH ........................................14 2.3. Phát biểu bài toán thấm ba chiều theo PP PTHH ..................................21 CHƯƠNG III TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH THẤM 3.1 Các công thức cơ bản để tính toán ổn định thấm...................................23 3.2 Hướng dẫn sử dụng các công thức và đồ thỊ để thiết kế tầng lọc ngược 25 KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ ..........................................................................29 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................31 ____________________________ 2 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG I.1 ĐẶT VẤN ĐỀ Đập bằng vật liệu địa phương là loại công trình dâng nước được sử dụng phổ biến nhất hiện nay ở tất cả các nước trên thế giới .Trong tương lai nó vẫn được lựa chọn làm đập dâng nước ở các đầu mối thủy lợi-thủy điện sẽ được xây dựng ở nước ta. Đặc điểm chính của các công trình này là thường xuyên chịu áp lực nước tĩnh và động Qua phân tích sự làm việc và tổng kết các qúa trình xây dựng ,khai thác đã thừa nhận rằng đập dâng nước bằng vật liệu địa phương là loaị công trình có nhiều vấn đề kĩ thuật hơn cả. Sự có mặt thường xuyên của dòng thấm trong thân và nền đập đã dẫn dến sự tăng kích thước mặt cắt ngang đập cũng như đòi hỏi quá trình thi công nghiêm ngặt, cho nên giá thành công trình cao hơn rất nhiều giá thành các công trình đất không chịu tác dụng của dòng thấm.Để hạn chế tới mức tối thiểu nhất tác hại do dòng thấm gây ra mà vẫn đảm bảo tính kinh tế kĩ thuật, nhất thiết phải hiểu được bản chất của dòng thấm trong đất cũng như tác động của nó lên thân và nền công trình khi có dòng thấm đi qua .Sự ra đời và phát triển của lý thuyết thấm đang từng bước đáp ứng các yêu cầu của kỹ thuật đòi hỏi này. Ở nước ta việc nghiên cứu lý thuyết thấm cũng như kinh nghiệm trong việc giải quyết các vấn đề thấm trong thực tiễn thiết kế, xây dựng và khai thác các đập dâng nước bằng vật liệu địa phương còn chưa nhiều. Vì vậy việc đề nghiên cứu để ứng dụng các tiến bộ khoa học thế giới trong lĩnh vực này vào Việt nam là rất cần thiết. Khó khăn lớn nhất trong nghiên cứu thấm cho đập là xác định đúng chế độ thấm và điều kiện ổn định thấm của các loại vât liệu. Mục tiêu ngiên cứu trong phần thấm và ổn định thấm chủ yếu tập trung giải quết hai vấn đề trên. Chế độ thấm trong đập được xác định bằng các mô hình toán học theo lý thuyết thấm. Để giải quyết các bài toán lý thuyết thấm phức tạp trong kỹ thuật như thấm phi tuyến và thấm không ổn định có mặt tự do có thể sử dụng các phương pháp tính tiên tiến. Ngoài việc đảm bảo tính chính xác khithiết lập chương trình trên máy vi tính, còn cấn phải chứng minh tính đúng đắn của phương pháp tính toán qua so sánh với tài liệu thực nghiệm và so sánh với số liệu thực tế. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán các bài toán lý thuyết thấm phục vụ thiết kế , xây dựng vá khai thác các công trình dâng nước không những thay thế phương pháp thí nghiệm tương tự điện thủy động lực học, tiết kiệm được thời gian và kinh phí, mà còn giải quyết được rất nhiều các bài tóan lý thuyết ____________________________ 3 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
thấm phức tạp khác mà các phương pháp khác không giải quyết được hoăc khó có thể đạt được. Vấn đề này sẽ được trình bày đấy đủ trong các phần sau. Do hạn chế về kỹ thuật như thiếu tài liệu thí nghiệm, nên việc xác định ổn định thấm cho các loại vật liệu địa ohương ở nước ta chủ yếu dựa vào các tài liệu thí nghiệm của Liên xô (cũ), nên rất khó đánh giá mức độ tin cậy của các điều kiện đang được sự dụng. Trong những phần sau sẽ trình báy một số vấn đề xung quanh việc lựa chọn tiêu chuẩn đánh qiá độ bền thấm của vật liệu. Kết qủa cho thấy rằng ,các tiêu chuẩn đang được dùng ở nước ta để đánh gia độ bền thấm của đất hiện nay còn nhiều điểm chưa được chặt chẽ và chưa được thống nhất. Cần phải có những ngiên cứu thêm để lựa chọn cho phù hợp điều kiện nước ta. Để minh họa thêm cho kết qủa nghiên cứu, trong phần ứng dụng sẽ đưa ra kết quả giải bài toán lý thuyết thấm và đánh giá điều kiện ổn định thấm cho một số đập đã và đang được xây dựng ở Việt Nam, khi xét đến cả trường hợp có vết nứt ngang lõi và trường hợp rút nước nhanh trong hồ. Các kết qủa nghiên cứu cho biết mức độ ổn định thấm của toàn bộ công trình ,không dùng trị số Gradien trung bình, mà đánh giá theo điều kiện ổn định thấm cục bộ theo các khả năng có thể xảy ra xói ngầm cục bộ, xói ngầm tiếp xúc ...,phương pháp này chính xác và tin cậy hơn, rất tiện lợi khi giải bài toán lý thuyết thấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Do tính phức tạp của bài toán không gian và thời gian ngiên cứu chưa cho phép, nên trong phần này chưa trình bày các kết qủa đánh giá ổn định thấm cho đập khi xét với bài toán không gian .Song về cơ bản các nội dung giới thiệu trong phần này hoàn toàn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của thiết kế khi tính toán thấm cho đập. Những kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng trong sản xuất để giải quyết các bài toán lý thuyết thấm phức tạp và đánh giá ổn định thấm công trình. Giúp các cán bộ thiết kế có thể lựa chọn kết cấu công trình hợp lý, an toàn và kinh tế về mặt ổn định thấm. I. 2. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA LÍ THUYẾT THẤM Hiện tượng thấm của đất trong môi trường lỗ rỗng bằng đất đã được H. Dacxi (Pháp) nghiên cứu từ năm 1852. Trên cơ sở thực nghiệm, năm 1856 ông tìm ra quy luật thấm của nước trong môi trường lỗ rỗng: Tốc độ thấm tỷ lệ với gradien áp lực, được gọi là định luật thấm đường thẳng hay thấm Dacxi: ∆H v = KJ = − (1) ∆L Trong đó : K – Hệ số thấm ____________________________ 4 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
∆H – Độ chênh cột nước áp lực trong đoạn ∆L Khi sử dụng định luật Dacxi để giải quyết một số bài toán thực tế - năm 1857, Duypuy (một kỹ sư người Pháp) đưa ra công thức dạng vi phân : ∂H v = −K (2) ∂S dùng để xác định lưu lượng của các dòng thấm. Năm 1889, N. K. Giucopski đã đưa ra phương trình vi phân cơ bản về sự vận động của nước trong đất, và năm1889 đã cho xuất bản tác phẩm "Nghiên cứu lý thuyết vận động cửa nứớc ngầm", trong đó có đưa vào khái niệm lực cản và lực khối lượng khi thấm. Ông là người đầu tiên đặt cơ sở khoa học để tiếp tục phát triển lý thuyết thấm. Các tác phẩm của Pavlovxki N.N, Laybenzon Z.S, Gerxeoanov N.M...đã hoàn thiện đầy đủ thêm cho cơ sở lý thuyết vận động cửa nước trong đất và đưa ra những điều kiện để sử dụng những định luật thấm Đacxi. Từ năm 1904 Butxineet đã ngihên cứu về vấn đề lý thuyết vận động không ổn định của dòng thấm và đã thành lập phương trình vi phân vận động không ổn định của dòng nước trong đất ∂ ∂H q η ' ∂H (K )+ = (3) ∂η ∂x K K ∂t Coi hàm cột nước áp lực H chỉ thay đổi theo chiều vận động x Trong đó : η – Hệ số sức chứa đàn hồi, q – Lưu lượng bổ sung Hiện nay phương trình (3) vẫn được coi la phương trình vi phân cơ bản vận động không ổn định của nước trong đất Dựa vào phương trình vi phân chuyển động của môi trường liên tục Ơle, một số tác giả như Pavlopxki N.N, Aravin V.I, Numerop X.N cũng rút ra phương trình vi phân. Trugaev R.R dựa trên nguyên tắc Đalambe, thiết lập đa giác lực thấm cơ bản va đã rút ra hệ phương trình vi của lý thuyết thấm biểu diễn ở dạng khác . Một cách tổng quát nhất, phương trình cơ bản của lý thuyết thấm trong điều kiện thấm Đacxi có thể đưa về dạng phương trình Navestoc. ∂U π + ρ(U∆)U = ρf – gradP + η∆∆ U (4) ∂x Trong đó : ρ – Mật độ khối lượng, P – Áp lực thủy động, ∆ – Toán tử Haminton ____________________________ 5 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
U – Tốc độ thấm η – Hệ số nhớt động học của nước Phương trình thể hiện mối quan hệ các lực tác động lên một đơn vị khối lượng chất lỏng đang vận động Tiếp tục phát triển lý thuyết thấm của Gucopxki N.E, Pavlopxki N.N, Laybenzon là những công trình nghiên cứu của các tác giả Zamarin E. A., Grisin N. E., Selkatrev V.N., Kamenxki G.N,...được công bố và sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực liên quan Bên cạnh xu hướng phân dị, chỉ nghiên cứu sử vận động riêng biệt của nước trong đất, xu hướng nghiên cứu tổng hợp mối liên quan giữa sự vận động của nước dưới đất với qúa trình biến dạng của môi trường đất đá cũng đã được chú ý phát triển .Vấn đề này tuy được Pavlopxki N.N. và Gerxevanov N.M đưa ra nghiên cứu từ lâu, song các kết qủa nghiên cứu của Mironenko V.A và Sextakov V.M mới là những đóng góp đáng kể đẩu tiên. Tong tác phẩm của mình, các tác giả đã gắn liền nghiên cứu và phối hợp chặt chẽ những vấn đề cơ bản của cơ học đất đá với qúa trình thấm của nước trong nó vào khuôn khổ một môn khoa học :"Thủy-Địa- Cơ". các tác giả như Vaxilep X.V., Verigia A.N., Glayca A. A. ... Cũng nghiên cứu để tính toán giải các bài toán thấm thực tế . Khi nghiên cứu tổng hợp, trong hệ phương trình đang xét của mô hình toán học, ngoài các phương trình vi phân của lý thuyết thấm, còn thêm phương trình trạng thái của chất lỏng và trạng thái môi trường đất đá biến dạng. Cùng với sự phát triển và hoàn thiện lý thuyết trên cơ sở các mô hình toán học và vật lý, các phương pháp để giải bài toán lý thuyết thấm thực tế đặt ra cững không ngừng hoàn thiện và được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán thấm qua đập dâng nước nhất là đập bằng vật liệu địa phương. Tuy nhiên do tính phức tạp và đa dạng của các công trình thủy lợi, môi trường thấm là đập và nền của nó thường là các môi trường không đồng nhất và dị hướng, nên việc giải các hệ phương trình lý thuyết thấm gặp rất nhiều khó khăn về mặt toán học. Do đó thực tế chỉ giải quyết được cho một vài trường hợp rất đơn giản như thấm qua đập đồng chất, thấm qua kênh, qua nền đồng chất hoặc được mô hình hóa, tính rút nước trong đập đột ngột với tiền đề là trong đập đã hình thành đường bão hòa ổn định ở mức nứớc cho trước. Hiện nay có rất nhiều mô hình toán học của lý thuyết thấm đang được sử dụng để giải các bài toán thấm qua đập và các lĩnh vực liên quan. Tùy thuộc vào mức độ yêu cầu và phương pháp giải mà lựa chọn mô hình toán học cho phù hợp. ____________________________ 6 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
I. 3. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THẤM Ở NƯỚC NGOÀI VÀ Ở VIỆT NAM Các bài toán lý thuyết thấm của nước trong môi trường đồng nhất và không đồng nhất, về cơ bản đều đưa đến giải quyết phưong trình vi phản cấp 2 đạo hàm riêng dạng eliptic hay parabolic khi biết điều kiện đầu và điều kiện biên tương ứng. Để giải quyết bài toán lý thuyết thấm, người ta đã sử dụng một số nhóm phương pháp sau: a.) Phương pháp thuận, bao gồm các phương pháp phân ly tích số, phương pháp biến đổi tích phân. b.) Phương pháp lý thuyết hàm biến phức (phương pháp biến hình bảo giác, đưa đến bài toán Rima-Gianke). c.) Các phương pháp dựa trên lý thuyết giải tích phương trình vi phân tuyến tính, giải tích hàm, phép tính biến phân. d.) Các phương pháp số như sai phân, phần tử hữu hạn. e.) Các phương pháp biểu đồ, phương pháp mô hình và tương tự điện. Trong đó phương pháp tương tự điện thủy động lực học do Pavolopxki N.N đề ra đã được xem như phương pháp chuẩn để giải các bài toán thấm thực tế và mức độ tin cậy của các phương pháp khác.Phương pháp này đòi hỏi công phu và tốn kém nên những trường hợp thật cần thiết mới được sử dụng. Mặc dù vậy, những vấn đề như thấm dị hướng, thấm phi tuyến, phương pháp này vẫn chưa giải quyết được. Ngoài phương pháp số, các phương pháp khác cũng chỉ giải cho một lớp các bài toán nhất định, thậm chí, một số công thức giải tích phải dựa trên kết quả phương pháp tương tự điện thấm mới lập được, song phạm vi ứng dụng cũng còn rất hạn chế. Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp số đã chiếm ưu thế trong việc giải quyết các bài toán lý thuyết thấm, nhất là bài toán có biến thay đối và chế độ vận động trong môi trường có cấu tạo địa chất phức tạp. Đặc biệt các phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn đang được dùng rộng rãi phổ biến. Vì các phương pháp này không những có một cơ sở toán học chặt chẽ, dễ dàng tự động hóa trên máy tính, có khả năng giải được tất cả các bài toán thấm với mức độ chính xác phù hợp thực tế và thỏa mãn trong yêu cầu kỹ thuật . Đối với các bài toán lý thuyết thấm trong môi trường có cấu tạo địa chất phức tạp thì phương pháp phần tử hữu hạn tỏ ra ưu việt hơn, có thể giải được các bài toán thấm phi tuyến, thấm không dừng và thấm trong điều kiện trạng thái đàn hồi. ____________________________ 7 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Phương pháp này ở nước ngoài đã được ứng dụng từ vài chục năm trước đây để giải các bài toán thấm qua đập và công trình thủy công, nhưng việc giải các bài toán thấm không ổn định qua đập và thấm không gian thì kết quả chưa nhiều. Ở Việt Nam phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) cũng đã được ứng dụng trong giải các bài toán thấm qua công trình thủy lợi nhưng chưa phổ biến .Chủ yếu còn ở mức độ nghiên cứu. Năm 1978, Hoàng Thọ Điềm đã dùng phương pháp PTHH để nghiên cứu thấm dưới công trình lấy nước không đập trên nền phân lớp với bài toán thấm ổn định có áp. Đoàn Ngọc Đấu sử dụng để nghiên cứu thấm và ổn định của đập đá đổ trong trường hợp chỉ xét bài toán thấm qua lõi đập. Năm 1985, Ngô Văn Lược (Viện toán) đã ứng dụng phương pháp PTHH để giải bài toán thấm qua vùng lõi đập trong thời kỳ thi công với bài toán thấm phẳng ổn định không áp. Năm 1986, Đặng Văn Ba đã mô hình hóa giải bài toán thấm không áp không ổn định qua đập đồng chất trên nền không thấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn . Các kết qủa lời giải cũng đã có so sánh với phương pháp tương tự điện thuỷ động lực hay với phuong pháp máng khe hẹp, cho thấy khá phù hợp và tin cậy.Tuy nhiên những ngiên cứu này vẫn chua xét đến những khả năng phá vỡ cục bộ điều kiện thấm Đăcxi và gắn liền với kiểm tra điều kiện ổn định thấm cho công trình cùng với nền của nó. Trong nội dung nghiên cứu này sẽ sử dụng phương pháp PTHH để giải bài toán lý thuyết thấm và đánh giá điều kiện ổn định thấm cho công trình. Đồng thời chứng minh thêm tính đúng đắn của mô hình toán và phương pháp lựa chọn. Cần lưu ý rằng hiện nay ở các trường đại học (Bách khoa Tp HCM, Xây dựng HN, Thuỷ lợi HN v.v... ) và một số cơ quan chuyên nghành thủy lợi – thủy điện đã có một số chương trình tính toán thấm qua đập vật liệu địa phương theo phương pháp PTHH. Tuy nhiên do cách đặt vấn đề khác nhau, nên các chương trình này chỉ giải quyết những vấn đề riêng rẽ, và khi gặp bài toán có nền nhiều lớp mà ở đó hiện tương thấm không tuân theo định luật Đacxi (với hệ số Raynon Re > Re chảy tầng) thì các chương trình đó chưa giải quyết được một cách triệt để, và đặc biệt là chưa gắn việc giải bài toán thấm với việc giải quyết vấn đề ổn định thấm (xói ngầm cục bộ, xói ngầm tiếp xúc, sự phá hoại tầng lọc v.v.... ) ♣ ____________________________ 8 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
CHƯƠNG II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THẤM II.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trước khi xem xét các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng trong bài toán thấm, chúng ta thử tìm hiểu mô hình nghiên cứu lý thuyết thấm của nước trong đất. để làm sáng rõ các phương trình cơ bản mà ta sẽ sử dụng vào bài toán. Môi trường đất hay các công trình thủy công bằng đất đều là môi trường lỗ rỗng. Nước vận động trong môi trường đó rất đa dạng và phức tạp, phụ thuộc vào nhiếu yếu tố, trong đó yếu tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến chế độ vận động của nước là thành phần hạt của cốt đất và trạng thái biến dạng của nó. Ngược lại, trạng thái biến dạng cũng phụ thuộc vào áp lực thấm do chế độ thấm gây nên.Môi trường của đất mà trong đó có nước vận động là môi trường 3 pha. Sự vận động của nước trong đất là do các thành phần lực quyết định. Phân tích bản chất của lực do chế độ thấm trong môi trường đó gây nên đã được R. R. Trugaev trình bày chi tiết trong tác phẩm nổi tiếng "Các công trình thủy lợi bằng đất " (đã được dịch ra tiếng Việt). Một điều hiển nhiên là ta không thể nghiên cứu sự vận động của nước trong các lỗ rỗng hay khe nứt riêng biệt không có quy luật của môi trường đất, ta chỉ có thể xét cho dòng chất lỏng tượng trưng chứa đầy trong toàn bộ thể tích lỗ rỗng và cốt rắn. Những đặc trưng của dòng thấm được thay bằng những giá trị trung bình của dòng chảy như lưu tốc, áp lực, lưu lượng... trong mô hình môi trường liên tục. Trong đó lưu tốc trung bình v mang giá trị tượng trưng và nhỏ hơn giá trị thực trung bình trong lỗ rỗng 1/n lần (với n là độ rỗng của môi trường), còn áp lực và lưu lượng có giá trị thực. Dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài (như ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức v.v..) bên trong kết cấu sẽ phát sinh nội lực và biến dạng. Phân tích trạng thái ứng suất (nội lực) và biến dạng của một kết cấu bất kỳ dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài là nhiệm vụ của môn cơ học kết cấu (theo nghĩa rộng). Nếu xem kết cấu bất kì (ví dụ đập đất đá) là một môi trường liên tục bao gồm vô hạn một số phần tử có kích thước vô cùng bé ghép lại với nhau thì việc phân ____________________________ 9 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
tích hiện tượng thấm trong đập trở nên thuận tiện hơn. Do giả thiết như vậy (xem kết cấu là gồm nhiều phần tử ghép lại) nên có thể biến đối các phương trính phi tuyến phức tạp cho cảc hệ thánh những phương trình tuyến tính đơn giản trong mỗi một phần tử. Việc rời rác hoá kết cấu như vậy hoán toàn có thể thực hiện được khi khi sử dụng máy tính. II. 2. NỘI DUNG HƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Nhằm đơn giản hóa tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức tính toán yêu cầu, người ta xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn (viết tắt là PP PTHH) là một phương pháp gần đúng để tính kết cấu với nội dung sau: Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình dùng để tính toán, bao gồm một số hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các đểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kề nhau. Quan niệm như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) có bậc tự do vô hạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn. Chỗ phân cách giữa các phần tử hữu hạn gọi là biên của phần tử hữu hạn. Tùy từng trường hợp cụ thể, biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, các đường hoặc các mặt. Trong thực tế kết cấu là một môi trướng liên tục cho nên ở tại mọi điểm trên biên của mỗi phần tử đều có các lực tương tác giữa các phần tử. Tại mọi điểm trên biên của các phần tử hữu hạn, ứng lực (hoặc cột nước) cũng như chuyển vị đều phải thỏa mãn điều kiện liên tục khi ta chuyển từ phần tử náy sang phần tử kế cận (điều náy sẽ nói kỹ về sau ). Trái lại, ở trong mô hình thay thế, kết cấu được quan niệm là chỉ gồm một số phần tử riêng lẻ liên kết với nhau ở một số điểm nút, cho nên giữa các phần tử lân cận chỉ có các lực tương tác đặt tại các điểm nút. Dĩ nhiên quan niệm như trên chỉ là gần đúng. Trong khi thay thế kết cấu thực tế (hệ liên tục) bằng một tập hợp phần tử rời rạc chỉ liên kết lại với nhau ở các điểm nút, người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực. Nếu ta xác định được chính xác các lực tương tác giữa các phần tử lân cận, và nếu ở trên các biên của các phần tử lân cận, điều kiện liên tục về lực và về chuyển vị đảm bảo được thỏa mãn khi ta chuyển từ phần tử này sang phần tử lân cận thì mô hình thay thế hoàn toàn giống với kết cấu thực tế. Trái lại, nếu khi xác định lực tương tác qua lại giữa các phần tử lân cận ta phải dựa vào những giả thiết gần đúng nào đó, hoặc điều kiện liên tục về lực và về chuyển vị ở trên các biên của các phần tử không đảm bảo được thỏa mãn thì mô hình thay thế chỉ phản ánh được gần đúng sự làm việc của kết cấu thực tế. ____________________________ 10 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Sau này ta sẽ thấy rằng, nói chung nếu mô hình thay thế càng nhiều phần tử hữu hạn thì kết quả tính toán sẽ càng chính xác.Tuy nhiên vần đề không phải lúc nào cũng chỉ đơn giản như vậy. Mức độ chính xác của các kết quả tính toán theo PP PTHH, và vấn đề nếu ta tăng số phần tử hữu hạn của các hệ có chắc đảm bảo sẽ có kết quả tính ngày càng gần với lời giải chính xác hay không phụ thuộc vào nội dung vấn đề độ chính xác và các tiêu chuẩn hội tụ của PP PTHH. Trên toàn kết cấu, không phải lúc nào ta cũng chỉ dùng cùng một loại phần tửu hữu hạn. Tại những chỗ có hiện tượng tập trung ứng suất hoặc có hiện tượng thay đởi ứng suất đột ngột ta nên giảm bớt kích thước của các phần tử hữu hạn để có được kết quả tính với độ chính xác cao hơn. Cần chú ý là cũng với một điểm nút giống nhau, ta lại có thể sử dụng các sơ đồ tính khác nhau và được kết quả tính khác nhau. Tiếc rằng hiện nay chưa có cách nào để biết trong số các sơ đồ tính có cùng số các điểm nút như nhau thì sơ đồ nào sẽ cho được kết quả tính tốt nhất (chính xác hơn cả). Cho nên việc phân chia các phần tử hữu hạn trên sơ đồ tính sao cho tính toán được đơn giản nhất mà lại có được kết quả tính chính xác hơn cả phụ thuộc vào kinh nghiệm và trình độ của người thiết kế. II.3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THẤM II.3.1 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN BIẾN PHÂN Có thể xây dựng toàn bộ lý luận của phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán của lý thuyết đàn hồi không cần xuất phát từ việc khảo sát các phương trình cân bẳng tĩnh học mà xuất phát từ nguyên lý cực tiểu hóa thế năng cuả toàn bộ kết cấu. Trong thực tế có khá nhiều bài tóan khoa học kỹ thuật dẫn đến cực tiểu hóa một đại lựơng dưới dấu tích phân kèm theo một số điều kiện nhất định gọi là phiến hàm. Thông thường những phiến hàm đó thường có liên quan ít nhiều với khái niệm năng lượng hoặc khái niệm công. Thông qua việc trình bày cách sử dụng PP PTHH để giải một lớp rộng rãi các bài toán của lí thuyết trường, tức là những bài toán vật lí được mô tả bằng một phương trình vi phân dạng điều hòa, chương này nêu lên đường lối tổng quát áp dụng PP PTHH để giải quyết một lớp rộng rãi các bài toán biến phân tương ứng với mọi đại lượng vật lý tùy ý. Sở sĩ như vậy là vì những bài toán của lí thuyết trường cũng dẫn đến việc cực tiểu hóa một phiếm hàm trong miền xác định của nó. Các phương trình giả điều hòa thường gặp trong thực tế hơn cả là Laplaxơ (Laplace) và phương trình ____________________________ 11 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Poatxông (Poison). Một số bài toán dẫn đến việc giải các phương trình có dạng như vậy là bài toán truyền nhiệt, bài toán chảy tầng của các chất lỏng lý tưởng, bài toán thấm qua một môi trường rỗng, bài toán phân bố điện thế hay từ thế, bài toán soắn thanh lăng trụ, bài toán uốn dầm lăng trụ v.v.. Dưới đây ta sẽ thấy rằng sự khác nhau duy nhất giữa các bài toán của lí thuyết đàn hồi trình bày ở các chương trên với các bài toán của lí thuyết trường thể hiện ở chỗ trong các bài toán của lí thuyết đàn hồi (phẳng và không gian) ẩn số là các chuyển vị ở các điểm nút của hệ - đó là đại lượng vec tơ - trái lại trong các bài toán của lí thuyết trường ẩn số chỉ là đại lượng vô hướng. Phương trình giả điều hoà có dạng tổng quát như sau: ∂  ∂F  ∂  ∂F  ∂  ∂F  kx  + ky  ∂y  + ∂z  k z ∂z  + Q = 0  (5) ∂x  ∂x  ∂y     Trong đó: F – Là một hàm ẩn xác định và đơn vị trong miền khảo sát, biểu diễn một đại lượng vật lý nào đó tùy theo hiện hượng cụ thể của bài toán khảo sát Kx, Ky, Kz và Q là những hàm đã biết của các tọa độ x, y, z. Chẳng hạn đối với bài toán đàn nhiệt trong môi trường dừng (Steady-state heat conduction) nếu ta chọn các trục chính cùa vật liệu dị hướng làm hệ trục tọa độ của bài toán thì các hàm Kx, Ky, Kz chính là các hệ số dẫn nhiệt dị hướng có thể xác định được ngay,hàm Q là nguồn nhiệt biết trước, còn hàm ẩn F biểu thị qui luật biến đổi nhiệt đọ của môi trường . Đối với bài toán thấm thì các hàm Kx, Ky, và Kz chính là các hệ số thấm theo các hướng x, y, z khác nhau trong không gian ,Q là lưu lương thấm bổ sung từ một nguồn nào đó, và hàm ẩn F biểu thị qui luật biến đổi vột nước áp lực theo tọa độ của điểm khảo sát. Có nhiều bài toán vật lý khác nữa đều có thể mô tả bằng phương trình giả điều hòa (5). Như ta đã biết, tương ứng với các bài tóan cụ thể nhất định, phương trình giả điều hòa (5) chỉ có nghiệm xác định thỏa mãn một số điều kiện nhất định . Trong thực tế, ta thường hay gặp phải trường hợp điều kiện biên có dang như sau: a.) Đai lượng F được xác định ở trên biên b.) Hoặc trên biên buộc phải thỏa mãn điều kiện sau : ∂F ∂F ∂F (K x Lx ) + ( K y Ly ) + (K z Lz ) + q + F = 0 (6) ∂x ∂y ∂z Trong đó: Lx, Ly, Lz – Là các Cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt biên. Trường hợp Kx = Ky = Kz , q = 0 thì điều kiện trên có dạng rút gọn: ____________________________ 12 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
∂F =0 (7) ∂n Đây chính là điều kiện biên quen biết đối với các biên không dẫn (non-cond bound.). Trong bài toán dẫn nhiệt thì q là nhiệt thông (heat flux) đi qua một đơn vị diện tích, còn F là tổn thất do đối lưu (convection loss) Phương trình (5) kết hợp với các điều kiện biên xác định cho ta một nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, sử dụng lí luận của phép tính biến phân ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác đi như sau. Theo định lí Euler trong phép tính biến phân, ta có thể kết luận: điều kiện cần và đủ để tích phân: ∂U ∂U ∂U I (u ) = ∫ ∫ f∫( x, y, z, u, ∂x , ∂y , ∂z )dx, dy, dz (8) đạt cực tiểu là hàm ẩn U (x,y,z) phải thoả mãn phương trình vi phân sau đây trong miền khảo sát.             ∂  ∂F  ∂  ∂F  ∂  ∂F  ∂F +  +  - = 0 (9) ∂x   ∂u   ∂y   ∂u   ∂z  ∂u   ∂u  ∂     ∂     ∂x    ∂ ∂y       ∂z      Và hàm u phải thỏa mãn các điều kiện biên như nhau trong cả hai trường hợp. Ta có thể kiểm nghiệm một cách dễ dàng rằng: nếu buộc tích phân sau đây lấy trên toàn miền đạt cực tiểu: 1    ∂F   2 2 2   ∂F   ∂F   χ = ∫ ∫ ∫ k x   + k y   + k z    − QF dx dy dz = 0 (10)  ∂y   2   ∂x     ∂z        và hàm F phải đồng thời thỏa mãn các điều kiện biên, thì ta sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình giả điều hòa (5). II.3.2. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN THẤM HAI CHIỀU THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều bài toán vật lý phát biểu dưới dạng biến phân chỉ phụ thuộc 2 biến (tọa độ x và y). Trong trường hợp đó, phương trình giả điều hòa (5) có dạng thu gọn sau đây: ∂  ∂F  ∂  ∂F  kx  + ky  + Q = 0 (5)’ ∂x  ∂x  ∂y  ∂y    ____________________________ 13 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Tương đương với phương trình này ta phải làm cực tiểu hóa phiếm hàm có dạng sau:  1   ∂F  2   ∂F   2   χ =∫ ∫ 2   ∂x   k x  + ky   − QF dx dy = 0  ∂y  (10)’           Khi sử dụng PP PTHH để giải các bài toán biến phân 2 chiều ta thường hay dùng PTHH hình tam giác và PTHH hình chữ nhật. Dưới đây ta trình bày cách vận dụng cụ thể. a. Trường hợp phần tử hữu hạn hình tam giác Giả sử phiếm hàm (10)’ xác định trong miền S nào đó. Theo phương pháp phần tử hữu hạn ta tưởng tượng phân chia miền S ra thành nhiều phần tử hình tam giác phẳng và chỉ liên kết với nhau ở một số điểm nút. Giá trị của hàm F tương ứng với những điểm nút đóng vai trò như các chuyển vị nút của các phần tử hữu hạn ta đã trình bày trong các chương trên. Xét phần tử hữu hạn hình tam giác bất kỳ i j m, trong đó ta lưu ý ký hiệu thứ tự các nút theo ngược chiều kim đồng hồ. Tại một số nút bất kỳ có một giá trị của đại lượng F. Tập hợp các giá trị của đại lượng F ở tất cả các nút i, j, m của phần tử hữu hạn được ký hiệu bằng: Fi  { F} e = Fj    (11)   Fm  Giá trị F ở một điểm bất kỳ có tọa độ (x, y) bên trong phần tử hữu hạn hình tam giác sẽ được xác định một cách duy nhất theo ba giá trị Fi, Fj, Fm ở ba điểm nút của phần tử hữu hạn. Ta giả thiết giá trị F bên trong phần tử hữu hạn biến đổi theo quy luật F = α1 + α2.x + α3.y (12) Ta dễ dàng xác định được giá trị các thông số αi bằng cách viết giá trị ở ba điểm nút: Fi = α1 + α 2 x i + α 3 y i   Fi = α1 + α 2 x j + α 3 y j  (13)  Fi = α1 + α 2 x m + α 3 y m  ____________________________ 14 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Giải hệ ba phương trình này ta sẽ có biểu thức xác định giá trị của các thông số αi theo các giá trị Fi, Fj, Fm của hàm F ở các điểm nút. Thay các giá trị đó vào biểu thức (13) ta sẽ tìm được biểu thức xác định giá trị của hàm F tại một điểm bất kỳ bên trong phần tử hữu hạn: F= 1 2∆ [ (a i + b i x + c i y)Fi + (a j + b j x + c j y)Fj + (a m + b m x + c m y)Fm ] (14) Trong đó: 1 x i yi 2∆ = det 1 x j y j = 2 lần diện tích tam giác i j m 1 x m ym ai = xi – xj bi = yj – ym = yjm ci = xm – xj = xmj Các hệ số aj, bj, cj, am, bm, cm cũng được tính bằng cách hoán vị vòng quanh các chỉ số. Như vậy ta luôn luôn có thể biểu thị giá trị của hàm F tại một điểm bất kỳ bên trong phần tử hữu hạn theo các giá trị của nó tương ứng ở ba điểm nút của phần tử hữu hạn. Biểu thức F viết dưới dạng ma trận: Fi  Fi    [ F = [ N ] Fj  = N i N j N m ]   Fj  (15)     Fm  Fm  Trong đó: 1 Ni = (a i + b i x + c i y ) (16) 2∆ Vì những giá trị tại các điểm nút của hàm F được xác định một cách đơn trị trong toàn miền, cho nên phiếm hàm χ có thể đạt cực tiểu tương ứng với những giá trị của hàm F tại các điểm nút đó. ∂χ Muốn thế tại nút i nào đó của hệ, ta hãy lần lượt tính giá trị tương ứng với ∂Fi từng phần tử hữu hạn đồng quy tại nút i đó rồi tổng tất cả những giá trị nhận được đối với tất cả các phần tử hữu hạn rồi buộc chúng phải triệt tiêu. ∂χ Chẳng hạn ta hãy tính xem giá trị tương ứng với một phần tử hữu hạn bất ∂Fi kỳ. Ký hiệu χ e là giá trị của phiếm hàm tương ứng với phần tử hữu hạn đang xét ____________________________ 15 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
(tức là giới hạn lấy tích phân tương ứng là diện tích của phần tử hữu hạn đang xét), thì sau khi lấy vi phân phương trình (10)’ ta sẽ được: ∂χ 2  ∂χ ∂  ∂F  ∂χ ∂  ∂F  ∂F  = ∫ ∫ kx    + ky  −Q dx dy (17) ∂Fi  ∂x ∂Fi  ∂x  ∂x ∂Fi  ∂y    ∂Fi  Kết hợp phương trình (15) và (16) để xác định F rồi thay vào phương trình (17) sẽ được: ∂χ 2 ∫ ∫k [b , b , b ]{ F } [ ] 1 2 = ( i i j m bi + k y ci , c j , c m × ∂Fi ( 2∆ ) 2 (18) 1 × { F } ci )dx dy − 2∆ ∫ ∫ 2 Q(ai + bi x + ci y )dx dy Tương ứng với mỗi phần tử hữu hạn có ba giá trị đạo hàm tại ba điểm nút của nó sau đây:  ∂χ e     ∂Fi   ∂χ   ∂χ e  e     =   ∂Fi   ∂Fj   e  ∂χ   ∂Fm    Thay phương trình (18) và hai phương trình tương tự với nó vào công thức trên và chú ý rằng ký hiệu ∆ là diện tích của phần tử hữu hạn hình tam giác ∫ ∫ dy = ∆ thì ta có: dx  ∂χ e   = [ h ]{ F} + { R} e e  (19)  ∂Fi  Trong đó ma trận [h] và ma trận {R}e xác định như sau: – Xác định ma trận [h]: b i b i b j b i b m b i  c i c i c j c i c m c i  kx   ky   [ h ] =  b i b j b j b j b m b j  + c i c j c j c j c m c j  (20) 4∆   4∆    b i b m b jb m b m b m  c i c m c j c m c m c m  Trong đó: k x b r bs + k y c r cs h rs = 4∆ bi = yj – ym = yjm ci = xm – xj = xmj v.v… ____________________________ 16 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Giống như những bài toán kết cấu, ma trận [h] là ma trận đối xứng. Ta nhận thấy hệ thức (19) có dạng tương tự như dạng của phương trình: ∂F ∂F Kx lx + K y l y + q + α .F = 0 (6)’ ∂x ∂y Trường hợp Kx và Ky có giá trị hằng số bên trong phần tử hữu hạn thì ta có thể dễ dàng tiến hành tích phân phương trình nói trên. – Tương tự như thế ta cũng có thể xác định ma trận {R}e. Giả sử trong phạm vi của phần tử hữu hạn hàm Q có giá trị hằng số, thì tích phân sau trên toàn bộ diện tích hình tam giác sẽ có giá trị bằng: a + b i x + c i y)dx dy − Q(a i + b i x + c i y) R i = −Q ∫ ∫ i = (21) 2∆ 2 Trong đó x va y là tọa độ trọng tâm tam giác, tức là: xi + x j + x m x= 3 yi + y j + ym y= 3 Thay những giá trị x và y vào biểu thức trên ta sẽ được: 1 x i yi Q Q R i = − det 1 x j y j = − ∆ 3 3 1 x m ym Cuối cùng vectơ {R}e có giá trị sau: 1 Q∆   { R} = − 1 e (22) 3  1 Phiếm hàm χ sẽ đạt cực tiểu khi hệ thức sau được thỏa mãn: ∂χ ∂χ e =∑ =0 (23) ∂Fi ∂Fi Ở đây ta lấy tổng số đối với tất cả các phần tử hữu hạn của hệ: Sử dụng hệ thức (19) ta có thể viết hệ phương trình trên dưới dạng: ∂χ = ∑∑ h im Fm + ∑ R i (24) ∂Fi Ở đây ta lấy tổng số đối với tất cả các phần tử hữu hạn của hệ và đối với tất cả các nút của hệ. Bây giờ ta chuyển sang xét các điều kiện biên của bài toán. ____________________________ 17 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
Gặp trường hợp các giá trị F được cho trước tại các điểm nút nằm trên biên, ta sẽ có bài toán hoàn toàn tương tự như một bài toán tính kết cấu khi đã biết trước chuyển vị ở trên biên. Trường hợp phức tạp hơn là điều kiện biên có dạng phương trình: ∂F ∂F ∂F kx lx + k y ly + k z l z + q + αF = 0 (25) ∂x ∂y ∂z Mặc dù vẫn có thể thử xem có thỏa mãn các điều kiện ràng buộc trực tiếp các hàm ở trên biên của phần tử hữu hạn không, nhưng dùng đường lối đó chẳng những không thuận tiện mà đôi khi lại còn có thể phá vỡ sự tương tự về phương diện kết cấu. Do đó người ta thường hay biến đổi đường lối biến phân sao cho những đại lượng ở trên biên có thể lấy giá trị bất kỳ và không bị ràng buộc bởi điều kiện nào cả. Có thể dễ dàng thực hiện điều này bằng cách thêm vào phiếm hàm cần làm cực tiểu những số hạng bổ sung. Trong bài toán phẳng ta có thể viết điều kiện biên dưới dạng: ∂F ∂F kx lx + k y l y + q + αF = 0 (26) ∂x ∂y Dùng các phương pháp biến phân quen biết ta có thể chứng minh được rằng nếu một bộ phận C của biên thỏa mãn điều kiện trên thì phiếm hàm dạng (10) có thể biến đổi thành 1   ∂F  2  ∂F   2   1 χ = ∫ ∫ k x   + k y    − QFdx dy + ∫ qF ds + ∫ αF 2 ds   ∂y  (27)  2   ∂x      2     C C Trong đó C là giới hạn lấy tích phân thỏa mãn điều kiện (25), đồng thời trên đó hàm F không bị ràng buộc. Như vậy ta chỉ còn phải thêm các vi phân của hai số hạng cuối cùng của biểu thức trên vào phương trình (23). Chỉ có những phần tử hữu hạn nào nằm trên biên thì mới tồn tại các vi phân này. Bây giờ ta hãy giải thích về mặt vät lý, các vi phân này có ý nghĩa như thế nào. Ta xét mặt r – s của phần tử hữu hạn. Nếu ta cho q và α có giá trị hằng số dọc trên mặt, thì do F biến đổi theo quy luật tuyến tính từ Fr đến Fs cho nên: e ∂χ  1  qL αL  1  = ∫ qF ds + ∫ αF 2 ds  = +  Fr − Fs  (28) ∂Fr  2  2 3  2  ∂χ Như vậy, nếu khảo sát (tức là khảo sát điều kiện cân bằng của nút r ) thì ∂Fr ta phải thêm vào hai phần tử lân cận các số hạng phụ đó tức là các lực. Số hạng thứ nhất qL/2 có ý nghĩa vật lý là một sự tương tự màng, còn F là hàm chuyển vị ngang của màng, tương ứng với phương x và phương y ta phải lấy với hệ số tỷ lệ ____________________________ 18 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
lần lượt là kx và ky, q là cường độ tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị chiều dài của biên. Như vậy trong trường hợp cho trước ngoại lực, trong điều kiện biên chỉ có số hạng q tham gia mà thôi. αL  1  Tương tự như vậy, ta có thể hình dung số hạnng:  Fr − Fs  là một phần tử 3  2  ngoài có độ cứng cho trước bổ sung vào hệ ban đầu. Từ đó, ta thấy là khi có các điều kiện biên dạng (26) ta sẽ không gặp phải khó khăn gì đặc biệt. Trong khi đó, nếu giải bài toán này theo phương pháp sai phân thì sẽ gặp nhiều khó khăn. Rõ ràng là, điều kiện α = 0 và q = 0 chính là trường hợp đặc biệt khi biên không chịu tải. Ta thường hay gặp trừơng hợp này trong các bài toán đường đối xứng và các đường trên mặt không thấm. Phải xác định giá trị F sao cho không phát sinh sự gián đoạn giữa các phần tử hữu ∂F ∂F hạn kề nhau. Các “góc nghiêng” vaø trên đường phân giới giữa các phần tử ∂x ∂x hữu hạn là những giá trị hữu hạn, và chúng phải không tham gia vào giá trị của phiếm hàm khi phiếm hàm đã đạt cực tiểu. Khi giảm kích thước các phần tử hữu hạn thì chắc chắn là giá trị của F sẽ biến đổi dù cách phân chia các phần tử hữu hạn như thế nào. Do đó, phiếm hàm χ chỉ dẫn đến một giá trị cực tiểu duy nhất dù cho hàm có thể biến đổi theo quy luật nào, cho nên ta nói lời giải chắc chắn hội tụ đến một nghiệm duy nhất. Ở trên khi thiết lập các phương trình ta đã giả sử Kx, Ky và Q có giá trị hằng số trong phạm vi mỗi phần tử hữu hạn. Nếu trường hợp các đại lượng này có giá trị biến đổi từ phần tử hữu hạn này sang phần tử hữu hạn khác, lúc đó việc giải bài toán cũng không khó khăn gì hơn. Trong trường hợp này, các đạo hàm F là những đại lượng hữu hạn trên các mặt biên, mà các mặt biên lại không ảnh hưởng gì đến phiếm hàm. Trường hợp vật liệu dị hướng thì Kx và Ky khác nhau. Tính dị hướng làm cho phương trình mô tả hiện tượng sẽ thay đổi theo, cho nên cần lưu ý rằng phương trình (5)’ đã được thiết lập tương ứng với trường hợp các trục x, y là các trục dị hướng. Mỗi một phần tử hữu hạn sẽ có hệ trục dị hướng khác nhau, chúng là hệ trục toạ độ địa phương và nói chung là không trùng với hệ trục chính. Vậy trong trường hợp vật liệu dị hướng ta cần phải biến đổi hệ trục tọa độ đối với từng phần tử hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ chung, sau đó mới được sử dụng công thức (20) để xác định ma trận [H]. Quá trình thay đổi tính toán tiếp theo không có gì thay đổi. Trong một số bài toán nhiều khi người ta cần quan tâm đến vectơ gradian của hàm F chứ không quan tâm đến hàm F. Chẳng hạn trong bài toán phân bố dòng ____________________________ 19 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm
chảy, những đại lượng tỷ lệ với vận tốc chảy là đối tượng khảo sát của bài toán. Vectơ {Gradian F} có thể biểu diễn dưới dạng:  ∂F  F   ∂x  bi b j bm   i    { GradF }   F j  = [ GradF ]{ F } e = = (29)  ∂F  ci c j c m      F    ∂y   m Ở đây ma trận [G] đóng vai trò tương tự như ma trận ứng suất trong các bài toán của thuyết đàn hồi. b. Trường hợp phần tử hữu hạn hình chữ nhật Ta đã biết rằng phần tử hữu hạn hình chữ nhật có thể xem là do hai phần tử hữu hạn hình tam giác ghép lại. Do đó đương nhiên là ta có thể vận dụng các lý luận đã trình bày cho phần tử hữu hạn hình tam giác nêu trên cho phần tử hữu hạn hình chữ nhật mà không cần phải lưu ý đặc biệt gì thêm. Tuy nhiên trong trường hợp phải tăng độ chính xác của ma trận độ cứng và ma trận “góc nghiêng” thì người ta có thể xây dựng theo đường lối khác đi. Ở đây ta không đề cập chi tiết. 2.4. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN THẤM BA CHIỀU THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Cách giải bài toán thấm hai chiều hoàn toàn có thể mở rộng để giải bài toán cực tiểu hóa phiếm hàm biểu thị bởi phương trình (10)’ trong trường hợp ba chiều. Trong trường hợp ba chiều người ta thường chia miền khảo sát ra thành những phần tử hữu hạn hình tứ diện, hoặc lăng trụ tam giác. Ví dụ, ta xét một phần tử hữu hạn hình tứ diện I, j, m, p. Cũng như trong trường hợp lý thuyết đàn hồi ta có thể viết mối liên hệ giữa giá trị của hàm F tại một điểm bất kỳ trong phạm vi phần tử hữu hạn với các giá trị của hàm F tại điểm nút như sau: Fi  F  [  j  ] F = N i , N j , N m , N p   = [ N]{ F} e (30) Fm  Fp    Trong đó: ai + bi x + ci y + d i z Ni = (31) 6V V – Là thể tích của phần tử hữu hạn hình tứ diện. ____________________________ 20 Đập vật liệu địa phương – Tính toán thấm